高等数学(同济第七版)上册-知识点总结
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)教材包含 笔记 课后习题 考研真题 导数与微分(圣才出品
区间 Ix＝{x|x＝f（y），y∈Iy}内也可导，且
f 1 x
f
1
y
或
dy dx
1 dx
dy
3．复合函数的求导法则
如果 u＝g（x）在点 x 可导，而 y＝f（u）在点 u＝g（x）可导，则复合函数 y＝f[g（x）]
在点 x 可导，且其导数为
dy f ug x或 dy dy du
dx
dx du dx
u nv
nu n1v
nn
1
u
n2 v
...
n
n
1... n
k
1
u
nk
v
k
... uv
n
2!
k!
或
uv n n Cnkunkvk k 0
四、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
1．隐函数的导数
（1）隐函数 F（x，y）＝0 导数的求法
把函数方程两边分别对 x 求导，然后化简得到 dy/dx 的结果。
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第 2 章 导数与微分
2.1 复习笔记
一、导数概念
1．导数
（1）导数与导函数
①导数的定义
f
x0
lim
x0
y x
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0
（2）单侧导数
①左导数
f ( x0
)
lim
h0
f
x0 h
h
f
x0
②右导数
（1）参数方程的一阶导数公式
dy dx
dy dt dt dx
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)笔记和课后习题(3-4章)(圣才出品)
第3章微分中值定理与导数的应用3.1复习笔记一、微分中值定理1．罗尔定理（1）费马引理设函数f（x）在点x0的某邻域U（x0）内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x ∈U（x0），有f（x）≤f（x0）或f（x）≥（x0），则f′（x0）＝0。
（2）罗尔定理如果函数f（x）满足：①在闭区间[a，b]上连续；②在开区间（a，b）内可导；③在区间端点处的函数值相等，即f（a）＝f（b）。
则在（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），使得f′（ξ）＝0。
2．拉格朗日中值定理（1）拉格朗日中值定理如果函数f（x）满足：①在闭区间[a，b]上连续；②在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），有f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）。
（2）拉格朗日中值定理的证明思路引进辅助函数φ（x）＝f（x）－f（a）－（f（b）－f（a））（x－a）/（b－a），再利用罗尔定理，即可证得。
（3）有限增量公式f（x＋Δx）－f（x）＝f′（x＋θΔx）·Δx（0＜θ＜1）或Δy＝f′（x ＋θΔx）·Δx（0＜θ＜1）。
（4）定理如果函数f（x）在区间I上连续，I内可导且导数恒为零，则f（x）在区间I上是一个常数。
3．柯西中值定理如果函数f（x）及F（x）满足：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）对任一x∈（a，b），F′（x）≠0，则在（a，b）内至少有一点ξ，有[f（b）－f（a）]/[F（b）－F（a）]＝f′（ξ）/F′（ξ）。
二、洛必达法则1．洛必达法则（1）x→a时，0/0的洛必达法则①当x→a时，函数f（x）及F（x）都趋于零；②在点a的某去心邻域内，f′（x）及F′（x）都存在且F′（x）≠0；③()()lim x a f x F x →''存在（或为无穷大），则()()()()lim lim x a x a f x f x F x F x →→'='（2）x→∞时，0/0的洛必达法则①当x→∞时，函数f（x）及F（x）都趋于零；②当|x|＞N 时，f′（x）与F′（x）都存在，且F′（x）≠0；③()()limx f x F x →∞''存在（或为无穷大），则()()()()lim lim x x f x f x F x F x →∞→∞'='注：对于x→a 或x→∞时的未定式∞/∞，也有相应的洛必达法则。
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高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim x g x f 且lx g x f )()(lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以 f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以 f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1-cos x ~ 2/2^x ，xe -1 ~ x ，)1ln(x ~ x ，1)1(x ~ x二．求极限的方法1．两个准则准则 1.单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤h (x )若A x h A x g )(lim ,)(lim ，则Ax f )(lim 2．