北师大版初二数学秋季班(教师版) 第15讲含参不等式--提高班

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学而思初二数学秋季班第15讲.代数综合.提高班.教师版

1初二秋季·第15讲·提高班·教师版整式乘法部分：一、幂的运算：整数指数幂运算性质1. n m m n a a a +⋅=(m 、n 是正整数)2. ()m n mn a a =(m 、n 是正整数)3. ()nn nab a b =(n 是正整数)4. m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 是正整数，m >n )5. 01a =，1p pa a -=（0a ≠，p 是正整数）二、乘法公式1. 完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+ 2．平法差公式：()()22a b a b a b +-=- 三、主要题型思路导航15名校期末试题点拨——代数部分题型一：整式乘除与因式分解2初二秋季·第15讲·提高班·教师版1. 基本运算2. 化简求值3. 整体法4. 消元法5. 降次法因式分解部分：一、知识结构因式分解提公因式法乘法分配律的逆用公式法完全平方公式()2222+=a ab b a b ±±平方差公式()()22a b a b a b -=+-十字相乘法分解某些二次三项式分组分解法分组后能提公因式分组后能运用公式二、注意事项：1. 分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

例如()()422111x x x -=+-，就不符合因式分解的要求，因为()21x -还能分解成()()11x x +-； 2. 在没有特别规定的情况下，因式分解是在有理数范围内进行的。

三、因式分解的一般步骤：可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”。

1. 一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来；3初二秋季·第15讲·提高班·教师版2. 二“套”：若多项式的各项无公因式（或已提出公因式），第二步则看能不能用公式法或十字相乘法分解；3. 三“分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分到一组，使之分组后能“提”或能“套”；4. 四“查”：可以用整式乘法查因式分解的结果是否正确。

第15讲函数-2024年新八年级数学暑假提升讲义(北师大版学习新知)

第15讲函数模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．掌握函数的概念以及表示方法；2．会求函数的值，并确定自变量的取值范围；知识点一函数的概念函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。

其中x是自变量，y是因变量。

函数值：y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量为a时的函数值.知识点二函数的三种表示方法①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。

