2017年全国高考理科数学试题和答案-全国卷1

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2017年高考真题——数学理(全国Ⅰ卷)+Word版含答解析

2017年高考真题——数学理(全国Ⅰ卷)+Word版含答解析

1 ( 2 + 4 ) × 2 = 12 , 2
A.A>1 000 和 n=n+1 考点 :程序框图 思路 :
B.A>1 000 和 n=n+2
C.A ≤ 1 000 和 n=n+1
D.A ≤ 1 000 和 n=n+2
题的难点在于考察点的
同,考察判断框和循
系数
根据判断条件可得为当型结构,故而
判断框中应该是 A ≤ 1 000,又题目要求为最小偶数,故而循 系数当为 n=n+2 解析 选D
考点 :集合的简单 算,指数函数 思路 :利用指数函数的性质可 将集合 B 求解出来,之后利用集合的计算求解即可
x 解析 :由 3 < 1 ⇒ x < 0 ,解得 B = x x < 0 ,故而 A ∩ B = B = x x < 0 , A ∪ B = A = x x < 1 ,
{
}
{
}
{
}
选A 2.如 , 方形 ABCD 内的 形来自中 古代的太极 . 方形内 圆中的黑色部 和白色部 关于 方
绝密★启用前
2017
普通高等学校招

统一考试
理科数学
本试卷 5 ,23 小题,满分 150 分 考试用时 120 分钟 考 号 考场号和 位号填写在答题卡 用 2B 铅笔将 注意 项:1.答卷前,考 务必将自 的姓
试卷类型 B 填涂在答题卡相 位置
将条形码横贴在答题卡右 角“条形码粘贴处” 题目选项的答案信 点涂黑
1 ∈ R ,则 z ∈ R z
p2 p4
若复数 z 满足 z 2 ∈ R ,则 z ∈ R 若复数 z ∈ R ,则 z ∈ R .

2017年高考真题全国1卷理科数学(附答案解析)

2017年高考真题全国1卷理科数学(附答案解析)
(1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD;
(2)若 PA=PD=AB=DC, ∠APD = 90o,求二面角 A−PB−C 的余弦值.
19.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取
16 个零件,并测量其尺寸(单位: cm ).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正
( ) 常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N µ,σ 2 .
x − y ≤ 0
15.已知双曲线 C

x2 a2

y2 b2
= 1(a
> 0,b > 0) 的右顶点为
A ,以
A 为圆心, b
为半径作
圆 A ,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线于交 M 、 N 两点,若 ∠MAN = 60o,则 C 的离心
率为__________.
16.如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D,E,F 为圆 O 上的点,△DBC,△ECA,△FAB 分别是以 BC,CA,AB 为底边的 等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以 BC,CA,AB 为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB, 使得 D,E,F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3) 的最大值为______.
(1)假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在
( µ − 3σ , µ + 3σ ) 之外的零件数,求 P ( X ≥ 1) 及 X 的数学期望; (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 ( µ − 3σ , µ + 3σ ) 之外的零件,就认为这
条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸:

2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I)《理科数学》真题

2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I)《理科数学》真题

左平移
π 12
个单位长度,得到曲线C
2
10. 已知 F 为抛物线C : y 2 4x 的交点,过 F 作两条互相垂直l ,1 l ,2 直线l 与1
C 交于 A、B 两点,直线l2 与 C 交于 D ,E 两点, AB DE 的最小值为(
)
A.16
B.14
C.12
D.10
11. 设 x , y , z 为正数,且 2x 3y 5z ,则(
面中有若干是梯形,这些梯形的面积之和为(
)
A.10
B.12
C.14
D.16
8. 右面程序框图是为了求出满足3n 2n 1000 的最小偶数n ,那么在

两个空白框中,可以分别填入(
)
第 2 页 共 23 页
A. A 1000 和 n n 1 C. A≤1000 和 n n 1
C. A B xx 1
D. A B
2. 如图,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑
色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称,在正方形内随机取一点,则
此点取自黑色部分的概率是(
)
A. 1
4
B. π
8
C. 1
2
D. π
4
第 1 页 共 23 页
3. 设有下面四个命题(
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(全国Ⅰ卷)
注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。

2017高考新课标全国1卷理科数学试题及答案

2017高考新课标全国1卷理科数学试题及答案

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页,23小题,满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =< B .A B =R C .{|1}AB x x =>D .AB =∅2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是A .14 B .π8 C .12D .π43.设有下面四个命题1p :若复数z 满足1z∈R ,则z ∈R ;2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ;3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =; 4p :若复数z ∈R ,则z ∈R .其中的真命题为 A .13,p pB .14,p pC .23,p pD .24,p p4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为A .1B .2C .4D .85.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A .[2,2]-B .[1,1]-C .[0,4]D .[1,3]6.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A .15B .20C .30D .357.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为A .10B .12C .14D .168.右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ,那么在和两个空白框中,可以分别填入A .A >1 000和n =n +1B .A >1 000和n =n +2C .A ≤1 000和n =n +1D .A ≤1 000和n =n +29.已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =sin (2x +2π3),则下面结论正确的是 A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 210.已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为 A .16B .14C .12D .1011.设xyz 为正数,且235x y z ==,则A .2x <3y <5zB .5z <2x <3yC .3y <5z <2xD .3y <2x <5z12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的学科网&最小整数N :N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A .440B .330C .220D .110二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

(完整版)2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-全国1卷

(完整版)2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-全国1卷

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页,23小题,满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}|1{|31}xA x xB x =<=<,,则A .{|0}AB x x =<I B .A B =R UC .{|1}A B x x =>UD .A B =∅I2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A .14 B .8π C .12D .4π 3.设有下面四个命题1p :若复数z 满足1z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ;3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =;4p :若复数z ∈R ,则z ∈R .其中的真命题为 A .13,p pB .14,p pC .23,p pD .24,p p4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为A .1B .2C .4D .85.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A .[2,2]-B .[1,1]-C .[0,4]D .[1,3]6.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A .15B .20C .30D .357.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 A .10 B .12 C .14 D .168.右面程序框图是为了求出满足321000nn->的最小偶数n ,那么在和两个空白框中,可以分别填入A .1000A >和1n n =+B .1000A >和2n n =+C .1000A ≤和1n n =+D .1000A ≤和2n n =+9.已知曲线122:cos ,:sin(2)3C y x C y x π==+,则下面结论正确的是A .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2CB .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2CC .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2CD .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2C10.已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点,过F 作两条互相垂直的直线12,l l ,直线1l 与C 交于A 、B 两点,直线2l 与C 交于D 、E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为 A .16B .14C .12D .1011.设xyz 为正数,且235xyz==,则A .235x y z <<B .523z x y <<C .352y z x <<D .325y x z <<12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件。

2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅰ卷)数学试题 (理科)解析版

2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅰ卷)数学试题 (理科)解析版
12
得到曲线 C2
1
π
C.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,
色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,
则此点取自黑色部分的概率是( )
A. 1 4
B. π 8
C. 1 2
D. π 4
【答案】B
【解析】设正方形边长为 a ,则圆的半径为 a ,正方形的面积为 a2 ,圆的面 2
πa2
积为 .由图形的对称性可知,太极图中黑白部分面积相等,即各占圆面积的一半.由几何概型概率
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。
1.已知集合 A={x|x<1},B={x| 3x 1 },则( ) A. A B {x | x 0} B. A B R C. A B {x | x 1} D. A B
4
的计算公式得,此点取自黑色部分的概率是
1 πa2 24
a2
π
,选 B.
8
秒杀解析:由题意可知,此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例,由图可知其
概率 p 满足 1 p 1 ,故选 B.
4
2
3.设有下面四个命题
p1
:若复数
z
满足
1 z
R
,则
z
R

p2 :若复数 z 满足 z2 R ,则 z R ;
【答案】A
【解析】由 3x 1 可得 3x 30 ,则 x 0 ,即 B {x | x 0} ,所以 A B {x | x 1}{x | x 0} {x | x 0}, A B {x | x 1}{x | x 0} {x | x 1} ,故选 A.

