2017年湖南省高中数学联合竞赛试题 (PDF版)
2017年全国高中数学联合竞赛试题(B卷)
2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
1、在等比数列{}n a 中，22=a ，333=a ，则2017720111a a a a ++为2、设复数z 满足i z z 22109+=+，则z 的值为3、设)(x f 是定义在R 上的函数，若2)(x x f +是奇函数，x x f 2)(+是偶函数，则)1(f 的值 为在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110922=+y x ，F 是C 的焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积最大值为4、在ABC ∆中，若C A sin 2sin =，且三条边c b a ,,成等比数列，则A cos 的值为5、在正四面体ABCD 中，F E ,分别在棱AC AB ,上，满足4,3==EF BE ，且EF 与面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 ．6、在平面直角坐标系xOy 中，点集{}1,0,1,|),(-==y x y x K ，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离不超过2的概率为7、设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线0222=++a ay x 的焦距为4，则实数a 的值为 ．8、若正整数c b a ,,满足c b a 1000100102017≥≥≥，则数组),,(c b a 的个数为二、解答题：本大题共3小题，共56分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9、（本题满分16分） 设为实数，不等式x x a 252-<-对所有[]2,1∈x 成立，求实数a 的取值范围。
10、（本题满分20分）设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足221n n n n a a a b -=++， ,2,1=n（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2） 设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0≠d ，并且存在正整数t s ,，使得t s b a +是整数，求1a 的最小值。
2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A卷)试题及答案考点分析
2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A 卷)试题及答案考点分析2017年全国高中数学联合竞赛一试卷〉参考答案及评分标准说明孑1.评阅试卷时*请依据本评分标淮.填空趣只设S 分和o 分两档1其他备题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.N 如果考生的解??方法和本解答不同+只要思路合理"步骤1E 确，在评卷时训 参苇本评分标准适为划分档次评仆.解芥题中第9小题*分対--个栉次.第10. 11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次*一、填空题；本大题共*小题，每小題*分，共64分.设八龙)屣走文任H 上的噌数，对任意实^xfTf(x+3)f(x-4) = -l.又 当0冬“V7时・/(x)=log 3(9-x)・则/X-100)的値为 ____________________________ ・答案；■齐比庄平面現角坐标系xQy 中.fffiEfC 的方程为芝■ +匚=1, F 为C 的上煉点，A 的右顶点.戶是(?上位丁第象限内的別点*则四边Jg OAPF 的面积 的燧大值为 ”解：易知#(3,0), F(O,D.设尸的酸掠圧(3ws 罠JTB 抽叭，w九秤=孔加 V S s^r- = | ■ 3 ■sin 0 + | ■ I ■ 3 cos!〔中 y ： — arctan —.当（9 — arctanVTo 时.四边形OAPF iff | 积的fit 大備为卫■土*解：由篆件知，/U + 14） = ---------------- = f （x} t 所以./<x + 7）2.若实数工j 满足”F 4- 2 cosy = 1 .则x — cos y 的収值范围足i _______ 答案:H1,広+ 1].解：由 +.Y 1- 1 -2cos yG[-l > 故GX 时F 可以収？Th 由于扌U+1)'—1的恤域筍-h J5 + 1］，从而X-CGSJ 的耿值范围是［一匕J5 + 1］・si n （ 4 *} +4. 若一个三位数中任总两个相邻数码的差均不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是____________ ・答案：75. _解：考虑平稳数赢.若6 = 0,则。
2017年湖南省高中数学联合竞赛试题 (PDF版)
A1
P
K
D
1 1 1 3 1 3 ，选 A 因此，VD－ABC＝ ×S△ABC×AD＝ ( 1 1 ) 3 3 2 2 4 48
3、已知椭圆 C：ALx2 y 2 1 ，对于任意实数 k，椭圆 C 被下列直线中所截得弦长，与被直线 l： 8 4 y＝kx＋1 所截得的弦长不可能相等的是 A.kx＋y＋k＝0 B. kx－y－1＝0 C. kx＋y－k＝0 D. kx＋y－2＝0 x2 y 2 1 是关于原点 O 对称的中心对称图形，也是关于 x 轴、y 轴对称的轴对 8 4 称图形，∴只要两条直线关于原点成中心对称或者关于 x 轴、y 轴成轴对称，那么它们被椭圆所 截的弦一定是等长的。选 D n 4、对任意正整数 n 与 k(k≤n)，用 f(n，k)表示不超过[ ] 且与 n 互质的正整数的个数(其中[x]表示 k
3 48
B.
3 24
C.
3 16
D.
