线性代数综合练习zhongkai
线性代数综合练习题及答案9
线性代数综合练习题（九）一、选择题1. 设A 为n 阶矩阵，则下列矩阵中不是对称矩阵的是（ ）。
（A ） TA A + （B ） TA A - （C ） TAA （D ） A A T2. 已知向量组βααα,,,,21m 线性相关，则（ ）。
（A ）β可由m ααα,,,21 线性表示 （B ）β不可由m ααα,,,21 线性表示 （C ）若m r m =),,,,(21βααα ，则β可由m ααα,,,21 线性表示 （D ）若m ααα,,,21 线性无关，则β可由m ααα,,,21 线性表示3. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t A 11111001，则当=t （ ）时，2)(=A r 。
（A ） 1 （B ） 1- （C ） 2 （D ） 2-4. 齐次线性方程组0=AX 有非零解的充要条件是（ ）。
（A ）A 的列向量组线性无关 （B ）A 的列向量组线性相关 （C ）A 的行向量组线性无关 （D ）A 的行向量组线性相关 5. 设n 阶矩阵A 的n 个特征值全为零，则（ ）。
（A ）0=A （B ）A 只有一个线性无关的特征向量 （C ）A 不能与对角矩阵相似 （D ）当A 与对角矩阵相似时，0=A 二、填空题1. 设四阶行列式D 的第一行元素分别为,5,8,3,114131211-====a a a a 第一行元素的余子式分别为9,6,0,714131211====M M M M ，则=D 。
2. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000100110A ，则=3A 。
3. 设3)(34=⨯A r ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000210321B ，则=)(AB r 。
4. 设V 是由向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10212α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=03123α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41524α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=13115α所生成的向量空间，则V 的维数为 。
5. 设三阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则1-A 的特征值为 ，=+E A 。
(完整版)线性代数习题答案综合题
2、题型：综合题3、难度级别：34、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组5、分值：106、所需时间：10分钟7、试题关键字：矩阵的初等变换 8、试题内容：设,A B 为两个同型矩阵，试证：,A B 的秩满足()()R A R B =是A 与B 等价的充分必要条件.9、答案内容： 证明:()()()()()()()()12121122111221.,..,,,,.~~rr n r n r r n r n r r r n r n r r n r n r A B E F E B F P P Q Q P AQ P BQ A P P BQ Q ⨯--⨯-⨯-⨯--⨯-⨯---⇒⨯O ⎛⎫= ⎪O O ⎝⎭O ⎛⎫= ⎪O O ⎝⎭∴==rc r c 必要性与等价则存在可逆矩阵P,Q,使PAQ=B R(A)=R(B).充分性.设A,B 为m n 矩阵,R(A)=R(B)=r.则A 存在可逆矩阵使即.A B ⇒与等价10、评分细则：由题设()()PAQ B R A R B =⇒=(2分);将A 经初等变换化为标准形(2分) 将B 经初等变换化为标准形(2分);得出11221122,,,,P AQ P BQ P Q P Q =均可逆(2分);所以得出A 与B 等价(2分)._____________________________________________________________________________ 1、试题序号：347 2、题型：综合题 3、难度级别：44、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组5、分值：106、所需时间：12分钟7、试题关键字：方程组的解与矩阵的秩 8、试题内容：已知四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，123,,ααα是其解，且()()12231,1,0,2,1,0,1,3T Tαααα+=+=，求方程组的通解.9、答案内容： 解:412231312231223.() 3.0.()0.()(0,1,1,1)0,(0,1,1,1)0.111115()(2,1,1,5)(,,,)442444.12141454s T T T T A x b R A Ax Ax Ax Ax b Ax b αααααααααααααα⨯===+-+=-=+-+=--≠∴--=+++===⎛ ∴=⎝设方程组为对于其基础解系含4-3=1个解.是的解可以作为的一个基础解系为的一个解的通解为01,.11c c ⎫⎪⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪⎭为任意数 10、评分细则：由题设说明0Ax =的基础解系含一个解向量(2分);()122313αααααα+-+=-是0Ax =的一个解(2分);说明13αα-可以作为0Ax = 的一个基础解系(2分);说明()123414αααα+++为Ax b =的一个解(2分);所以得出Ax b =的通解(2分)._____________________________________________________________________________ 1、试题序号：348 2、题型：综合题 3、难度级别：44、知识点：第五章 相似矩阵及二次型5、分值：106、所需时间：15分钟7、试题关键字：初等矩阵及矩阵的相似与合同 8、试题内容：设1111400011110000,1111000011110000A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭试判断A 与B 是否合同，是否相似.若是，则求出使它们合同的矩阵. 9、答案内容：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1234:4113112112113114112111010021131141100100001,211101000010000100,40143,T A B E E E E E E B P E E E P P AP BA E R A E R A A λλλλλ------=---⎛⎫ ⎪⎪=---= ⎪ ⎪⎝⎭=---⎛⎫ ⎪⎪∴ ⎪ ⎪⎝⎭-=⇒====-===-∴解与合同且相似.E 12E 12令E 12则可逆且使A 与B 合同的矩阵为且一定可以40000000,.00000000A B ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对角化即与相似10、评分细则：判断出A 与B 合同且相似(2分);将A 进行初等行变换与列变换化为B 的过程以左乘及右乘初等矩阵的形式写出来(3分);因而写出使A 与B 合同的可逆矩阵P (2分);计算A 的特征值(2分);写出与A 相似的对角矩阵(1分)._____________________________________________________________________________1、试题序号：3492、题型：综合题3、难度级别：44、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：106、所需时间：15分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：设向量组12:,,,r B b b b L 能由向量组12:,,,s A a a a L 线性表示为()()1212,,,,,,r s b b b a a a K =L L ，其中K 为s r ⨯矩阵，且A 组线性无关.证明B 组线性无关的充分必要条件是()R K r =. 9、答案内容：()()()()()()()()()1212122121212122.,...,,,0..0.,00.,,,.0,,00.,r r r r r r r s R K r R b b b R K r R b b b r R b b b r b b x xb b b x x xx Bx B AK AKx A Kx x a a a S Kx R K r Kx x b =≥=≤∴=⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪====⇒= ⎪⎪⎝⎭∴=∴==∴=⇒=∴L L LL LL Q L Q L 11证充分性则有同时，则b 线行无关.必要性.设令则则有线行无关,R A b ,,r b L 线行无关.10、评分细则：充分性,由题设推出()12,,,r R b b b L r =()R K r ⇒≥,且有()()R K r R K r ≤⇒=(4分).必要性,令()12r B b b b =L ,设0Bx =,则有0AKx =(2分),由题设推出0Kx =0x ⇒=(2分);所以12,,,r b b b K 线性无关(2分)._____________________________________________________________________________ 1、试题序号：350 2、题型：综合题 3、难度级别：34、知识点：第二章 矩阵及其运算5、分值：106、所需时间：8分钟7、试题关键字：可逆矩阵及分块运算 8、试题内容：已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足323A x Ax A x =-,且向量组2,,x Ax A x 线性无关.（1） 记()2,,P x Ax A x =，求3阶矩阵B ，使AP PB =；（2）问A 是否可逆，说明理由. 9、答案内容：2232222()()(3)000()103.011000103.011(2).,,,.0..A x AxA x Ax A xA x AxA xAx A x x Ax A x B AP PB A P P B x Ax Ax P A B A ⇒=-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪-⎝⎭=⇒=∴==∴Q 解:(1)AP=PB =线性无关可逆则不可逆10、评分细则：由题设及矩阵的分块运算法,计算出B (6分);由AP PB A B =⇒=(2分);所以0A B A ==⇒不可逆(2分)._____________________________________________________________________________ 1、试题序号：351 2、题型：综合题 3、难度级别：44、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组5、分值：106、所需时间：12分钟7、试题关键字：方程组的解与矩阵的秩 8、试题内容：设4元非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵A 的秩为3，123,,ηηη是它的3个解向量，且()()1232,3,4,5,1,2,3,4T Tηηη=+=，求该方程组的通解.9、答案内容：1312131131:.() 3.0,2()()0.34200.562334,.4556Ax b R A Ax Ax Ax Ax b c c ηηηηηηηηηη===+-=-+-=-⎛⎫ ⎪- ⎪+-=≠= ⎪- ⎪-⎝⎭-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪∴=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭解设方程组为且对于其基础解系只含一个解.为的一个解而可以作为一个基础解系的通解为为任意常数 10、评分细则：由题设推出0Ax =的基础解系含一个解向量(2分);由题设得出0Ax =的一个非零解(2分);说明这非零解可以作为0Ax =的一个基础解系(2分);求出Ax b =的一个解(2分);得出Ax b =的通解(2分)._____________________________________________________________________________ 1、试题序号：352 2、题型：综合题 3、难度级别：44、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组5、分值：106、所需时间：10分钟7、试题关键字：矩阵的秩与方程组的解 8、试题内容：设()()()123123123,,,,,,,,TTTa a ab b bc c c αβγ===，证明三直线11112222:0;0l a x b y c l a x b y c ++==++=；3333:0,l a x b y c ++=其中220,1,2,3i i a b i +≠=，相交于一点的充分必要条件为：向量组,αβ线性无关，而向量组,,αβγ线性相关. 9、答案内容：()()()()11122233333.2,,,2,,,2,;b b c R b R b c b b c R R R R αβαβγαβαβγαβα⎧⎪⇔⎨⎪⎩-⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⇔=-=⎨ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎩⎝⎭⎝⎭⇔=-=⇔==⇔1112223331111122222333证明:a x+b y+c =0三直线交于一点a x+b y+c =0有唯一解a x+b y+c =0a x+b y+c =0a a a x+b y+c =0有唯一解a a a x+b y+c =0a a 线性无关,,βγ线性相关.10、评分细则：由题设得出111222333000a xb yc a x b y c a x b y c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解(2分)1111122222333332a b a b c R a b R a b c a b a b c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⇔=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(2分)()()()()22R R R R αβαβγαβαβγ⇔=-=⇔==(4分),αβ⇔线性无关,,,αβγ线性相关(2分)._____________________________________________________________________________1、试题序号：3532、题型：综合题3、难度级别：44、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组5、分值：106、所需时间：12分钟7、试题关键字：方程组的解与矩阵的秩 8、试题内容：设矩阵()1234,,,A αααα=，其中234,,ααα线性无关，1232ααα=-.向量1234βαααα=-+-，求方程组Ax β=的通解.9、答案内容：()()()()12123412343412342341231234123412123434.11.11,,,2,,,,3,0x xx x x x Ax x x R R A Ax x x x x βααααααααββαααααααααααααααααα⎛⎫⎪ ⎪=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪∴== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=-⇒===⎛ ⎝Q Q 解：，且为的一个解又线性无关且线性相关则有所以，的基础解系只含一个非零解。
第三套线性代数综合测试练习题
第三套线性代数综合测试练习题一、填空题(每小题4分，共24分)1、已知三阶行列式123456789D =，ij A 表示它的元素ij a 的代数余子式，则与212223aA bA cA ++对应的三阶行列式为 。
2、,A B 均为n 阶方阵，3A B ==，则112AB -= 。
3、A = 300140003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则1(2)A E --= 。
4、向量组123(1,2,3),(1,2,1),(2,0,5)ααα==--=线性 关。
5、设6阶方阵A 的秩为5，,αβ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不相等的解，则Ax b = 的通解为 。
6、已知111x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为2125312A a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的特征向量，则;a b ==。
二、单项选择题(每小题4分，共24分)7、1112132122232122231112131313233311132123313010,,100001a a a a a a A a a a B a a a P a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010100012P ，则 。
A ．B P AP =21 B ．B P AP =12C ．B A P P =12D ．B A P P =21 8、n 元齐次线性方程组0AX =有非零解的充分必要条件是 。