2017年全国统一高考理科数学真题试卷(全国I卷)

2017年全国统一高考理科数学真题试卷(全国I卷)

2017年全国统一高考理科数学真题试卷(新课标ⅰ)一、选择题(共12小题;共60分)1. 已知集合,,则A. B.C. D.2. 如图,正方形内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是A. B. C. D.3. 设有下面四个命题::若复数满足,则;:若复数满足,则;:若复数,满足,则;:若复数,则.其中的真命题为A. ,B. ,C. ,D. ,4. 记为等差数列的前项和.若,,则的公差为A. B. C. D.5. 函数在单调递减,且为奇函数.若,则满足的的取值范围是A. B. C. D.6. 展开式中的系数为A. B. C. D.7. 某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为A. B. C. D.8. 如图程序框图是为了求出满足的最小偶数,那么在\(\diamondsuit \)和两个空白框中,可以分别填入A. 和B. 和C. 和D. 和9. 已知曲线,,则下面结论正确的是A. 把上各点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线B. 把上各点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线10. 已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,,直线与交于,两点,直线与交于,两点,则的最小值为A. B. C. D.11. 设,,为正数,且,则A. B. C. D.12. 几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列,,,,,,,,,,,,,,,,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,,,依此类推.求满足如下条件的最小整数:且该数列的前项和为的整数幂.那么该款软件的激活码是A. B. C. D.二、填空题(共4小题;共20分)13. 已知向量,的夹角为,,,则.14. 设,满足约束条件则的最小值为.15. 已知双曲线的右顶点为,以为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于,两点,若,则的离心率为.16. 如图,圆形纸片的圆心为,半径为,该纸片上的等边三角形的中心为.,,为圆上的点,,,分别是以,,为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以,,为折痕折起,,,使得,,重合,得到三棱锥.当的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:)的最大值为.三、解答题(共7小题;共91分)17. 的内角,,的对边分别为,,,已知的面积为.(1)求;(2)若,,求的周长.18. 如图,在四棱锥中,,且.(1)证明:平面平面;(2)若,,求二面角的余弦值.19. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取个零件,并测量其尺寸(单位:).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.附:若随机变量服从正态分布,则,,.(1)假设生产状态正常,记表示一天内抽取的个零件中其尺寸在之外的零件数,求及的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ii)下面是检验员在一天内抽取的个零件的尺寸:经计算得,,其中为抽取的第个零件的尺寸,.用样本平均数作为的估计值,用样本标准差作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到).20. 已知椭圆:,四点,,,中恰有三点在椭圆上.(1)求的方程;(2)设直线不经过点且与相交于,两点,若直线与直线的斜率的和为,证明:过定点.21. 已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若有两个零点,求的取值范围.22. 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).(1)若,求与的交点坐标;(2)若上的点到距离的最大值为,求.23. 设函数,其中.(1)当时,求不等式的解集;(2)若时,恒有,求的取值范围.答案第一部分1. A2. B3. B4. C5. D6. C7. B8. D 【解析】因为要求时输出,且框图中在“否”时输出,所以“\(\diamondsuit\)”内不能输入“”,又要求为偶数,且的初始值为,所以“”中依次加可保证其为偶数,所以D选项满足要求.9. D 【解析】把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数图象,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到函数的图象,即曲线.10. A【解析】如图,,直线与交于,两点,直线与交于,两点,要使最小,则与,与关于轴对称,即直线的斜率为,又直线过点,则直线的方程为,联立方程组则,所以,所以,所以的最小值为.方法二:设直线 的倾斜角为 ,则 的倾斜角为,根据焦点弦长公式可得,.所以. 因为: ,所以当 时, 最小,最小值为 .11. D 【解析】 , , 为正数,令 . .则 , ,. 所以,,.因为,. 所以. 所以 .12. A 【解析】设该数列为 ,设,则,由题意可设数列 的前 项和为 ,数列 的前 项和为 ,则 . 可知当 为时 ,数列 的前 项和为数列 的前 项和,即为 .容易得到 时, , A 项,由, ,可知 ,故 A 项符合题意. B 项,仿上可知,可知 ,显然不为 的整数幂,故 B 项不符合题意. C 项,仿上可知,可知 ,显然不为 的整数幂,故 C 项不符合题意. D 项,仿上可知,可知 ,显然不为的整数幂,故 D 项不符合题意.方法二:由题意可知:第一项,第二项,第三项, ,第 项,根据等比数列前 项和公式,求得每项和分别为: , , , , , 每项含有的项数为: , , , , , 总共的项数为,所有项数的和为由题意可知: 为 的整数幂.只需将 消去即可, 则① ,解得: ,总共有,不满足 , ② ,解得: ,总共有,不满足 ,③ ,解得: ,总共有,不满足 ,④ ,解得: ,总共有,满足 .所以该款软件的激活码为 . 第二部分 13. 14. 15.【解析】双曲线的右顶点为 ,以 为圆心, 为半径作圆 ,圆 与双曲线 的一条渐近线交于 , 两点. 若 ,可得 到渐近线 的距离为:, 可得:,即, 可得离心率为:. 16.【解析】由题意,连接 ,交 于点 ,由题意得 ,, 即 的长度与 的长度成正比, 设 ,则 , ,三棱锥的高 ,,则,令,,,令,即,解得,故在上单调递增,在上单调递减,则,所以,所以体积最大值为.第三部分17. (1)由三角形的面积公式可得,所以,由正弦定理可得,因为,所以.(2)因为,所以,所以,所以,所以,因为,所以,因为,所以,所以,因为,所以,所以,所以,所以周长.18. (1)因为,所以,因为,所以,又因为,且平面,平面,所以平面,又平面,所以平面平面;(2)因为,,所以四边形为平行四边形,由()知平面,所以,则四边形为矩形,在中,由,,可得为等腰直角三角形,设,则.取中点,中点,连接,,以为坐标原点,分别以,,所在直线为,,轴建立空间直角坐标系,则:,,,.,,.设平面的一个法向量为,由得取,得.因为平面,平面所以,又,所以平面,则为平面的一个法向量,.所以.由图可知,二面角为钝角,所以二面角的余弦值为.19. (1)由题可知尺寸落在之内的概率为,则落在之外的概率为,因为,所以,又因为,所以.(2)(i)由()知尺寸落在之外的概率为,由正态分布知尺寸落在之外为小概率事件,因此上述监控生产过程方法合理;(ii)因为用样本平均数作为的估计值,用样本标准差作为的估计值,且,,所以,,所以,因此需要对当天的生产过程进行检查,剔除之外的数据,则剩下的数据估计,将剔除掉后剩下的个数据,利用方差的计算公式代入计算可知,所以.20. (1)根据椭圆的对称性,,两点必在椭圆上,又的横坐标为,所以椭圆必不过,所以,,三点在椭圆上,把,代入椭圆,得:解得,,所以椭圆的方程为.(2)①当斜率不存在时,设:,,,因为直线与直线的斜率的和为,所以,解得,此时过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.②当斜率存在时,设:,,,联立整理,得,,,则又,所以,此时,存在,使得成立,所以直线的方程为,当时,,所以过定点.21. (1)由,求导,当时,,所以当,单调递减,当时,,令,解得:,当,解得:,当,解得:,所以时,单调递减,时单调递增;当时,恒成立,所以当,单调递减,综上可知:当时,在上是单调减函数,当时,在上是减函数,在上是增函数.方法二:由,求导,当时,,所以当,单调递减,当时,,令,解得:,当,解得:,当,解得:,所以时,单调递减,时单调递增;当时,,恒成立,所以当,单调递减,综上可知:当时,在上是单调减函数,当时,在上是减函数,在上是增函数.(2)①若时,由()可知:最多有一个零点,②当时,,当时,,,所以当时,,当,,且远远大于和,所以当,,所以函数有两个零点,的最小值小于即可,由在是减函数,在是增函数,所以,第11页(共12 页)所以,即,设,则,因为,所以在上单调递增,又因为,所以,解得:,所以的取值范围.22. (1)曲线的参数方程为(为参数),化为标准方程是:;时,直线的参数方程化为一般方程是:;联立方程解得或所以椭圆和直线的交点为和.(2)的参数方程(为参数)化为一般方程是:,椭圆上的任一点可以表示成,,所以点到直线的距离为:,满足,又的最大值,所以的最大值为,得:或,即或.23. (1)时,,所以,所以或,所以解集为;(2),因为,所以当时,,只需即可,所以.第12页(共12 页)。

2017年高考全国1卷理科数学和答案详解(word版本)(可编辑修改word版)

2017年高考全国1卷理科数学和答案详解(word版本)(可编辑修改word版)

绝密★启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷 5 页,23 小题,满分 150 分。

考试用时 120 分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用 2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2. 作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4. 考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 A ={x |x <1},B ={x | 3x < 1 },则 A . A B = {x | x < 0} C . A B = {x | x > 1}B . A B = R D . A B = ∅2. 如图,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是A . 14C. 123.设有下面四个命题B . π8D . π4p :若复数 z 满足 1∈ R ,则 z ∈ R ; 1zp 2 :若复数 z 满足 z 2 ∈ R ,则 z ∈ R ;p 3 :若复数 z 1 , z 2 满足 z 1 z 2 ∈ R ,则 z 1 = z 2 ;p4:若复数 z ∈R,则 z∈R .其中的真命题为A.p1 , p3B.p1 , p4C.p2 , p3D.p2 , p44.记S n 为等差数列{a n } 的前n 项和.若a4 +a5 = 24 ,S6 = 48 ,则{a n } 的公差为A.1 B.2 C.4 D.85.函数f (x) 在(-∞, +∞) 单调递减,且为奇函数.若f (1) =-1,则满足-1 ≤f (x - 2) ≤ 1的x 的取值范围是A.[-2, 2]B.[-1,1]C.[0, 4]D.[1, 3]6.(1+ 1)(1+x)6展开式中x2的系数为x2A.15 B.20 C.30 D.357.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为A.10 B.12 C.14 D.168.右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000 的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入A.A>1 000 和n=n+1B.A>1 000 和n=n+2C.A ≤1 000 和n=n+1D.A ≤1 000 和n=n+29.已知曲线C :y=cos x,C :y=sin (2x+ 2π),则下面结论正确的是1 23⎨ ⎩A. 把 C 1 π 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得6到曲线 C 2B. 把 C 1 π上各点的横坐标伸长到原来的2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得 12 到曲线 C 2C. 把 C 1 1 π 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得26到曲线 C 2D. 把 C 1 1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移2 π个单位长度,12得到曲线 C 210.已知 F 为抛物线 C :y 2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l 1,l 2,直线 l 1 与 C 交于 A 、B 两点, 直线 l 2 与 C 交于 D 、E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为 A .16B .14C .12D .1011.设 xyz 为正数,且2x = 3y = 5z ,则 A .2x <3y <5zB .5z <2x <3yC .3y <5z <2xD .3y <2x <5z12. 几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4, 8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是 20,接下来的两项是 20,21,再接下来的三项是 20,21,22, 依此类推.求满足如下条件的学科网&最小整数 N :N >100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是 A .440B .330C .220D .110二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

