三角函数对称性习题

合集下载

第64课--求三角函数的对称轴或对称中心

第64课求三角函数的对称轴或对称中心基本方法：将问题转化为单一名称的三角函数，再求三角函数的对称轴或对称中心(1)函数sin y x =的对称性对称轴：ππ()2x k k =+∈Z ，对称中心：(π,0)()k k ∈Z (2)函数cos y x =的对称性对称轴：π()x k k =∈Z ，对称中心：π(π,0)()2k k +∈Z (3)函数tan y x =的对称性对称中心：π(,0)()2k k ∈Z 一、典型例题1.将函数πcos(4)6y x =+的图象向右平移π6个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，求所得新函数的对称轴方程和对称中心的坐标.答案：对称轴方程为ππ()42k x k =+∈Z ，对称中心坐标为π(,0)()2k k ∈Z 解析：将函数πcos(4)6y x =+的图象向右平移π6个单位，得到ππcos[4(]66y x =-+，即πcos(4)sin 42y x x =-=图像.sin 4y x =的图像纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到sin 2y x =的图像.令π2π()2x k k =+∈Z ，解得ππ()42k x k =+∈Z ，所以sin 2y x =的对称轴方程为ππ()42k x k =+∈Z .令2π()x k k =∈Z ，解得π()2k x k =∈Z ，所以对称中心坐标为π(,0)()2k k ∈Z .2.已知函数()()πsin 2(0,)2f x x ωϕωϕ=+><的最小正周期为π，它的一个对称中心为π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭,求函数()y f x =图象的对称轴方程.答案：2π512πk x k =+∈Z ，解析：由题得()2=22πππππ6k k Z ωωϕϕ⎧⎪⎪⎪⋅+=∈⎨⎪⎪<⎪⎩，π1,3ωϕ∴==-，所以()sin(2)3f x x π=-．令()232x k k ππ-=π+∈Z ，得()5122k x k =π+π∈Z ，即()y f x =的对称轴方程为()5122k x k =π+π∈Z .二、课堂练习1.已知函数())2sin8cos4sin 4cos8sin4cos46f x x x x x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.求函数()f x 图象的对称轴方程.答案：() 848k x k Z π5π=+∈.解析：())2sin8cos4sin 4cos8sin4cos46f x x x x x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭12sin8cos4cos422x x x x ⎫=+-⎪⎪⎝⎭)cos8sin4cos4x xx x +))sin8cos4cos4cos8sin4cos4x x x x x x x x =+-+)()+cos4sin8cos4cos8sin4x x x x x x =-)()cos4sin 84x x x x =+-)cos4sin4x x x =+24sin4cos4x x x =+1cos81sin822x x -=+1sin82x x =-+sin 83x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令()8+32x k k ππ-=π∈Z ，得()848k x k Z π5π=+∈.所以函数()f x 图象的对称轴方程为()848k x k Z π5π=+∈.2.函数()()sin 04,4f x x x ωωπ⎛⎫=-<<∈ ⎪⎝⎭R 的一条对称轴为38x π=，求4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭.答案：22解析：由题意()sin 4f x x ωπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭一条对称轴为38x π=，得()3842k k ωπππ⨯-=π+∈Z ，解得2ω=，()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2sin 2sin 44442f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.三、课后作业1.求函数π2tan(26y x =-的对称中心坐标.答案：ππ(,0)()124k k +∈Z 解析：令ππ2()62k x k -=∈Z ，解得ππ()124k x k =+∈Z ，故π2tan(26y x =-的对称中心坐标为ππ(,0)()124k k +∈Z .2.已知函数()2sin sin 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R .求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称中心.答案：最小正周期为π，对称中心为,062k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z 解析：()2sin sin 2sin sin 63626f x x x x x πππ⎡ππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin cos 66x x ππ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为22π=π.令π2π()3x k k -=∈Z ，解得()62k k x ππ+=∈Z ，所以对称中心为,062k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z .3.将函数2()cos 2cos ()f x x x x x =+∈R 图像向左平移π6个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 图像，求()g x 的对称轴方程和对称中心坐标.答案：对称轴为直线π,()2k x k =∈Z ，对称中心为ππ(,0)()42k k +∈Z解析：2()cos 2cos f x x x x =+2cos21x x =++π2sin(216x =++，将函数()f x 图像向左平移π6个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的解析式为ππ()2sin[2()]112cos 266g x x x =+++-=.令2π()x k k =∈Z ，解得π()2k x k =∈Z ，所以()g x 的对称轴方程为π()2k x k =∈Z .令π2π()2x k k =+∈Z ，解得ππ()42k x k =+∈Z ，所以对称中心坐标为ππ(,0)()42k k +∈Z .。

三角函数的对称性测试题(人教A版)(含答案)

三角函数的对称性（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.函数在上对称轴的条数为( )A.1B.2C.3D.0答案：B解题思路：令，解得，．∴，解得，,∴，即共2条对称轴．故选B．试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性2.方程（是参数，）表示的曲线的对称轴的方程为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：∵，∴．∴方程表示的曲线为：．令，解得，．∴对称轴的方程为．故选B．试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性3.已知，函数的一条对称轴为直线，一个对称中心为，则有( )A.最小值2B.最大值2C.最小值1D.最大值1答案：A解题思路：由题意，（1），则，解得，．∴可取：（2），则，解得，．∴可取：由题意知，必须同时满足（1）（2），则有最小值2．故选A．试题难度：三颗星知识点：余弦函数的对称性4.函数（）图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：由题意，令，解得．∴对称轴为直线，，∵该对称轴在内，∴，解得，．又，∴当时，，可取，满足题意，故选A．试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性5.已知函数图象在区间上仅有两条对称轴，且，那么符合条件的值有( )个A.1B.2C.3D.4答案：D解题思路：由题意，，作出的大致图象如下：由图知，①，②，由①得，；由②得，．∵，∴．故选D．试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性6.设函数与函数的对称轴完全相同，则的值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：由题意，∵两函数对称轴完全相同，∴周期相同，即，解得．令，解得，∴函数的对称轴为直线，．令，解得，∴函数的对称轴为直线，．∵，∴，．∵，∴．故选B．试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性7.设点是函数的图象C上的一个对称中心，若点到图象C 的对称轴的距离的最小值为，则为( )A.1B.2C. D.4答案：B解题思路：由题意，最小正周期T满足，∴，即，解得．故选B．试题难度：三颗星知识点：余弦函数的对称性8.函数（，）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为直线( )A. B.C. D.答案：C解题思路：由题意，，∴，．∵，∴．由图象，∵分别为最高点与最低点，且，∴，解得，即，解得．综上，，令，解得，．当时，，故选C．试题难度：三颗星知识点：余弦函数的对称性9.设函数（，，）图象的相邻两条对称轴为直线，直线，则( )A.的图象过点B.在区间上是减函数C.的图象的一个对称中心是D.的最大值是答案：C解题思路：由题意，，解得．∴，解得．∴又，∴，解得，．∵，∴．∴．A：当时，，但值不确定，故A错，同理B，D错．C：令，解得，．当时，对称中心为点．故选C．试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性10.函数（，，，）的部分图象如图所示，如果，且，则等于( )A.1B.C. D.答案：D解题思路：∵函数最大值为1，，∴，，∴．∵，∴，．∵，∴，∴．∵，且，∴，∴，∴，故选D．试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性。

三角函数对称性问题ppt课件

2 2 222
x k ,k Z
2
对称中心： L ( ,0),(0,0),( ,0),(2 ,0)L
(k ,0) k Z
3
余弦函数的图象 y
1
3 5
2
P'
2 3
2
O
2
1
2
P
3 2
2
5 3
2
x
对称轴： x L ,0, , 2 L
x k ,k Z
对称中心： L ( ,0),( ,0),( 3 ,0),( 5 ,0)L
2
4
8
4
该函数的对称中心为
( k
2
，0)，k Z
8
.
6
7
8
9
10
练习
• 为函数 y sin(2x ) 的一条对称轴的是（）
3
A.x 4
3
B.x
2
y
1
C.x
12
D.x 0
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
解：经验证，当
x
12
时
2x
32
x 为对称轴
【答案】 B
14
三角函数的对称性
15
例3
16
17
作业：求函数y sin( 1 x )的对称中心和对称轴
23
18
22 2
2
( k ,0) k Z
2
4
六、正弦、余弦函数的对称性
y
y sin x(x R)
1
-4 -3
-2
- o
2

专题05---2014-2024北京三角函数选题真题汇编解析版

专题05北京高考三角函数选填真题1.【2024年北京卷06】已知()()sin 0f x x ωω=>，()11f x =−，()21f x =，12min π||2x x −=，则ω=（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 2.【2024年北京卷12】已知ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且α与β的终边关于原点对称，则cos β的最大值为________．由题意π2π,Z k k βα=++∈，从而()cos cos π2πcos k βαα=++=−，3.【2023年北京卷13】已知命题p:若α,β为第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ．能说明p 为假命题的一组α,β的值为α= ，β= ．【答案】 9π4π3单位圆因为f (x )=tanx 在(0,π2)上单调递增，若0<α0<β0<π2，则tanα0<tanβ0，取α=2k 1π+α0,β=2k 2π+β0,k 1,k 2∈Z ，则tanα=tan (2k 1π+α0)=tanα0,tanβ=tan (2k 2π+β0)=tanβ0，即tanα<tanβ，令k 1>k 2，则α−β=(2k 1π+α0)−(2k 2π+β0)=2(k 1−k 2)π+(α0−β0)，因为2(k 1−k 2)π≥2π,−π2<α0−β0<0，则α−β=2(k 1−k 2)π+(α0−β0)>3π2>0，即k 1>k 2，则α>β.不妨取k 1=1,k 2=0,α0=π4,β0=π3，即α=9π4,β=π3满足题意.故答案为：9π4;π3. 4.【2022年北京卷05】已知函数f(x)=cos 2x −sin 2x ，则（）A ．f(x)在(−π2,−π6)上单调递减B ．f(x)在(−π4,π12)上单调递增C ．f(x)在(0,π3)上单调递减D ．f(x)在(π4,7π12)上单调递增【答案】C 5.【2022年北京卷13】若函数f(x)=Asinx −√3cosx 的一个零点为π3，则A =________；f(π12)=________．【答案】 1 −√2 【解析】 ∵f(π3)=√32A −√32=0，∴A =1∴f(x)=sinx −√3cosx =2sin(x −π3) f(π12)=2sin(π12−π3)=−2sin π4=−√2 【三角函数性质灵活考查】（2022北京卷改编）若()sin f x A x x =关于3x π=对称，则A =________．【答案】3− 【解析】对称性运用 ∵f(2π3)=f(0)，∴A =−36. 【2021年北京07】函数f(x)=cosx −cos2x ，试判断函数的奇偶性及最大值（） A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98【答案】D由题意，f(−x)=cos(−x)−cos(−2x)=cosx −cos2x =f(x)，所以该函数为偶函数，又f(x)=cosx −cos2x =−2cos 2x +cosx +1=−2(cosx −14)2+98，所以当cosx =14时，f(x)取最大值98. 7.【2021年北京13】若点P(cosθ,sinθ)与点Q(cos(θ+π6),sin(θ+π6))关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___．【答案】5π12（满足θ=5π12+kπ,k ∈Z 即可）8. 【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）． A ．3n (sin 30°n +tan 30°n ) B ．6n (sin 30°n +tan 30°n) C ．3n (sin60°n+tan60°n)D ．6n (sin60°n+tan60°n)【答案】A单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n，每条边长为2sin30°n，所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为12nsin 30°n，单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2tan 30°n，其周长为12ntan 30°n，∴2π=12nsin30°n +12ntan 30°n2=6n (sin 30°n+tan30°n)，则π=3n (sin 30°n+tan30°n).9.【2020年北京卷12】若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．【答案】π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）【解析】因为f (x )=cosφsinx +(sinφ+1)cosx =√cos 2φ+(sinφ+1)2sin (x +θ)，所以√cos 2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.故答案为：π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）. 10. 【2019年北京文科06】设函数f (x )=cosx +bsinx （b 为常数），则“b =0”是“f (x )为偶函数”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C解：设函数f (x )=cosx +bsinx （b 为常数），则“b ＝0”⇒“f (x )=cosx 为偶函数”，“f （x ）为偶函数”⇒()()f x f x =− ，cos sin cos sin x b x x b x ∴+=−，cos sin cos sin x b x x b x ∴+=−sin sin b x b x ∴=−，2sin 0b x ∴=对任意x 成立；∴0b =11. 【2019年北京文科08】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（）A.44cos ββ+B.44sin ββ+C.22cos ββ+D.22sin ββ+【答案】B解：由题意可得22AOB APB β∠=∠=，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO ⊥AB ，即有QO ＝2，Q 到线段AB 的距离为22cos β+，224AB sin sin ββ==，扇形AOB 的面积为12•2β•4=4β，△ABQ 的面积为12(2+2cosβ)•4sinβ=4sinβ+4sinβcosβ=4sinβ+2sin2β，即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sin β． 12. 【2019年北京理科09】函数2()2f x sin x =的最小正周期是．【答案】π213. 【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d 为点P(cosθ.sinθ)到直线x −my −2=0的距离．当θ、m 变化时，d 的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 解：法一：由题意d =|cosθ−msinθ−2|√12+m 2=|√m 2+1sin(θ+α)−2|√m 2+1，tan α=1m =yx ，∴当sin (θ+α)=−1时，d max ＝1+2√m 2+1≤3．∴d 的最大值为3．法二： P 点在单位圆221x y +=上动，圆心到直线距离的最大值（圆心到过定点的距离）+半径 14. 【2018年北京理科11】设函数π()cos()6f x x ω=−(0)ω>．若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___________.ω⋅π4−π6=2kπ，k ∈Z ，解得ω=8k +23 15. 【2018年北京文科07】在平面直角坐标系中，AB ̂，CD ̂，EF ̂，GH ̂是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（）A ．AB ̂ B ．CD ̂C ．EF ̂D ．GH ̂ 【答案】C解：A ．在AB 段，正弦线小于余弦线，即cos α＜sin α不成立，故A 不满足条件． B ．在CD 段正切线最大，则cos α＜sin α＜tan α，故B 不满足条件． C ．在EF 段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tan α＜cos α＜sin α，D ．在GH 段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cos α＜sin α＜tan α不满足tan α＜cos α＜sin α． 16. 【2017年北京理科12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα=13，则cos (α−β)= ．解：方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，方法二：∵sinα=13，当α在第一象限时，cosα=2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第二象限时，sinβ=sinα=13，cosβ=−cosα=−2√23， ∴cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=−2√23×2√23+13×13=−7917. 【2016年北京理科07】将函数sin(2)3y x π=−图象上的点(,)4t π向左平移s (0)s >个单位长度得到点'P .若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则A.12t =,s 的最小值为6πB.t =,s 的最小值为6πC.12t =,s 的最小值为3π D.t =,s 的最小值为3π【答案】A将x =π4代入得：t =sin π6=12，将函数y =sin (2x −π3)图象上的点P 向左平移s 个单位，得到P ′（π4−s ，12）点，若P ′位于函数y =sin2x 的图象上，则sin （π2−2s ）=cos2s =12，则2s =±π3+2k π，k ∈Z ，则s =±π6+k π，k ∈Z ，由s ＞0得：当k ＝0时，s 的最小值为π618. 【2014年北京理科14】设函数()sin()(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数,0,0A ω>>).若()f x 在区间ππ[,]62上具有单调性,且π2ππ()()()236f f f ==−,则()f x 的最小正周期为 . 【答案】π．则x =π2离最近对称轴距离为7π12−π2=π12．又f （π2）＝﹣f （π6），则f （x ）有对称中心（π3，0），由于f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，则π2−π6≤12T ⇒T ≥2π3，从而7π12−π3=T 4⇒T ＝π．。

