2013第四章 工业机器人数学基础资料

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数学基础
引入齐次变换后，连续的变换可以 变成矩阵的连乘形式，计算简化。 例4.3 U=7i+3j+2k，绕Z轴转90 度后，再绕Y轴转90度。
0 1 1 0 R( z ,90) 0 0 0 0 0 0 R( y,90) 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 7 3 3 7 0 0 2 2 1 1 1 0 3 2 7 7 0 0 2 3 1 1 1
数学基础 位置和姿态的表示
1.位置描述（位置矢量） 在直角坐标系{A}中，空间任意一点 P 的位 置可用 3x1 列向量(位置矢量)表示：
A
P [ px
py
p z ]T
2.方位描述（旋转矩阵） 为了规定空间某刚体 B 的方位，固接{B}坐标系 于该物体， {B} 的三个单位矢量[n、o、a]， {A}的三个单位矢量 [i、j、k] 。
数学基础
旋转矩阵的几何意义:
A 1) B R 可以表示固定于刚体上的坐标系{B}对参考坐标系的姿态矩阵。
A 2) B R 可作为坐标变换矩阵。它使得坐标系{B}中的点的坐标 B P 变换成 {A}中点的坐标 A P 。
A 3) B R 可作为算子，将{B}中的矢量或物体变换到{A}中。
数学基础
3.位姿描述 刚体位姿(即位置和姿态)，用刚 体的方位矩阵和参考坐标的原点位置 矢量表示，即
nx n o o x ax a
R n o a
ny oy ay
nz i i RT j oz j az k k
j k Rn
T
数学基础
i
A A A B A BR P BT P， BT 0 A
PB0 1
数学基础 2.平移齐次坐标变换
1 0 Trans( a, b, c) 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
a b c 1
用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。
例4.2 求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新的点矢量。
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 4 2 6 3 0 3 9 7 2 1 1 1
数学基础 3.旋转齐次坐标变换
0 1 0 c 0 s c s 0 R( y, ) 0 1 0 R( z, ) s c 0 R ( x, ) 0 c s 0 1 0 s c s 0 c 0
数学基础 齐次坐标变换 1.齐次变换 上式可以写为:
A A P B R 1 0 A B P P B0 1 1
P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:
A
P x
A

A
y
A
z 1 ， P x
B B

T

Bபைடு நூலகம்
y
B
z 1

T
而齐次变换公式和变换矩阵变为:
0.866 0.5 0 12 6 A 0 A 0.866 0 , P B R R ( z ,30 ) 0.5 B0 0 1 0 0
0.902 12 11.908 6 13.562 A A B PB R P APB0 7 . 562 0 0 0
A A P B RB P
B A
A 1 A T R B R B R
数学基础
3.复合变换
一般情况原点既不重合，方位 也不同。这时有：
A
A B PB R PAPB0
数学基础 例4.1 已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于{A}的ZA 轴转30°，再沿{A}的XA轴移动12单位,并沿{A}的YA轴移动6单位。 求位置矢量APB0和旋转矩阵 A B R ；设点 P 在{B}坐标系中的位置为 BP=[3,7,0]，求它在坐标系{A}中的位置。
o
a
T
R矩阵称为旋转矩阵，它是正交的。即
A B T R 1 A R B A B
R 1
若坐标系{B}可由坐标系{A}，通过绕{A} 的某一坐标轴获得,则绕x,y,z三轴 的旋转矩阵分别为
0 1 0 c 0 s c s 0 R ( y, ) 0 1 0 R ( z, ) s c 0 R ( x, ) 0 c s 0 1 0 s c s 0 c 0
将上式增广为齐次式：
1 0 R ( x, ) 0 0
0 0 c s s c 0 0
0 c 0 0 R( y, ) s 0 1 0
0 1 0 0
s 0 c 0
0 c s s c 0 R( z, ) 0 0 0 1 0 0
A B B R
A
P B0

数学基础
坐标变换
1.平移坐标变换 坐标系{A}和{B}具有相同的方 位，但原点不重合。则点P在两 个坐标系中的位置矢量满足下 式：
A
PBPAP B0
数学基础 2.旋转变换
坐标系{A}和{B}有相同的原点 但方位不同，则点 P 在两个坐标系 中的位置矢量有如下关系：