3 12
解：取 B1C1 的中点 K，BC 的中点 L，在矩形 A1KLA 中(如图)，
3 3 2 ，故 A1P＝ A1K＝ 。 ∵AB＝BC＝CA＝1，∴AL＝A1K＝ 2 3 3
又 AA1＝2，由△ALD∽△AA1P 知 AD A1P AL 1 ， AA1 4
( S n 1) 2 2S 1 ， 2 2 an1 S n1 S n ，∴－(Sn－1) ＝Sn＋1Sn－Sn ，即 S n 1 n Sn Sn
S 1 因此 S n 1 1 S n 1 ，故 1 n 1， Sn S n 1 1 S n 1 S n 1
12、设函数 f(x)是定义在(－，0)上的可导函数，其导数为 f(x)，且有 2f(x)＋xf(x)＞x2，则不等式 (x＋2017)2f(x＋2017)－f(－1)＞0 的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 解：∵x＜0，2f(x)＋xf(x)＞x2，∴2xf(x)＋x2f(x)＜x3＜0，故 x2f(x)为(－，0)上的减函数。 不等式(x＋2017)2f(x＋2017)－f(－1)＞0 即(x＋2017)2f(x＋2017)＞(－1)2f(－1)， 因此，x＋2017＜0 且 x＋2017＜－1，故 x＜－2018。 三、解答题(本大题共 4 个小题，满分 72 分。解答需要有完整的推理过程或演算步骤。) 13、(本小题满分 16 分) 在锐角△ABC 中，sinA＝ (1)求 sin2(B＋C)＋ sin 2
湖南省2017年高中数学联赛预赛试题
2017年湖南省高中数学联合竞赛试卷一、选择题（本大题共6个，每小题5分，满分30分）1. 设集合{}1,2,3,....,2017X =,集合{(,,),,,S x y z x y z X =∈且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰好有一个成}立,若(,,),(,,)x y z S z w x S ∈∈,则下列选项正确的是( )A. (,,)(,,)y z w S x y w S ∈∉且B. (,,)(,,)y z w S x y w S ∈∈且C. (,,)(,,)y z w S x y w S ∉∈且D. (,,)(,,)y z w S x y w S ∉∉且2.已知点P 为正三棱柱111ABC A B C -上底面111A B C ∆的中心，作平面BCD AP ⊥,与棱1AA 交于点D,若122AA AB ==,则三棱锥D ABC -的体积为（ ）A.48 B. 24 C. 16 D. 123.已知椭圆C: 22184x y +=，对于任意实数k,椭圆C 被下列直线所截得弦长，与被直线:1l y kx =+所得弦长不可能相等的是（ ）A. 0kx y k ++=B. 10kx k --=C. 0kx y k +-=D. 20kx y +-=4.对任意正整数n 与k ()k n ≤，用(,)f n k 表示不超过n k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦且与n 互质的正整数个数,则(100,3)f =（ ）A. 11B. 13C. 14D. 195.如果111A B C ∆三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ） A. 111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆也是锐角三角形 B. 111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆也是钝角三角形 C. 111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆也是钝角三角形 D. 111A B C ∆是钝角三角形, 222A B C ∆也是锐角三角形6.将石子摆在如果所示的梯形形状，称具有“梯形” 结构的石子数依次构成的数列{}n a ： 5,9,14,20，,,,,,,,,,,为“梯形数列”，根据梯形的构成，可知624a =（ ）• • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • •• • • • •A.166427B.196248C.196249D.196250二、填空题（本大题共6个，每小题8分，满分48分）7.已知函数()f x 满足()()(),(1)3f m n f m f n f +==，则22(1)(2)(2)(4)(1)(3)f f f f f f ++++22(3)(6)(4)(8)(5)(7)f f f f f f ++++=_________8.已知,,A B C 为圆O 的三点，且1()2AO AB AC =+,则AB AC ⋅=__________9.已知复数z ，若方程248430(x zx i i -++=为虚数单位）有实数根，则复数z 的Z 的最小值=_________10.对于正整数n,定义!(1)(2).......21n n n n =--⋅，记12!.....12!3!(1)!n nS n n ⎡⎤=+++-⎢⎥+⎣⎦， 2017S =________11.当0x π≤≤，且3sin2xtan x =____________ 12.设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，有22()()f x xf x x '+>， 则不等式2(2017)(2017)(1)0x f x f ++-->的解集_______________13.（16分） 在锐角ABC ∆中，sin A ,a,b,c 为A,B,C 的对边， （1）求2sin 2()sin 2B CB C +++的值 （2）若4a =，求当AB AC ⋅取最大值时ABC ∆的面积14.（16分）已知数列{}n a 满足211(1)2,()n n n s a a n N s ++-==-∈,其中n S {}n a 的前n 项和， (1)求证：11n s ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列(2)若对于任意的n,均有：12(1)(1).....(1)n s s s kn +++≥，试求k 的最大值.15.（20分） 已知,a b R +∈,a b ≠（1ln 2a b a ba lnb -+<- （2）如果,a b 是函数()ln 2017f x x x =-的零点，证明：2ab e > (此题目有错误,省竞委已经做了声明)16.（20分） 已知AB 是椭圆22:1(,0,)C mx ny m n m n +=>≠上的斜率为1的弦，AB 的垂直平分线与椭圆交于CD 两点，设CD 的中点F,CD 交于AB 于E (1)求证：2224CD AB EF -= (2)求证：四点ABCD 共圆四、加试（每大题20分）(发哥给学生考时个人加的)（1） 在锐角ABC ∆，证明：(2)设12,,...,0n a a a >，证明：....(3)给定正整数k,a,b,若对于任意正整数n,都有：n k n k a n b n ++，证明:a=b(4)对于给定正整数3n ≥，任取12...,n x x x <<<，求211211n n i j i j n ni ji j x x f x x ====⎛⎫- ⎪⎝⎭=-∑∑∑∑的最大值.。
2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC 中，AB=1，AP=2，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中，2a，3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2xf x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|xxa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY.四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a的公比为32a q a ==，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案解：设,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚部可得9101022a a b b +=⎧⎨=-+⎩，解得：1,2a b ==，故12z i =+，进而||z =3.答案：74-。
2017年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案.pdf
19、（8
分）解析：（1）因为
f
(x)
=
2x 2(x
−1)2
,x −1, x
0, 0.
5
f (0) = 2 −1=1, f (1) = −1
所以
…………………………2 分
x [0,1] f (x) = 2(x −1)2 −1
− − o
x
2
2
2
17. （本小题满分 8 分）已知数列an满足 an+1 = 3an (n N*) ，且 a2 = 6 .
（1）求 a1 及 an ；
（2）设 bn = an − 2 ，求数列 bn的前 n 项和 Sn .
