2013第四章 工业机器人数学基础资料
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工业机器人课件-知识点2.2 机器人坐标系及数学基础
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.3 机器人坐标系中的各种变换 2、机器人本体的关节运动和连杆变换矩阵
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.3 机器人坐标系中的各种变换 3、机器人工具变换与工具变换数据
基本变换：从机器人世界坐标系变换至机器人基座坐标系的运
动过程，称之为基本变换。
基本变换数据：沿着机器人世界坐标系X、Y、Z轴平移的距离分
别用X、Y、Z表示，绕机器人世界坐标系X、Y、Z轴旋转的角度分别用 A、B、C表示。以上6个数据构成一个一维数组（X，Y，Z，A，B，C）， 该数组被称为基本变换数据。
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.4 机器人正运动学与逆运动学
2、逆运动学计算
把根据机器人工具坐标系在 世界坐标系中的直交位置数据计 算出各个关节角度值（J1，J2， J3，J4，J5，J6）的过程称之为
逆运动学计算
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.1 坐标系的运动和变换矩阵 2、坐标系的旋转运动和矩阵表示
例如，将坐标系{F}绕坐标系{U}的X轴正方向旋转30°
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.1 坐标系的运动和变换矩阵 3、复合运动和矩阵表示
例如，将坐标系{F}绕坐标系{U}的X轴正方向旋转30°
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.4 机器人正运动学与逆运动学 （2）构造标志数据FL1 (X，Y，Z，A，B，C，L1，L2)(FL1，FL2）
机器人机构学的数学基础引用
机器人机构学的数学基础引用机器人机构学是机器人学中的一个重要领域，它研究机器人的结构、运动及其控制等问题。
机器人机构学的研究需要运用到一定的数学知识。
本文将就机器人机构学的数学基础进行引用和总结。
一、向量和矩阵机器人机构学中常用向量和矩阵来表示机器人的位置、姿态、运动等信息。
向量是一个具有大小和方向的量，可以用来表示位置、速度、加速度等物理量。
矩阵则是由多个向量组合而成，可以用来表示变换、旋转、平移等变换。
在机器人机构学中，常用齐次坐标系来表示机器人的位置和姿态。
二、三角函数三角函数是机器人机构学中常用的数学工具。
在机器人运动学中，三角函数可以用来描述机器人的角度、朝向、运动路径等信息。
常用的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等。
例如，正弦函数可以表示机器人关节的位置，余弦函数可以表示机器人末端执行器的位置。
三、相似变换和仿射变换相似变换是机器人机构学中常用的一种变换方式，它保持物体的形状不变但可以改变物体的大小和位置。
相似变换需要用到欧氏变换、即平移和旋转。
在机器人机构学中，常用相似变换来描述机器人的运动学结构。
仿射变换也是机器人机构学中常用的一种变换方式，它可以改变物体的形状和大小，而且可以进行平移、旋转和剪切等操作。
在机器人机构学中，仿射变换常用于描述机器人末端执行器的位置和姿态。
四、李群和李代数李群和李代数是机器人机构学的重要数学工具。
李群是一种数学对象，它描述了物体的对称性和运动规律。
李代数则是对李群进行线性化的结果，它可以求出物体在某一点的切空间。
在机器人机构学中，李群和李代数可以用来描述机器人的变换及其群结构。
