现代控制理论矩阵的复习
现代控制理论复习
1 x2 ax1 ( x12 x22 ) x 2 x1 ax2 ( x12 x22 ) x
试证明 a 0 时系统平衡状态 xe 0 是大范围渐近稳定的。 六、 （15 分）已知连续系统的动态方程为：
0 3 2 x x 1 u, 1 1
3
加油
一、判别题（对的打“√”,错的打“×”, 每小题 1 分，共 10 分） （1） 描述系统的状态方程不是唯一的。 （2） 用独立变量描述的系统状态向量的维数不是唯一的。 （3） 线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的可控性不变。 （4） 一个单输入单输出系统和它的对偶系统,它们的状态变量和输出变量将不 同，则它们的传递函数也一定不相同。 （5） 对单输入单输出系统， 如果传递函数存在零极点对消，则系统一定不可控 或者不可观测。 （6） 李雅普诺夫第二法的四个判定定理中所述的条件都是充分条件。 （7） 李雅普诺夫函数是正定函数， 李雅普诺夫稳定性是关于系统平衡状态的稳 定性。 （8） 若系统是李雅普诺夫意义下稳定, 则系统在经典意义下也稳定。 （9） 用状态反馈进行系统极点配置可能会改变系统的可观测性。 （10）对一个线性定常的单输入单输出 5 阶系统，假定系统状态可控可观测，通 过设计输出至输入的反馈矩阵 F 的参数能任意配置系统的闭环极点。 ##（15 分）已知系统传递函数
2
加油
Q = I),判断 P 矩阵是否正定。P 正定一致渐近稳定,当||x||→∞,V(x,t)→∞大范围渐近稳定 李雅普渃夫方法在线性系统中的应用： 1 求最优参数：J=V[x(t0)]=x(t0)`Px(t0) 2 动态响应的快速性：∩min = imin(QP-1) 克拉索夫斯基方法 第六章 状态反馈和状态观测器 状态反馈不会改变系统的阶次及其能控性。 极点配置：进行极点配置的系统必须完全能控。 算法 1：a(s)=det(sI-A)=s^n+a1s^n-1+„„+an-1s+an a*(s)=(s-p1*)(s-p2*)„„(s-pn*)= s^n+a1*s^n-1+„„+an-1*s+an* K﹋=[an*-an an-1*-an-1 „„a1*-a1] |an-1„„ a1 1| Q = [B AB „„A^(n-1)B]|„„ 0| |a1 | |1 | P = Q-1 K = K﹋P 算法 2：K = [k1 k2 „„ kn] a(s)=det(sI-A+BK)=s^n+a1(K)s^n-1+„„+an-1(K)s+an(K) a*(s)=(s-p1*)(s-p2*)„„(s-pn*)= s^n+a1*s^n-1+„„+an-1*s+an* 比较系数求 K 解耦控制：实现解耦控制的充要条件是存在常量矩阵 E 为非奇异。其中，K = E-1F E = [E1 E2„„Ep] F = [c1A^(d1+1) c2A^(d2+1)„„cpA^(dp+1)] L = E-1 di = min(di1,di2„„dip)–1 Ei=︾lim s^(di+1)gi(s)(s→∞) di = u,ciA^kB=0,k=0,1,2„„u-1, ciA^uB≠0 di = n-1,ciA^kB=0,k=0,1,2„„n-1 Ei = ciA^diB 状态观测器： 第七章 最优控制 1 泛函 宗量 变分基本概念 2 欧拉方程 3 横截条件 4 条件极值 6 自由端问题 7 固定端问题 8 末端受限问题 9 终端时间 T 自由的问题 10 最大值原理与最小值原理 11 动态规划
现代控制理论总复习定稿版
2．多输入系统
多输入系统，其状态方程为 Ax Bu x
(15)
M ( B, AB, A2 B,, An1B)
式中，B为nr阶矩阵；u为r维列矢量。 其能控的充分必要条件M的秩为n.