重视直观,学会抽象——以一道三角函数对称性习题拓展学习设计为例

２ａ
对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题．
分析：该题的主要意图，是引导学生对三角函数的对称性有一个完整的认识．教师用书说明“ 利用三角函数的
（ｋ ≠０）图象关于原点对称；进入高中，在奇偶性概念学习中知道“ 偶函数图象关于ｙ轴对称，奇函数图象关于原
、／
图象与性质 ” 后是学习对称性的最佳时机：首先学生的知识技能、研究方法的储备有了必要基础；其次，学生思
维、心智的发展水平，使相对抽象的对称性学习成为可
明为什么没有对称轴 ” ．
（２）如何多角度发现、描述对称性？譬如，单位圆也可
提供 “ 形” 的支持；诱导公式提供 “ 数” 的支持；当然，周期
性、奇偶性既可提供思考的类别参考，也与对称性本身存
在内在的联系．
能．研习教材，不难发现专家们对此也给予了一定的思考，从教材必修４第４６页习题１．４Ａ组第１１题、第７０页复习
设计意图：借助图象，观察正弦曲线对称中心的不唯
一
设计意图：是学生经历特殊到一般、具体到抽象、图
象到符号的思维过程对函数的轴对称给出形式化定义，即ｙ－４￣ｘ）关于直线＝寸称０）ａ＋ｘ）ｃ：￣（２ａ－ｘ））．
的探讨又可促进对函数概念和性态学习的深化．对称性
教材必修４第４６页习题１．４Ａ组第１ｌ题：

备战2020高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数：7 三角函数的图象与性质(3)——奇偶性、对称性与周期

数的解析式，再利用函数的周期性，求得要求式子的值．本题主要考查由函数
y Asin(x ) 的部分图象解析式．本题难点在于每四项的和是一个定值，利用这个周期
性，便可解决前 2016 的项．本题属于中档题．
考向 4 已知三角函数的奇偶性、对称性或周期求参数的值
【例 12】【2016 届湖南省湘西自治州高三第二次质量检测数学（文）】已知函数
D．与 b 无关，但与【难点中心】解答此类问题关键是灵活选用三角公式进行三角恒等变换化
2
1
【答案】B 【解析】试题分析：
简函数 f x，再运用三角函数相关
性质解题．
f ( x) sin2 x b sin x c 1 cos 2x b sin x c cos 2x b sin x c 1
x

6

2
cos

x

6

2 sin
2x来自3 y
Asin x

B
，再进一步讨论相
，故最小正周期T 2 ，故选 B． 2
关性质．
III．理论基础·解题原理考点一三角函数的周期性
函数 y sin x, y cos x 的最小正周期为 2 ， y tan x 的最小正周期为．
称轴是直线
x

kπ
k

Z ，其对称中心是

kπ

π 2
,
0

k

Z
；
y

tan
x
的图像不是轴对
称图形，是中心对称图形，其对称中心是

kπ 2

三角函数对称性习题

一、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形 )sin(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)sin(±=+ϕωx ，得)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，则ωϕπ22)12(-+=k x ，所以函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的对称轴方程为ωϕπ22)12(-+=k x ； )cos(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)cos(±=+ϕωx ，得πϕωk x =+)(Z k ∈，则ωϕπ-=k x ，所以函数)cos(ϕω+=x A y 的图象的对称轴方程为ωϕπ-=k x 。

习题：1、函数)62sin(3π+=x y 图象的对称轴方程为2、函数y=sin （2x+52π）图象的对称轴方程为 3、函数)33cos(21)(π+=x x f 的图象的对称轴方程是 4、函数y=cos(2x- π4) 的图象的对称轴方程是 5、y=sin(2x+π4)的一条对称轴为（） A.x=-π4 B.x=π8 C.x=-π8 D.x=π36、y=cos(2x-π6)的一条对称轴为（） A ．x=π3 B.x=5π12 C.x=π12 D.π47、y=sin(2x+φ)的一条对称轴为x=-π8,则φ=________，y 的最小正值是________，y 的最大负值是________。

8、f （x ）=sin2x+acos2x 关于x=π8对称，求a 的值二、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形)sin(ϕω+=x A y 的对称中心求法是：令0)sin(=+ϕωx ，得πϕωk x =+)(Z k ∈，则ωϕπ-=k x )(Z k ∈，所以函数)sin(ϕω+=x A y 的图象关于点)0,(ωϕπ-k )(Z k ∈成中心对称；)cos(ϕω+=x A y 对称中心的求法是：令0)cos(=+ϕωx ，得)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，则ωϕπ22)12(-+=k x )(Z k ∈，所以函数)cos(ϕω+=x A y 的图象关于点)0,22)12((ωϕπ-+k )(Z k ∈成中心对称；习题：1、函数)62sin(4π-=x y 的图象的一个对称中心是2、函数)821cos(2π-=x y 的图象的对称中心是 3、y=sin(2x+π6)的一个对称中心为（） A.( π3 ,0) B.(5π12 ,0) C.(π12 ,0) D.(π6,0） 4、y=2cos(2x-π3)的一个对称中心为（） A.（π,0）B.（π3 ,0）C. (π6 ,0）D. (π12,0) 5、y=cos(2x+φ)的对称中心为(π6,0) 则φ=________，y 的最小正值是________，y 的最大负值是________。

