复变函数与积分试题

2
x

2
, y 0 映射为单位
f (0) 1 ，证明：

1 dz [2 ( z )] f ( z ) (2 f (0))2 i . | z| 1 z z
九、 （8 分）用 Laplace 变换求解常微分方程：
y 3 y 3 y y 1, y (0) y (0) 1, y (0) 2.
ez sin z dz 的值为________， dz ________. 5．积分 | z| 1 z | z| 2 2 (z ) 2
6．函数 f ( z )
1 z 3 e 在 z 0 处 Taylor 展开式的收敛半径是________. z i
1
7．设 F [ f1 (t )] F1 ( ), F [ f 2 (t )] F2 ( ) , 则
10 3 2 （4） 求 z 5z 2 z 1 0 在 z 1 内根的个数。
二（10 分）求把右半圆盘 z 1, Re z 0 映为单位圆盘的保角映射。 三（ 10 分）设 f ( z ) 在整个复平面上亚纯，只有有限多个极点，且存在正整数 n 及实数
R, M 0, 使得当 z R 时，有 f ( z ) M | z |n , 证明 f ( z ) 是一有理函数。

其中 C 是从原点 0 到 1 i 的直线段
2.
ez z dz z 2
3.
1 cos z dz ( z 1)sin z z 2

2
4.

sin x dx 2 2 2 x x

5.
| z| 2

z cos zdz
四． （14 分） 1. 把 数。
1 分别在圆环 0<| z |<1 与 1<| z |<2 z ( z 1)( z 2)
复变函数与积分变换
一、计算与简答题（24 分） 1. 计算 (1 i ) i 2. 计算
0809 秋
1 在所有奇点处的留数。 z sin z
C
3. C 是单连通区域中的一条简单闭曲线，
2 2
f ( z)dz 0 ，问 f ( z) 在 C 内部是否一定解析？
4. 已知 u x xy ky ，k 取何值时，u 是调和函数？ 二、计算积分（28 分） 1.
ln( z 1) dz ，其中 C 是连接 1 到 i 的直线段。 z 1 C

2. 3.
sin z dz 4 | z| 2 ( z 1)

| z| 1
tan zdz

4.

0
cos x dx ( x 1)( x 2 2)
2
三 级数展开（14 分） 1. 求 ln(2 3z z ) 的麦克劳林级数展开式。
1 在圆环 0<| z |<+ 内展开为 z 的罗朗级数； z2
3
2. 求函数 tan z 的麦克劳林级数(计算到 z 的系数)，并指出其收敛范围。
四、(16 分 )(1) 求将区域 z | 0 arg z / 3

映为
W 平面上的单位圆内部的保角映射
W W ( z ) ，且 W (1 i) =0, W (1 i) 0 。
2
。
五（15 分）证明： （1） 设 f ( z ) 在包含圆盘 z R 的区域上单叶解析。圆盘 z R 在 f 下的像的面积是
S
S R 2 f (0) 。
2
z R

f ( z ) dxdy;
2
（2）
六（15 分）证明： （1）设 f ( z ) 是把圆盘 z 1 映为圆盘 w 1 ，且把 映为 0 的保形双射。 则 f 一定有以下形式：
四（30 分） （ 1）证明 4 z 在 C \ [2, 2] 上存在单值解析分支；求在（－2，2）上沿为正
2
值的分支在下沿的值； （2）求 (4 z )
2 1 2
在（－2， 2）上沿为正值的分支在 z＝ 3 附近的 Taylor 展开式；
2
（3）计算积分：

dx ( x 3) 2 4 x 2
1 3 i 1 3 i
)10 的实部是______，虚部是________，辐角主值是______.
2．满足 | z 2 | | z 2 | 5 的点集所形成的平面图形为_______________，该图形 是否为区域___. （区域是开集） 3． f ( z ) 在 z 0 处可展成 Taylor 级数与 f ( z ) 在 z 0 处解析是否等价？是____. 4． (1 i)1i 的值为________________________________________________ ； 主值为____________________________________________________.
2
2. 求 f ( z )
z 2 2z 5 在 2 z 的罗朗级数。 ( z 2)( z 2 1)
四、保角映射（16 分） 1. 求区域 z : 0 arg z


