晶体学基础 3
晶体学基础第三章-晶体的定向和晶体学符号
晶体定向的几个基本概念：
（1）结晶轴：晶体坐标系中的坐标轴，需满足晶体对称性 特征。用x轴、y轴、z轴或X轴、Y轴、Z轴表示。 （2）轴角：两个结晶轴正向之夹角。用a，b，g 表示。
（3）轴单位：晶体坐标系中结晶轴的长度单位。是相应 晶体点阵中平行于晶轴的行列上相邻节点间距。用a, b, c分 别表示x轴位之连比。用a:b:c 表示。
（5）晶体几何常数：轴率a:b:c和轴角a，b，g的合称。表 示晶体坐标系特征的一组参数，用以区分不同的晶系。
第三章 晶体的定向和晶体学符号
➢ 晶体学坐标系 ➢ 各晶系的定向方法 ➢ 晶胞与原子坐标 ➢ 晶面指数 ➢ 晶向指数 ➢ 晶带指数
3.1 晶体学坐标系
晶体定向的目的：
建立坐标系，简单明确地描述晶体中晶面、晶列的 空间方位。为研究晶体的结构特性提供定量标记。
晶体的定向：
在晶体中设置符合晶体对称特征或与晶体点阵参数 一致的坐标系，并将晶体按相应的空间取向关系进行安 置。
《结晶学基础》
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2．鲍林第二规则---静电价规则
在一个稳定的晶体结构中，从所有相邻接的阳离 子到达一个阴离子的静电键的总强度，等于阴离子 的电荷数。
静电键强度
S＝ Z＋ CN＋
• 在离子晶体中，配位数指的是最紧邻的异号离子数，所以正、 负离子的配位数不一定是相等的。阳离子一般处于阴离子紧密堆 积阳的离空子隙还中可，能其出配现位其数 它一 的般 配为 位数4或。6. 。如果阴离子不作紧密堆积，
配位数
阴离子作正八 面体堆积，正、 负离子彼此都能 相互接触的必要
条件为r＋/r=0.414。
凸几何多面体倾向。
❖ 4．对称性－－晶体的物理化学性质能够在不同方
向或位置上有规律地出现，也称周期性 .
晶体的性质
❖ 5．均匀性（均一性）－－一个晶体的各个部分性
质都是一样的。 这里注意：均匀性与各向异性不同，前者是指晶
体的位置，后者是指观察晶体的方向。
❖ 6. 固定熔点 ❖ 7．晶面角守恒定律－－晶面（或晶棱）间的夹角
宏观晶体中对称性只有32种，根据对称型中是否存在 高次轴及数目对晶体分类
❖ 存在高次轴（n>2）且多于一个―――高级晶族 ――包括：等轴（立方）晶系
❖ 存在高次轴（n>2）且只有一个―――中级晶族 ――包括：三方、四方、六方晶系
❖ 不存在高次轴（n>2）―――低级晶族――包括： 三斜、单斜、正交晶系
第一章 结晶学基础
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1-1 晶体的基本概念与性质
一、晶体的基本概念
➢ 人们对晶体的认识，是从石英开始的。 ➢ 人们把外形上具有规则的几何多面体形态的
(完整版)1《材料科学基础》第一章晶体学基础
晶向、晶
钯的PDF卡片-----Pd 89－4897
crystal system,space
图 2 CdS纳米棒的TEM照片（左）和 HRTEM照片（右）
图2 选区电子衍射图
图1. La(Sr)3SrMnO7的低 温电子衍射图
晶向、晶面、晶面间距
晶向：空间点阵中行列的方向代表晶体中原子排 列的方向，称为晶向。
晶面：通过空间点阵中任意一组结点的平面代表 晶体中的原子平面，称为晶面。
L M
P点坐标?
(2,2,2)或222
N
一、晶向指数
1、晶向指数：表示晶体中点阵方向的指数，由晶向上结点的 坐标值决定。
2、求法 1）建立坐标系。 以晶胞中待定晶向上的某一阵点O为原点，
联系：一般情况下，晶胞的几何形状、大小与对应的单胞是 一致的，可由同一组晶格常数来表示。
不区分 图示
晶 胞
空间点阵
单
胞
•NaCl晶体的晶胞，对应的是立方面心格子 •晶格常数a=b=c=0.5628nm，α=β=γ=90°
大晶胞
大晶胞：是相对 于单位晶胞而言 的
例：六方原始格子形式的晶胞就是常见的大晶胞
① 所选取的平行六面体应能反映整个空间点阵的对称性； ② 在上述前提下，平行六面体棱与棱之间的直角应最多； ③ 在遵循上两个条件的前提下，平行六面体的体积应最小。
具有L44P的平面点阵
单胞表
3、单胞的表征
原点：单胞角上的某一阵点 坐标轴：单胞上过原点的三个棱边 x，y，z 点阵参数：a，b，c，α，β，γ
准晶
是一种介于晶体和非晶体之间的固体。准晶具有长程定向有 序，然而又不具有晶体所应有的平移对称性，因而可以具有 晶体所不允许的宏观对称性。
2-1晶体学基础--西安交大材料科学基础
1
13
c
c1
（463）
O a a1
b1
b
图2-6 晶面指数的确定 1 Oa1=1/2a Ob1=1/2b Oc1=1/2c
14
在确定密勒指数时，还需规定几点： 在确定密勒指数时，还需规定几点： （1）该晶面不能通过原点，因为这时截距为零，其倒数 ）该晶面不能通过原点，因为这时截距为零， 是无意义的， 是无意义的，这时应选择与该晶面平行但不过原点的面来 确定晶面指数或把坐标原点移到该面之外； 确定晶面指数或把坐标原点移到该面之外； （2）当晶面与某晶轴平行时，规定其截距为 ，则截距 ）当晶面与某晶轴平行时，规定其截距为∞， 的倒数为零； 的倒数为零； ( 3)当晶面与坐标轴的负方向相交时，截距为负，该指数 当晶面与坐标轴的负方向相交时， 当晶面与坐标轴的负方向相交时 截距为负， 的负号最后标在数字的上方。 的负号最后标在数字的上方。 （4）由于任一晶面平移一个位置后仍然是等同的晶面， ）由于任一晶面平移一个位置后仍然是等同的晶面， 因此指数相同而符号相反的晶面指数是可以通用的。 因此指数相同而符号相反的晶面指数是可以通用的。
