组合数学鸽巢原理例题

证明：在1~200中可选取100个数它 们中任何两个数互素。并证明所选 的100个数中的最小数不小于16。
显然，当选出的数为101时，可用鸽巢原理证 明，必存在两个数是倍数（或整除）关系。 本题证明参见《辅导》P301，7.7题
证明：任给m个正整数a1, a2, … , am， 必存在连续的若干项，其和是m的倍 数（能被m整除）。
证明：构造数列：S1=a1, S2=a1+a2, …, Sn=a1+a2+…+an; 若某个Si已经可被m整除，则得证。 设不存在被整除的情况，则每个Si模m的余数ri满足： 1≤ri ≤m-1。 这样的ri共有m个。 根据鸽巢原理，存在i<j，但ri=rj。即Si与Sj同余。 从而有： Sj-Si=km=ai+1+ai+2+…+aj. 得证。
续：22题的情况
• • 若存在某一周没有做满12题，则a77+22<154,使得这154 个数最多到153,从而仍有aj=ai+22; 若每周都做满12题，那么a1,a2,…,a77, a1+22, a2+22, …,a77+22这154个数恰在1~154之间。
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若不存在i,j使得aj=ai+22,则它们取值遍历1,2,…,154。 即有a1=1,a2=2,…,a22=22。
思考题
1. 2. 一个1*1的方格里任选5个点，则必存在两点，其 距离<√2/2. 空间直角坐标系中，我们把(x,y,z)坐标均为整数 的点简称为格点，证明，任意9个格点中，必存 在两点，其连线的中点亦是格点。 设西工大在北京的办事处有90间房间。每次总 是有100人中的90人到那里出差，试设计一种配 钥匙方案，保证这100人中的任意90人到北京出 差时，至少有一间房间可让其使用。试问在这 一方案下，共配了多少把钥匙？
百度文库3.
鸽巢原理例题
证明[1,2n]中任意n+1个不同的数中 至少有一对数互质
设这n+1数为a1<a2<…<an+1,令bi=ai+1 (i=1,2,…,n)。显然，b1<b2<…<bn<=2n, a1,…,an+1,b1,…,bn这2n+1个数中必有二数相 等，即存在bi与ai+1相等，而bi=ai+1,而ai与 ai+1（即ai+1)是互质的。
一人以11周时间准备考试，他决定每天至少做一道 题，但每周不多于12题。证明：存在连续的若干天， 在这些天时他恰好做了21题。改为更少的题数如何？ 改为22题如何？ 令ai表示从第一天到第i天所做的题数之和。因为每 天至少做一题，有：a1<a2<…<a77<=12*11=132。 考虑序列:a1+21,a2+21,…,a77+21(<=153). 两个序列共有154个数，而ai≠aj(当i≠j时), 同理， ai+21≠aj+21(当i≠j时), 所以，必有某个aj=ai+21,即从第i+1天到第j天共做 了21题。 原命题改为小于21题，显然是成立的。
那么，他在第一周里只做了7题，与每周做满12题假设 矛盾。 所以，存在连续的若干天，他恰好做了22题。
设a1,a2,…,an是1,…,n的一个排列，证明，当n是奇数 时，(a1-1)(a2-2)…(an-n)是一偶数。
证明：只须证明上述因子中有一个是偶数即可。因 为只要有一个因子是偶数，则积必为偶数。 n是奇数时，1~n中有(n+1)/2个奇数， (n-1)/2个偶 数。 从而，a1,a3,…,an中至少有一个是奇数,设为a2i+1 这样以来，(a2i+1-(2i+1))为偶数。 乘积为偶数。证毕。