第4节第2课时三角函数的周期性、奇偶性与对称性--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第2课时三角函数的周期性、奇偶性与对称性考点探究——提素养考点一三角函数的周期性例1(1)函数f (x )＝a tan xa的最小正周期是()A ．πaB ．π|a |C ．πa D ．π|a |答案B解析对于函数f (x )＝a tan xa，显然a ≠0，所以函数的最小正周期T ＝π|1a |＝π|a |.故选B.(2)函数f (x )＝cos x ＋2cos 12x 的一个周期为()A ．πB ．2πC ．3πD ．4π答案D解析易知y 1＝cos x ，y 2＝2cos 12x 的最小正周期分别为2π，4π，则2π，4π的公倍数4π是f (x )的一个周期．故选D.【通性通法】求三角函数周期的常用方法【巩固迁移】1．(多选)(2023·山东临沂调研)下列函数中，最小正周期为π的是()A ．y ＝cos|2x |B ．y ＝|cos x |C ．y ＝xD ．y ＝x 答案ABC解析对于A ，y ＝cos|2x |＝cos2x ，最小正周期为π；对于B ，由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π；对于C ，y ＝cos x T ＝2π2＝π；对于D ，y ＝tan x 期T ＝π2.2．已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为2π，则ω＝________．答案1解析因为f (x )＝ωx －12cos f (x )的最小正周期为2π，所以ω＝2π2π＝1.考点二三角函数的奇偶性、对称性(多考向探究)考向1奇偶性例2(1)下列函数中周期是π的偶函数是()A ．y ＝|cos x |B ．y ＝|cos2x |C ．y ＝－sin xD ．y ＝sin x ＋1答案A解析对于A ，y ＝|cos x |为偶函数，且最小正周期为π，所以A 符合题意；对于B ，y ＝|cos2x |为偶函数，最小正周期为π2，所以B 不符合题意；对于C ，y ＝－sin x 为奇函数，所以C 不符合题意；对于D ，y ＝sin x ＋1为非奇非偶函数，所以D 不符合题意．故选A.(2)(2024·广东茂名模拟)已知f (x )＝2sin(x －α)＋cos x 是奇函数，则tan α＝()A ．1B ．±1C ．3D ．±3答案B解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即2sin(－α)＋cos0＝0，解得sin α＝22，所以cos α＝±22，此时f (x )＝2sin x cos α－2cos x sin α＋cos x ＝2sin x cos α＝±sin x ，是奇函数，所以tan α＝±1.故选B.【通性通法】三角函数型函数奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y ＝A sin(ωx ＋φ)中代入x ＝0，若y ＝0，则为奇函数，若y 为最大或最小值，则为偶函数．若y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )，若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )．【巩固迁移】3．(2024·北京房山模拟)已知函数f (x )＝2cos 2(x ＋θ)－1，则“θ＝π4＋k π(k ∈Z )”是“f (x )为奇函数”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析因为f (x )＝2cos 2(x ＋θ)－1＝cos(2x ＋2θ)，若函数f (x )为奇函数，则2θ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得θ＝π4＋k π2(k ∈Z )，|θ＝π4＋k π2，k ∈|θ＝π4＋k π，k ∈因此“θ＝π4＋k π(k ∈Z )”是“f (x )为奇函数”的充分不必要条件．故选A.4．(2023·苏州八校联盟检测)已知f (x )＝sin x ＋cos x ，若y ＝f (x ＋θ)是偶函数，则cos θ＝________．答案±22解析f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin由y ＝f (x ＋θ)是偶函数，得f (－x ＋θ)＝f (x ＋θ)，即2sin ＋π4－＝2sin ＋π4＋所以θ＋π4－x ＝θ＋π4＋x ＋2k π，k ∈Z 恒成立或θ＋π4－x ＋θ＋π4＋x ＝π＋2k π，k ∈Z 恒成立．显然θ＋π4－x ＝θ＋π4＋x ＋2k π，k ∈Z 不恒成立，故由θ＋π4－x＋θ＋π4＋x ＝π＋2k π，k ∈Z ，得θ＝π4＋k π，k ∈Z ，当k ＝2n ，n ∈Z 时，cos θ＝2n cos π4＝22；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，cos θ＝cos π4＋(2n ＋1)π＝cos 5π4＝－22.所以cos θ＝±22.考向2对称性例3(2023·武汉模拟)已知函数f (x )＝x f (x )的图象关于()A B C ．直线x ＝π6对称D ．直线x ＝π3对称答案C解析由题意，设2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z ，所以函数f (x )图象的对称中心－π12，k ∈Z )．设2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，通过对比选项可知，f (x )的图象关于直线x ＝π6对称．故选C.【通性通法】三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法(1)思路：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y ＝sin x 图象的对称轴和对称中心求解．(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω，k ∈Z ，即对称轴方程；令ωx ＋φ＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π－φω，k ∈Z ，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)，可以利用类似的方法求解(注意y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象无对称轴)．【巩固迁移】5．函数f (x )＝x x 23cos 2x 的图象的一个对称中心是()A －π3，B ．(0，33)C D 答案C解析f (x )＝x x 23cos 2x ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＋cos2x cos π6－sin2x sinπ6＋23cos 2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＋32cos2x －12sin2x ＋23cos 2x ＝3cos2x ＋3(1＋cos2x )＝23cos2x ＋3.由2x ＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，此时f (x )＝3，所以f (x )图象的对＋π4，k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )故选C.6．(2023·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)x ＝π6和x ＝2π3为函数y ＝f (x )的图象的两条对称轴，则()A ．－32B ．－12C ．12D ．32答案D解析由题意，T 2＝2π3－π6＝π2，不妨设ω>0，则T ＝π，ω＝2πT ＝2，当x ＝π6时，f (x )取得最小值，则2·π6＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，则φ＝2k π－5π6，k ∈Z ，不妨取k ＝0，则f (x )＝x则＝＝32.故选D.考点三三角函数的图象与性质的综合例4(多选)(2024·厦门模拟)已知函数f (x )＝coscos2x ，则()A ．f (x )的最小正周期为πB ．f (x)C ．f (x )图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )D ．f (x )在[0，2π]上有4个零点答案ACD解析f (x )cos2x ＝12＋x ＋32sin2cos2x ＝34sin2x －34cos2x ＋12＝32sin x ＋12，则f (x )的最小正周期为π，A 正确；易知f (x )图象的对称中心的纵坐标为12，B 错误；令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，即为f (x )图象的对称轴方程，C 正确；由f (x )＝32sin x＋12＝0，得x ＝－33，当x ∈[0，2π]时，2x －π3∈－π3，11π3，作出函数y ＝sin x ∈－π3，，如图所示．由图可知方程x ＝－33在[0，2π]上有4个不同的实根，即f (x )在[0，2π]上有4个零点，D 正确．【通性通法】解决三角函数图象与性质综合问题的方法先将y ＝f (x )化为y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．【巩固迁移】7．(多选)(2024·九省联考)已知函数f (x )＝x x ()A ．函数fB ．曲线y ＝f (x )的对称轴为直线x ＝k π，k ∈ZC ．f (x )D ．f (x )的最小值为－2答案AC解析f (x )＝x x sin2x cos 3π4＋sin 3π4cos2x ＋cos2x cos 3π4－sin2x sin 3π4＝－22sin2x ＋22cos2x －22cos2x －22sin2x ＝－2sin2x ，即f (x )＝－2sin2x .对于A ，－2sinx ＝2cos2x ，易知为偶函数，故A 正确；对于B ，令2x ＝π2＋k π，k ∈Z ，则x＝π4＋k π2，k ∈Z ，故B 错误；对于C ，当x ，2x y ＝sin2x 单调递减，则f (x )＝－2sin2x 单调递增，故C 正确；对于D ，因为sin2x ∈[－1，1]，所以f (x )∈[－2，2]，故D 错误．故选AC.课时作业一、单项选择题1．下列函数中，是周期函数的为()A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝tan|x |D ．y ＝(x －1)0答案B解析∵cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |是周期函数．其余函数均不是周期函数．故选B.2．(2024·广东汕头模拟)函数y ＝tan ()A ．(0，0)BC D ．以上选项都不对答案B解析令x ＋π6＝k π2，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝π3，y ＝tan 中心．故选B.3．函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为()答案D解析由f (－x )＝sin(－x )＋(－x )cos(－x )＋(－x )2＝－sin x －xcos x ＋x 2＝－f (x )，得f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ；又＝1＋π2＝4＋2ππ2>1，f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C.故选D.4．给出下列函数：①y ＝sin|x |；②y ＝|sin x |；③y ＝|tan x |；④y ＝|1＋2cos x |，其中是偶函数，且最小正周期为π的函数的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析①的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，y ＝sin|x |是偶函数，但不是周期函数，所以排除①；②的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，y ＝|sin x |是偶函数，最小正周期为π，所以②正确；③的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，y ＝|tan x |是偶函数，最小正周期为π，所以③正确；④的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，y ＝|1＋2cos x |是偶函数，最小正周期为2π，所以排除④.故选B.5．函数f (x )＝ω＞0)图象的相邻两对称轴之间的距离为π2，若该函数图象关于点(m ，0)中心对称，则当m ∈0，π2时，m 的值为()A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π12答案D解析因为函数f (x )图象的相邻两对称轴之间的距离为π2，所以T ＝2×π2＝π(T 为f (x )的最小正周期)，所以ω＝2πT ＝2，所以f (x )＝x 令f (x )＝0，则2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝5π12，故m ＝5π12.故选D.6．(2023·安徽校考三模)已知函数f (x )＝3sin x 2cos x 2－sin 2x 2＋12，则下列结论正确的是()A ．|f (x )|的最小正周期为2πB ．直线x ＝－π3是f (x )图象的一条对称轴C ．f (x )D ．若f (x )在－π2，m 上的最大值为1，则m ≥π3答案D解析f (x )＝3sin x 2cos x 2－sin 2x 2＋12＝32sin x －1－cos x 2＋12＝所以|f (x )|的最小正周期为π，A 错误；因为＝－12≠±1，所以直线x ＝－π3不是f (x )图象的一条对称轴，B 错误；当0<x <π2时，π6<x ＋π6<2π3，而函数y ＝sin x ，C 错误；当－π2≤x ≤m时，－π3≤x ＋π6≤π6＋m ，因为f (x )在－π2，m 上的最大值为1，所以π6＋m ≥π2，解得m ≥π3，D正确．7．(2023·山东济南三模)已知函数f (x )＝sin x ＋sin2x 在(0，a )上有4个零点，则实数a 的最大值为()A ．4π3B ．2πC ．8π3D ．3π答案C解析f (x )＝sin x ＋sin2x ＝sin x ＋2sin x cos x ＝sin x (1＋2cos x )，令f (x )＝0，得sin x ＝0或cos x ＝－12，作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图．函数f (x )在(0，a )上有4个零点，则2π<a ≤2π＋2π3＝8π3，故实数a 的最大值为8π3.8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ>0，|φ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，且函数f()A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )C ．函数f (x )在3π4，π上单调递增D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－7π12对称答案C解析因为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以最小正周期T＝π，ω＝2πT ＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，因为f ，所以x 即直线x ＝π12是函数f (x )图象的对称轴，所以2×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π＋π3(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝x 函数f (x )的最小正周期为π，A 错误；因为＝sin 3π2＝－1，f (x )图象的对称中心，B 错误；因为当3π4≤x ≤π时，11π6≤2x ＋π3≤7π3，所以f (x )＝sin x 3π4，π上单调递增，C 正确；因为＝－12，所以直线x ＝－7π12不是函数f (x )图象的对称轴，D 错误．故选C.二、多项选择题9．(2024·苏州模拟)已知函数f (x )＝3sin x ()A ．f (x )的最大值为3B ．f (x )的最小正周期为πC ．fD ．f (x )的图象关于直线x ＝11π12对称答案ABD解析因为函数f (x )＝3sin x 所以f (x )的最大值为3，A 正确；f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，B 正确；＝3sin 2－π3＝3sin x ＝－3cos2x ，为偶函数，C 错误；令2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝5π12＋k π2，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝11π12，所以f (x )的图象关于直线x ＝11π12对称，故D 正确．故选ABD.10．(2023·广东江门统考一模)已知函数f (x )＝|x ，则下列说法正确的是()A ．f (x )的值域为[0，1]B ．f (x )C ．f (x )的最小正周期为πD ．f (x )的单调递增区间为k π2＋π6，k π2＋5π12(k ∈Z )答案AD解析因为－1≤x 1，所以0≤f (x )≤1，A 正确；|2×π6－＝0，但f (x )≥0，因此f (x )，B 错误；y ＝sin x是2π2＝π，所以f (x )＝|x 的最小正周期是π2，C 错误；由f (x )＝|x ＝0，得2x －π3＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，当x ∈π6，2π3时，x 0，易得x ∈π6，5π12时，f (x )单调递增，x ∈5π12，2π3时，f (x )单调递减，又f (x )的最小正周期是π2，所以f (x )的单调递增区间是k π2＋π6，k π2＋5π12(k ∈Z )，D 正确．故选AD.三、填空题11．若函数f (x )＝|(ω＞0)的最小正周期为π，则________．答案32解析由题设及周期公式得T ＝πω＝π，所以ω＝1，即f (x )＝|，所以|sin2π3|＝32.12．(2024·山东威海模拟)已知函数f (x )＝sin x cos(2x ＋φ)(φ∈[0，π])是偶函数，则φ＝________．答案π2解析∵f (x )的定义域为R ，且为偶函数，∴－cos(－π＋φ)＝cos(π＋φ)，∴cos φ＝－cos φ，∴cos φ＝0，又φ∈[0，π]，∴φ＝π2.13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)cos φ＋cos(ωx ＋φ)sin ω>0，0<φ轴之间的距离为π2，且满足φ＝________．答案π6解析由两角和的正弦公式得f (x )＝sin(ωx ＋2φ)，又相邻的两条对称轴之间的距离为π2，所以最小正周期为π，所以π＝2πω，解得ω＝2.又所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，所以2×π12＋2φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝k π2＋π6，k ∈Z ，又0＜φ＜π2，所以取k ＝0，得φ＝π6.14．已知函数f (x )＝ω＞0)的图象关于直线x ＝π2对称，且在则f (x )在区间－π2，π3上的最小值为________．答案－2解析因为函数f (x )＝ω＞0)的图象关于直线x ＝π2对称，所以π2ω＋π4＝k π(k ∈N *)，解得ω＝2k －12(k ∈N *)．又f (x )，所以πω≥π2，故0＜ω≤2，所以ω＝32，即f (x )＝当－π2≤x ≤π3时，－π2≤32x ＋π4≤3π4，故f (x )在区间－π2，π3上的最小值为－2.四、解答题15．已知函数f (x )＝sin x －cos x (x ∈R )．(1)求函数y ＝f (x )f (π－x )的单调递增区间；(2)求函数y ＝[f (x )]2＋f x 解(1)∵y ＝(sin x －cos x )[sin(π－x )－cos(π－x )]＝(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，令2k π≤2x ≤2k π＋π(k ∈Z )，得k π≤x ≤k π＋π2(k ∈Z )，∴函数的单调递增区间为k π，k π＋π2(k ∈Z )．(2)y ＝(sin x －cos x )2＋sinx x 1－sin2x ＋2sin x 1－sin2x －2cos2x ＝1－3sin(2x ＋φ)，其中tan φ＝2，∴函数的值域为[1－3，1＋3]．16．(多选)(2023·江苏南通如皋调研)已知函数f (x )＝1＋cos x ＋1－cos x ，则下列结论正确的是()A ．π为函数f (x )的一个周期B ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称C ．函数f (x )在0，π2上为减函数D ．函数f (x )的值域为[2，2]答案ABD解析因为f (x ＋π)＝1＋cos(x ＋π)＋1－cos(x ＋π)＝1－cos x ＋1＋cos x ＝f (x )，所以π为函数f (x )的一个周期，故A 正确；因为f (π－x )＝1＋cos(π－x )＋1－cos(π－x )＝1－cos x ＋1＋cos x ＝f (x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，故B 正确；因为f (x )＝1＋cos x ＋1－cos x ＝2cos 2x 2＋2sin 2x2，又x∈0，π2，则x 2∈0，π4，故f (x )＝2cos x 2＋2sin x 2＝由于x 2＋π4∈π4，π2，故f (x )＝2sin 0，π2上为增函数，故C 不正确；因为[f (x )]2＝1＋cos x ＋1－cos x ＋21－cos 2x ＝2＋2|sin x |，又2≤2＋2|sin x |≤4，f (x )>0，所以f (x )∈[2，2]，故D 正确．故选ABD.17．(多选)(2024·湖北宜昌模拟)已知定义域为R 的函数f (x )，g (x )的最小正周期均为2π，且f (x )＋g (x ＋π)＝cos x ，g (x )－f (x ＋π)＝sin x ，则()A ．f (0)＝g (0)B ．C ．函数y ＝f (x )－g (x )是偶函数D ．函数y ＝f (x )g (x )的最大值是24答案BC解析因为f (x )，g (x )的最小正周期均为2π，f (x )＋g (x ＋π)＝cos x ，则f (x ＋π)＋g (x ＋2π)＝cos(x＋π)，即f (x ＋π)＋g (x )＝－cos x ，又g (x )－f (x ＋π)＝sin x ，故可得g (x )＝sin x －cos x2，g (x ＋π)＝sin(x ＋π)－cos(x ＋π)2＝－sin x ＋cos x 2，则f (x )＝cos x －g (x ＋π)＝cos x －－sin x ＋cos x2＝sin x ＋cos x 2，综上所述，f (x )＝sin x ＋cos x 2，g (x )＝sin x －cos x 2.对于A ，f (0)＝12，g (0)＝－12，故A错误；对于B ＝－sin x ＋cos x 2，＝cos x －sin x 2，显然故B 正确；对于C ，f (x )－g (x )＝sin x ＋cos x 2－sin x －cos x2＝cos x ，又y ＝cos x 为偶函数，故函数y ＝f (x )－g (x )是偶函数，C 正确；对于D ，y ＝f (x )g (x )＝(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )4＝－cos2x 4＝－14cos2x ，又y ＝－14cos2x 的最大值为14，故D 错误．故选BC.18．(2023·江苏南京二模)已知f (x )＝sin ωx －3cos ωx ，ω>0.(1)若函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，求f(2)若函数f (x )f (x )在0，π4上单调，求ω的值．解(1)f (x )＝sin ωx －3cos ωx ＝ωx －32cos 因为函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以12T ＝π2，则T ＝π，所以T ＝2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝x所以2×3π2－2sin π3＝2×32＝ 3.(2)由f (x )＝函数f (x )，所以πω3－π3＝k π，k ∈Z ，所以ω＝3k ＋1，k ∈Z ，由x ∈0，π4，ω>0，则ωx －π3∈－π3，πω4－π3，又函数f (x )在0，π4上单调，－π3≤π2，，解得0<ω≤103，所以当k ＝0时，ω＝1.。