②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。

③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。

【微点拨】1.判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。

2.对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：2y x 中，当y的值为4时，x的值为±2.考点一：函数的概念及图象识别例1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考开学考试）如图所示的图象分别给出了x 与y 的对应关系，其中表示y 不是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．【变式1-1】（2023秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市沈东初级中学校考开学考试）下列各图中表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．【变式1-2】（2023秋·广东中山·九年级校联考开学考试）下列图像中，不能表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．【变式1-3】（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）下列不能表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．21y x =+考点二：函数的三种表示方法之列表法例2.（2023春·八年级单元测试）下表反映的是某地区电的使用量x （千瓦时）与应缴电费y （元）之间的关系：用电量x （千瓦时）12345…应缴电费y （元）0.55 1.11.652.22.75…下列说法不正确的是（）考点三：函数的三种表示方法之解析式例动点Q由点【变式3-1】（2023五，平均每天消费【变式3-2】（2023考点四：函数的三种表示方法之图象法例4.（2023春·八年级课时练习）小明和妈妈2022年3月19日通过自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x 表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y 表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y 与x 的关系的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【变式4-1】（2023春·河南郑州·八年级校考开学考试）下面的三个问题中都有两个变量：①三角形一边上的高一定时，三角形的面积S 与该边的长度x 的关系；②汽车以30千米/时的速度行驶，它的路程y 与时间x ；③树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x 月后树的高度为y 厘米．其中，变量y 与变量x 之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【变式4-2】（2023春·八年级课时练习）在地球中纬度地区，从地面到高空大约11km 之间，气温随高度的升高而下降，每升高1km ，气温大约下降6C ︒；高于11km 但不高于20km ，气温几乎不再变化，某城市地处中纬度地区，该市某日的地面气温为20C ︒，设该城市距离地面高度为()km 020x x ≤≤处的气温为C y ︒，则y 与x 的函数图像是（）A ．B ．C ．D ．【变式4-3】（2023秋·四川成都·八年级四川省成都市第七中学初中学校校考开学考试）“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段OD 和折线OABC 分别表示“龟兔赛跑”时乌龟和兔子的路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．(1)乌龟每分钟爬多少米？(2)兔子醒来，以800米/分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，)i请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？)ii求出兔子和乌龟相距160米时t的值．考点五：求自变量的取值范围例是考点六：求自变量的值或函数值例【变式(1)求三角形的面积y与高x之间的关系式；(2)当三角形的高x从2变化到4时，它的面积y从______变化到______考点七：动点问题画函数图象例--B CA．254cm C．48cm108cm B．2【变式7-2】（2023春·河南焦作·九年级校考期中）如图→→→运动至点A停止，记点以1cm/s的速度沿着B C D A其中S与t的关系如图2所示，那么下列说法错误的是A ．3cmAB =B ．长方形ABCD 的周长为10cm C ．当3s t =时，23cm S =D ．当21.5cm s =时，6st =【变式7-3】（2023春·河南郑州·七年级校考期中）已知动点H 以每秒x 厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A B C D E F -----的路径匀速运动，相应的HAF △的面积()2cm S 关于时间(s)t 的关系图象如图2，已知8cm AF =，则下列说法正确的有几个（）①动点H 的速度是2cm/s ；②BC 的长度为3cm ；③b 的值为14；④在运动过程中，当HAF △的面积是230cm 时，点H 的运动时间是3.75s 和1025s .．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个一、单选题1．（2024·云南昭通·二模）函数y =x的取值范围是（）A ．16x >B ．8x >C ．16x ≥D ．8x ≥2．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，分别给出了变量y 与x 之间的相应关系，y 不是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．3．