安徽理工大学电气系
定常系统能观性的判别 方法一 系统矩阵A为对角线型的情况下，系统能观的充要条件是出 矩阵C中没有全为零的列。
b21 b22 如果 b b 行线性无关，则状态能控 41 42 安徽理工大学电气系
单输入系统，从系统的传递函数阵判断系统的能控性 u-x 间的传递函数阵为：
Wux (s) (sI A) 1 b
(Page-44，45)
状态完全能控的充分必要条件是Wux(s)没有零点和极点重 合现象。否则被相消的极点就是不能控的模式，系统为不 能控系统。
无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能控标准型。 所以：
0 6, 1 11, 2 6 0 5, 1 4, 2 1
1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 , 2 6 11 6 0 Bc 2 0 1
安徽理工大学电气系
直接通过 A和C构造N 矩阵 定常系统能观性的判别 方法二
系统能观的充要条件 rankN=n
C CA N n 1 CA
判断好系统的能控和能观性之后 求解系统的能控标准型和能观标准型 1．能控标准 I型 若线性定常单输入系统： (1)
(12) 安徽理工大学电气系
例：写出以下传递函数的能控标准II型。
s2 4s 5 G ( s) 3 s 6 s 2 11s 6
解：
s2 4s 5 ( s 2)2 1 G( s) 3 2 s 6 s 11s 6 ( s 3)( s 2)( s 1)
现代控制理论知识点汇总
现代控制理论知识点汇总Revised at 2 pm on December 25, 2020.第一章 控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式 n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
现代控制理论复习大纲
《现代控制理论》课程回顾第一部分 系统数学模型的建立1．系统数学模型的种类：A 、输入输出描述：输入输出微分方程、输入输出差分方程：)()()()()()()()()(1)2(2)1(11)2(2)1(1)(t u b t ub t u b t u b t y a t ya t y a t y a t y n n n n n n n n n ++++=+++++------][]1[]2[]1[][]1[]2[]1[][121121n k u b n k b k u b k u b n k y a n k a k y a k y a k y n n n n -++-++-+-=-++-++-+-+--传递函数(s 域)、脉冲传递函数(z 域)nn n n nn n n n a s a s a s a s b s b s b s b s u s y s g +++++++++==------1221112211)(ˆ)(ˆ)(ˆ n n n n n n n n n a z a z a z a z b z b z b z b z uz yz g +++++++++==------1221112211)(ˆ)(ˆ)(ˆ 传递矩阵(s 域)、脉冲传递矩阵(z 域))(ˆ)()(ˆ:)(s s s s u G yG = )(ˆ)()(ˆ:)(z z z z u G yG = 脉冲响应函数、脉冲相应矩阵：（因果、t 0时刻松弛）⎰⎰⎰⎰ττ-τ=τττ-=τττ-=τττ-=∞-∞+∞-tt tt td t u g d u t g d u t g d u t g t y 0)()()()()()()()()(⎰⎰⎰⎰ττ-τ=τττ-=τττ-=τττ-=∞-∞+∞-tt t t t d t d t d t d t t 0)()()()()()()()()(u G u G u G u G yB 、状态空间描述基本概念：状态、状态变量、状态向量、状态空间、状态轨线、状态方程、输出方程、动态方程（状态空间表达式、状态空间方程、状态方程）线性系统的结构图2．线性系统动态方程的建立A 、由系统机理出发建立系统的状态空间表达式这是最基本的方法实践中这也是主要的甚至是唯一的方法。
现代控制理论 状态转移矩阵
= 0 = 0 − (− ) − =()() (−)
故有： + =
从- 到t的转移，可以看作是从- 转移到0，再从0转移到t的组合。
2. 可逆性
−
= −
证明： 由性质1
− = − =
再从 1 转移到 2 。
证明：由状态转移矩阵的物理意义：
2 = 2 − 0 (0 )
2 = 2 − 1 (1 ) = 2 − 1 1 − 0 (0 )
故有： 2 − 1 1 − 0 = 2 − 0
4. 倍时性 ()
状态转移矩阵实质上就是矩阵指数函数，其求解方法与矩阵指数函数相同。
例：已知线性定常系统的状态转移矩阵 为：
1 −
1
3
( + )
(− − + 3 )
4
= 2
1 −
−
3
− +
( + 3 )
2
求系统矩阵。
ሶ
解：由状态转移矩阵的定义：()
=A ， 0 = ， ≥ 0
求解矩阵微分方程可得，状态转移矩阵为： − 0 = (−0 ) ， ≥ 0
当 0 = 0时，状态转移矩阵可表示为: = ， ≥ 0
系统的零输入响应可用状态转移矩阵表示：
=
−0
0 = − 0 0 ， ≥ 0
或 = 0 = 0 ， ≥ 0
《现代控制理论》MOOC课程
2.2 状态转移矩阵
2.2 状态转移矩阵
一. 状态转移矩阵的定义
定义：对于给定的线性定常系统 ሶ =A + 其中，x为n维状态向量
现代控制理论课程复习要点
现代控制理论课程复习要点第一章1.已知系统的状态方程和输出方程（以线性方程组的形式给出），如何写出其向量-矩阵方程并画出状态变量图。
