数学建模因子分析法
数学建模各种分析方法
现代统计学1.因子分析(Faｃｔor Ａｎalysis)因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子(之所以称其为因子,是因为它是不可观测的，即不是具体的变量），以较少的几个因子反映原资料的大部分信息.运用这种研究技术，我们可以方便地找出影响消费者购买、消费以及满意度的主要因素是哪些，以及它们的影响力（权重）运用这种研究技术，我们还可以为市场细分做前期分析。
2．主成分分析主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前,用主成分分析来分析数据,让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的.主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。
(screeninｇ the daｔa)，b，和ｃｌuｓteｒ aｎaｌysｉs一起使用，c，和判别分析一起使用，比如当变量很多，个案数不多，直接使用判别分析可能无解,这时候可以使用主成份发对变量简化。
（ｒeduce dimensiｏｎality)d,在多元回归中,主成分分析可以帮助判断是否存在共线性(条件指数),还可以用来处理共线性。
主成分分析和因子分析的区别1、因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分析中则是把主成分表示成个变量的线性组合。
2、主成分分析的重点在于解释个变量的总方差，而因子分析则把重点放在解释各变量之间的协方差。
３、主成分分析中不需要有假设(ａｓｓｕｍptions）,因子分析则需要一些假设。
因子分析的假设包括：各个共同因子之间不相关，特殊因子（speｃific fａct ｏr）之间也不相关，共同因子和特殊因子之间也不相关.４、主成分分析中，当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值是唯一的时候，的主成分一般是独特的；而因子分析中因子不是独特的,可以旋转得到不同的因子。
５、在因子分析中,因子个数需要分析者指定（spss根据一定的条件自动设定,只要是特征值大于1的因子进入分析),而指定的因子数量不同而结果不同。
因子分析数学模型
因子分析数学模型1、因子分析看基本思想因子分析是一种旨在寻找隐藏在多变量数据中，无法直接观察到却影响或支配可观测变量的潜在因子，并估计潜在因子对可观测变量的影响程度，以及潜在因子之间的相关性的一种多元统计分析方法。
其基本思想是从分析多变量数据的相关关系入手，找到支配这种相关关系的少数几个相关独立的潜在因子，并通过建立起这些潜在因子与原变量之间的数量关系来预测潜在因子的状态，帮助发现隐藏在原变量之间的某种客观规律性。
因子分析和主成分分析都能起到清理多个原始变量内在结构关系的作用，但主成分分子重在综合原始变量信息，而因子分析重在解释原始变量间的关系，是比主成分分析更深入的一种多元统计方法。
因子分析法就是这些潜在因子的数学模型方法，它是在主成分的基础上构筑若干个意义较为明确的潜在因子，以它们为框架分析原变量，以考察原变量间的联系与区别。
2、因子分析的基本原理3、因子分析的数学模型假设对n例样品观测了p个指标，即，，…，，得到观测数据。
我们的任务就是从一组观测数据出发，通过分析各指标，，…，之间的相关性，找出支配作用的潜在因子，使得这些因子可以解释各个指标之间的相关性。
因子分析模型描述如下：（1）X=（，，…，）是可观测随机变量，均值向量E(X)=0，协方差Cov（X）与相关矩阵R相等，（只要将变量标准化即可实现）。