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知y 关于x 的函数图象如图所示，则当0y <时，自变量x 的取值范围是（）A ．1x <-B ．11x -<<或2x >C ．1x >-D ．1x <-或12x <<4．（2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度h 随时间t 变化的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．5．（2024八年级下·全国·专题练习）如图1，在长方形ABCD 中，动点P 从点A 出发，沿AB BC CD --运动，至点D 处停止．点P 运动的路程为x ，ADP △的面积为y ，且y 与x 之间满足的关系如图2所示，则当8y =时，对应的x 的值是（）A ．4B ．4或12C ．4或16D ．5或12二、填空题6．（23-24八年级下·广东东莞·期中）函数3y =+的取值范围是．7．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）在地球某地，温度()C T ︒与海拔高度()m d 的关系可以近似地用10150dT =-来表示．根据这个关系式，当d 的值为450时，相应的T =．8．（23-24七年级下·山西晋中·期中）在科学上，热气球推动了大气学、气象学和航空学的发展，人们通过高空观察，获取了大量先前无法获得的数据，推动了科学的进步．某次用热气球探测高空气象时，热气球从海拔1800m 处的某地升空（如图），在一段时间内，它以30m/min 的速度匀速上升，它上升过程中到达的海拔高度()m h （与上升时间()min t 的关系式为．9．（23-24七年级下·全国·假期作业）等腰ABC 的周长为10厘米，底边BC 为y 厘米，腰AB 长为x 厘米，则y 与x 的关系式为．当4x =厘米时，y =厘米；当4y =厘米时，x =厘米．10．（23-24七年级下·山东济南·期中）快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1h ，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h 到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程()km y 与所用的时()h x 的关系如图所示．下列说法：①甲乙两地之间的路程为480km ②慢车的速度是60km/h③出发6h ，快慢两车第一次相遇④快慢两车相距120km 时，两车出发的时间为2h 或10h 3．其中正确的有．（填序号）三、解答题11．（2024·广西百色·二模）你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式．排碳计算公式：家居用电的二氧化碳排放量()kg =耗电量()kW h 0.785⋅⨯开私家车的二氧化碳排放量()kg =耗油量()L 2.7⨯家用天然气二氧化碳排放量()kg =天然气使用量()3m 0.19⨯家用自来水二氧化碳排放量()kg =自来水使用量()t 0.91⨯(1)设家居用电的二氧化碳排放量为()kg y ，耗电量为()KW h x ⋅，则家居用电的二氧化碳排放量可以用关系式表示为______；(2)在上述关系式中，耗电量每增加1kW h ⋅，二氧化碳排放量增加______；当耗电量从1kW h ⋅增加到100kW h ⋅时，二氧化碳排放从______增加到______；(3)小明家本月家居用电大约110kW h ⋅，天然气320m ，自来水5t ，开私家车耗油75L ，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量．12．如图1，AD 是ABC 的边BC 上的高，且8cm AD =，9cm BC =，点E 从点B 出发，沿线段BC 向终点C 运动，其速度与时间的关系如图2所示，设点E 运动时间为()s x ，ABE 的面积为()2cm y ．(1)在点E 沿BC 向点C 运动的过程中，它的速度是______cm /s ，用含x 的代数式表示线段BE 的长是______cm ，变量y 与x 之间的关系式为______；(2)当点E 运动时间为2s 时，求ABE 的面积；当x 每增加1s 时，y 的变化情况如何？13．（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）小明星期天从家出发去小强家给小强过生日，他骑了一段时间后自行车发生故障，只能原地等待，同时电话联系小强，小强立刻骑自行车来接他，与小强相遇后，他搭乘小强的自行车一同去往小强家（两人接打电话和碰头，重新上车的时间均忽略不计），骑行速度变为之前小强骑行速度的一半．在这过程中，两人离小明家的距离s （千米）与小明所用时间t （小时）之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题．(1)两家相距________千米；发生故障后，小明原地休息了________小时与小强相遇；相遇前，小强骑行速度是________千米/小时；(2)求a的值；(3)小强在出发后多少小时与小明家相距10千米．14．（2024八年级下·天津·专题练习）已知某一函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：x=-时，对应的函数值为_______；(1)当4(2)当x的值在_______（用不等式表示）时，y随x的增大而增大；(3)当x=_______时，y的最大值是_______；y＜．(4)当x的值在_______（用不等式表示）时，015．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）某地海拔高度h（千米）与此高度处气温t（℃）之间有下面的关系．海拔高度h/千米0123气温/t℃201482(1)随着海拔高度的升高，气温（填“升高”或“下降”），因此自变量是；(2)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并画出这些点所在的直线；(3)求气温t关于海拔高度h的函数解析式；(4)若该地某处的气温为4 ，求该处的海拔高度．第15讲函数模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．掌握函数的概念以及表示方法；2．会求函数的值，并确定自变量的取值范围；知识点一函数的概念函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。

