复数知识点及题型归纳总结

复数知识点及题型归纳总结

知识点讲解

一、基本概念

（1）i 叫虚数单位，满足21i =- ，当k Z ∈时，44142431,,1,k k k k i i i i i i +++===-=-.

（2）形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，记作a bi C +∈.

①复数(,)z a bi a b R =+∈与复平面上的点(,)Z a b 一一对应，a 叫z 的实部，b 叫z 的虚部； 0,b z R =⇔∈Z 点组成实轴；0,b z ≠叫虚数；0b ≠且0a =，z 叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.

②两个复数,(,,,)a bi c di a b c d R ++∈相等a c b d =⎧⇔⎨=⎩

（两复数对应同一点） ③复数的模：复数(,)a bi a b R +∈的模，也就是向量OZ 的模，即有向线段OZ 的长度，其计算公式

为||||z a bi =+=

，显然，22||||z a bi z z a b =-=

⋅=+.

二、基本性质

1.复数运算

（1）()()()()i a bi c di a c b d +±+=±+±

（2）()()()()a bi c di ac bd ad bc i +⋅+=-++ 222

22()()z z ||||)

2a bi a bi a b z z z z z a

⎧+⋅-=⋅=+=⎪=⎨⎪+=⎩(注意

其中||z =z 的模；z a bi =-是z a bi =+的共轭复数(,)a b R ∈.

（3）2222()()()()(0)()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c d c di c di c di c d

++⋅-++-==+≠++⋅-+. 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.

2.复数的几何意义

（1）复数(,)z a bi a b R =+∈对应平面内的点(,)z a b ；

（2）复数(,)z a bi a b R =+∈对应平面向量OZ ；

（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.

（4）复数(,)z a bi a b R =+∈的模||z 表示复平面内的点(,)z a b 到原点的距离.

题型归纳与思路提示

题型1 复数概念及其代数运算

思路提示

无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚.

例15.1下面关于复数21z i

=-+的四个命题： 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-

其中的真命题为（ ）

A .23,p p

B . 12,p p

C .,p p 24

D .,p p 34

解析 因为 22(1)11(1)(1)i z i i i i --=

==---+-+--，所以z =22(1)2z i i =--=，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-，z 的共轭复数为1i -+，z 的虚部为1.

其中的真命题为,p p 24,故选C .

变式1设,,a b R i ∈是虚数单位，则“0ab =”是“复数b a i

+为纯虚数”的（ ） A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件

C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件

变式2 sin 211)i θθ-++是纯虚数，则θ=（ ）

A .2()4k k Z π

π-∈ B .2()4k k Z ππ+

∈ C .2()4k k Z π

π±∈ D .()24

k k Z ππ+∈ 变式3 复数1,z i z =+为z 的共轭复数，则1zz z --=（ ）

.A 2i - .B i - .C i .D 2i

例15.2复数z 满足()()25z i i --=，则z 为

.A -2-2i .B -2+2i .C 2-2i D 2+2i

解析 令(),R,R z a bi a b =+∈∈，则()()()()212z i i a b i i --=+--⎡⎤⎣⎦

[]2(1)12b a i b a =--+-+ 5=，

所以()210,21 5.

b a a b --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩解得22a b =⎧⎨=⎩，所以22z i =+.故选D . 变式1 已知复数1z i =-，则221

z z z -=-（ ） .A 2i .B 2i - .C 2 .D 2-

变式2 复数212i i

-=+（ ）

.A i .B i - .C 4355i -- .D 4355

i -+ 例15.3设a b ∈R ，，117i i 12i a b -+=

-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ． 解析 据题i i i i i i i i bi a 355

1525)21)(21()21)(711(21711+=+=+-+-=--=

+，所以 ,3,5==b a 从而 8=+b a .故填8.

变式1若()()12i i ++=a+bi ，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += .

变式2 若,,a b R i ∈是虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ） .A 1,1a b == .B 1,1a b =-= .C 1,1a b =-=- .D 1,1a b ==-

例15.4方程26130x x ++=的一个根是

A ．32i -+

B ．32i +

C ．23i -+

D ．23i +

解析 解法一：设x a bi =+，则2

()6()130a bi a bi ++++=，

整理，得：22(613)(26)0a b a ab b i -++++=， 所以有226130260a b a ab b ⎧-++=⎨+=⎩

，解得3=2a b =-⎧⎨±⎩，即-32x i =±

解法二：用求根公式求解：32x i ==-±，故选A . 变式1 若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）

A ．3,2==c b

B ．3,2=-=c b

C ．1,2-=-=c b

D ．1,2-==c b

题型2 复数的几何意义

思路提示

复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点.

例15.5若复数z 满足||z i i -≤为虚数单位），则z 在复平面内所对应的图形的面积为______________.

解析 设,,,z x yi x y R =+∈则有|x (y 1)|i +-≤

即22(1)2x y +-≤，所以z 在复平面内所对应的图

形为以(0,1)2π，故填2π.

变式1 已知35(,)44

ππθ∈，则复数(cos sin )(sin cos )z i θθθθ=++-在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

变式2 02,,||a z a i z <<=+的取值范围为（ ）