晶体学基础 3

• 四指数表示是基于4个坐标轴：a1，a2， a3 和 c 轴，如图所示，其中，a1，a2 和 c 轴就是原胞的 a，b 和c 轴，而 a3 = -(a1+a2)。下面就分别讨论用四指 数表示的晶面及晶向指数。
四指数表示晶面指数
• 六方晶系晶面指数的标定原理和方法同立方晶系中的一样，步 骤如下： • （1）先找出该面在四个坐标轴上的截距长度（以晶胞的点阵 常数 a,c 为单位长）； （2）求其倒数并化为最简整数，即得(hkil)指数这样得到的 晶面指数称为 Miller-Bravais 指数。 从图所示的4个轴的几何关系 不难看出，只要晶面在a1和a2 轴上的截距一定，它在a3上的 截距也就随之而定。可见， h,k和i三个指数不是独立的。 事实上，可以证明
共3个等价面(Ⅱ型棱柱面)。 •而{0001}只包括(0001) 一个晶面，称为基面。六 方晶体中比较重要的晶面 族还有 ，请读者写 出其全部等价面。
四指数表示晶向指数
• 用四个轴分量来表示一个空间矢量的方法有无穷多种，现在 行走法的方法的困难来自共面的三个轴。 • 看OA矢量，两轴的唯一表示是[-2,-1]。但三轴则有无限多种 • [-1,0,1]，[0,1,2]，[-2,-1,0]，[1,2,3]等。 • 看OB矢量，两轴的唯 • 一表示是[-4,-3]，但三 • 轴则有[-1,0,3]，[-4,-3,0] • 一定要附加一个约束 • 条件，才能是指数唯 • 一。因 • a1 + a2 + a3 = 0 • 所以约束条件是： • u+ v + t = 0 • 这样，正确的指数是 • OA是 [1 0－1] ， • OB是[－5－2 7]
• 在原子半径相同的条件下，hcp 晶体的八面体间隙大小与fcc 晶胞的八面体间隙大小相同。
四面体间隙
• hcp 晶体的四面体间隙位置如图所示。其形状与 fcc 晶胞的四 面体间隙完全相似，而间隙的位置不同，位于c 轴上有两个四面 体间隙。由于平行于c 轴的6条棱上的原子排列情况是和 c 轴完 全相同的，故在每条棱上与c 轴上间隙对应的位置也有两个四面 体间隙。
i＝－（h＋k）。
• 六方晶体中常见晶面及其四指数（亦称六方指数）标于图 。从图看出，采用四指数后，同族晶面（即晶体学上等价 的晶面）就具有类似的指数。例如：
1010 1010 1100 0110
• 共3个等价面(Ⅰ型棱柱面)。
1120 1120 1210 2110
• 但是，用三指数表示六方晶系的晶面和晶向有一个很大的缺点，
即晶体学上等价的晶面和晶向不具有类似的指数。这一点可以从 图看出。图中六棱柱的两个相邻表面（红面和绿面）是晶体学上
等价的晶面，但其密勒指数（Miller Indices）却分别是
(100)。 •图中夹角为 60°的 两个密排方向 D1 和
0.127nm，按上式求得γ-Fe的四面体和八面体间隙的球半径
分别为0.02Fra Baidu biblioteknm和0.052nm。由于碳原子半径为0.077nm，氮 原子半径为0.070nm，虽稍大于 -Fe的八面体间隙的球半径， 但只要将铁原子稍微挤开使间隙扩大一点，碳、氮原子即可 进入八面体间隙之中，因此，γ-Fe中能溶入碳、氮原子形成 间隙固溶体。
和
D2 是晶体学上的等
价方向，但其晶向指 数却分别是[100]和 [110]。
• 由于等价晶面或晶向不具有类似的指数， 人们就无法从指数判断其等价性，也无法 由晶面族或晶向族指数写出它们所包括的 各种等价晶面或晶向，这就给晶体研究带 来很大的不便。为了克服这一缺点，或者 说，为了使晶体学上等价的晶面或晶向具 有类似的指数，对六方晶体来说，就得放 弃三指数表示，而采用四指数表示。
＝12（个），所以四面体间隙数与原子数的比
为12∶6 = 2∶1。