, | z | 1 到上半平面的保角映射。 2
2. 求分式线性映射，把 z 1 映射到上半平面，且 f (0) i, arg f (0) 五、Laplace 变换（12 分） 1.求函数 f (t ) sin t 的 Laplace 变换。
e s 1 ，求 Laplace 逆变换 L [ F ( s)] , 2 s( s 1)
《复变函数与积分变换》06–07 春 重修试卷
一、 （21 分,每题 7 分） （1）求
Ln( 3 i) 的实部与虚部;
(2)求解方程 chz 2 ;
(3)求所有具有形式 u f ( x 2 y 2 ) 的调和函数。
F [ f1 (t ) f 2 (t )] ________________ ，其中 f1 (t ) f 2 (t ) 定义为
________________ . 8．函数 f ( z )
sin z 的有限孤立奇点 z 0 ___， z 0 是何种类型的奇点？________. z
3．
x2 dx (a 0) ( x 2 a 2 ) 2

4．

2 0
1 dx 1 sin 2 x
六、 （6 分）求上半单位圆域 {z : | z | 1, Im z 0} 在映射 w z 2 下 的象. 七、 （8 分）求一映射，将半带形域 圆域. 八、 （ 6 分）设 f ( z ) 在 | z | 1 内解析，在闭圆 | z | 1 上连续，且
2 3z 在有限孤立奇点处展开为 2 z 3z 1
2
Laurent 级数. 五、计算下列各题（每小题 6 分，共 24 分） 1． f ( z )

3 2 7 1 d ，求 f (1 i). 3 z
1 z
2．求出 f ( z ) e
z
在所有孤立奇点处的留数
内展开为 z 的罗朗级
2. 求函数 cos( z 1) 的麦克劳林级数，并指出其收敛范围。
2
五． （16 分）设区域 D z;


arg z 0 2
1) 求将 D 单值保角地映射为 W 平面上区域 D w; w 1 的映射 2) 求将 D 单值保角地映射为 W 平面上区域 D w; 0 Re w 1 的映射 六． （14 分）求下列函数的拉普拉斯变换: 1) f (t ) u(t 2)sin t ,求 Laplace 变换 L[ f (t )] 2) 设 F ( s)
二、 1）
计算积分（每题 7 分，共 28 分）
cos z dz ，积分曲线正向 z3 z 1

（2）
z r

z2 dz ，其中 r 1 , 曲线正向 z ( z 1)
（3）

sin x dx － 2－2 x x 2

（4）
z 2 z z 1

ez
2
dz
曲线正向
三、（15 分） 1. 把 sin
五、（15 分）设函数 f ( z ) 在区域 D 内解析，C 为 D 内以 , 为端点的直线段，证明：存 在复数 ,
1 ，与 C ，使得
f ( ) f ( ) ( ) f ( ).
六、（15 分）设实值函数 u ( x, y) 是在 0 z 1 内的有界调和函数，证明适当定义 u (0, 0) 后， u ( x, y) 是在 z 1 内的调和函数。 七、求一共形映射，将 z 4 与 z 3 1 所围成的区域映射成单位圆盘。 （ 10 分）
e s 1 ，求 Laplace 逆变换 L [ F ( s)] 。 2 s ( s 1)
六、（6 分）证明： lim e
R c
1 3
；
3. I

2
0
d1 z ) 在 z 0 的 Taylor 展开式（ f (0) 1 ） 。 （10 分） 四、如果在 z 1 内 f ( z ) 解析，并且 f ( z )
1 (n) ，证明： f (0) e(n 1)!。 （10 分） 1 z
w f ( z ) ei
其中 [0, 2 ), 1 。
z ， 1 z
（3） 设 f ( z ) 是把圆盘 z 1 映为圆盘 w 1 ， 且把 映为 的保形双射， 求 f 的表达式。
复变函数与积分变换试题 2004 春夏
一、填空（每题 3 分，共 24 分） 1． (