三角函数的图象与性质6大题型(解析版)--2024高考数学常考题型精华版

三角函数的图象与性质6大题型【题型目录】题型一：三角函数的周期性题型二：三角函数对称性题型三：三角函数的奇偶性题型四：三角函数的单调性题型五：三角函数的值域题型六：三角函数的图像【典例例题】题型一：三角函数的周期性【例1】（2022·全国·兴国中学高三阶段练习（文））下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）．A ．tan y x =B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．sin y x=【例2】（2022江西景德镇一中高一期中（文））下列函数中①sin y x =；②sin y x =；③tan y x =；④12cos y x =+，其中是偶函数，且最小正周期为π的函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，但不是周期函数，∴排除①；②的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，最小正周期是π，∴②正确；③的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，tan y x =是偶函数，最小正周期为π，∴③正确；④的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，12cos y x =+是偶函数，最小正周期为2π，∴排除④.故选：B.【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数ππ()sin 2cos 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【例4】设函数()c x b x x f ++=sin 2cos ，则()x f 的最小正周期()A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【答案】B【解析】因x y 2cos =的最小正周期为ππ==22T ，x y sin =的最小正周期为ππ212==T 所以当0≠b 时，()x f 的最小正周期为π2；当0=b 时，()x f 的最小正周期为π；【例5】（2022·全国·高一课时练习）函数22cos 14y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【例6】（2022·广西桂林·模拟预测（文））函数()2sin6cos6f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．3πC ．32πD ．6π【例7】（2022·全国·高一专题练习）()|sin ||cos |f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．3π【题型专练】1.（2023全国高三题型专练）在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，④πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（）A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】∵cos |2|y x ==cos2x ，∴T =22π=π；|cos |y x =图象是将y =cos x 在x 轴下方的图象对称翻折到x 轴上方得到，所以周期为π，由周期公式知，cos(2)6y x π=+为π，tan(2)4y x π=-为2π，故选：C .2.（2022·河北深州市中学高三阶段练习）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()()sin cos y x x ππ=+-C ．22cos cos 2y x x π⎛⎫=-+ ⎪D ．sin 2y x=3.（2022·北京昌平·高一期末）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．22cos sin y x x=-4.（2022·陕西渭南·高二期末（理））函数()2sin cos f x x x x =+的最小正周期是________．5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()cos f x x x ωω=-(0)ω>的最小正周期为π，则ω=___．6．（2022·浙江·杭十四中高一期末）函数2cos cos cos 2y x x x π⎛⎫=+- ⎪的最小正周期为__________．题型二：三角函数对称性【例1】（江西省“红色十校”2023届高三上学期第一联考数学（文）试题）已知函数π()sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的两个相邻的零点为12,33-，则()f x 的一条对称轴是（）A ．16x =-B ．56x =-C ．13x =D ．23x =，【例2】（2022全国高一课时练习）函数cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=对称D ．关于直线3x π=对称【答案】D【解析】由题设，由余弦函数的对称中心为,2)0(k ππ+，令232x k πππ+=+，得212k x ππ=+，k Z ∈，易知A 、B 错误；由余弦函数的对称轴为x k π=，令23x k ππ+=，得26k x ππ=-，k Z ∈，当1k =时，3x π=，易知C 错误，D 正确；故选：D 【例3】（2022·江西省万载中学高一阶段练习）把函数4πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（）A ．5π6B ．2π3C ．5π12D ．π6【例4】（2023福建省福州屏东中学高三开学考试多选题）已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，则（）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像关于6x π=对称，则a 的最小值是3πD ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥上有2个不同实根12,x x ，则12x x -的最大值为2π故结合正弦函数的性质可知，若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，不妨设12x x <，则12x x -取得最大值时满足1266x ππ-=且25266x ππ-=，所以，12x x -的最大值为3π，故错误.故选：AC【例5】(2023江西省高三月考)若函数y cos 6x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ω∈N +)图象的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值为()A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B 【解析】当6x π=时，0y =，即cos 066πωπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，()662k k Z πωπππ∴+=+∈，解得62k ω=+，N ω*∈ ，故当0k =时，ω取最小值2.【例6】【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）（A ）()26k x k Z ππ=-∈（B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈（D ）()212k x k Z ππ=+∈【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B.【题型专练】1.(2020·四川省泸县第四中学高三开学考试)已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为()A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈D ．1+,24x k k Zππ=∈【答案】C【解析】由已知，()cos 2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈.故选：C.2.【2017·天津卷】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5(28f π=，(08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．23ω=，12ϕπ=B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ．3．（2023·全国·高三专题练习）将函数sin 22y x x =的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（）A ．712πB ．4πC ．12πD ．6π4.【2018·江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ5．（2022·广西南宁·高二开学考试多选题）把函数()sin f x x =的图像向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图像，下列关于函数()g x 的说法正确的是（）A ．最小正周期为πB ．单调递增区间5πππ,π()1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．图像的一个对移中心为π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．图像的一条对称轴为直线π12x =题型三：三角函数的奇偶性【例1】（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭向左平移θ个单位后为偶函数，其中0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.则θ的值为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【例2】（2022·广东·执信中学高一期中）对于四个函数sin y x =，cos y x =，sin y x =，tan y x =，下列说法错误的是（）A ．sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心B ．cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴C ．sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴D ．tan y x =是偶函数，最小正周期是π，没有对称中心由图可知，函数sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心，A 对；对于B 选项，如下图所示：由图可知，cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴，B 对；对于C 选项，如下图所示：由图可知，sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴，C 对；对于D 选项，如下图所示：由图可知，函数tan y x =是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D 错.故选：D.【例3】（2022·陕西师大附中高一期中）已知函数2π()sin ()24f x x =++，若(lg5)a f =，1(lg 5b f =，则（）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．5a b +=D ．5a b -=【例4】（2022·江西省铜鼓中学高二开学考试）将函数()sin 22f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度得到一个偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．3πD ．56π【例5】（2022·四川成都·模拟预测（理））函数2()ln(2)sin(1)211f x x x x x x -=+--+++在[0,2]上的最大值与最小值的和为（）A ．-2B ．2C ．4D ．6【例6】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知函数()2cos(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于原点对称，则ϕ=（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π【例7】（2022·陕西·定边县第四中学高三阶段练习（理））已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=处取到最大值，则4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．奇函数B ．偶函数C ．关于点(),0π中心对称D ．关于2x π=轴对称【例8】（2023·全国·高三专题练习）写出一个最小正周期为3的偶函数()f x =___________.【题型专练】1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，既为偶函数又在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增的是（）A ．cos y x =B ．cos y x=C ．sin 2y x π⎛⎫=- ⎪D ．tan cos y x x=-2.（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））已知函数()e e sin x xf x x a -=-++，若()1ln 1,ln 3f m f m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则=a （）A ．1B ．2C ．1-D ．2-3.（2022·湖南·周南中学高二期末）函数为()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭偶函数的一个充分条件是（）A ．6π=ϕB ．3πϕ=C ．2ϕπ=D ．()3k k πϕπ=+∈Z故选：A4．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））已知函数()πcos 2(0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π25.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1f x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4可得()h t 的最大值与最小值之和为0，那么()g t 的最大值与最小值之和为2．故选：B ．6.（2022辽宁丹东·高一期末）写出一个最小正周期为1的偶函数()f x =______．【答案】cos2πx【解析】因为函数cos y x ω=的周期为2π||ω，所以函数cos 2πy x =的周期为1.故答案为：cos2πx .（答案不唯一）7.（2022·全国·高三专题练习）已知()2sin()cos f x x x α=++是奇函数，则sin α的值为______．8．（2022·河南·高二开学考试）将函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位长度后得到偶函数()g x 的图像，则ω的最小值是______．【答案】1039.（2022·全国·高一单元测试）写出一个同时具有性质①()02f =；②()()πf x f x +=的函数()f x =______（注：()f x 不是常数函数）．题型四：三角函数的单调性【例1】（湖南省永州市2023届高三上学期第一次高考适应性考试数学试题）将函数2()cos cos 1f x x x x =+-的图象向右平移6π个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()g x 的单调递增区间是（）A ．ππππ,(Z)12262k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．ππ5ππ,(Z)242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．π2π2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥D ．π5π2π,2π(Z)66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥故选：A【例2】（2022·陕西师大附中高一期中）sin1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为（）A ．sin3sin2sin1＜＜B ．sin3sin1sin2＜＜C ．sin1sin2sin3＜＜D ．sin2sin1sin3＜＜【例3】（2022·全国·高一单元测试）下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．tan y x =D ．lg sin y x=也是以【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6当ππ,π2u k k ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈时，函数sin y u =递增．即πππ,π42x k k ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，解得：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，所以函数sin()4πy x =+的单调递增区间是πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.故答案为：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【例6】（2023·全国·高三专题练习）函数πsin(2)3y x =-+的单调递减区间是（）A ．π5π[π,π],Z 1212k k k -+∈B ．π5π[2π,2π],Z 1212k k k -+∈C ．π5π[π,πZ66k k k -+∈D ．π5π[2π,2πZ66k k k -+∈【题型专练】1．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一阶段练习）已知函数2sin()y x ωθ=+为偶函数(0)θπ<<，其图像与直线2y =的两个交点的横坐标分别为12x x 、，若21||x x -的最小值为π，则该函数的一个单调递增区间为（）A ．ππ,24⎛⎫-- ⎪B ．ππ,44⎛⎫- ⎪C ．π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭2.（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知函数()sin(),022f x x ππωϕϕω⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭，若()00166f x f x ππ⎛⎫⎛⎫==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0min6x ππ-=，则函数()f x 的单调递减区间为（）A ．2,()63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．22,2()63Z k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．,()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪D ．2,2()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪3.（2022六盘山高级中学）函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为（）A ．5,()212212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C ．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()1212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为函数tan y x =的单调递增区间为,()22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以2()223,k k k x Z πππππ-<-<+∈，解得5,()212212k k x k Z ππππ-<<+∈，所以函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.故选：B 4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中()0,2πϕ∈，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切R x ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间是（）A ．,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥()k ∈Z D ．,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥()k ∈Z 5.（2022·全国·高二单元测试）已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=，则（）．A ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()g x 图像的一条对称轴是π6x =C ．()g x 在5π5π,66⎛⎫- ⎪上递减D ．()g x 在ππ,33⎛⎫- ⎪的值域为(0,1)6．(2022天津市静海区大邱庄中学高三月考)设函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，给出下列结论：①()f x 的一个周期为π②()y f x =的图象关于直线12x π=对称③()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称④()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减其中所有正确结论的编号是()A ．①④B ．②③C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】对于①，2T ππω==，故①正确；对于②，12x π=时，(112f π=，函数取得最大值，故②正确；对于③，6x π=-时，()06f π-=，故③正确；对于④，2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，当712x π=时，7112f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数取得最小值，()f x ∴在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有增有减，故④不正确.故选：C ．7．（2022·全国·高一课时练习）关于函数1()sin sin f x x x=+，下列说法正确的是（）A ．()f x 的一个周期是πB ．()f x 的最小值为2C ．()f x 在π(0,2上单调递增D ．()f x 的图象关于直线π2x =对称上单调递减，而8．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））若()sin cos f x x x =+在[]0,a 是增函数，则a 的最大值是（）A ．4πB ．2πC ．34πD ．π9．（2022·全国·高一专题练习）若函数()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()cos 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭都在区间()(),0πa b a b <<<上单调递减，则b a -的最大值为（）A ．π3B ．π2C ．6πD ．π10．（2022·全国·高三专题练习）将函数()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,64ππ-上为增函数，则ω最大值为（）A ．32B ．2C ．3D ．11．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知直线8x =是函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<图象的一条对称轴，则（）A ．π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数B ．3π8x =是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当π2x =时，函数()f x 取得最小值题型五：三角函数的值域【例1】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））下列函数中，最大值是1的函数是（）A ．|sin ||cos |=+y x xB ．2cos 4sin 4y x x =+-C ．cos tan y x x =⋅D ．y =【例2】（2022·全国·高三专题练习）函数1ππ()sin()cos()363f x x x =++-的最大值是（）A ．43B ．23C ．1D ．13【答案】8【解析】【分析】由题意可得()22sin sin 1f x x x =-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]221,0,1y t t t =-++∈,利用二次函数的性质可求f (x )的最大值．【详解】解:()22cos 2sin 2sin sin 12sin sin 1f x x x x x x x =+=-++=-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]2219212,0,148y t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭,当14t =时,y 取得最大值为98,故答案为:98．【例4】（2022·江西·高三开学考试（文））已知函数()()2πsin sin 022f x x x x ωωωω⎛⎫+--> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．22⎡-⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．⎡-⎢⎣⎦【例5】（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知函数()sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在区间,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且对任意实数x 均有4()33f f x f ππ⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则ϕ=（）A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22sin s ()3in f x x x π+=+，则()f x 的最小值为（）A ．12B ．14C ．D ．2【例7】（2022·全国·高三专题练习）函数2()cos 2f x x x =+-0,2x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是__________．【答案】14-##-0.25【解析】【详解】22()1sin 2sin 1f x x x x x =--=--=21sin24x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以当sin x =时，有最大值14-．故答案为14-.【例8】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1C ．()f x的最大值为3，最小值为34D ．()f x的最大值为33【例9】（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程2cos sin 20x x a -+=在02π⎛⎤⎥⎝⎦，内有解，那么实数a 的取值范围（）A ．58a -≤B ．102a -≤≤C ．1122a -＜≤D ．12a -＜≤0【题型专练】1．（2022·江西九江·高一期末）函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（）A ．14B ．12C ．234-D ．414-2．（2022·河南焦作·高一期末）函数2cos22cos y x x =+的最小值为（）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】C【分析】利用二倍角的降幂公式化简函数解析式，利用余弦型函数的有界性可求得结果.【详解】2cos 22cos cos 2cos 212cos 21y x x x x x =+=++=+ ，min 211y ∴=-+=-.故选：C.3.【2018·北京卷】设函数f （x ）=πcos(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值，所以()()ππ22π 8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω，因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.4．（2022·广西南宁·高二开学考试）已知函数ππ()sin ,0,36f x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢，则函数()f x 的最大值为__________．5．（2022·全国·高一课时练习）函数()1sin cos =++f x x x的值域为_____________．6．（2022·全国·高一专题练习）若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的R x ∈，不等式2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤恒成立，则a 取值范围是_________.【答案】(,2]-∞-【分析】根据给定条件，脱去法则“f ”，再利用含sin x 的二次函数求解作答.【详解】因奇函数()f x 在R 上单调递减，则R x ∀∈，2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤2(cos 3sin )(sin )f x x f a x ⇔-≤-22cos 3sin sin cos 2sin x x a x a x x ⇔-≥-⇔≤-，令222cos 2sin sin 2sin 1(sin 1)2y x x x x x =-=--+=-++，而1sin 1x -≤≤，因此当sin 1x =时，min 2y =-，即有2a ≤-，所以a 取值范围是(,2]-∞-.故答案为：(,2]-∞-【点睛】思路点睛：涉及求含正(余)的二次式的最值问题，可以换元或整体思想转化为二次函数在区间[-1,1]或其子区间上的最值求解.7.【2018·全国Ⅲ】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【解析】0πx ≤≤ ，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，或π5π362x +=，解得π4π,99x =，或7π9，故有3个零点.8.（2022·上海市第十中学高一期末）已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-（R x ∈）.求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥上的最大值和最小值.9．（2022·湖南·雅礼中学高一期末）已知函数()2cos sin 4f x x a x a =-++-，[]0,x π∈．(1)求()f x 的最小值()g a ；(2)若()f x 在[]0,π上有零点，求a 的取值范围，并求所有零点之和．题型六：三角函数的图像【例1】（2022·陕西师大附中高三开学考试（理））函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【例2】（2022·陕西·延安市第一中学高一期中）函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()2f π的值为（）A ．B ．C ．D ．1-的部分图象知，【例3】（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）如图表示电流强度I 与时间t 的关系()()()sin 0,0I A x A ωϕω=+>>在一个周期内的图像，则下列说法正确得是（）A ．50πω=B ．π6ϕ=C ．0=t 时，I =D ．1300100t I ==时，【例4】（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则（）A ．2ω=B ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()f x 在5[,63ππ--上的值域为[2,1]-【例5】（2022·河北·沧县风化店中学高二开学考试多选题）函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且满足223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，现将()f x 图象沿x 轴向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象.下列说法正确的是（）A ．()g x 在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．()g x 的图象关于56x π=对称C ．()g x 是奇函数D ．()g x 的最小正周期为23π【例6】（2022·福建·高三阶段练习多选题）函数()sin()(0,0,02π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图像如图所示，则（）A ．3π2ωϕ+=B ．(2)2f -=-C ．()f x 在区间()0,2022上存在506个零点D ．将()f x 的图像向右平移3个单位长度后，得到函数π()cos 4g x x ⎛⎫=- ⎪的图像【例7】（2022·江苏南通·高三开学考试多选题）已知函数()()sin 20,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象向右平移π12个单位后得到sin2y x =的图象C ．()f x 在区间π,2π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递増D ．π6f x ⎛⎫+ ⎪为偶函数【例8】（2022·全国·高一单元测试多选题）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线23x π=-对称B ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度得到函数()f x 的图象D ．若方程()f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-【题型专练】1．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向右平移316π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（）A ．()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()g x 的图象关于直线8x π=-对称C ．()g x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()()f x g x +的最小值为4-2．（2022·湖北·襄阳市襄州区第一高级中学高二阶段练习多选题）函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()12sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．若把()f x 图像上的所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位长度，得到函数()h x 的图像，则函数()h x 是奇函数D ．,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥，若()332f x a f π⎛⎫+≥ ⎪恒成立，则a 的取值范围为)2,+∞3．（2022·安徽·高三开学考试）已知函数π()2sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中ππ,2,,0123A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后关于原点对称C ．()f x 在2ππ,3⎡⎤--⎢⎣⎦上单调递减D ．直线7π12x =为()f x 图象的一条对称轴4．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数π()sin()(R,0,0,)2f x A x x A ωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．直线πx =是()f x 图象的一条对称轴B ．()f x 图象的对称中心为π(π,0)12k -+，Z k ∈C ．()f x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象5．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试多选题）函数()()sin 0,0,0πy A x A ωϕωϕ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（）．A ．该函数的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．该函数图象的对称中心为ππ,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Zk ∈C ．该函数的单调递增区间是5ππ3π,3π44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Zk ∈D ．把函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到该函数图象6．（2021·福建·福州十八中高三开学考试多选题）已知函数()sin()(010f x x ωϕω=+<<，0π)ϕ<<的部分图象。

