有限元作业第二次作业

土木工程专业

有限元第二次作业

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二〇一五年6月12日

习 题：平面应力问题的八节点等参元，已给定8个节点

的坐标。试查资料并论述：

1、单元中位移函数u （ξ，η），v （ξ，η）和单元节点位

移{δe }的关系式；

2、[ B ]矩阵的计算步骤和计算式；

3、单元刚度矩阵[ k e ]的一般计算方法和计算步骤；

4、论述相邻单元间公共边界上位移的连续性；

5、如果给定母单元中点A ，

（ξ，η），怎样求实际单元中与

A ，

相对应的点A （x ，y ）；反之，如果给定实际单元中的点A （x ，y ），怎样求其在母单元中对应点A ，

（ξ，η）？ 6、如果已经求解得到单元8个节点的位移值{δe }怎样求单

元中某一点B （x ，y ）的应力？

实际单元

1

2

6

7

Y

1

2

43

67

8η= 1η=﹣1

母单元

ξ= 1

ξ=﹣1

解：

1、此题分两步进行：

➢ 单元位移场的表达：

如图1所示,在任意四边形的每边中间设一附加节点，则单元边界就变成二次曲线的了。如果直接在整体坐标系(),x y 下，像八节点矩形元那样，构造双二次多项式的位移插值函数，则因曲边四边形单元边界是二次曲线，故边界上的位移是()x y 或的五

次多项式，它不能由曲边上三个节点的位移分量唯一地决定，从而不能保证相邻两个单元在公共边上位移的协调条件，所以在整体坐标系(),x y 下构造完全协调

的位移插值函数是很困难的，利用坐标变换，可将曲边四边形单元变换成基本单元，如图2所示的在自然坐标(),ξη下具有边长为2的八节点正方形单元，自然坐标系(),ξη是外节点坐标值为±1的局部坐标系。在自然坐标系的

单元上构造协调的位移插值函数，其形状函数是较普通的，取位移分量为,ξη的双二次多项

式, 即：

2222

123456782222910111213141516u a a a a a a a a v a a a a a a a a ξηξξηηξηξηξηξξηηξηξη⎧=+++++++⎪⎨=+++++++⎪⎩

（1-1） 利用8 个节点的16 个位移分量可唯一确定16 个待定常数1216,,a a a …,，

图1：在总坐标系中具有二

次曲边的四边形单元

图2：在自然坐标系中的

曲边四边形的基本单元

若代入8个节点的局部坐标值，得：

11523264536774881-1-1111-1-110-10010011-11-11-1-11101000011111111101001001-111-111-11-1010000u a u a a u u a a u a u a u u a ⎡⎤⎡⎤

⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

（1-2）

195102116123137141548161

-1-1111-1-110-10010011-11-11-1-11101000011111111101001001-111-111-11-1010000v a v a v a v a v a v a a v v a ⎡⎤⎡⎤

⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

（1-3）

将解出的16 个待定常数1216,,a a a …,代入式（1-1）即得:

8

11552266337744881

8

11552266337744881i i i i i

i u N u N u N u N u N u N u N u N u N u v N v N v N v N v N v N v N v N v N v

==⎧

=+++++++=⎪⎪⎨⎪=+++++++=⎪⎩

∑∑ （1-4a ） 也即：

[]{}{}

128e e

u N N N v δδ⎧⎫

===⎨⎬⎩⎭

u I

I

I N （1-4b ）

其中I 为二阶单元矩阵，{}e

δ为等参元节点位移列阵，N 为形状函数矩阵。 ➢ 形状函数的建立：

按等参元思想，在整体坐标系XY 下, 任何形状歪斜四边形单元都将变换到局部坐标系ξη下的正方形单元。

对8节点等参元, 其移模式为：

()8

1

,i

i

i u N u ξη==

⋅∑ （1-5）

式中, i u 为歪斜单元8节点的位移，(),i N ξη为形状函数。

查阅相关资料，得形函数公式公式为：

()()

()

8

18

1

,,,k

k i k

i

i

k F N F ξηξηξη===

∏∏ （1-6）

又由形状函数的性质可具体地求出i N 的表达式为：

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()12342526272

8=1114=1114=1114=1114=112

=112=112=112N N N N N N N N ξηξηξηξηξηξηξηξηξηηξξηηξ⎧-----⎪

+---⎪⎪+++-⎪

-+-+-⎪⎪

--⎨⎪

-+⎪⎪⎪-+⎪

⎪--⎩

（1-7）

2、根据平面问题的几何方程，单元应变可用节点位移表示如下：

{}[]{}1

2

8=x e e

y xy εεδδγ⎧⎫

⎪⎪

=⎨⎬⎪⎪⎩⎭

ε=B B B B （2-1）

其中：

0=0i i i i i N x N y N N y x ⎡⎤

∂⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥

∂⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎣⎦B （2-2）

即要求出矩阵i B 中的元素

i N x

∂∂，i

N y ∂∂(1,2,,8)i =。