等差数列综合应用

第六课时 等差数列综合应用

【知识与技能】进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前n 项和公式研究S n 的最值，初步体验函数思想在解决数列问题中的应用；掌握裂项相消法求数列的和． 【重点难点】

重点：等差数列前n 项和公式的掌握与应用，裂项相消法求数列的和． 难点：灵活运用求和公式解决问题． 【教学过程】 一、要点梳理

1．等差数列通项公式：

*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项:1a ，公差:d ，末项:n a

变形公式：d m n a a m n )(-+=；m

n a a d m

n --=；

2．等差数列的前n 项和公式：

1()2n n n a a S +=

1(1)2n n na d -=+211

()22

d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A B 、是常数，当0d ≠时，n S 是二次项系数为d

2

，图象过原点的二次函数．）

3．等差数列的性质

（1）等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；

（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列；

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有

2m n p a a a +=；

（4）等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，则{a n }中连续的n 项和构成的数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…构成等差．．

数列； （5）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和.

若当项数为偶数n 2时，

()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇，11

n n n n S na a S na a ++==奇偶 若当项数为奇数12+n 时，

21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪⇒⇒=⎨⎨

-==⎪⎪⎩⎩

n+1n+1

奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶 （其中a n+1是项数为21n +的等差数列的中间项）；

（6）{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n A f n B =，则()2121

=21n n n n a A

f n b B --=-；

（7）若m S n =()n S m m p =≠，则m n S += ；

（8）若(),m p m p S S m p S +=≠=则 . 4．求n S 的最值

法一：因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*

n N ∈。 法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和。即当

，

，001<>d a 由⎩⎨⎧≤≥+0

1n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值．（2）“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。即 当，，001>

1

n n a a 可得n S 达到最小

值时的n 值．或求{}n a 中正负分界项。

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n

取离二次函数对称轴最近的整数时，n S 取最大值（或最小值）。若p q S S = 则其对称轴为

2

p q

n +=

。 5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*

∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2）等差中项：数列{}n a 是等差数)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． （3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

二、合作探究

类型1 等差数列前n 项和的性质

【例1】(1)在等差数列{a n }中，若S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝________． (2)有一个共有100项的等差数列，其奇数项与偶数项之和分别为100和200，则公差d ＝________．

【练习1】等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求它的前3m 项的和．

【练习2】若n S 表示等差数列的前n 项和，481

3S S =，则816

S S = ．

【练习3】在等差数列{}n a 中，10100100,10,S S ==则110S = ．

【练习4】在等差数列{}n a 中，10100,S S =则110S = ．

【练习5】已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，且

745

3

n n A n B n +=

+，则

使得n

n

a b 为整数的正整数n 的个数为 ．

【练习6】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95

S

S = ． 类型2 等差数列前n 项和的最值问题 【例2】数列{a n }是等差数列，a 1＝50，d ＝－0.6. (1)从第几项开始有a n <0； (2)求此数列的前n 项和的最大值．

【练习】等差数列{a n }中，a 1<0，S 9＝S 12，该数列前多少项和最小？

类型3 裂项相消法求数列的和

【例3】等差数列{a n }中，a 1＝3，公差d ＝2，S n 为前n 项和，求1S 1＋1S 2＋…＋1

S n .

小结：1．若数列{a n }是等差数列，公差为d (d ≠0)，则和式T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋

1

a n －1a n 可用裂项法求和，具体过程如下：∵1a n －1·a n ＝1d (1a n －1－1a n )，∴T n ＝1d [(1a 1－1a 2)＋(1a 2－1

a 3)＋…＋

(1a n －1－1a n )]＝1d (1a 1－1a n )＝n －1a 1a n ；2．常用到的裂项公式有如下形式：(1)1n (n ＋k )＝1k (1n －1

n ＋k )；

(2)

1n ＋k ＋n ＝1

k

(n ＋k －n )．

【练习】本例中若把条件改为“a 1＝1，d ＝1”，其他都不变，试求解之．

类型4 等差数列的综合应用

【例4】在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋

1(n ≥2，n ∈N *)．