两个重要公式公式11sin limx x x公式2ex xx /10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332n n nnnxxo n xx x xxx o n x x x x e)(!2)1(...!4!21cos 2242nnnx o n xxxx )()1(...32)1ln(132nnn x o n xxxxx )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2nnx o xn n xx x )(12)1( (5)3arctan 1212153n n n xo n xxxxx 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0x f x x，0)(lim 0x F x x；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(x F ；（3）)()(limx F x f xx 存在（或为无穷大），则这个定理说明：当)()(limx F x f xx 存在时，)()(limx F x f xx 也存在且等于)()(limx F x f xx ；当)()(limx F x f x x为无穷大时，)()(limx F x f xx 也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L ospital ）法则.型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）)(lim 0x f xx ，)(lim 0x F xx ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(x F ；（3）)()(limx F x f xx 存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x时未定式型的洛必达法则，对于x 时未定式型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“”型才能运用该法则；)()(lim)()(limx F x f x F x f x xx x)()(lim)()(lim 0x F x f x F x f x xxx（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim0'00x f xx f x x f x (如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式11)()(1limdx x f n kf nnk n（如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x)的间断点。
高等数学同济第七版知识点总结
高等数学同济第七版知识点总结
高等数学（第七版）是同济大学数学系编写的教材。
本书在高等数学知识点总结上，包含了微积分、多元函数、级数、常微分方程等内容。
下面是对这些知识点的总结：
1. 微积分
微积分是高等数学的重要内容，包括了导数和积分两个方面。
导数是函数在某一点上的变化率，表示了函数的斜率。
通过导数，可以求解函数的最值、判定函数的单调性和凸凹性等。
积分是导数的逆运算，是求解曲线的面积、体积和弧长等的工具。
通过积分，可以计算函数的定积分和不定积分。
2. 多元函数与偏导数
多元函数是多个自变量的函数，例如二元函数和三元函数。
偏导数是多元函数的导数，表示函数在某个自变量上的变化率。
通过偏导数，可以求解多元函数的最值、判断函数的单调性和凸凹性等。
3. 重积分
重积分是对多元函数进行积分的运算。
根据积分区域的不同，重积分可以分为二重积分和三重积分。
通过重积分，可以计算函数在区域上的平均值、质量和质心等属性。
4. 微分方程与常微分方程
微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
常微分方程是只包含一元函数及其导数的微分方程。
通过解常微分方程，可以得到函数的解析解或者数值解。
5. 级数
级数是数列的和的极限。
常见的级数有等比级数和等差级数。
级数之间的收敛性与发散性是级数研究的核心内容。
根据级数的性质，可以使用比值判别法、根值判别法和积分判别法等方法判断级数的收敛性。
总结这些知识点需要参考《高等数学（第七版）》这本教材的相关章节和习题，因此无法提供具体的参考内容。
高等数学(同济第七版)(上册)-知识点
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...
第二章 导数与微分 一．基本概念
1．可微和可导等价，都可以推出连续，但是连续不能推出可微和可导。
∈[ a,b] ，有公式
，
, 称为拉格朗日余项 上面展开式称为以0(x) 为中心的n 阶泰勒公式。当 x0 =0 时，也称为n阶麦克劳林
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...
公式。 常用公式( 前8个)
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...
五．导数的应用
一．基本知识 设函数f ( x) 在 x0 处可导，且 x0 为f ( x) 的一个极值点，则 f '(x0) 0 。 我们称x 满足 f '(x0) 0 的 x0 称为 f (x) 的驻点，可导函数的极值点一定是驻点， 反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。
二．求导公式
三．常见求导
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...