相同,还要看晶面的面间距和原子密度是否相等 如果它们 相同 还要看晶面的面间距和原子密度是否相等.如果它们 还要看晶面的面间距和原子密度是否相等 不相等,尽管晶面指数的数字相等 尽管晶面指数的数字相等,也不是性质相同的等同 不相等 尽管晶面指数的数字相等 也不是性质相同的等同 晶面,而不属于同族晶面 而不属于同族晶面。 晶面 而不属于同族晶面。
1
9
●确定晶向指数时，坐标原点不一定非选在晶向上，若 确定晶向指数时，坐标原点不一定非选在晶向上， 原点不在待标晶向上， 原点不在待标晶向上，那就需要找出该晶向上 ( x 1 , y 1 , z 1 )和 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 两点的坐标 标 (x 1 − x 2 ) ( y 1 − y 2 ) (z 1 − z 2 ) 并使之满足： 质整数 uvw ，并使之满足： ,然后将三个数化成互 然后将三个数化成互
晶体学基础
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1.1 晶体及其基本性质
晶体结构 = 点阵 + 结构基元
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空间点阵的四要素
1. 阵点: 空间点阵中的点； 2. 阵列: 结点在直线上的排列； 3. 阵面: 阵点在平面上的分布。
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空间点阵的四要素
4. 阵胞: 结点在三维空间形成的平行六面体。
原胞：最小的平行六面体，只考虑周期性，不考虑对称性； 晶胞：通常满足对称性的前提下，选取体积最小的平行六面体。
ur b/k
P
a/h A
v
a
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倒易点阵的应用
uur dhkl 1/ r *hkl
1、计算面间距
1
d2 hkl
r rhkl
r .rhkl
h
k
av*
l
r bcv**
av*
r b*
h
cv*
k
l
h
h
k
l
G
*
k
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c
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倒易点阵的应用
2、计算晶面夹角
• 两晶面之间的夹角，可以用各自法线之间的夹角来表示， 或用它们的倒易矢量的夹角来表示：
c((ohhs21kk12ll12)c)osrvrv(hh2rv1kk2h1l1l21k1l1 ,hhrv21hav2avk*2*l+2+)kk21bvbv*rvv*+h+1kl12ll11cvcv*vrv*h2k2l2
4. 若已知两个晶带面,则晶带轴；
5. 已知两个不平行的晶向，可以求出过这两个晶向的晶面；
2-3晶体学基础
2 L
2 sin i
• 指数标定，计算晶胞参数。
a d ( HKL ) H 2 K 2 L2
2 sin
Fhkl = fa e2i(h0+k0+l0) = fa [cos2(0)+isin2(0)] = fa
讨论点阵消光的时候，只考虑每个 点阵点对应一个原子的最简单情况。 讨论结构消光的时候，考虑到一个 点阵点对应多个原子的情况。
欧拉公式： e+ix = cos(x) +isin(x) e-ix = cos(x) -isin(x).
4
面心点阵
(相同)
cos2n+isin2n = 1
cos(2n+1)+isin(2n+1) =-1
结论：在面心点阵情况下，hkl 为全奇或全偶时，都 能产生衍射。奇偶混合时出现消光。
5
• 底心点阵
– 每个晶胞中有2个同类原子，其坐标分别为0,0,0 和1/2,1/2,0。 – 在底心点阵中，h + k 为奇数时出现消光。
H 2 K 2 L2
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f. •
•
34
衍射角为 7.5
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2. 聚焦法
利用发散度较大的入射 X 射线束，照射试样上较大区域，由多晶体试 样中某一组 (hkl) 晶面族所发生的衍射线束在照相底片上仍然聚焦到一 点 (或一条细线) 的衍射方法，称为聚焦法。该方法比德拜-谢乐法具有 更高的灵敏度。
不对称装片法计算 时，不需要相机半径 数据，可减少误差来源。
材料科学导论-第一章 晶体学基础3
3、六方晶系晶面指数标定
根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a1，a2，a3 及c四个晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均为120度，这样， 其晶面指数就以(h k i l）四个指数来表示。 根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三 个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以 下关系：i ＝－ ( h + k ) 。
三轴晶面指数(h k l) 四轴晶面指数(h k i l) i=- ( h + k )
