复数代数形式的乘除运算公开课
《复数的乘法与除法》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】
第五章复数5.2.2复数的乘法与除法◆教学目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算，能够运用法则求两个复数的积与商．2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．◆教学重难点◆教学重点：复数代数形式的乘、除运算法则及其运算律．教学难点：复数除法的运算法则．◆教学过程一、新课导入情境：我们知道，两个一次式相乘，有(ax+b)(cx+d)=acx2+(bc+ad)x+bd，复数的加减法也可以看作多项式相加减，那么复数的乘除法又该如何定义呢？设计意图：类比多项式的乘法运算，以及复数的加减法运算与多项式加法运算的关系，引导学生思考复数乘除法运算法则．二、新知探究问题1：类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？答案：我们规定，复数的乘法法则为：设z1=a+b i，z2=c+d i(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+b i)(c+d i)=ac+bc i+ad i+bdi2=ac+bc i+ad i−bd=(ac−bd)+(bc+ad)i．追问1：两个复数的积是个什么数？它的的值唯一确定吗？答案：通过观察，我们发现，两个复数的积仍是复数，它的值唯一确定．追问2：当z1z2都是实数时，复数乘法的运算法则与实数乘法法则一致吗？答案：根据法则，我们发现，当b=d=0时，z1z2都是实数，复数的乘法与实数乘法法则一致．追问3：复数的乘法类似于实数的哪种运算方法？答案：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成−1，并且把实部与虚部分别合并即可．结论：两个复数的积仍然是一个复数，且唯一确定，运算中与实数的乘法法则保持一致，类似于两个多项式相乘．设计意图：与实数多项式的乘法进行类比，有利于学生理解复数的乘法法则．同时培养学生类比的核心素养．问题2：类比实数的运算律，你认为复数乘法满足哪些运算律？请证明你的猜想．答案：猜想：对于任意对于任意z1，z2，z3∈C，有：交换律：z1∙z2=z2∙z1；结合律：(z1∙z2)∙z3=z1∙(z2∙z3)；分配律：z1(z2+z3)=z1∙z2+z1∙z3．证明：设z1＝a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i．(1)∵z1∙z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2−b1b2)+(b1a2+a1b2)iz2∙z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1−b2b1)+(b2a1+a2b1)i又a1a2−b1b2=a2a1−b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1，∴z1∙z2=z2∙z1．(2)(z1∙z2)∙z3=[(a1+b1i)(a2+b2i)](a3+b3i)．=[(a1a2−b1b2)+(b1a2+a1b2)i](a3+b3i)=[(a1a2−b1b2)a3+(b1a2+a1b2)b3]+[(b1a2+a1b2)a3+(a1a2−b1b2)b3]i=(a1a2a3−b1b2a3−b1a2b3−a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3−b1b2b3)i，同理可得：z1∙(z2∙z3)=(a1a2a3−b1b2a3−b1a2b3−a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3−b1b2b3)i，∴(z1∙z2)∙z3=z1∙(z2∙z3)．(3) z1(z2+z3)=(a1+b1i)[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+b1i)[(a2+a3)+(b2+b3)i]=[a1(a2+a3)−b1(b2+b3)]+[b1(a2+a3)−a1(b2+b3)]i=(a1a2+a1a3−b1b2−b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)iz1∙z2+z1∙z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2−b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3−b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2−b1b2+a1a3−b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a 1a 2+a 1a 3−b 1b 2−b 1b 3)+(b 1a 2+b 1a 3+a 1b 2+a 1b 3)i∴z 1(z 2+z 3)=z 1∙z 2+z 1∙z 3．设计意图：引导学生根据复数的加法满足实数加法的运算律，大胆尝试推导复数乘法的运算律．