2. 已知系统的状态空间模型表达式，如何将其转换为对角线规范型。
（注意复习3*3矩阵的求逆、行列式计算的方法，切记）该类题目具体做法有两种：（1） 方法一：求出该系统特征值，特征向量，利用特征向量构成非奇异转换矩阵P ，然后利用线性转换公式：11,,A P AP B P B C CP --=== 求出对应对角线规范型。
（2） 方法二：求出该系统特征值，利用特征值，构成范德蒙德矩阵，并将该矩阵作为非奇异转换矩阵P ，然后利用线性转换公式：11,,A P AP B P B C CP --=== 求出对应对角线规范型。
第二章1. 已知系统状态转移矩阵()t Φ，如何求出该系统状态方程中的系统矩阵A 的值； 该题的主要考点在于：()t Φ的一阶导数在t=0时的值为A ，即t 0()|A t ==Φ。
2.已知状态空间模型，如何求输入()u t 为单位阶跃函数时，该状态空间表达式的解；（利用非齐次状态空间模型的解公式求就可以了）3. 已知线性定常系统齐次状态方程，试利用特征值规范型方法求出状态转移矩阵()t Φ。
具体解法：（1） 先求出该系统的特征值：s -0I A = ，特征值分别为123λλλ，， ;（2） 根据特征值123λλλ，，求对应的特征向量123,,p p p ，并以此构成非奇异转换矩阵[]123=P p p p ；（3） 根据特征值规范型的特性可知，特征值规范型系统的状态转移矩阵为12300(t)000tt t e e e λλλ⎡⎤⎢⎥Φ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （4） 最后将该状态转移矩阵转换回普通形式的状态转移矩阵1(t)P (t)P -Φ=Φ .第三章1. 已知线性定常系统的状态方程（该方程中含未定参数），试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定时，这些未定参数应满足的条件。
现代控制理论-传递矩阵
λi Pi = APi
称pi为特征向量。
4. 4 状态方程的线性变换
选取不同的状态变量有不同形式的状态方程， 两组状态变量之间存在着线性变换。
x& = Ax + bu y = cx
x = px
x& = Ax + bu y = cx
= G(s)U(s) 【传递函数矩阵】
对于多输入多输出系统，初始条件为零时，输出 的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为传递函数矩 阵，简称传递矩阵。
这里： G(s) = C(sI − A)−1B + D
(sI − A)−1 = adj[sI − A] sI − A
对于r维输入m维输出系统：
⎡Y1(s)⎤ ⎡G11(s) G12(s) L G1r(s)⎤⎡U1(s)⎤
b) 若A阵为友矩阵，且有n个互不相同的实数特 征值λi
⎡0 1 0 L 0 ⎤
⎢ ⎢
0
01
⎥ ⎥
A=⎢ ⎢ ⎢
O
⎥
1
⎥ ⎥
⎢⎣−a0 −a1 L
−an−1 ⎥⎦
sI − A = 0
λi
3
2011-3-10
则下边的范德蒙特矩阵使A对角化
⎡1 1 L 1⎤
⎢ ⎢
λ1
λ2
L
λn
⎥ ⎥
P
=
⎢ ⎢ ⎢
λ12 M
P变换，
变换矩阵： p = [ p1 p2 L pn ]
x = px x& = px& = Ax + bu = Apx + bu
x& = p−1Apx + p−1bu = Ax + bu
现代控制理论复习
现代控制理论复习（*为重点）第一章一、*线性定常连续系统如何建立状态空间表达式：状态方程，输出方程1.*实际系统，运动方程状态方程：状态变量的一阶导数构成的方程组输出方程：状态变量的个数与独立储能元件有关2.*模拟结构图，方框图状态变量从右往左设，每个积分器的输出为一个状态变量，输入为状态变量的导数。
3.*传递函数，微分方程（有无数种）典型的状态空间表达式（为了研究方便）：能控标准型（两种），能观标准型（两种），约旦标准型。
其中任意两种状态空间表达式都是状态变量线性变换的关系。
1）能控标准I型：A：友矩阵b：（0,0,1）c:（b0,b1,b2）d：（传递函数分子分母阶次相同时有）2）能观标准I型：A：b:（长除法）c：根据对偶原理写出：能控标准II型/能观标准II型3）约旦标准型模拟结构图并联形式无重根，有重根*如何变换成约旦阵(对角阵)？如何构成线性变换阵T？1.无重根1）代数余子式（参考）2）定义（特征值,特征矢量）：T=(p1,p2…)2.有重根广义特征矢量：T=（p1,p2…）*状态空间表达式求传递函数W(s)=公式二、*非线性系统线性化处理给平衡状态进行线性化处理三、线性定常离散系统：G(z) G H*求传递函数G(z)=四、时变系统，传递函数阵不考第二章*线性定常系统方程求解一、状态转移矩阵的性质二、*四种方法求状态转移矩阵：1．定义法（展开）：开放形式2．*拉式反变换3．*对角阵/对角化4．凯莱哈密顿定理三、离散系统定义，*z反变换*线性定常连续系统离散化直接离散，近似离散时变，非线性系统不考第三章判定系统的能控性：1.模拟结构图2.对角阵/约旦阵（A,B）3.*能控判定阵M4.*能控标准型5.部分传递函数(sI-A)^(-1)B无零极点对消判定系统的能观性1.模拟结构图2.对角阵/约旦阵（A,C）3.*能观判定阵N4.*能观标准型5.部分传递函数C(sI-A)^(-1)无零极点对消线性定常系统的对偶关系*能控能观分解1.能控判定阵的秩→判断有几个变量能控→使线性变换阵非奇异的(n-m)个列矢量2.能观判定阵的秩→同上3.如果一个状态空间表达式能控则能变换成能控标准型（*能控II 简单）4.如果一个状态空间表达式能观则能变换成能观标准型（*能观I 简单）*最小实现所有状态变量既能控又能观如何寻找？