三角函数的奇偶性对称性问题

三角函数的奇偶性对称性问题一 •选择题(共4小题)1. ( 2015?湖南模拟)f (x ) =Asin (®x+ ® (A > 0, w > 0)在 x=1 处取最大值，则() A . f (x - 1) 一定是奇函数 B . f (x - 1) 一定是偶函数C . f (x+1 ) 一定是奇函数D . f ( x+1) 一定是偶函数3. (2008秋？南通校级期末)如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=盲对称，那么a= O( )A .血B ..西C . 1D . - 1(2014?抚州模拟)设函数 f (x ) =Asin ( w x+ $) (A 和，w> 0,二.填空题(共3小题)兀 7T5. (2006?湖南)若f (x) =asin (x+—) +3为门心一三)是偶函数，则a= ___________ .6. ( 2001?上海)关于x 的函数f (x ) =sin (x+ ®有以下命题：① 对任意的為f (x )都是非奇非偶函数；② 不存在0,使f (x )既是奇函数，又是偶函数；③ 存在札使f (x )是奇函数；④ 对任意的為f (x )都不是偶函数.其中一个假命题的序号是____________ .因为当 0= ___________ 时，该命题的结论不成立. 2. ( 2011?新课标)设函数，则 A . y=f (x )在(0,)单调递增，其图象关于直线 B . y=f (x )在(0，•二)单调递增，其图象关于直线 x=——对称4x=- _对称C. y=fD. y=f (x ) 在(0, 单调递减, 单调递减, 其图象关于直线其图象关于直线 X= _对称4 7Tx= 对称2 4. 对称，它的周期是 n 则( )A . f (x )的图象过点 g 号) Q) C . f (x )的一个对称中心是 12B . f (x )在D . f (x )的最大值是Af (x ) =sin (2x+ ) +cos (2x 』),贝y (4(x )在(0, 象关于直线7. ( 2009?湖北校级模拟)已知函数f (x) =sinx+cos (x+t )为偶函数，且t满足不等式t2- 3t - 40V 0,贝U t的值为________________________ .三角函数的奇偶性对称性问题参考答案一•选择题（共4小题）1. D ；2. D ；3. C ；4. C ；二.填空题（共3小题）5.迢；6.①；k n（k €Z）;7.或打；。

例析高考三角函数图像对称性问题

高考中，值得莺视．解决此题，首先根据向量的运算化为一个正弦型函数ｙ—Ａｓｉｎ（鲫＋舻）＋忌，再由平移后函数图像的对称点满足关于点（ｈ，ｏ）对称（其中舛＋舻一ｈ，愚∈ｚ），最后由平移公式及向最模的几何意义求得志一１时ｄ＝
Ｃ．口＞６＞１
Ｄ．６＞口＞１
此题的解决
策略可借助函数与图像的对应关
。◇ ｘ＝２。
系直观判断．根据题意可先画出
（１，淤旧
ｒｘ
ｙ＝ｌｏｇ。ｚ和ｙ—
＼赶
ｌｏｇｂｚ的简图，作
直线ｚ＝２分别
图４
交两函数图像于Ａ、Ｂ两点．由ｌｏｇ。２＜ｌ０９６２＜Ｏ知，两点都在ｚ轴的下方，且点Ａ（２，ｌｏ踟２）在点Ｂ（２，ｌｏ勤２）的下方．当ｏ＜ｎ，６＜ｌ时，图像越靠近ｚ轴，底数越小。所以选择Ｂ．
２．４由三角函数的对称性求平移向量例８（０６湖北，１６）设函数，（ｚ）一ａ·（ｂ＋
ｃ），其中向量ａ＝（ｓｉ砒，一ｃｏｓｚ），ｂ一（ｓｉ眦，一
３ｃｏｓｚ），ｃ＝（一ｃｏｓｚ，ｓｉｎｚ），ｚ∈Ｒ．（Ｉ）求函数，（ｚ）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）将函数ｙ一，（ｚ）的图像按向量ｄ平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的ｄ．
，（３）＋…＋，（２００８）一４×５０２—２００８．
。
评析：本题利用最大值求Ａ，利用两对称轴
问的距离及点的坐标求Ⅲ、舻，从而求出函数的解析式，最后利用周期性求函数值，同时也考查了转化与化归的思想方法．０８年湖北卷理５也相当于由对称轴求初相的类型．
例７（０５全国卷ｌ，１７）设函数，（ｚ）一
ｓｉｎ（２ｚ＋妒）（一７ｃ＜甲＜Ｏ），ｙ＝／（ｚ）图像的一
个对称中心足（丧，ｏ）；
Ｂ．此函数的最小正周期为丌，其图像的一

三角函数的对称性(人教A版)

三角函数的对称性（人教A版）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.函数在上对称轴的条数为( )
A.1
B.2
C.3
D.0
2.方程（是参数，）表示的曲线的对称轴的方程为( )
A. B.
C. D.
3.已知，函数的一条对称轴为直线，一个对称中心为
，则有( )
A.最小值2
B.最大值2
C.最小值1
D.最大值1
4.函数（）图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个值为( )
A. B.
C. D.
5.已知函数图象在区间上仅有两条对称轴，且，那么符合条件的值有( )个
A.1
B.2
C.3
D.4
6.设函数与函数的对称轴完全相同，则的值为( )
A. B.
C. D.
7.设点是函数的图象C上的一个对称中心，若点到图象C 的对称轴的距离的最小值为，则为( )
A.1
B.2
C. D.4
8.函数（，）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，
分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为直线( )
A. B.
C. D.
9.设函数（，，）图象的相邻两条对称轴为直线，直线，则( )
A.的图象过点
B.在区间上是减函数
C.的图象的一个对称中心是
D.的最大值是
10.函数（，，，）的部分图象如图所示，如果，且，则等于( )
A.1
B.
C. D.。

三角函数的对称问题专项练习附解析

奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是()2x k k Z ππ=+∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对称轴是直线()x k k Z π=∈正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点。

正切函数的对称中心（）.一选择题1 (2016·全国Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为A x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B. x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) ＝k π2－π12(k ∈Z ) ＝k π2＋π12(k ∈Z )2 ．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称 B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫⎪4⎝⎭，对称 D ．关于直线x π=3对称 3 .(2014·安徽)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是4. (2015·四川省统考)点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋m (ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为π2，则 A. f (x )的最小正周期是π B. m 的值为1C. f (x )的初相φ为π3D. f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤43π，2π上单调递增6 . (2015·河南焦作市统考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且其图象向右平移π12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象 A. 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称 B. 关于直线x ＝5π12对称 C. 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称 D. 关于直线x ＝π12对称7．如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么Φ的最小值为（A ）6π （B ）4π （C ）3π (D) 2π8 ．已知函数()sin(2))(0)f x x x ψψψπ=+++<<是R 上的偶函数，则ψ的值为Ａ．6π Ｂ．3π Ｃ．23π Ｄ．56π9 .【2015高考四川，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()cos(2)2A y x π=+ ()sin(2)2B y x π=+ ()sin 2cos 2C y x x =+ ()sin cos D y x x =+二填空题（1）函数522y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的奇偶性是______；（2）函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______（3）已知f (x )sin(x )x )θθ=+++为偶函数，求θ的值。