初二秋季班第15讲含参不等式--提高班

第15讲含参不等式基本原理：1.等式的基本性质2.非数轴法取不等式组的解集：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”.知识点1 根据不等式（组）的解集，确定参数的取值范围基本题型：1.已知某含参一元一次不等式（组）的解集，求参数的值.2.已知某含参一元一次不等式（组）的解集，求另一含参不等式的解集.【典例】1.（1）关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，求m的值.（2）如果关于x的不等（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜，试求关于x的不等式mx ＞n的解集．【答案】略【解析】解：（1）≤﹣2，去分母，得m﹣2x≤﹣6，移项，得﹣2x≤﹣m﹣6，系数化为1，得x≥m+3，∵关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，∴m+3=4，解得m=2．（2）（2m﹣n）x+m﹣5n＞0移项，得（2m﹣n）x＞5n﹣m，∵关于x的不等式（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜，∴不等号的方向发生了变化，∴2m﹣n＜0，且x＜，∴=，交叉相乘，得7（5n-m）=10（2m-n）整理，得n=m，把n=m代入2m﹣n＜0得，2m﹣m＜0，解得m＜0，∵mx＞n，∴mx＞m，∴x＜．∴关于x的不等式mx＞n的解集是x＜．【方法总结】已知一个含参不等式的解集，求参数的值它的一般解题步骤如下：第一，先解这个不等式，在系数化为1时，需要根据给出的解集判断不等号的方向是否发生改变，以此来确定参数的正负.第二，根据已知的解集和求出的解集相同，得到关于参数的方程，解方程求出参数的值. 若题目给出的参数超过一个，而要求新的含参不等式的解集时，步骤一相同，步骤二根据已知的解集和求出的解集相同，得到关于参数的方程，解方程得到参数之间的关系，进而求解新的不等式. 2.若不等式组2<6>x x x m -+-⎧⎨⎩的解集为4x ＞，则m 的取值范围是_________．【答案】4m ≤【解析】解：由26x x -+-＜，得4x ＞，不等式组可转化为>4>x x m ⎧⎨⎩. ∵不等式组2<6>x x x m-+-⎧⎨⎩的解集为4x ＞，∴根据“同大取大”可知，<4m ．考虑边界情况，当4m =时，不等式组为>4>4x x ⎧⎨⎩，符合题意.∴4m ≤. 故答案为m≤4．【方法总结】已知一元一次不等式组的解集，求参数的取值范围，可借助“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”的原则，得出字母参数的范围，对于边界处取值是否可取，只需把边界值代入，看是否符合题意即可.【随堂练习】1．（2017秋•上城区期末）若关于x 的不等式组无解，则m 的取值范围（） A ．m ＞3B ．m ＜3C ．m≤3D ．m≥3【解答】解：，由①得：x＞2+m，由②得：x＜2m﹣1，∵不等式组无解，∴2+m≥2m﹣1，∴m≤3，故选：C．2．（2018•鄂州一模）若关于x的不等式组有实数解，则a的取值范围是（）A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4【解答】解：解不等式2x＞3x﹣3，得：x＜3，解不等式3x﹣a＞5，得：x＞，∵不等式组有实数解，∴＜3，解得：a＜4，故选：A．知识点2 根据不等式组的解集情况，确定参数的取值范围基本题型：1.已知不等式组有解，求参数的值或范围；2. 已知不等式组无解，求参数的值或范围；【典例】【题干】若关于x 的不等式组有解，且关于x 的方程2(2)(32)kx xx =-+﹣有非负整数解，则符合条件的所有整数k 的和是多少？【答案】略【解析】解：，解不等式①得：14x k +≥，解②得：65x k +≤， ∵不等式组有解，∴不等式组的解集为：1465k x k ++≤≤，且1465k k ++≤，解得5k -≥.