总结：机器人机构学的数学基础涉及到向量和矩阵、三角函数、相似变换和仿射变换以及李群和李代数等领域。
这些数学概念和工具可以帮助机器人机构学家更加准确地描述机器人的位置、姿态、运动及其控制方式，从而为机器人的应用研究提供有力的数学支撑。
工业机器人课件-知识点2.2 机器人坐标系及数学基础
2.2.2 坐标系的齐次坐标变换 3、坐标系旋转运动的齐次坐标变换
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.2 坐标系的齐次坐标变换 3、坐标系旋转运动的齐次坐标变换
当绕固定参考坐标系作纯旋转时为绝对旋转，新坐标系的位置与姿态通过左 乘变换矩阵
当绕运动参考坐标系作纯旋转时为相对旋转，新坐标系的位置与姿态通过右 乘变换矩阵
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.3 机器人坐标系中的各种变换 1、机器人基本变换与基本变换数据
1、基座坐标系与世界坐标系重合； 2、将基座坐标系绕着世界坐标系的X轴旋 转A的角度，单位为°。 3、将基座坐标系绕着世界坐标系的Y轴旋 转B的角度，单位为°。 4、将基座坐标系绕着世界坐标系的Z轴旋 转C的角度，单位为°。 5、将基座坐标系沿着世界坐标系的X、Y、 Z轴分别平移X、Y、Z的距离，单位为mm。
基本变换：从机器人世界坐标系变换至机器人基座坐标系的运
动过程，称之为基本变换。
基本变换数据：沿着机器人世界坐标系X、Y、Z轴平移的距离分
别用X、Y、Z表示，绕机器人世界坐标系X、Y、Z轴旋转的角度分别用 A、B、C表示。以上6个数据构成一个一维数组（X，Y，Z，A，B，C）， 该数组被称为基本变换数据。
2.2.4 机器人正运动学与逆运动学 2、逆运动学计算
为了确定关节角度的唯一解，需要约定关节之间的构造标 志和每个关节的旋转圈数。
关节变量解 1
工具的目标位置 与姿态
关节变量解 2
关节变量解 1
关节变量解 2
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.2 坐标系的齐次坐标变换 3、坐标系旋转运动的齐次坐标变换
当绕固定参考坐标系作纯旋转时为绝对旋转，新坐标系的位置与姿态通过左 乘变换矩阵
当绕运动参考坐标系作纯旋转时为相对旋转，新坐标系的位置与姿态通过右 乘变换矩阵
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
2.2.3 机器人坐标系中的各种变换 1、机器人基本变换与基本变换数据
1、基座坐标系与世界坐标系重合； 2、将基座坐标系绕着世界坐标系的X轴旋 转A的角度，单位为°。 3、将基座坐标系绕着世界坐标系的Y轴旋 转B的角度，单位为°。 4、将基座坐标系绕着世界坐标系的Z轴旋 转C的角度，单位为°。 5、将基座坐标系沿着世界坐标系的X、Y、 Z轴分别平移X、Y、Z的距离，单位为mm。
基本变换：从机器人世界坐标系变换至机器人基座坐标系的运
动过程，称之为基本变换。
基本变换数据：沿着机器人世界坐标系X、Y、Z轴平移的距离分
别用X、Y、Z表示，绕机器人世界坐标系X、Y、Z轴旋转的角度分别用 A、B、C表示。以上6个数据构成一个一维数组（X，Y，Z，A，B，C）， 该数组被称为基本变换数据。
2.2.4 机器人正运动学与逆运动学 2、逆运动学计算
为了确定关节角度的唯一解，需要约定关节之间的构造标 志和每个关节的旋转圈数。
关节变量解 1
工具的目标位置 与姿态
关节变量解 2
关节变量解 1
关节变量解 2
项目2 工业机器人虚拟工作站的仿真操作
2.2 机器人坐标系的运动变换与数学运算
(完整版)工业机器人技术基础
其缺点是：功能编辑比较困难；难以使用传感器； 只能进行简单的轨迹编辑；示教时需要占用机器人，效 率低；编程的质量取决于编程者的熟练程度与经验。