A ．()R A n ≤B ．()R A n <C ．()R A n ≥D ．()R A n >9、已知m n ⨯矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX =的两个不同的解，k为任意常数，则方程组0AX =的通解为 。
A ．1k αB ．2k αC ．12()k αα+D ．12()k αα- 10、矩阵A 与B 相似,则下列说法不正确的是 。
A .秩(A )=秩(B ) B . A =BC . B A =D . A 与B 有相同的特征值 11、若n 阶方阵A 的两个不同的特征值12,λλ所对应的特征向量分别是1x 和2x ，则 。
线性代数--综合测试答案
一、单项选择题1、已知3阶行列式D第1行的元素依次为1,2,-1，它们的余子式依次为2,-2,1，则D=A.-5B.-3C.3D.5D2、A.第1行的3倍加到第2行B.第2行的3倍加到第1行C.第1列的3倍加到第2列D.第2列的3倍加到第1列正确答案:C3、A.1B.2C.3D.4正确答案:B4、A.-2B.-1C.0D.1A5、A.-3B.-2C.2D.3正确答案:B6、已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则r(A)A.1B.2C.3D.4正确答案:C7、A.-1B.-2/3C.2/3D.1正确答案:A8、A.0B.1C.2D.3C 9、A.-108B.-12C.12D.108正确答案:D10、A.0B.1C.2D.-1正确答案:B11、A.2B.4C.8D.12正确答案:C12、A.-7B.-4C.4B13、A.1B.2C.3D.4正确答案:B14、A.13B.6C.5D.-5正确答案:D15、A.a=0,b=0B.a=0,b=1C.a=1,b=0D.a=1,b=1正确答案:D16、A.-2C.1D.2A17、齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是矩阵A的A.列向量组线性相关B.列向量组线性无关C.行向量组线性相关D.行向量组线性无关B18、设非齐次线性方程组Ax=b,其中A为m*n阶矩阵，r(A)=r，则A.当r=n时，Ax=b有惟一解B.当r<n时，ax=b有无穷多解< p="" style="box-sizing: border-box;">C.当r=m时，Ax=b有解D.当m=n时，Ax=b有惟一解C19、设2阶矩阵A满足|2E+3A|=0,|E-A|=0,则|A+E|=A.-3/2B.-2/3C.2/3D.3/2C20、A.相似但不合同B.合同但不相似C.合同且相似D.不合同也不相似C21、A.相似且合同B.相似但不合同C.不相似但合同D.不相似且不合同正确答案:A22、A.1B.2C.3D.4正确答案:D 23、A.10B.2C.-10D.-2正确答案:A24、A.27B.243C.216D.81C25、A.3B.6C.9D.12正确答案:D26、若A,B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，则r(AB)=A.5B.4C.3D.2正确答案:C27、A.6B.-6C.24D.-24正确答案:D28、A.m-nB.-m-nC.m+nD.-(m+n)正确答案:B29、A.-32B.-2C.2D.32正确答案:A30、A.1/2B.2C.4D.8正确答案:C31、A.8B.-8C.32D.-32正确答案:C32、A.a=4,b=0,c=1,d=4B.a=0,b=4,c=1,d=4C.a=4,b=0,c=4,d=1D.a=0,b=4,c=4,d=1正确答案:A33、设A,B,C均为n阶方阵，AB=BA，BC=CB,则BAC=A.ACBB.CABC.CBAD.BCA正确答案:A34、A.A=EB.B=OC.A=BD.AB=BA正确答案:D35、A.4B.8C.12D.16正确答案:D36、A.-5B.-2C.2D.5正确答案:A37、A.1/nB.-1/nC.nD.-n正确答案:D 38、A.PAB.APC.QAD.AQ正确答案:B 39、A.(2,1,1)B.(0,-3,2)C.(1,1,0)D.(0,-1,0)B 40、A.a=0,b=0B.a=0,b=1C.a=1,b=0D.a=1/2,b=2正确答案:D41、A.2B.-2C.4D.-4正确答案:B 42、A.1B.2C.3D.4正确答案:C 43、A.4B.3C.2D.1A 44、A.1B.2C.3D.4正确答案:D 45、A.3B.2C.1D.0正确答案:B 46、A.-2B.2C.-1D.1正确答案:A47、A.4B.3C.2D.1正确答案:B48、设A为5阶方阵，且r(A)=2，则线性空间W={x|Ax=0}的维数是A.5B.4C.3D.2正确答案:C49、A.4B.3C.2D.1正确答案:C50、A.1B.2C.3D.4C。
线性代数综合练习题
线性代数综合练习题时间：120分钟一、选择题（每小题3分，共15分）:1．设A 是三阶矩阵，将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为（ ）。
（A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010； （B ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010； （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010； （D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110。
2．设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。
（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关； （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。
3．下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（ ）。
（A ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量； （B ）R n 中，坐标是整数的所有向量；（C ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；（D ）R n 中，坐标满足x 1=1，x 2，…， x n 可取任意实数的所有向量。
4．设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵（31A 2）-1有一个特征值等于（ ）。
（A ）34； （B ）43； （C ）21； （D ）41。
5．任一个n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它（ ）。
（A ）合同； （B ）相似； （C ）等价； （D ）以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）1．设矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100021012，矩阵B 满足：ABA *=2BA *+E ，其中A *为A 的伴随矩阵，E 是三阶单位矩阵，则|B|= 。
2．已知线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+21232121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛031321x x x 无解，则a = 。
《线性代数》综合练习题,附答案
《线性代数》综合练习题一、选择题1. 设A ，B 都是n 阶方阵，且AB=0，则必有（ ）.A.0=A 或0=BB.0=+B AC. 0||=A 或0||=BD. 0||||=+B A2. 设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且ABC=E,其中E 为n 阶单位方阵，则必有（ ）.A. ACB=EB. BC A =EC. CBA=ED. BAC=E3. 设A ，B 都是n 阶方阵，且A 与B 等价，则( ).A. R(A)=R(B)B. )det()det(B A =C. )det()det(B E A E -=-λλD. 存在可逆矩阵P,使B AP P =-14. 设A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则=-1*)(A （ ）. A.A A )det(1 B. 1)det(1-A A C.*)det(1A A D. A A *)det(1 5. 设方阵A 满足A 2-A -2E=0, 则必有（ ）.A.E A -=B. E A 2=C. A 可逆D. A 不可逆6. 设A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则=⋅|*|||A A （ ）.A. 1B. n A ||C. 1||-n AD. 1||+n A7. 设A,B 为n 阶方阵,则必有（ ）.A. AB=BAB. │A+B│=│A│+│B│C. │A -B│=│A│-│B│D. │AB│=│A││B│8.设B A ,都是n 阶可逆矩阵，则下列结论不正确的是（ ）.A. B A +一定可逆B. AB 一定可逆C . 11--B A 一定可逆 D. TT B A 一定可逆.9.下列矩阵中，与矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011可交换的是（ ）. A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2011 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2032 D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121110.矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 为非奇异矩阵的充要条件是（ ）. A. 0=-bc ad B. 0=-cd abC. 0≠-bc adD. 0≠-cd ab11.设A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则必有（ ）.A. ||||A kA =B. ||||A k kA =C. ||||1A k kA n -=D. ||||A k kA n =12.下列说法正确的是（ ）.A. 设A 为n 阶方阵,且A 2=A ，则A=E 或A=0.B. 设A,B,C 为n 阶方阵, AB=AC 且A≠0，则B=C.C. 设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且AB=E ，CA=E ，则B=C.D. 设A 为n 阶方阵,且A 2=0，则A=0.13.矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5321的逆矩阵是（ ）. A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5321B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1325 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5321 D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5231 14.设A 为3阶方阵,|A|=3,则|3A -1|= ( ).A. 1B. -1C. 9D. -915. 设C B A ,,都是n 阶可逆矩阵，则=-1)(ABC ( ). A. 111---C B A B. 111---A C BC. 111---B A CD. 111---A B C16. 设A 是一个3阶的反对称矩阵，则|A|= ( ).A. -1B. 0C. 1D. 无法确定17.设α⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321a a a ,β],,[321b b b =,)3,2,1(0,0=≠≠i b a i i ,则方阵A=αβ的秩为( ).A. 0B. 1C. 2D. 318.如果向量组线性相关，那么( ).A. 这个向量组中至少有一个零向量.B. 这个向量组中至少有两个向量成比例.C. 这个向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示.D. 这个向量组中所有向量都可以由其余向量线性表示.19.下列说法正确的是( ).A. 等价的向量组含有相同的向量个数.B. 如果向量组线性相关，那么这个向量组中至少有一个零向量.C. 如果向量组线性相关，那么这个向量组中至少有两个向量成比例.D. n 维单位向量组是线性无关的.20.设向量组α1],0,0,1[=α2],1,0,0[=则β=( )时,它是α1, α2的线性组合.A. ]2,1,0[B. ]0,2,1[C. ]2,0,1[D. ]0,1,2[21.向量组α1，α2，… ，αm 的秩不为0的充要条件是( ).A. 向量组α1，α2，… ，αm 中至少有一个非零向量.B. 向量组α1，α2，… ，αm 中至多有一个非零向量.C. 向量组α1，α2，… ，αm 中全部是非零向量.D. 向量组α1，α2，… ，αm 线性无关.22.设向量组α1，α2，… ，αm 的秩为)2(-≤m r r ,则下列说法错误的是( ).A. 向量组α1，α2，… ，αm 中至少有一个含r 个向量的部分组线性无关.B. 向量组α1，α2，… ，αm 中含r 个向量的部分组都线性无关.C. 向量组α1，α2，… ，αm 中含1+r 个向量的部分组都线性相关.D. 向量组α1，α2，… ，αm 中含2+r 个向量的部分组都线性相关.23.设α1，α2，α3为3阶方阵A 的列向量组,则α1，α2，α3线性无关的充要条件是( ).A. │A│0≠B. A 的秩3)(<A RC. 方阵A 不可逆D. 方阵A 是奇异的24. 下列说法错误的是( ).A.1+n 个n 维向量必相关.B. 等价的向量组有相同的秩.C. 任一n 维向量一定可由n 维单位向量组线性表示.D. 零向量不可以由n 维单位向量组线性表示.25. 若R （A ）=2，则5元齐次线性方程组A x =0的基础解系中有( )个向量。
线性代数试题及其答案(综合测试题)
综合测试题线性代数（经管类）综合试题一（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设D =111213212223313233a a a a a a a a a =M ≠0，则D 1=111112132121222331313233232323a a a a a a a a a a a a ------= ( )．A.－2MB.2MC.－6MD.6M2.设 A 、B 、C 为同阶方阵，若由AB = AC 必能推出 B = C ，则A 应满足 ( )．A. A ≠ OB. A = OC.|A |= 0D. |A |≠0 3.设A ，B 均为n 阶方阵，则 ( )．A.|A +AB |=0，则|A |=0或|E +B |=0B.(A +B )2=A 2+2AB +B 2C.当AB =O 时，有A =O 或B =OD.(AB )-1=B -1A -14.二阶矩阵A a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|A |=1，则A -1= ( )． A. d b ca ⎛⎫⎪⎝⎭ B.d b c a -⎛⎫ ⎪-⎝⎭ C.a b c d -⎛⎫ ⎪-⎝⎭ D.a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭5.设两个向量组s ,12,,ααα与t ,12,,βββ，则下列说法正确的是( )．A.若两向量组等价，则s = t .B.若两向量组等价，则r (s ,12,,ααα)= r (t ,12,,βββ)C.若s = t ，则两向量组等价.D.若r (s ,12,,ααα)= r (t ,12,,βββ)，则两向量组等价.6.向量组s ,12,,ααα线性相关的充分必要条件是 ( )．A. s ,12,,ααα中至少有一个零向量B. s ,12,,ααα中至少有两个向量对应分量成比例C. s ,12,,ααα中至少有一个向量可由其余向量线性表示D. s α可由-1s ,12,,ααα线性表示7.设向量组12,,...,m ααα有两个极大无关组12,,...,i i ir ααα与12,,...,j j js ααα，则下列成立的是( )．A. r 与s 未必相等B. r + s = mC. r = sD. r + s > m8.对方程组Ax = b 与其导出组Ax = o ，下列命题正确的是( )．A. Ax = o 有解时，Ax = b 必有解.B. Ax = o 有无穷多解时，Ax = b 有无穷多解.C. Ax = b 无解时，Ax = o 也无解.D. Ax = b 有惟一解时，Ax = o 只有零解.9.设方程组12323122000x x x x kx x x +-=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩有非零解，则k = ( )． A. 2 B. 3 C. -1 D. 1 10.n 阶对称矩阵A 正定的充分必要条件是( )．A. |A |>0B.存在n 阶方阵C 使A =C T CC.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
大学课程《线性代数》综合练习题集及答案
03D(1)R、；2,用3,>4)=2;向量组的一个极大无关组为、辽，、；4；
：'1 =2(、七亠'：：4),■?23如
(2)R( ：-1^-2, ：-3, ：-4, ：-5) =3；向量组的一个极大无关组为：■1, ：3 >5；
「2=「1：'5,「4 = ：^'：^'：'5 ;
,其中k为任意常数.