18. (本小题满分 8 分)为了解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩 中随机抽取 20 名学生的成绩进行分析，得到如图 7 所示的频率分布直方图， （1）根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数； （2）从成绩不低于 80 分的两组学生中任选 2 人，求选出的两人来自同一组的概 率.
频率/组距
0.040
0.020 0.015 0.010
50 60 70 80 90 100 成绩（分）
3
19. （本小题满分 8 分）
已知函数
f
(x)
=
2(x
2x, x 0, −1)2 + m, x
0.
（1）若 m= -1,求 f (0) 和 f (1) 的值，并判断函数 f (x) 在区间（0，1）内是否有 零点； （2）若函数 f (x) 的值域为[-2, + ),求实数 m 的值.
所以{bn} 的前 n 项和为：
湖南省三湘名校教育联盟2017届高三第三次大联考试题数学理Word版含答案bybao
三湘名校教育联盟●2017届高三第三次大联考理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}32|31,|4120x A x B x x x +=<=-->，则()R C A B = A. [)3,2-- B.(],3-∞- C. [)()3,26,--+∞ D.()()3,26,--+∞2.已知命题:p ABC ∆中，若A B >，则cos cos A B >，则下列命题为真命题的是A. p 的逆命题B. p 是否命题C. p 逆否命题D. p 的否定3.已知函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当02x <<时，()2log f x x =，则()722f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. 1B. 1-C. 0D. 24.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为1，输出n 的值为N,则在区间[]1,4-上随机选取一个数M,1M N ≥-的概率为 A. 15 B. 25 C. 35 D. 455.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到了复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数2i e 在复平面内位于A.第一象限B. 第二象限C. 第三四象限D.第四象限6.函数cos ln x y x=-的图象大致是 7.()9214x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数为 A. 36 B. -144 C. 60 D.-608.如图是一个四面体的三视图，三个正方形的边长均为2，则四面体外接球的体积为A.32π B. 43π43π D. 3π 9.体育课排球发球项目考试的规则是：每位同学最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为()0p p ≠，发球次数为X ，则X 的期望() 1.75E X >，则p 的取值范围是 A. 70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭10.一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数为A. 13B. 12C. 11D. 1011.如图，抛物线()220y px p =>和圆220x y px +-=，直线l 经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆于A,B,C,D 四点，2AB CD ⋅=则p 的值为 A. 222212.已知函数()()33f x ax a x =+-在[]1,1-的最大值为3，则实数a 的取值范围是 A. 3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. []3,3-D. []3,12- 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3040S =，则38a a ⋅的最大值为 .14.已知实数,x y 满足2220x y x y y +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则z ax y =+的最小值为1，则a = .15.以40km/h 向北偏东30航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向向正东飘去，3min 后气球上升到1km 处，从探测船上观察气球的仰角为30，则气球的水平漂移速度是为 km/h. 16.已知平面向量,a b 满足2a b ==，存在单位向量e ，使得()()0a e b e -⋅-=，则a b -的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知函数()()sin sin ,0.3f x x x πωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭（1）若()f x 在[]0,π上的值域为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求ω的取值范围； （2）若()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，且()003f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求ω的值. 18.（本题满分12分）为了研究一种昆虫的产卵数y 和温度x 是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布子啊某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①212y C x C =+与模型；②34C x C y e +=作为产卵数y 和温度x 的回归方程来建立两个变量之间的关系.（1）在答题卡上分别画出y 关于t 的散点图，z 关于x 的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据表中数据，分别建立两个模型下y 关于x 的回归方程；并子啊两个模型下分别估计温度为的产卵数.（1234,,,C C C C 与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：4.65 4.85 5.05104.58,127.74,156.02e e e ≈≈≈）（3）若模型①、②的相关指数计算分别为22120.82,0.96.R R ==，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.19.（本题满分12分）已知三棱台111ABC A B C -中，11114,222,1AB BC AC AC AA CC ======,平面11ABB A ⊥平面11ACC A（1）求证：1BB ⊥平面11ACC A ；（2）点D 为AB 上一点，二面角1D CC B --的大小为30，求BC 与平面1DCC 所成角的正弦值.20.