21
• (2)离线编程
离线编程可以脱离机器人，直接在计算机上使用 离线编程软件，编辑所需的轨迹程序。其优点是：效 率高，编程时可不用机器人，机器人可进行其他工作 ；可预先优化操作方案和运行周期时间；可用传感器 探测外部信息，从而使机器人做出相应的响应；控制 功能中可以包括现有的CAD和CAM的信息，可以使用仿 真软件预先模拟运行程序，从而不会出现危险；可以 利用CAD软件编辑复杂的轨迹程序。
但离线编程中所需要的能补偿机器人系统误差的 功能、坐标系数据仍难以得到；仿真软件并不能完全 仿真真实的工作环境，还需要到现场进行调试。
22
3.1 示教编程
3.1.1 示教编程基础知识
（1） 机器人的运动方式
机器人的运动方式分为PTP方式和CP方式。 ➢ PTP方式为点到点方式（即机器人以全速从起始点运动
• 根据机器人不同的工作要求，主要有下面两种编程方法 ：
• (1)示教编程 示教编程是机器人最基本和最简单的编程方法，目
前，相当数量的机器人仍采用示教方式编程，机器人示 教后可以立即应用。顾名思义，就是我们通常所说的手 把手示教，由人直接通过示教盒控制机器人的手臂按照 我们所要求的轨迹运动， 其优点是：简单方便；不需要 环境模型；对实际的机器人进行示教时，可以修正机械 结构带来的误差。
再现操作盒 控制柜
示教编程器
16
（3） 焊接系统
焊接系统是焊接机器人 完成作业的核心装备，主要 由焊枪、焊接控制器及水、 电、气等辅助部分组成。焊 接控制器是由微处理器及部 分外围接口芯片组成的控制 系统，它可根据预定的焊接 监控程序，完成焊接参数输 入、焊接程序控制及焊接系 统故障自诊断，并实现与本 地计算机及手控盒的通讯联 系。
21
• (2)离线编程
离线编程可以脱离机器人，直接在计算机上使用 离线编程软件，编辑所需的轨迹程序。其优点是：效 率高，编程时可不用机器人，机器人可进行其他工作 ；可预先优化操作方案和运行周期时间；可用传感器 探测外部信息，从而使机器人做出相应的响应；控制 功能中可以包括现有的CAD和CAM的信息，可以使用仿 真软件预先模拟运行程序，从而不会出现危险；可以 利用CAD软件编辑复杂的轨迹程序。
但离线编程中所需要的能补偿机器人系统误差的 功能、坐标系数据仍难以得到；仿真软件并不能完全 仿真真实的工作环境，还需要到现场进行调试。
22
3.1 示教编程
3.1.1 示教编程基础知识
（1） 机器人的运动方式
机器人的运动方式分为PTP方式和CP方式。 ➢ PTP方式为点到点方式（即机器人以全速从起始点运动
• 根据机器人不同的工作要求，主要有下面两种编程方法 ：
• (1)示教编程 示教编程是机器人最基本和最简单的编程方法，目
前，相当数量的机器人仍采用示教方式编程，机器人示 教后可以立即应用。顾名思义，就是我们通常所说的手 把手示教，由人直接通过示教盒控制机器人的手臂按照 我们所要求的轨迹运动， 其优点是：简单方便；不需要 环境模型；对实际的机器人进行示教时，可以修正机械 结构带来的误差。
再现操作盒 控制柜
示教编程器
16
（3） 焊接系统
焊接系统是焊接机器人 完成作业的核心装备，主要 由焊枪、焊接控制器及水、 电、气等辅助部分组成。焊 接控制器是由微处理器及部 分外围接口芯片组成的控制 系统，它可根据预定的焊接 监控程序，完成焊接参数输 入、焊接程序控制及焊接系 统故障自诊断，并实现与本 地计算机及手控盒的通讯联 系。
工业机器人技术基础(最全)最新精选PPT课件
第一关节 动力学方程
第二关节 动力学方
程
4 机器人工动业力机学 器人基础知识
动力学——动力学的部署 将经（正向，逆向？）动力学计算出的力矩， 以前馈的方式，加入到伺服的电流控制环路
4 机器人工动业力机学 器人基础知识
动力学 ——动力学控制器的评价指标 控制性能的好坏主要通过位置跟踪偏差，速度跟踪偏差以及
z
0
z
0
z
0
o
1
? ?
