人教中考数学综合题专题复习【二次函数】专题解析及答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；

（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=5

2

时，四边形AOPE面积最大，最大值为

75

8

.（3）P

点的坐标为：P13+515

2

-

），P2（

35

2

，

1+5

2

），P3（

5

2

，

1+5

2

），

P455

-15

-

.

【解析】

分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；

（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；

（3）存在四种情况：

如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．

详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，

由对称性得：D（3，0），

设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，

a=1，

∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；

（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），

∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，

∴∠AOE=45°，

∴△AOE是等腰直角三角形，

∴AE=OA=3，

∴E（3，3），

易得OE的解析式为：y=x，

过P作PG∥y轴，交OE于点G，

∴G（m，m），

∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，

∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，

=1

2

×3×3+

1

2

PG•AE，

=9

2

+

1

2

×3×（-m2+5m-3），

=-3

2

m2+

15

2

m，

=32（m-52）2+758， ∵-

32＜0， ∴当m=52

时，S 有最大值是758； （3）如图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，

∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP=PF ，

易得△OMP ≌△PNF ，

∴OM=PN ，

∵P （m ，m 2-4m+3），

则-m 2+4m-3=2-m ，

解得：m=5+5或55-， ∴P 的坐标为（

5+5，1+5）或（55-，15-）； 如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，

同理得△ONP ≌△PMF ，

∴PN=FM ，

则-m 2+4m-3=m-2，

解得：x=3+5或352； P 的坐标为（3+5，152-）或（352，1+52

）； 综上所述，点P 的坐标是：（

5+52，1+52）或（552-，152-）或（3+5，15-）或（352，1+5）． 点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．

2．某厂家生产一种新型电子产品，制造时每件的成本为40元，通过试销发现，销售量(y 万件)与销售单价(x 元)之间符合一次函数关系，其图象如图所示．

()1求y 与x 的函数关系式；

()2物价部门规定：这种电子产品销售单价不得超过每件80元，那么，当销售单价x 定为每件多少元时，厂家每月获得的利润()w 最大？最大利润是多少？

【答案】（1）2280y x =-+；（2）当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元．

【解析】

【分析】

()1根据函数图象经过点()40,200和点()60,160，利用待定系数法即可求出y 与x 的函数关系式；

()2先根据利润=销售数量(⨯销售单价-成本)，由试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，结合电子产品的成本价即可得出x 的取值范围，根据二次函数的增减性可得最值．

【详解】

解：()1设y 与x 的函数关系式为()0y kx b k =+≠，

函数图象经过点()40,200和点()60,160，

{4020060160k b k b +=∴+=，解得：{2

280k b =-=， y ∴与x 的函数关系式为2280y x =-+．

()2由题意得：()()224022802360112002(90)5000w x x x x x =--+=-+-=--+． 试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，且电子产品的成本为每千克40元，

∴自变量x 的取值范围是4080x ≤≤．

20-<，

∴当90x <时，w 随x 的增大而增大，

80x ∴=时，w 有最大值，

当80x =时，4800w =，

答：当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元．

【点睛】

本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键，并注意最值的求法．

3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；

（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；

②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2y x 2x 3=--+.

（2）3210.