当•=1时，有解，解为
(1)当“且•时，方程组有唯一解；
5
<0A
-1
+k
1
丿
当’=1时，其通解为
，其中k为任意实数；
当，二-4时，原方程组无解；
5
广1、
—4
04F (1) C 3, (CER);
7
/ >
2
-22
1
0
+k2
0
15
5
I2」
,(k1,k^R);
(2) k1
J2、
0
十k!
a =b =0时,r (A) =0;当a = b才0时,r( A) =1;
a-'b,且
a-'b,且
a亠(n -1) b =0时,r (A) =n -1;
a • (n _1) b =0时，r(A) =n.
05G
05H
* *
r[(A )]
05K
05M
05O
06A
n ,如果r(A)=n,
0,如果r(A)cn.
011
排列的逆序数为
k2;
当k为偶数时,
排列为偶排列，当k为奇数时，排列为奇排列.
线性代数综合测试题
合同变换法
通过合同变换将二次型化为标准 形。具体步骤包括构造一个可逆 矩阵 $C$，使得 $C^TAC$ 为对 角矩阵，从而得到标准形。
正定二次型判断方法
顺序主子式法
若二次型的顺序主子式均大于零，则该二次型为 正定二次型。
特征值法
若二次型的特征值均大于零，则该二次型为正定 二次型。
惯性指数法
若二次型的正惯性指数等于其变量的个数，则该 二次型为正定二次型。
线性代数综合测试
目录
CONTENTS
• 矩阵及其运算 • 行列式及其性质 • 线性方程组求解与应用 • 向量空间与线性变换 • 特征值与特征向量 • 二次型及其标准形
01
矩阵及其运算
矩阵基本概念与性质
矩阵的定义
01
由$m times n$个数排成的$m$行$n$列的数表称为$m times
n$矩阵。
确定主元、进行行变换、回代求 解。
矩阵方程求解方法
1 2
矩阵方程形式
Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数列向量， b为常数列向量。
求解方法
通过对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行 最简形矩阵，从而得到方程组的解。
3
特殊情况处理
当系数矩阵A为奇异矩阵（即行列式为零）时， 方程组可能无解或有无穷多解，需根据具体情况 进行分析。
THANKS
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在行列式的展开过程中，需要计算余子式和代数余子式，它们与 元素的位置和符号有关。
克拉默法则及应用
克拉默法则
对于n元线性方程组，如果系数矩阵的行列式不等于零，则方程组 有唯一解，且解可以通过系数矩阵和常数项矩阵的行列式计算得出。
克拉默法则的应用
利用克拉默法则可以求解一些特殊类型的线性方程组，如系数矩阵 为范德蒙德矩阵的方程组等。
线性代数练习题及答案1
线性代数综合练习题（一）一、选择题1. 设A 、B 为n 阶矩阵，则下面必成立的是（ ）。
（A ）B A B A +=+ （B ）111)(---+=+B A B A （C ）BA AB = （D ）BA AB = 2. 设A 为n 阶矩阵，且0=kA ，则=--1)(A E （ ）。
（A ）A E + （B ）12-++++k A A A E（C ）12-----k AA A E （D ）A E -3. 设向量组m ααα,,,21 的秩为3，则（ ）。
（A ）任意三个向量线性无关 （B ）m ααα,,,21 中无零向量 （C ）任意四个向量线性相关 （D ）任意两个向量线性无关 4. 线性方程组11⨯⨯⨯=m n n m b x A ，)0(≠b 有解的充要条件是（ ）。
（A ）)|()(b A R A R = （B ）m A R =)( （C ）n A R =)( （D ）)|()(b A R A R ≠5. n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是（ ）。
（A ）A 的n 个特征值互不相同 （B ）A 可逆（C ）A 无零特征值 （D ）A 有n 个线性无关的特征向量二、填空题1. 各列元素之和为0的n 阶行列式的值等于 。
2. 设三阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=432A ，则=-1A 。
3. 设矩阵⎪⎭⎫⎝⎛=31211A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321B ，则=AB ，=BA ，=k BA )( （k 为正整数）。
4. 设2)(43=⨯A R ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300220111P ，则=)(PA R 。
5. 设向量组321,,ααα线性无关，则向量组211ααβ+=，322ααβ+=，133ααβ+=线性 。
6. 设三阶可逆矩阵A 的特征值分别为2、3、5，则=A ，A 的伴随矩阵*A 的特征值为 。
7. 设实二次型3231212322213212222),,(x x x x x x kx x x x x x f +++++=为正定二次型，则参数k 的取值范围是 。
线性代数综合练习题10答案
线性代数综合练习题（十）参考答案一、选择题1. A2. B3. C4. D5. D 二、填空题 1. 3- 2. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10100010001 3. ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛105104103010210200101 4. 21-或 5. 321,,ααα 6. 04321=+++a a a a 7. 3 三、计算题1. 解：由B A E AB +=+2，得))(()(2E A E A E A B E A +-=-=-又01≠-=-E A ，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B 2. 解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==73130212111),,,(4321ααααA r →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-21010101001（1）因为3),,(321=αααr ，所以321,,ααα线性相关；（2）因为3),,,(),,(4321321==αααααααr r ，所以4α可由321,,ααα线性表示，且32142αααα+-=3. 解：方程组对应的齐次线性方程组的基础解系含134=-个解向量ξ，则所求方程组的通解为ξηk x +=1 其中k 为任意常数。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-=-+-=6543)(2)()(3213121ηηηηηηηξ，因此，方程组的通解为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=65435432k x 。
4. 解：A 的特征多项式)5()1(2λλλ++-=-E AA 的特征值为 121-==λλ，53-=λ，121-==λλ所对应的线性无关的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101,01121αα，正交单位化得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21161,0112121p p ； 53-=λ所对应的线性无关的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1113α，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111313p ，令正交矩阵),,(321p p p P =，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-5111AP P 。
浙江理工大学线性代数综合演习题8套另加参考答案
线性代数综合练习题（一）一、单项选择题1. 对于n 阶可逆矩阵A ，B ，则下列等式中（ ）不成立. (A) ()111---⋅=B A AB (B) ())/1()/1(111---⋅=B A AB (C) ()111---⋅=B AAB (D) ()AB AB /11=-2. 若A 为n 阶矩阵，且03=A ，则矩阵=--1)(A E （ ）.（A ）2A A E +- （B ）2A A E ++ （C ）2A A E -+ （D ）2A A E -- 3. 设A 是上（下）三角矩阵，那么A 可逆的充分必要条件是A 的主对角线元素为（ ）. (A) 全都非负 （B ） 不全为零 （C ）全不为零 （D ）没有限制 4. 设 33)(⨯=ij a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a aa a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000010101P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010100012P ，那么（ ）.（A ）B P AP =21 （B ）B P AP =12 （C ）B A P P =21 （D ）B A P P =12 5. 若向量组m ααα,,,21 线性相关，则向量组内（ ）可由向量组其余向量线性表示. （A ）至少有一个向量 （B ）没有一个向量 （C ）至多有一个向量 （D ）任何一个向量6. 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210253143212A ，其秩=)(A R （ ）.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）47. 若方程b AX =中，方程的个数小于未知量的个数，则有（ ）. （A ）b AX =必有无穷多解 （A ）0=AX 必有非零解 （C ）0=AX 仅有零解 （D ）0=AX 一定无解 8. 若A 为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）. （A ）1-A （B ）A 2 （C ）4A （D ）TA 9. 若满足条件（ ），则n 阶方阵A 与B 相似.（A ）B A = （B ）)()(B R A R = （C ）A 与B 有相同特征多项式 （D ）A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同 二、填空题1. 若向量组321,,ααα线性无关，则向量组321211,,αααααα+++是线性 .2. 设A 为4阶方阵，且3)(=A R ，*A 是A 的伴随阵，则0=*X A 的基础解系所含的解向量的个数是 .3. 设A 为n 阶正交阵，且0>A ，则=A .4. 设()2,1,11-=α，()5,,22k =α，()1,6,13-=α线性相关，则=k .5. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300050004A ，则=--1)2(E A .6. 设三阶方阵A 有特征值4，5，6，则=A ，T A 的特征值为 ，1-A 的特征值为 .三、计算题1. 计算行列式ba bbbb b a b b b b b a b b b b ba ----+----+2. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200012021A ，求10A .3. 设三阶方阵A 满足i i i A αα= )3,2,1(=i ，其中T )2,2,1(1=α，T )1,2,2(2-=α，T )2,1,2(3--=α，求A .4.λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+1610522321321321x x x x x x x x x λλ （1）有惟一解；（2）无解； （3）有无穷多解，并求其通解.四、证明题1. 设A 为n 阶可逆阵，E A A =2.证明A 的伴随阵A A =*.2. 若A ，B 都是n 阶非零矩阵，且0=AB .证明A 和B 都是不可逆的.线性代数综合练习题（一）参考答案一、单项选择题1. B2. B3. C4. C5. A6. B7. B8. B9. D 二、填空题1. 无关；2. 3 ；3. 1 ；4. 3 ；5. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10000003121； 6. 120 ， 4，5，6 ， 615141,, . 三、计算题1. 解：ba bbbb b a b b b b b a b b b b ba ----+----+aaa a a ab b b b a 000000-+=4000000000a aa ab b b a ==.2. 解：先求A 的特征值，λλλλ---=-20012021E A =)1)(3)(2(λλλ+---1,3,2321-===λλλ ，当21=λ时，由0)2(=-X E A 得，A 的对应于2的特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001ξ，当32=λ时，有0)3(=-X E A 得，A 的对应于3的特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112ξ，当12-=λ时，有0)(=+X E A 得，A 的对应于1-的特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0113ξ，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001η⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01121,0112132ηη. .令()321,,ηηη=P ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-1321AP P AP P T，所以 T P P A 1010132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=1010211021102110212000)13()13(0)13()13(. 3. 解：因为)3,2,1(==i i A i i αα，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020001),,(),,(321321ααααααA ，因此 1321321),,(300020001),,(-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ααααααA .又),,(321ααα⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=212122221，所以1321),,(-ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=21212222191， 故 =A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---212122221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---21212222191⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=62225020731. 4. 解：)3)(5(61011211-+=---=λλλλD ，（1）当0≠D ，即5-≠λ且3≠λ时，方程组有惟一解.（2）当5-=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==1610155122151),(βA B −→−r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100013902151 此时3)(,2)(==B R A R ，方程组无解，（3）当3=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==1610153122131),(βA B −→−r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00001001717571778 此时2)()(==B R A R ，方程组有无限多个解.，并且通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10757871717321c x x x )(R c ∈. 四、证明题1. 证：根据伴随矩阵的性质有E A AA =*又E A A =2，所以2A AA =*，再由于A 可逆，便有A A =*.2. 证：假设A 可逆，即1-A 存在，以1-A 左乘0=AB 的两边得0=B ，这与B 是n 阶非零矩阵矛盾；类似的，若B 可逆，即1-B 存在，以1-B 右乘0=AB 的两边得0=A ，这与A 是n 阶非零矩阵矛盾，因此，A 和B 都是不可逆的.线性代数综合练习题（二）一、选择题1. 设21321,,,,ββααα是四维列向量，且m =1321,,,βααα，n =3221,,,αβαα，则=+21123,,,ββααα（ ）。