培养学生的学习兴趣和勇于探索的精深．想一想：计算：(1)(−2−i )(3+i )； (2)(1−2i )(3+4i )(−2+i )． 分析：本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算． 解：(1) (−2−i )(3+i )=−6−2i −3i −i 2=−5−5i ； (2)(1−2i )(3+4i )(−2+i )=(11−2i )(−2+i )=−20+15i ．总结：按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．问题3：如何定义复数的乘方运算呢？答案：对于复数z ，定义它的乘方z n =z ∙z ∙ … ∙z ．根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立，即对复数z ，z 1，z 2和正整数m ，n ，有：z m ∙z n =z m+n ，(z m )n =z mn ，(z 1∙z 2)n =z 1n ∙z 2n ．追问：i 0=1，i 1=i ，i 2=−1，i 3=−i ，…以此类推，你发现了什么规律？ 答案：i 4n =1，i 4n+1=i ，i 4n+2=−1，i 4n+3=−i (n ∈N )．思考：计算下列各式，你发现其中有什么规律吗？请将你概括出的规律与同学交流，并证明. (1)(3+2i )(3−2i )；(2)(2+i )(2−i )；(3)(−2√2−i)(−2√2+i)；(4)(√3+√2i)(√3−√2i)．答案：(1)(3+2i )(3−2i )=32−6i +6i −(2i )2=9−(−4)=13； (2)(2+i )(2−i )=22−2i +2i −i 2=4−(−1)=5；(3)(−2√2−i)(−2√2+i)=(−2√2)2−2√2i +2√2i −i 2=8−(−1)=9； (4)(√3+√2i)(√3−√2i)=(√3)2−√6i +√6i −(√2i)2=3−(−2)=5．规律：互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数（或其共轭复数）模的平方．即若z =a +b i (a ，b ∈R)，则z ∙z̅=|z |2=|z̅|2=a 2+b 2．问题4：我们利用复数的减法是复数加法的逆运算，由复数的加法法则，推导出了复数的减法法则．同样，复数的除法是乘法的逆运算，尝试利用复数的乘法法则，去推导复数的除法法则．答案：我们通过引入倒数来定义复数的除法．给定复数z2，若存在复数z，使得z2∙z=1，则称z是z2的倒数，记作z=1z2．设z2=c+di≠0和z= x+yi(c，d，x，y∈R)，则z2∙z=(c+di)( x+yi)=cx−dy+ (cy+dx)i=1，所以{cx−dy=1，cy+dx=0，解得{x=cc2+d2，y=−dc2+d2．所以z2=c+di的倒数1z2=cc2+d2−dc2+d2i．（这里要求c，d不能同时为0，即z2≠0．）对任意的复数z1=a+b i(a，b∈R)和非零复数z2=c+di(c，d∈R)，规定复数的除法：z1z2=z1∙1z2，即除以一个复数，等于乘这个复数的倒数．因此z1 z2=a+bic+di=(a+bi)(cc2+d2−dc2+d2i)=ac+bdc2+d2−ad−bcc2+d2i．说明：在实际计算a+bic+di时，通常把分子和分母同乘分母c+di的共轭复数c−di，化简后就得到上面的结果：a+bi c+di =(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac+bdc2+d2−ad−bcc2+d2i．由此可见，在进行复数除法运算是，实际上是将分母“实数化”．设计意图：通过引入复数的倒数，将复数的除法转化成乘法，再类比实数中的分母有理化，对分母进行实数化，通过该化简的过程，帮助学生理解复数的除法法则．渗透类比和转化的数学思想方法，体会数学知识的紧密联系．解：原式=[(−2−3i)(−1+3i)](√6+i)=(2−6i+3i−9i2)(√6+i)=(11−3i)(√6+i)=11√6+11i−3√6i−3i2=(11√6+3)+(11−3√6)i．例2 计算：(1)(1+i)4；(2)(2−i)2(2+i)2．解：(1)(1+i)4=[(1+i)2]2=(1+2i+i2)2=(2i)2=−4；(2)(2−i)2(2+i)2=[(2−i)(2+i)]2=(4+1)2=25．例3 求一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c，d∈R，且a≠0)在复数范围内的根x1，x2，并验证x1+x2=−ba ，x1x2=ca．解：使用配方法容易得到：(x +b2a )2=b 2−4ac 4a 2．(1)若b 2−4ac ≥0，则x 1=−b+√b 2−4ac2a ，x 2=−b−√b 2−4ac2a．因此x 1+x 2=−b+√b 2−4ac2a+−b−√b 2−4ac2a=−b a，x 1x 2=−b+√b 2−4ac2a ·−b−√b 2−4ac2a=b 2−(b 2−4ac )4a 2=ca．(2)若b 2−4ac<0，则x +b 2a=±√4ac−b 24a 2i ，即x 1=−b+√4ac−b 2i2a，x 2=−b−√4ac−b 2i2a．