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1)fcc 和 hcp 都是密排结构，而 bcc 则是比较“开放”的 结构，因为它的间隙较多。因此，碳、氮、氢、氧、硼等 原子半径较小的元素（即间隙原子）在 bcc 金属中的扩 散速率往往比在 fcc 及 hcp 金属中高得多。 (2) fcc 和 hcp 金属中的八面体间隙大于四面体间隙，故 这些金属中的间隙原子往往位于八面体间隙中。 (3)在 bcc 晶体中，四面体间隙大于八面体间隙，因而间隙 原子应占据四面体间隙位置。但另一方面，由于 bcc 的 八面体间隙是不对称的，即使上述间隙原子占据八面体间 隙位置，也只引起距间隙中心为a/2的两个原子显著地偏 离平衡位置，其余 4 个原子（距间隙中心为 22 a 的原子 ）则不会显著地偏离其平衡位置，因而总的点阵畸变不大 。因此，在有些 bcc 金属中，间隙原子占据四面体间隙 位置（如碳在钼中），在另一些 bcc 晶体中，间隙原子 占据八面体间隙位置（如碳在 α-铁中）。
2
体心立方四面体间隙
bcc 晶体的四面体间隙如图所示，它是位于由两个相邻晶胞的体心 原子以及它们的公共棱上的两个原子所构成的四面体的中间，图 中的红色三角形表示间隙的中心位置。显然，每个表面（{100}面） 上都有 4 个和中心点等同的点，故一个晶胞中的四面体间隙数为 6×4×1/2 （个），四面体间隙数与原子数之比为12∶2 = 6∶1。
3
面心立方间隙
八面体间隙
fcc 晶胞的八面体间隙位于6个面心
原子组成的正八面体中间，间隙的
中心就是晶胞的体心位置，如图所 示。由于 fcc 晶胞的每条棱的中点
和晶胞体心是等同的位置，故它们
都是八面体间隙的中心。显然一个 晶胞中八面体间隙的数量为 12× ¼+1=4 （个），故八面体间隙数与原子数 之比为1∶1。
四轴坐标系中，晶向指数的 确定，首先要求出三轴坐标 系的晶向指数[U V W]，然 后利用上述关系，换算成四 轴坐标系中的晶向指数 [u v t w]。
常见晶体结构
一、常见晶体结构在金属晶体中，金属键使原子的排列趋于尽 可能地紧密，构成高度对称性的简单的晶体结构。最常见的金 属晶体结构有以下三类。 面心立方:Al，γ-Fe，Ni，贵金属以及奥氏体不锈钢等。 体心立方：碱金属、难熔金属（V，Nb，Ta，Cr，Mo，W） 、α-Fe 等等。 密排六方 ：α-Be， α-Ti， α-Zr等
几何特征：配位数、一个晶胞原子数、紧密系数和间隙
配位数
配位数是指晶体结构中，与任一原子最近邻并且等距离的原子 数。对纯元素晶体来说，任一原子到最近邻原子的距离必然是 相等的。但是，对于多种元素形成的晶体来说，任一原子到不 同元素的最近邻原子的距离不一定相等，这里，“最近”是就 同种元素的原子相比较而言的，而配位数则是一个原子周围的 各元素的最近邻原子数之和。配位数通常用 CN 表示。
八面体间隙
体心立方
bcc 晶体的八面体间隙如图所示，其位置和形状不同于 fcc 晶胞的八面 体间隙。间隙的中心位于晶胞的面心和晶胞棱的中点（对 bcc 晶体，这
些都是等同点），一个晶胞中八面体间隙的数量是6（个），故八面体间 隙数与原子数之比为6∶2 = 3∶1。
间隙原子只和相距它为a/2的两个原子相切，既和体心原子相切。 而不和相距为 2 a 的四个原子（顶点原子）相切。
单质晶它是每个原子的最近邻数目，晶体中最大的配位数为12 ，但在一些非单质的晶体中CN可以大于12 。因为金属结构一 般有高的对称性，单质金属的CN没有11、10、9等数值 。 CN 顺序分别为12、8、6、4、2、1。金属结构大部分是密堆的，它 们的CN大多是12或8。
致密度
• 致密度又称堆垛密度或空间填充的效率η，它表示原子排 列的密集程度。它定义为晶体结构中单位体积中原子所占 的体积。假如把金属晶体中的原子看成是有一定直径的刚 球，则紧密系数可以用刚球所占空间的体积百分数来表示 。若以一个晶胞来计算，致密度就等于晶胞中原子所占体 积与晶胞体积之比，即： • 致密度 ＝晶胞中原子所占体积之和/晶胞的体积。