2017全国卷1理科数学试题解析纯word版(完美版)

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2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国I 卷)理科数学一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分) 1、已知集合A={x|x<1},B={x|3x <1},则( ) A .A∩B={x|x<0} B .A ∪B=R C .A ∪B={x|x>1} D .A∩B=∅ 解析:A={x|x<1},B={x|3x <1}={x|x<0},∴A ∩B={x|x<0},A ∪B={x|x<1},选A .2、如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A .14B .π8C .12D .π4解析:设正方形边长为2,则圆半径为1,则正方形的面积为2×2=4,圆的面积为π×12=π,图中黑色部分的概率为π2.则此点取自黑色部分的概率为π24=π8.故选B . 3、设有下面四个命题,其中正确的是( )p 1:若复数z 满足1z ∈R ,则z ∈R ; p 2:若复数z 满足z 2∈R ,则z ∈R ; p 3:若复数z 1,z 2满足z 1z 2∈R ,则z 1=z 2; p 4:若复数z ∈R ,则z ∈R .A .p 1,p 3B .p 1,p 4C .p 2,p 3D .p 2,p 4解析:p 1:设z=a+bi ,则1z =1a+bi =a –bia 2+b 2∈R ,得到b=0,所以z ∈R .故p 1正确; p 2:若z 2=–1,满足z 2∈R ,而z=i ,不满足z 2∈R ,故p 2不正确;p 3:若z 1=1,z 2=2,则z 1z 2=2,满足z 1z 2=R ,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p 3不正确; p 4:实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p 4正确;故选B .4、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为( ) A .1 B .2 C .4 D .8解析:a 4+a 5=a 1+3d+a 1+4d=24,S 6=6a 1+6×52d=48,联立求得⎩⎨⎧2a 1+7d=24①6a 1+15d=48②①×3–②得(21–15)d=24,∴6d=24,∴d=4,∴选C .当然,我们在算的时候引用中间项更快更简单:a 4+a 5=24→a 4.5=12,S 6=48→a 3.5=8,∴d=4.5、函数f(x)在(–∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=–1,则满足–1≤f(x–2)≤1的x 的取值范围是( ) A .[–2,2] B .[–1,1] C .[0,4] D .[1,3]解析:因为f(x)为奇函数,所以f(–1)=–f(1)=1,于是–1≤f(x–2)≤1等价于f(1)≤f(x–2)≤f(–1). 又f(x)在(–∞,+∞)单调递减,∴–1≤x–2≤1,∴1≤x≤3.故选D .6、(1+1x 2)(1+x)6展开式中x 2的系数为( )A .15B .20C .30D .35解析:(1+1x 2)(1+x)6=1·(1+x)6+1x 2·(1+x)6.对(1+x)6的x 2项系数为C 26=6×52=15, 对1x 2·(1+x)6的x 2项系数为C 46=15,∴x 2的系数为15+15=30.故选C .7、某多面体的三视图如图,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形,这些梯形的面积之和为( )A .10B .12C .14D .16 解析:由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面,∴S 梯=(2+4)×2÷2=6,S 全=6×2=12.故选B .8、右面程序框图是为了求出满足3n –2n >1000的最小偶数n ,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A .A>1000和n=n+1B .A>1000和n=n+2C .A≤1000和n=n+1D .A≤1000和n=n+2解析:因为要求A 大于1000时输出,且框图中在“否”时输出,∴“”中不能输入A>1000,排除A 、B .又要求n 为偶数,且n 初始值为0,“”中n 依次加2可保证其为偶,故选D .9、已知曲线C 1:y=cosx ,C 2:y=sin(2x+2π3),则下面结论正确的是( )A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2解析:C 1:y=cosx ,C 2:y=sin(2x+2π3),首先曲线C 1、C 2统一为一三角函数名,可将C 1:y=cosx 用诱导公式处理.y=cosx=cos(x+π2–π2)=sin(x+π2).横坐标变换需将ω=1变成ω=2,即y=sin(x+π2)C 1上各点横坐标缩短为它原来的一半→y=sin(2x+π2)=sin2(x+π4)→y=sin(2x+2π3)=sin2(x+π3).注意ω的系数,在右平移需将ω=2提到括号外面,这时x+π4平移至x+π3,根据“左加右减”原则,“x+π4”到“x+π3”需加上π12,即再向左平移π12.10、已知F 为抛物线C :y 2=4x 的交点,过F 作两条互相垂直l 1,l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D ,E 两点,|AB|+|DE|的最小值为( ) A .16 B .14 C .12 D .10解析:设AB 倾斜角为θ.作AK 1垂直准线,AK 2垂直x 轴,易知⎩⎨⎧|AF|·cos θ+|GF|=|AK 1|(几何关系)|AK 1|=|AF||GP|=P 2–(–P2)=P. ∴|AF|·cosθ+P=|AF|.同理|AF|=P 1–co sθ,|BF|=P 1+cosθ,∴|AB|=2P 1–cos 2θ=2Psin 2θ.又DE 与AB 垂直,即DE 的倾斜角为π2+θ,|DE|=2P sin 2(π2+θ)=2P cos2θ,而y 2=4x ,即P=2. ∴x|AB|+|DE|=2P(1sin 2θ+1cos 2θ)=4sin 2θ+cos 2θsin 2θcos 2θ=4sin 2θcos 2θ=16sin 2θ≥16,当θ=π4取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A .11、设x ,y ,z 为正数,且2x =3y =5z ,则( )A .2x<3y<5zB .5z<2x<3yC .3y<5z<2xD .3y<2x<5z解析:取对数:xln2=yln3=zln5,x y =ln3ln2>32,∴2x>3y .又∵xln2=zln5,则x z =ln5ln2<52.∴2x<5z ,∴3y<2x<5z ,故选D .12、几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件,为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动,这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,在接下来的三项式26,21,22,依次类推,求满足如下条件的最小整数N :N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( ) A .440 B .330 C .220 D .110解析:设首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推.设第n 组的项数为n ,则n 组的项数和为n(1+n)2,由题,N>100,令n(1+n)2>100→n≥14且n ∈N +,即N 出现在第13组之后.第n 组的和为1–2n 1–2=2n–1.n 组总共的和为2(1–2n )1–2–n=2n –2–n .若要使前N 项和为2的整数幂,则N –n(1+n)2项的和2k –1应与–2–n 互为相反数,即2k –1=2+n(k ∈N+,n≥14).∴k=log 2(n+3).∴n=29,k=5.∴N=29×(1+29)2+5=440,故选A .二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.1、已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=1,则|a +2b |=________.解析:|a +2b |2=(a +2b )2=|a |2+2·|a ||2b |·cos60°+(2|b |)2=22+2×2×2×12+22=4+4+4=12,∴|a +2b |=12=23.2z=3x –2y 的最小值为_______.2x +y +1=0由z=3x –2y 得y=32x –z2,求z 的最小值,即求直线y=32x –z2的纵截距的最大值 当直线y=32x –z2过图中点A 时,纵截距最大由⎩⎨⎧2x+y=–1x+2y=1解得A 点坐标为(–1,1),此时z=3×(–1)–2×1=–5.3、已知双曲线C :x 2a 2–y 2b 2=1,(a>0,b>0)的右顶点为A ,以A 为圆心,b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点,若∠MAN=60°,则C 的离心率为_______. 解析:如图,|OA|=a ,|AN|=|AM|=b .∵∠MAN=60°,∴|AP|=32b ,|OP|=|OA|2–|PA|2=a 2–34b 2,∴tanθ=|AP||OP|=32ba 2–34b 2,又∵tanθ=ba ,∴32ba 2–34b 2=ba ,解得a 2=3b 2,∴e=1+b 2a 2=1+13=233.4、如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ,D 、E 、F 为元O 上的点,△DBC ,△ECA ,△FAB 分别是一BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC ,CA ,AB 为折痕折起△DBC ,△ECA ,△FAB ,使得D ,E ,F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3)的最大值为_______.解析:由题,连接OD ,交BC 与点G ,由题,OD ⊥BC ,OG=36BC ,即OG 的长度与BC 的长度或成正比.设OG=x ,则BC=23x ,DG=5–x .∴三棱锥的高h=DG 2–OG 2=25–10x+x 2–x 2=25–10x .又∵S △ABC =23·3x·12=33x 2,∴V=13S △ABC ·h=3x 2·25–10x=3·25x 4–10x 3, 令f(x)=25x 4–10x 3,x ∈(0,52),f'(x)=100x 3–50x 4.令f'(x)>0,即x 4–2x 3<0,x<2.∴f(x)≤f(2)=80,∴V≤3×80=45,∴体积最大值为415cm 3.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17–21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.1、△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为a 23sinA . (1)求sinBsinC ;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC 的周长.解析:本题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等基础知识的综合应用.(1)∵△ABC 面积S=a 23sinA 且S=12bcsinA ,∴a 23sinA =12bcsinA .∴a 2=32bcsinA .