对刚体Q位姿的描述就是对固连于刚体Q`的坐标系O`X`Y`Z`位姿
的描述。
3 机器人运动 学
运动学：机器人运动学的研究对象是机器人各关节位置和机器人 末端位姿之间的关系
机器人运动学包含两个基本问题：
1末.已端知的机位器姿人；各关节的位置，求机器人 2各.已关知节机的器位人置末. 端的位姿，求机器人
关节坐标系下的坐标值均为机器人关节的绝对位 置，方便用户调试点位时观察机器人的绝对位置，避 免机器人出现极限位置或奇异位置
关节坐标系
1 机器人工坐业标机器人基础知识
系
直角坐标系:
直角坐标系，包括很多种，但我们常常狭隘 的将基座坐标系称为直角坐标系。
机器 人末 端
直角坐标系的Z轴即第一轴的Z轴，X轴
时间。
25mm
300m m
25mm
5 机器人工性业能机指器人基础知识
标
机器人性能指标 测量工具：Compugauge机器人性能测试系统，价格约80万人民币
（Dynalog ，美国公司，一直从事机器人性能研究）
位姿准确度和位姿重复性； 多方位位姿准确度变动； 距离准确度和距离重复性； 位置稳定时间和位置超调量； 互换性； 轨迹准确度和轨迹重复性； 拐角偏差； 轨迹速度特性； 最小定位时间； 静态柔顺性； 摆动偏差；
第二关节 动力学方
程
4 机器人工动业力机学 器人基础知识
动力学——动力学的部署 将经（正向，逆向？）动力学计算出的力矩， 以前馈的方式，加入到伺服的电流控制环路
4 机器人工动业力机学 器人基础知识
动力学 ——动力学控制器的评价指标 控制性能的好坏主要通过位置跟踪偏差，速度跟踪偏差以及
z
0
z
0
z
0
o
1
? ?
对刚体Q位姿的描述就是对固连于刚体Q`的坐标系O`X`Y`Z`位姿
的描述。
3 机器人运动 学
运动学：机器人运动学的研究对象是机器人各关节位置和机器人 末端位姿之间的关系
机器人运动学包含两个基本问题：
1末.已端知的机位器姿人；各关节的位置，求机器人 2各.已关知节机的器位人置末. 端的位姿，求机器人
关节坐标系下的坐标值均为机器人关节的绝对位 置，方便用户调试点位时观察机器人的绝对位置，避 免机器人出现极限位置或奇异位置
关节坐标系
1 机器人工坐业标机器人基础知识
系
直角坐标系:
直角坐标系，包括很多种，但我们常常狭隘 的将基座坐标系称为直角坐标系。
机器 人末 端
直角坐标系的Z轴即第一轴的Z轴，X轴
时间。
25mm
300m m
25mm
5 机器人工性业能机指器人基础知识
标
机器人性能指标 测量工具：Compugauge机器人性能测试系统，价格约80万人民币
（Dynalog ，美国公司，一直从事机器人性能研究）
位姿准确度和位姿重复性； 多方位位姿准确度变动； 距离准确度和距离重复性； 位置稳定时间和位置超调量； 互换性； 轨迹准确度和轨迹重复性； 拐角偏差； 轨迹速度特性； 最小定位时间； 静态柔顺性； 摆动偏差；
(完整版)工业机器人技术基础课件(最全)
p
py
b
1pz
c w
2 机器人位姿 变换
坐标轴方向的描述：
i、j、k分别是直角坐标系中x、y、Z坐标轴的单位向量。若用齐次坐标 来描述x、y、z轴的方向，则
X 1 0 0 0T Y 0 1 0 0T Z 0 0 1 0T
1.已知机器人各关节的位置，求机器人 末端的位姿； 2.已知机器人末端的位姿，求机器人 各关节的位置.
