最新9组合变形汇总

n
Tn Wn
<a>
在危险截面上，与合成弯矩Mw对应的弯矩正应力，在 D1和D2点上达到极大值，其值为：
W
MW W
<b>
根据图b上的剪应力和正应力的分布可知：D 1 和 D 2 点上 的扭转剪应力与边缘上其他各点相同，而弯曲正应力为最大 值，故
D1和D2点应为危险点，其中D1点的应力状态如图C所示。 在抗拉和抗压强度相等的情况下， D1和D2中只要校核一点 就行了（下面以D1为例） 对于图C所示的二向应力状态，利用公式
大小有关，而与外力的大小无关；②一般情况下，I y I z 中性轴不与外力作用平面垂直；③对于圆形、正方形和正
多边形，通过形心的轴都是形心主轴，Iy Iz,
此时梁不会发生斜弯曲。
〈四〉强度校核：
对矩形截面，可以直接断定截面的 LmaxYmax必发生在
' '' 具有相同符号的截面角点处。
max
FN X A 3kN FS YA 4kN M (x) YA x 4 x
11截面上危险： 截 FN面 3k， N ， M 其 8k上 N m
ct F A NW M3d 123 08d 133 0 8 8..1 1 9 1MPa
4 32
FN A
M W
M W
偏心拉伸（压缩）
例9-2.如图所示一矩形截面柱，y轴和z轴为柱截面的二根对称 轴，设压力P作用在载面上的某一点C处，点C距离截面z轴为yp ， 距y轴为zp ，试求截面mn上K点的应力。
注意，求横截面上任一点的正应力时，只需将此 点的坐标（含正负）代入上式即可。
〈三〉斜弯曲时，截面的中性轴
斜弯曲时，截面的中性轴一定过截面的形心（证明看教 材）,其与Z轴夹角为
tg y0 Iz tg
z0 Iy
其中(y0, z0)为中性轴上各点的坐标。
上式表明：①中性轴的位置只与 角和截面的形状、
思考题9-3：直径为20mm的圆截面水平直角折杆，受垂直 力P=0.2kN，已知［σ］=170MPa。试用第 三强度理论确定ａ的许可值。
思考题9-4：圆截面水平直角折杆，直径d=60mm，垂直分布 载荷q=0.8kN/m;［σ］=80MPa。试用第三强度 理论校核其强度。
解： 最大拉应力发生在后背面上各点处
t 100100 2001 01 3060.250 000.12 20M Pa
6
思考题9-2：空心圆轴的外径D=200mm，内径d=160mm。 在端部有 集中力P =60kN ，作用点为切于圆周 的A 点。[σ]=80MPa，试用第三强度理论校核 轴的强度。
MZ IZ
y max
My Iy
z max
MZ MY
WZ
Wy
（9-2）
首先作出梁的弯矩图，根据弯矩图，确定弯矩值最大的危 险截面，然后将危险截面上的两个弯矩分量 M Z max 、MY max 代入 （9-2）即可进行强度校核。
max M W ZZ max M W Ym y ax
（9-3）
〈五〉挠度叠加：
M 2 T 2 [ ]
W
r 4
M 2 0 .7 5 T 2 [ ]
W
d3 W
32
例2
zy
Fr
FtD/2
M0
x
A B Ft
C
a
b
L
Tn 图
(-)
Mz 图
M0
Ftab/L
My 图
Frab/L
xz平面内的弯矩： xy平面内的弯矩：
MY max
Frab L
MZ max
Fab L
虽然 MY max 和 M Z max 是在相互垂直的两个主平面中的弯矩，
y
zP z iy2
0
根据该方程式可知中性轴是不过形心的直线。
现令：应力零线N-N，它在y、z轴上的截距分别为 a y a z 分别将
ay,0 0, az 代入 k 表达式得：
ay
iZ 2 yP
aZ
iy2 zP
由ay、az就可把应力零线的位置确定下来，应力零线就是该 截面的中性轴。上式表明ay、az 均与yp 、 zp符号相反，所以中性 轴与偏心压力分别在坐标原点的两侧，以中性轴为界，一侧受
z
M ZP
y
M yP
解:
1.将p向o点简化，得p，Mzp ， Myp
其中： MzpPyp
MypPzp
2.求p，Mzp ， Myp三者各自单独作用时K点处的正应力。
(1).在P单独作用时：
*此时柱受轴向压缩，横截面上的应力均匀分布，如图：
