任意高次方程求解方法

任意高次方程求解方法

对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理。但经常会遇到高次方程的问题，如何通过一种简便的方法快速得到高次方程的解，成为一个迫切的需求。本人发现了数列与高次方程的关系，可以通过数列与高次方程的关系可以得到高次方程的一个解。这种方法适用于任意高次有解的方程。任一高次方程:

可以变化为： 以上方程可以产生一个数列，通过数列前后项相除可以得到方程的近似解。

以下为求解结论：

二次方程： 所对应的数列为：方程有解的情况下对应的一个解为： 三次方程:所对应的数列为：

方程有解的情况下对应的一个解为： ܽݔ௡+ܾݔ௡ିଵ+ܿݔ௡ିଶ+⋯+݌ݔ+ݍ=0݌ଵݔ௡+݌ଶݔ௡ିଵ+݌ଷݔ௡ିଶ+⋯+݌௡ݔ=1

݌ଵݔଶ+݌ଶݔ=

1

ቐ݂ଵ=ܽ

݂ଶ=ܾ݂௠=݌ଵ݂௠ିଶ+݌ଶ݂௠ିଵ

ݔ=lim ௠→ஶ(݂௠ିଵ݂௠)

0<ݔ<1݌ଵݔଷ+݌ଶݔଶ+݌ଷݔ=1

݂ଵ

=ܽ

݂ଶ=ܾ݂ଷ=݂ܿ௠=݌ଵ݂௠ିଷ+݌ଶ݂௠ିଶ+݌ଷ݂௠ିଵ

ݔ=lim ௠→ஶ(݂௠ିଵ

݂௠)0<ݔ<1(ܽ,ܾ不同时为0的常数)(ܽ,ܾ,ܿ不同时为0的常数)

依次类推

n次方程:所对应的数列为：方程有解的情况下对应的一个解为： 以上求解的方法基本为,将通用方程转化为数列对应方程,再由方程产生一个对应的数列,数列前项除后项可以得到方程的近似解,数列的项越靠后,这个近似解不断逼近方程的解.当迭代次数m趋向于无穷大时,这个值为方程的一个解,这个解大于0小于1.当方程无解时,方程对应的数列会循环或前后项相除的结果比较离散,不会逼近一个值.

以上的求解方法可以通过Execl去验算，目前只是发现了这个现象还没有很好证明，至于方程是否有解，也只能从演算的结果去判断。有兴趣的朋友可以一起(159探5246讨5840)。

但在实际应用中，迭代次数m取一定的值就可以得到方程的近似解，在要求不高时，可以很快得到方程的一以下为一个五次的方程，得到对应的数列，数列的前五位全选1，数列生成到12位。下面为数列前项除以后项得到的结果，发现这个结果是不断逼近方程的解X，精确到小数点后面五位为X=0.12497。再向后迭代会产生更精确的解。݌ଵݔ௡+݌ଶݔ௡ିଵ+݌ଷݔ௡ିଶ+⋯+݌௡ݔ=1

݂ଵ=݂ܽଶ=ܾ……݂௡=ݍ݂௠=݌ଵ݂௠ି௡+݌ଶ݂௠ି௡ାଵ+⋯+݌௡݂௠ିଵ

ݔ=lim ௠→ஶ(݂௠ିଵ݂௠)0<ݔ<1(ܽ,ܾ,…,ݍ不同时为0的常数)