1. 复合函数运算法则 2. 由参数方程确定函数的运算法则
设x =( t) ，y =(t) 确定函数y = y( x) ，其中'(t),'(t) 存在，且'(t) ≠ 0，则 dy '(t)
dx '(t) 3. 反函数求导法则 设y = f ( x) 的反函数x = g( y) ，两者皆可导，且f ′( x) ≠ 0 则 g'( y) 1 1 ( f '(x) 0)
2. 第二充分条件
f (x) 在 x0 处二阶可导，且 f (x0) 0 ，f (x0 ) 0 ，则①若 f (x0 ) 0 ， 则 x0 为极大值点；②若 f (x0 ) 0 ，则 x0 为极小值点.
高等数学第七版上册知识点总结
高等数学第七版上册知识点总结一、函数的概念1. 定义域：定义域是指一个函数允许定义的变量的集合。
2. 值域：函数对应的输出值的集合就是函数的值域。
3. 函数的图像：函数的定义图形可以通过函数的值域和定义域构成。
4.函数的性质：函数的单调性、奇偶性、最大值最小值等性质。
二、一元函数的分析1. 一元函数的极限：极限的概念、极限的性质、极限的计算方法。
2. 无穷小量的概念：无穷小量的概念、无穷小量的性质、无穷小量的运算。
3. 无穷级数及极限：无穷级数的概念、无穷级数的性质、极限的概念及极限的计算方法。
4. 函数的求导：导数的概念、求导法则、函数的求导方法。
三、复变函数1. 坐标变换：坐标系的概念、坐标变换的意义及方法。
2. 二元函数：二元函数的定义、图像的意义及特性、二元函数的求导。
3. 二元可变函数：二元可变函数的定义、图像的意义及特性、二元可变函数的极限及求导。
4. 泰勒公式：泰勒公式的定义、泰勒公式的构成、泰勒公式应用。
四、极限和无穷级数1. 函数的极限：函数的极限的定义、求函数极限的基本思想及极限的性质。
2. 无穷级数：无穷级数的定义、无穷级数的性质、无穷级数的收敛性及计算方法。
3. 相称收敛：相称收敛的定义、相称收敛的收敛性及计算方法、相称收敛的性质。
4. 无界和无限近似：无界的概念、无限近似数的意义及计算方法。
五、积分1. 定积分：定积分的定义、定积分的计算方法以及定积分的理论基础。
2. 容积：求容积的意义、容积的定义及容积的计算方法。
3. 不定积分：不定积分的定义、不定积分的计算方法及不定积分的性质。
4. 部分积分：部分积分的定义、部分积分的意义及部分积分的计算方法。
六、微分方程1. 微分方程的概念：微分方程的概念、普通微分方程的分类、普通微分方程的特征。
2. 微分方程的解法：通解的求法、初值问题的解法、定常点的求法、特解的求法。
3. 微分不等式：微分不等式的概念、微分不等式的性质及特点、微分不等式的解法。
高等数学(同济大学数学系-第七版)上册汇编
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高等数学（同济大学数学系 第七版）上册 第三章：微分中值定理与导数的应用课后习题答案
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同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-复习笔记-第五章 定积分【圣才出品】
上任取一点 的乘积
，作函数值 ，并作出和
，记
，如果当 λ→0 时，这和
的极限总存在，且与闭区间[a，b]的分法及点 的取法无关，则称这个极限为函数 f(x)在
区间[a，b]上的定积分，记作
，即
其中，f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b
1 / 21
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曲边梯形位于 x 轴的下方，定积分
表示上述曲边梯形面积的负值；
（3）在[a，b]上 f(x)既取得正值又取得负值时，函数 f(x)的图形某些部分在 x 轴的上
方，而其他部分在 x 轴下方（见图 5-1-1），此时定积分 面积减去 x 轴下方图形面积所得之差．
表示 x 轴上方图形
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台
称为积分上限，[a，b]称为积分区间．
（2）“ε－δ”表达式
设有常数 I，对于任意正数 ε，总存在一个正数 δ，使得对于区间[a，b]的任何分法，
不论 在
中怎样选取，只要
δ，总有
成立，则称 I 是 f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作
[a，b]上的一个原函数．
2．牛顿-莱布尼茨公式
就是
在
其中 F(x)是连续函数 f(x)在区间[a，b]上的一个原函数．
三、定积分的换元法和分部积分法 1．定积分的换元法 （1）定理
设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，函数
① =a, =b ；
② 域
，则有
满足条件： 上具有连续导数，且其值
该公式称为换元公式．
和
合起来，用过
三
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x xx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须)()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
高等数学(同济第七版)(上册)_知识点总结