因此x 1+x 2=−b+√4ac−b 2i2a+−b−√4ac−b 2i2a=−ba ，x 1x 2=−b+√4ac−b 2i 2a·−b−√4ac−b 2i2a=b 2+(4ac−b 2)4a 2=ca ．综上所述，一元二次方程x 2+bx +c =0(a ≠0)在复数范围内的根x 1，x 2都满足x 1+x 2=−ba，x 1x 2=ca．例4 证明：对任意的两个复数z 1，z 2，若z 1·z 2=0，则z 1，z 2至少有一个为0． 解：设z 1≠0，则|z 1|≠0，z 1的共轭复数z̅1≠0．将z 1·z 2=0的左右两边同时乘z̅1，得z 1·z 2·z̅1=0·z̅1，即|z̅1|2·z 2=0． 因为|z̅1|2≠0，所以z 2=0． 例5 计算：(1)−12i；(2)1+2i 2−3i ；(3)(1+i1−i )6． 解：(1)−12i=−1×(−i )2i×(−i )=i2；(2)1+2i2−3i=(1+2i )×(2+3i )(2−3i )×(2+3i )=−4+7i 13=−413+713i ； (3)(1+i 1−i)6=[(1+i )2(1−i )(1+i )]6=(2i 2)6=i 6=−1． 设计意图：在熟练应用复数的乘法除法运算法则之余，进行提升练习。
公开课复数的乘除法运算[人教版选修22]精品PPT课件
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解（ 1）2 （1 3） 2
22
1 3i( 3i)2 42 2
1 3i 22
（ 2）（ ） 2（1 3） 2
22
解
1 3i( 3i)2 42 2
1 3i 22
（ 3 ） 32
解 （ 1 3） （ 2 1 3）
22
22
（ 13）1 （ 3） 1
22
22
小结： 2 （ ，） 2
31 ， ） （ 31
(a+bi)(c-di) =
(c+di)(c-di)
(ac+bd)+(bc-ad)i =
c2+d2
=
ac+bd c2+d2
+
bc-ad c2+d2
i
(c+di ≠0)
因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0，
所以商
a+bi c+di
是唯一确定的复数.
学习并没有结束，希望继续努力
Thanks for listening, this course is expected to bring you value and help 为方便学习与使用课件内容，课件可以在下载后自由编辑
0i1 i2 i 1
二、复数除法的法则
复数的除法是乘法的逆运算，满足
(c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商，
a+bi 记作
c+di
a+bi (a+bi)(c-di)
c+di
5.2.2 复数代数形式的乘除运算 课件(北师大版选修2-2)
复数代数形式的乘除运算
导.学. 固. 思
1.理解复数的代数形式的四则运算,并能用运算 律进行复数的四则运算.
2.能根据所给运算的形式选择恰当的方法进行
复数的四则运算.
导.学. 固. 思
两个多项式可以进行乘除法运算,例如 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd;对于两个复数 a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),能像多项式一样进行乘除法 运算吗?
解得 b=-2.
设复数 z 满足 i(z+1)=-3+2i(i 为虚数单位),试求 z 的实部.【解析】(法一)∵i(z+1)=-3+2i,
∴z=
-3+2i i
-1=-(-3i-2)-1=1+3i,
故 z 的实部是 1. (法二)令 z=a+bi(a、b∈R),由 i(z+1)=-3+2i, 得 i[(a+1)+bi]=-3+2i, -b+(a+1)i=-3+2i, ∴a+1=2,∴a=1.故 z 的实部是 1.
(法二)原式= [(1 + ������)-(1-������)][(1 + ������) + (1 + ������)(1-������) + (1-������) ] [(1 + ������) + (1-������)][(1 + ������)-(1-������)] = =1.
4������ 4������ 2 2
导.学. 固. 思
A
复数代数形式的乘法运算
计算:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i); (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i; 5 7 11 (3)(4-i )(6+2i )+(7+i )(4-3i) 3 (4)(1-i) .
复数代数形式的乘除运算 课件
1．复数乘法运算法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a、b、c、d∈R)，则 z1z2＝(a＋bi)(c ＋di)＝__(_a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i __. 2．复数乘法满足交换律、结合律及分配律 对任意 z1、z2、z3∈C，有 ①z1·z2＝z2·_z_1_； ②(z1z2)z3＝z1(_z__2_z_3_)_； ③z1(z2＋z3)＝__z_1z_2_＋__z1_z_3__.