∵由正弦定理得sin 2A=32sinBsinCsin 2A ,由sinA≠0得sinBsinC=23.(2)由(1)得sinBsinC=23,cosBcosC=16.∵A+B+C=π,∴cosA=cos(π–B –C)=–cos(B+C)=sinBsinC –cosBcosC=12. 又∵A ∈(0,π),∴A=60°,∴sinA=32,cosA=12.由余弦定理得a 2=b 2+c 2–bc=9 ①由正弦定理得b=a sinA ·sinB ,c=a sinA ·sinC ,∴bc=a 2sin 2A ·sinBsinC=8②由①②得b+c=33.∴a+b+c=3+33,即△ABC 的周长为3+33.2、(12分)如图,在四棱锥P –ABCD 中,AB ∥CD 中,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ;(2)若PA=PD=AB=DC ,∠APD=90°,求二面角A –PB –C 的余弦值.解析:(1)证明:∵∠BAP=∠CDP=90°,∴PA ⊥AB ,PD ⊥CD .又∵AB ∥CD ,∴PD ⊥AB . 又∵PD∩PA=P ,PD 、PA ⊂平面PAD .∴AB ⊥平面PAD ,又AB ⊂平面PAB .∴平面PAB ⊥平面PAD . (2)取AD 中点O ,BC 中点E ,连接PO ,OE ,∵AB ∥CD ∴四边形ABCD 为平行四边形,∴OE ∥AB . 由(1)知,AB ⊥平面PAD ,∴OE ⊥平面PAD ,又PO 、AD ⊂平面PAD .∴OE ⊥PO ,OE ⊥AD .又∵PA=PD ,∴PO ⊥AD .∴PO 、OE 、AD 两两垂直 ∴以O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O –xyz .设PA=2,∴D(–2,0,0)、B(2,2,0)、P(0,0,2)、C(–2,2,0),∴PD =(–2,0,–2)、PB =(2,2,– 2)、BC =(–22,0,0)设n =(x,y,z)为平面PBC 的法向量由⎩⎨⎧n ·PB =0n ·BC =0,得⎩⎪⎨⎪⎧2x+2y –2z=0–22x=0.令y=1,则z=2,x=0,可得平面PBC 的一个法向量n =(0,1,2). ∵∠APD=90°,∴PD ⊥PA . 又知AB ⊥平面PAD ,PD ⊂平面PAD .∴PD ⊥AB ,又PA∩AB=A ,∴PD ⊥平面PAB即PD 是平面PAB 的一个法向量,PD =(–2,0,–2). ∴cos<PD ,n >=PD ·n |PD ||n |=–223=–33.由图知二面角A –PB –C 为钝角,所以它的余弦值为–33.3、(12分)为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程,实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X 的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. ①试说明上述监控生产过程方法的合理性:②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得1619.97i i x x ===∑,0.212s ==≈,其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸,i=1,2, (16)用样本平均数x 为μ的估计值μ,用样本标准差s 作为σ的估计值σ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查,剔除(μ–3σ,μ+3σ)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z 服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ–3σ<Z<μ+3σ).0.997416≈0.9592,0.008≈0.09.解析:(1)由题可知尺寸落在(μ–3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,落在(μ–3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026.P(X=0)=C 016(1–0.9974)0·0.997416≈0.9592,P(X≥1)=1–P(X=0)≈1–0.9592=0.0408, 由题可知X~B(16,0.0026),∴E(X)=16×0.0026=0.0416. (2)①尺寸落在(μ–3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026,由正态分布知尺寸落在(μ–3σ,μ+3σ)之外为小概率事件, 因此上述监控生产过程的方法合理.②(μ–3σ=9.97–3×0.212=9.334,μ+3σ=9.97+3×0.212=10.606,∴(μ–3σ,μ+3σ)=(9.334,10.606)∵9.22∉(9.334,10606),∴需对当天的生产过程检查,因此剔除9.22.剔除数据之后:μ=9.97×16–9.2215=10.02.σ2=[(9.95–10.02)2+(10.12–10.02)2+(9.96–10.02)2+(9.96–10.02)2+(10.01–10.02)2+(9.92–10.02)2+(9.98–10.02)2+(10.04–10.02)2+(10.26–10.02)2+(9.91–10.02)2+(10.13–10.02)2+(10.02–10.02)2+(10.04–10.02)2+(10.05–10.02)2+(9.95–10.02)2]×115,∴σ=0.008≈0.09.4、(12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(–1,32),P 4(1,32)中恰有三点在椭圆C 上.(1)求C 的方程;(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A 、B 两点,若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1,证明:l 过定点.解析:(1)根据椭圆对称性,必过P 3、1,椭圆必不过P 1,所以过P 2、P 3、P 4三点将P 2(0,1)、P 3(–1,32)代入椭圆方程得a 2=4,b 2=1.∴椭圆C 的方程为:x 24+y 2=1.(2)①当斜率不存在时,设l :x=m ,–y A ),k P2A +k P2B =y A –1m +–y A –1m =–2m =–1 得m=2,此时l 过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足. ②当斜率存在时,设l :y=kx+b(b ≠1),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立⎩⎨⎧y=kx+b x 2+4y 2–4=0,整理得(1+4k 2)x 2+8kbx+4b 2–4=0.∴x 1+x 2=–8kb 1+4k 2,x 1x 2=4b 2–41+4k 2.则k P2A +k P2B =y 1–1x 1+y 2–1x 2=x 2(kx 1+b)–x 2+x 1(kx 2+b)–x 1x 1x 2=8kb 2–8k –8kb 2+8kb1+4k 24b 2–41+4k 2=8k(b –1)4(b+1)(b –1)=–1.又b ≠1,∴b=–2k –1,此时△=–64k ,存在k 使得△>0成立.∴直线l 的方程为y=kx –2k –1.当x=2时,y=–1.所以l 过定点(2,–1).5、(12分)已知函数f(x)=ae 2x +(a –2)e x –x . (1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a 的取值范围.解析:(1)由于f(x)=ae 2x +(a –2)e x –x ,故f'(x)=2ae 2x +(a –2)e x –1=(ae x –1)(2e x +1) ①当a≤0时,ae x –1<0,2e x +1>0.从而f'(x)<0恒成立. f(x)在R 上单调递减②当a>0时,令f'(x)=0,从而x 综上,当a≤0时,f(x)在(–lna,+∞)上单调递增 (2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在R 上单调减,故f(x)在R 上至多一个零点,不满足条件.当a>0时,f min =f(–lna)=1–1a +lna .令g(a)= f min =1–1a +lna(a>0),则g(a)在(0,+∞)上单调增,而g(1)=0.故当0<a<1时,g(a)<0.当a=1时g(a)=0.当若a>1,则f min =1–1a +lna=g(a)>0,故f(x)>0恒成立,从而f(x)无零点,不满足条件.若a=1,则f min =1–1a +lna=0,故f(x)=0仅有一个实根x=–lna=0,不满足条件.若0<a<1,则f min =1–1a +lna<0,注意到–lna>0.f(–1)=a e 2+a e +1–2e >0.故f(x)在(–1,–lna)上有一个实根,而又ln(3a –1)>ln 1a =–lna .且f(ln(3a –1))=e 的ln(3a –1)次方·(a·e 的ln(3a –1)次方+a –2)–ln(3a –1)=(3a –1)·(3–a+a –2)–ln(3a –1)=(3a –1)–ln(3a –1)>0.故f(x)在(–lna,ln(3a –1))上有一个实根.又f(x)在(–∞,–lna)上单调减,在(–lna,+∞)单调增,故f(x)在R 上至多两个实根.又f(x)在(–1,–lna)及(–lna,ln(3a –1))上均至少有一个实数根,故f(x)在R 上恰有两个实根. 综上,0<a<1.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.1、[选修4–4:坐标系与参考方程]在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x=3cosθy=sinθ(θ为参数),直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x=a+4ty=1–t (t 为参数).(1)若a=–1,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17,求a .解析:l 的方程为.曲线C 的标准方程是x 29+y 2=1,联立方程⎩⎨⎧x=3y=0或C 与l 交点坐标是(3,0)和(–2125,2425). (2)直线l 一般式方程是x+4y –4–a=0C 上点P (3cosθ,sinθ).则P 到l 距离d=|3cosθ+4sinθ–4–a|17=|5sin(θ+φ)–4–a|17,其中tan φ=34.依题意得:d max =17,解得a=–16或a=8.2、[选修4–5:不等式选讲]已知函数f(x)=–x 2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x –1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求a 的取值范围.解析:(1)当a=1时,f(x)=–x 2+x+4,是开口向下,对称轴x=12的二次函数.g(x)=|x+1|+|x –1|=⎩⎪⎨⎪⎧2x(x>1)2(–1≤x ≤1)–2x(x<–1), 当x ∈(1,+∞)时,令–x 2+x+4=2x ,解得x=17–12.g(x)在(1,+∞)上单调递增,f(x)在(1,+∞)上单调递减.∴此时f(x)≥g(x)解集为(1,17–12].当x ∈[–1,1]时,g(x)=2,f(x)≥f(–1)=2;当x ∈(–∞,–1)时,g(x)单调递减,f(x)单调递增,且g(–1)=f(–1)=2.综上所述,f(x)≥g(x)解集[–1,17–12].(2)依题意得:–x 2+ax+4≥2在[–1,1]恒成立.即x 2–ax –2≤0在[–1,1]恒成立.则只须⎩⎨⎧12–a ·1–2≤0(–1)2–a(–1)–2≤0,解出:–1≤a≤1.故a 取值范围是[–1,1].。