线性代数第4,5章综合练习题和答案
线性代数第4,5章综合练习题和答案第4，5章综合练习题⼀、填空题1.已知211A 121112=，100B 01000a ??=且A 与B 相似，则_______________a =.2.设可逆阵A 的⼀个特征值是2，且-4detA =,则A 的伴随阵*A 的⼀个特征值为__________.3．设A 与B 相似，B 与112??-相似，则A 的特征值是_______.4．已知211A 121112??=有⼆重特征值1，则A 的另⼀个特征值是______.5．⼆元⼆次型()112122x 13f (x ,x )x x 52x ??= ?的矩阵是_______. 6．若矩阵A 的⼀个特征值为0，则A =7. ⼆次型()2221231231223,,3524f x x x x x x x x x x =++++的矩阵A =8．设A 为3阶矩阵，其特征值分别为1,2,-1，则A = , 2A 的特征值是__________，1A -的特征值分别为 , *A 的特征值分别为 ,.9．已知矩阵20000101A x ?? ?= 与20000001B y ??= -相似，则x = ， y =10. 已知三阶矩阵11020421A x -??= 的特征值为1、2、3，则x =11. 设向量组：(),0,1,11T=α ()T 1,0,12=α，则与21,αα等价的正交向量组为___________.12.=300020001A 的特征值为：_______, 2A 的特征值为：_______.13. ⽤配⽅法把⼆次型32312123222162252x x x x x x x x x +++++化成标准形为 .⼆、单项选择题1. 设12,αα都是n 阶矩阵A 的属于不同特征值的特征向量，则( ) (A) 02T 1=αα; (B) 12T 1=αα ; (C) 线性相关与21αα ;(D) 线性⽆关与21αα2. 设n 阶矩阵A 与B 相似，则( )(A) (A)(B)r r =； (B)A 与B 和同⼀个对⾓矩阵相似； (C) B E A E -=-λλ； (D) A 与B 的特征向量相同. 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，与A 有相同特征值的是( ) (A) -1A ; (B) TA ; (C) *A ; (D) 2A . 4.以下四个矩阵，正定的是( )(A) 1-10-120003 ;(B)120210002 ;(C)120240001??????; (D)200012023.5.A 与B 都是n 阶矩阵，且都可逆，则( )(A) 必存在可逆n 阶矩阵P ，使B AP P =-1; (B) 必存在可逆n 阶矩阵C ，使TC AC B =; (C) 必存在可逆n 阶矩阵P 与Q ，使B PAQ =; (D) A 与B 都与同⼀个对⾓矩阵相似.6. 设4-52A 5-736-94??=，则A 的属于特征值00λ=的特征向量是( )(A) T )2,1,1(1=α ; (B) T )3,2,1(2=α ;(C) T)1,0,1(3=α ; (D) T )1,1,1(4=α .7．⼆次型2123222132162-6-2)x ,x ,x (f x x x x x +-=是( ) (A)正定的; (B)负定的; (C) 半正定的; (D) 半负定的.8．设001A 010100??=,则以下四个向量中是A 的特征向量者是( )(A) T )1,0,1(； (B) T )1,1,1(-； (C) T )2,0,0( ； (D) T)2,1,0(.9. 设A 为n 阶实对称阵，B 为n 阶可逆阵，Q 为n 阶正交阵，则矩阵 ( )与A 有相同的特征值（A ）1T-B Q AQB ； (B) ()11TT --BQ AQB ；（C ）T T B Q AQB ； (D) T T BQ AQB10. 设矩阵A 与B 相似，则必有（）（A）A 、B 都不可逆；（B）A 、B 有相同的特征值；（C ）A 、B 均与同⼀个对⾓矩阵相似；（D）矩阵A E λ-与B E λ-相等 11. 设A 是三阶矩阵,10λ=,21λ=,31λ=-是A 的三个特征值，对应的特征向量分别为123,,ααα，则使得1100000001P AP --??=成⽴的P 是（）（A ）（123,,ααα）（B）（132,,ααα）（C）（321,,ααα）（D）（312,,ααα） 12. A 与B 是两个相似的n 阶矩阵，则（）（A）存在⾮奇异矩阵P ，使1P AP B -= （B）存在对⾓矩阵D ，使A 与B 都相似与D （C）0AB = （D）E A E B λλ-=-13．如果（），则矩阵A 与B 相似（A）A B = (B)()()r A r B = （C）A 与B 有相同的特征多项式（D）n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同14．A 是n 阶正定矩阵的充分必要条件是（）（A）0A > (B)存在n 阶矩阵C ，使TA C C = （C）负惯性指数为零（D）各阶顺序主⼦式均为正数 15. 若矩阵A 与B 相似，则下列结论不成⽴的为（）A. A B =B. ()()r A r B =C. A 与B 有相同的特征值D. A B = 16. 若A 为设n 阶矩阵，则下列结论正确的是（）A. A 的任n 个特征向量线性⽆关B. A 的属于不同特征值的特征向量线性⽆关C. A 的属于不同特征值的特征向量正交D. A 的任n 个特征向量线性相关17. 若n 阶⽅阵A 与B 的特征值完全相同，且A 与B 都有n 个线性⽆关的特征向量，则（）A. A B =B. A B ≠ 但0A B -=C. A 相似于BD. A 与B 不⼀定相似，但A B =18．设矩阵a b A b a -??=，其中0a b >>，221a b +=，则A 为（） A. 正定矩阵 B. 初等矩阵 C. 正交矩阵 D. 以上都不对 19. 下列各矩阵中，不是正交矩阵的为（）（A）?? ? ??；（B）cos sin sin cos θθθθ-?? ???；（C ）1001?? ???；（D）11222??- 20. 设矩阵A 与B 相似，则必有（）（A）A 、B 同时可逆或不可逆；（B）A 、B 有相同的特征向量；（C ）A 、B 均与同⼀个对⾓矩阵相似；（D）矩阵E A λ-与E B λ-相等21. 设三阶⽅阵A 的特征值分别为 -1，0，2.则下列结论正确的是（）。
线性代数综合练习100题
综合练习100题一、填空题1．设A 是n 阶矩阵，满足,||0'=<AA E A ，则||+=A E 0. 2．若4阶行列式D 的某一行的所有元素及其余子式都相等，则D =0.3．在一个n 阶行列式中，如果等于零的元素多于2n n -个，那么这个行列式D =0. 4．设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，若m n >，则||=AB 0. 5．若n 阶方阵,A B 满足,||0=-≠AB B A E ，则=B 0. 6．若n 阶方阵,A B 满足+=A A B E ，则+=A B A E . 7．若n 阶方阵,,A B C 满足=A B C E ，则'''=B A C E .8．若、A B 都是n 阶方阵，||1,||3==-A B ，则*1|3|-=A B 13n --. 9．若n 阶方阵A 满足*||0.=≠0A A ，则秩()=A 1n -. 10．设,A B 是两个n 阶方阵，||1,||2+=-=A B A B ，则=A B BA2 .11．设矩阵111022003⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则*1()-=A 11166611033102⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 12．A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，||,||a b ==A B ，则C =0A B(1)m nab -.13．设矩阵A 满足24+-=0A A E ，其中E 为单位矩阵，则1()--=A E 1(2)2+A E .14．设A 为3阶方阵，其特征值为3,1,2-，则2||+=A E 100. 15．已知110001011001001101000111101a -⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪=- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A ， 则4,4,()5,4.a R a =-⎧=⎨≠-⎩当时当时A16．已知n 阶方阵A 的各行元素之和都等于0，且()1n =-R A ，则=0A X 的通解为(1,1,,1),k k ' 为任意常数.17．矩阵m n ⨯A 满足,m n <||0'≠AA ，则=0A X 的基础解系一定由n m -个线性无关的解向量构成.18．若矩阵A 满足3=A A ，则A 的特征值只能是0或1或1-. 19．如果(1,1,1)'=-ξ是方阵2125312a b-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 的一个特征向量，则a =3-；b =0. 20．已知A 与B 相似，且3021⎛⎫=⎪⎝⎭B ，则2||λ-=A A 3(1)(31)λλ--. 21．已知33⨯A 的特征值为1,2,3，则1*||-+=AA 376.22．已知2是A 的一个特征值，则2|6|+-=A A E 0.23．设,αβ是n 维列向量，0'=βα，则'αβ的特征值为0()n 重. 24．若n 阶方阵A 的行向量组线性相关，则0一定是A 的一个特征值. 25．直线1022270x y x x y z +-=⎧⎨+-=⎩的单位方向向量为±.26．已知2768444424798188D =，41424344,,,A A A A 为D 中第4行元素的代数余子式，则41424344+++=A A A A 0.27．设A 是3阶方阵，X 是3维列向量，使得2,,X A X A X 线性无关，且3232=-A X AX A X ，记2(,,)=P X A X A X ，则1-=P AP 000103012⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭. 28．若两个非零几何向量,a b 满足||||a b a b +=-，则a 与b 是夹角θ=2π.29．直线260:210x y z L x y z +--=⎧⎨-+-=⎩的参数方程为8,5113,55.x t y t z t ⎧=-⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩30．圆22212462402210x y z x y z x y z ⎧++-+-+=⎨+++=⎩的半径R =3.二、选择题1．设n 元齐次线性方程组=0A X 的系数矩阵A 的秩为r ，则=0A X 有非零解的充要条件是（C ）.（A ）r n =； （B ）A 的行向量组线性无关； （C ）A 的列向量组线性相关； （D ）A 的列向量组线性无关.2．设A 是m n ⨯矩阵，=0A X 是非齐次线性方程组=AX β所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（C ）.（A ）若=0A X 只有零解，则=AX β有唯一解； （B ）若=0A X 有非零解，则=AX β有无穷多解； （C ）若=AX β有无穷多解，则=0A X 有非零解； （D ）=AX β的任两解之和还是=AX β的解.3．设非齐次线性方程组=AX β的系数行列式为零，则（C ）. （A ）方程组有无穷多解； （B ）方程组无解； （C ）若方程组有解，则有无穷多解； （D ）方程组有唯一解.4．设A 是m n ⨯矩阵，对于线性方程组=AX β，下列结论正确的是（A ）. （A ）若A 的秩等于m ，则方程组有解； （B ）若A 的秩小于n ，则方程组有无穷多解； （C ）若A 的秩等于n ，则方程组有唯一解； （D ）若m n >，则方程组无解.5．设5阶方阵A 的秩是3，则其伴随矩阵*A 的秩为（C ）. （A ）3； （B ）4； （C ）0； （D ）2.6．设A 是n 阶方阵，*2,n >A 是A 的伴随矩阵，则下列结论正确的是（B ）. （A ）*||=A A A ； （B ）若||0≠A ，则*||0≠A ； （C ）**1||=A A A ； （D ）秩()=A 秩*()A .7．设,A B 是n 阶方阵，A 非零，且=A B 0，则必有（D ）.（A ）=0B ； （B ）=0B A ； （C ）222()+=+A B A B ； （D ）||0=B .8．设有两个平面方程 11111:0a x b y c z d π+++=，22222:0a x b y c y d π+++=，如果 秩1112222a b c a b c ⎛⎫=⎪⎝⎭，则一定有（D ） （A ）1π与2π平行； （B ）1π与2π垂直； （C ）1π与2π重合； （D ）1π与2π相交.9．设A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征根，则A 的伴随阵*A 的特征根之一是（D ）. （A ）1n λ-； （B ）||λA ； （C ）λ； （D ）1||λ-A . 10．n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（B ）. （A ）充分必要条件； （B ）充分而非必要条件； （C ）必要而非充分条件； （D ）既非充分条件也非必要条件. 11．已知n 阶方阵A 与某对角阵相似，则（C ）.（A ）A 有n 个不同的特征值； （B ）A 一定是n 阶实对称阵；（C ）A 有n 个线性无关的特征向量； （D ）A 的属于不同特征值的特征向量正交. 12．下列说法正确的是（D ）.（A ）若有全不为0的数12,,,m k k k 使11m m k k ++=0 αα，则向量组12,,,m ααα线性无关；（B ）若有一组不全为0的数12,,,m k k k 使得1122m m k k k +++≠0 ααα，则向量组12,,,m ααα线性无关；（C ）若存在一组数12,,,m k k k 使1122m m k k k +++=0 ααα，则向量组12,,,m ααα线性相关；（D ）任意4个3维几何向量一定线性相关.13．设,A B 是n 阶方阵，满足：对任意12(,,,)n x x x '= X 都有''X A X =X B X ，下列结论中正确的是（D ）.（A ）若秩()=A 秩()B ，则=A B ； （B ）若'=A A ，则'=B B ； （C ）若'=B B ，则=A B ； （D ）若,''==A A B B ，则=A B . 14．设,A B 均为n 阶正定矩阵，则必有（B ）.（A ）A B 正定； （B ）2+A B 正定； （C ）-A B 正定； （D ）k A 正定. 15．设A 是n 阶方阵，2=A E ，则（C ）.（A ）A 为正定矩阵；（B ）A 为正交矩阵；（C ）*2()=A E ；（D ）2tr()n =A . 16．设,A B 是n 阶方阵，下列结论中错误的是（D ）. （A ）若,A B 都可逆，则'A B 也可逆；（B ）若,A B 都是实对称正定矩阵，则1-+A B 也是实对称正定矩阵；（C ）若,A B 都是正交矩阵，则A B 也是正交矩阵； （D ）若,A B 都是实对称矩阵，则A B 是实对称矩阵. 17．设,A B 是n 阶方阵，下列结论中错误的是（B ）. （A ）若A 经列的初等变换化成B ，则秩()=A 秩()B ； （B ）若A 经行的初等变换化成B ，则11--=A B ；（C ）若A 经行的初等变换化成B ，则=0A X 与=0B X 同解；（D ）若A 经列的初等变换化成B ，则A 的列向量组与B 的列向量组等价. 18．设111213212223212223111213313233311132123313,a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭A B12010100100010001101⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P ，则必有（C ）. （A ）12=A P P B ；（B ）21=AP P B ；（C ）12=P P A B ；（D ）21=P P A B . 19．若A 与B 相似，则（B ）.（A ）λλ-=-E A E B ；（B ）||||λλ+=+E A E B ；（C ）**=A B ；（D ）11--=A B . 20．若2=A E ，则（D ）.（A ）+A E 可逆； （B ）-A E 可逆；（C ）+=0A E 或-=A E 0； （D ）≠A E 时，+A E 不可逆. 21．设1111111111111111⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭A ，400000000000000⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ，则A 与B （A ）. （A ）合同且相似； （B ）合同但不相似； （C ）不合同但相似； （D ）不合同且不相似.22．