（本题满分12分）一张半径为4的圆形纸片的圆心为12,F F 是圆内一个定点，且122F F =，P 是圆上一个动点，把纸片折叠使得2F 与P 重合，然后抹平纸片，折痕为CD,设CD 与半径1PF 的交点为Q,当P 在圆上运动时，则Q 点的轨迹为曲线为E,以12F F 所在的直线为x 轴，12F F 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图.（1）求曲线E 的方程；（2）曲线E 与x 轴的交点为12,A A （1A 在2A 的左侧），与x 轴不重合的动直线l 过点2F 且与E 交于M,N 两点（其中M 在x 轴上方），设直线12,A M A N 交于点T ，求证：动点T 恒在定直线l '上，并求出l '的方程.21.（本题满分12分）已知函数()()22ln .f x x x x a =--（1）若()f x 在定义域上为单调递减函数，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使得()0f x ≤恒成立，且()f x 有唯一零点，若存在，求出满足(),1,a n n n Z ∈+∈的n 的值，若不存在，请说明理由. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
2017年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)(含参考答案及评分标准)
答案： 13, 20 ． 解：由条件可知： a1 , a2 , b1 均为正整数，且 由于 ，故 ． ．反复运用 {an } 的递推关系知 ， 因此 而 21a1 a10 b10 512b1 2b1 (mod 34) ， ，故有 ． 另一方面，注意到 ，有 ． 当 当 时，①，②分别化为 时，①，②分别化为 ，此时 当 ． ，得到唯一的正整数 ，无解． ，得到唯一的正整数 ，故 ②
( x1 + 3x2 + 5 x3 )( x1 +
x2 x3 1 5x + ) = ( x1 + 3x2 + 5 x3 )(5 x1 + 2 + x3 ) 3 5 5 3 2 1 1 5x ≤ ⋅ ( x1 + 3x2 + 5 x3 ) + (5 x1 + 2 + x3 ) 5 4 3
1 PP PF 1 1 P 2F 1 2 4 2 PF 1 2 P 2 F2 PP 1 2 4 2 ， ………………15 分 （例如， 当 z1 z2 2 2 i 时，F2 恰是 PP 等号成立当且仅当 F2 位于线段 PP 1 2 上 1 2 的中点） ． 综上可知， z1 2 z2 2 z1 z2 的最小值为 4 2 ． …………20 分
① ② ③
a b a b ab f k m 1 ． 2 2 2
由① ② 2 ③知， a b ( a b) 2 4， =f ( a ) f ( b ) 2 f 2 2 故ba 2 2 ．
2
1 14 ………………10 分 = 6 x1 + x2 + 6 x3 20 3 1 9 2 ≤ ( 6 x1 + 6 x2 + 6 x3 ) = ， 20 5 1 1 9 = x1 = , x2 0, = x3 当 时不等式等号成立，故欲求的最大值为 ． ………20 分 2 2 5 11. （ 本 题 满 分 20 分 ） 设 复 数 z1 , z2 满 足 Re( z1 ) 0, Re( z2 ) 0 ， 且
2017年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2 2 1 AM AN 3 AB AC 4 AB AC ， 8
由 3 S ABC
1 3 AB AC sin A AB AC 得 AB AC 4 2 4
2
所以 AB AC 2 ，所以 3 AB
AC 8 3 ，当且仅当 AB
x x1 3x 2 5 x3 x1 2 3
★解析：由柯西不等式
x3 的最小值和最大值。 5 x2 5 x3 3 x3 5 1
2
x x x1 3x 2 5 x3 x1 x1 3 x 2 x1 2 3 3 5
当 x1 1 ， x 2 0 ， x 3 0 时取等号，故所求的最小值为 1 ； 又 x1 3 x 2 5 x 3 x1
x 2 x3 1 5x x1 3 x 2 5 x 3 5 x1 2 x 3 3 5 5 3
2
512 b1 ② 55
★证明：记 f ( x ) x kx m ， x a, b ，则 f ( x ) 1,1 。于是
2
f (a ) a 2 ka m 1 ①； f (b) b 2 kb m 1 ② ab ab 2 ab )( ) k( ) m 1 ③ 2 2 2 ①+②- 2 ③知 f(
2017 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）
一、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 8 分，共 64 分。 2017A1、设 f ( x ) 是定义在 R 上函数，对任意的实数 x 有 f ( x 3) f ( x 4) 1 ，又当 0 x 7 时， f ( x ) log 2 (9 x ) ，则 f ( 100) 的值为 ◆答案：
2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)_PDF压缩
2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a中，2a =，3a =1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2x f x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|xxa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.。
(完整版)湖南省2017年普通高中学业水平考试数学试卷版含解析
湖南省普通高中学业水平考试试卷 数 学
1. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体为
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 圆台 D. 球 【答案】C 【解析】根据正视图，侧视图可知，该几何体不是圆柱圆锥，也不是球，从俯视图可以确定 该几何体是圆台，故选 C. 2. 已知元素 a ∈{0,1,2,3}，且 a {0,1,2}，则 a 的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】因为元素 a ∈{0,1,2,3}，且 a {0,1,2}，所以该元素是 3，故选 D. 3. 在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于 3 的概率为
hing at a time and All things in their being are good for somethin
结果是不是无限个，其次要分析每个结果是不是等可能的，符合以上两点才是几何概型问题， 确定是几何概型问题后，要分析时间的度量是用长度还是面积，体积等，然后代入几何概型 概率公式即可. 4. 某程序框图如图所示，若输入 x 的值为 1，则输出 y 的值是
计算.
试题解析：(1)因为 ，所以 a＝ ，于是向量 2a＋b＝
；
(2)因为 a∥b，所以
，又因为
，所以
，
所以
.
点睛：本题考查了向量平行的坐标运算，以及正弦和差公式及余弦函数的性质，属于中档题.