...高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一.函数的概念1.两个无穷小的比较f(x)设l imf(x)0,limg(x)0且llimg(x)（1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[g(x)]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)~g(x)2.常见的等价无穷小当x→0时sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arccosx~x，1-cosx~x^2/2，xe-1~x，ln(1x)~x，(1x)1~x二．求极限的方法1．两个准则准则1.单调有界数列极限一定存在准则2.（夹逼定理）设g(x)≤f(x)≤h(x)若limg(x)A,limh(x)A，则l imf(x)A2．两个重要公式sinx公式11limx0x1/x公式2xelim(1)x03．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次xe 1x2x2!3x3!...nxn!no(x )sinxx3x3!5x5!... (n1)(2nx2n11)!2no(x1)WORD格式可编辑版...cosx12x2!4x4!... (2nxnox2n1)(2n!)ln(1x)x2x23x3... (nxnox n11)(n)(1x)1x (1)2!2x n ox n(1)...((n1))x...(n!)arctanxx3x35x5... (2n1xnox2n11)(2n11)5．洛必达法则定理1设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()0fxxx0 ，limF(x)0xx；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）f(x)limxx0Fx)(f(x)f(x)存在（或为无穷大），则limlimxx0FFx(x)xx()这个定理说明：当f(x)limx0Fxx()存在时，f(x)limxx0Fx()也存在且等于f(x)limxx0F(x)；当f(x) limxx()0Fx 为无穷大时，f(x)limx()x0Fx也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（LHospital）法则.型未定式定理2设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()fxxx0 ，limF(x)xx；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）f(x)limx)x0F(x存在（或为无穷大），则f(x)f(x)limlimxx0F(x)x x F(x)注：上述关于x时未定式型的洛必达法则，对于x时未定式型x同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“0”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“0”或“”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限WORD格式可编辑版...f(xx)f(x)00'基本公式()limfx0x0x(如果存在）3.利用定积分定义求极限基本格式1n1klimf()f(x)dxnnnk1（如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设x是函数y=f(x)的间断点。
高等数学(同济第七版)上册-知识点汇总
高等数学(同济第七版)上册-知识点汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→xx x 公式2e x x x =+→/10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1( (2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； )()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限 基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在） 7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在） 三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
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高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→xx x 公式2e x x x =+→/10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nx x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限 基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在） 7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在） 三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
如果f (x )在间断点0x 处的左、右极限都存在，则称0x 是f (x )的第一类间断点。
左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去间断点。
左右极限不存在为跳跃间断点。
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。
常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→四．闭区间上连续函数的性质在闭区间[a,b]上连续的函数f (x)，有以下几个基本性质。
这些性质以后都要用到。
定理1．（有界定理）如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，则f (x)必在[a,b]上有界。
定理2．（最大值和最小值定理）如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m 。