立方晶系：
d hkl
a h k l
2 2 2
§ 1.6 晶面指数及晶面间距 范例:
m/l
c
a
m/k
b
m/h
画出晶面 （100），（110），（111），（201），（211），（321）
பைடு நூலகம்
c a
（100）
b
画出晶面 （100），（110），（111），（201），（211），（321）
d V [h b c sin k a c sin l a b sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2hkabc (cos cos cos )
2
2kla bc(cos cos cos )
2
2hlab c(cos cos cos )]
2
2 2 2
1
2
1 2
V abc(1 cos cos cos 2cos cos cos )
单斜晶系：d＝sinβ(h2/a2＋k2sin2β/b2＋l2/c2－2hlcosβ/ac)-1/2 正交晶系：d＝[h2/a2＋k2/b2＋l2/c2]-1/2 四方晶系：d＝[(h2＋k2)/a2＋l2/c2]-1/2 六方晶系：d＝[4(h2＋hk＋k2)/3a2＋l2/c2]-1/2
晶体学基础 3
η=nv/V
n：晶胞原子数 v：每个原子所占的体积 V：晶胞的体积
一个晶胞内的原子数n
• 这可从晶胞图中直观看出。但要注意，位于晶胞顶点的原子 是相邻的8个晶胞共有的，故属于一个晶胞的原子数是1/8。 位于晶胞的棱上原子是相邻的4个晶胞共有的，故属于一个 晶胞的原子数是1/4。位于晶胞外表面上的原子是两个晶胞 共有的，故属于一个晶胞的原子数是1/2。
• 填在四面体间隙的最大间隙原子是和4个顶 点的原子同时相切，故二者半径之和为：
密排六方间隙
八面体间隙
• hcp 晶体的八面体间隙如图所示。其形状与fcc 晶胞的八面体间隙完全相似，而间隙的位置不同 。从图看出，在一个hcp 晶胞内有6个八面体间隙 ，故八面体间隙数与原子数之比为6∶6 = 1∶1。
和
D2 是晶体学上的等
价方向，但其晶向指 数却分别是[100]和 [110]。
• 由于等价晶面或晶向不具有类似的指数， 人们就无法从指数判断其等价性，也无法 由晶面族或晶向族指数写出它们所包括的 各种等价晶面或晶向，这就给晶体研究带 来很大的不便。为了克服这一缺点，或者 说，为了使晶体学上等价的晶面或晶向具 有类似的指数，对六方晶体来说，就得放 弃三指数表示，而采用四指数表示。
共3个等价面(Ⅱ型棱柱面)。 •而{0001}只包括(0001) 一个晶面，称为基面。六 方晶体中比较重要的晶面 族还有 ，请读者写 出其全部等价面。
四指数表示晶向指数
• 用四个轴分量来表示一个空间矢量的方法有无穷多种，现在 行走法的方法的困难来自共面的三个轴。 • 看OA矢量，两轴的唯一表示是[-2,-1]。但三轴则有无限多种 • [-1,0,1]，[0,1,2]，[-2,-1,0]，[1,2,3]等。 • 看OB矢量，两轴的唯 • 一表示是[-4,-3]，但三 • 轴则有[-1,0,3]，[-4,-3,0] • 一定要附加一个约束 • 条件，才能是指数唯 • 一。因 • a1 + a2 + a3 = 0 • 所以约束条件是： • u+ v + t = 0 • 这样，正确的指数是 • OA是 [1 0－1] ， • OB是[－5－2 7]
第三章_晶体学基础
十四种空间格子（布拉菲格子）
综合考虑单位平行六面体的划分和附加结点的类型，七个晶系空间格 子的基本类型共有十四种。
三斜晶系：三斜简单格子； 单斜晶系：单斜简单格子，单斜底心格子； 斜方晶系：斜方简单格子，斜方底心格子， (正交） 斜方体心格子，斜方面心格子； 四方晶系：四方简单格子，四方体心格子； 三方晶系：三方简单格子(三方菱面体格子)； 六方晶系：六方简单格子； 立方晶系：立方简单格子，立方体心格子， 立方面心格子。
简单P
立方I
立方F
立方晶系：a = b=c
α=β=γ=90°
四方P 四方晶系： a = b≠c
四方I α=β=γ=90°
正交P
正交C 正交晶系：a≠b ≠ c
正交I α=β=γ=90°
正交F
单斜P 单斜晶系：a≠b ≠ c
单斜C α=γ=90° β＞ 90°
六方H
三方R
三斜P
六方晶系： a = b≠c 三方晶系： a = b=c 三斜晶系：a≠b≠c
故确定的步骤为：
● 选定晶轴X、Y、Z和a、b、c为轴单位；
● 平移晶向（棱）直线过原点；
● 在该直线上任取一结点M，将其投影至X、
。
Y、Z轴得截距OX、OY、OZ；
● 作OX/a：OY/b：OZ/c = u：v：w（最小
整数比）；
● 去掉比号，加中括号，[u v w]即为晶
向符号。
某一晶向指数代表一组在
结构基元：组成晶体的离 子、原子或分子。基元内 的原子数等于晶体中原子 的种类数。
晶体结构=空间点阵+结构基元
实际晶体——质点体积忽略——空间点阵——阵点连线——晶格（空间格子）
晶体学基础
晶体学基础1. 晶体的基本性质2. 晶体结构与空间点阵3. 晶向、晶面及指标4. 晶带和晶带轴1. 晶体非晶体42. 空间点阵和晶胞¾空间点阵的概念¾点阵和点阵格子¾空间点阵与晶体结构空间点阵的概念¾晶体是由原子或原子团在三维空间中规则重复排列组成的固体。
作为基本单元的原子或原子团叫结构基元，简称基元。
¾为反映晶体中原子排列的周期性，以一个点代表一个基元，这个点就叫阵点，阵点在三维空间的周期性分布形成无限的阵列，就叫空间点阵，简称点阵。