解关于x 的方程2(2)(32)kx x x =--+得，61x k =-+，∵关于x 的方程2(2)(32)kx x x =--+有非负整数解， ∴1123k +=---或或时符合题意 ∴234k =---或或∴符合条件的整数k 的和为：﹣4+（﹣3）+（﹣2）=﹣9；【方法小结】当给出的一元一次不等式组“有解、无解或有整数解…”时，可利用不等式组解集的取值技巧或者借助数轴，判断出字母参数的取值范围，需要考虑边界情况，再根据求得的字母参数的取值范围，求解其它相关问题.【随堂练习】1．（2017•呼和浩特一模）已知关于x的不等式组有解，求实数a的取值范围，并写出该不等式组的解集．【解答】解：解不等式3x﹣a≥0，得：x≥，解不等式（x﹣2）＞3x+4，得：x＜﹣2，由题意得：＜﹣2，解得：a＜﹣6，∴不等式组的解集为≤x＜﹣2．知识点3 根据不等式组的整数解，确定参数的取值范围基本题型：1.已知不等式组的整数解的个数，求参数的取值范围.2.已知不等式组的整数解的和，求参数的取值范围.【典例】1.若关于x的不等式组2<3(3)132>4x xx x a-+⎧⎪⎨++⎪⎩有四个整数解，求a的取值范围．【答案】略【解析】解：2<3(3)1 32>4x xx x a-+⎧⎪⎨++⎪⎩①②由不等式①，得2x﹣3x＜﹣9+1，解得x＞8，由不等式②，得3x+2＞4x+4a，解得x＜2﹣4a，∴不等式的解集为8＜x ＜2﹣4a.∵不等式组有四个整数解，观察数轴可知，四个整数解分别是9，10，11，12，∴先初步判定2-4a肯定在12和13之间，即12＜2﹣4a<13，考虑边界值：当2-4a=12时，不等式的解集变为8＜x＜12，只有三个整数解，不符合题意；当2-4a=13时，不等式的解集变为8＜x＜13，恰有四个整数解；∴12＜2﹣4a≤13解得﹣≤a＜﹣．【方法小结】一元一次不等式组的整数解问题的一般解题思路：第一，先解含参不等式组，求出它的解集（解集中含参数）；第二，借助数轴，根据已知的整数解的个数或整数解之间的关系，初步判断出解集中含参的那一部分在哪两个相邻的整数之间，写出此时的范围；第三，判断边界值，分别令含参部分等于两个边界值，写出此时的解集，判断是否符合给定的已知条件，进而求解出参数的取值范围.【随堂练习】1．（2018春•叶县期中）若关于x的不等式组恰有三个整数解，试求实数a的取值范围．【解答】解：由+＞0得x＞﹣；由3x+2a＞4（x+1）﹣4，得x＜2a，∴不等式组的解集为﹣＜x＜2a．∵关于x 的不等式组恰有三个整数解，∴2＜2a≤3，解得1＜a≤．2．（2017春•矿区期末）已知关于x 的不等式组有三个整数解，求实数a 的取值范围．【解答】解：∵解不等式①，得x ＞﹣，解不等式②，得x≤4+a ，∴原不等式组的解集为﹣＜x≤4+a ， ∵原不等式组有三个整数解：﹣2，﹣1，0， ∴0≤4+a ＜1， ∴﹣4≤a ＜﹣3．知识点4 根据方程（组）的解的情况，确定参数的取值范围基本题型：已知含参方程组的解满足某个不等式，求参数的取值范围.【典例】1.（1）已知关于x y ，的二元一次方程组4232x y kx y +=-⎧⎨-=⎩的解满足条件0x y -＞，求k 的取值范围．（2）已知关于x y ，的方程组31331x y ax y a+=+⎧⎨+=-⎩的解满足0x y +＜，求a 的取值范围.【答案】略【解析】解：（1）4232x y k x y +=-⎧⎨-=⎩①②①-②得，1122y k =- ，①×3得，33126x y k +=-④， ②+④得，7322x k =-，∵0x y -＞， ∴7311()>02222k k ---，解得<3k . （2）31331x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩①②，①+②得4422x y a +=+，∴11+22x y a +=，∵0x y +＜， ∴11+<022a ， ∴1a -＜．【方法总结】已知一个含参二元一次方程组的解满足某个不等式，求参数的取值范围，只需要先解方程组，求出它的解（含参），再把求得的解代入已知不等式中，得到关于参数的不等式，求解不等式即可得到参数的取值范围.