2017年全国卷Ⅰ数学(理)文档版(有答案)

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绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页,23小题,满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =< B .A B =R C .{|1}AB x x =>D .AB =∅2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是A .14B .π8C .12D .π43.设有下面四个命题1p :若复数z 满足1z ∈R ,则z ∈R ;2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ;3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =;4p :若复数z ∈R ,则z ∈R .其中的真命题为 A .13,p pB .14,p pC .23,p pD .24,p p4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为A .1B .2C .4D .85.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A .[2,2]-B .[1,1]-C .[0,4]D .[1,3]6.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A .15B .20C .30D .357.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为A .10B .12C .14D .168.右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ,那么在和两个空白框中,可以分别填入A .A >1 000和n =n +1B .A >1 000和n =n +2C .A ≤1 000和n =n +1D .A ≤1 000和n =n +29.已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =sin (2x +2π3),则下面结论正确的是A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 210.已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为 A .16B .14C .12D .1011.设xyz 为正数,且235x y z ==,则A .2x <3y <5zB .5z <2x <3yC .3y <5z <2xD .3y <2x <5z12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N :N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A .440B .330C .220D .110二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2017年高考全国卷Ⅰ理科数学试题及详细解析(最新整理)

2017年高考全国卷Ⅰ理科数学试题及详细解析(最新整理)

D. A B
【答案】A
【详解】 A x x 1 , B x 3x 1 x x 0
∴ A B x x 0 , A B x x 1 ,
∴选 A
2. 如图,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白 色部分位于正方形的中心成中心对称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的 概率是()
B. 5z 2x 3y
C. 3y 5z 2x
D.
3y 2x 5z
【答案】D 【详解】取对数: x ln 2 y ln 3 ln 5 .
x ln 3 3 y ln 2 2
∴ 2x 3y x ln 2 z ln 5 则 x ln 5 5
z ln 2 2 ∴ 2x 5z ∴ 3y 2x 5z ,故选 D
13答案wwwaidyclubwwwaidyclub2wwwaidyclubwwwaidyclub的系数为151535答案项系数为c615某多面体的三视图如图所示其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成正方形的边长为俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干是梯形这些梯形的面积之和为16答案详解由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面123wwwaidyclubwwwaidyclub1000的最小偶数两个空白框中可以分别填入大于1000时输出且框图中在否时输出1000排除已知曲线c1sin2x上各点的横坐标伸长到原来的个单位长度得到曲线c2c1上各点的横坐标伸长到原来的个单位长度得到曲线倍纵坐标不变再把得到的曲线向左平移上各点的横坐标缩短到原来的个单位长度得到曲线c2纵坐标不变再把得到的曲线向右平移c1上各点的横坐标缩短到原来的个单位长度得到曲线倍纵坐标不变再把得到的曲线向左平移12详解首先曲线c1c2统一为一三角函数名可将c1用诱导公式处理

2017年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)

2017年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ)数学(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)【2017年全国Ⅰ,理1,5分】已知集合{}|1A x x =<,{}31x B x =<,则( )(A ){|0}A B x x =< (B )A B =R (C ){|1}A B x x => (D )A B =∅ 【答案】A【解析】由310x x <⇒<,解得{}0B x x =<,故{}0A B B x x ==<, {}1A B A x x ==<,故选A .(2)【2017年全国Ⅰ,理2,5分】如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内 切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )(A )14 (B )8π (C )12 (D )4π【答案】B【解析】()2121282r S P S r ππ===,故选B .(3)【2017年全国Ⅰ,理,5分】设有下面四个命题:1p :若复数z 满足1z∈R ,则z ∈R ;2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ;3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =;4p :若复数z ∈R ,则z ∈R .其中的真 命题为( )(A )13,p p (B )14,p p (C )23,p p (D )24,p p 【答案】B【解析】1P :不妨设()11a a R z R z a =∈⇒=∈,真命题;2P :不妨设()()()200a R a z a a R z ai R a ⎧±∈≥⎪=∈⇒=⎨-∉<⎪⎩,假命 题;3P :不妨设()()11122212121212211221,0z a b i z a b i z z a a b b a b a b i R a b a b =+=+⇒=-++∈⇒+=,此时明 显不一定满足120b b +=,假命题;1P :不妨设z a R z a R =∈⇒=∈,真命题;故选B .(4)【2017年全国Ⅰ,理4,5分】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为( ) (A )1 (B )2 (C )4 (D )8 【答案】C【解析】()166********a a S a a +==⇒+=,451824a a a a +=+=,作差86824a a d d -==⇒=,故选C .(5)【2017年全国Ⅰ,理5,5分】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是( )(A )[2,2]- (B )[1,1]- (C )[0,4] (D )[1,3] 【答案】D【解析】()()()()12112112113f x f f x f x x -≤-≤⇒≤-≤-⇒-≤-≤⇒≤≤,故选D .(6)【2017年全国Ⅰ,理6,5分】621(1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为( ) (A )15 (B )20 (C )30 (D )35 【答案】C【解析】16r r r T C x +=可得整体的通项6r r C x 、26r r C x -,22621515r rr C x x x =⇒==,故而可得2x 的系数为30,故选C .(7)【2017年全国Ⅰ,理7,5分】某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( ) (A )10(B )12 (C )14 (D )16【答案】B 【解析】将三视图还原可得右图图形,故而多面体有两个面是梯形,此时可得()12242122S =⨯+⨯=,故选B .(8)【2017年全国Ⅰ,理8,5分】右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )(A )A >1 000和n =n +1(B )A >1 000和n =n +2(C )A ≤1 000和n =n +1(D )A ≤1 000和n =n +2 【答案】D【解析】根据判断条件可得为当型结构,故而判断框中应该是1000A ≤,又题目要求为最小偶数,故而循环系数当为2n n =+,故选D .(9)【2017年全国Ⅰ,理9,5分】已知曲线1cos C y x =:,2sin 22π3C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭:,则下面结论正确的是( )(A )把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2(B )把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2(C )把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2(D )把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2【答案】D【解析】先变周期:2cos sin sin 2sin 2sin 2223122y x x y x y x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⇒=+⇒=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭后变相位:22cos sin sin sin sin 222633y x x y x x y x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⇒=++=+⇒=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故选D .(10)【2017年全国Ⅰ,理10,5分】已知F 为抛物线24C y x =:的焦点,过F 作两条互相垂直的直线1l ,2l ,直线l 1与C 交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为( ) (A )16 (B )14 (C )12 (D )10 【答案】A【解析】由题意可得两条直线的斜率一定存在且不为0,分别假设为k 和1k,故而可得()1:1l y k x =-,联立()()2222212404y k x k x k x k y x ⎧=-⇒-++=⎨=⎩,假设()()1122,,,A x y B x y ,,故而根据韦达定理可得212222442k x x k k ++==+,此时12244AB x x p k=++=+,同理可得244DE k =+,故而224848816AB DE k k +=+=≥+=,当且仅当2224411k k k k=⇒=⇒=±时取等号,故选A .(11)【2017年全国Ⅰ,理11,5分】圆设xyz 为正数,且235x y z ==,则( )(A )235x y z << (B )523z x y << (C )352y z x << (D )325y x z << 【答案】D【解析】12212log 2log 2m m x ==,1333log 3m y =,15515log 5log 5m m z ==,分别对分母乘以30可得115230log 2log 2m m =,110330log 3log 3m m =,630log 5m ,故而可得10156101561log 3log 2log 5325325m m m m y x z >⎧⇒>>⇒<<⎨>>⎩,故选D .(12)【2017年全国Ⅰ,理12,5分】几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数100N N >:且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )(A )440 (B )330 (C )220 (D )110 【答案】A【解析】前14行,有105个数,求和为15216-,当110N =时,求和为15515216212172n -+-=-≠;前20行,有210个数,求和为21222-,当220N =时,求和为211021102222122232n -+-=+-≠; 前25行,有225个数,求和为26226-,当330N =时,求和为2652652262122272n -+-=+-≠; 前29行,有435个数,求和为30231-,当440N =时,求和为30530231212-+-=,故选A .二、填空题:本大题共4小题,每小题5分 (13)【2017年全国Ⅰ,理13,5分】已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=1,则|a +2b |= .【答案】23【解析】2124444421122+=++⋅=++⨯⨯⨯=a b a b a b 故而模长为223+=a b . (14)【2017年全国Ⅰ,理14,5分】设x ,y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,则32z x y =-的最小值为 .【答案】5-【解析】如图所示,可行域为阴影部分,令03320:2z x y l y x =-=⇒=为初始直线,当0l 向 上平移时,32z x y =- 逐渐变小,故而在点()1,1F -处取到最小值5-.(15)【2017年全国Ⅰ,理15,5分】已知双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的右顶点为A ,以A 为圆心,b 为半径做圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点。