实二次型f '=X AX 为正定二次型的充要条件是（C ）. （A ）f 的负惯性指数是0； （B ）存在正交阵P 使'=A P P ； （C ）存在可逆阵T 使'=A T T ； （D ）存在矩阵B 使'=A B B . 23．设B 是m n ⨯实矩阵，'=A B B ，则下列结论中错误的是（D ）. （A ）线性方程组=0B X 只有零解⇔A 正定；（B ）()()R R =A B ； （C ）A 的特征值大于等于0； （D ）()R m =⇔B A 正定. 24．设A 是n 阶方阵，||0a =≠A ，则*1||-A A等于（C ）.（A ）a ； （B ）1a； （C ）2n a -； （D ）n a .25．设,A B 是n 阶方阵，则必有（D ）.（A ）11||||||--+=+A B A B ； （B ）111||---+=+A B B A ; （C ）222()=A B A B ； （D ）||||'=A B BA .26．已知12,ηη是非齐次线性方程组=AX β的两个不同的解，12,ξξ是对应的齐次线性方程组=0A X 的基础解系，12,k k 为任意常数，则方程组=AX β的通解为（B ）. （A ）1211222k k -++ηηξξ； （B ）1211212()2k k ++++ηηξξξ；（C ）112121()k k +-+ξηηη； （D ）1121212()()k k +-++ξηηηη. 27．设有直线1158:121x y z L --+==-与26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩，则1L 与2L 的夹角为（C ）.（A ）6π； （B ）4π； （C ）3π； （D ）2π.28．若1231,,,,αααββ都是4维列向量，且4阶行列式1231||,m =αααβ 1223||n =ααβα，则4阶行列式12312||+αααββ等于（D ）.（A ）m n +； （B ）()m n -+； （C ）m n -； （D ）n m -. 29．设n 阶矩阵A 非奇异(2)n >，则（C ）.（A ）**1()||n -=A A A ； （B ）**1()||n +=A A A ； （C ）**2()||n -=A A A ； （D ）**2()||n +=A A A . 30．设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩是3，则直线333121212x a y bz ca ab bc c ---==---与直线111232323x a y bz ca ab bc c ---==---（A ）.（A ）相交于一点； （B ）重合； （C ）平行但不重合； （D ）异面.三、计算题1．设1111111111111111--⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，求5A 及10||A .解：由311111111||(4)11111111λλλλλλλ+---+--==+-+---+E A故A 的特征值为12340,4λλλλ====-.对0λ=，由1()λ-=0E A x ，可解得三个线性无关的特征向量，1(1,1,0,0)'=ξ，2(1,0,1,0)'=ξ，3(1,0,0,1)'=-ξ.对4λ=-，由(4)--=0E A x ，可解得特征向量4(1,1,1,1)'=--ξ， 令 12341111010010(),0101000114D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭T T T T T ，由=A TTD得 11*13111131111113||41111---⎛⎫ ⎪-⎪=== ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭A TD T T T T 故 1111013111001011311()0101011134001141111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪=⋅ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 1111111111111111--⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭551511110131110010113110101011134001141111--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪==⋅ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A T D T 88111111112211111111--⎛⎫ ⎪-- ⎪== ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭A . 又10161016642,|||2|2||0====AA AA A .2．设0100102ac b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ， （1）,,a b c 满足什么条件时，A 的秩是3; （2）,,a b c 取何值时，A 是对称矩阵; （3）取一组,,a b c ，使A 为正交阵.解：（1）01002002000010010010120120100102a c a bc a bcac b b b ⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭A 当2a bc ≠时，A 的秩是3.（2）0100102a b c⎛⎫ ⎪⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，要想A 成为对称矩阵，应满足'=A A ，即1,0a b c ===. （3）要想A 为正交阵，应满足'=A A E ，即0010100100001011010022a b a c cb ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 2221,10,211,2a b ac b c ⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 解得1,222a b c ==-=. 3．设有三维列向量123211101,1,1,111λλλλλ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααβ问λ取何值时，（1）β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一；（2）β可由123,,ααα线性表示，但表达式不唯一； （3）β不能由123,,ααα线性表示. 解法1： 设111111111λλλ+⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭A , 21110111111λλλλλ+⎛⎫⎪=+⎪ ⎪+⎝⎭B 由22211100(2)(1)1110(1)111111λλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫+--+-+⎛⎫⎪⎪=+−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭行B22222003(12)1110(1)0(1)11100(3)(12)λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫----+⎪⎪−−→--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+--⎝⎭⎝⎭行行（1）当0λ≠且3λ≠-时，()()3R R ==A B ，此时β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一.（2）当0λ=时，()()13R R ==<A B ，β可由123,,ααα线性表示，且表达式不唯一. （3）当3λ=-时，()()R R ≠A B ，β不能由123,,ααα线性表示. 解法2：2111||111(3)111λλλλλ+=+=++A① 当0λ≠且3λ≠-时，||0≠A ，β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一, ② 当0λ=时，()()13R R ==<A B ，β可由123,,ααα线性表示，且表达式不唯一， ③ 当3λ=-时，()()R R ≠A B ，β不能由123,,ααα线性表示.4．设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3λλλ===，对应的特征向量依次为，1231111,2,3149⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ，又12322=-+βξξξ，求nA β(n 为正整数).解：由于 123123222(,,)21⎛⎫⎪=-+=-⎪ ⎪⎝⎭βξξξξξξ 又由于 1111n n λ==A ξξξ，22222n n nλ==A ξξξ，33333n n n λ==A ξξξ.所以 12312322(,,)2(,,)211n n n n n⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A A βξξξξξξ 111232221232(,2,3)2123211231nnn n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ 12132223223223n nn n n n +++++⎛⎫-+ ⎪=-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭. 5．设122212221-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ， （1）求A 的特征值；（2）求1-+E A 的特征值.解：（1）2122||212(1)(5)0221λλλλλλ+---=-+=-+=-+E A得A 的特征值为1231,5λλλ===-.（2）由A 是对称阵，A 的特征值是1,1,5-，存在可逆阵T 使1115-⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪-⎝⎭T A T 于是 111115--⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭T A T , 112()245--⎛⎫ ⎪ ⎪+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T E A T ， 故1-+E A 的特征值为42,2,5.6．已知(1,,1)k '=α是211121112⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的逆阵1-A 的特征向量，试求常数k 的值. 解：设α为A 的特征值为λ的特征向量，则λ=A αα. 即 2111112111211k k λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.·129·即 322k k kλλ+=⎧⎨+=⎩解得 220k k +-=，即1k =或2-. 7．设11 111, 1112a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A β，已知线性方程组=AX β有无穷多解，试求： （1）a 的值；（2）正交阵P ，使'P A P 为对角阵. 解：（1）211111111101101120112a a a a a a aa a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭B111011000(1)(2)2a a a aaa ⎛⎫⎪→-- ⎪⎪-+--⎝⎭要使=AX β有无穷多解，必须()()3R R =<A B ，因此2a =-. （2）此时112121211-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ， 112||121(3)(3)0211λλλλλλλ---=-+-=-+=--E A ，得A 的特征值1230,3,3λλλ===-.对于10λ=，由1112121211ξ--⎛⎫⎪--= ⎪ ⎪--⎝⎭0，得特征向量1111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得1333⎛ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭η； 对于23λ=，由2212151212ξ-⎛⎫⎪--= ⎪ ⎪-⎝⎭0，得特征向量2101⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭ξ，单位化得·130·2202⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭η；对于34λ=-，由3412111214ξ--⎛⎫⎪---= ⎪ ⎪--⎝⎭0，得特征向量3121⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得3636η⎛⎫ ⎪ =-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;令326033326⎛⎫ ⎪ =-⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭P ，此时P 为正交阵，并且'P A P 为对角阵033⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭. 8．已知线性方程组（I ）11112213314421122223324400a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎨+++=⎩的一个基础解系为112112221213231424, b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，试求线性方程组.（II ）11112213314421122223324400b y b y b y b y b y b y b y b y +++=⎧⎨+++=⎩的通解.解：设11121314111213142122232421222324a a a a b b b b a a a a b b b b ⎛⎫⎛⎫==⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B 由12,ξξ为（I ）的一个基础解系得0'=A B .由12,ξξ线性无关，所以()2R =B ，又0'=B A ，所以1111213142(,,,),a a a a '==ηη21222324(,,,)a a a a '是B 的基础解系，通解为112212,,k k k k +ηη为任意常数.9．已知方程组·131·1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有三个线性无关的解向量，求,a b 的值及方程组的通解.解：1111111111(|)43511011531310131a b a a b a a--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭行A β 1024211530042452ab a a -⎛⎫ ⎪−−→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭行由于该非齐次线性方程组有三个线性无关的解向量，故()(|),()1 3.R R A n R =-+=A A β其中4n =. 于是()(|)2R R ==A A β.从而2,3a b ==-. 该方程组与方程组13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩ 同解. 令3142,x k x k ==得该方程组的通解 112212314224253x k k x k k x k x k -++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X 12242153100010k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中12,k k 为任意常数. 10．设3221423kk -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，问当k 为何值时，存在可逆阵P ，使得1-P AP 为对角阵，并求出一个P 及相应的对角阵A . 解：A 的特征方程为：·132· 322122||101423123k kkλλλλλλλλ-----=+-=+---+--+E A2122(1)01(1)(1)0123k λλλλλ-=-+-=-+=-+. 解得特征根为1231,1λλλ===-.当1λ=时，()2,R -=E A A 有1个线性无关的特征向量.