注：对于有些特殊的待求不等式，可以不解方程组，只需把方程组的两个式子作适当的变形，比如相加、相减等，题中的（2）便是利用的此种方法.【随堂练习】1．（2017春•西城区校级期中）若二元一次方程组的解x≤y，求k的取值范围．【解答】解：解方程组得：，由x≤y得≤，解得：k≤﹣．2．（2017春•诸城市校级月考）已知关于x，y的方程组的解满足x ＞y，求p的取值范围．【解答】解：，①×3得，9x+6y=3p+3③，②×2得，8x+6y=2p﹣2④，③﹣④得，x=p+5，把x=p+5代入①得，3p+15+2y=p+1，解得y=﹣p﹣7，所以，方程组的解是，∵x＞y，∴p+5＞﹣p﹣7，解得p＞﹣6，即p的取值范围是p＞﹣6．3．（2016春•德惠市期末）已知关于x的方程2x+4=m﹣x的解为负数，求m的取值范围．【解答】解：解关于x 的方程2x+4=m ﹣x ，得x=，∵方程的解为负数，∴＜0，解得m ＜4， ∴m 的取值范围是m ＜4．4．（2018春•单县期末）已知关于x 的方程﹣=m 的解为非负数，求m的取值范围．【解答】解：2（5x+m ）﹣3（x ﹣1）=6m ，10x+2m ﹣3x+3=6m ，7x=4m ﹣3，∴． ∵原方程的解为非负数，∴， ∴，∴m 的取值范围是．【综合练习】 1.不等式组的解集是32x a ＜＜，则a 的取值范围是________．【答案】13a ＜≤【解析】解：∵的解集是3＜x ＜a+2， ∴根据“同大取大，同小取小”，得，解得a≤3．又3＜a+2，故a>1，综上13a ＜≤．2.已知关于x 的不等式(3)a b x a b +-＞的解集是5<3x -，试求0bx a -＞的解集．【答案】略【解析】解：∵不等式(3)a b x a b +-＞的解集是5<3x -，∴30a b +＜，即3a b ＜-，解不等式，得<3a b x a b -+. ∴533a b a b -=-+.交叉相乘，得3()5(3)a b a b -=-+，整理得32a b =-. 把32a b =-代入3a b ＜-中，得0b ＜.∴0bx a -＞的解集为a x b <．即32x <-.3.已知关于x 的不等式≤的解集是x≥，求m 的值．【答案】略【解析】解：原不等式可化为：4m+2x≤12mx ﹣3，即（12m ﹣2）x≥4m+3，又因原不等式的解为x≥，则12m ﹣2＞0，m ＞，不等式的解集为x≥.即：=，即24m+18=12m ﹣2，解得：m=﹣，不满足m ＞，应舍去．故符合题意的m 值不存在．4.已知关于x 的不等式组2>04544>(1)33x x a x x a+⎧+⎪⎨-⎪+-+⎩恰有两个整数解，求a 的取值范围．【答案】略【解析】解：2>04544>(1)33x x a x x a +⎧+⎪⎨-⎪+-+⎩①②，解不等式①得：x ＞﹣，解不等式②得：x ＜﹣2a ．则不等式组的解集是：﹣＜x ＜﹣2a ．不等式组只有两个整数解，是0和1，观察数轴可知，﹣2a 在1和2之间，即1<﹣2a<2．考虑边界值：当-2a=1时，不等式的解集变为﹣＜x ＜1，有一个整数解，不符合题意；当-2a=2时，不等式的解集变为﹣＜x ＜2，有两个整数解；∴1＜﹣2a≤2．解得：﹣1≤a ＜﹣．-95.已知关于x 、y 的方程组的解满足x ＜1且y ＞1，求m 的取值．【答案】略【解析】解：解方程组得：∵方程组的解满足x ＜1且y ＞1，∴解这个不等式组得：﹣1＜m ＜0.即m 的取值为：﹣1＜m ＜0.6.关于x 的不等式组21>32<xx x m+⎧-⎪⎨⎪⎩的所有整数解的和是﹣7，求m 的取值范围.【答案】略【解析】解：21>32<x x x m +⎧-⎪⎨⎪⎩①②解不等式①得：5x -＞，则不等式组的解集是：5x m -＜＜，∵不等式的所有整数解的和是-7，观察数轴可得到如下两种情况.情况一（如图1）：4(3)7-+-=-，此时m 在-3和-2之间，判断临界情况可知32m --＜≤.情况二（如图2）：4(3)(2)(1)0127-+-+-+-+++=-，此时m 在2和3之间，判断临界情况可知23m ＜≤. 综合，m 的取值范围是32m --＜≤或23m ＜≤.。