-7-
hing at a time and All things in their being are good for somethin
利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列
湖南省高中数学竞赛试题
2010年湖南省高中数学竞赛试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()18f =，则()()20102009f f -=（）.A ．6B ．7C ．8D ．92．对于非零向量,a b 有两个命题有两个命题. . 命题甲：a b ⊥；命题乙：函数()()()f x xa b xb a =+⋅-为一次函数为一次函数. . 则甲是乙的（）条件）条件. .A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要3．如图，若Ω是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台4．如图，在半径为1r =的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设n S 为前n 个圆的面积之和个圆的面积之和. . . 取正数取正数9933π4ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭. . 若若4πn S ξ-<，则n 的取值为（）.A ．大于100的所有自然数的所有自然数B ．大于100的有限个自然数的有限个自然数C ．不大于100的所有自然数的所有自然数D ．不大于100的有限个自然数的有限个自然数 5．设直线2x =与双曲线22:14xy Γ-=的渐近线交于点1E 、2E ，记11OE e =，22OE e =，任取双曲线Γ上的点P . . 若若()12OP ae be a b =+∈R 、，则（，则（ ））. A ．2201a b <+< B ．22102a b <+< C ．221a b +≥ D ．2212a b +≥6．一厂家有一批长40cm 40cm、宽、宽30cm 的矩形红布的矩形红布. . . 现该厂家要将每块矩形红布剪一次后现该厂家要将每块矩形红布剪一次后拼成一面三角形旗子拼成一面三角形旗子. . . 则红布可以拼成三角形旗子的种数是（则红布可以拼成三角形旗子的种数是（则红布可以拼成三角形旗子的种数是（ ））. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题7．设定义在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数6cos y x =的图象与5tan y x =的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为1P ，直线1PP 与函数sin y x =的图象交于点2P ，则线段12PP 的长为________.8．在等比数列{}n a 中，11a =，20104a =，函数()()()()122010f x x x a x a x a =--⋅⋅⋅-.则函数()y f x =在点()0,0处的切线方程为______.9．如果执行图所示的程序，输入正整数n 、()m n m ≥，那么，输出的p 等于______.10．已知y =f f((x x))为区间[0,10,1]]上的连续函数，且恒有0≤f f((x x))≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分∫f (x )10d x . . 先产生两组（每组先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数x 1,x 2,⋅⋅⋅,x N 和y 1,y 2,⋅⋅⋅,y N ，由此得到N 个点(x i ,y i )(i =1,2,⋅⋅⋅,N )；再数出其中满足y i ≤f f((x i )()(i i =1,2,⋅⋅⋅,N N))的点数N 1. . 那么，由随机模拟方法可得积分那么，由随机模拟方法可得积分∫f f((x x))d x 10的近似值为______.11．设n a 是()()32,3,nxn -=⋅⋅⋅的二项展开式中x 的系数的系数.. . 则则1823nn n a ==∑______. 12．若三个非零的实数()()()x y z y z x z y x ---，，成等比数列，则其公比是______.13．设函数()2π4sin sin cos 242x f x x x ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭．若()2f x m -<成立的充分条件是π2π63x ≤≤，则实数m 的取值范围是______．14．空间有五个点，任意四点不共面．空间有五个点，任意四点不共面. . . 若连了若干条线段而图中不存在四面体，则图中若连了若干条线段而图中不存在四面体，则图中三角形个数的最大值为______.三、解答题15．已知当[]1,e x ∈时，不等式()21ln 12a x x a x ≤-++恒成立恒成立. . . 试求实数试求实数a 的取值范围范围. .16．如图，1O 、2O 在O 内滚动且始终保持与O 内切，切点分别为P 、Q ，MN是1O 和2O 的外公切线的外公切线. . . 已知已知1O 、2O 、O 的半径分别为1r 、2r 、R . . 求证：求证：22MNPQ为定值为定值. .17．设椭圆22122:1x y C a b +=，22222:1x yC m n +=，过原点O 引射线分别与椭圆1C 、2C 交于点A 、B ，P 为线段AB 上一点上一点. .（1）求证：OA 、OP 、OB 成等比数列的充要条件点P 的轨迹方程为222232222:1xy x y C a b m n ⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（2）试利用合情推理，将（1）的结论类比到双曲线得出相应的正确结论（不要求证明）. 18．设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是整数1，2，…，n 的一个排列，且满足的一个排列，且满足 （1）11a =；（2）()121,2,,1i i a a i n +-≤=⋅⋅⋅-.记上述排列的个数为()f n . . 试求试求()2010f 被3除的余数除的余数. .参考答案1．C 【解析】 【详解】由()f x 是R 上周期为5的奇函数，则()()()()()()2010200901018f f f f f f -=--=+=. 故答案为:C 2．B 【解析】【解析】 【详解】注意到222()()f x a bx b a x a b =⋅+--⋅，a b ⊥⇔0a b ⋅=. 而0a b ⋅=时，()f x 可能是常数函数，不一定为一次函数可能是常数函数，不一定为一次函数. .而f(x)f(x)是一次函数，必有是一次函数，必有0a b ⋅=. 所以甲是乙的必要不充分条件所以甲是乙的必要不充分条件. . 故答案为B 3．D 【解析】若FG 不平行于EH ，则FG 与EH 相交，交点必然在B 1C 1上，与EH ∥B 1C 1矛盾，所以FG ∥EH ；由EH ⊥平面A 1ABB 1，得到EH ⊥EF ，可以得到四边形EFGH 为矩形，将Ω从正面看过去，就知道是一个五棱柱，C 正确；D 没能正确理解棱台的定义与题中的图形．没能正确理解棱台的定义与题中的图形． 4．A 【解析】 【详解】记第n 个圆的半径为n r . 易知，132n n r r -=，圆面积134n n a a -=，211ππa r ==.则213134π4π13414nn n S r ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=⋅=-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 由99334π4π3π44nn S ⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1003310044nn ⎛⎫⎛⎫⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为:A 5．D 【解析】【解析】 【详解】【详解】易求得()12,1E ，()22,1E -.则()1222,OP ae be a b a b =+=+-.由点P 在双曲线上得()()222214a b a b +--=，化简得41ab =.故22122a b ab +≥=.故答案为D 6．D 【解析】 【详解】【详解】如图所示，共有四种不同的拼法如图所示，共有四种不同的拼法. .故答案为：D 7．23. 【分析】【分析】画出函数6cos y x =，5tan y x =，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图象，如图所示上的图象，如图所示. .观察图象可知，线段12PP 的长即为满足6cos 5tan x x =时对应的sin x 的值，再求出sin x 的值即得解值即得解. . 