方法6：代入验证法判断三角函数的对称轴和对称中心

方法6 代入验证法判断三角函数的对称轴和对称中心一、单选题1．己知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且图象向右平移12π个单位后得到的函数为偶函数，则下列说法错误的有（）A ．()f x 关于点5(,0)12π对称 B ．()f x 关于直线6x π=对称C ．()f x 在,]1212π5π[-单调递增D ．()f x 在7[,]1212ππ单调递减【答案】ABD 【分析】由周期可求出ω，再由平移后为偶函数求出ϕ，即得()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求出512f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断A ；求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断B ；令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈求出单调递增区间可判断C ；由C 选项可判断D. 【解析】()f x 的最小正周期为π，22πωπ∴==，()sin(2)f x x ϕ=+，向右平移12π个单位后得到sin 26y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数， ,62k k Z ππϕπ∴-=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈， ||2πϕ<，3ϕπ∴=-，()sin 23f x x π⎛⎫∴=-⎪⎝⎭，对于A ，55sin 2sin 10121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 不关于点5(,0)12π对称，故A 错误；对于B ，sin 2sin 001663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，当0k=时，51212x ππ-≤≤，故()f x 在,]1212π5π[-单调递增，故C 正确；对于D ，由C 选项可知，()f x 在5[,]1212ππ单调递增，故D 错误. 故选：ABD. 【小结】本题考查正弦型函数的性质，可通过代入验证的方法判断对称轴和对称中心，利用整体换元可求单调区间. 2．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（），函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称，函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，该图象向右平移3π个单位可得2sin 2y x =的图象 A ．，， B ．，，C ．，，，D ．，，，【答案】A 【分析】根据()f x 的图象及三角函数图像和性质，解得函数()f x 的解析式，得到()2sin(2)3f x x π=+，再结合三角函数的图像和性质逐一判定即可. 【解析】由函数的图象可得2A =，周期4312T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭所以222T ππωπ===，当12x π=时函数取得最大值，即2sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22()122k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，则23k πϕπ=+，又||2ϕπ<，得 3πϕ=，故函数()2sin(2)3f x x π=+，对于，，当6x π=-时，()2sin(2())0663f πππ-=⨯-+=，正确；对于，，当512x π=-时，()2sin 551212(2())23f πππ=⨯+-=--，正确；对于，，令3222()232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得7()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以函数的单调递减区间为7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，27,,()361212k k k Z ππππππ⎡⎤⎡⎤--⊄++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以不正确；对于，，向右平移3π个单位，()2sin(2())2sin(2)3333f x x x ππππ-=-+=-，所以不正确；故选：A. 【小结】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间. 3．将函数1()sin 223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度得到()g x 的图象，则下列判断正确的是（）A ．函数()g x 的最小正周期为2πB ．函数()g x 图象关于直线4x π=对称C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】B 【分析】首先利用平移变换规律得到1()sin 22g x x =-，再通过整体代入法判断函数性质，得到选项. 【解析】由题易得1()sin 22g x x =-， A.函数的周期22T ππ==，故A 不正确； B.当4x π=时， ()g x 取得最小值12-.故B 正确； C.,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，22,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，当2,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减，此时,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，当22,23x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,43x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增，故C 不正确；D.当3x π=时，()02f x =-≠，所以D 不正确. 故选：B 【小结】思路小结：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间.4．已知函数()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的单调递增区间为(),26212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】B 【分析】对A ，根据解析式可直接求出最小正周期；对B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可求出单调递增区间；对C ，计算6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断；对D ，计算24f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断. 【解析】对于A ，()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为242T ππ==，故A 错误；对于B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,26212k k x k Z ππππ-≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故B 正确；对于C ，2sin 412666f πππ⎛⎫⨯+=≠± ⎪⎝=⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象不关于直线6x π=对称，故C 错误；对于D ，2sin 4026244f πππ⎛⎫⨯⎛⎫= +=≠ ⎪⎭⎭⎪⎝⎝，∴()f x 的图象不关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选B. 【小结】判断正弦型函数()()=sin f x A x ωϕ+对称轴或对称中心的方法：（1）利用正弦函数的性质求出对称轴或对称中心，令()2x k k Z πωϕπ+=+∈可求得对称轴，令()x k k Z ωϕπ+=∈可求得对称中心；（2）代入求值判断，若()()00=sin f x A x A ωϕ+=±，则0x x =是对称轴；若()()00=sin 0f x A x ωϕ+=，则()0,0x 是对称中心.5．已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，且直线12x π=是其中一条对称轴，则下列结论错误的是（） A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．3182f π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．函数()f x 在区间,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．点7,024π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心【答案】B 【分析】利用对称轴之间距离和函数对称轴可求得()f x 图像；利用余弦型函数最小正周期求解可知A 正确；根据解析式求得38f π⎛⎫⎪⎝⎭可知B 错误；利用代入检验法可知C ，D 正确. 【解析】()f x 相邻两条对称轴之间的距离为4π，()f x ∴的最小正周期2242T πππω==⨯=，解得：4ω=，12x π=是()f x 的一条对称轴，()412k k Z πϕπ∴⨯+=∈，解得：()3k k ϕπ=π-∈Z ，又2πϕ<，3ϕπ∴=-，()cos 43f x x π⎛⎫∴=-⎪⎝⎭. 对于A ，由上述求解可知，A 正确；对于B ，33cos sin 8233f ππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 错误；对于C ，当,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，[]4,03x ππ-∈-，()f x ∴在,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 正确；对于D ，当724x π=-时，3432x ππ-=-，且73cos 0242f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，7,024π⎛⎫∴- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心. 故选：B. 【小结】对于判断正弦型或余弦型函数的对称轴、对称中心和单调性的问题，通常采用代入检验法，即判断x ωϕ+整体是否对应正弦函数或余弦函数所对应的对称轴、对称中心和单调性. 6．下列函数中最小正周期是π且图象关于直线6x π=对称的是（）A ．2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．2cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2cos 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【分析】确定函数的周期，再判断对称性．可得结论．【解析】由三角函数周期性知，C 中函数最小正周期是2412ππ=，其他三个函数的最小正周期都是22ππ=，把6x π=代入A 有2sin 2266y ππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭是最大值，因此6x π=是函数图象的对称轴；代入B中有2cos 266y ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭不是最值，因此6x π=不是函数图象的对称轴；代入D 中有2sin 2063y ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，不是最值，6x π=是函数图象的对称轴；．故选：A ．【小结】本题考查函数的周期性与对称性．对于三角函数()sin()f x A x ωϕ=+，可以结合正弦函数的性质求出对称轴和对称中心，如利用,2x k k Z πωϕπ+=+∈求得对称轴，利用,x k k Z ωϕπ+=∈求得对称中心坐标，再判断，也可用代入法，即若0()f x 是函数的最值（最大值或最小值），则0x x =是对称轴，若0()0f x =，则0(,0)x 是对称中心． 7．关于()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭有以下命题：①若()()120f x f x ==，则12()x x k k Z π-=∈；②()f x 图象与()3cos 24g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象相同；③()f x 在区间73,88ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦是减函数；④()f x 图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.其中正确的命题序号是（） A ．②③④ B ．①④C ．①②③D ．②③【答案】A 【分析】结合三角函数的图象与性质，逐个验证即可得解. 【解析】对于①，因为函数()f x 的最小正周期22T ππ==，且()()120f x f x ==，所以12π()2k x x k Z -=∈，故①错误；对于②，ππππcos 2sin 2sin 24424x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()()f x g x =，所以()f x 图象与()g x 图象相同，故②正确；对于③，当7π3π,88x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，π3ππ2,422x ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间7π3π,88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，故③正确；对于④，当π8x =-时，π204x +=，所以π08f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故④正确. 故选：A.8．将函数()sin 25f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度后得到函数()y g x =的图象，对于函数()y g x =有以下四个判断：①该函数的解析式为2sin 210y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ②该函数图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③该函数在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④该函数在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. 其中，正确判断的序号是（） A ．②③ B ．①②C ．②④D ．③④【答案】A 【分析】根据函数平移变换得sin 2y x =，再根据正弦函数的性质依次讨论即可得答案. 【解析】解：由函数sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后解析式为sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，选项①错误；令2x k =π，k Z ∈，求得2k x =π，k Z ∈，故函数的图象关于点,02k ⎛⎫⎪⎝⎭π对称，令1k =，故函数的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项②正确；则函数的单调递增区间满足：222()22k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项③正确，④错误. 故选:A. 【小结】本题考查三角函数平移变换，正弦型函数的单调区间，对称中心等，考查运算求解能力，解题的易错点在于平移变换时，当1ω≠时，须将ω提出，平移只针对x 进行平移，具体的在本题中，sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后得sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，而不是sin 2sin 251010y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是中档题.9．设函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为C ，下面结论中正确的是（） A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．图象C 关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象C 向右平移2π个单位后关于原点对称D ．函数()f x 在区间,122ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数【答案】B 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项的正误；利用代入检验法可判断B 选项的正误；求出平移后的函数解析式，结合正弦型函数的基本性质可判断C 选项的正误；由,122x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭可求出23x π-的取值范围，可判断D 选项的正误. 【解析】对于A 选项，函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ==，A 选项错误；对于B 选项，2sin 006f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以，图象C 关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，B 选项正确；对于C 选项，将图象C 向右平移2π个单位后所得函数的解析式为()2sin 22sin 2233g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()02sin 2sin 033g ππ⎛⎫=--==≠ ⎪⎝⎭，函数()g x 不是奇函数，C 选项错误；对于D 选项，当,122x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，22,323x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以，函数()f x 在区间,122ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，D 选项错误. 故选：B. 【小结】对于正弦型函数()sin y A x k ωϕ=++在区间(),a b 上单调性的判断，一般先由(),x a b ∈计算出x ωϕ+的取值范围，再结合正弦函数的单调性来进行判断.二、多选题10．已知函数()2cos 1f x x =+，下列结论正确的为（） A ．函数()f x 的值域为[1,3]-B ．函数的一条对称轴为x π=C ．函数的一个对称中心为,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．函数2y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数【答案】ABC 【分析】求出函数的值域可知A 正确；代入检验可知B C 正确；根据特值法可知D 不正确. 【解析】对于A ，因为cos [1,1]x ∈-，所以()[1,3]f x ∈-，故A 正确；对于B ，因为()2cos 11f ππ=+=-，所以函数的一条对称轴为x π=，故B 正确；对于C ，因为()2cos1122f ππ=+=，所以函数的一个对称中心为,12π⎛⎫⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，因为()()2cos()12sin 122g x f x x x ππ=+=++=-+，()2sin()1322g ππ-=--+=，()2sin 1122g ππ=-+=-，()()22g g ππ-≠-，所以()g x 不是奇函数，即函数2y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不为奇函数，故D 不正确. 故选：ABC 【小结】熟练掌握三角函数的值域、对称轴、对称中心、奇偶性是解题关键. 11．函数()()sin 23f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴可以是（） A ．2x π=B ．12x π=C ．512x π=D ．12x π=-【答案】CD 【分析】利用正弦型函数图象性质求解. 【解析】()()sin 23f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭对称轴：2,32x k k Z πππ-=+∈，解得5,122k x k Z ππ=+∈，当0k =时，512x π=，故C 选项正确；当1k =-时，12x π=-，故D 选项正确；故选：CD.12．已知函数()sin(cos )f x x =，则下列关于该函数性质说法正确的有（） A ．()f x 的一个周期是2π B ．()f x 的值域是[1,1]-C ．()f x 的图象关于点(,0)π对称D ．()f x 在区间(0,)π上单调递减【答案】AD 【分析】根据正弦型函数的性质，结合余弦函数的性质逐一判断即可.A ：因为(2)sin[cos(2)]sin(cos )()f x x x f x ππ+=+==，所以2π是函数()f x 的周期，故本选项说法正确；B ：因为1cos 1x -≤≤，[1,1][,]22ππ-⊆-，所以sin(1)sin(cos )sin1()[sin1,sin1]x f x -≤≤⇒∈-，故本选项说法不正确；C ：因为()sin[cos()]sin(1)sin10f ππ==-=-≠，所以()f x 的图象不关于点(,0)π对称，故本选项说法不正确；D ：因为(0,)x π∈，所以函数cos y x =是单调递减函数，因此有1cos 1x -≤≤，而[1,1][,]22ππ-⊆-，所以()f x 在区间(0,)π上单调递减，故本选项说法正确. 故选：AD13．已知函数()sincos 22x xf x =+，则下列四个结论中正确的是（） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的值域为⎡⎣D ．设函数()()sin 0,0g x x πϕωϕπω⎛⎫=+>≤≤⎪⎝⎭的奇偶性与函数()f x 相同，且函数()g x 在()0,3上单调递减，则ω的最小值为2 【答案】BC 【分析】首先利用函数的奇偶性的应用判定A 的结论，利用函数的关系式的变换求出函数的最小正周期，进一步判断B 的结论，利用函数的定义域求出函数的值域，进一步判定C 的结论，利用函数的性质求出ω的范围，进一步判定D 的结论.解：对于A ：由于函数()sincos 22x xf x =+，则根据函数的性质，所以()sin cos ()22x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数为偶函数，故函数的图象关于y 轴对称，故A 错误；对于B ：由于()sincos sin cos ()2222x x x xf x f x πππ+++=+=+=，则函数的最小正周期为π，故B 正确；对于C ：当[]0,x π∈时，函数()sincos 2224x x x f x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于3,2444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦24x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，故C 正确；对于D ：函数()f x 为偶函数，所以()sin g x x πϕω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，所以sin 1ϕ=±，故()2k k Z πϕπ=+∈，由于0ϕπ≤≤，所以2ϕπ=，所以()sin 2g x x ππω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()cos g x x πω⎛⎫=⎪⎝⎭，由于0>ω，03x <<，所以30x ππωω<<，函数在()0,3上单调递减，故3ππω≤，解得3ω≥，故D 错误. 故选：BC .14．若函数22()23sin cos f x x x x =++在[,]a a -上为增函数，则（）A ．实数a 的取值范围为0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．实数a 的取值范围为0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．点,212π⎛⎫⎪⎝⎭为曲线()y f x =的对称中心 D ．直线3x π=为曲线()y f x =的对称轴【答案】ACD 【分析】化简函数()2sin 226f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，逐项判定，即可求解. 【解析】由题意，函数222()23sin cos 22sin 1f x x x x x x =++=++2cos 222sin 226x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，令2262x πππ-≤-≤，可得263x ππ-≤≤，所以06a π<≤，所以A 正确，B 不正确；令12x π=，可得()2sin 22212126f πππ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，所以点,212π⎛⎫⎪⎝⎭为曲线()y f x =的对称中心，所以C 正确；令3x π=，可得()2sin 224336f πππ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，所以3x π=为曲线()y f x =的对称轴，所以D 正确. 故选：ACD 【小结】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.15．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =的图象关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．函数()y f x =的图象关于直线5π12x =-对称 C ．函数()y f x =在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 D ．该图象向右平移π6个单位可得2sin 2y x =的图象【答案】BD 【分析】由图象求出函数解析式，然后结合正弦函数性质判断各选项．【解析】由函数的图象可得2A =，周期ππ4π312T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以2π2π2πT ω===，当π12x =时，函数取得最大值，即ππ2sin 221212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()ππ22π122⨯+=+∈k k ϕZ ，则π2π3k ϕ=+，又π2ϕ<，得π3ϕ=，故函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于A ，2sin 033f ππ⎛⎫⎛⎫-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 不正确；对于B ，当5π12x =-时，5π5πππ2sin 22sin 2121232⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f ，即直线5π12x =-是函数()f x 的一条对称轴，故B 正确；对于C ，当236x ππ-≤≤-时，203x ππ-≤+≤，所以，函数()f x 在区间2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦不单调，故C 错误；对于D ，将()f x 的图象向右平移π6个单位后，得到ππ2sin 222sin 263⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭y x x 的图象，即D 正确. 故选：BD ．【小结】思路小结：本题考查由图象求三角函数的解析式，考查正弦型函数的性质．解题思路是图象中最高点或最低点求得A ，由零点或最值点求出周期从而得ω，再由点的坐标求得ϕ，得函数解析式，然后利用正弦函数性质求解．16．设函数()()sin f x x ωϕ=+(0>ω，2πϕ<)，5012f π⎛⎫=⎪⎝⎭，213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()f x 在,312ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则下列结论正确的是（） A ．7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 B ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称C ．函数()f x 在区间,244ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎣⎦D ．先将sin y x =的图象的横坐标缩短为原来的12，然后向左平移12π个单位得到()f x 的图象【答案】ABD 【分析】先由()f x 在,312ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，判断5212T π>，再由5012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可计算得,ωϕ，得到()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，再根据正弦函数的图象和性质逐项判断. 