（2）F=(，，…，)（m<=p）是不可测的向量，其均值E(F)=0，协方差矩阵Cov（F）=1，即向量的各分量是独立的。
（3）e=（，，…，）与F相互独立，且E(e)=0，e的协方差矩阵是对角矩阵，即各分量e之间是相互独立的。
则因子分析的数学模型如下：由于该模型是针对变量进行的，各因子是正交的，所以也称为R型正交因子模型。
其矩阵形式为：X=AF+e。
其中：X= A= F= ，e=对于因子分析，要求数据和模型满足以下假设条件：●是均值为0、方差为1的随机变量；●是均值为0 ，方差为常数的正太随机变量。
因子分析数学模型
因子分析数学模型因子分析是一种统计方法，用于研究多个变量间的关系，并将其通过线性组合的方式转化为少数几个影响变量的因子。
因子分析模型是一种数学模型，旨在解释变量之间的相关性，找出潜在的因子影响变量的变异程度。
因子分析的数学模型可以分为两个阶段。
第一阶段是提取因子，通过主成分分析的方法从原始变量中提取出少数几个因子。
主成分分析的核心是将原始变量进行线性组合，使得新的变量能够解释尽可能多的原始变量的变异。
主成分分析将提取的因子按照解释的变异程度排序，选择解释性较好的因子作为主成分。
第二阶段是因子旋转，通过变换因子的坐标轴方向，使得因子能够具有较好的解释性和可解释性。
因子旋转可以使用正交旋转或斜交旋转的方法进行。
正交旋转将因子的坐标轴变换为正交的坐标轴，使得因子之间没有相关性；斜交旋转将因子的坐标轴变换为斜交的坐标轴，使得因子之间可以存在相关性。
根据具体问题的需求，选择适当的旋转方法。
因子分析的数学模型可以表示为：Y=λ1F1+λ2F2+…+λnFn+e其中，Y是观测变量的向量，包括m个变量；F是因子的向量，包括n个因子；λ是因子载荷的矩阵，表示观测变量对因子的影响程度；e是误差项。
因子载荷矩阵λ可以用来衡量观测变量与因子之间的关系，越大表示对应观测变量越受该因子的影响。
因子分析的数学模型还可以进一步扩展为混合因子分析模型。
混合因子分析模型考虑了因子间的相关性和观测变量间的相关性，通过引入协方差矩阵和错误项协方差矩阵，对因子和观测变量的相关性进行建模。
混合因子分析模型可以更准确地描述变量之间的关系，并提供更可靠的因子载荷和因子得分。
总之，因子分析是一种通过线性组合的方式转化变量间关系的统计方法，其数学模型可以用来解释变量之间的相关性，并提取出影响变量的少数几个因子。
因子分析的数学模型在社会科学、市场调研等领域具有广泛的应用价值。
数学建模因子分析
就本例而言，两个主成分就足以说明各地区的经济发展 状况了
根据什么选择主成分？ (Scree Plot)
SPSS还提供了一个更 为直观的图形工具来帮 助选择主成分，即碎石 图(Scree Plot)
从碎石图可以看到6个 主轴长度变化的趋势
主成分分析的基本思想
(以两个变量为例)
椭圆中有一个长轴和一个短轴，称为主轴。在长轴方向，数据 的变化明显较大，而短轴方向变化则较小
如果沿着长轴方向设定一个新的坐标系，则新产生的两个变量 和原始变量间存在一定的数学换算关系，同时这两个新变量之 间彼此不相关，而且长轴变量携带了大部分的数据变化信息，
根据什么选择主成分？
根据主成分贡献率
一般来说，主成分的累计方差贡献率达到80%以上的前 几个主成分，都可以选作最后的主成分
比如表3中前两个主成分的累计方差贡献率为95.57%
根据特特征根的大小
一般情况下，当特征根小于1时，就不再选作主成分了， 因为该主成分的解释力度还不如直接用原始变量解的释 力度大
因子分析的数学模型
因变量和因子个数的不一致，使得不仅在数学 模型上，而且在实际求解过程中，因子分析和 主成分分析都有着一定的区别，计算上因子分 析更为复杂