q
‘ K
P A
——（1）
b h
（负号表示，应力为压应力）
（2）在Mz单独作用下:
拉，一侧受压。
（2）最大最小的正应力。
由 k 的表达式可看出：要使得 k max必须：y ymax，
z zmax；且必须
'' ''' kk
同时为正。
要使得 k min 必须：
y ymax，z zmax 且必须
'' k
,
''' k
同时为负。
（对偏心压缩来说：
K
P A
为一定值。）
即：
maxP AP WZyP P WyzP
*此时柱相当于一个纯弯曲梁，z轴为截面的中性轴，此时截面 上的应力沿y轴方向呈线性分布，如图：
z
b
y
KMIZZ
y
PyPy IZ
h
（3）在 My单独作用下:
*此时柱相当于一个纯弯曲梁，y轴为截面的中性轴，此时截面 上的应力沿z轴方向呈线性分布，如图：
qz
h
b
y
K
My Iy
z
PzPz Iy
3．根据叠加原理，求K点处的正应力：
——弯扭组合变形情况下的第三强度理论表达式
2.第四强度理论：
1 21 22 2 32 3 12
将C式代入上式，简化整理后可得：
代入<a><b>式即可得：
2 W
3n2
1 W
MW20.7T 5n2
——弯扭组合变形的圆轴的第四强度理论表达式
注：公式
1 W
MW2Tn2
——（弯扭组合变形的圆轴的第三强度理论表达式）
F
解：(1)
Fa
t N M c A W
F a2
4 a a 2
2 2
6
8F
a2 4F
a2
Fa/4 FF F
例9-7：图示偏心受压杆。试求该杆中不出现
F
拉应力时的最大偏心距。
解：
NF,MFe
t
NM AW
F bh
Fe hb 2
0
6
e b 6
例9-8：偏心拉伸杆，弹性模量为E， 尺寸、受力如图所示。求：
曲。
思考题
正方形，圆形，当外力作用线通过截面形心时，为平面弯曲还 是斜弯曲？
目录
§9-3 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
例1：一折杆由两根圆杆焊接而成，已知 圆杆直径d=100mm，试求圆杆的最大拉应力σt 和最大压应力 σc 。
解： X A 3 kN
YA 4 kN
任 意 横 截 面 x上 的 内 力 :
minP AP WZyP P WyzP
故：偏心压缩时的强度条件为：
ma x l ，min y
同样道理：对偏心拉伸而言。
maxPAPWZyP
PzP Wy
ma x l
由于土建工程中绝大部分材料的
ly
故此时无须校核
miny
目录
N P A cd
My Pa Wy d c2
6
Mz PbFra Baidu bibliotekWz cd 2
M y P zx P sin x M sin
2．应力（K点）
❖Mz在K点引起的应力为： ❖My在K点引起的应力为：
3．叠加：
根据叠加原理，得：
' MZ y
IZ '' M y z
Iy
''' M IZ Z y M Iy y z M I y Zco I s z ysi n（9-1）
（1）最大拉应力和最大压应力的 位置和数值；
（2）AB长度的改变量。
解：(1) NF,MyF 2h,MzF 2b
最大拉应力发生在AB线上各点
最大压应力发生在CD线上各点
Fh Fb
t NMy Mz c A Wy Wz
F bh
2 bh 2
2 hb 2
7F (5F) bh bh
6
6
F
l Fz F y
l
思考题9—1：求图示杆在P=100kN作用下的σt数值，并指明所 在位置。
m mainxx 2y
x 2y
2n2
可得：
1或 3
W
2
±
W
2
2
2 n
W
2
±1 2
W
2
4
2 n
1 —— D 1 点的最大主应力
3 —— D 1 点的最小主应力
二.强度校核： 对于塑性材料，应采用第三强度理论或第四强度理论。
1.第三强度理论： 13
将C式代入上式得：
W 2 4 n 2 代 a 入 b W 1M W 2 T n 2
k1
M W
T
Wn
k2
1
3 2
2
2
2
2 0
r313 2 42
M W
2
4WTn
2
M2 T2
W
W3d23,Wn
d3
16
M, T
W
Wt