【解析】因为()f x 在,312ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，所以5212312T πππ⎛⎫>--= ⎪⎝⎭，因为5012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2543124T πππ=-=，所以2T ππω==，得2ω=，由213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得4232k ππϕπ+=-+，k Z ∈，令1k =，得6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，令712x π=-，得26x ππ+=-，故A 项正确；令6x π=，得262x ππ+=，故B 项正确；当,244x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,643x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 26x π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，故C 项错误；先将sin y x =的图象的横坐标缩短为原来的12，然后向左平移12π个单位得()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象，故D 项正确. 故选：ABD 【小结】对于函数()sin y A ωx φ=+的对称轴与对称中心的求解，可将x ωϕ+看成一个整体，利用正弦函数的对称轴和对称中心计算求得. 17．已知函数()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（） A ．()g x 的图象关于直线3x π=对称B ．()g x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．()g x 在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()g x 在区间70,6π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点【答案】CD 【分析】求出2()sin 0333g πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭， ()sin 0336g πππ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，即可判定AB 错误，5,,2,012632x x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到C 正确，解方程即可得到D 选项正确.【解析】2()sin 0333g πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以A 选项错误；()sin 0336g πππ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，所以B 选项错误； 5,,2,012632x x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是正弦函数的增区间的子区间，所以()g x 在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，所以C 选项正确；令()sin 203g x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2,3x k k Z ππ+=∈，,26k x k Z ππ=-∈，所以在区间70,6π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点，所以D 选项正确. 【小结】此题考查正弦型函数的单调性判断，求对称轴和对称中心以及零点问题，关键在于熟练掌握三角函数的基本性质.18．对于函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭（其中0>ω），下列结论正确的是（） A ．若()12f x f π⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立，则ω的最小值为2B ．当2ω=时，()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数 C ．当2ω=时，()f x 的图象可由()cos 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右移3π个单位长度得到 D ．当12ω=时，()f x 的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称【答案】AC 【分析】由题意可知函数()f x 的图象的一条对称轴为直线12x π=-，可得()1232k k Z πππωπ--=+∈，可判断A选项的正误；由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可计算得出22333x πππ-<-<，可判断B 选项的正误；利用三角函数图象变换可判断C 选项的正误；利用正弦型函数的对称性可判断D 选项的正误.【解析】对于A 选项，由于()12f x f π⎛⎫<-⎪⎝⎭恒成立，则函数()f x 的图象的一条对称轴为直线12x π=-，所以，()1232k k Z πππωπ--=+∈，解得()1012k k Z ω=--∈，当1k =-时，正数ω取最小值2，A 选项正确；对于B 选项，当2ω=时，()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，22333x πππ-<-<，此时，函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，B 选项错误；对于C 选项，当2ω=时，()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()cos 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右移3π个单位长度可得到5cos 2cos 2cos 2sin 2366323y x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，C 选项正确；对于D 选项，当12ω=时，()1sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1sin sin 1032332f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以，函数()f x 的图象不关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭成中心对称，D 选项错误. 故选：AC. 【小结】思路小结：求解正弦型函数的基本性质问题，一般将三角函数的解析式化为()sin y A x b ωϕ=++的形式，然后利用正弦函数的基本性质来进行求解. 19．设函数()cos()3f x x π=+，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的一个周期为2πB ．()y f x =的图象关于直线83x π=对称 C ．()f x 与x 轴的一个交点坐标为,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】ABC 【分析】由最小正周期公式可判断A ，由813f π⎛⎫=-⎪⎝⎭可判断B ，由06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可判断C ，由,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得54,363πππx ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，进而可判断D. 【解析】对于A ，函数()f x 最小正周期2T π=，所以A 正确；对于B ，()min 88cos 1333f f x πππ⎛⎫⎛⎫=+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()y f x =的图象关于直线83x π=对称，故B 正确；对于C ，cos 0663f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，54,363πππx ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故D 错误. 故选：ABC.20．已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =-，则下列结论正确的是（） A ．函数()y f x =在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数 B ．直线38x π=是函数()y f x =图像的一条对称轴 C ．函数()y f x =的图像可由函数sin 2y x =的图像向右平移8π个单位得到 D ．函数()y f x =的图像关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】AB【分析】先将函数变形为sin ωφf x A x B 的形式，然后利用三角函数的性质逐一判断．【解析】解：()22sin cos 2cos sin 21cos 2214f x x x x x x x π⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭，对于A 选项，当0,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,044x ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，函数()y f x =为增函数，A 正确；令242x k πππ-=+，k ∈Z ，得382k x ππ=+，k ∈Z ，当0k =时，38x π=，所以直线38x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴，B 正确；函数sin 2y x =的图象向右平移8π个单位得到函数sin 2sin 284y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象，C 错误；211884y f πππ⎛⎫=⨯⎛⎫= ⎪⎝-- ⎪⎭⎭=-⎝，故函数()y f x =的图像关于,18π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，D 错误，故选：AB.21．已知函数()2sin sin 2f x x x =-+，则下列结论正确的是（） A ．函数()f x 是周期函数B ．函数()f x 在[π-，π]上有4个零点C ．函数()f x 的图象关于(π对称D ．函数()f x【答案】ACD 【分析】由选项的问题逐一计算，A 选项，代入周期的公式验证即可；B 选项，求导求函数的单调性以及极值和端点值，从而判断函数的零点个数；C 选项，代入2x π-，计算()()2f x f x π-+的值验证；D 选项，由B 选项可知结果. 【解析】A ：由于(2)()f x f x π+=，所以函数()f x 是周期函数，A 正确；B ：()2(cos 1)(2cos 1)f x x x '=-+，研究[π-，π]情况，发现()f x 在(π-，23π-)，(23π，π)单调递增，在(23π-，23π)单调递减，求得2()3f π-=，()f π=，2()3f π=，()f π-=，所以函数()f x在[π-，π]上有2个零点，故B 错误；C ：由于(2)2sin(2)sin[2(2)]()2sin sin 2f x x x f x x x πππ-=-+-==-，所以(2)()f x f x π-+=()f x 的图象关于(π)对称；D ：由B 选项的过程可知，()f x ，D 正确.故选：ACD . 【小结】本题考查含三角函数的复合型函数的周期性，零点个数以及对称性，属于中档题.（1）含三角函数的复合型函数求导时()'0f x >的解为增区间；()'0f x <的解为减区间；不考虑三角函数本身的增减性.（2）正弦型、余弦型复合函数的单调性要看内外层函数的单调性. 22．已知函数()sin cos cos sin f x x x ωϕωϕ=+（0>ω，02πϕ<<）的最小正周期为π，且图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，则（） A ．直线12x π=是函数()f x 图象的一条对称轴B ．()f x 的图象可由cos 2y x =的图象向左平移12π个单位长度得到 C ．()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,1 D ．()f x 在区间3,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】AC 【分析】先利用两角和的正弦公式化简()f x ，利用已知条件求出,ωϕ，得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的图象与性质逐一判断即可. 【解析】()()sin cos cos sin sin f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+，由2ππω=，解得2ω=，又函数()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，所以0sin 23πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，结合02πϕ<<，得3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 当12x π=时，232x ππ+=，故直线12x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，选项A 正确；cos 2sin 22y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，将其图象向左平移12π个单位长度后，得到函数2sin 2sin 21223y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，该解析式不能化为()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故选项B 错误；当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时()[]0,1f x ∈，选项C 正确；当3,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，222,2333x πππππ⎡⎤+∈---+⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的图象可知，()f x 在该区间上有增有减，故选项D 错误.故选：AC. 【小结】关键小结：熟练掌握三角函数的图象与性质是解决本题的关键. 23．将函数sin y x =的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再将所得图象向右平移12π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（） A ．()g x 的最小正周期为π B ．()g x 的图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 C ．()g x 在,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．若存在()0,a π∈，使()()3g x a g x a +=+成立，则π2a 【答案】ACD 【分析】根据三角函数图象的变换得到函数()g x 的解析式，然后利用函数的周期性、对称性、单调性等逐一分析各个选项，从而得解．【解析】将sin y x =的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数sin 2y x =的图象，再将所得图象向右平移12π个单位长度，得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以()sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． ()g x 的最小正周期22T ππ==，所以A 正确；对于()sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令512x π=，得5()sin 2126g x ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭()g x 的图象不关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，B 错误；当,63x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，此时函数()g x 是单调递增的，所以C 正确；()sin 226g x a x a π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，(3)sin 266g x a x a π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，由()(3)g x a g x a +=+，(0,)a π∈，得2222666x a k x a πππ+-+=+-，k ∈Z ，所以2k a π=，k ∈Z ，又(0,)a π∈，所以π2a ，D 正确．故选：ACD ．【小结】判断某个点是否为函数图象的对称中心或某条直线是否为函数图象的对称轴，只需把相应自变量的值代入函数解析式进行验证即可，对称轴对应函数的最值，对称中心对应函数的零点；单调性的判断可以利用正（余）弦函数的单调性进行判断．24．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．函数41sin[(21)]()21i i x f x i =-=-∑的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则（）A ．函数()f x 为周期函数，且最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于点(2π,0)对称C ．函数()f x 的图象关于直线π2x =对称 D ．函数()f x 的导函数()'f x 的最大值为4 【答案】BCD 【分析】利用周期的定义可判断A 选项的正误；根据()()40f x f x π++-= 可判断B 选项的正误；利用函数的对称性可判断C 选项的正误；求得函数()y f x =的导数，求出()y f x '=的最大值，可判断D 选项的正误. 【解析】()sin 3sin 5sin 7sin 357x x xf x x =+++， ()()()()()sin 3sin 5sin 7sin 357x x x f x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦+=++++()()sin 3sin 5sin 7sin 357x x x x f x f x =----=-≠，所以，π不是函数()y f x =的最小正周期，A 选项错误；()()()()()sin 3sin 5sin 7sin 357x x x f x x ----=-+++sin 3sin 5sin 7sin 375x x xx =----， ()()()()()sin 34sin 54sin 74sin 43574x x x f x x πππππ+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++=sin 3sin 5sin 77sin 35x x xx =+++，所以()()40f x f x π++-=，故函数()f x 的图象关于点(2π,0)对称，B 选项正确；()()()()()sin 3sin 5sin 7sin 375x x x f x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=-+++()sin 3sin 5sin 7sin 357x x xx f x =+++=，所以，函数()y f x =的图象关于直线2x π=对称，C 选项正确；()cos cos3cos5cos7f x x x x x ++'=+，1cos 1x -≤≤，1cos31x -≤≤，1cos51x -≤≤，1cos71x -≤≤，则()cos cos3cos5cos74f x x x x x =+++≤'，又()04f '=，所以函数()y f x '=的最大值为4，D 选项正确. 故选：BCD. 【小结】本题考查正弦、余弦型函数基本性质的判断，涉及正弦型函数的周期性、对称性以及余弦型函数最值的判断，考查计算能力，属于中等题.25．已知函数()sin(2)6f x x π=-，下列说法正确的是（）A ．()f x 关于点(,0)12π对称B ．()f x 关于直线6x π=-对称C ．()f x 的图像向左平移6π个单位长度后可得到()sin 2f x x =的图像 D ．()sin 2f x x =的图像向右平移12π个单位长度后可得到()f x 的图像【答案】ABD 【分析】代入求解即可判断AB ；求出平移后的解析式即可判断CD. 【解析】对于A ，()sin(2)012126f πππ=⨯-=，∴()f x 关于点(,0)12π对称，故A 正确；对于B ，()sin(2)1666f πππ-=-⨯-=-，∴()f x 关于直线6x π=-对称，故B 正确；对于C ，()f x 的图像向左平移6π个单位长度后得sin 2sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 错误；对于D ，()sin 2f x x =的图像向右平移12π个单位长度后得sin 2sin 2126y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ABD.26．已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=则（） A ．()g x 的图象关于点(,0)6π对称B ．()g x 的图象的一条对称轴是6x π=C ．()g x 在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减 D ．()g x 在(,)33ππ-值域为(0,1) 【答案】BC 【分析】首先根据求导公式得到()2sin 3g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质依次判断选项即可.【解析】()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫'=-=-+ ⎪⎝⎭，所以()2sin 3g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.对选项A ，2sin 2062g ππ⎛⎫=-=-≠⎪⎝⎭，故A 错误；对选项B ，2sin 262g ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以6x π=为()g x 图象的一条对称轴，故B 正确.对选项C ，因为566x ππ-<<，所以232x πππ-<+<，所以函数sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在5,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭为增函数，即()2sin 3g x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭在5,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭为减函数，故C 正确. 对选项D ，33x ππ-<<，所以2033x ππ<+<，所以0sin 13x π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，()20g x -≤<，故D 错误.故选：BC27．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（） A ．函数()f x 的图象关于直线23x π=对称 B ．函数()f x 的图象关于点11,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 在区间,212 ππ⎡--⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()f x 在3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点【答案】CD 【分析】先根据题意求解析式，然后用整体代入的思想求出函数的所有对称轴、对称中心、单调递减区间及零点，逐一判断各选项，即可得出结论. 【解析】函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π. ，2ππω=，解得2ω=.，()sin(2)f x x ϕ=+，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数()g x 为奇函数，，2()sin 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可得2(0)sin 03g πϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，，23k πϕπ-+=，k Z ∈，取1k =-，可得3πϕ=-.，()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，验证：203f π⎛⎫=⎪⎝⎭，11112f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此A ，B 不正确. 若,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，则42,332x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因此函数()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.C 正确. 若3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则82,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，因此函数()f x 在区间3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上只有两个零点，D 正确.故选：CD. 【小结】本题解题关键是熟练掌握正弦函数sin y x =的图像性质（单调性、对称性、零点等），x ωϕ+整理代入研究()sin y A ωx φ=+的图像性质，即突破难点. 28．函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<<⎪⎝⎭的图象过点()0,2，若把函数()y f x =图像向右平移()0ϕϕ>个单位得到函数()sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，则下列结论正确的是（）A ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴 B ．函数()y f x =的最小正周期是π C ．函数()y f x =的值域是[]0,2 D ．ϕ的最小值是6π 【答案】BCD【分析】将点(0,2)代入()f x 表达式中，可求出4πθ=，则()cos 21f x x =+，再根据余弦函数的性质对每一选项进行判断，得出答案. 【解析】由函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<< ⎪⎝⎭的图象过点(0,2)，可得2sin 22θ=，即sin 21,02,2,24ππθθπθθ=<<∴=∴=，故2()2sin(2)cos 2cos cos 21f x x x x x θ=+⋅==+，当4x π=时，()1f x =，故A 不正确；()f x 的最小正周期为22ππ=，故B 正确； ()cos 21[0,2]f x x =+∈，故C 正确；而()cos 21sin 212f x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭sin 21sin 21()6626f x x x g x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确故选：BCD 【小结】本题考查三角函数的图象性质，解答中利用最小正周期公式求函数的最小正周期时，公式2T ωπ=中的ω是函数()cos y A x ωϕ=+ 中x 的系数，在函数图象左、右平移时，遵循“左加，又减”，一定是在自变量x 上进行加减，这是很容易错的地方，属于中档题. 29．若函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像，如图所示，则下列说法正确的是（）A ．6π=ϕ B ．函数()f x 的图像关于6x π=对称C ．函数()f x 的图像关于点5,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 D ．,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，()f x 的值域为[]2,1- 【答案】ABD 【分析】根据三角函数的图像求出函数的解析式，再由三角函数的性质即可得出选项. 【解析】由图像可知2A =，(0)2sin 1f ϕ==，即1sin 2ϕ=，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ， 332sin 446f πππω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()352,463k k Z πππωπ∴+=+∈， ()82,3k k Z ω∴=+∈，周期234T ππω=>，803ω∴<<，即2ω=， ()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，对于A ，6π=ϕ，正确；对于B ，2sin 262f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，故图像关于6x π=对称，正确；对于C ，532sin 262f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，错误；对于D ，,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以()[]2,1f x ∈-，正确；故选：ABD.30．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于2x π=直线对称B ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 在区间36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增 D ．1y =与图象()231212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的所有交点的横坐标之和为83π 【答案】BCD 【分析】根据图象求出函数解析式，再判断各选项．【解析】由题意2A =，254312T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，∴22πωπ==，又22sin 223πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，。