因子分析可能存在的一个优点是：在对主成分 和原始变量之间的关系进行描述时，如果主成 分的直观意义比较模糊不易解释，主成分分析 没有更好的改进方法；因子分析则额外提供了 “因子旋转(factor rotation)”这样一个步骤，可 以使分析结果尽可能达到易于解释且更为合理 的目的
短轴变量只携带了一小 部分变化的信息(变异) 此时，只需要用长轴方 向的变量就可以代表原 来两个变量的信息。这 样也就把原来的两个变 量降维成了一个变量。 长短轴相差越大，降维 也就越合理
因子分析在数据建模中的应用
因子分析在数据建模中的应用因子分析在数据建模中的应用因子分析是一种常用的数据分析方法，它可以用来揭示隐藏在数据背后的结构信息。
在数据建模中，因子分析可以帮助我们降低数据维度，识别关键因素，从而更好地理解数据和进行预测。
一、因子分析的基本原理因子分析假设观测数据是由若干个潜在因子和随机误差共同决定的。
潜在因子代表了数据背后的隐藏结构，它们无法直接观测到，但可以通过观测指标间的相关性来推断。
随机误差则表示了不能由潜在因子解释的部分。
二、因子分析的步骤1. 确定因子分析的目标：我们需要明确想要从数据中获取什么信息，例如识别关键因素、降低数据维度等。
2. 收集数据：收集与目标相关的数据，并进行必要的数据清洗和预处理。
3. 选择合适的因子分析模型：根据数据的性质和目标选择适合的因子分析模型，常用的有主成分分析、最大似然估计等。
4. 进行因子提取：通过因子分析模型，提取潜在因子。
5. 进行因子旋转：为了更好地解释潜在因子，我们通常对提取出的因子进行旋转，使得每个因子与尽可能少的观测指标相关。
6. 进行因子得分计算：对每个个体，计算其在每个因子上的得分，得到新的因子得分矩阵。
7. 进行因子解释和结果验证：解释每个因子所代表的意义，并通过各种统计指标验证因子分析的效果。
三、因子分析的应用1. 降维：因子分析可以帮助我们从大量观测指标中提取出少数几个关键因素，从而降低数据的维度，便于后续分析和可视化。
2. 变量筛选：通过因子分析，可以识别出与目标变量高度相关的观测指标，帮助我们筛选出最具影响力的变量。
3. 建立预测模型：因子分析可以帮助我们识别关键因素，并建立预测模型，从而进行数据预测和决策支持。
4. 数据可视化：通过因子分析，可以将高维度的数据映射到低维度的坐标系中，帮助我们更好地理解数据的结构和关系。
四、因子分析的局限性1. 数据假设：因子分析假设数据符合多元正态分布，如果数据不符合这一假设，可能会导致结果不准确。
数学模型中的因子分析法
数学模型中的因子分析法因子分析是一种常用的数学模型，用于解释多个变量之间的关系和发现潜在的因素。
它是一种降维技术，旨在将众多变量转化为较少数量的无关因子。
因子分析在统计学、心理学和市场研究等领域广泛应用，可用于数据降维、消除多重共线性、提取潜在特征、构建模型等等。
在因子分析中，有两种主要类型：探索性因子分析（Exploratory Factor Analysis，EFA）和验证性因子分析（Confirmatory Factor Analysis，CFA）。
探索性因子分析用于发现数据中的潜在因素，而验证性因子分析则用于验证已经提出的因素模型是否符合实际数据。
探索性因子分析的步骤如下：1.提出假设：确定为什么要进行因子分析以及预期结果，用于指导后续的数据分析。
2.数据准备：收集和整理要进行因子分析的数据，确保数据的可用性和准确性。
3.因子提取：通过主成分分析或最大似然法等方法，提取出能够解释数据变异最大的因子。
4.因子旋转：因子旋转是为了使提取出的因子更易于解释和理解。
常用的旋转方法有正交旋转和斜交旋转等。
5.因子解释和命名：对于每个提取出的因子，需要根据变量的载荷矩阵和旋转后的载荷矩阵进行解释和命名。