【详解】画出函数6cos y x =，5tan y x =，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图象，如图所示上的图象，如图所示. .观察图象可知，线段12PP 的长即为满足6cos 5tan x x =时对应的sin x 的值，的值，所以sin 6cos 5tan =5cos xx x x=⋅，所以26cos 5sin x x = 因为22sin cos 1x x +=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0sin 1x ∴<<，则26sin 5sin 60x x +-=，所以2sin 3x =，故线段12PP的长为23. 故答案为：23.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．20102y x =【解析】 【详解】【详解】令()()()()122010g x x a x a x a =--⋅⋅⋅-.则()()f x xg x =.因为()()()f x g x xg x ='+'， 所以，()()()20102010212201012010002f g a a a a a ==⋅⋅⋅=='.故在点()0,0处的切线方程为20102y x =.故答案为：20102y x =9．m nA 【解析】 【详解】 由图可知由图可知()()12mn P n m n m n A =-+-+⋅⋅⋅=.故答案为：mn A10．N 1N【解析】因为0≤f(x)≤1且由积分的定义知：∫f(x)10dx 是由直线x ＝0，x ＝1及曲线y ＝f(x)与x 轴所围成的面积，又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形面积为1，且满足y i ≤f(x i )的有N 1个点，即在函数f(x)的图象上及图象下方有N 1个点，所以用几何概型的概率公式得：f(x)在x ＝0到x ＝1上与x轴围成的面积为N 1N ×1＝N 1N ，即∫f(x)10dx ＝N 1N .考点：定积分的定义、几何概型. 11．17 【解析】 【详解】因为223Cn nn a -=，所以，()()23218311nn a n n n n =⨯=--. 从而，()1818223118171nn n n a n ====-∑∑.故答案为：1712．152±【解析】【解析】 【详解】注意到()()()x y z y z x z y x -+-=-,所以，所以，()()()()()()()()1y z x z y x y z x z y x xy z x y z x y z y z x ----+==⋅---- 即21q q += (q 为公比）为公比）. .解得152q ±=. 13．()1,4【解析】 【详解】【详解】()()2π1cos 24sin cos22sin 1sin 12sin 12sin 2x f x x x x x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⋅+=++-=+． 当π2π63x ≤≤时，()2f x m -<恒成立，即()()22f x m f x -<<+恒成立．恒成立．故有()()()()maxmin22f x m f x -<<+．易知()max 3f x=，()min 2f x =．故14m <<．14．4 【解析】【解析】【详解】首先构造下左图首先构造下左图..已知其符合条件且恰有四个三角形已知其符合条件且恰有四个三角形. . 下面假设存在某种情况使三角形的个数不少于五个下面假设存在某种情况使三角形的个数不少于五个. .若仅有两条线段未连，则这两条线段必无公共端点（如下左图），否则存在四面体，否则存在四面体. . . 但仅有但仅有四个三角形，矛盾四个三角形，矛盾. .若至少有三条线段未连，当有某条线段作为三个三角形的边时，如上右图，仅有三个三角形；当每条线段至多作为两个三角形的边时，则至多有()25C 3243⎡⎤-⨯⎢⎥=⎢⎥⎣⎦个三角形个三角形.. 故答案为：故答案为：4 4 15．(())()2e 2ee 2e 1a g -≥=-【解析】【解析】 【详解】不等式可化为()2ln 2xa x x x -≥-.因为[]1,e x ∈，所以，ln 0x x ->.于是，不等式化为22ln xx a x x-≥-.设()[]()221,eln x x g x x x x -=∈-. . 注意到注意到()()()211ln 20ln xx x g x x x⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=>-'， 其中，()1,e x ∈，且()g x 在1x =和e x =处连续，所以，()g x 在[]1,e x ∈上为增函数上为增函数. .故()()2e 2e e 2e 1a g -≥=-.16．见解析．见解析 【解析】【解析】【详解】设12O OO θ∠=，易知，1O 、2O 分别在线段OP 、OQ 上，且1O M MN ⊥，2O N MN ⊥. 则()2221212MN O O r r =--. ① 在12O OO 中，由余弦定理得中，由余弦定理得 ()()()()2221212122cos O O R r R r R r R r θ=-+----()()()()2121221cos r r R r R r θ=-+---. 将上式代入式①得将上式代入式①得()()()21221cos MN R r R r θ=---.又()2221cos PQ R θ=-， 故()()21222R r R r MN PQ R--=为定值为定值. . 17．（1）见解析；（2）见解析）见解析【解析】【详解】【详解】（1）设射线OA 的参数方程为()02π,0x tcos t y tsin θθθ=⎧≤≤>⎨=⎩. 设()11cos ,sin A t t θθ，()22cos ,sin B t t θθ，()33cos ,sin P t t θθ. 将点A 的坐标代入1C 的方程，整理得2222211cos sin t a b θθ=+. 再将3sin y t θ=，3cos x t θ=，代入上式化简得2222221311x y t t a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 同理，2222222311x y t t m n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故OA 、OP 、OB 成等比数列成等比数列2123224123111t t t t t t ⇔=⇔⋅= 222222221x y x y a b m n⎛⎫⎛⎫⇔++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）设双曲线1C 、2C 的方程分别为()222210,0x y a b a b -=>>和()222210,0x ym n m n -=>>. 过原点O 引射线分别与曲线1C 、2C 交于点A 、B ，P 为线段AB 上一点，则OA 、OP 、OB 成等比数列的充要条件是点P 的轨迹方程为222232222:1x y x y C a b m n ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.18．见解析．见解析【解析】【解析】【详解】可验证()11f =，()21f =，()32f =. 设4n ≥. . 则则22a =或3.对于22a =，排列数是()1f n -. . 这是因为通过删除第一项，这是因为通过删除第一项，这是因为通过删除第一项，且以后所有项都减且以后所有项都减1，可以建立一一对应的数列立一一对应的数列. .对于23a =，若有32a =，则44a =，这样排列数为()3f n -；若32a ≠，则2一定排在4的后面，由此得出所有奇数顺序排列的后面是所有偶数的倒序排列的后面，由此得出所有奇数顺序排列的后面是所有偶数的倒序排列. . 因此，()()()131f n f n f n =-+-+. 设()r n 是()f n 除以3的余数的余数. . 则(())(())121r r ==，(())32r =. 当4n ≥时，()()()()131mod3r n r n r n ⎡⎤≡-+-+⎣⎦. 由此得(){}r n 构成周期为8的数列：的数列：11，1，2，1，0，0，2，0，….，…. 因(())20102mod8≡，所以，(())20101r =，即(())2010f 被3除的余数为1.。
2017年全国高中数学联赛二试试题及答案解析.pdf
2010年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。