复数的除法
若复数a1＋＋32ii(a∈R，i 为虚数单位)是纯虚数，
则实数 a 的值为( )
A．－2
B．4
C．－6
D．6
[答案] C
[分析] 复数为纯虚数，须先将复数写成代数形式，因此 必须先分母实数化，再化简．
[解析] ∵a1＋＋32ii＝a1＋＋32ii11－－22ii＝a＋6＋53－2ai为纯虚 数，∴a3＋－62＝a≠0，0. ∴a＝－6.
解方程|x|＝2＋x－2i. [错解] 方程两边平方，得：x2＝4＋x2－4＋4x－8i－4xi， 即 4(1－i)x＝8i，所以 x＝12－i i＝－1＋i. [辨析] 在解题中用了复数范围内不成立的等式 |z|2＝z2.
[正解] 可设 x＝a＋bi(a，b∈R)， 则 a2＋b2＝2＋a＋bi－2i＝(2＋a)＋(b－2)i 由复数相等可得
综合应用 若复数 z 在复平面内的对应点在第二象限，|z| ＝5，－z 对应点在直线 y＝43x 上，则 z＝________.
[答案] －3＋4i
[分析] 利用－z 对应点在直线 y＝43x 上可设出 z 或－z ，再 利用|z|＝5 可列方程求解，最后由 z 的对应点在第二象限决定 取舍．
复数代数形式的乘除运算公开课
1.复数的加减法法则
若z1 a bi, z2 c di(a, b, c, d R)则z1 z2 ? z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d )i z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d )i
ac bd bc ad (a bi) (c di) 2 2 2 2 i(c di 0). c d c d
探求
新知
设z1 a bi, z2 c di(a, b, c, d R, c di 0)
z1 a bi 则 ___________________ z2 c di
2.多项式的乘法法则
两个多项式相乘, 先用一个多项式的每一项乘以另一个多 项式的每一项, 再把所得的积相加.
2
(a+b)(c+d) = ac +ad +bc +bd
3 4
1
1
2
3
4
2
(a+b)(c+d) = ac +ad+bc +bd
3 4
1
1
2
3
4
二、问题探究
若两个复数分别为 z1 a bi, z2 c di (a, b, c, d R), 你能否类比多项式的乘 法 法则计算z1 z2 （a bi)(c di) ?
26
29
25
2
7
2i
7 2i
49 4
那么复数的除法又应怎样进行呢? 注意到, 实数的除法运算是乘法的逆运算,类 比思考,我们可定义复数的除法:
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y 都是实数, a bi . 记为：(a bi ) (c di )或 c di
复数代数形式的乘除运算(公开课)
计算： 1 3i 1 2i
解：
原式
1 3i 1 2i
1 3i1 2i 1 2i1 2i
5 5i 方法总结： 5
1 i
1、先写成分式形式
2、然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以
分母的共轭复数)
、化简成代数形式就得结果.
某某公司安全监查处
某 考某点突公破 司
复数的乘除法
1、计算
(1)( 3 2i) 3 2i
z1·z2 ＝(a＋bi)(c＋di)，按照上述运算法则将其展开， z1·z2等于什么？
某某公司安全监查处
探求 新知某 某 公 司
1.复数的乘法法则：
(a bi)(c di) ac adi bci bdi2
ac adi bci bd （ac bd) (bc ad)i
说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数； (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在
解：
原式
2
2i
2
3
2i2 3
5
1 i2 i
(2) i
原式 3 i i
i i
1 3i i2
1 3i
某 某 公 司 安 全 监 查 返处回
共轭复数 某 某 公 司
2、(2013年高考福建卷)已知复数z的共轭复数 z 1 2i
i （ 为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ D ）
25
（2） (1 i)2
（2） (1 i)2 1 2i i2 1 2i 1 2i
我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算, 类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.