载荷矩阵表示每个因子与每个变量之间的关系。
6.结果评估：对于提取出的因子，需要进行信度和效度的评估。
信度评估包括内部一致性和稳定性等指标；效度评估包括构造效度和相关效度等指标。
验证性因子分析通常用于验证已经提出的因子模型是否符合实际数据。
其步骤包括：1.提出假设：确定已存在的因子模型，并对其进行理论和实际的验证。
2.选择分析方法：确定适合验证性因子分析的模型拟合方法，如最大似然法或广义最小二乘法等。
3.构建模型：将因子模型转化为测量模型，并建立测量方程。
4.模型拟合：对构建的测量模型进行拟合，评估模型的拟合度，如χ²检验、准则拟合指数（CFI）等。
5.修正模型：根据拟合域冒去改进模型的拟合，如剔除不显著的路径、修正测量方程等。
因子分析法
因子分析法
因子分析法是一种人工智能技术，在机器学习、数据挖掘和建模技术中，它是一种重要的方法，用来捕捉变量之间的复杂相关性。
该方法在数据解析和特征提取方面发挥了重要作用，能够简洁地描述一组多变量的影响原因。
因子分析法包括三个步骤：第一步是信息准备，信息准备采用的是排列矩阵，将原始数据转换为矩阵进行统计分析；第二步是因子载荷矩阵，找出与观察量有关的因子；第三步是因子判别，由此可以总结出各因子的意义。
因子分析法不仅能够有效分解出变量之间的关系，而且能够减少变量数量，以实现资源最优化和目标函数最大化。
此外，因子分析法也能够迅速地挖掘该变量之间的内在关系，使得我们使用最少的变量实现最终的目的。
总的来说，因子分析法在数据整理以及多变量分析上都是非常有用的，可以有效节省时间，把一组复杂的数据和相关的变量转换成一组清晰的因子，使得研究者可以快速有效地针对该组数据进行分析，获得结论和解决方案。
因子分析的基本思想基本步骤数学模型及求解
因子分析的基本思想基本步骤数学模型及求解因子分析是一种多变量数据分析方法，旨在揭示多个变量之间的潜在结构和关系。
它的基本思想是将原始变量通过线性组合，得到一组潜在因子，从而可以简化数据分析过程。
基本思想：因子分析的基本思想是将原始变量（观测变量）表示为一组潜在因子（无法直接观测到）与测量误差的线性组合。
潜在因子代表了观测变量之间的关联性，而测量误差则表示潜在因子无法完全解释观测变量的方差。
通过因子分析，可以从大量原始变量中提取出少数几个潜在因子，从而实现数据降维和简化。
基本步骤：1.确定研究目的：明确研究目的，选择适当的分析方法。
2.数据准备：收集所需的原始数据，并进行适当的数据清洗和预处理。
3.因素提取：通过因子提取方法，从原始变量中提取出一组潜在因子。
a.主成分分析法：通过寻找能够解释最大方差的线性组合，提取因子。
b.最大似然估计法：通过最大化观测变量与预测变量之间的协方差，提取因子。
c.成分分析法：通过最大化观测变量的个别因子得分和因子负荷矩阵之间的协方差，提取因子。
4.因子旋转：为了更好地解释潜在因子，需要对其进行旋转，使得每个潜在因子更易于解释。
a.方差最大旋转法：使得每个潜在因子的方差最大。
b.斜交旋转法：允许潜在因子之间存在相关关系。
5.因子解释和命名：通过解释因子负荷矩阵，确定每个潜在因子代表的意义，并给予其合适的名称。
6.结果解释和应用：将因子分析的结果解释给研究者或决策者，并根据具体应用制定相应的决策或行动。
数学模型及求解：其中，X是原始观测变量的矩阵，L是因子负荷矩阵，F是潜在因子的矩阵，Ψ是测量误差的矩阵。
因子负荷矩阵表示观测变量与潜在因子之间的关系，测量误差表示潜在因子无法完全解释观测变量的方差。
对于因子分析模型的求解，常用的方法有主成分分析法和最大似然估计法。
主成分分析法通过寻找数据的主成分（即能够解释最大方差的线性组合），从而提取出因子。