一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．证明：用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ．因为2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ） ()()2222PO rKOr =−+−，同理 ()()22222QK QO rKOr =−+−，所以 2222PO PK QO QK −=−，故 OK ⊥PQ ． （10分）由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是AQ APQN PM=． ① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得1NB DE AQBD EA QN⋅⋅=， ② 1MC DE APCD EA PM⋅⋅=． ③ 由①，②，③可得NB MCBD CD=， （30分） 所以ND MDBD DC=，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆. （40分）注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得PK KF AK KE ⋅=⋅， ④则P ，E ，F ，A 四点共圆，故PFE PAE BCE ∠=∠=∠，从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ⋅=⋅， ⑤⑤-④，得 2PK PE PC AK KE =⋅−⋅=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）． 注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．二、（本题满分40分）设k 是给定的正整数，12r k =+．记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r = (1)(()),2l f f r l −≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥．证明：记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数．下面我们对2()v k v =用数学归纳法．当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时()111()1222f r k k k k ⎛⎞⎡⎤⎛⎞=++=++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎝⎠为整数． （10分)假设命题对1(1)v v −≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+"，FE Q PO NM KDC B A这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++"． （20分)于是 ()111()1222f r k k k k ⎛⎞⎡⎤⎛⎞=++=++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎝⎠2122kk k =+++ 11211212(1)2()222v v v vv v v ααα−++++=+++⋅++⋅+++""12k ′=+， ①这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα−++++′=++⋅++⋅+++""．显然k ′中所含的2的幂次为1v −．故由归纳假设知，12r k ′′=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v f r +是一个整数，这就完成了归纳证明． （40分） 三、（本题满分50分）给定整数2n >，设正实数12,,,n a a a "满足1,1,2,,k a k n ≤="，记12,1,2,,kk a a a A k n k+++==""．求证：1112nnk k k k n a A ==−−<∑∑． 证明：由01k a <≤知，对11k n ≤≤−，有110,0kni ii i k a k an k ==+<≤<≤−∑∑． （10分）注意到当,0x y >时，有{}max ,x y x y −<，于是对11k n ≤≤−，有11111kn n k i i i i k A A a a n k n ==+⎛⎞−=−+⎜⎟⎝⎠∑∑11111n ki i i k i a a n k n =+=⎛⎞=−−⎜⎟⎝⎠∑∑ 11111max ,n k i i i k i a a n k n =+=⎧⎫⎛⎞<−⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎩⎭∑∑111max (),n k k nk n ⎧⎫⎛⎞≤−−⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎩⎭1k n=−， （30分） 故111nnnk kn k k k k a AnA A ===−=−∑∑∑()1111n n nk n k k k AA A A −−===−≤−∑∑111n k k n −=⎛⎞<−⎜⎟⎝⎠∑12n −=． （50分） 四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A "的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？解：对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a ，如果颜色不同，则标上b ，如果数字和颜色都相同，则标上c ．于是对于给定的点1A 上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点23,,,n A A A "上的设置．为了使得最终回到1A 时的设置与初始时相同，标有a 和b 的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a ，b ，c ，使得标有a 和b 的边都是偶数条的方法数的4倍． （20分）设标有a 的边有2i 条，02n i ⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦，标有b 的边有2j 条，202n i j −⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦．选取2i 条边标记a 的有2in C 种方法，在余下的边中取出2j 条边标记b 的有22jn i C −种方法，其余的边标记c ．由乘法原理，此时共有2in C 22jn i C −种标记方法．对i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为222222004n n i i j n n i i j C C −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦−==⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑． ①这里我们约定001C =． （30分）当n 为奇数时，20n i −>，此时22221202n i j n i n i j C −⎡⎤⎢⎥⎣⎦−−−==∑． ② 代入①式中，得()()2222222221222000044222n n i n n i j i n i i n i n n i n n i j i i C C C C −⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦−−−−====⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑∑∑ 0022(1)(21)(21)nnkn kk n kk n n nn k k C C −−===+−=++−∑∑ 31n =+． （40分）当n 为偶数时，若2n i <，则②式仍然成立；若2ni =，则正n 边形的所有边都标记a ，此时只有一种标记方法．于是，当n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为222222004n n i i j n n i i j C C −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦−==⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑()122210412n i n i n i C ⎡⎤−⎢⎣⎦−−=⎛⎞⎜⎟×+⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑ ()222124233n i n i n n i C ⎡⎤⎢⎣⎦−−==+=+∑．综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n+种；当n 为偶数时有33n+种． （50分）。
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3 48
B.
3 24
C.
3 16
D.