当1λ=-时，211422211100022422000000E A -⎛⎫---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪--=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭k k kk k k 因存在可逆阵P ，使1-P AP 为对角阵，所以(1)1R --=E A ，从而0k =. 因此 322010423-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ， 对应于11λ=的特征向量为1ξ，由222020424--⎛⎫⎪⎪ ⎪--⎝⎭1=0ξ得1(1,0,1)'=ξ 对应于231λλ==-的特征向量为23,ξξ，由422000422--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭0ξ， 得 23(1,2,0),(0,1,1)''=-=ξξ 令110021101⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P 且P 为可逆阵，相应的对角阵111⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A . 11．设101020101⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，方阵B 满足2+=+AB E A B ，求B . 解：由2+=+AB E A B 得 2()()()-=-=-+A E B A E A E A E 由于001010100⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭A E ，所以-A E 可逆，·133·得 201030102⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭B A E ， 12．已知将3阶可逆阵A 的第2行的2倍加到第3行得矩阵B ，求1-AB .解：令100010021⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C ，则=C A B ，由于,A C 均可逆，故B 可逆，所以 11100010021--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭A BC. 13．设有线性方程组123123123000ax bx bx bx ax bx bx bx ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ （,a b 不全为0） （1）,a b 为何值时方程组有非零解； （2）写出相应的基础解系及通解； （3）求解空间的维数.解：（1）齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式0ab b ba b bba= 即 2()(2)0a b a b -+= 故0a b =≠，或20a b =-≠时，方程组有非零解. （2）当0a b =≠时，方程组为1230x x x ++=，即123x x x =--.其基础解系为12111,001--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，通解为12121110,,10k k k k --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为任意常数.当20a b =-≠时，方程组为123123123202020x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩，解得基础解系为111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，通解为11,1k k ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭为任意常数.·134· （3）当0a b =≠时，解空间维数为2；当20a b =-≠时，解空间维数为1.14．设二次型222123122313222f x x x ax x bx x x x =+++++经正交变换=X P Y 化成22232f y y =+，其中123123(,,),(,,),x x x y y y ''==X Y P 是3阶正交矩阵，求,a b 及满足上述条件的一个P .解：正交变换前后，二次型的矩阵分别为11111a ab b⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ， 000010002⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B 故二次型可以写成f '=X AX 和f '=Y BY ，且1-'==B P AP P AP . 由,A B相似知|||λλ-=-E A E B ，即32223(2)()a b a b λλλ-+--+- 3232λλλ=-+，比较系数得：0,0a b ==. 由100010002-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P A P B ，知A 的特征值是0,1,2. 解方程组(0)-=0E A x ，得1101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，单位化得11120||2ξξ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ -⎝⎭P 解方程组()-=0E A x ，得22201,0⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P ξξ，解方程组(2)-=0E A x ，得3101⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ξ，单位化得33320||2⎛ ⎪== ⎪ ⎝⎭P ξξ故123022()010022⎛⎪==⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P P P P .·135·15．求直线110:220x y z L x y z +--=⎧⎨+--=⎩与2220:2240x y z L x y z +--=⎧⎨+++=⎩的公垂线方程.解：1L 与2L 的标准式及参数形式分别为：11:011x y z L -==与1,,;x y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩22:210x y z L +==-与2,,2.x y z λλ=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩1L 的方向向量为12(0,1,1),L =s 的方向向量为2(2,1,0)=-s .设1L 与2L 公垂线垂足为(1,,),(2,,2t t λλ--A B ，则应有(21,,2)A B t t λλ=-----，且1220s λ⋅=---= A B t ，2520s λ⋅=+-=AB t .解得4,32.3t λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以1{1,2,2}3A B =- ，故公垂线方程为44133122y z z ++-==-.16．求直线210:10x y z L x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩在平面:20x y z π+-=上投影的方程.解：A 点坐标为44(1,,)33--.设通过直线L 垂直于平面π的平面0π的方程为21(1)0x y z x y z λ-+-++-+=.0π的法向量为1(2,1,1)λλλ=+-+-n . 平面π的法向量为(1,2,1)=-n . 由0ππ⊥，知10⋅=n n ，得 22(1)(1)λλλ++-+--=解得14λ=.从而得0π方程为310.x y z -+-=所以所求直线0L 方程为310,20.x y z x y z -+-=⎧⎨+-=⎩ππL 0L·136· 17．设矩阵A 与B 相似，且111200242,0203300a b -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A B ， （1）求,a b 的值；（2）求一个可逆阵P ，使1-=P AP B .解：（1）因为A 与B 相似，所以有||||λλ-=-E A E B ，32111||242(5)(53)6633a a a aλλλλλλλ---=--=-++++--E A232||(2)()(4)(44)4bb b b λλλλλλ-=--=-+++-E B 比较两式系数可得：5344664a b a b +=+⎧⎨-=-⎩解得56a b =⎧⎨=⎩.（2）因A 与226⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭B 相似，所以A 的特征值为2,2,6. 1112222333-⎛⎫⎪-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭E A . 解(2)-=0E A X 得A 的对应于特征值2的特征向量12111,001-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，5116222331-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭E A . 解()E A X -=60得A 的对应于特征值6的特征向量 3123⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ.令123111()102013P -⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭ξξξ，则有1-=P AP B . 18．已知3阶实对称阵A 的特征值为03,2,2,10⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭及01⎛⎪ ⎪⎝⎭分别是A 的对应于特征值3,2的·137·特征向量，（1）求A 的属于特征值2-的一个特征向量；（2）求正交变换=X P Y 将二次型f '=X AX 化为标准形.解：（1）设2-对应的特征向量为X ，则有12(,)0,(,)0==X X ξξ， 可取310⎛⎫⎪= ⎪ ⎝ξ.（2）把特征向量规范正交化后得：12310221,0,00122⎛⎛⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪ - ⎪⎝⎭⎝⎭P P P . 令10221001022⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ - ⎝⎭P ，则在正交变换=X P Y 下f 化为 222123322f y y y =+-.19．已知二次型22212312232355266f x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2，求c 及此二次型对应矩阵的特征值，指出123(,,)1f x x x =代表三维几何空间中何种几何曲面. 解：二次型f 所对应的矩阵为51315333c -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A , 因f 的秩为2，即A 的秩为2，故有||0=A ，所以3c =.513||153(4)(9)0333λλλλλλλ---=-=--=--E A ，得特征值为0,4,9. 与特征值相对应的单位特征向量分别为123(,0),'''=-==-P P P ，取正交变换阵·138·⎛⎫- ⎪ ⎪ =-⎪ ⎪⎝⎭P ， 则在正交线性变换=X P Y 下，方程123(,,)1f x x x =化为椭圆柱面2223491y y +=.20．设有数列01201321120,1,,,,,n n n a a a a a a a a a a a --===+=+=+ ，求1000a . 解法1： 由1121110n n n n a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 得9991000109991110a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.记 1110⎛⎫=⎪⎝⎭A 得A22，并且12,2211⎛ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ分别是A的对应于特征值1122+-的特征向量.记12(,)2211⎛ == ⎪ ⎪⎝⎭T ξξ，于是112112-⎛-⎪=⎪+-⎪⎝⎭T则1102102-⎛⎫+⎪= - ⎝⎭A T T99999910202-⎛⎫⎪= ⎝⎭A T T10001000999999555))])522210210555))]522210210-+⎪= ⎪-+⎪⎝⎭所以100010001000)522a =-.·139·解法2：设 1111n D +++=++αβαβαβαβαβαβαβαβ将n D 按第一行展开可得1nn n D D αβ--= （1）由, αβ的对称性可得1n n n D D βα--= （2）若αβ≠，（1）、（2）联立解之11n n n D αβαβ++-=- （3）若αβ=，由（1）1(1)n nn n D D n ααα-=+=+ （4）考察令 11111111111nD --=-补充定义100,1D D -== ，则 12,1,2,n n n D D D n --=+= 于是1n n a D -= 解：11αβαβ+=⎧⎨=-⎩, 得001122αβ+-==，由（3）知·140· 000000001000999000000111a D αβαβαβαβαβαβαβαβ+++==++1000100000αβαβ-=-10001000522⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 四、证明题1．证明69169169(1)316916nn D n ==+，（n 为正整数）. 证：1 1n =时，16(11)3D ==+⋅ 2 假设当n k≤时结论成立，当1n k =+时，若12k +=，由226936927(21)316D ==-==+⋅知命题成立.若13k +≥，将1k D +按第一行展开得11169169696(1)39316916kk k k k D D D k k -+-==-=+-⋅⋅1(2)3k k +=+⋅由数学归纳法，对一切自然数n 结论都成立.2．设A 为2阶方阵，证明：若存在大于等于2的自然数m 使m =0A ，则=20A . 证：因m=0A ，所以||||0mm==A A ，又A 为2阶方阵，故()1R ≤A .·141·所以A 经初等变换可以化为100000000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭，于是存在可逆阵,P Q ，使1000100000(100)00000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A P Q P Q ，取10,(100)0⎛⎫ ⎪ ⎪'== ⎪ ⎪⎝⎭U P V Q ，则'=A U V .令k '=V U ，则2.k k '''===A UV UV UV A 由m m k -==10A A 知0k =， 或者=0A ，故2k ==0A A . 3．设A 是幂等阵2()=A A ，试证 （1）A 的特征值只能是1或0， （2）()()n R R n +-=A A E ， （3）A 可相似对角化； （4）()tr()R =A A .证：（1）设λ是A 的任一特征值，则存在≠0X 使λ=A X X . 于是22λ=A X X .由2=A A 知，2λλ=X X . 由≠0X 得2λλ=，故1λ=或0.（2）由2=A A 知，()-=0A A E ，于是()()R R n +-≤A A E （1）由()n n +-=A E A E 知()()()()()n n n R R R R R =≤+-=+-E A E A A A E （2）综合（1），（2）可得()().n R R n +-=A A E（3）记12(),()n R r R r =-=A A E .当10r =或20r =时，=0A 或n =A E ，命题显然成立. 以下设120,0r r ≠≠，由12r r n +=知10r n <<，20r n <<. 取112,,,n r - ξξξ为=0A X 的基础解系212,,,n r - ηηη是()n -=0A E X 的基础解系，则112,,,n r - ξξξ是A 的属于特征值0的线性无关的特征向量，212,,,n r - ηηη是A 的属于特征值1的线性无关的特征向量，故由12()()n r n r n -+-=知A 有n·142· 个线性无关的特征向量1211,,,,,n r n r -- ξξηη. 从而A 可相似对角化.（4）由（1）、（3）可知存在可逆阵T 使10r-⎛⎫=⎪⎝⎭E TA T 于是1()tr()tr()R r -===A T A T A .4．设,A B 是n 阶正定矩阵，证明：A B 的特征值全大于0. 