r42 1(12 )2 (23 )2 (31 )2
2 32 M2 0.75T2
W
圆截面杆弯扭组合变形时的相当应力：
r 3
但因圆截面杆不会发生斜弯曲，只可能发生平面弯曲，因而
可以采用矢量合成的方法（见下图）求出其合成弯矩。
M WM Y 2ma x M Z 2ma xa Lb F r2F 2
z
D1
MZ
M
0 My
y
M 作用平面
D2
（a）
D1
M
D1
从图<a>可看出：合成弯矩Mw的作用平面垂直于矢量。 在危险截面上，与Mn对应的剪应力在边缘各点上达到极大值， 其值为：
计算组合变形强度问题的步骤如下：
一．载荷处理：
在载荷作用点附近将作用的任意载荷，分解或静力平移
为几个各自只能引起一种基本变形的载荷分量。 二．内力分析，确定危险截面
分别作出各个载荷分量作用下的内力图 三．应力分析，确定危险点
分别计算处每种基本变形在危险截面上的应力，根据叠 加原理确定危险点的位置及应力值。
四．危险点处应力状态分析
取危险点单元体，求出主应力。
五．强度计算
根据危险点处应力状态，选用相应的强度理论。
目录
§9-2 斜弯曲
一．概念：
1．平面弯曲：
梁变形后，轴线位于外力所在的平面之内（纵向对称面）。
2．斜弯曲：
梁变形后，轴线位于外力所在的平面之外。
二．斜弯曲梁的强度计算： 例9-1：
如图：有一矩形截面悬臂梁，梁上载荷P垂直梁轴线且通过截面
kK K K P A P y IP Z yP z IP yz
4．讨论：
（1）中性轴位置的确定：
根据中性轴上应力为零，
k P A P y I P Z y P z I P y z P A ( 1 y i P z2 y z i P y 2 z) 0
可得中性轴的方程式为：
1
yP iz2
形心。P与主轴Y的夹角为 。求距自由端为X处的截面上一点
K的正应力。
解： 〈一〉将P沿Y、Z轴分解，得：
PZ Psin Py Pcos
〈二〉分别求出 PZ P y 所引起的应力。 1．内力：
❖ Py在X截面上所引起的弯矩为：
M Z P yx P cox s M cos
❖ Pz在X截面上所引起的弯矩为：
例9-5：图示Z形截面杆，在自由端作用一集中力F，该杆的变 形设有四种答案：
（A）平面弯曲变形； （B）斜弯曲变形； （C）弯扭组合变形； （D）压弯组合变形。
F
F
例9-6：具有切槽的正方形木杆，受力如 图。求：
（1）m-m截面上的最大拉应力σt 和最 大压应力σc；
（2）此σt是截面削弱前的σt值的几倍？
9组合变形
§9-1 概述
*工程中几种常见的组合变形：
斜弯曲 —————斜屋架上的檩条 拉弯组合 ————冻结管 偏心压缩 ————设有吊车的厂房柱子 弯扭组合变形——机床中靠齿轮传递的轴
由于组合变形是几种基本变形相互组合的结果， 因此，在进行组合变形下的强度和刚度计算时，只 需分别计算形成这种组合变形的几种基本变形下的 应力和变形，然后进行叠加即可得到组合变形下的 应力和变形。
6
任 意 横 截 面 上 的 内 力 ： NP, MyPa, Mz Pb
N AM Iy yzM IzzycP dd Pa c3 zP cd b3 y
12 12
ct N AW M yyW M zz cP ddPca2cP db2
66
§9-4 扭转与弯曲的组合变形
A截面为危险截面：
M Pl T Pa
及
1 W
MW20.7T 5n2
——弯扭组合变形的圆轴的第四强度理论表达式
对于弯扭组合变形的圆轴，该两公式可直接应用，无须再去 求解主应力。
例9-4：图示悬臂梁的横截面为等边三角形，C为形心，梁上作 用 有均布载荷ｑ，其作用方向及位置如图所示，该梁变形 有四种答案：
（A）平面弯曲； （B）斜弯曲； （C）纯弯曲； （D）弯扭结合。
两个载荷分量在自由端所引起的挠度分别为：
y 3P E YLZ 3IPc3E oZIsL3
Z
PZL3 3EIy
PsinL3
3EIy
二者的矢量和为：
y2 z2
设挠度的方向与Y轴间的夹角 ，则：
tg z Iz tg y Iy
讨论：由上式可看出：要使得 必须：I z I y 即，只
有在 I z I y 的条件下，才是平面弯曲， 否则是斜弯