某某公司安全监查处
探求 新知某 某 公 司
3.共轭复数：
高中数学3.2.2复数代数形式的乘除运算 名师公开课市级获奖课件(人教A版选修1-2)
第三章
第 2 课时 复数代数形式的乘除运算
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1、1-2合订
学习要点点拨 课堂巩固练习 课前自主预习 课后强化作业 课堂典例讲练
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1、1-2合订
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1、1-2合订
第三章
数系的扩充与复数的引入
第一章
章末归纳总结
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第三章
3.2 复数代数形式的四则运算来自第一章章末归纳总结
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课堂典例讲练
第一章
章末归纳总结
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思路方法技巧
命题方向
[例 1] ( ) A．5－5i C．5＋5i B．7－5i D．7＋5i
复数的乘法与乘方
(2013· 浙江文)已知 i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝
第一章
章末归纳总结
重点难点展示
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1、1-2合订
本节重点：复数的乘除运算及共轭复数的概念． 本节难点：复数的除法运算．
第一章
章末归纳总结
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学习要点点拨
第一章
高中数学选修复数代数形式的乘除运算公开课一等奖课件省赛课获奖课件
1
2
=
+i
+i
=
+
2 +
2
+
-
2 +
2 i.
预习交流 3
5-5i
=
1+2i
计算:
答案:-1-3i
.
课前预习导学
课堂合作探索
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANSUO
3.2.2
问题导学
复数代数形式的乘除运算
当堂检测
一
二
课前预习导学
一
二
课前预习导学
课堂合作探索
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANSUO
三
复数乘除运算法则的理解:
(1)复数的乘法可以把 i 看作字母,按多项式乘法的法则进行,注意要
把 i2 化为-1,进行最后结果的化简.复数的除法先写成分式的形式,再把
分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数,若分母是纯
轭复数用表示.
若 z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.
3.2.2
目标导航
复数代数形式的乘除运算
课前预习导学
课堂合作探索
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANSUO
预习引导
预习交流 2
(1)互为共轭的两个复数,在复平面内对应的点有何关系?
提示:设复数 z=a+bi(a,b∈R),在复平面内对应的点为 Z(a,b);
(2)|z|2=||2=z =a2+b2;
(3)=z⇔z∈R,=-z(z≠0)⇔z 为纯虚数.
复数代数形式的乘除运算公开课ppt课件
解一：原式=9-12i+12i-16i2
2(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9+12i-12i-16i2
=9+16
=9+16
=25
解二：原式=32 -4i2
=9+16 =25
=25
3(1 2i)(3 4i)(1+2i)
解：原式 =
12
2i 2
(3
4i)
=5(3 4i)
课前预习 (预习具体内容) 一、自主学习
复习1：计算
1(1 4i)+(7 2i) 2(5 2i)+(1 4i) (2 3i)
解：原式=8 2i
复习2：
解：原式= 4+2i (2 3i)
=2+5i
计算：(a b)2 _a_2___2_a_b___b2
(3a 2b)(3a 2b) _9_a_2___4_b_2___
__a_c____b_d______a_d____c__bi
提出问题2：怎么理解复数的乘法法则？ 活动成果： 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式__相__乘__。
只有在所得的结果中把 i2 换成__-_1__,并且把实部与虚部
分别__合__并___即可。
课堂探究
练习1：计算
1(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9-12i+12i-16i2
2(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9+12i-12i-16i2
=9+16
=9+16
=25
=25
反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算， 也满足其在实数集上的运算律.
课堂探究
复数代数形式的乘除运算课件
题型三 in的周期性 例3 (海南、宁夏高考题)i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋… ＋8i8＝__________.(用a＋bi的形式表示，a，b∈R) 分析 利用i的周期性化简求和． 解析 i＋2i2＋3i3＋…＋8i8 ＝i－2－3i＋4＋5i－6－7i＋8 ＝4－4i. 答案 4－4i
规律技巧 高考对复数的考查，主要集中在复数的运 算，尤其是乘除法运算中，属于低档题，只要掌握法则，认 真求解即可.
(4)原式＝2－＋22ii＋(22i)1005 ＝21＋2 ii＋(1i )1005 ＝－1＋i＋i10104·i ＝－1＋i－i＝－1.
题型二 共轭复数的应用 例2 已知z∈C， z 为z的共轭复数，若 z ·z－3i z ＝1＋ 3i，求z. 分析 合理运用共轭复数的概念，利用复数相等求解．
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi，由题意得 (a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即 a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有a－2＋3ab＝2－3，3b＝1， 解得ab＝＝－0，1， 或ab＝＝－3. 1， 所以z＝－1，或z＝－1＋3i.
规律技巧 解此类题型的常用解法是设z＝a＋bia，b∈ R，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程 组求解.