证：因,A B 正定，则存在可逆阵12,P P ，使11221122''''===A P P B P P AB P P P P12221121212()()()-'''''==P A B P P P P P P P P P因12,P P 可逆，则12'P P 可逆，从而1212()()''P P P P 正定，它的特征值全大于0， 因A B 与1212()()''''P P P P 相似，从而A B 的特征值全大于0. 5．设A 为n 阶方阵，试证：（1）若1k +=0A α且k ≠0A α，则1,,,,k k - A A A αααα线性无关； （2）1n +=0A X 的解一定是n =0A X 的解； （3）1()()n n R R +=A A . 证：（1）反证法若1,,,,k k + A A A αααα线性相关，则存在不全为零的数01,,,k l l l ，使01kk l l l +++=0 αααA A ，设i l 是第一个不等于零的系数，即0110,0i i l l l l -====≠ ，则 11i i ki i k l l l +++++=0 A A A ααα， 两边乘以矩阵k i -A ，得121kk k ii i k l l l +-++++=0 A AAααα，由于1k +=0Aα，故对任意1m k ≥+都有m=0A α，从而由上式得k i l α=0A ，但k≠0A α，故0i l =与假设矛盾. （2）证明：假设α是1n +=0A X 的解，但不是n=0A X 的解，即有 1n +=0A α 但n≠0A α.由（1）知1,,,,nn - A AA αααα线性无关，与1n +个n 维向量1,,,,n n - A A A αααα线性相关矛盾，故α是n =0A X 的解. （3）由（2）知1n +=0A X 的解一定是n =0A X 的解，且易知n =0A X 的解一定是1n +=0AX 的解，所以方程1n +=0AX 与n=0A X 同解，所以1()()n n+=R A R A .6．已知向量组12,,,(2)m m ≥ ααα线性无关，试证：向量组1112,mk =+=βααβ 22111,,,m m m m m m m k k ---+=+= ααβααβα线性无关.·143·证：假设有一组数121,,,,m m l l l l - 使得112211m m m m l l l l --++++=0 ββββ.则有11222111()()()m m m m m m m m l k l k l k l ---+++++++=0 ααααααα，即有112211112211()m m m m m m l l l l k l k l k l ----++++++++=0 αααα由于12,,,m ααα线性无关，所以1211122110m m m m l l l l k l k l k l ---====++++= ，所以1210m m l l l l -===== .故12,,,m βββ线性无关.7．设12,,,m ααα线性无关，m 为奇数，试证：1122231,,,m -=+=+= βααβααβ 11,m m m m -+=+ααβαα线性无关.证：假设存在一组数12,,,m k k k 使112211m m m m k k k k --++++=0 ββββ，则有112223111()()()()m m m m m k k k k --++++++++=0 αααααααα，即111221()()()m m m m k k k k k k -++++++=0 ααα又由于12,,,m ααα线性无关，所以11210m m m k k k k k k -+=+==+= ，因为m 是奇数，所以线性方程组（1）的系数行列式11011101(1)2001001m D +==+-=≠，112100m m m k k k k kk -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ （1） 故（1）只有零解，所以120m k k k ==== ，故12,,,m βββ线性无关.8．设n 阶矩阵A 的n 个列向量为12,,,n ααα，n 阶矩阵B 的n 个列向量为·144· 122311,,,,,()n n n R n -++++= ααααααααA ，问齐次线性方程组=0B X 是否有非零解，证明你的结论.证：当n 为奇数时，齐次线性方程组=0B X ，没有非零解. 当n 为偶数时，=0B X 有非零解.由于()R n =A ，所以n 阶矩阵A 的n 个列向量12,,,n ααα线性无关，由上题知，当n 为奇数时，122311,,,,n n n -++++ αααααααα也线性无关，所以()R n =B ，因此齐次线性方程组=0B X 没有非零解，但当n 为偶数时，因122311()()()()n nn -+-++++-+=0 αααααααα，122311,,,,n n n -++++ αααααααα线性相关，所以()R n <B .因此，齐次线性方程组=0B X 有非零解.9．设12,,,n ξξξ是n 阶方阵A 的分别属于不同特征值的特征向量，12n =+++ αξξξ. 试证：1,,,n - A A ααα线性无关.证：设A 的n 个互不相同的特征值为12,,,n λλλ ，对应的特征向量依次为12,,,nξξξ，则1111(),,n n nnλλ=++=++=++ A A A A αξξξξξξ 11111n n n n n λλ---=++ Aαξξ.设有一组数011,,,n k k k - ，使得1011n n k k k --+++=0 αααA A即1101111111()()()n n n n n n n k k k λλλλ---+++++++++=0 ξξξξξξ.可得1101111101212201(λλ)(λλ)(λn n n n n k k k k k k k k ξξ----+++++++++++11)n n nn k λ--+=0ξ.由于12,,,n ξξξ线性无关，所以1011111012121011000n n n n n n n n k k k k k k k k k λλλλλλ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 即 1011212211111n n n n n nk k k ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0λλλλλλ 又由于1111221111()01n n i j j i nn n n--≤<≤-=-≠∏λλλλλλλλ.·145·所以0110n k k k -==== ， 即21,,,,n - A A A αααα线性无关.10．已知,A B 是两个n 阶实对称矩阵，试证A 与B 相似的充要条件是,A B 的特征多项式相等.证：（1）若A 与B 相似，记1-=T AT B ，则11||||||||||||λλλλ---=-=-=-E B E TAT T E A T E A .（2）若,A B 的特征多项式相等，则,A B 有相同的特征值12,,,n λλλ . 因,A B 都是实对称矩阵，存在正交阵,P Q 使112211,n n λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P A P Q B Q 于是11--=PA P QB Q .即111()()---=PQA PQB故A 与B 相似.11．设A 是n 阶实矩阵，证明当0k >时，k '+E A A 正定.证：()()()k k k ''''''+=+=+E A A E A A E A A ，即k '+E A A是实对称阵. 对任意n 维非零实列向量X ，有()()()()k k k '''''''+=+=+X E A A X X E X X A AX X X AX AX由于0k >，所以()0k '>X X ，又()0'≥AX AX ，所以()0k ''+>X E A A X .即k '+E A A 正定.12．设A 是m n ⨯实矩阵，证明：()()()R R R ''==A A AA A ，并举例说明A 是复矩阵时，结论未必成立. 证：考察方程组'=0A A X ， （1）=0A X （2）显然（2）的解均为（1）的解，因而()()n R n R '-≤-A A A ，即有()()R R '≤A A A （3）·146· 另一方面，对任意1nn x x ⎛⎫⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭RX 如果'=0A A X ，则()0''=X A AX ， 即()()0'=AX AX （4）设12(,,,)n a a a '= A X ，由（4）知210ni i a ==∑，因为A 为实矩阵，X 为实向量，故i a 均为实数，所以120n a a a ==== ，即=0A X ，由于（2）的解也是（1）的解，故有()()n R n R '-≤-A A A ，即()()R R '≤A A A （5）综合（3），（5）式知()()R R '=A A A由()()R R '=A A 知()(())()()R R R R '''''===AA A A A A故有()()()R R R ''==A A AA A .令1i ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，则(1,)i '=A ，于是(0)'=A A ，即A 是复矩阵，结论不成立.13．若任意n 维列向量都是n 阶方阵A 的特征向量，试证：A 一定是标量矩阵.证：先证A 的任两个特征值都相等，否则设1212,()λλλλ≠是A 的两个特征值，≠0X ，≠0Y ，使12,λλ==AX X AY Y . 因12λλ≠，所以,X Y 线性无关，+≠0X Y . 依题意存在k ，使()()k +=+A X Y X Y ，于是1212()(),k k k λλλλ-+-===0X Y ，矛盾，故A 的所有特征值都相等，记为λ.令j e 为n 阶单位阵E 的第j 个列向量，1,,j n = ，于是1()E e e e = j n由已知,1,2,,j j j n λ== A e e得11()(),,A e e e e e e A E E A E λλλ=== j n j n即A 是数量矩阵.14．设A 是n 阶正定矩阵，试证：存在正定矩阵B 使2=A B . 证：A 是正定阵，则存在正交矩阵P ，使得·147·121n λλλ-⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P A P D ，其中0,(1,2,,)ii n λ>=令(1,2,,)i i n δ== ，则21111222222n n n n λδδδλδδδλδδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D 而 11221n n δδδδδδ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪'== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A PD PP P 1122n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪''= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P P 令 12n δδδ⎛⎫⎪⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B P P ，易验证B 为正定阵，故2=A B . 15．设α是n 维非零实列向量，证明：2'-'E αααα为正交矩阵.证：因为22()'''-=-''E E αααααααα，故 2222()()()()'''''--=--''''E E E E αααααααααααααααα 224444()()()()()''''''=-+=-+''''E E αααααααααααααααααααα 44''=-+=''E E αααααααα.因而2'-'E αααα为正交矩阵.16．设方程组=0A X 的解都是=0B X 的解，且()()R R =A B ，试证：=0A X 与=0B X 同解.证：设()()R R r ==A B ，则=0A X 的基础解系含有n r -个线性无关的向量，不妨设为·148· 12,,,n r - ξξξ. 有,(,,)A ==-01 i i n r ξ.又=0A X 的解必为=0B X 的解，从而,(,,)i i n r ξ==-01 B 从而12,,,n r - ξξξ也是=0B X 的基础解系.于是=0B X 的通解为11.n r n r k k --+ ξξ则=0A X 与=0B X 同解.17．设A 是n 阶方阵，12(,,,)n b b b '= β是n 维列向量，0⎛⎫=⎪'⎝⎭AB ββ，若()()R R =A B，则=AX β有解.证：由于()()()R R R ≤= A B A β，又由于()()R R ≤ A A β，所以()()R R = A A β即=AX β有解.18．设12(,,,)(1,2,,,)i i i in a a a i r r n '==< α是r 个线性无关的n 维实向量，12(,,,)n b b b '= β 是线性方程组1111221211222211220n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的实非零解向量， 试证：12,,,,r αααβ线性无关.证：假设12,,,,r αααβ线性相关，由已知12,,,r ααα线性无关，必有1122r r k k k =+++ βααα， （1）又由β为方程组的解，从而(,)0,(1,,)i i r == βα于是11(,)(,)0r r k k =++= βββαα，从而=0β，矛盾.所以12,,,,r αααβ线性无关.19．设,A B 是两个n 阶正定矩阵，若A 的特征向量都是B 的特征向量，则A B 正定. 证：因为,A B 是两个n 阶正定矩阵，因此,A B 也必为实对称矩阵， 设12,,,n P P P 为A 的n 个标准正交的特征向量，记12()n = P P P P ，则112211,,n n k k k λλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P A P P B P 并且,0,(1,,)i i k i n λ>= ，所以。
线性代数练习题及答案
线性代数练习题及答案线性代数作为一门重要的数学学科，对于理工科学生来说是必修课程之一。
在学习线性代数的过程中，练习题是非常重要的一环，通过练习题的完成，可以巩固理论知识，提高解题能力。
本文将介绍一些常见的线性代数练习题及其答案，希望对读者有所帮助。
一、向量与矩阵1. 给定向量a=(2,3,1)和b=(1,-1,2)，求向量a与向量b的内积及外积。
答案：向量a与向量b的内积为a·b=2*1+3*(-1)+1*2=1，向量a与向量b的外积为a×b=(7,3,-5)。
2. 给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置矩阵和逆矩阵。
答案：矩阵A的转置矩阵为A^T = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]，矩阵A的逆矩阵不存在，因为A的行列式为0。
二、线性方程组1. 解方程组：2x + 3y - z = 13x - 2y + 4z = 5x + y + 2z = 0答案：通过高斯消元法，可以得到方程组的解为x = -1，y = 2，z = -1。
2. 解方程组：x + 2y + z = 32x + 4y + 2z = 63x + 6y + 3z = 9答案：该方程组为一个超定方程组，通过最小二乘法可以得到方程组的近似解为x = 1，y = 1，z = 1。
三、特征值与特征向量1. 给定矩阵A = [2 1; 1 2]，求矩阵A的特征值和特征向量。
答案：首先求解A的特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ=1，λ=3。
然后，将特征值代入(A-λI)x=0，得到特征向量x=(1,1)和x=(-1,1)。
2. 给定矩阵A = [3 -1; 1 3]，求矩阵A的特征值和特征向量。
答案：同样地，求解特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ=2，λ=4。
将特征值代入(A-λI)x=0，得到特征向量x=(1,1)和x=(-1,1)。
四、线性变换1. 给定线性变换T：R^2 -> R^2，将向量(1,0)和(0,1)分别变换为(2,3)和(-1,4)，求线性变换T的矩阵表示。
线性代数综合练习题(修改)