5点阵和结构¾把空间点阵想象为晶体的结构框架，点阵中每一阵点所代表的周期重复的内容（原子、分子或离子），即结构基元，所以晶体结构可表述为：晶体结构＝点阵＋结构基元2. 空间点阵和晶胞晶胞= 点阵格子+ 结构基元10阵点数、阵点坐标2. 空间点阵和晶胞¾在晶胞不同位置的原子由不同数目的晶胞分享：顶角原子：1/8棱上原子：1/4面上原子：1/2晶胞内部：1阵点坐标的表示方法：¾以晶胞的任意顶点为坐标原点，以与原点相交的三个棱边为坐标轴，分别用点阵周期（a, b, c ）为度量单位。
11晶向指数的确定1.建立坐标系，结点为原点，三棱为方向，点阵常数为单位；2.在晶向上任两点的坐标(x 1,y 1,z 1) (x 2,y 2,z 2)。
(若平移晶向或坐标，让在第一点在原点则下一步更简单)；3.计算x 2-x 1：y 2-y 1：z 2-z 1；4.化成最小、整数比u ：v ：w ；3.晶向指数和晶面指数5.放在方括号[uvw]中，不加逗号，负号记在上方。
红线由两个结点的坐标之差确定点阵中由结点构成的直线称为晶向晶向指数的确定1002晶向指数的意义¾晶向指数表示着所有相互平行、方向一致的晶向；¾所指方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反；¾晶体中因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向族，用<u v w>表示。
晶体结构与晶体化学-晶体几何学理论基础3
螺旋旋转由两个基本操作——旋转和平移构成。该旋转轴称为螺旋轴。在 点阵中，螺旋轴被限制在旋转轴允许的位置上。为了与点阵相容，平移分 量的量值必须是平行于轴的单位平移的约数。
1.5.2 滑移反映
包含有平移及反映的复合对称操作称为滑移反映。反映面称滑移面，限制 在与镜面相同的位置上。滑移的平移分量必须与在平面中的单位平移t平 行，且其量值为t/2。如果平行于晶胞的棱，称之为轴滑移。如果指向 晶胞的中心或晶胞的任一面的中心，称之为对角线滑移。金刚石型滑移的 值是对角线滑移量的一半，且只限于有心的晶胞。
1.1.2 空间点阵
在图3.1的单位平移中，有两个最短的矢量，如图3.2所示。原点的选择是任意 的，任何图案的平移对称都可从图形的一点开始描述。如将图案抽象成一个点， 通过上述的一套平移对称操作即可得到一套平面上点的集合，称为网格或二维 点阵（图3.3）。在空间三维情况下，称作空间格子或空间点阵，点阵中的每个 点称为结点或点阵点。
3、空间格子（点阵）
晶体结构的基本特征是其中的质点在三维空间作有规律的重复排列；表示这种 晶体结构基本规律性的集合图形，就是空间格子。
二维空间中平移等效点的集合产生了一个“网格”，而在三维空间中其基本平 移矢量终点的集合组成一个空间格子，常称为“晶格”或“点阵”
C：面心 三维情况的晶胞： P：无心（原始的或素的） I：体心 F：面心 A、B、C：底心。即（b,c）、（c,a）及（a,b）上带心或称A面心、B面心、C面心。 R：菱面体按六方定向时的带心情况 三斜晶系中不存在带心点阵。 单斜晶系中，A面心和C面心是相同的（a轴和c轴可以互换）。B面心可以选为P。I、 F点阵也可以选成A及C。因此，在标准定向中，单斜晶系只有P、C两种。 正交晶系中，原始的P、C面心（A及B面心可用换轴的方法选为C），体心I及面心F 都有。 四方晶系，点阵类型只有P及I两种（C可选成P，F可改选成I）。 三方、六方晶系有P及R两种点阵。 立方晶系有P、I、F点阵。
晶体学基础3
晶体学基础31．5．2倒格子的性质倒格子具有以下基本性质：（1）以倒格子基矢b 1,b 2,b 3为棱边构成的平行六面体称为倒格子原胞，其体积为v *。
()31232*()cv v π=⋅⨯=b b b …………………（1-5-3）（2）倒格矢112233h h h h =++G b b b 和正格子空间中面指数为（h 1h 2h 3）的晶面族正交，即G h 沿晶面族的法线方向。
我们知道，晶面族中最靠近原点的晶面ABC 在123,,a a a 上的截距分别为312123,,a a a h h h ，如图1-18所示，易写出矢量CA 和CB ：31133223h h h h =-=-=-=-a a CA OA OC a a CB OB OC ………………………………………………………（1-5-4）矢量CA 和CB 都在ABC 面上，因此，只要证明00h h ⋅=⎧⎨⋅=⎩G CA G CB ，则就能说明112233h h h h =++G b b b 与面指数为（h 1h 2h 3）的晶面族正交。
实际上，利用关系式（1-5-2），有31112233133211223323()()0,()()0.h h h h h h h h h h h h ⋅=++⋅-=⋅=++⋅-=a a G CA b b b a a G CB b b b …………………………………………（1-5-5）（3）晶面族（h 1h 2h 3）的面间距d h 与倒格矢G h 的模成反比，关系为2h hd π=G 。
图1-18中ABC 面就是晶面族（h 1h 2h 3）中距原点最近的晶面，所以这族晶面的面间距d h 就等于原点到面ABC 的距离，而之族晶面的法线方向即为G h 的方向，其面间距为1112233111112233()2h h h hh h h d h h h h h π⋅++=⋅==++G a b b b a G b b b G 。
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第一章晶体几何基础1-1 解释概念：等同点：晶体结构中，在同一取向上几何环境和物质环境皆相同的点。