初中数学如何求解三角函数的对称性变换问题

初中数学如何求解三角函数的对称性变换问题在初中数学中，我们经常会遇到求解三角函数的对称性变换问题。

这类问题要求我们根据已知函数的对称性，求解相应的变换函数的对称性。

在本文中，我们将讨论如何求解三角函数的对称性变换问题，并通过具体的例子来说明。

一、正弦函数和余弦函数的对称性变换1. 正弦函数的对称性变换正弦函数sin(x)是一个奇函数，即满足sin(-x) = -sin(x)。

现在我们来求解正弦函数的对称性变换问题，即求解sin(ax)的对称性。

当a为偶数时，sin(ax) = sin(2nx)，其中n为整数。

我们知道，sin(2nx)是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是奇函数。

所以，sin(ax)也是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是奇函数。

当a为奇数时，sin(ax) = sin((2n+1)x)，其中n为整数。

我们知道，sin((2n+1)x)是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是奇函数。

所以，sin(ax)也是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是奇函数。

综上所述，当a为偶数时，sin(ax)是一个周期为2π的奇函数；当a为奇数时，sin(ax)是一个周期为2π的奇函数。

2. 余弦函数的对称性变换余弦函数cos(x)是一个偶函数，即满足cos(-x) = cos(x)。

现在我们来求解余弦函数的对称性变换问题，即求解cos(ax)的对称性。

当a为偶数时，cos(ax) = cos(2nx)，其中n为整数。

我们知道，cos(2nx)是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是偶函数。

所以，cos(ax)也是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是偶函数。

当a为奇数时，cos(ax) = cos((2n+1)x)，其中n为整数。

我们知道，cos((2n+1)x)是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是奇函数。

所以，cos(ax)也是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是奇函数。

三角函数对称性问题的一种简捷解法

三角函数对称性问题的一种简捷解法三角函数对称性问题,是近年来高考考察比较多的一类题目,但均为小题或中低档题目。

若按对称性的定义来解,比较麻烦,甚至会出现运算上的错误。

现结合三角函数的图象特征,给出一种快速、简捷且准确性较高的方法。

定理若x=x0是函数y=Asin(ω+φ)+k,x∈R的一条对称轴,则一定有sin(ωx0+φ)=±1;若点P(x0, k)是函数的一个对称中心,则一定有sin(ωx0+φ)=0.(证明从略)注:上述结论对于函数y=Acos(ωx+φ)+k, x∈R也适用;当y=Atan(ωx+φ)+k时,只有对称中心,无对称轴,将x=x0代入得tan(ωx0+φ)=0或无意义.例1 (09年天津.文)已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,将y=f(x)的图像向左平移|φ|个单位长度,所得图象关于y轴对称,则φ的一个值是()A.π2B.3π8C. π4D. π8解:由已知,周期为π=2πω,得ω=2,即f(x)=sin(2x+π4)(x ∈R)向左平移|φ|个单位得g(x)=sin[2(x+φ)+π4 ∵其图象关于y轴对称∴将x=0代入sin[2(x+φ)+π4]得sin(2φ+π4)=±1,∴2φ+π4=kπ+π2,k∈Z∴φ=kπ2+π8,k∈Z令k=0,得φ=π8故选答案D.评析:此题若用偶函数定义来解运算比较复杂.例2 (05年全国I.理)设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.求f(π8)的值.解:原函数可化为f(x)=2sin(ωx+φ-π6,由题意得周期T=π,∴ω=2即f(x)=2sin(2x+φ-π6 ∵f(x)为偶函数∴将x=0, 代入sin(2x+φ-π6)得sin(φ-π6)=±1,∴φ-π6=kπ+π2,k∈Z ∴φ=kπ+2π3,k∈Z ∵00)个单位,所得图象关于直线x=π12对称,求φ的最小值. 答案:φ=π4.。

利用三角函数对称性解题

利用三角函数对称性解题摘要：我们在研究三角函数图像和性质时，研究了三角函数图像关于特殊点、特殊直线的对称问题，那么，哪些点是三角函数的对称中心？哪些直线是三角函数的对称轴？它们各自有什么特点？如何用三角函数的对称性解决有关问题？关键词：三角函数图像的对称性、对称轴方程、对称中心、三角函数解析式、参数值正弦函数y =sin x 和余弦函数y =cos x 的图像都是轴对称图形，它们有无数条对称轴。

对称轴方程分别为x ＝()2k k ππ+∈Z 和x ＝()k k π∈Z ，它们都经过图像的最高点或最低点，即经过函数的最值点。

同时，正弦函数y =sin x 和余弦函数y =cos x 的图像又都是中心对称图形，它们有无数个对称中心。

对称中心的坐标分别是(,0)k π()k ∈Z 和(,0)2k ππ+()k ∈Z ，它们都是函数图像与x 轴的交点，即函数的零点。

正切函数y =tan x 的图像不是轴对称图形，是中心对称图形，它有无数个对称中心，其坐标是(,0)2k π()k ∈Z ，它们是函数图像与x 轴的交点或函数值不存在的点。

求y=sin()A x ωϕ+(0,0)A ϕ>>或y=cos()(0,0)A x A ωϕϕ+>> 的对称轴方程，只需令2x k πωϕπ+=+（或x k ωϕπ+=）()k ∈Z ，从而求得函数y=sin()A x ωϕ+的图像具有无数条对称轴，其方程为,2k k k Z x ππϕωωω=+-∈，函数y=cos()A x ωϕ+的图像具有无数条对称轴，其方程为,k k k Z x πϕωω=-∈；求对称中心坐标只需令x k ωϕπ+=（或2k x k πωϕπ+=+）2k ππ+，从而求得其横坐标，纵坐标是零。

求y =tan()A x ωϕ+的对称中心坐标，只需令2k x πωϕ+=()k ∈Z 求得其横坐标，纵坐标是0.一、已知函数解析式，求函数的对称轴方程或对称中心坐标，或利用对称性解决其他问题。

三角函数对称性习题

第64课--求三角函数的对称轴或对称中心

三角函数的对称性测试题(人教A版)(含答案)

三角函数对称性问题ppt课件

专题05---2014-2024北京三角函数选题真题汇编解析版

重视直观,学会抽象——以一道三角函数对称性习题拓展学习设计为例

备战2020高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数：7 三角函数的图象与性质(3)——奇偶性、对称性与周期

三角函数对称性习题

第4节 第2课时 三角函数的周期性、奇偶性与对称性--2025年高考数学复习讲义及练习解析

三角函数的图象与性质6大题型(解析版)--2024高考数学常考题型精华版

三角函数的奇偶性对称性问题

例析高考三角函数图像对称性问题

三角函数的对称性(人教A版)

三角函数的对称问题专项练习附解析

方法6： 代入验证法判断三角函数的对称轴和对称中心

初中数学 如何求解三角函数的对称性变换问题

三角函数对称性问题的一种简捷解法

利用三角函数对称性解题

第4节第2课时三角函数的周期性、奇偶性与对称性--2025年高考数学复习讲义及练习解析

方法6：代入验证法判断三角函数的对称轴和对称中心

初中数学如何求解三角函数的对称性变换问题