2017年高考理科数学 全国一卷 真题

2017年高考理科数学 全国一卷 真题

2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国Ⅰ卷)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、 选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}{}131x A x x B x =<=<,,则( ) A .{}0=<A B x x B .A B =R C .{}1=>A B x xD .A B =∅2. 如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A .14B .π8C .12D .π43. 设有下面四个命题( )1p :若复数z 满足1z ∈R ,则z ∈R ;2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12z z ,满足12z z ∈R ,则12z z =; 4p :若复数z ∈R ,则z ∈R .A .13p p ,B .14p p ,C .23p p ,D .24p p ,4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若4562448a a S +==,,则{}n a 的公差为( ) A .1B .2C .4D .85. 函数()f x 在()-∞+∞,单调递减,且为奇函数.若()11f =-,则满足()121f x --≤≤的x 的取值范围是( ) A .[]22-, B .[]11-,C .[]04,D .[]13,6. ()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为( )A .15B .20C .30D .357. 某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形,这些梯形的面积之和为( )A .10B .12C .14D .168. 右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A .1000A >和1n n =+B .1000A >和2n n =+C .1000A ≤和1n n =+ D .1000A ≤和2n n =+ 9. 已知曲线1:cos C y x =,22π:sin 23C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,则下面结论正确的是( ) A .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2CB .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2C C .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2CD .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2C 10. 已知F 为抛物线C :24y x =的交点,过F 作两条互相垂直1l ,2l ,直线1l 与C 交于A 、B 两点,直线2l 与C 交于D ,E 两点,AB DE +的最小值为( )A .16B .14C .12D .1011. 设x ,y ,z 为正数,且235x y z ==,则( )A .235x y z << B .523z x y << C .352y z x << D .325y x z <<12. 几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件,为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动,这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是02,接下来的两项是02,12,在接下来的三项式62,12,22,依次类推,求满足如下条件的最小整数N :100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( ) A .440 B .330 C .220 D .110二、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2017年高考全国1卷理科数学和答案详解(word版本)

2017年高考全国1卷理科数学和答案详解(word版本)

2017年高考全国1卷理科数学和答案详解(word版本)绝密★启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5 页,23 小题,满分150 分。

考试用时120 分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4 •考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合A={x|x<1},B={x|* 1},则A ・AIB {x|x 0} B ・AUB RC • AUB {x|x 1}D • AI B2. 如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是3 •设有下面四个命题B .7 C8P l :若复数z满足-R,则z R ;z 7 7P2 :若复数z满足z2R,则z R ;P3 :若复数“满足%R,则z 2 ;P4 :若复数z R,则z R.其中的真命题为A . P l, P3B . P l, P4C . P2, P3D . P2, P44. 记S为等差数列{a”}的前n项和.若a4 a5 24 , & 48 ,则佝}的公差为A . 1B . 2C . 4D . 85. 函数f”)在(,)单调递减,且为奇函数•若fd) i,则满足1 f(x 2) 1的x的取值范围是A . [ 2,2]B . [ 1,1]C . [0,4]D . [1,3]6 . (1 2)(1 x)6展开式中X2的系数为XA. 15B. 20C. 30D. 357.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2, 俯视图为等腰直角三角形•该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为A . 10B . 12 C. 14 D . 16 8右面程序框图是为了求出满足3n-2n>1000的最小偶数n,那么在和:两个空白框中,可以分别填入A . A>1 000 和n=n+1B . A>1 000 和n=n+2C . A 1 000 和n=n+1D . A 1 000 和n=n+29•已知曲线C1: y=cos x, C2:y=sin (2x+¥),则下面结3论正确的是A •把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移n个单位长度,得到曲线C2B .把C i上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移右个单位长度,得到曲线C2C .把C i上各点的横坐标缩短到原来的+倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移n个单位长度,得到曲线C2D .把C i上各点的横坐标缩短到原来的*倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移上个单位长度,得12到曲线C210.已知F为抛物线C: y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l i,12,直线l i与C交于A、B两点,直线12与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为A. i6B. i4 C . i2 D . i0 ii .设xyz为正数,且2x 3y 5z,贝I」A. 2x<3y<5zB. 5z<2x<3yC. 3y<5z<2xD. 3y<2x<5z12 •几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件•为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了解数学题获取软件激活码"的活动•这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8,1, 2, 4, 8, 16,…,其中第一项是2°,接下来的两项是20, 21,再接下来的三项是20, 21, 22,依此类推.求满足如下条件的学科网&最小整数N: N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A• 440 B• 330 C. 220D. 110二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2017年高考真题(全国Ⅰ卷)数学理科含答解析