3学机器人工运业动机器人基础知识
为什么要研究运动学：机器人的运动无非有两种：PTP(点到点) 及CP(连续运动)
3学机器人工运业动机器人基础知识
运动学的实用方式：
位置反 馈
3 机器人运动
学
D-H参数：
关节 坐标
系
两个关节轴线沿公垂线的距离an，称为连杆长度；另一个是 垂直于an的平面内两个轴线的夹角αn，称为连杆扭角，这两 个参数为连杆的尺寸参数；是沿关节n轴线两个公垂线的距离，
刚体的姿态可由动坐标系的坐标轴方向来表示。 令n、o、a分别为X′、y ′、z ′坐标轴的单位 方向矢量，每个单位方向矢量在固定坐标系上的 分量为动坐标系各坐标轴的方向余弦，用齐次坐 标形式的(4×1)列阵分别表示为：
2 机器人位姿 变换
刚体的位姿可用下面(4×4)矩
阵来描述：
nx ox ax xo
a）4、6轴共线附件，即5轴角度0附件。 b）2、3、5轴关节坐标系原点接近共线，即 已经到达工作范围边界。
c） 5轴关节坐标系原点在Z轴正上方附近。
右图就处于a）的奇异状态，直角下示 教会报警。
直角坐标系
1 系
机器人工坐业标机器人坐标系
机器人运动学及其数学基础
就用右乘的概念。
x
H
【22】
2.2.5 绕通过原点的任意轴旋转的齐次变换
• 有时动坐标系∑O´可能绕过原点O的分量分别为rx、ry、rz的任 意单位矢量r 转动φ角。
• 研究这种转动的好处是可用∑O´绕某轴r 的一次转动代替绕∑O
各坐标轴的数次转动
• 为推导此旋转矩阵，可作下述5步变换：
1. 绕X 轴转α角，
=
1 0
0 1
0 0
− 3
7
0 0 0 1
（2-20）
以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。 如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：
例2：①先平移Trans (4,-3,7)；②绕当前 v′ 轴转动90º；
③绕当前 w′′ 轴转动90º；求合成旋转矩阵。
【19】
解1：用画图的方法
【16】
平移齐次变换矩阵
1 0 0 a
H
=
Trans
(a
b
c)
=
0 0
1 0
0 1
b
c
0 0 0 1
w′
o′ v′
u′
b
a x
注意：平移矩阵间可以交换，
平移和旋转矩阵间不可以交换
z c
oy
【17】
2.2.4 相对变换
举例说明： 例1：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系 ∑0′做如下运动：①R(Z,90º) ②R（y,90º） ③Trans(4，-3, 7)，
• 串联机器人可以用一个开环关节链来建模
• 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成
• 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具（末端
执行器），用以操纵物体，或完成各种任务 • 关节的相对运动导致杆件的运动，
《工业机器人基础》课件
驱动系统
总结词
驱动系统是工业机器人的动力来源， 负责提供机械动作所需的力矩和速度 。
详细描述
驱动系统通常由电机、减速器和传动 装置组成，能够根据控制系统的指令 快速准确地驱动机器人完成各种动作 。
03
CATALOGUE
工业机器人编程与控制
编程语言与工具
01
编程语言选择
02
介绍工业机器人编程中常用的编程语言，如C、Python等，以及选择 编程语言时应考虑的因素，如易用性、功能性和性能等。
《工业机器人基础 》ppt课件
目录
• 工业机器人概述 • 工业机器人基本结构 • 工业机器人编程与控制 • 工业机器人应用案例 • 工业机器人发展趋势与挑战
01
CATALOGUE
工业机器人概述
定义与分类
定义
工业机器人是一种可编程、多用途、 能在三维空间完成规定作业或移动作 业的工业装置，能够通过连续轨迹控 制或末端执行器来执行作业。
工业机器人在焊接中的应用包括点焊、弧焊等多种焊接方式。通过高精度的定位和稳定的焊接技术， 工业机器人能够实现高质量的焊接效果，提高焊接效率，减少焊接缺陷，降低生产成本。
搬运应用
总结词
搬运应用是工业机器人常见的应用场景之一，主要用于自动化物料搬运，提高生产效率 和降低劳动强度。
详细描述
工业机器人在搬运中的应用包括将物料从一个地方移动到另一个地方，如上下料、装卸 等。通过高精度的定位和稳定的搬运技术，工业机器人能够快速、准确地完成搬运任务
，提高生产效率，降低劳动强度和生产成本。
检测应用
总结词
检测应用是工业机器人重要的应用领域 之一，主要用于自动化检测生产线，提 高检测效率和准确性。
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A标变换
1.平移坐标变换 坐标系{A}和{B}具有相同的方 位，但原点不重合。则点P在两 个坐标系中的位置矢量满足下 式：