复数代数形式的乘除运算
1.复数的乘法法则． 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋ bi)(c＋di)＝__________. 2．共轭复数． 如果两个复数满足________________________，那么称 这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用__________表示，即 z＝a＋bi，则 z ＝__________(a，b∈R).
(4)21＋－2ii2＋(1＋2i)2010. 分析 利用复数的运算法则进行．
复数代数形式的乘除运算 课件
也就是说,“两个复数的平方和为零”是“这两个复数同时为零”的
必要不充分条件.
2.如何理解共轭复数?
剖析:(1)实数a的共轭复数仍是a本身,这是判断一个数是否为实
数的一个法则.
(2)几何特征:两个共轭复数的对应点关于实轴对称;
代数特征:两个共轭复数的虚部互为相反数,实部相等.
(3)一个重要性质.
两个共轭复数z, 的积是一个实数,这个实数等于每一个复数的
复数集中不一定成立.如:
(1)当z∈R时,|z|2=z2;当z∈C时,|z|2∈R而z2∈C,所以|z|2=z2不一定
成立,
但是|z|2=z·.
(2)当z1,z2∈R时, 12 + 22 = 0⇔z1=0,且z2=0;
当z1,z2∈C时, 12 + 22 = 0
1 = 0, 且z2=0,但z1=0,z2=0⇒ 12 + 22 = 0.
+
+
1.如何理解复数代数形式的乘除法运算法则?
剖析:(1)当复数的虚部为零时,复数的乘除法法则与实数的乘除
法法则一致.
(2)实数集中乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律在复
数集中仍成立.
(3)两个复数的积(商)是唯一确定的复数.
(4)可以推广到多个复数进行乘除法运算.
温馨提示实数集中乘法、乘方的一些重要结论和一些运算法则在
∴B=z1·z1 + z2 · z2 = ( + bi)( − bi) + ( c +
di)·(c-di)=a2+b2+c2+d2,
∴B∈R.
又A = z1 ·z2 + z2 ·z1 = z1 ·z2 + z2 ·z1
复数代数形式的乘除运算 课件
3＋ (3)2－
23ii＋32－ ＋23ii.
解：(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i) ＝(24＋8i－6i＋2)－(28＋21i－4i＋3) ＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i. (2)(1＋2i)÷(3－i)＝13＋－2ii＝13＋－2ii33＋＋ii
＝3＋i＋6i－2＝1＋7i＝ 1 ＋ 7 i.
＝i－1i4－× 5i0 3＋ 2＝i1－－i2i＝i1＋－1i
＝i11－－ii＝ i.
法二：∵ in＋ in＋ 1＋in＋ 2＋ in＋ 3＝ in(1＋ i＋ i2＋ i3 )＝ 0，
∴原式＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 009＋i2 010＋i2 011＋i2 012)＋i2 013＝i2 013＝i4×503＋1＝i.
设 z1＝a ＋bi，z2＝c＋di，(a，b，c，d∈R)，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋ di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，又 z1·z2＝0，所以(ac－bd)＋(ad
＋bc)i＝0，即aacd－＋bbdc＝＝00，， 即aacd＝＝b－d，bc，
① ②
①×d－②×c 得：b＝0 或 c2＋d2＝0，即 b＝0 或 c＝0 且
D．若 z1·z2＝0，则 z1＝0 或 z2＝0
【常见错误】 忽视 z∈C 复数误选 A 或 B，对 C，若改
z＝a＋bi 则 z－ z ＝2bi，易忽略 b＝0 情况而误选．
【解析】 选项 A 不正确，如 z＝i.选项 B 不正确，如 a ＝1，b＝i.选项 C 不正确，如 z＝0 则 z ＝0.选项 D 正确，
复数代数形式的乘除运算
1．复数乘法的运算法则和运算律
(1)复数的乘法法则
复数的乘、除运算(优秀经典公开课课件)
学业标准
素养目标
1．结合多项式的乘法了解复数的乘法法 1．通过学习复数的乘法和除法，培养学
则．(难点) 生数学运算素养．
2．理解共轭复数的概念．(重点) 2．通过学习复数乘法运算所满足的运算
3．能进行复数的除法以及分母实数 律，培养学生数学抽象素养.
答案
3 2
4．设 z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且zz12为纯虚数，则实数 a＝________. 解析 设zz12＝bi(b∈R 且 b≠0)，所以 z1＝bi·z2， 即 a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi，
所以a2＝ ＝43bb， ， 所以 a＝83.