最大似然估计法则通过最大化观测变量与预测变量之间的协方差，求解出最符合观测数据的因子。
数学模型中的因子分析法
'
'
1
2
p
A a ij
称为因子载荷阵
pm
X AF
• 因子分析步骤： • 前四步骤不主成分步骤相同，在此略。 5.求初始因子载荷阵A。 6.若公因子的含义丌清楚，丌便于实际解释时，将 初始因子阵作旋转处理，直到达到要求。 7.根据因子载荷大小说明因子具体含义。 • 将因子表示成原指标变量线性组合，估计因子得 分。 • 用每个因子的贡献率作权数，给出多指标综合评 价值。
6
3
0 . 959439 X
5
0 . 0 . 055029 X
• • • • • • • • • • • • • • • • •
Obs
Prin1 Prin2 1 -0.38118 2 0.57795 3 0.69219 4 0.22635 5 -0.82981 6 -1.19410 7 -1.63568 8 0.95195 9 0.46501 10 -1.45693 11 -0.29401 12 0.08041 13 -2.11628 14 -0.94513 15 6.74015 16 -0.88090
• 主成分分析法：就是设法将原来的具有一定相关 性的变量戒者指标，重新组成一组新的相互无关 的少数几个综合变量戒指标，以此代替原来的变 量戒指标。简单的说就是降维。 • 应用：综合评价（系统评估）
例：对我国上市公司的经济效益进行综合评判。
上市公司 qinghua beida 资金利税率 x1 产值利税率 x2 百元销售成 本利润x3 百元销售收 入利税x4 流动资金周 转次数x5 主营利润增 长率x6
5.41 7.21
因子分析数学模型
因子分析数学模型因子分析是一种常用的多元统计分析方法，主要用于分析多个观测变量之间的相关关系。
它通过寻找潜在因子，将多个观测变量转化为较少的几个因子，从而减少变量间的复杂性，进而更好地解释观测数据。
因子分析的数学模型可以表示为：X=ΛF+Ψ其中，X是一个n×p的数据矩阵，表示n个观测对象对p个观测变量的测量结果。
Λ是一个n×m的因子载荷矩阵，表示每个观测变量与每个因子之间的线性关系。
F是一个m×p的因子矩阵，表示每个观测对象在每个因子上的得分。
Ψ是一个n×p的特殊因子载荷矩阵，表示每个观测变量与测量误差的关系。
在因子分析模型中，通过最小化测量误差来确定因子载荷矩阵Λ和特殊因子载荷矩阵Ψ。
最小化误差的方式通常使用最小二乘法，目标函数可以表达为：min(Ψ, Λ) = ∑[x_i - (λ_i1f_1i + λ_i2f_2i + ... +λ_imf_m_i)]^2其中，x_i是观测对象i的观测数据，λ_ij是观测变量j与因子i 的载荷系数，f_ij是观测对象i在因子j上的得分。
通过最小化目标函数，可以得到最优的因子载荷矩阵Λ和特殊因子载荷矩阵Ψ，从而揭示出观测变量之间的潜在因子结构。
在因子分析模型中，还存在一些特殊的情况，包括主成分分析和确认性因子分析。
主成分分析是因子分析的一种特殊情况，它假设所有的观测变量都与因子完全相关，即Ψ为零矩阵。
主成分分析通过计算特征值和特征向量来确定因子载荷矩阵Λ，并选择前几个最大的特征值对应的特征向量作为因子。
确认性因子分析则是在因子分析的基础上进行参数约束，通过设定因子载荷矩阵和特殊因子载荷矩阵的一些限制来验证和验证潜在因子结构的模型。
因子分析是一种灵活性较高的统计方法，可以应用于很多领域，如心理学、教育学、市场营销和金融等。
通过因子分析，我们可以更好地理解和解释观测数据之间的关系，并提取出具有实际意义的因子。
因子分析数学模型
因子分析数学模型因子分析是一种常用的多元统计方法，用于研究变量之间的关联关系和构建数学模型。
其基本思想是将原始变量通过主成分分析或最大似然估计等方法进行转化，得到一组新的综合变量，即因子。