含参不等式的解法教案

一、教学目标：1. 让学生掌握含参不等式的解法，能够独立解决相关问题。

2. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

3. 通过对含参不等式的解法的学习，使学生体会数学与实际生活的联系。

二、教学内容：1. 含参不等式的定义及其性质。

2. 含参不等式的解法：图像法、代入法、不等式法等。

3. 含参不等式在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：含参不等式的解法及其应用。

2. 教学难点：含参不等式解法的选择和运用。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解含参不等式的定义、性质和解法。

2. 利用案例分析法，分析含参不等式在实际问题中的应用。

3. 组织学生进行小组讨论和练习，巩固所学知识。

五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，引导学生关注含参不等式的问题。

2. 讲解：讲解含参不等式的定义、性质和解法。

3. 案例分析：分析含参不等式在实际问题中的应用。

4. 练习：布置相关的练习题，让学生巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。

6. 作业布置：布置适量的作业，巩固所学知识。

六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习兴趣和积极性。

2. 练习完成情况：检查学生练习题的完成质量，评估学生对含参不等式解法的掌握程度。

3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作意识、交流能力和解决问题能力。

七、教学资源：1. PPT课件：制作含参不等式解法的PPT课件，用于讲解和展示相关内容。

2. 练习题：准备适量的练习题，用于巩固学生对含参不等式解法的掌握。

3. 案例素材：收集一些与含参不等式相关的实际问题，用于案例分析。

八、教学进度安排：1. 第一课时：讲解含参不等式的定义、性质和解法。

2. 第二课时：分析含参不等式在实际问题中的应用，进行案例分析。

3. 第三课时：进行练习和总结，布置作业。

九、课后反思：1. 回顾本节课的教学内容，评估学生对含参不等式解法的掌握情况。

北师大版初二数学秋季班(学生版) 第15讲含参不等式--基础班

北师大初二数学8年级上册秋季版（学生版）最新讲义第15讲含参不等式基本原理：1.等式的基本性质2.非数轴法取不等式组的解集：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”.知识点1 根据不等式（组）的解集，确定参数的取值范围基本题型：1.已知某含参一元一次不等式（组）的解集，求参数的值.2.已知某含参一元一次不等式（组）的解集，求另一含参不等式的解集.【典例】1.（1）关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，求m的值.（2）如果关于x的不等（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜，试求关于x的不等式mx ＞n的解集．2.若不等式组2<6>x xx m-+-⎧⎨⎩的解集为4x＞，则m的取值范围是_________．【随堂练习】1．（2017春•江阴市校级月考）若不等式组的解集为x＜4，则a的取值范围为（）A ．a ＞﹣12B ．a≥﹣12C ．a=﹣12D ．a≤﹣122．（2018•新野县三模）若不等式组的解集是x ＞2，则m 的取值范围是（） A ．m ＜2 B ．m ＞2 C ．m≤2 D ．m≥2知识点2 根据不等式组的解集情况，确定参数的取值范围基本题型：1.已知不等式组有解，求参数的值或范围； 2. 已知不等式组无解，求参数的值或范围；【典例】【题干】若关于x 的不等式组有解，且关于x 的方程2(2)(32)kx xx =-+﹣有非负整数解，则符合条件的所有整数k 的和是多少？【随堂练习】1．（2017春•昆都仑区校级期中）若关于x 的不等式组的解集是2≤x＜5，求m+n 的值．知识点3 根据不等式组的整数解，确定参数的取值范围基本题型：1.已知不等式组的整数解的个数，求参数的取值范围. 2.已知不等式组的整数解的和，求参数的取值范围.【典例】1.若关于x 的不等式组2<3(3)132>4x x x x a -+⎧⎪⎨++⎪⎩有四个整数解，求a 的取值范围．【随堂练习】1．（2018春•召陵区期末）若关于x 的不等式组的整数解恰有5个，求a 的范围．2．（2017春•西城区校级期中）如果关于x 的不等式组只有3个整数解，求a 的取值范围．知识点4 根据方程（组）的解的情况，确定参数的取值范围基本题型：已知含参方程组的解满足某个不等式，求参数的取值范围.【典例】1.（1）已知关于x y ，的二元一次方程组4232x y kx y +=-⎧⎨-=⎩的解满足条件0x y -＞，求k 的取值范围．（2）已知关于x y ，的方程组31331x y ax y a +=+⎧⎨+=-⎩的解满足0x y +＜，求a 的取值范围.【随堂练习】1．（2018春•新乡期末）已知关于x ，y 的二元一次方程组的解满足x+y ＜3，求m 的取值范围．2．（2018春•黄石期末）已知关于x ，y 的方程组的解满足不等式x+y≤3，求m 的取值范围．3．（2018春•旺苍县期末）已知方程组的解满足不等式x ﹣2y ＜4，求a 的取值范围．4．（2018春•宝丰县期中）已知，其中x 、y 满足x+y ＜1，求k 的取值范围．【综合练习】1.不等式组的解集是32x a +＜＜，则a 的取值范围是________．2.已知关于x 的不等式(3)a b x a b +-＞的解集是5<3x -，试求0bx a -＞的解集．3.已知关于x 的不等式≤的解集是x≥，求m 的值．。