答案
8 3
02
课堂案 题型探究
交换律
结合律
乘法对加法的分配律
z1z2＝___z2_z_1___ (z1z2)z3＝___z_1(_z_2z_3_) ___ z1(z2＋z3)＝____z_1z_2_＋__z_1z_3_____
导学 2 复数的除法 如何规定两复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)
值可以是( )
A．1
B．－2
C．－3
D．－4
解析 因为 z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i， 所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)， 又此点在第二象限， 所以a1＋－1a＜＞00，， 解得 a＜－1，所以选 B，C，D.
答案 BCD
题型二 复数的除法运算
[例 2] (1)31＋ ＋ii＝(
答案 －2＋i
题型三 复数乘法和除法的综合应用 [例 3] 已知 z1 是虚数，z2＝z1＋z11是实数，且－1≤z2≤1. (1)求|z1|的值以及 z1 的实部的取值范围； (2)若 ω＝11＋－zz11，求证：ω 为纯虚数．
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五、【课堂小结】
复数乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac －bd)+(bc+ad)i. 复数代数式相乘，
可按多项式类似方法进行，无须去记
公式.
复数除法法则是：
i(c+di≠0).
两个复数相除较简捷方法是把它们商 写成份式形式，然后把分子与分母都 乘以分母共轭复数，再把结果化简
（１）在复平面内，它们所对应点有怎样位 置关系？
（２） z1 、z2是一个怎样数？
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两个互为共轭复数乘积等于这个复数（或 其共轭复数）模平方
结论： •
2
2
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练习：
求(1 i)2 (1 i)2
(a bi)2 a2 2abi b2i2
(ac
bd ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
(bc d2
ad )i
分母实数化
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例4.计算 (1 2i) (3 4i)
解:
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四、【巩固新知】
求
已知 z1 3 2i
z1 z2 , z1 z2
,
,
z2
z1
•
1
z2
4i
, z1 z2
碰到 时i，2 要把 换i成2 ，
并-把1 最终止果写成
a bi(a,b R) 形式。
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设 z1 a bi , z2 c di
复数代数形式的乘除运算 课件
知识点一 复数的乘法及其运算律
思考 怎样进行复数的乘法运算？
答 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成 －1，并且把实部与虚部分别合并即可.
1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i .
跟踪训练1 在复平面内复数(1＋bi)(2＋i)(i为虚数单位，b是实数)表示 的点在第四象限，则b的取值范围是_(_－__∞__，__－__12_)___.
解析 (1＋bi)(2＋i)＝2＋i＋2bi－b＝2－b＋(2b＋1)i，
由题意知22－ b＋b>1<00，， 解得 b<－12.
类型二 复数代数形式的除法运算
例1 (1)已知x，y∈R，i为虚数单位，且xi－y＝－1＋i，则(1＋i)x＋y＝_2_i_. 解析 ∵xi－y＝－1＋i，
∴－y＝－1， x＝1，
得xy＝ ＝11， .
则(1＋i)x＋y＝(1＋i)2＝2i.
(2)已知复数 z1＝(12－32i)(1＋i)，复数 z2 的虚部为 2，且 z1·z2 是实数，则 z2＝__4_＋__2_i__. 解析 z1＝(12－32i)(1＋i)＝2－i. 设z2＝a＋2i，z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. ∵z1·z2是实数，∴4－a＝0，即a＝4， ∴z2＝4＋2i.
知识点三 复数的除法法则
1＋ 3 1＋ 33＋ 2 思考 类比根式除法的分母有理化，比如3－ 2＝3－ 23＋ 2，你能 写出复数的除法法则吗？ 答 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则zz12＝ac＋＋dbii＝acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i.
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(2)(1 2i)2 5 4i
自学提纲(二):
3.共轭复数 如果两个复数满足_实__部_相__等__，_虚__部__互_为__相_反__数__时， 称这两个复数为共轭复数.z的共轭复数用z
表示，即z a bi,则z __a_－__b_i_____.