A
PBPAP B0
数学基础 2.旋转变换
坐标系{A}和{B}有相同的原点 但方位不同，则点 P 在两个坐标系 中的位置矢量有如下关系：
数学基础 位置和姿态的表示
1.位置描述（位置矢量） 在直角坐标系{A}中，空间任意一点 P 的位 置可用 3x1 列向量(位置矢量)表示：
A
P [ px
py
p z ]T
2.方位描述（旋转矩阵） 为了规定空间某刚体 B 的方位，固接{B}坐标系 于该物体， {B} 的三个单位矢量[n、o、a]， {A}的三个单位矢量 [i、j、k] 。
A A A B A BR P BT P， BT 0 A
PB0 1
数学基础 2.平移齐次坐标变换
1 0 Trans( a, b, c) 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
a b c 1
用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。
例4.2 求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新的点矢量。
数学基础 齐次坐标变换 1.齐次变换 上式可以写为:
A A P B R 1 0 A B P P B0 1 1
P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:
A
P x
A
A
y
A
z 1 ， P x
B B
T
B
y
B
z 1
T
而齐次变换公式和变换矩阵变为:
A A P B RB P
B A
A 1 A T R B R B R
数学基础
3.复合变换
一般情况原点既不重合，方位 也不同。这时有：
A
A B PB R PAPB0
数学基础 例4.1 已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于{A}的ZA 轴转30°，再沿{A}的XA轴移动12单位,并沿{A}的YA轴移动6单位。 求位置矢量APB0和旋转矩阵 A B R ；设点 P 在{B}坐标系中的位置为 BP=[3,7,0]，求它在坐标系{A}中的位置。
0.866 0.5 0 12 6 A 0 A 0.866 0 , P B R R ( z ,30 ) 0.5 B0 0 1 0 0
0.902 12 11.908 6 13.562 A A B PB R P APB0 7 . 562 0 0 0
数学基础
旋转矩阵的几何意义:
A 1) B R 可以表示固定于刚体上的坐标系{B}对参考坐标系的姿态矩阵。
A 2) B R 可作为坐标变换矩阵。它使得坐标系{B}中的点的坐标 B P 变换成 {A}中点的坐标 A P 。
A 3) B R 可作为算子，将{B}中的矢量或物体变换到{A}中。
数学基础
3.位姿描述 刚体位姿(即位置和姿态)，用刚 体的方位矩阵和参考坐标的原点位置 矢量表示，即
nx n o o x ax a
R n o a
ny oy ay
nz i i RT j oz j az k k
j k Rn
T
数学基础
i
o
a
T
R矩阵称为旋转矩阵，它是正交的。即
A B T R 1 A R B A B
R 1
若坐标系{B}可由坐标系{A}，通过绕{A} 的某一坐标轴获得,则绕x,y,z三轴 的旋转矩阵分别为
0 1 0 c 0 s c s 0 R ( y, ) 0 1 0 R ( z, ) s c 0 R ( x, ) 0 c s 0 1 0 s c s 0 c 0
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 4 2 6 3 0 3 9 7 2 1 1 1
数学基础 3.旋转齐次坐标变换
0 1 0 c 0 s c s 0 R( y, ) 0 1 0 R( z, ) s c 0 R ( x, ) 0 c s 0 1 0 s c s 0 c 0
将上式增广为齐次式：
1 0 R ( x, ) 0 0
0 0 c s s c 0 0
0 c 0 0 R( y, ) s 0 1 0
0 1 0 0
s 0 c 0
0 c s s c 0 R( z, ) 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
数学基础
引入齐次变换后，连续的变换可以 变成矩阵的连乘形式，计算简化。 例4.3 U=7i+3j+2k，绕Z轴转90 度后，再绕Y轴转90度。
0 1 1 0 R( z ,90) 0 0 0 0 0 0 R( y,90) 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 7 3 3 7 0 0 2 2 1 1 1 0 3 2 7 7 0 0 2 3 1 1 1