1.能控能观分解→能控能观2. （了解）传递函数→能控（观）标准型→按能观（控）性分解→找出能控能观第四章现代控制理论：平衡状态稳定性（平衡点可能不止一个）第一法（间接法）线性定常系统→看特征值→左半平面→稳定非线性系统线性化→看特征值→左半平面，右半平面，虚轴特征值和闭环极点在传递函数无零极点对消时是相同的第二法（直接法）李雅普诺夫稳定，渐进稳定，大范围渐进稳定，不稳定李雅普诺夫函数（能量函数）V判断初始状态要有能量（V>0）V通常取二次型形式比较简单渐进稳定：V>0，对V求导，求得后：1）V的导数小于02）V的导数小于等于0→判断在x不为0时，V的导数恒不为零3）判断是否大范围渐进稳定如何求平衡状态？x的导数=A*x=0 (不管b*x)李雅普诺夫方法在线性定常连续系统渐进稳定依据第五章三种反馈控制方式，相应性能，对能控能观的影响，改善系统性能极点任意配置：原系统完全能控→状态反馈任意极点配置输出反馈不能实现任意极点配置（特别是单输入输出）原系统完全能观→输出到x导数端反馈实现任意极点配置系统镇定（特征值均在左半平面）状态反馈：不能控子系统渐进稳定输出到x导数端反馈：不能观子系统渐进稳定输出反馈：解耦问题（能解耦标准形不考）*状态解耦，积分型解耦系统状态观测器状态重构状态观测器的输入？输出？能构建的条件：完全能观或不能观子系统渐进稳定如果完全能观：可以通过G调节x的估计值接近x的速度全维状态观测器：可实现极点配置降维状态观测器（不考）习题1.状态空间表达式求传递函数（或传递函数阵）零极点对消，说明该系统（不）能控（不）能观。
现代控制理论复习总纲
现代控制理论复习总纲判断题部分 5题×2＝10一、（10分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在括号里打√，反之打×。
1、具有对角标准形状态空间描述的系统可以看成是由多个一阶环节串联组成的系统。
(× ) 2、传递函数的状态空间实现不唯一的一个主要原因是状态变量选取不唯一。
(√ ) 3、状态变量是用于完全描述系统动态行为的一组变量，因此都具有物理意义。
( × ) 4、输出变量是状态变量的部分信息，因此一个系统状态能控意味着系统输出能控。
(× ) 5、等价的状态空间模型具有相同的传递函数。
(√ )6、若传递函数存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控的。
(× )7、若线性系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则它是大范围渐近稳定的。
( √ )8、若一线性定常系统的平衡状态是渐近稳定的，则从系统的任意一个状态出发的状态轨迹随着时间的推移都将收敛到该平衡状态。
(√ )9、状态反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能，但不改变系统的能控性和能观性。
(× ) 10、如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，那么我们就可以断定该系统是不稳定的。
(× ) 11.描述系统的状态方程不是唯一的。
√12.用独立变量描述的系统状态向量的维数不是唯一的。
×13.对单输入单输出系统，如果1()C sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控或者不可观测。
√ 14.对多输入多数出系统，如果1()sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控。
× 15.李雅普诺夫直接法的四个判定定理中所述的条件都是充分条件。
√16.李雅普诺夫函数是正定函数，李雅普诺夫稳定性是关于系统平衡状态的稳定性。
√ 17.线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的可控性不变。
√ 18.用状态反馈进行系统极点配置可能会改变系统的可观测性。
现代控制理论基础总复习
第二章线性系统的数学描述数学模型可以有许多不同的形式，较常见的有三种：第一种是：把系统的输入量和输出量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入输出描述，或外部描述；第二种是：不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态空间描述或内部描述；第三种是：用比较直观的方块图（结构图）和信号流图模型进行描述。
910 2.1 线性系统的时域数学模型()(1)(2)121()()()()()n n n n n c t a c t a c t a c t a c t ---+++++()(1)(2)0121()()()()()m m m m m b r t b r t b r t b r t b r t ---=+++++ (2.1) 式中，()r t 和()c t 分别是系统的输入信号和输出信号，()()n c t 为()c t 对时间t 的n 阶导数；i a (1,2,)i n =和j b (0,1,)j m =是由系统的结构参数决定的系数。
2.2 传递函数11m n b s a s --++++++11 式中1011()m m m m M s b s b s b s b --=++++1011()nn n n N s a s a s a s a --=++++()M s 和()N s 分别称为传递函数()G s 的分子多项式和分母多项式。