定理3．（介值定理）如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，且其最大值和最小值分别为M 和m ，则对于介于m和M 之间的任何实数c，在[a,b]上至少存在一个ξ，使得f (ξ ) = c 推论：如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，且f (a)与f (b)异号，则在(a,b)内至少存在一个点ξ，使得f (ξ ) = 0这个推论也称为零点定理第二章 导数与微分一．基本概念1．可微和可导等价，都可以推出连续，但是连续不能推出可微和可导。
二．求导公式三．常见求导1.复合函数运算法则2.由参数方程确定函数的运算法则设x =φ(t )，y =)(t ϕ确定函数y = y (x )，其中)('),('t t ϕφ存在，且)('t φ≠ 0，则)(')('t t dx dy φϕ= 3.反函数求导法则设y = f (x )的反函数x = g (y )，两者皆可导，且f ′(x ) ≠ 0则)0)('())(('1)('1)('≠==x f y g f x f y g 4.隐函数运算法则设y = y (x )是由方程F (x , y ) = 0所确定，求y ′的方法如下：把F (x , y ) = 0两边的各项对x 求导，把y 看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y ′ 的表达式（允许出现y 变量）5.对数求导法则 （指数类型 如x x y sin =）先两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数y ′。
对数求导法主要用于：①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数（注意定义域。
关于幂指函数y = [f (x )]g (x ) 常用的一种方法,y = )(ln )(x f x g e 这样就可以直接用复合函数运算法则进行。
6. 求n 阶导数（n ≥ 2，正整数）先求出 y ′, y ′′,…… ,总结出规律性，然后写出y (n )，最后用归纳法证明。
有一些常用的初等函数的n 阶导数公式（1） x n x e y e y ==)(,（2） n x n x a a y a y )(ln ,)(==（3） x y sin =,)2sin()(πn x y n += （4） x y cos =,)2cos()(πn x y n += (5)x y ln =,n n n x n y ----=)!1()1(1)(第三章 微分中值定理与导数应用一 .罗尔定理设函数 f (x )满足（1）在闭区间[a ,b ]上连续；（2）在开区间(a ,b )内可导；（3） f (a ) = f (b )则存在ξ ∈(a ,b )，使得f ′(ξ ) = 0二． 拉格朗日中值定理设函数 f (x )满足（1）在闭区间[a ,b ]上连续；（2）在开区间(a ,b )内可导；则存在ξ ∈(a ,b )，使得)(')()(ξf ab a f b f =-- 推论1．若f (x )在(a ,b )内可导，且f ′(x ) ≡ 0，则f (x )在(a ,b )内为常数。
推论2．若f (x ) ,g (x ) 在(a ,b ) 内皆可导，且f ′(x ) ≡ g ′(x )，则在(a ,b )内f (x ) = g (x )+ c ，其中c 为一个常数。
三 .柯西中值定理设函数f (x )和g (x )满足：（1）在闭区间[a ,b ]上皆连续；（2）在开区间(a ,b )内皆可导；且g ′(x ) ≠ 0则存在ξ ∈(a ,b )使得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =--)(b a <<ξ （注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形g (x ) = x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
）四.泰勒公式（① 估值 ② 求极限（麦克劳林））定理 1．（皮亚诺余项的n 阶泰勒公式）设f (x )在0 x 处有n 阶导数，则有公式，称为皮亚诺余项定理2（拉格朗日余项的n 阶泰勒公式）设f (x )在包含0 x 的区间(a ,b )内有n +1阶导数，在[a ,b ]上有n 阶连续导数，则对x ∈[a ,b ]，有公式 ，,称为拉格朗日余项上面展开式称为以0(x) 为中心的n 阶泰勒公式。
当0x =0 时，也称为n 阶麦克劳林公式。
常用公式(前8个)五．导数的应用一．基本知识设函数f (x )在0x 处可导，且0x 为f (x )的一个极值点，则0)('0=x f 。
我们称x 满足0)('0=x f 的0x 称为)(x f 的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。
极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。
极值点判断方法1. 第一充分条件)(x f 在0x 的邻域内可导，且0)(0='x f ，则①若当0x x <时,0)(>'x f ，当0x x >时，0)(<'x f ，则0x 为极大值点；②若当0x x <时，0)(<'x f ，当0x x >时，0)(>'x f ，则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧)(x f '不变号，则0x 不是极值点.2.第二充分条件)(x f 在0x 处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则①若0)(0<''x f ，则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ，则0x 为极小值点.3.泰勒公式判别法（用的比较少，可以自行百度）二.凹凸性与拐点1．凹凸的定义设f (x )在区间I 上连续，若对任意不同的两点1 2 x , x ，恒有则称f (x)在I 上是凸（凹）的。