线性代数综合练习题第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 24．在函数10323211112)(x x x xx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 26. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)07. 若22351011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)08. k 等于何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3. 行列式=0100111010100111.4．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211 ，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D5．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.6．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.6412781619441321111----; 2．yxy x x yx y y x y x +++； 3. na b b b a a b b a a a b 321222111111111； .四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a . 2．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a dcbad c b a +++------=.第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
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线性代数综合练习一. 填空题1. 1.设,1352132411115312-=A 1352132*********-=B 则41424344A A A A +++= ，=+++44434241B B B B 。
41424344423A A A A +++= ，41424344235B B B B +-+= 。
详解： 41424344A A A A +++=414243441111A A A A ⨯+⨯+⨯+⨯21351111042311111-==4142434421351111423042314231A A A A -+++== 4142434421351112235042312135B B B B -+-+==- 2.设行列式2235007022220403--=D 则第4行各元素代数余子式之和为 。
4142434424232135213511120001423142311111111121321321(1)423009(1)9911111111B B B B ++--+++==--=-==-⨯=-详解：4142434430402222007001111A A A A +++==- 3、设A 的特征值为：1，─2，3，则2A 的特征值是1A -的特征值 详解： 2，─4，611123-，，4、正交矩阵A 的行列式的绝对值等于 1 解答：对，,(,)()()0,0T T T T T T T A A A A A A A A A E αλαααααααααααααα=⇒=====>≠22,(,)(,)(,)T A A A αλαααλαλαλααλαα=⇒=== 21λ∴= 二. 选择题1. 设1200221011011k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则k =(A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4 详解：选Ａ .2. 设A =2145⎛⎫ ⎪⎝⎭，0319B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭则AB =(A) 18； (B) 18-； (C) 13 ； (D) 15. 详解：B3. 设非齐次线性方程组Ax = b ，其中A m ⨯n 且R(A )=m<n ，则(A) 方程组Ax = b 仅有唯一解. (B) 方程组Ax = b 仅有零解. (C) 方程组Ax = b 有无穷多解. (D) 方程组Ax = b 无解. 详解：选C;4．设A 是n 阶可逆阵，λ是非零常数，则下列等式错误的是(A) ()T T A A λλ=； (B) 111()A A λλ---=； (C) A A λλ=； (D) 1*A A A -= 详解：选C5．若1A =，则n 阶方阵A 的秩是(A) 2 (B) 1； (C) n ； (D) 不能确定 详解：选C6．已知x ),0,2,5,1(),9,7,5,3(-==βα满足23X αβ+=,则X =(A)1(7,5,4,6)3----； (B) 1(7,5,12,18)3----；(C)(7,5,4,6)----； (D) (7,5,12,18)---- 详解：选B7．行列式30453221--中元素2-的代数余子式等于 (A) 9-； (B) 9； (C) 29-； (D) 29 详解：选D8．设A 为n 阶方阵，如果T AA O =，则A =(A) T A ； (B) A ； (C) E ； (D) O 详解：选D9．设,A B 均为n 阶方阵，下列各式正确的是：(A) 22()()A B A B A B +-=-； (B) 222()2A B A AB B +=++； (C) ()A B C BA CA +=+； (D) ()A B C AB AC +=+ 详解：选D10. 设A =101λ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则3A =(A) 101λ⎛⎫ ⎪-⎝⎭ ； (B)1021λ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (C) 1031λ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (D) 101λ⎛⎫ ⎪⎝⎭详解：选C11．设A 是n 阶可逆阵，λ是非零常数，则(A) ()T T A A λλ=； (B) 11()A A λλ--=；(C) A A λλ=； (D) 1*A A -= 详解：选A12．齐次线性方程组(1)203(2)0x y x y λλ--=⎧⎨-+-=⎩ 存在非零解，则λ =(A) 1,4- ； (B) 2,3-； (C) 1,4； (D) 2,3-13．设四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3，已知123,,ηηη是它的三个解向量，则该方程组的通解为(A) 2312ηηη+- (B) 2311(2)k ηηηη+-+ (C) 2311(2)k ηηηη+-+ (D) 1k η 详解：选C14．设非齐次线性方程组Ax b =，其中m n A ⨯且()R A r =，()R A b R = ，则 (A) r = m 时方程组Ax b =无解； (B) m = n 时方程组Ax b =有无穷多解； (C) r = R = n 时方程组Ax b =有唯一解；(D) r = n 时方程组Ax b =有唯一解. 详解：选C15．向量组α= (1，1，1)T ，β= (1，2，3)T ，γ= (1，3，6)T 的秩等于 (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4 详解：选C16．若2A =，则3阶方阵A 的秩等于(A) 3 (B) 2； (C) n ； (D) 不能确定 详解：选A17．设A ，B 是n 阶方阵，则(A) A B A B +=+ (B) A B A B -=- (C) AB BA = (D)AB BA =详解：选C18．已知向量组α= (1，1，1)T ，β= (1，2，3)T ，γ= (1，3，t )T 的秩是2，则t =(A) 1 (B) 3； (C) 5； (D) 7 详解：选C19. A 满足2A －2A ＋E ＝0则A 逆（）A 不存在;B E;C (2E －A);D (A －2E) 详解：由定义选C20. .如果0333231232221131211≠=a a a a a a a a a D ，则=------=333323133232221231312111434343a a a a a a a a a a a a M 。
A.D 3- B.D 4-C.D 12-D.T D 4-21 .行列式D 非零的充分条件是 。
A.D 所有元素都不为零B.至少有n n -2个元素不为零C.D 的任意两列元素之间不成比例D.以D 为系数行列式的线性方程组有唯一解 详解：选D22.设非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+12120z y kx z ky x z kx有唯一解，则 。
A.0≠kB.1-≠kC.2≠kD.2-≠k 详解：选C23. 对于同一n 阶矩阵A ,关于非齐次线性方程组=Ax b (≠0b )和齐次线性方程组=0Ax ,下列说法中正确的是 ( )(A ) =0Ax 无非零解时,=Ax b 无解 (B ) =0Ax 有无穷多解时,=Ax b 有无穷多解 (C ) =Ax b 无解时,=0Ax 无非零解 (D ) =Ax b 有唯一解时,=0Ax 只有零解 详解：选D24. 设12,αα是齐次线性方程组=0Ax 的两个解向量,12,ββ是非齐次线性方程组=Ax b 的两个解向量,则 ( )(A ) 12+αα是=Ax b 的解 (B ) 11+αβ是=0Ax 的解 (C ) 12-ββ是=0Ax 的解 (D ) 11-αβ是=Ax b 的解 详解：选C25. 设123,,ααα都是非齐次线性方程组=Ax b 的解向量,若123()k +-ααα是导出组 AX=0的解向量,则k = ( )(A ) 3 (B ) 2 (C ) 1 (D ) 0 详解：选B,对式子左乘一个Ａ后，令其等于零，即可得26. 方程组1231233202640x x x x x x -+=⎧⎨-+-=⎩的基础解系由几个解向量组成?( )(A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 详解：选D ，3-1＝227. 已知A 是96⨯矩阵,齐次线性方程组=0Ax 有4个自由变量,则 秩(A )= ( )(A ) 2 (B ) 3 (C ) 4 (D ) 5 详解：选A ，自由变量的个数与秩之和等于未知数的个数28. 设n 元线性方程组=Ax b 的增广矩阵为()A b ,秩(A )1r =,秩()A b 2r =,问:在下列何种情况下,方程组必定有解( )(A ) 1r n = (B ) 2r n = (C ) 12r r = (D ) 12,r n r n << 详解：选C ，此为有解的充要条件29. 设A 是108⨯矩阵,秩(A )r =,则齐次线性方程=0Ax 有非零解的充分必要条件是 ( )(A ) 8r < (B ) 810r ≤≤ (C ) 10r < (D ) 0=A 解：选A ，有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于方程组中未知数的个数30 若方程组12323232132(3)712x x x x x x λλλλλ⎧-+=-⎪-+=-⎨⎪-=-+⎩有无穷多解,则λ=( )(A ) 1 (B ) 2 (C ) 3 (D ) 4 详解：选C ，满秩⇔行列式不为零⇔AX=0只有零解⇔AX=b 有唯一解，当系数矩阵的秩小于3时，即系数矩阵的行列式等于零，31设线性方程组=Ax b 的增广矩阵经初等行变换化为()→A b 202301000a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则此方程组 ( )(A ) 有唯一解或有无穷多解 (B ) 一定有无穷多解 (C ) 可能无解 (D ) 一定无解详解：选D ，当a=0，时第三个方程为矛盾，当不等于零时，第二个为矛盾方程 32. 对线性方程组的增广矩阵施行初等行变换,如果能将某一行的全部元素变为0,则该方程组 ( )(A ) 有唯一解 (B ) 无解 (C ) 有无穷解 (D ) 有多余方程 详解：选D ，33、设n 阶矩阵A 的行列式为A ,则kA (k 为常数)的行列式为( )(A).;(B);(C).;(D).n k A k A k A k A -详解：选B ，参阅行列式的性质34、线性方程组123232320042000222006x x x x x x x ++=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩一定( )(A)有无穷多解 (B)有唯一解 (C)只有零解 (D).无解 详解：选D ，35、线性方程组123232320042000222006x x x x x x x ++=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩一定( )(A)有无穷多解 (B)有唯一解 (C)只有零解 (D).无解详解：选D 方程一和方程三为矛盾方程36、设向量组,,αβγ线性无关，则关于向量组,,αββγγα+++，下列说法正确的是：（ ）A 、线性无关B 、线性相关C 、无法判断D 、秩为2详解：选A,注意,因为变换矩阵的行列式不为零,所以秩相同37、设四元非齐次线性方程组AX=b 的三个解分别为：123212090,,091490ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又知R(A)=2，则此方程级的通解为： （ ） A 、1212212090,(,)091490X k k k k R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B 、1212102900,(,)910544X k k k k R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 、1212221009,(,)019409X k k k k R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D 、1212122900,(,)910904X k k k k R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭详解：选B,非齐次的两个解之差为对应齐次方程组的解，先作两个差，作为基，再加上其中一个作为特解38、设有向量组123126041,,001000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则向量组的秩为：（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 详解：选C39．若1A =，则n 阶方阵A 的秩是（ ）(A) 2 (B) 1； (C) n ； (D) 不能确定 详解：选C, 满秩⇔行列式不为零⇔AX=0只有零解⇔AX=b 有唯一解40、行列式30453221--中元素1的代数余子式等于：（ ） A 、4 B 、－4 C 、8 D 、0详解：选D, 3330(1)050+--= 41、设1231231222005522200610542007x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，则方程组：（ ）A 、无解B 、有无穷多解C 、只有零解D 、有唯一的非零解 详解：选D, 因系数矩阵的行列式不为零,所以只有零解42、设000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，问λ为下列哪种情况下有非零解：（ ）A 、只有当1λ=B 、只有当2λ=-C 、只有当1,2λλ≠≠-D 、当1λ=或2λ=-详解：选D,只有满足此条件,系数矩阵的行列式才为零,才有非零解43、设A 为n 阶方阵，如果线性方程组AX=b 有唯一解，则下列说法不正确的是（ ）A 、|A|＝0;B 、|A|不为零;C 、A 可逆D 、R(A)＝n 详解：选A, 有唯一解的充要条件是系数矩阵的秩等于未知数的个数44、21200110kk=-的充分条件是： （ ） A 、k = 2; B 、k = 0; C 、k =-2 D 、k = 3详解：选C45、如果1112131111121321222321212223313233313132334231,423(),423a a a a a a aD a a a D a a a aa a a a a a a-===-=-的充分条件是：（）A、k = 2;B、k = 0;C、k =-2D、k = 3详解：选C46、如果A为三阶矩阵，|A|＝a ≠0，*A为A的伴随矩阵，那么|*A|＝（）A、1a; B、a; C、2a; D、3a详解：因为***||,||nAA A E AA A E A A A=⇒=⇒=，三阶时*3*2a A a A a=⇒=，所以选C47、设A，B是n阶方阵，则（）A、A或B可逆，必有AB可逆;B、A或B不可逆，必有AB不可逆;C、A和B都可逆，必有A＋B可逆;D、A和B都不可逆，必有A＋B不可逆;详解：A、A或B可逆(即其中之一可逆,若另一矩阵的秩小于n)，不一定有AB 可逆，R(AB)≤min{R(A),R(B)}<n,所以AB不一定可逆B、A或B不可逆(即其中之一不可逆,即其秩小于n)，R(AB)≤min{R(A),R(B)}<n,所以AB不一定可逆C、A和B都可逆，如单位矩阵E与-E都可逆，但必有E＋（-E）不可逆;D、A和B都不可逆，100000100010,000,010000001001A B A B⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==+=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;A，B都不可逆，但A+B可逆。