2.5 线性系统的状态空间描述A Buy C du =+⎧⎨=+⎩x x x(2.3) 2.5.2 状态空间表达式与传递函数的关系1()()G s C sI A B D -=-+(2.4)12 2.5.3 状态空间表达式的建立情形一： 线性微分方程中不含输入的导数项，传递函数没有零点()(1)11n n n n y a y a y a y u --++++= (2.5)情形二 线性微分方程含有输入的导数(不超过3阶)，传递函数有零点 ()(1)()(1)11011n n n n n n n n y a y a y a y b u b u b u b u ----++++=++++ (2.6) 1011111()()n n n nn n n nb s b s b s b Y s U s s a s a s a ----++++=++++(2.7)13 Chp.9 状态空间系统响应、可控性与可观性9.1 线性定常系统的响应已知线性定常连续系统状态方程的一般形式为0()()(), (0)t A t B t =+=x x u x x(2.8) 状态变量的初始值为0x ，控制作用为()t u 。
现代控制理论基础总复习
P 的符号性质
完全一致
V(x) xTP x的符号性质
希尔维斯特判据
21
李雅普诺夫第二法的主要结论：
V ( x ) 对所有 x 都具有连续的一阶偏导数；
V ( x ) 是正定的；
dV ( x) 分别满足下列条件： V ( x) dt
1 若V ( x ) 为半负定，则平衡状态 x e 为李雅普 诺夫意义下稳定。 这一条称为稳定判据。
18
李雅普诺夫第一法的三条主要结论；
如果系统的Jacobi矩阵 A 的所有特征值都具有 则原非线性系统在平衡状态 x 负实部，
e
是渐近
稳定的，而且系统的稳定性与R ( x ) 无关。 如果Jacobi矩阵 A 至少有一个特征值具有正实部， 则原非线性系统平衡状态
x
e
是不稳定的。
如果Jacobi矩阵 A 至少有一个特征值具有零实部，
9
第九章 线性定常系统状态空间综合法
知识要点
状态反馈闭环系统的概念、传递函数矩阵的结构；
u K x v
W () s C s I A B K K B
输出反馈闭环系统的概念、传递函数矩阵的结构；
1
u H yv
W ( s ) C s I A B H C H B
0
11
对于完全能控的单输入单输出系统
, ,c Ab
0
不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置。 系统镇定问题的概念；
系统极点配置问题与镇定问题的联系和区别；
,B ,C A ，采用状态反馈能镇定的 对于系统 0
充分必要条件是： 其不能控子系统渐近稳定。
12
系统
,B ,C A
现代控制理论复习知识点
第二章复习要点
2、状态转移矩阵(续) -α系数的求法：特征值互异；特征值有重复 3、线性定常非齐次方程的解 (自由运动+受迫运动) x’=Ax+Bu x(t)=？ 4、离散时间系统状态方程的解 x(k+1) = G x(k) + H u(k) x(k)=? Gk难求，转化为： Gk=T Λk T-1 Z变换法：x(k)= Z-1[ (ZI-G)-1 ( Zx(0) + Hu(z) ) ]
第二章复习要点
1.线性定常齐次状态方程的解 (自由运动) X’=AX x(t)=Φ(t-t0) x(t0) =eA(t-t0)x(t0), tt0 Φ(t) =eAt：状态转移矩阵 2、状态转移矩阵 性质； 计算： 特殊的状态转移矩阵： A=Λ ？ A=J ？ 利用特殊的状态转移矩阵： eAt=Te ΛtT-1 ; eAt=Te Jt T-1 拉式变换：eAt = L-1 [(SI-A)-1] 凯莱哈密顿定理： eAt = α0I +α1A+… +αnAn-1
第三章复习要点
4、对偶 5、能控、能观性分解 能控性分解：不完全能控，A21=0，Rc=？ 能观性分解：不完全能观，A12=0，Ro=？ 能控能观性分解： 既不完全能控，也不完全能观； A=?，B=?, C=(C1, 0, C2, 0) 两阶段法：先能控分解，后能观分解，此方法不一定保证所有情况都能分解。
标准型及转化 (单输入单输出，系统能控，系统能控) 标准型： 能控标准I型 A (I在右上角)，B=(0, … 0, 1)T，C 能控标准II型 A (I在左下角), B=(1, 0, … 0)T ，C 能观标准I型 A (I在右上角) ，B，C=(1, 0, …, 0) 能观标准II型 A(I在左下角)，B，C= (0, …, 0 1) 直接写出传递函数： 能控I，能观II 转化 能控标准I型(I在右上角) ：Tc1 =? 能控标准II型(I在左下角)：Tc2 =M 能观标准I型(I在右上角) : To1-1 =N 能观标准II型(I在左下角): To2-1 =?
现代控制理论复习提纲
1 2 2 1 33 1 k k Φ (t ) = e = I + At + A t + A t + K + A t + K 2! 3! k!
At
基本性质： 1. Ф（0）＝I
2. Φ (t ) = Ae At = AΦ (t ) = Φ (t ) A
⋅
可交换 可交换
3.
4.
Φ(t1 ± t2 ) = Φ(t1 ) • Φ(±t2 ) = Φ(±t2 ) • Φ(t1 )
输出可控性判据 输出可控的充分必要条件是，输出可控性矩阵的秩 等于输出变量的维数q，即
rankS
S 0 = CB
0
=q
L CA
n −1
[
CAB
B
D]Βιβλιοθήκη 线性定常系统的可观测性判据
秩判据 线性定常系统完全可观测的充分必要条件是，
C CA =n rank M n −1 C A
Φ −1 (t ) = Φ (−t ) Φ −1 (−t ) = Φ (t )
５.
x(t2 ) = Φ (t2 − t1 ) x(t1 )
６. ７.