4.复数的除法法则
则方ac 法db（ii 一 ）__：__设__a __bi x yi
c di Q (c di)(x yi) a bi
(cx
cdxx
dy) (dx cy)i a bi
dy cy
a b
c2x cdy
d
2
x
cdy
ac bd
ac bd bc ad
x y
ac c2 bc c2
bd d2 ad d2
(a bi) (c di)
i(c di 0)
c2 d2 c2 d2
复数的除法法则
方法（二）：即：(a bi)(c
(a (c
bi)(c di)(c
di) di)
di)
a c
bi di
ac
bd (bc c2 d2
ad
)i
ac c2
bd d2
bc c2
ad d2
i
例2.(1+2i) ÷(3-4i)
先写成分 式形式
然后分母实数化
解: (1 2i) (3 4i)
分子分母同时乘 以分母的共轭复
数
1 3
2i 4i
(1 (3
2i )( 3 4i )( 3
4i) 4i)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 6i 4i 8i2
32 42
5 10i 25
1 2i 55
我的收获：
1.复数的乘法运算法则记忆 类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为 －1，进行最后结果的化简．
2.复数的除法运算法则的记忆 复数除法一般先写成分式形式，再把分 母实数化，即分子分母同乘以分母的共轭 复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.
2.加法运算律： 对任意z1，z2，z3∈C
交换律： z1+z2=z2+z1, 结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
知识链接：
已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R) 3.复数加、减的几何意义
设OZ1， OZ2分别与复数z1=a+bi，z2=c+di对应.
y
y
结果化简成 代数形式
看谁算得快又准：
题组（一）：
1.(1 i)2 ___2_i___;(1 i)2 ___2_i__ .
2.1 _____i___ . i
i 3. i 1 ______; i 1 ___i___ .
i 1
i 1
题组（二）：
1.设i是虚数单位，则复数 32-3ii的共轭复数是（D)
A. 9 10
11 10
i
B.190 1101i
C. 3 11i 10 10
D.130 1101i
2.已知复数z
1
2i,
那么
1
__
z
__1___2__i ; 55
4.设z i 1(i是虚数单位），则2 z2 _1____i__;
z
应用提高：
1.计算(1 i )6 + 2+ 3i 1 i 3 2i
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C，有
交换律
z1·z2＝__z_2·_z_1
结合律
(z1·z2)·z3＝_z_1·_(_z2_·_z3_)
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝_z1_z_2＋__z_1z_3_
问题探究：
对任意复数z1=a+bi,z2=c+di 则z1·z2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2
设 则az,1b,c_ac,_＋＋d__db_iiR＝_且_ac_cc2_＋＋__bdd_d2i_＋__0bc，_c2－＋_z_1ad_2d_i_(ac_＋__bd_ii,_≠z_20_). c di， z2
问题探究： 共轭复数的相关运算性质:
1.z R z z
2.z为纯虚数 z 0,且z z
=ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i 而z2·z1=(c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2
=ac+bci+adi-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i ∴z1·z2=z2·z1
例1.计算(－2－i )(3－2i)(－1+3i)
解:原式= (6 4i 3i 2i2 )(1 3i) = (8 i)(1 3i) = 8 24i i 3i2 = 5 25i
Z2(c，d)
Z
Z2(c，d)
o 向量OZ1+OZ2
Z1(a，b)
x z1+z2
o 向量OZ1-OZ2
Z1(a，b)
x
z1-z2
自学提纲(一)：
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a,b,c,d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_(_ac_－__b_d_)＋__(_a_d＋bc)i
1 i
_
2.已知复数z满足：zgz 2iz 8 6i, 求复数z的实部与虚部的和. 4
解：设z a bi(a,b R), _ zgz a2 b2 a2 b2 2i(a bi) 8 6i
即a2 b2 2b 2ai 8 6i
{2a2ab62 2b8 解得{ba13
a b 4
学习目标：
1、掌握复数的代数形式的乘法与除法 运算.
2、理解复数乘法的交换律、结合律和乘 法对加法的分配律.
3、理解共轭复数的概念.
知识链接：
已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R) 1.加法、减法的运算法则
(a+bi)±(c+di) =__(_a_±__c_)_+_(_b_±__d_)_i_.
3.Z Z
4.若z1,z2是共轭复数,那么 (1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位 置关系?
(2)z1•z2是一个怎样的数? y
(1)关于x轴对称
b Z1
a
O
x
-b Z2
(2)是一实数 z1•z2=(a+bi)(a-bi)=a2+b2
问题探究：
已知a,b,c,d,x,yR且c di 0