因子分析数学模型描述了原始变量与因子之间的关系，可以用来提取变量的共同信息、简化数据分析过程、减少变量的维度等。
矩阵模型是因子分析的核心数学模型，其假设对于m个观测值和n个变量，存在一个矩阵F(m×k)表示k个共同因子，以及一个矩阵L(n×k)表示每个变量与因子的负荷载。
k是共同因子的个数。
此外，还有一个k×k的协方差矩阵Ψ描述了共同因子之间的关系，以及一个n×n的协方差矩阵Σ描述了变量之间的关联关系。
这个模型可以用数学公式表示为：X=FL^T+E其中，X是观测值矩阵，F是因子矩阵，L是负荷载矩阵，E是特殊因子矩阵，"+"表示矩阵的加法，T表示矩阵的转置。
观测模型是加强版的矩阵模型，它假设每个变量的观测值是由共同因子、特殊因子和测量误差组成。
观测模型中，负荷载矩阵L和特殊因子矩阵E被看作是模型的参数，测量误差项被看作是随机变量。
因此，观测模型可以用数学公式表示为：X=FL^T+E+ε其中，ε是测量误差项，其服从一个均值为零、协方差矩阵为Ψ的多元正态分布。
为了推断因子分析数学模型，需要使用各种统计方法来估计模型的参数。
最常用的方法是主成分分析和最大似然估计法。
主成分分析是一种无信息损失的线性变量转换方法，它将原始变量通过线性组合转换成一组互不相关的主成分。
主成分分析可以用于确定共同因子的个数和负荷载矩阵的估计值。
最大似然估计法是一种参数估计方法，它基于假设观测值服从多元正态分布，通过最大化似然函数来求解参数的估计值。
最大似然估计法可以用于估计负荷载矩阵和协方差矩阵的估计值。
总之，因子分析数学模型是一种实现多变量数据分析和建模的重要方法。
通过构建数学模型，可以提取共同因子、简化数据分析过程、减少变量的维度等。
因子分析数学模型
因子分析数学模型一、引言因子分析是一种强大的统计方法，用于从一组变量中提取出潜在的公共因子。
这种方法在许多领域都有广泛的应用，包括社会科学、心理学、经济学和生物学等。
它的主要目标是减少数据集的维度，同时保留原始数据中的重要信息。
这种方法有助于解释变量之间的关系，揭示隐藏在数据中的结构。
本文将详细介绍因子分析的数学模型及其实现过程。
二、因子分析数学模型1、公共因子模型因子分析的公共因子模型可以表示为：X = AF + ε其中，X是观测数据矩阵，A是因子载荷矩阵，F是公共因子矩阵，ε是特殊因子矩阵。
这个模型的意思是，观测数据X可以由公共因子F和特殊因子ε加权组合而成。
公共因子代表了所有观测变量之间的共性，而特殊因子则代表了每个观测变量的独特性。
2、因子载荷矩阵因子载荷矩阵A描述了每个观测变量与公共因子之间的关系。
矩阵中的每个元素aij表示第i个观测变量在第j个公共因子上的载荷。
通过求解因子载荷矩阵，我们可以找出公共因子对观测变量的影响程度。
3、旋转矩阵在因子分析中，旋转矩阵是一种重要的工具，用于优化公共因子的解释。
旋转矩阵可以使得公共因子的解释更加直观和有意义。
常见的旋转方法包括方差最大旋转（varimax）和正交旋转（quartimax）等。
三、实现过程1、确定公共因子的数量在开始因子分析之前，我们需要确定公共因子的数量。
常见的确定公共因子数量的方法有基于特征值的方法、基于解释方差的方法以及基于碎石图的方法等。
2、求解因子载荷矩阵在确定了公共因子的数量后，我们需要求解因子载荷矩阵。
常用的求解方法有基于主成分分析的方法、基于最大似然估计的方法以及基于最小二乘法的方法等。
3、旋转因子载荷矩阵通过旋转因子载荷矩阵，我们可以优化公共因子的解释。
常见的旋转方法包括方差最大旋转和正交旋转等。
旋转后的因子载荷矩阵可以帮助我们更好地理解公共因子与观测变量之间的关系。
4、解释公共因子我们需要对提取的公共因子进行解释。