1.平移坐标变换 坐标系{A}和{B}具有相同的方 位，但原点不重合。则点P在两 个坐标系中的位置矢量满足下 式：
A
PBPAP B0
数学基础 2.旋转变换
坐标系{A}和{B}有相同的原点 但方位不同，则点 P 在两个坐标系 中的位置矢量有如下关系：
数学基础 位置和姿态的表示
1.位置描述（位置矢量） 在直角坐标系{A}中，空间任意一点 P 的位 置可用 3x1 列向量(位置矢量)表示：
A
P [ px
py
p z ]T
2.方位描述（旋转矩阵） 为了规定空间某刚体 B 的方位，固接{B}坐标系 于该物体， {B} 的三个单位矢量[n、o、a]， {A}的三个单位矢量 [i、j、k] 。
A A A B A BR P BT P， BT 0 A
PB0 1
数学基础 2.平移齐次坐标变换
1 0 Trans( a, b, c) 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
a b c 1
用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。
例4.2 求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新的点矢量。
数学基础 齐次坐标变换 1.齐次变换 上式可以写为:
A A P B R 1 0 A B P P B0 1 1
P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:
A
P x
A
A
y
A
z 1 ， P x
B B
T
B
y
B
z 1
T
而齐次变换公式和变换矩阵变为:
A A P B RB P
B A
A 1 A T R B R B R
数学基础
3.复合变换
一般情况原点既不重合，方位 也不同。这时有：
A
A B PB R PAPB0
数学基础 例4.1 已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于{A}的ZA 轴转30°，再沿{A}的XA轴移动12单位,并沿{A}的YA轴移动6单位。 求位置矢量APB0和旋转矩阵 A B R ；设点 P 在{B}坐标系中的位置为 BP=[3,7,0]，求它在坐标系{A}中的位置。
0.866 0.5 0 12 6 A 0 A 0.866 0 , P B R R ( z ,30 ) 0.5 B0 0 1 0 0
0.902 12 11.908 6 13.562 A A B PB R P APB0 7 . 562 0 0 0
数学基础
旋转矩阵的几何意义:
A 1) B R 可以表示固定于刚体上的坐标系{B}对参考坐标系的姿态矩阵。
A 2) B R 可作为坐标变换矩阵。它使得坐标系{B}中的点的坐标 B P 变换成 {A}中点的坐标 A P 。
A 3) B R 可作为算子，将{B}中的矢量或物体变换到{A}中。
数学基础
3.位姿描述 刚体位姿(即位置和姿态)，用刚 体的方位矩阵和参考坐标的原点位置 矢量表示，即
nx n o o x ax a
R n o a
ny oy ay
nz i i RT j oz j az k k
j k Rn
T
数学基础
i
o
a
T
R矩阵称为旋转矩阵，它是正交的。即
A B T R 1 A R B A B
R 1
若坐标系{B}可由坐标系{A}，通过绕{A} 的某一坐标轴获得,则绕x,y,z三轴 的旋转矩阵分别为
0 1 0 c 0 s c s 0 R ( y, ) 0 1 0 R ( z, ) s c 0 R ( x, ) 0 c s 0 1 0 s c s 0 c 0
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 4 2 6 3 0 3 9 7 2 1 1 1
数学基础 3.旋转齐次坐标变换
0 1 0 c 0 s c s 0 R( y, ) 0 1 0 R( z, ) s c 0 R ( x, ) 0 c s 0 1 0 s c s 0 c 0
将上式增广为齐次式：
1 0 R ( x, ) 0 0
0 0 c s s c 0 0
0 c 0 0 R( y, ) s 0 1 0
0 1 0 0
s 0 c 0
0 c s s c 0 R( z, ) 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
数学基础
引入齐次变换后，连续的变换可以 变成矩阵的连乘形式，计算简化。 例4.3 U=7i+3j+2k，绕Z轴转90 度后，再绕Y轴转90度。
0 1 1 0 R( z ,90) 0 0 0 0 0 0 R( y,90) 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 7 3 3 7 0 0 2 2 1 1 1 0 3 2 7 7 0 0 2 3 1 1 1