3 12
解：取 B1C1 的中点 K，BC 的中点 L，在矩形 A1KLA 中(如图)，
3 3 2 ，故 A1P＝ A1K＝ 。 ∵AB＝BC＝CA＝1，∴AL＝A1K＝ 2 3 3
又 AA1＝2，由△ALD∽△AA1P 知 AD A1P AL 1 ， AA1 4
f 2 ( 4) f (8) ＝＿＿＿＿＿＿。 f (7 ) f (1) 2 f ( 2) 2 f 2 (1) f ( 2 ) 2 f ( 4) 2 f 2 ( 2) 2 f ( 2) 2 f (1) 6 ， 2 f (1) 6 ， f (1) f (1) f (3) f (1) f ( 2) f (1)
A1
P
K
D
1 1 1 3 1 3 ，选 A 因此，VD－ABC＝ ×S△ABC×AD＝ ( 1 1 ) 3 3 2 2 4 48
3、已知椭圆 C：
A
L
x2 y 2 1 ，对于任意实数 k，椭圆 C 被下列直线中所截得弦长，与被直线 l： 8 4 y＝kx＋1 所截得的弦长不可能相等的是 A.kx＋y＋k＝0 B. kx－y－1＝0 C. kx＋y－k＝0 D. kx＋y－2＝0 x2 y 2 1 是关于原点 O 对称的中心对称图形，也是关于 x 轴、y 轴对称的轴对 8 4 称图形，∴只要两条直线关于原点成中心对称或者关于 x 轴、y 轴成轴对称，那么它们被椭圆所 截的弦一定是等长的。选 D n 4、对任意正整数 n 与 k(k≤n)，用 f(n，k)表示不超过[ ] 且与 n 互质的正整数的个数(其中[x]表示 k
2
8、已知 A，B，C 为⊙O 上三点，且 AO 1 ( AB AC ) ，则数量积 AB AC ＝＿＿＿＿＿＿。 2 1 解：∵ AO ( AB AC ) ，∴圆心 O 为 BC 边的中点，因而∠BAC＝90，故 AB AC ＝0。 2 9、已知 z∈C，若关于 x 的方程 4x2－8zx＋4i＋3＝0(i 为虚数单位)有实数根，则复数 z 的模|z|的最 小值6248
C.196249
D.196250
解：依题意，an＋1－an＝n＋3(n∈N*)。 ∴a624＝(a624－a623)＋(a623－a622)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1 ＝626＋625＋…＋5＋4＋(3＋2) ＝
( 2 626) 625 2
＝196250，选 D 二、填空题(本大题共 6 个小题，每小题 8 分，满分 48 分，解题时只需将正确答案直接填在题中 横线上。) f (1) 2 f ( 2) ＋ f ( 2) 2 f ( 4) ＋ f 2 (3) f (6) 7、 已知函数 f(x)满足 f(m＋n)＝f(m)f(n)， f(1)＝3， 则 f (1) f (3) f (5) ＋
解：∵
f 2 (3) f (6) 2 f 2 (3) 2 f (3) f 2 ( 4) f (8) 2 f 2 ( 4) 2 f ( 4) 2 f (1) 6 ， 2 f (1) 6 ， f (5) f ( 2) f (3) f ( 2) f (7) f (3) f ( 4) f (3) ∴原式＝24。
2017 年湖南省高中数学联合竞赛试题参考答案
考生注意：1、本试卷共三大题(16 个小题)，全卷满分 150 分。2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。 3、解题书写不要超出装订线。4、不能使用计算器。 一、选择题(本大题共 6 个小题，每小题 5 分，满分 30 分。每小题所给提供的四个选项中只有一 项是符合题目要求的。) 1、设集合 X＝{1，2，…，2017}，集合 S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件 x＜y＜z，y＜z＜x， z＜x＜y 恰有一个成立}，若(x，y，z)∈S，且(z，w，x)∈S，则下列选项正确的是 A.(y，z，w)∈S 且(x，y，w)S B.(y，z，w)∈S 且(x，y，w)∈S C.(y，z，w)S 且(x，y，w)∈S D.(y，z，w)S 且(x，y，w)S 解：依题意，集合 S 中的数组(x，y，z)是按某种大小关系排好序的，不妨设为 x＜y＜z。 于是由(x，y，z)∈S 知 x＜y＜z，再由(z，w，x)∈S 知 w＜x＜z 或 x＜z＜w， 因此，x、y、z、w 的大小关系为 w＜x＜y＜z 或 x＜y＜z＜w。选 B 2、 已知点 P 为正三棱柱 ABC－A1B1C1 上底面△A1B1C1 的中心， 作平面 BCD ⊥AP，与棱 AA1 交于 D，若 AA1＝2AB＝2，则三棱锥 D－ABC 的体积为 A.
解：∵椭圆 C：
1
不超过 x 的最大整数)，则 f(100，3)＝ A.11 B.13 C.14 D.19 解：依题意，f(100，3)表示不超过 33 且与 100 互质的正整数的个数，这样的正整数只有 3，7，9， 11，13，17，19，21，23，27，29，31，33 共 13 个。选 B 5、如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值，则 A.△A1B1C1 是锐角三角形，△A2B2C2 也是锐角三角形 B.△A1B1C1 是钝角三角形，△A2B2C2 也是钝角三角形 C.△A1B1C1 是锐角三角形，△A2B2C2 则是钝角三角形 D.△A1B1C1 是钝角三角形，△A2B2C2 则是锐角三角形 解：依题意，cosA1＝sinA2＞0，cosB1＝sinB2＞0，cosC1＝sinC2＞0， 于是 A1，B1，C1 均为锐角，所以△A1B1C1 是锐角三角形。 若△A2B2C2 是直角三角形，不妨设 A2＝90，则 cosA1＝1，不可能； 若△A2B2C2 是锐角三角形，则由 cosA1＝sinA2，cosB1＝sinB2，cosC1＝sinC2， 得 A1＋A2＝90，B1＋B2＝90，C1＋C2＝90，从而有 360＝270，也不可能； 故△A2B2C2 是钝角三角形。选 C 6、将石子摆成如图所示的梯形形状，称具有“梯形”结构的石子数依次构成的数列{an}：5，9， 14，20，…，为“梯形数列” 。根据“梯形”的构成，可知 a624＝