数学建模之因子分析法
数学建模之因子分析法
因子分析是一种常用的数学建模方法，用于分析观测变量之间的内在关系和结构。
它通过分析多个观测变量之间的相关性，将它们综合起来解释数据的变异，从而推断潜在的因子或维度。
因子分析的主要目的是降低变量的维度，并发现观测变量之间隐藏的结构成分。
因子分析的一般步骤如下：
1.收集数据：首先，我们需要收集一组变量，这些变量可以是连续型的数据，也可以是离散型的数据。
2. 确定因子数目：在进行因子分析之前，我们需要确定分析所需的因子数目。
可以通过一些统计方法，如Kaiser准则、平行分析或层次分析等来确定。
3.进行因子提取：利用因子提取方法，如主成分分析法（PCA）或最大似然法（ML）等，将原始变量转化为一组因子。
4.因子旋转：由于因子提取得到的因子可能存在模糊性，我们需要对因子进行旋转来使其更具解释性。
常用的旋转方法有方差最大旋转和方差等于1旋转等。
5.因子得分和解释：通过计算因子得分，我们可以得到每个样本的因子得分，从而评估每个样本对于每个因子的贡献。
此外，通过对因子负荷矩阵进行解释，我们可以确定每个因子所代表的具体含义。
6.结果解释和应用：最后，根据因子得分和因子负荷矩阵的结果，我们可以解释数据的变异，并根据需要进一步应用于相关的问题。
因子分析在实际应用中有很多方面的应用，例如心理学、社会学、市场调研等。
在心理学中，因子分析可以用于评估人格特征、心理健康等方面的变量。
在市场调研中，因子分析可以帮助我们发现消费者偏好和行为模式。
因子分析还可以用于降维，减少冗余信息，从而提高其他模型的效果。
因子分析与数学模型(2)
三、因子分析因子分析是主成分分析的推广和发展，它也是将具有错综复杂关系的变量（或样品）综合为数量较少的几个因子，以再现原始变量与因子之间的相互关系，同时根据不同因子还可以对变量进行分类，它也是属于多元分析中处理降维的一种统计方法。
因子分析的基本思想是通过变量的相关系数矩阵（这里只讲R 型因子分析）内部结构的研究，找出能控制所有变量的少数几个随机变量去描述多个变量之间的相关关系，这少数几个随机变量是不可观测的，称为因子。
因子分析常有以下四个基本步骤：（1） 确认待分析的原有若干变量是否适合作因子分析。
因子分析潜在的前提要求是原有变量应有较强的相关关系，从而能从中综合出反映某些变量共同特征的几个较少 的公共因子变量。
SPSS 提供了判断变量是否适合作因子分析的统计检验方法如巴特莱特球度检验和KMO 检验(<0.5不合适)。
（2） 构造因子变量。
可用主成分法构造m 个主因子，用主因子表示原始变量的正交因子模型 111⨯⨯⨯⨯+=p m m p p F A X ε其中m 的确定可用两种方法：一是取特征根大于1的主成分。
二是由累计贡献率>80%.这里F 称为X 的公共因子或潜因子，即前述的综合变量。
mp ij a A ⨯=)(称为因子载荷矩阵。
ij a 称为因子载荷，实际上是第i 个变量在第j 个公共因子的相关系数。
反映了第i 个变量在第j 个公共因子上的相对重要性。
变量共同度的统计意义：因子载荷阵A 中第i 行元素的平方和，即p i a h m j ij i ,,2,1,122 ==∑=称为变量i X 的共同度。
可以计算 22)(i i i h X Var σ+=，由于i X 已标准化，得221i i h σ+=，2i h 越接近1，说明该变量的几乎全部原始信息都被所选的公因子说明了，原始变量空间转化为因子空间转化的性质越好。
当02≈i h 时，说明公因子对i X 影响很小，主要由特殊因子i ε来描述了。
数学建模-因子分析
12
2 p
11
22
mm
22
mm
如果特性方差是已知的，问题非常好解决，但通常 情况下，方差是未知的。所以我们要估计个性方差。