Φ (t2 − t0 ) = Φ (t2 − t1 ) ⋅ Φ (t1 − t0 ) [Φ (t )]k = Φ (kt )
非齐次状态方程的解 状态方程
根据系统微分方程建立状态空间表达式
1）输入不含导数项的n阶线性系统 LTI SISOΣ
y
(n)
+ a n −1 y
( n − 1)
+ L + a1 y
(1)
+ a0 y = β 0u
状态变量
x1 = y
现代控制理论 1 线性代数复习
方阵的行列式 方阵的行列式
(1) |AT| = |A| (2) |λA| = λn|A| (3) |AB| = |A||B|
方阵的伴随矩阵 方阵的伴随矩阵
方阵A的各个元素的代数余子式 方阵 的各个元素的代数余子式Aij 所构成的方阵 的各个元素的代数余子式
A11 A A* = 21 M An1 A12 A22 M An 2 A1n L A2 n O M K Ann L
C = AB
AB ≠ BA
7 8 7 + 32 9 8 1 2 3 D = BA = 4 5 6 = 9 + 32 7 6 7 + 24 39 54 41 58 (3 × 3) = (3 × 2)(2 × 3) = 31 44
a21 L am1 a22 L am 2 M O M a2 n K amn
(AT)T = A
零矩阵 Zeros
0 0 L 0 0 = M M O M 0 0 L 0
a11 a A = 21 M an1 a12 a22 M an 2 L a1n L a2 n O M K ann
矩阵数乘
a b ka kb k = kc kd c d
矩阵的 线性运算
设 A、B 都是 m×n 矩阵, λ、µ是数, 则 矩阵, 是数, 、 (1) A+B = B+A + + 运算 (2) (A+B)+C=A+(B+C) + + = + + 规律 (3) (λµ)A=λ(µA) = (6) (A+B)T = AT+BT + (4) (λ+µ)A=λA+µA = + (7) (λA)T = λAT (5) λ(A+B)=λA+λB + = +
现代控制理论复习
G ( s ) = G1 ( s )[ I + G2 ( s )G1 ( s )]−1 或 = [ I + G1 ( s )G2 ( s )]−1 G1 ( s )
2 0 1 1 1 2 9 8
[ 第二章总结] 1 .线性定常齐次状态方程的解 2 .矩阵指数函数 e At 3 .状态转移矩阵 Φ ( t − t0 ) Φ ( t , t ) 0 4 .线性定常非齐次状态方程的解 5 .线性时变系统状态方程的解 1 、线性定常系统运动分析 1 ）齐次状态方程的解：
2 0 1 1 1 2 9 2 2
4 、李氏第二法判稳 李氏第二法判稳思路：寻找李氏函数 李氏第二法判稳思路 李氏第二法稳定性定理
G11 G12 G G Y(s) G(s) = = C(sI − A)−1 B + D = 21 22 M M U(s) Gm1 Gm2 L G1r L G2r L M L Gmr
G( s ) 的每个元素的含义：
Yi ( s ) 表示第i 个输出中，由第j 个输入变量所引 Gij ( s ) = 个输入变量间的传递关系 U j ( s ) 起的输出和第j
e At
2 0 1 1 1 2 9
e λ1t = P 0
0 −1 O P e λnt
1 0
约当标准型法：当A 的特征值为 λ1（n 重根）
λ1t e = Q M 0 0 te λ1t L O O L 1 t n−1e λ1t ( n − 1)! −1 O M Q O te λ1t 0 e λ1t
x ( t ) = Φ ( t − t0 ) x ( t0 )
2 ）非齐次状态方程的解：
x( t ) = Φ ( t ) x( 0) + ∫ Φ ( t − τ ) Bu(τ )dτ
现代控制理论-3-4
6 1
5 1
r3
（ 1）
r2
（
2） 1 A01
0 1
10 03
r3
（
1）
0
0
2 11
13
3 3
2
1
3532 .
2 11
2 5
2 1
利用初等行变换求逆阵 的方法，还可用于求 矩阵A1B .
A1( A B) (E A1B)
即
(A B)
初等行变换
E A1B
例２ 求矩阵 X ,使 AX B，其中
定理2 设A为可逆方阵，则存在有限个初等 方阵 P1, P2 ,, Pl ,使A P1P2 Pl .
证 A ~ E, 故 E 经有限次初等变换可变 A,
即存在有限个初等方阵 P1, P2 ,, Pl , 使
P1P2 Pr EPr1Pl A
即
A P1 P2 Pl .