面心立方致密度
原子直径是a/2<110>的长度，即 面心立方结构的晶胞体积为a3，晶 胞内含4个原子，所以它的致密度η 为
a 2
体心立方
配位数
CN＝8
体心立方致密度
• 原子直径是a/2<111>的 长，即 面心立 方结构的晶胞体积为a3 ，晶胞内含2个原子，所 以它的致密度η为
密排六方
配位数 •• • • • • • •• • •• • • • ••
η=nv/V
n：晶胞原子数 v：每个原子所占的体积 V：晶胞的体积
一个晶胞内的原子数n
• 这可从晶胞图中直观看出。但要注意，位于晶胞顶点的原子 是相邻的8个晶胞共有的，故属于一个晶胞的原子数是1/8。 位于晶胞的棱上原子是相邻的4个晶胞共有的，故属于一个 晶胞的原子数是1/4。位于晶胞外表面上的原子是两个晶胞 共有的，故属于一个晶胞的原子数是1/2。
• 填在四面体间隙的最大间隙原子是和4个顶 点的原子同时相切，故二者半径之和为：
密排六方间隙
八面体间隙
• hcp 晶体的八面体间隙如图所示。其形状与fcc 晶胞的八面体间隙完全相似，而间隙的位置不同 。从图看出，在一个hcp 晶胞内有6个八面体间隙 ，故八面体间隙数与原子数之比为6∶6 = 1∶1。
此外，以晶胞中部三个原子中的每一个为顶点
，以其上方（顶层）和下方（底层）的三个原
子构成的三角形为底，分别可作一四面体，其 中心就是四面体间隙的中心。这样，一个六方 晶胞内的四面体间隙总数应是 c 轴上的间隙数 、6 条平行于 c 轴的棱上的间隙数以及通过晶 胞中部的三个原子而平行于c 轴的三条竖直线 上的间隙数之和。其值为2＋6×2×1/3＋2×3
4
2
6
间
隙
• 从晶体原子排列的刚球模型可以看到，在原子球与原子球 之间存在着不同形貌的间隙。主要有两类间隙即：四面体 间隙和八面体间隙。 • 晶体结构中间隙的数量、位置和每个间隙的大小等也是晶 体的一个重要特征，对于了解金属的性能、合金相结构、 扩散、相变等问题很有用处。
面心立方
配位数
CN＝12
• 4)fcc 和 hcp 中的八面体间隙远大于 bcc 中的八面体或 四面体间隙，因而间隙原子在 fcc 和 hcp 中的溶解度往 往比在 bcc 中大得多。 • (5) fcc 和 hcp 晶体中的八面体间隙大小彼此相等，四 面体间隙大小也相等，其原因在于这两种晶体的原子堆垛 方式非常相像。
(002)三个平面将 fcc 晶胞分为8
个相同的小立方体，则每个小立 方体的中心就是四面体间隙的中
心，显然一个晶胞内有 8 个四面
体间隙，故四面体间隙数与原子 数之比为 2∶1。
• 根据图可算出四面体间隙相对于点阵原子 的大小：rx/r:
OD = (3/4)DE
• 现以面心立方结构的γ-Fe为例进行分析：γ-Fe的原子半径为
•• •• • •• • • • • • •• •• • ••
• •
• •
• • •• CN＝12
• • ••
密排六方致密度
c 2 2 3 a ( ) a 2 3 2
2 2
c 8 1.633 a 3 4 a 12 3 2 0.74 1 3 2 8 6 a a 2 2 3
• 相邻的原子相互接触，原子中心就是八面体的各个角顶。
根据几何学关系可以求出间隙能够容纳的最大圆球半径。 假设原子半径为 r，间隙中能容纳的最大圆球半径为 rx ，
则可以算出八面体间隙相对大小rx / r。
四面体间隙
fcc 晶胞的四面体间隙位于 4 个 原子组成的正四面体的中间，如 图 所示。如果用(200)，(020)和
复
• 复式点阵
习
• 原胞和晶胞区别 • 晶面三指数标定 • 晶向三指数标定 • 晶面族和晶向族
六方晶系指数表示
上面我们用三个指数表示晶面和晶向。这种三 指数表示方法，原则上适用于任意晶系。对六方 晶系，取 a，b，c 为晶轴，而 a 轴与 b 轴的夹 角为120°，c 轴与 a，b 轴相垂直，如图所示。