初二数学 平行四边形综合训练

菱形矩形正方形

第一个知识点： 1. 互相推导

2. 斜边上的中线问题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。证明？

3. 辨析：目前两个零散在外面的直角三角形知识： ①30°所对的直角边是斜边的一半（一个角是30°的直角三角形）

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

第一批例题：

1. 如下图，P 是矩形ABCD 的边AD 上的一点，矩形的两条边AB ，BC 的长分别是6和8，

那么点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是（ ）

第1题图 第2题图

第3题图 A ．4.8 B ．5 C ．6

D ．7.2

O

D

A B

C

P F

E

B

D

A

C

2. 如上图，在菱形ABCD 中，∠BAD =80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂

足，连接DF ，则∠CDF =（ ）

A ．80°

B ．70°

C ．65°

D ．60°

3. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，N ，P ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，F ，

Q 都在对角线BD 上，且四边形MNPQ 和AEFG 均为正方形，则S 正方形MNPQ ：S 正方形AEFG 的值等于____________.

4. 如图，四边形ABCD ，连接各边中点E 、F 、G 、H 得到新的四边形EFGH ，证四边形

EFGH 是平行四边形。

5. 如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =16，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 与点A 重

合，则折痕EF 的长为（ ）

第5题图

第7题图

A ．6

B ．12

C

．

D

．6. 在矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，AB =6，E 是边BC 上的点，以AE 为折痕折叠纸片，

使点B 落在点F 处，连接FC ，当△EFC 为直角三角形时，BE 的长为____________。 7. 如上图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在CD ，BC 上，且DC =3DE =3a ，将矩形沿直

线EF 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点P 处，则FP =______________。

8. 如图，在菱形ABCD 中，AB =5，对角线AC =6，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则

AE 的长为_________________。

B

A

B

9. 如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，

且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．

（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；

（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．

10. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB

的平分线于点E，交∠A CB的外角平分线于点F．

(1)求证：OE=OF；

(2)若CE=12，CF=5，求OC的长；

(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

(4)在(3)问的条件下，添加一个条件，使AECF是正方形，并说明理由

N

11. 如图，E 是正方形ABCD 外一点，F 是线段AE 上一点，△EBF 是等腰直角三角形，其

中∠EBF =90°，连接CE ，CF 。

（1）求证：△ABF ≌△CBE ；（2）判断△CEF 的形状，并说明理由。

12. 如图，在正方形ABCD 中，对角线的交点为O ，E 是OB 上的一点，DG ⊥AE 于点G ，

DG 交OA 于点F 。求证：EF ∥AB 。

13. 如图，正方形ABCD ，以对角线AC 为边作菱形AEFC ，BF ∥AC ，求证：∠ACF =5∠F 。

A E

A

A

14. 如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，点F是BC延长线上一点，AE⊥EF

交∠DCF的角平分线CG于点G，求证：AE=EG。

B F

15. 对一张矩形纸片ABCD 进行折叠，具体操作如下： 第一步：先对折，使AD 与BC 重合，得到折痕MN ，展开；

第二步：再一次折叠，使点A 落在MN 上的点A ′处，并使折痕经过点B ，得到折痕BE ，同时，得到线段BA ′，EA ′，展开，如图1；

第三步：再沿EA ′所在的直线折叠，点B 落在AD 上的点B ′处，得到折痕EF ，同时得到线段B ′F ，展开，如图2． （1）证明：∠ABE=30°；

（2）证明：四边形BFB ′E 为菱形．

16. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 互相平分于点O ，∠AEC ＝∠BED ＝90°．求证：

四边形ABCD 是矩形．

N M A

B

C

N M C

17. 如图，已知正方形ABCD，点P在对角线BD上，PE⊥PA交BC于点E，PF⊥BC，垂足为

F。

（1）求证：∠PEC=∠BAP（2）求证：EF=FC（3

）求证DP

B C