推论 m n 矩阵 A ~ B 的充分必要条件是 : 存在
1 0 2 1 4 0 2 5 1 9 0 0 1 1 3
r1 2r3 1 0 0 3 2
r2 5r3
0 0
2 0
0 4 6 1 1 3
r1 2r3 1 0 0 3 2
r2 5r3
0 2 0 4 6 0 0 1 1 3
r2 （ 2） 1
r3
（
即可得 Y T ( A1 )T CT ( AT )1CT , 即可求得 Y .
2 0
2 1
2 1
2 1
例3 已知 n 方阵 A 0 0 1 1,
0 0 0 1
n
求 A 中所有元素的代数余子 式之和 Aij .
i , j1
解 A 2 0, A 可逆.
现代控制理论中的数学知识
Chapter0 数学知识0.1复数的指数形式如下图，复平面上的一个单位矢量，其长度为1，其方向与x 轴的夹角为θ，该矢量可以用指数形式θj e 来表示。
由此可以得到Euler 公式： θθθsin cos e j j +=实部和虚部分别为：θθsin cos ==y xjj j j j 2e e sin 2e e cos θθθθθθ---=+=著名的Euler 公式将“实函数”与“虚函数”联系起来。
例1：利用Euler 公式可以简便的得到三角函数的“倍角公式” 22)sin (cos )(θθθj e j +=，左边=θθθθ2sin 2cos )(22j e e j j +==，右边θθθθcos sin 2)sin (cos 22j +-=， 比较两边“实部”和“虚部”得 θθθθθθcos sin 22sin sin cos 2cos 22=-=定义：双曲余弦函数 2cosh x x e e x -+≡，双曲正弦函数 2sinh xx e e x --≡得到关系式： jx x cos cosh =，jx j x sin sinh -= 0.2矩阵知识 0.2.1 矩阵形式单位矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10000001 I ， 纯量矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==a a a aI A 00000010000001 ； 对角矩阵 0=ij a ，j i ≠ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a A 0000001 ；上(下)三角矩阵:0=ij a ，j i j i <>,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n a a a A 000...111 上；⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n a a a A ...000111 下；jyθx对(反)称矩阵:jiij ji ij a a a a -==，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n a a a a A ......1111 对称；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=nn n n a a a a A ......1111 反称； 任一矩阵都可分解为对称矩阵与反称矩阵之和：反称矩阵对称矩阵22TT A A A A A -++= A 、B 可交换（BA AB =）的充要条件是AB 为反称矩阵。
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矩阵的复习(现代控制理论用)(线性代数的复习)一． 矩阵矩阵定义为矩形阵列表，它的元素可能是实数、复数、函数或算子，表中每一个元素表示一定的数学概念或工程信息，则此矩形表整体称为矩阵。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=jk j k k b b b b b b B 1221111 其中A 具有n 行与m 列，ij a 表示矩阵A 的第i 行，第j 列元素。
矩阵B 为第j 行，k 列，即=A （ij a ），=B （jk b ） 当n=m 时称为方阵，可表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∆nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211＝det(A)称为方阵A 的n 阶行列式。
1． 子式或子行列式给定n 阶行列式及其任一元素jk a ，划去△的j 行第k 列的全部元素而得到一个（n-1）阶行列式，称为原行列式的一个子行列式，简称子式，以jk ∆表示。
即:333231232221131211a a a a a a a a a =∆ 划掉23a 的子行列式 3231121123a a a a =∆ 23∆=∆jk j=2 k=3 23a a jk =n 阶行列式则有n 行n 列共2n 个子式。
2． 余因子或代数余子式如果用()kj +-1去乘jk a 的子式jk ∆得到的结果称为jk a 的余因子或代数余子式。
()32231+-=A -=∆2332311211a a a a 一般为()jk kj jk A ∆-=+1 ，其余类推。
3．行列式的值 行列式的拉普拉斯展开式为任一行或任一列的各元素与对应的余因子的乘积之和。
333231232221131211a a a a a a a a a =∆＝()111+-()()232213123113333213122112333223221111a a a a a a a a a a a a a aa ++-+-+上式为第一列各元素展开的拉普拉斯展开式，任一行、任一列的元素展开结果之△值都相同。
一般为 ()∑===∆nk jk jkA aa 1det4． 行列式的基本性质○1将行列式的行与列交换其值不变。
○2将行列式的任两行（行与行）或两列交换，其值不变但符号相反。
○3将行列式任一行（任一列）的元素，乘以一个给定的数以后再加到另外的任一行（或任一列）的对应元素上去，行列式的值不变。
○4若行列式中任一行或任一列的元素为零，则该行列式的值为零。
○5若有两行或两列的元素相同或成比例，即任一行或列的元素，刚好是与一行或列的元素的k 倍，则行列式的值亦为零。
○6用常数λ乘行列式任一行（或任一列）的诸元素，等于用λ乘这行列式。
即：i 在行列式中任一行（或列）元素的公因子可以提到行列式之外。
ii 在n ×n 阵A 乘λ与每个元素，等于乘nλ ，与上边是有区别的。
A A nλλ= 二．对角线矩阵方阵A 中，由j=k 的全部元素jk a 所组成的对角线称为主对角线，除主对角线上各元素外，其余元素均为零者，称为对角线矩阵。
()nn nn a a a diag a a a A1211221100=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=三．单位矩阵或么阵当对角线矩阵中的主对角线各元素均为1时，其余的元素都为零。
12211====nn a a a这种特殊的对角线矩阵称为单位矩阵或么阵。