含参不等式的解法(教师版)

For personal use only in study and research; not for commercial use当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。

我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。

解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。

（一）几类常见的含参数不等式一、含参数的一元二次不等式的解法：例1：解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。

⑵当－1<m<3时，⊿=4（3－m ）>0, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。

⑶当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程24410x x -+=的根。

⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为∅。

解：11,|;4m x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭当时原不等式的解集为当m=3时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ；当m>3时, 原不等式的解集为∅。

小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。

⑵利用函数图象必须明确：①图象开口方向，②判别式确定解的存在范围，③两根大小。

⑶二次项的取值（如取0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响。

含参不等式的解法教案

含参不等式的解法教案一、教学目标1. 让学生掌握含参不等式的基本概念和解法。

2. 培养学生运用含参不等式解决实际问题的能力。

3. 提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、教学内容1. 含参不等式的定义及分类。

2. 含参不等式的解法：图像法、代数法、不等式组法。

3. 含参不等式在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：含参不等式的解法及其应用。

2. 难点：含参不等式解法的灵活运用。

四、教学方法与手段1. 采用案例分析法、讨论法、实践教学法等多种教学方法。

2. 使用多媒体课件、黑板、教具等教学手段辅助教学。

五、教学过程1. 导入：通过生活实例引入含参不等式的概念，激发学生兴趣。

2. 讲解：讲解含参不等式的定义、分类和解法。

3. 案例分析：分析含参不等式在实际问题中的应用，引导学生学会解决问题。

4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

5. 总结：对本节课内容进行总结，强调重点和难点。

6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学活动设计1. 课堂互动：通过提问、讨论等方式，让学生积极参与课堂，提高课堂氛围。

2. 小组合作：分组练习含参不等式的解法，培养学生的团队协作能力。

3. 课后实践：布置实践性作业，让学生将所学知识应用于实际问题中。

七、教学评价1. 课堂表现：评价学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况。

2. 练习作业：评价学生课后作业的完成情况，检查掌握程度。

3. 实践成果：评价学生在实际问题中的应用能力，展示成果。

八、教学反思1. 总结本节课的教学效果，反思教学方法的适用性。

2. 针对学生的掌握情况，调整教学策略，提高教学效果。

3. 搜集学生反馈意见，不断优化教学内容和方法。

九、教学拓展1. 探讨含参不等式与实际生活中的联系，引导学生关注数学在生活中的应用。

2. 介绍含参不等式的相关研究动态和最新成果，激发学生的学习兴趣。

3. 推荐相关的学习资料，引导学生开展课外学习。

十、教学时间表1. 第1-2课时：介绍含参不等式的定义、分类和解法。

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