2017年高考真题(全国Ⅰ卷)数学理科含答解析

2017年普通高等学校招生统一考试全国I 卷理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =< B .A B =R C .{|1}A B x x =>D .A B =∅【答案】A 【解析】试题分析:由31x <可得033x <,则0x <,即{|0}B x x =<,所以{|1}{|0}A B x x x x =<<{|0}x x =<,{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=< ,故选A.【考点】集合的运算,指数运算性质【名师点睛】集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,常常借助数轴或韦恩图进行处理. 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是A .14 B .π8 C .12D .π4【答案】B 【解析】试题分析:设正方形边长为a ,则圆的半径为2a ,正方形的面积为2a ,圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知,太极图中黑白部分面积相等,即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得,此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=,选B.秒杀解析:由题意可知,此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例,由图可知其概率p 满足1142p <<,故选B. 【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的计算,首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域(长度、面积、体积或时间),其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量,最后计算()P A . 3.设有下面四个命题1p :若复数z 满足1z∈R ,则z ∈R ;2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ;3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =; 4p :若复数z ∈R ,则z ∈R .其中的真命题为 A .13,p pB .14,p pC .23,p pD .24,p p【答案】B【考点】复数的运算与性质【名师点睛】分式形式的复数,分子、分母同乘以分母的共轭复数,化简成i(,)z a b a b =+∈R 的形式进行判断,共轭复数只需实部不变,虚部变为原来的相反数即可.4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为 A .1B .2C .4D .8【答案】C 【解析】【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时,要多多使用等差数列的性质,如{}n a 为等差数列,若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+.5.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A .[2,2]-B .[1,1]-C .[0,4]D .[1,3]【答案】D 【解析】试题分析:因为()f x 为奇函数且在(,)-∞+∞单调递减,要使1()1f x -≤≤成立,则x 满足11x -≤≤,从而由121x -≤-≤得13x ≤≤,即满足1(2)1f x -≤-≤成立的x 的取值范围为[1,3],选D. 【考点】函数的奇偶性、单调性【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题,要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大小问题,若()f x 在R 上为单调递增的奇函数,且12()()0f x f x +>,则120x x +>,反之亦成立. 6.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A .15B .20C .30D .35【答案】C 【解析】试题分析:因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x ++=⋅++⋅+,则6(1)x +展开式中含2x 的项为22261C 15x x ⋅=,621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为442621C 15x x x⋅=,故2x 的系数为151530+=,选C.【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题,用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项,分析含2x 的项共有几项,进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况,尤其是两个二项展开式中的r不同.7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为A.10 B.12 C.14 D.16【答案】B【解析】试题分析:由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成,如下图,则该几何体各面内只有两个相同的梯形,则这些梯形的面积之和为12(24)2122⨯+⨯⨯=,故选B.【考点】简单几何体的三视图【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合,解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图. 8.下面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入A.A>1 000和n=n+1 B.A>1 000和n=n+2C.A≤1 000和n=n+1 D.A≤1 000和n=n+2【答案】D【考点】程序框图【名师点睛】解决此类问题的关键是读懂程序框图,明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本题巧妙地设置了两个空格需要填写,所以需要抓住循环的重点,偶数该如何增量,判断框内如何进行判断可以根据选项排除.9.已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+2π3),则下面结论正确的是A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2 【答案】D 【解析】试题分析:因为12,C C 函数名不同,所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名,则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+,则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =,再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ,故选D.【考点】三角函数图象变换【名师点睛】对于三角函数图象变换问题,首先要将不同名函数转换成同名函数,利用诱导公式,需要重点记住ππsin cos(),cos sin()22αααα=-=+;另外,在进行图象变换时,提倡先平移后伸缩,而先伸缩后平移在考试中也经常出现,无论哪种变换,记住每一个变换总是对变量x 而言.10.已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为 A .16B .14C .12D .10【答案】A【考点】抛物线的简单几何性质【名师点睛】对于抛物线弦长问题,要重点抓住抛物线定义,到定点的距离要想到转化到准线上,另外,直线与抛物线联立,求判别式,利用根与系数的关系是通法,需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示,设直线的倾斜角为α,则22||sin pAB α=,则2222||πcos sin (+)2p pDE αα==,所以222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+ 222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=. 11.设x 、y 、z 为正数,且235x y z==,则A .2x <3y <5zB .5z <2x <3yC .3y <5z <2xD .3y <2x <5z【答案】D【考点】指、对数运算性质【名师点睛】对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,再用这个常数表示出对应的,,x y z ,通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式以及0与1的对数表示.12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N :N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A .440B .330C .220D .110【答案】A 【解析】试题分析:由题意得,数列如下:11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k -则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭,要使(1)1002k k +>,有14k ≥,此时122k k ++<,所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和,设1212221t t k -+=+++=- ,所以2314t k =-≥,则5t ≥,此时52329k =-=, 所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=,故选A. 【考点】等差数列、等比数列【名师点睛】本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起,首先需要读懂题目所表达的具体含义,以及观察所给定数列的特征,进而判断出该数列的通项和求和.另外,本题的难点在于数列里面套数列,第一个数列的和又作为下一个数列的通项,而且最后几项并不能放在一个数列中,需要进行判断. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=1,则| a +2b |= .【答案】23 【解析】试题分析:222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+= a b a a b b ,所以|2|1223+==a b . 秒杀解析:利用如下图形,可以判断出2+a b 的模长是以2为边长,一夹角为60°的菱形的对角线的长度,则为23.【考点】平面向量的运算【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时,常用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度.14.设x ,y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,,,则32z x y =-的最小值为 .【答案】5- 【解析】试题分析:不等式组表示的可行域如图所示,易求得1111(1,1),(,),(,)3333A B C ---,由32z x y =-得322zy x =-在y 轴上的截距越大,z 就越小,所以,当直线32z x y =-过点A 时,z 取得最小值, 所以z 的最小值为3(1)215⨯--⨯=-. 【考点】线性规划【名师点睛】本题是常规的线性规划问题,线性规划问题常出现的形式有:①直线型,转化成斜截式比较截距,要注意z 前面的系数为负时,截距越大,z 值越小;②分式型,其几何意义是已知点与未知点的斜率;③平方型,其几何意义是距离,尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方;④绝对值型,转化后其几何意义是点到直线的距离.15.已知双曲线C :22221x y a b-=(a >0,b >0)的右顶点为A ,以A 为圆心,b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点.若∠MAN =60°,则C 的离心率为 .【答案】233【解析】试题分析:如图所示,作AP MN ⊥,因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点,则MN 为双曲线的渐近线by x a=上的点,且(,0)A a ,||||AM AN b ==, 而AP MN ⊥,所以30PAN ∠= , 点(,0)A a 到直线by x a=的距离22||||1b AP b a =+,在Rt PAN △中,||cos ||PA PAN NA ∠=,代入计算得223a b =,即3a b =, 由222c a b =+得2c b =, 所以22333c b e a b ===.【考点】双曲线的简单几何性质【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质,所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点:①求解渐近线,直接把双曲线后面的1换成0即可;②双曲线的焦点到渐近线的距离是b ;③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc. 16.如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5 cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ,E ,F 为圆O上的点,△DBC ,△ECA ,△F AB 分别是以BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC ,CA ,AB 为折痕折起△DBC ,△ECA ,△F AB ,使得D ,E ,F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3)的最大值为.【答案】415 【解析】试题分析:如下图,连接DO 交BC 于点G ,设D ,E ,F 重合于S 点,正三角形的边长为x (x >0),则1332OG x =⨯36x =.∴356FG SG x ==-, 222233566SO h SG GO x x ⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3553x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭, ∴三棱锥的体积21133553343ABC V S h x x ⎛⎫=⋅=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭△451535123x x =-. 设()45353n x x x =-,x >0,则()3453203n x x x '=-, 令()0n x '=,即43403x x -=,得43x =,易知()n x 在43x =处取得最大值.∴max 15485441512V =⨯⨯-=.【考点】简单几何体的体积【名师点睛】对于三棱锥最值问题,需要用到函数思想进行解决,本题解决的关键是设好未知量,利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决,当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17.(12分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为23sin a A.(1)求sin B sin C ;(2)若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长. 【解析】试题分析:(1)由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=,再利用正弦定理将边化成角,从而得出sin sin B C 的值;(2)由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-,从而求出角A ,根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值,从而求出ABC △的周长为333+.【考点】三角函数及其变换【名师点睛】在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使用面积公式建立等式,再将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角,再有另外一个条件,求面积或周长的值”,这类问题的通法思路是:全部转化为角的关系,建立函数关系式,如sin()y A x b ωϕ=++,从而求出范围,或利用余弦定理以及基本不等式求范围;求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 18.(12分)如图,在四棱锥P−ABCD 中,AB//CD ,且90BAP CDP ∠=∠= .(1)证明:平面P AB ⊥平面P AD ;(2)若P A =PD =AB =DC ,90APD ∠= ,求二面角A −PB −C 的余弦值. 【解析】试题解析:(1)由已知90BAP CDP ∠=∠=︒,得AB ⊥AP ,CD ⊥PD . 由于AB//CD ,故AB ⊥PD ,从而AB ⊥平面P AD . 又AB ⊂平面P AB ,所以平面P AB ⊥平面P AD . (2)在平面PAD 内作PF AD ⊥,垂足为F ,由(1)可知,AB ⊥平面PAD ,故AB PF ⊥,可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点,FA 的方向为x 轴正方向,||AB 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由(1)及已知可得2(,0,0)2A ,2(0,0,)2P ,2(,1,0)2B ,2(,1,0)2C -. 所以22(,1,)22PC =-- ,(2,0,0)CB = ,22(,0,)22PA =- ,(0,1,0)AB = .设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量,则0,0,PC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即220,2220,x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪=⎩可取(0,1,2)=--n .设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量,则0,0,PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m m 即220,220.x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩可取(1,0,1)=m . 则3cos ,||||3⋅==-<>n m n m n m , 所以二面角A PB C --的余弦值为33-. 【考点】面面垂直的证明,二面角平面角的求解【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面:①求异面直线所成的角,关键是转化为两直线的方向向量的夹角;②求直线与平面所成的角,关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角;③求二面角,关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. 19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm ).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ.(1)假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数,求(1)P X ≥及X 的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑,16162221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,1,2,,16i =⋅⋅⋅.用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ,则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=,160.997 40.959 2≈,0.0080.09≈.【解析】试题解析:(1)抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026,故~(16,0.0026)X B .因此16(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-≈.X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=.(2)(i )如果生产状态正常,一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii )由9.97,0.212x s =≈,得μ的估计值为ˆ9.97μ=,σ的估计值为ˆ0.212σ=,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22,剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=,因此μ的估计值为10.02.162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑,剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈, 因此σ的估计值为0.0080.09≈. 【考点】正态分布,随机变量的期望和方差【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念,反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时,首先要分清事件的构成与性质,确定离散型随机变量的所有取值,然后根据概率类型选择公式,计算每个变量取每个值的概率,列出对应的分布列,最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布,之前考过一次,尤其是正态分布的3σ原则. 20.(12分)已知椭圆C :2222=1x y a b +(a >b >0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(–1,32),P 4(1,32)中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程;(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1,证明:l 过定点. 【解析】试题分析:(1)根据3P ,4P 两点关于y 轴对称,由椭圆的对称性可知C 经过3P ,4P 两点.另外由222211134a b a b +>+知,C 不经过点P 1,所以点P 2在C 上.因此234,,P P P 在椭圆上,代入其标准方程,即可求出C 的方程;(2)先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1,k 2,再设直线l 的方程,当l 与x轴垂直时,通过计算,不满足题意,再设l :y kx m =+(1m ≠),将y kx m =+代入2214x y +=,写出判别式,利用根与系数的关系表示出x 1+x 2,x 1x 2,进而表示出12k k +,根据121k k +=-列出等式表示出k 和m 的关系,从而判断出直线恒过定点.试题解析:(1)由于3P ,4P 两点关于y 轴对称,故由题设知C 经过3P ,4P 两点. 又由222211134a b a b +>+知,C 不经过点P 1,所以点P 2在C 上.因此22211,131,4b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y +=.(2)设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1,k 2,如果l 与x 轴垂直,设l :x =t ,由题设知0t ≠,且||2t <,可得A ,B 的坐标分别为(t ,242t -),(t ,242t --).则22124242122t t k k t t---++=-=-,得2t =,不符合题设. 从而可设l :y kx m =+(1m ≠).将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=. 由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2841kmk -+,x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+ 121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-,故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时,0∆>,于是l :12m y x m +=-+,即11(2)2m y x ++=--, 所以l 过定点(2,1-).【考点】椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质,判断点是否在椭圆上,可以通过这一方法进行判断;证明直线过定点的关键是设出直线方程,通过一定关系转化,找出两个参数之间的关系式,从而可以判断过定点情况.另外,在设直线方程之前,若题设中未告知,则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况,其通法是联立方程,求判别式,利用根与系数的关系,再根据题设关系进行化简. 21.(12分)已知函数2()e (2)e x x f x a a x =+--. (1)讨论()f x 的单调性;(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围. 【解析】试题分析:(1)讨论()f x 单调性,首先进行求导,发现式子特点后要及时进行因式分解,再对a 按0a ≤,0a >进行讨论,写出单调区间;(2)根据第(1)问,若0a ≤,()f x 至多有一个零点.若0a >,当ln x a =-时,()f x 取得最小值,求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+,根据1a =,(1,)a ∈+∞,(0,1)a ∈进行讨论,可知当(0,1)a ∈时有2个零点.易知()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点;设正整数0n 满足03ln(1)n a>-,则0000()e (e2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a->-,因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.从而可得a 的取值范围为(0,1).试题解析:(1)()f x 的定义域为(,)-∞+∞,2()2e (2)e 1(e 1)(2e 1)x x x x f x a a a '=+--=-+, (ⅰ)若0a ≤,则()0f x '<,所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. (ⅱ)若0a >,则由()0f x '=得ln x a =-.当(,ln )x a ∈-∞-时,()0f x '<;当(ln ,)x a ∈-+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减,在(ln ,)a -+∞单调递增.(2)(ⅰ)若0a ≤,由(1)知,()f x 至多有一个零点.(ⅱ)若0a >,由(1)知,当ln x a =-时,()f x 取得最小值,最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+. ①当1a =时,由于(ln )0f a -=,故()f x 只有一个零点; ②当(1,)a ∈+∞时,由于11ln 0a a-+>,即(ln )0f a ->,故()f x 没有零点; ③当(0,1)a ∈时,11ln 0a a-+<,即(ln )0f a -<. 又422(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>,故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln(1)n a>-,则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a->-,因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点. 综上,a 的取值范围为(0,1).【考点】含参函数的单调性,利用函数零点求参数取值范围【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数a 的取值范围,第一种方法是分离参数,构造不含参数的函数,研究其单调性、极值、最值,判断y a =与其交点的个数,从而求出a 的取值范围;第二种方法是直接对含参函数进行研究,研究其单调性、极值、最值,注意点是若()f x 有2个零点,且函数先减后增,则只需其最小值小于0,且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.[选修4−4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩(为参数). (1)若a =−1,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17,求a . 【解析】试题分析:(1)先将曲线C 和直线l 的参数方程化成普通方程,然后联立两方程即可求出交点坐标;(2)由直线l 的普通方程为440x y a +--=,设C 上的点为(3cos ,sin )θθ,易求得该点到l 的距离为|3cos 4sin 4|17a d θθ+--=.对a 再进行讨论,即当4a ≥-和4a <-时,求出a 的值.试题解析:(1)曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时,直线l 的普通方程为430x y +-=.由22430,19x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,0x y =⎧⎨=⎩或21,2524.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而C 与l 的交点坐标为(3,0),2124(,)2525-. (2)直线l 的普通方程为440x y a +--=,故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为|3cos 4sin 4|17a d θθ+--=.当4a ≥-时,d 的最大值为917a +.由题设得91717a +=,所以8a =; 当4a <-时,d 的最大值为117a -+.由题设得11717a -+=,所以16a =-. 综上,8a =或16a =-. 【考点】坐标系与参数方程【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参,可以利用加减消元、平方消元、代入法等等;在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时,通常将极坐标方程化为直角坐标方程,参数方程化为普通方程来解决. 23.[选修4−5:不等式选讲](10分)已知函数2–4()x ax f x =++,11()x x g x =++-||||.(1)当a =1时,求不等式()()f x g x ≥的解集;(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1,1],求a 的取值范围. 【解析】试题分析:(1)将1a =代入,不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤,对x 按1x <-,11x -≤≤,1x >讨论,得出不等式的解集;(2)当[1,1]x ∈-时,()2g x =.若()()f xg x ≥的解集包含[1,1]-,等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.则()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一,所以(1)2f -≥且(1)2f ≥,从而得11a -≤≤.试题解析:(1)当1a =时,不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.① 当1x <-时,①式化为2340x x --≤,无解;当11x -≤≤时,①式化为220x x --≤,从而11x -≤≤;当1x >时,①式化为240x x +-≤,从而11712x -+<≤.- 21 - 所以()()f x g x ≥的解集为117{|1}2x x -+-≤≤.【考点】绝对值不等式的解法,恒成立问题【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图象解题.。