()11110101diag I =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=四．向量只有一列的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21称为列向量，n 维称为n 维列向量。
只有一行的矩阵()n x x x 21称为n 维行向量。
五．零阵 所有元素均为零的矩阵。
六．奇异矩阵如果方阵相关行列式之值为零时，此方阵称为奇异矩阵。
七．非奇异矩阵方阵相关行列式之值不为零者。
八．转置矩阵如果n ×m 矩阵A 的行与列交换，所得m ×n 矩阵称为该矩阵的转置矩阵，矩阵A 的转置矩阵用TA 表示。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nm n n m m a a a a a a a a a A 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nm mmn n Ta a a a a a a a a A 212221212111()A A TT =九．对称矩阵如果方阵A 等于它的转置矩阵，即A =TA 则方阵称A 为对称矩阵。
十．正定矩阵如果方阵A 的所有主子行列式为正，则矩阵A 称为正定矩阵。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nm n n m m a a a a a a a a a A 212222111211当满足 11a >0 ,22211211a a a a >0 ， … ，nmn n mm a a a a a a a a a212222111211>0 则A 为正定阵，这是判别正定矩阵的赛尔维斯特（sylverster ）准则。
还有共轭矩阵，赫末特矩阵（复数矩阵），逆矩阵，等等。
十一．矩阵的运算与变换1． 矩阵的加减法)(jk jk b a B A +=+ )(jk jk b a B A -=-矩阵的加减法满足交换律，结合律。
C B A C B A ++=++)( 2． 矩阵的乘法数与矩阵相乘，等于数与矩阵各个元素相乘。
)(jk ka kA =矩阵与矩阵相乘，A 的各行元素分布与B 的各列元素对应乘积之和。
)(l j a A =是n ×m 矩阵 )(l k b B =是n ×r 矩阵 ∑==nl lk jl jk b a C 1所得矩阵C 的阶是m ×r结合律、分配律适用于矩阵的乘法。
C AB BC A )()(= CA BA A C B +=+)(3． 两矩阵和与乘积的转置法则T T T B A B A +=+)(T T T A B AB =)( 注意 T T T B A AB ≠)(4． 逆矩阵○1定义：若对于给定的方阵A ，存在一个矩阵B ，使得AB=I ，则称B 是A 的逆矩阵，并以符号1-A 表示之。
○2矩阵的秩 在一个n ×m 的矩阵A 中，任取k 行k 列，位于这些行列相交处的元素构成k 阶行列式，此行列式叫做A 的k 阶子式，而矩阵A 中不等于零的那个子矩阵的最大阶数，叫做矩阵A 的秩。
若A 为方阵，而且其所有相当的行列式之值不为零，即满足条件:)det(A ≠0则称A 是满秩的n 阶方阵。
○3余因子转置矩阵（或称伴随矩阵）将A 的余因子矩阵转置以后，（即行与列交换）所得之新矩阵，并以符号Tjk A )(或)(kj A 或adjA . ○4逆矩阵的求法 若A 是满秩的n 阶方阵，（即)det(A ≠0）则存在唯一的逆1-A 。
A 1-A ＝1-A A ≡I1-A 由下面公式确定1-A ＝Aa a a a a a a a a A adjAA A A A nnn nn n kj T jk212221212111)det()det()()det()(===○5逆矩阵变换 111)(---=A B AB 注意111)(---≠B A ABA A =--11)(只有方阵才有逆矩阵，并且此方阵应是非奇异矩阵。
（不等于零） 5．例1：2)(B A +＝？解： 2)(B A +＝22))((B BA AB A B A B A +++=++一般矩阵乘法不满足交换律，即A B ≠B A 当 A B ＝B A 时 2)(B A +＝222B AB A ++例2：求A ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛212104321的逆矩阵1-A 。
解：)det(A ＝－22214＋02231－11431=－2(8－2)－1(1－12)=－12+11＝－1伴随矩阵adjA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------8341146211＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0421122112041431223122141032213221101-A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⨯-=8341146211834114621111det A A T例3：求下列三个联立方程式的解：1x ＋32x ＋3x ＝21x －22x ＋3x ＝3 21x +2x +33x ＝1解：A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-312121131 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=132b即b Ax = b A x 1-=)det(A ＝3112-－3113＋21213-＝（－6－1）－（9－1）＋2×（3＋2）＝－5伴随矩阵adjA ＝555011587----1-A ＝A ATdet ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=1110515115857 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1110515115857⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛45153313253521524514132 即：1x ＝533，2x ＝－51，3x ＝－4例4：确定下面矩阵的秩A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-151431020211 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-151431020211→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡170310021→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-2000310021→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--2000310621 该矩阵维数为3。