空间点阵：概括地表示晶体结构中等同点排列规律的几何图形。
结点：空间点阵中的点称为结点。
晶体：内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体。
对称：物体相同部分作有规律的重复。
对称型：晶体结构中所有点对称要素（对称面、对称中心、对称轴和旋转反伸轴）的集合为对称型，也称点群。
晶类：将对称型相同的晶体归为一类，称为晶类。
晶体定向：为了用数字表示晶体中点、线、面的相对位置，在晶体中引入一个坐标系统的过程。
空间群：是指一个晶体结构中所有对称要素的集合。
布拉菲格子：是指法国学者 A.布拉菲根据晶体结构的最高点群和平移群对称及空间格子的平行六面体原则，将所有晶体结构的空间点阵划分成14种类型的空间格子。
晶胞：能够反应晶体结构特征的最小单位。
晶胞参数：表示晶胞的形状和大小的6个参数（a、b、c、α 、β、γ ）.1-2 晶体结构的两个基本特征是什么？哪种几何图形可表示晶体的基本特征？解答：⑴晶体结构的基本特征：①晶体是内部质点在三维空间作周期性重复排列的固体。
②晶体的内部质点呈对称分布，即晶体具有对称性。
⑵14种布拉菲格子的平行六面体单位格子可以表示晶体的基本特征。
1-3 晶体中有哪些对称要素，用国际符号表示。
解答：对称面—m，对称中心—1，n次对称轴—n，n次旋转反伸轴—n螺旋轴—ns ，滑移面—a、b、c、d1-5 一个四方晶系的晶面，其上的截距分别为3a、4a、6c，求该晶面的晶面指数。
解答：在X、Y、Z轴上的截距系数：3、4、6。
截距系数的倒数比为：1/3:1/4:1/6=4:3:2晶面指数为：（432）补充：晶体的基本性质是什么？与其内部结构有什么关系？解答：①自限性：晶体的多面体形态是其格子构造在外形上的反映。
②均一性和异向性：均一性是由于内部质点周期性重复排列，晶体中的任何一部分在结构上是相同的。
异向性是由于同一晶体中的不同方向上，质点排列一般是不同的，因而表现出不同的性质。
第3章 晶体学基础 - 晶体结构、晶向、晶面
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1.动画--晶面指数的确定方法
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2.晶面指数特点与规律：
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（1)与原点位置无关；每一晶面符号对应一组相互平行的晶面。 晶面符号代表在原点同一侧的一组相互平行且无限大的 晶面，而不是某一晶面。 (2) 若晶面指数相同，但正负符号相反，则两晶面是以点为 对称中心，且相互平行的晶面。如（110）和（110）互 相平行。
2014-9-26 此处添加公司信息 3
3.1.1 晶体与非晶体
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准晶:是一种介于晶体和非晶体之间的固体。 准晶具有完全有序的结构，然而又不具有晶 体所应有的平移对称性，因而可以具有晶体所不允 许的宏观对称性。准晶是具有准周期平移格子构造 的固体，其中的原子常呈定向有序排列，但不作周 期性平移重复，其对称要素包含与晶体空间格子不 相容的对称（如5次对称轴） 瑞典皇家科学院将2011年诺贝尔化学奖授予 以色列科学家达尼埃尔· 谢赫特曼，以表彰他“发 现了准晶”这一突出贡献。准晶的发现从根本上改 变了以往化学家对物体的构想。
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{123} (123) ( 1 23) (123) (12 3) (132) ( 1 32) (1 3 2) (132) (231) ( 231) (2 3 1) (23 1 ) (213) ( 213) (2 1 3) (21 3) (312) ( 3 12) (3 1 2) (312) (321) ( 3 21) (321) (32 1 )
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立方晶系： {111}=?
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Total:? 立方晶系：
{112} (112) ( 1 12) (1 1 2) (112) (121) ( 1 21) (121) (12 1 ) (211) ( 211) (2 1 1) (21 1 )
1.3晶体学基础（空间点阵）
1.3晶体学基础（空间点阵）1.3 晶体学基础（空间点阵）⾦属及⾮⾦属材料在固态通常都是晶体，它们的许多特性都与其结晶状态有关。
因此，作为材料科学⼯作者，⾸先要熟悉晶体的特征及其描述⽅法。
本节将扼要地介绍晶体学的基础知识，包括以下⼏⽅⾯内容：(1)空间点阵及其描述、晶系和点阵类型。
(2)晶体取向的解析描述：晶⾯和晶向指数。
(3)晶体中原⼦堆垛的⼏何学，堆垛次序，四⾯体和⼋⾯体间隙。
熟练地掌握以上内容，关键是要多练习、多应⽤。
以上内容不仅是学习材料课程的基础，也是学习其他许多专业课程（如X射线衍射、电⼦衍射、固体物理等）的基础。
因此，要求学⽣对这些内容，能掌握得⾮常透彻、⾮常熟练。
⼀、晶体与⾮晶体1 晶体的定义物质的质点(分⼦、原⼦或离⼦)在三维空间作有规律的周期性重复排列所形成的物质叫晶体。