2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷1(2021年整理)

2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷1(2021年整理)

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绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页,23小题,满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<,,则A .{|0}AB x x =<B .A B =RC .{|1}A B x x =>D .A B =∅2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图。

2017全考卷1(理科)数学试卷及答案(最新完整版)

2017全考卷1(理科)数学试卷及答案(最新完整版)

2017全考卷1(理科)数学试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1. 设集合A={x|2≤x≤3},B={x|0<x<4},则A∩B等于()A. {x|2<x<3}B. {x|0<x<4}C. {x|2<x<0}D. {x|0≤x≤3}2. 已知函数f(x)=|x1|,则f(3)的值为()A. 2B. 2C. 0D. 13. 在等差数列{an}中,若a1=1,a3=3,则数列的公差d等于()A. 1B. 2C. 3D. 44. 下列函数中,既是奇函数又是减函数的是()A. y=x^3B. y=3x^2C. y=x^2D. y=x^35. 已知复数z满足|z|=1,则z的共轭复数z的模等于()B. 1C. 2D. |z|6. 在三角形ABC中,若a=8, b=10, sinA=3/5,则三角形ABC的面积S等于()A. 12B. 24C. 36D. 487. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c,若f(1)=3, f(1)=5, f(2)=10,则a+b+c的值为()A. 7B. 8C. 9D. 108. 在空间直角坐标系中,点P(1,2,3)到x轴的距离等于()A. 1B. 2C. 3D. √149. 若向量a=(2,3),向量b=(1,2),则2a+3b的模等于()A. 5B. 10D. 2010. 已知函数f(x)=ln(x+1),则f'(x)等于()A. 1/(x+1)B. 1/xC. 1/(x1)D. 1/x+1二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2+n+1,则a1+a3+a5+a7+a9的和为______。

12. 若函数f(x)=x^22x+1在区间[1,3]上的最大值为M,最小值为N,则M+N=______。

13. 在三角形ABC中,若a=5, b=7, C=120°,则sinB的值为______。

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绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页,23小题,满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}AB x x =< B .A B =RC .{|1}A B x x =>D .A B =∅2.如图,正方形ABCD 的图形来自中国古代的太极图.正方形切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是A .14B .π8C .12D .π43.设有下面四个命题1p :若复数z 满足1z∈R ,则z ∈R ;2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =;4p :若复数z ∈R ,则z ∈R .其中的真命题为 A .13,p pB .14,p pC .23,p pD .24,p p4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为A .1B .2C .4D .85.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值围是 A .[2,2]-B .[1,1]-C .[0,4]D .[1,3]6.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A .15B .20C .30D .357.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为A .10B .12C .14D .168.右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n ,那么在和两个空白框中,可以分别填入A .A >1 000和n =n +1B .A >1 000和n =n +2C .A ≤1 000和n =n +1D .A ≤1 000和n =n +29.已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =sin (2x +2π3),则下面结论正确的是 A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C210.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为A.16 B.14 C.12 D.1011.设xyz为正数,且235x y z==,则A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件。

为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推。

求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂。

那么该款软件的激活码是A.440 B.330 C.220 D.110二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则| a +2 b |= .14.设x,y满足约束条件2121x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,则32z x y=-的最小值为 .15.已知双曲线C:22221x ya b-=(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。

若∠MAN=60°,则C的离心率为________。

16.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。

D、E、F为圆O 上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形。

沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥。

当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为_______。

三、解答题:共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:共60分。

17.(12分)△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为23sinaA (1)求sinB sin C;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且90BAP CDP∠=∠=.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,90APD∠=,求二面角A-PB-C的余弦值.19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)Nμσ.(1)假设生产状态正常,记X表示一天抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数,求(1)P X≥及X的数学期望;(2)一天抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ⅱ)下面是检验员在一天抽取的16个零件的尺寸:9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716iix x===∑,161622221111()(16)0.2121616i ii is x x x x===-=-≈∑∑,其中i x为抽取的第i个零件的尺寸,1,2,,16i=⋅⋅⋅.用样本平均数x作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s作为σ的估计值ˆσ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布2(,)Nμσ,则(33)0.997 4P Zμσμσ-<<+=,160.997 40.959 2=0.0080.09≈.20.(12分)已知椭圆C:2222=1x ya b+(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,32),P4(1,32)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点。

若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点. 21.(12分)已知函数)f x =(a e 2x +(a ﹣2) e x﹣x . (1)讨论()f x 的单调性;(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值围.(二)选考题:共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做,则按所做的第一题计分。

22.[选修4―4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩(为参数). (1)若a =−1,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l a . 23.[选修4—5:不等式选讲](10分)已知函数f (x )=–x 2+ax +4,g (x )=│x +1│+│x –1│. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集;(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[–1,1],求a 的取值围.2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. A 2.B 3.B 4.C5.D6.C7.B8.D9.D10.A 11.D 12.A二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.14.-515163三、解答题:共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:共60分。

17.(12分)△ABC 的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin B sin C ;(2)若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长. 解:(1)由题意可得21sin 23sin ABCa S bc A A∆==, 化简可得2223sin a bc A =,根据正弦定理化简可得:2222sin 3sin sinCsin sin sinC 3A B A B =⇒=。

(2)由()2sin sinC 123cos cos sin sinC cos cos 123cos cos 6B A A B B B C A B C π⎧=⎪⎪⇒=-+=-=⇒=⎨⎪=⎪⎩, 因此可得3B C π=-,将之代入2sin sinC 3B =中可得:21sin sin cos sin 0322C C C C C π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭,化简可得tan ,366C C B ππ=⇒==,利用正弦定理可得1sin3sin232ab BA==⨯=,同理可得3c=,故而三角形的周长为323+。

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