复数代数形式的乘除运算公开课

Z2(c，d)
Z
Z2(c，d)
o 向量OZ1+OZ2
Z1(a，b)
x z1+z2
o 向量OZ1-OZ2
Z1(a，b)
x
z1-z2
自学提纲(一)：
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a,b,c,d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_(_ac_－__b_d_)＋__(_a_d＋bc)i
结果化简成 代数形式
看谁算得快又准：
题组（一）：
1.(1 i)2 ___2_i___;(1 i)2 ___2_i__ .
2.1 _____i___ . i
i 3. i 1 ______; i 1 ___i___ .
i 1
i 1
题组（二）：
1.设i是虚数单位，则复数 32-3ii的共轭复数是（D)
计算:(1)（2+i)(2 i) 5
(2)(1 2i)2 5 4i
自学提纲(二):
3.共轭复数 如果两个复数满足_实__部_相__等__，_虚__部__互_为__相_反__数__时， 称这两个复数为共轭复数.z的共轭复数用z
表示，即z a bi,则z __a_－__b_i_____.
4.复数的除法法则
3.Z Z
4.若z1,z2是共轭复数,那么 (1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位 置关系?
(2)z1•z2是一个怎样的数? y
(1)关于x轴对称
b Z1
a
O
x
-b Z2
(2)是一实数 z1•z2=(a+bi)(a-bi)=a2+b2
问题探究：
已知a,b,c,d,x,yR且c di 0
设 则az,1b,c_ac,_＋＋d__db_iiR＝_且_ac_cc2_＋＋__bdd_d2i_＋__0bc，_c2－＋_z_1ad_2d_i_(ac_＋__bd_ii,_≠z_20_). c di， z2
问题探究： 共轭复数的相关运算性质:
1.z R z z
2.z为纯虚数 z 0,且z z
A. 9 10
11 10
i
B.190 1101i
C. 3 11i 10 10
D.130 1101i
2.已知复数z
1
2i,
那么
1
__
z
__1___2__i ; 55
4.设z i 1(i是虚数单位），则2 z2 _1____i__;
z
应用提高：
1.计算(1 i )6 + 2+ 3i 1 i 3 2i
1 i
_
2.已知复数z满足：zgz 2iz 8 6i, 求复数z的实部与虚部的和. 4
解：设z a bi(a,b R), _ zgz a2 b2 a2 b2 2i(a bi) 8 6i
即a2 b2 2b 2ai 8 6i
{2a2ab62 2b8 解得{ba13
a b 4
我的收获：
1.复数的乘法运算法则记忆 类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为 －1，进行最后结果的化简．
2.复数的除法运算法则的记忆 复数除法一般先写成分式形式，再把分 母实数化，即分子分母同乘以分母的共轭 复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C，有
交换律
z1·z2＝__z_2·_z_1
结合律
(z1·z2)·z3＝_z_1·_(_z2_·_z3_)
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝_z1_z_2＋__z_1z_3_
问题探究：
对任意复数z1=a+bi,z2=c+di 则z1·z2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2
学习目标：
1、掌握复数的代数形式的乘法与除法 运算.
2、理解复数乘法的交换律、结合律和乘 法对加法的分配律.
3、理解共轭复数的概念.
知识链接：
已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R) 1.加法、减法的运算法则
(a+bi)±(c+di) =__(_a_±__c_)_+_(_b_±__d_)_i_.
则方ac 法db（ii 一 ）__：__设__a __bi x yi
c di Q (c di)(x yi) a bi
(cx
cdxx
dy) (dx cy)i a bi
dy cy
a b
c2x cdy
d
2
x
cdy
ac bd
ac bd bc ad
x y
ac c2 bc c2
2.加法运算律： 对任意z1，z2，z3∈C
交换律： z1+z2=z2+z1, 结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
知识链接：
已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R) 3.复数加、减的几何意义
设OZ1， OZ2分别与复数z1=a+bi，z2=c+di对应.
y来自百度文库
y
bd d2 ad d2
(a bi) (c di)
i(c di 0)
c2 d2 c2 d2
复数的除法法则
方法（二）：即：(a bi)(c
(a (c
bi)(c di)(c
di) di)
di)
a c
bi di
ac
bd (bc c2 d2
ad
)i
ac c2
bd d2
bc c2
ad d2
i
例2.(1+2i) ÷(3-4i)
先写成分 式形式
然后分母实数化
解: (1 2i) (3 4i)
分子分母同时乘 以分母的共轭复
数
1 3
2i 4i
(1 (3
2i )( 3 4i )( 3
4i) 4i)
3 6i 4i 8i2
32 42
5 10i 25
1 2i 55
=ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i 而z2·z1=(c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2
=ac+bci+adi-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i ∴z1·z2=z2·z1
例1.计算(－2－i )(3－2i)(－1+3i)
解:原式= (6 4i 3i 2i2 )(1 3i) = (8 i)(1 3i) = 8 24i i 3i2 = 5 25i