图1 ⾦属及其他许多材料的长程有序排列2 ⾮晶体⾮晶体在整体上是⽆序的，但原⼦间也靠化学键结合在⼀起，所以在有限的⼩范围内观察还有⼀定规律，可将⾮晶体的这种结构称为近程有序。
图 2 ⽔蒸⽓的短程有序玻璃的短程有序3 晶体的特征（1）周期性固态物质按其原⼦或分⼦的聚集状态可分为两⼤类，⼀类是晶体，另⼀类是⾮晶体。
晶体的⼀个基本特征就是其中的原⼦或原⼦集团都是有规律地排列的，这个规律就是周期性，即不论沿晶体的哪个⽅向看去，总是相隔⼀定的距离就出现相同的原⼦或原⼦集团。
这个距离也称为周期。
显然，沿不同的⽅向有不同的周期。
⾮晶体不具有上述特征。
在⾮晶体中原⼦（或分⼦、离⼦）⽆规则地堆积在⼀起。
液体和⽓体都是⾮晶体。
在液体中，原⼦也处于相对紧密聚集的状态，但不存在长程的周期性排列。
对于⾦属液体的结构，我们在学习后⾯的内容时将会有进⼀步的了解。
固态的⾮晶体实际上是⼀种过冷状态的液体，只是它的物理性质不同于通常的液体。
玻璃是⼀个典型的固态⾮晶体，所以，往往将⾮晶态的固体称为玻璃态。
（2）有固定的凝固点和熔点晶体还有⼀些其他的特点。
晶体学基础知识点小节知识讲解
第一章晶体与非晶体★相当点（两个条件：1、性质相同，2、周围环境相同。
）★空间格子的要素：结点、行列、面网★晶体的基本性质：自限性: 晶体能够自发地生长成规则的几何多面体形态。
均一性:同一晶体的不同部分物理化学性质完全相同。
晶体是绝对均一性，非晶体是统计的、平均近似均一性。
异向性：同一晶体不同方向具有不同的物理性质。
例如：蓝晶石的不同方向上硬度不同。
对称性：同一晶体中，晶体形态相同的几个部分（或物理性质相同的几个部分）有规律地重复出现。
最小内能性：晶体与同种物质的非晶体相比，内能最小。
稳定性：晶体比非晶体稳定。
■本章重点总结：本章包括3组重要的基本概念:1) 晶体、格子构造、空间格子、相当点；它们之间的关系。
2) 结点、行列、面网、平行六面体; 结点间距、面网间距与面网密度的关系.3) 晶体的基本性质：自限性、均一性、异向性、对称性、最小内能、稳定性，并解释为什么。
第二章晶体生长简介2.1 晶体形成的方式★液-固结晶过程:⑴溶液结晶: ①降温法②蒸发溶剂法③沉淀反应法⑵熔融结晶: ①熔融提拉②干锅沉降③激光熔铸④区域熔融★固-固结晶过程:①同质多相转变②晶界迁移结晶③固相反应结晶④重结晶⑤脱玻化2.2 晶核的形成●思考：怎么理解在晶核很小时表面能大于体自由能，而当晶核长大后表面能小于体自由能？因为成核过程有一个势垒：能越过这个势垒的就可以进行晶体生长了，否则不行。
★均匀成核：在体系内任何部位成核率是相等的。
★非均匀成核：在体系的某些部位（杂质、容器壁）的成核率高于另一些部位。
●思考：为什么在杂质、容器壁上容易成核？为什么人工合成晶体要放籽晶？2.3 晶体生长★层生长理论模型（科塞尔理论模型）层生长理论的中心思想是：晶体生长过程是晶面层层外推的过程。
★螺旋生长理论模型（BCF理论模型）●思考：这两个模型有什么联系与区别？联系：都是层层外推生长；区别：生长新的一层的成核机理不同。
●思考：有什么现象可证明这两个生长模型？环状构造、砂钟构造、晶面的层状阶梯、螺旋纹2.4 晶面发育规律★★布拉维法则(law of Bravais)：晶体上的实际晶面往往平行于面网密度大的面网。
第3章 晶体学基础 - 晶体结构、晶向、晶面
（3） 晶面指数是截距系数的倒数，因此，截距系数越大， 则相应的指数越小，而当晶面平行某一晶轴时，其截距 系数为∞，对应的指数为1/∞＝0.
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（100）与 ［100］有何关系？
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（4)立方晶系中：相同指数（指数和符号均相同）的晶向和 晶面互相垂直，即同指数的晶向是晶面的法线方向。如： [111] ⊥（111）、[110] ⊥（110）、[100] ⊥（100）。 该规律适用于三根晶轴相互垂直时，如果三轴不相互垂直， 则(hkl)与[hkl]不垂直。
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1.动画--晶面指数的确定方法
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2.晶面指数特点与规律：
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（1)与原点位置无关；每一晶面符号对应一组相互平行的晶面。 晶面符号代表在原点同一侧的一组相互平行且无限大的 晶面，而不是某一晶面。 (2) 若晶面指数相同，但正负符号相反，则两晶面是以点为 对称中心，且相互平行的晶面。如（110）和（110）互 相平行。
（3）如果是非立方晶系，改变晶向指数的顺序所表 示的晶向可能不等同。如正交晶系[100]、[010]、 [001] 19
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<U V W>晶向族：等价晶向 e.g., <100>=[100]+[010]+[001] +[100]+[010]+[001] (立方晶体)
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3.3.2 晶面指数的标定
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立方晶系： {111}=?