20
(1) 个性方差矩阵 已知（主因子法）
R*=AA’=RX- ，我们在前面已经讨论了因子载荷 矩阵A的列平方和是
Sj ip1ai2j (j 1 , ,m )
得特征向量分别为u 1,u2, ,um 。
例 假定某地固定资产投资率x1 ，通货膨胀率x2 ，
失业率 x3 ，相关系数矩阵为
1 1/5 1/5 1/5 1 2/5 1/5 2/5 1
试用主成分分析法求因子分析模型。
16
特征根为：11.5520.8530.6
0.4750.883 0 U0.6290.3310.707
X1 11 12 1mF1 1
X 221
22
2mF 22
Xn p1 p2 pm Fm n
X A F
8
称为 F 1 ,F 2 , ,F m 公共因子，是不可观测的变量， 他们的系数称为因子载荷。 i 是特殊因子，是不能被 前m个公共因子包含的部分。并且满足：
co F ,v ) (0，F, 即不相关；
2
但消费者主要关心的是三个方面，即商店的环境 、商店的服务和商品的价格。因子分析方法可以通过24 个变量，找出反映商店环境、商店服务水平和商品价格 的三个潜在的因子，对商店进行综合评价。而这三个公 共因子可以表示为：
x i i i 1 F 1 i 2 F 2 i 3 F 3 ii 1 , ,24
V ( X i ) a 2 i a 1 V ( F 1 ) r a a 2 i V m ( F r m ) V a ( i )a r
因子分析的基本思想、基本步骤、数学模型及求解复习过程
因子分析的基本思想、基本步骤、数学模型及求解复习过程因子分析的基本思想、基本步骤、数学模型及求解一、因子分析1 因子分析的基本思想1.1 因子分析的基本出发点将原始指标综合成较少的指标，这些指标能够反映原始指标的绝大部分信息（方差），这些综合指标之间没有相关性。
1.2 因子变量的特点（1）这些综合指标称为因子变量，是原变量的重造；（2）个数远远少于原变量个数，但可反映原变量的绝大部分方差；（3）不相关性；（4）可命名解释性。
2 因子分析的基本步骤（1）确认待分析的原始变量是否适合作因子分析；（2）构造因子变量；（3）利用旋转方法使因子变量具有可解释性；（4）计算每个样本的因子变量得分。
3 因子分析的数学模型数学模型（x i 为标准化的原始变量；F i 为因子变量；k111112213311221122223322331132233333112233................. .k k k k k k p p p p pk k px a f a f a f a f x a f a f a f a f x a f a f a f a f x a f a f a f a f εεεε?=+++++?=+++++??=+++++=+++++?? 也可以矩阵的形式表示为：X=AF+εF ：因子变量；A ：因子载荷阵；a ij ：因子载荷；ε：特殊因子。
4 因子分析的相关概念（1）因子载荷在因子变量不相关的条件下，a ij 就是第i 个原始变量与第j 个因子变量的相关系数。
a ij 绝对值越大，则X i 与F i 的关系越强。
（2）变量的共同度(Communality)也称公共方差。
X i 的变量共同度为因子载荷矩阵A 中第i 行元素的平方和。
221kiij j h a ==∑可见：X i 的共同度反应了全部因子变量对X i 总方差的解释能力。
（3）因子变量F j 的方差贡献因子变量F j 的方差贡献为因子载荷矩阵A 中第j 列各元素的平方和21pj ij i S a ==∑可见：因子变量F j 的方差贡献体现了同一因子Fj 对原始所有变量总方差的解释能力，S j /p 表示了第j 个因子解释原所有变量总方差的比例。