2017年湖南省高中数学联合竞赛试题 (PDF版)

f 2 ( 4) f (8) ＝＿＿＿＿＿＿。 f (7 ) f (1) 2 f ( 2) 2 f 2 (1) f ( 2 ) 2 f ( 4) 2 f 2 ( 2) 2 f ( 2) 2 f (1) 6 ， 2 f (1) 6 ， f (1) f (1) f (3) f (1) f ( 2) f (1)
Байду номын сангаас
解：∵
f 2 (3) f (6) 2 f 2 (3) 2 f (3) f 2 ( 4) f (8) 2 f 2 ( 4) 2 f ( 4) 2 f (1) 6 ， 2 f (1) 6 ， f (5) f ( 2) f (3) f ( 2) f (7) f (3) f ( 4) f (3) ∴原式＝24。
3 48
B.
3 24
C.
3 16
D.
3 12
解：取 B1C1 的中点 K，BC 的中点 L，在矩形 A1KLA 中(如图)，
3 3 2 ，故 A1P＝ A1K＝ 。 ∵AB＝BC＝CA＝1，∴AL＝A1K＝ 2 3 3
又 AA1＝2，由△ALD∽△AA1P 知 AD A1P AL 1 ， AA1 4
A.166247
B.196248
C.196249
D.196250
解：依题意，an＋1－an＝n＋3(n∈N*)。 ∴a624＝(a624－a623)＋(a623－a622)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1 ＝626＋625＋…＋5＋4＋(3＋2) ＝
( 2 626) 625 2
＝196250，选 D 二、填空题(本大题共 6 个小题，每小题 8 分，满分 48 分，解题时只需将正确答案直接填在题中 横线上。) f (1) 2 f ( 2) ＋ f ( 2) 2 f ( 4) ＋ f 2 (3) f (6) 7、 已知函数 f(x)满足 f(m＋n)＝f(m)f(n)， f(1)＝3， 则 f (1) f (3) f (5) ＋
解：∵椭圆 C：
1
不超过 x 的最大整数)，则 f(100，3)＝ A.11 B.13 C.14 D.19 解：依题意，f(100，3)表示不超过 33 且与 100 互质的正整数的个数，这样的正整数只有 3，7，9， 11，13，17，19，21，23，27，29，31，33 共 13 个。选 B 5、如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值，则 A.△A1B1C1 是锐角三角形，△A2B2C2 也是锐角三角形 B.△A1B1C1 是钝角三角形，△A2B2C2 也是钝角三角形 C.△A1B1C1 是锐角三角形，△A2B2C2 则是钝角三角形 D.△A1B1C1 是钝角三角形，△A2B2C2 则是锐角三角形 解：依题意，cosA1＝sinA2＞0，cosB1＝sinB2＞0，cosC1＝sinC2＞0， 于是 A1，B1，C1 均为锐角，所以△A1B1C1 是锐角三角形。 若△A2B2C2 是直角三角形，不妨设 A2＝90，则 cosA1＝1，不可能； 若△A2B2C2 是锐角三角形，则由 cosA1＝sinA2，cosB1＝sinB2，cosC1＝sinC2， 得 A1＋A2＝90，B1＋B2＝90，C1＋C2＝90，从而有 360＝270，也不可能； 故△A2B2C2 是钝角三角形。选 C 6、将石子摆成如图所示的梯形形状，称具有“梯形”结构的石子数依次构成的数列{an}：5，9， 14，20，…，为“梯形数列” 。根据“梯形”的构成，可知 a624＝
2017 年湖南省高中数学联合竞赛试题参考答案
考生注意：1、本试卷共三大题(16 个小题)，全卷满分 150 分。2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。 3、解题书写不要超出装订线。4、不能使用计算器。 一、选择题(本大题共 6 个小题，每小题 5 分，满分 30 分。每小题所给提供的四个选项中只有一 项是符合题目要求的。) 1、设集合 X＝{1，2，…，2017}，集合 S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件 x＜y＜z，y＜z＜x， z＜x＜y 恰有一个成立}，若(x，y，z)∈S，且(z，w，x)∈S，则下列选项正确的是 A.(y，z，w)∈S 且(x，y，w)S B.(y，z，w)∈S 且(x，y，w)∈S C.(y，z，w)S 且(x，y，w)∈S D.(y，z，w)S 且(x，y，w)S 解：依题意，集合 S 中的数组(x，y，z)是按某种大小关系排好序的，不妨设为 x＜y＜z。 于是由(x，y，z)∈S 知 x＜y＜z，再由(z，w，x)∈S 知 w＜x＜z 或 x＜z＜w， 因此，x、y、z、w 的大小关系为 w＜x＜y＜z 或 x＜y＜z＜w。选 B 2、 已知点 P 为正三棱柱 ABC－A1B1C1 上底面△A1B1C1 的中心， 作平面 BCD ⊥AP，与棱 AA1 交于 D，若 AA1＝2AB＝2，则三棱锥 D－ABC 的体积为 A.
A1
P
K
D
1 1 1 3 1 3 ，选 A 因此，VD－ABC＝ ×S△ABC×AD＝ ( 1 1 ) 3 3 2 2 4 48
3、已知椭圆 C：
A
L
x2 y 2 1 ，对于任意实数 k，椭圆 C 被下列直线中所截得弦长，与被直线 l： 8 4 y＝kx＋1 所截得的弦长不可能相等的是 A.kx＋y＋k＝0 B. kx－y－1＝0 C. kx＋y－k＝0 D. kx＋y－2＝0 x2 y 2 1 是关于原点 O 对称的中心对称图形，也是关于 x 轴、y 轴对称的轴对 8 4 称图形，∴只要两条直线关于原点成中心对称或者关于 x 轴、y 轴成轴对称，那么它们被椭圆所 截的弦一定是等长的。选 D n 4、对任意正整数 n 与 k(k≤n)，用 f(n，k)表示不超过[ ] 且与 n 互质的正整数的个数(其中[x]表示 k
2
8、已知 A，B，C 为⊙O 上三点，且 AO 1 ( AB AC ) ，则数量积 AB AC ＝＿＿＿＿＿＿。 2 1 解：∵ AO ( AB AC ) ，∴圆心 O 为 BC 边的中点，因而∠BAC＝90，故 AB AC ＝0。 2 9、已知 z∈C，若关于 x 的方程 4x2－8zx＋4i＋3＝0(i 为虚数单位)有实数根，则复数 z 的模|z|的最 小值是＿＿＿＿＿＿。