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Total:? 立方晶系：
{112} (112) ( 1 12) (1 1 2) (112) (121) ( 1 21) (121) (12 1 ) (211) ( 211) (2 1 1) (21 1 )
固体物理实验方法课]第1章_晶体学基础
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1.2 晶体结构与空间点阵
1.2.5 晶向、晶面及晶向、晶面指数
晶向指数的确定
1. 建立坐标系，结点为原点，三棱为方向，点阵 常数为单位 ； 2. 在晶向上任两点的坐标(x1 , y1 , z1) (x2 , y2 , z2)。 ( 若平移晶向或坐标，让在第一点在原点则下 一步更简单)； 3. 4. 5. 计算x2 - x1 ： y2 - y1 ： z2 - z1 ； 化成最小、整数比 u：v：w ；
其中，a 、b、 c；α、β、γ 为正点阵参数
1.3 倒易点阵
1.3.3 倒易点阵参数的大小和方向
（1） a* b a* c b* a b* c c* a c* b 0
因此，倒易点阵的基本矢量垂直于正点阵中异名矢量构成的平面。 a*垂直于b与c两个矢量构成的平面。同样b*（或c*）垂直于a与c（a与b） 两个矢量构成的平面。
倒易点阵是晶体结构周期性在傅立叶空间中的数学抽象。 如果把晶体点阵本身理解为周期函数，则倒易点阵就是晶体点 阵的傅立叶变换，反之晶体点阵就是倒易点阵的傅立叶逆变换。
所以，倒易点阵只是晶体点阵在不同空间 ( 波矢空间 ) 的
反映。
1.3 倒易点阵
1.3.4 倒易矢量
1、定义： 从倒易点阵原点向任一倒易阵 点所连接的矢量叫倒易矢量，表示为： r* = Ha* + Kb* + Lc*
晶包大小与形状
1.2 晶体结构与空间点阵
1.2.2 基本矢量与晶包
同一个点阵可以由不同的平行六面体晶胞 叠成。即可以任意选择不同的坐标系与基本矢 量来表示。 为了表达最简单，应该选择最理想、最适 当的基本矢量作为坐标系统。即是以结点作为 坐标原点，（ 1 ）选取基本矢量长度相等的数 目最多、（ 2 ）其夹角为直角的数目最多，且 （ 3 ）晶胞体积最小。这样的基本矢量构成的 晶胞称为布拉菲（BRAVAIS）晶胞。
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4
2
6
间
隙
• 从晶体原子排列的刚球模型可以看到，在原子球与原子球 之间存在着不同形貌的间隙。主要有两类间隙即：四面体 间隙和八面体间隙。 • 晶体结构中间隙的数量、位置和每个间隙的大小等也是晶 体的一个重要特征，对于了解金属的性能、合金相结构、 扩散、相变等问题很有用处。
面心立方
配位数
CN＝12
八面体间隙
体心立方
bcc 晶体的八面体间隙如图所示，其位置和形状不同于 fcc 晶胞的八面 体间隙。间隙的中心位于晶胞的面心和晶胞棱的中点（对 bcc 晶体，这
些都是等同点），一个晶胞中八面体间隙的数量是6（个），故八面体间 隙数与原子数之比为6∶2 = 3∶1。
间隙原子只和相距它为a/2的两个原子相切，既和体心原子相切。 而不和相距为 2 a 的四个原子（顶点原子）相切。
和
D2 是晶体学上的等
价方向，但其晶向指 数却分别是[100]和 [110]。
• 由于等价晶面或晶向不具有类似的指数， 人们就无法从指数判断其等价性，也无法 由晶面族或晶向族指数写出它们所包括的 各种等价晶面或晶向，这就给晶体研究带 来很大的不便。为了克服这一缺点，或者 说，为了使晶体学上等价的晶面或晶向具 有类似的指数，对六方晶体来说，就得放 弃三指数表示，而采用四指数表示。
• 填在四面体间隙的最大间隙原子是和4个顶 点的原子同时相切，故二者半径之和为：
密排六方间隙
八面体间隙
• hcp 晶体的八面体间隙如图所示。其形状与fcc 晶胞的八面体间隙完全相似，而间隙的位置不同 。从图看出，在一个hcp 晶胞内有6个八面体间隙 ，故八面体间隙数与原子数之比为6∶6 = 1∶1。
面心立方致密度
原子直径是a/2<110>的长度，即 面心立方结构的晶胞体积为a3，晶 胞内含4个原子，所以它的致密度η 为
a 2
体心立方
配位数
CN＝8
体心立方致密度
• 原子直径是a/2<111>的 长，即 面心立 方结构的晶胞体积为a3 ，晶胞内含2个原子，所 以它的致密度η为
密排六方
配位数 •• • • • • • •• • •• • • • ••
共3个等价面(Ⅱ型棱柱面)。 •而{0001}只包括(0001) 一个晶面，称为基面。六 方晶体中比较重要的晶面 族还有 ，请读者写 出其全部等价面。
四指数表示晶向指数
• 用四个轴分量来表示一个空间矢量的方法有无穷多种，现在 行走法的方法的困难来自共面的三个轴。 • 看OA矢量，两轴的唯一表示是[-2,-1]。但三轴则有无限多种 • [-1,0,1]，[0,1,2]，[-2,-1,0]，[1,2,3]等。 • 看OB矢量，两轴的唯 • 一表示是[-4,-3]，但三 • 轴则有[-1,0,3]，[-4,-3,0] • 一定要附加一个约束 • 条件，才能是指数唯 • 一。因 • a1 + a2 + a3 = 0 • 所以约束条件是： • u+ v + t = 0 • 这样，正确的指数是 • OA是 [1 0－1] ， • OB是[－5－2 7]
• 4)fcc 和 hcp 中的八面体间隙远大于 bcc 中的八面体或 四面体间隙，因而间隙原子在 fcc 和 hcp 中的溶解度往 往比在 bcc 中大得多。 • (5) fcc 和 hcp 晶体中的八面体间隙大小彼此相等，四 面体间隙大小也相等，其原因在于这两种晶体的原子堆垛 方式非常相像。
复
• 复式点阵
习
• 原胞和晶胞区别 • 晶面三指数标定 • 晶向三指数标定 • 晶面族和晶向族
六方晶系指数表示
上面我们用三个指数表示晶面和晶向。这种三 指数表示方法，原则上适用于任意晶系。对六方 晶系，取 a，b，c 为晶轴，而 a 轴与 b 轴的夹 角为120°，c 轴与 a，b 轴相垂直，如图所示。
η=nv/V
n：晶胞原子数 v：每个原子所占的体积 V：晶胞的体积
一个晶胞内的原子数n
• 这可从晶胞图中直观看出。但要注意，位于晶胞顶点的原子 是相邻的8个晶胞共有的，故属于一个晶胞的原子数是1/8。 位于晶胞的棱上原子是相邻的4个晶胞共有的，故属于一个 晶胞的原子数是1/4。位于晶胞外表面上的原子是两个晶胞 共有的，故属于一个晶胞的原子数是1/2。
四轴坐标系中，晶向指数的 确定，首先要求出三轴坐标 系的晶向指数[U V W]，然 后利用上述关系，换算成四 轴坐标系中的晶向指数 [u v t w]。
常见晶体结构
一、常见晶体结构在金属晶体中，金属键使原子的排列趋于尽 可能地紧密，构成高度对称性的简单的晶体结构。最常见的金 属晶体结构有以下三类。 面心立方:Al，γ-Fe，Ni，贵金属以及奥氏体不锈钢等。 体心立方：碱金属、难熔金属（V，Nb，Ta，Cr，Mo，W） 、α-Fe 等等。 密排六方 ：α-Be， α-Ti， α-Zr等
• 但是，用三指数表示六方晶系的晶面和晶向有一个很大的缺点，
即晶体学上等价的晶面和晶向不具有类似的指数。这一点可以从 图看出。图中六棱柱的两个相邻表面（红面和绿面）是晶体学上
等价的晶面，但其密勒指数（Miller Indices）却分别是
(100)。 •图中夹角为 60°的 两个密排方向 D1 和
• 四指数表示是基于4个坐标轴：a1，a2， a3 和 c 轴，如图所示，其中，a1，a2 和 c 轴就是原胞的 a，b 和c 轴，而 a3 = -(a1+a2)。下面就分别讨论用四指 数表示的晶面及晶向指数。
四指数表示晶面指数
• 六方晶系晶面指数的标定原理和方法同立方晶系中的一样，步 骤如下： • （1）先找出该面在四个坐标轴上的截距长度（以晶胞的点阵 常数 a,c 为单位长）； （2）求其倒数并化为最简整数，即得(hkil)指数这样得到的 晶面指数称为 Miller-Bravais 指数。 从图所示的4个轴的几何关系 不难看出，只要晶面在a1和a2 轴上的截距一定，它在a3上的 截距也就随之而定。可见， h,k和i三个指数不是独立的。 事实上，可以证明
此外，以晶胞中部三个原子中的每一个为顶点
，以其上方（顶层）和下方（底层）的三个原
子构成的三角形为底，分别可作一四面体，其 中心就是四面体间隙的中心。这样，一个六方 晶胞内的四面体间隙总数应是 c 轴上的间隙数 、6 条平行于 c 轴的棱上的间隙数以及通过晶 胞中部的三个原子而平行于c 轴的三条竖直线 上的间隙数之和。其值为2＋6×2×1/3＋2×3
• 相邻的原子相互接触，原子中心就是八面体的各个角顶。
根据几何学关系可以求出间隙能够容纳的最大圆球半径。 假设原子半径为 r，间隙中能容纳的最大圆球半径为 rx ，
则可以算出八面体间隙相对大小rx / r。
四面体间隙
fcc 晶胞的四面体间隙位于 4 个 原子组成的正四面体的中间，如 图 所示。如果用(200)，(020)和
2
体心立方四面体间隙
bcc 晶体的四面体间隙如图所示，它是位于由两个相邻晶胞的体心 原子以及它们的公共棱上的两个原子所构成的四面体的中间，图 中的红色三角形表示间隙的中心位置。显然，每个表面（{100}面） 上都有 4 个和中心点等同的点，故一个晶胞中的四面体间隙数为 6×4×1/2 （个），四面体间隙数与原子数之比为12∶2 = 6∶1。
0.127nm，按上式求得γ-Fe的四面体和八面体间隙的球半径
分别为0.028nm和0.052nm。由于碳原子半径为0.077nm，氮 原子半径为0.070nm，虽稍大于 -Fe的八面体间隙的球半径， 但只要将铁原子稍微挤开使间隙扩大一点，碳、氮原子即可 进入八面体间隙之中，因此，γ-Fe中能溶入碳、氮原子形成 间隙固溶体。
i＝－（h＋k）。Fra bibliotek• 六方晶体中常见晶面及其四指数（亦称六方指数）标于图 。从图看出，采用四指数后，同族晶面（即晶体学上等价 的晶面）就具有类似的指数。例如：
1010 1010 1100 0110
• 共3个等价面(Ⅰ型棱柱面)。
1120 1120 1210 2110
几何特征：配位数、一个晶胞原子数、紧密系数和间隙
配位数
配位数是指晶体结构中，与任一原子最近邻并且等距离的原子 数。对纯元素晶体来说，任一原子到最近邻原子的距离必然是 相等的。但是，对于多种元素形成的晶体来说，任一原子到不 同元素的最近邻原子的距离不一定相等，这里，“最近”是就 同种元素的原子相比较而言的，而配位数则是一个原子周围的 各元素的最近邻原子数之和。配位数通常用 CN 表示。
单质晶它是每个原子的最近邻数目，晶体中最大的配位数为12 ，但在一些非单质的晶体中CN可以大于12 。因为金属结构一 般有高的对称性，单质金属的CN没有11、10、9等数值 。 CN 顺序分别为12、8、6、4、2、1。金属结构大部分是密堆的，它 们的CN大多是12或8。
致密度
• 致密度又称堆垛密度或空间填充的效率η，它表示原子排 列的密集程度。它定义为晶体结构中单位体积中原子所占 的体积。假如把金属晶体中的原子看成是有一定直径的刚 球，则紧密系数可以用刚球所占空间的体积百分数来表示 。若以一个晶胞来计算，致密度就等于晶胞中原子所占体 积与晶胞体积之比，即： • 致密度 ＝晶胞中原子所占体积之和/晶胞的体积。
• 在原子半径相同的条件下，hcp 晶体的八面体间隙大小与fcc 晶胞的八面体间隙大小相同。
四面体间隙
• hcp 晶体的四面体间隙位置如图所示。其形状与 fcc 晶胞的四 面体间隙完全相似，而间隙的位置不同，位于c 轴上有两个四面 体间隙。由于平行于c 轴的6条棱上的原子排列情况是和 c 轴完 全相同的，故在每条棱上与c 轴上间隙对应的位置也有两个四面 体间隙。
＝12（个），所以四面体间隙数与原子数的比
为12∶6 = 2∶1。
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