组合数学鸽巢原理例题
组合数学第二章鸽巢原理
在[0,mn]内有唯一解. 证明: 下面的n个数(模m都是a)
a, m+a, 2m+a, …, (n-1)m+a, 模n的余数两两不同.
中国剩余定理(完全形式)
令m1,…,mr两两互素, a1,…,ar为整数, 则同余方程组
存在k<l使得rk=rl , 即m|(ak+1+ak+2+…+ al).
应用:国际象棋大师
一位国际象棋大师有11周的时间备战比赛, 他决定每天至少下1盘棋,但每周不超过12盘. 则存在连续若干天,他恰好下了21盘棋. 证明: 令ai为到第i天下的总盘数, (ai+21=aj?)
1 a1 < a2 < …< a77 1112=132, 22 a1+21 < a2+21 < …< a77+21 132+21=153
mk1 mk2 mkn1
若ak1 ak2则必有mk1 > mk2,于是:
ak1 ak2 akn1
ak 5 4 6 3 4 2 3 1 9 2 mk 3 3 2 3 2 3 2 2 1 1
Ramsey问题
命题: 6人中或者至少存在3人互相认识, 或者至少存在3人互相不认识.
例: K17K3, K3, K3. 作业: 第2章 ex1, ex5, ex8, ex15, ex20.
作业
第二章 P25： ex1, ex5, ex8, ex15, ex20. 编程题见网络教室。
射雕英雄传中的问题
黄蓉给瑛姑出题: 今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二, 问物几何.
组合1鸽巢原理
]
7
[205,540 [219, 1031] [252, 1713] [292, 2826]
]
8
[282,1870] [329, 3583] [343, 6090]
9
[565,6588] [591,12677]
10
[798,23581]
2023/1/3
27
3 Ramsey问题与Ramsey数
定理 1.3.2 对任意正整数a≥3，b≥3，有 r(a,b)≤r(a-1,b) + r(a,b-1).
2023/1/3
4
1 鸽巢原理：简单形式
可以看出，应用鸽巢原理可以巧妙的解决看似复 杂的问题，其关键是如何去构造问题中的“鸽子” 和“鸽巢”.
2023/1/3
5
1 鸽巢原理：简单形式
【例3】 ：一位象棋大师以11 周时间准备一次比赛， 他决定每天至少下一盘棋，为了不至于太累，他限定 每一周不多于12 盘对局，证明，存在连续若干天， 在这些天中他恰下了21 盘棋。
的，m , n 是正整数，则 (1) S 有一长度为 m+1 的严格递增子序列或长度为 n+1 的严格递减子序列; (2) S 有一长度为 m+1 的严格递减子序列或长度为 n+1的严格递增子序列．
2023/1/3
12
2 鸽巢原理：加强形式
例 将 1 到 16 这16个数划分为3个子集，必有一个子
36
[40, 42]
4
18
25
[35,41] [49,61] [59,84] [73, 115] [92, 149]
5
[43,48] [58,87] [80,143] [101,216] [133, 316] [149, 442]
鸽巢问题
鸽巢问题基础知识：1.鸽巢原理又称抽屉原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家侠利克雷明确地提出出来地，因此，也称为侠利克雷原理。
把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上地苹果。
2.鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n，且n是非零自然数），那么一定有一个抽屉至少放进了2个物体。
3.鸽巢原理（二）：如果把多于kn个物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数，n是非0自然数），那么一定有一个抽屉至少放进了（k+1）个物体。
如：把10本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进4本书。
我们把这些例子中的“苹果”“鸽子”“信”看作一种物体，把“盒子”“鸽笼”“信箱”看作鸽巢，可以得到鸽巢原理最简单的表达形式：物体个数÷鸽巢个数=商......余数至少个数=商+1摸同色球计算方法：①要保证摸出同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。
物体数=颜色数×（相同颜色数-1）+1②极端思想（最快打算）：用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都能保证一定有两个球是同色的。
鸽巢问题的计算总结：有余数：知道抽屉和至少数（同类）求物体时至少数=商+1 物体数=（至少数-1）×抽屉数=1物体数÷抽屉数（要分的份数）没有余数：当至少数为2时，物体数=抽屉数+1 至少数=商知道抽屉数和至少数（不同类）求物体时知道物体和至少数求抽屉数物体数=（至少数-1）×抽屉数+1 （物体数-1）×（至少数-1）=商......余数（每种个数）（商是所求抽屉数）至少情况：例题：把四只鸽子放进笼子，会有哪些情况呢？总结：1.最多的笼子里，最少有2只鸽子，我们叫做有一个笼子至少有2只鸽子。
2.4只鸽子飞进3个鸽笼，不管怎么飞，总有一个鸽笼至少飞进2只鸽子。
思考把5个桃子放进4个抽屉里，米可以得出什么结论？分析：枚举法：共种，分别是（），（），（），（），（），（）。
鸽巢问题(一)
枚举法
把7本书放进3个抽屉，不管Hale Waihona Puke 么放，总有 1个抽屉里至少放进3本书。
数的分解法
7 700
7 430
7 610
7 421
7 511
7 331
7 520
7 322
把7分解成3个数，总有1个数不小于3。
假设法 7 ÷ 3 ＝ 2（本）…… 1（本）
先平均分，余下的1本放在任意抽屉都会 “总有1个抽屉里至少放进3本书”。
只要铅笔比笔筒的数量多( 1 ),总有1个笔筒 里至少放( 2)支铅笔。
鸽巢原理 铅笔……鸽子 笔筒……鸽巢
（n+1）只鸽子飞进n个鸽巢里（n为非0自然 数）,总有1个鸽巢里至少飞进2只鸽子。
把7本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉里 至少放进3本书。为什么？
你是怎么想的？
把7本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉里 至少放进3本书。为什么？
… … …
…
… … …
总物 鸽抽 平均每 本体 巢屉 个抽商屉 数 数 的本数
余的数余数下本
平商均每+余1下＝至少数 个抽屉的本 的不本论数余数数？是几， 都只加1。
7÷3＝2……1
把7本书放进3个抽屉里，总有1个抽 屉里至少放进3本书。
8÷3＝2……2
把8本书放进3个抽屉里，总有1个抽 屉里至少放进3本书。
2. 8个小朋友打篮球，一共投进 45个球，其中 一定有1个小朋友至少投进6个球。为什么？
鸽巢数
物体数
45÷8 = 5（个）……5（个） 5 + 1 = 6（个）
每人投进 5 个球，还剩下 5 个 球 。剩下的 5 个 球 不论怎么分，总有1人至少投 进 6 个球。
鸽巢原理 与 双重计数
鸽巢原理(Pigeon-hole principle)
鸽子总数≤ m1 + m2 +… +mn－n ， 与假设相矛盾．
推论１ m只鸽子进n个巢，至少有一个巢 m 里有「－ n |只鸽子． 推论２ n(m－1) + 1只鸽子进n个巢，至少 有一个巢内至少有m只鸽子． 推论３ 若m1 , m2 , … , mn是正整数，且 m1 + … +mn > r－1,则 m1,… , mn至少有一个 n 不小于r
鸽巢原理 与 双重计数 Pigeon-hole and double counting
福州大学数学与计算机科学学院
常安 2014年10月16日
鸽巢原理(Pigeon-hole principle)
鸽巢原理是组合数学中最简单也是最基本 的原理，也叫抽屉原理。即
“若有n个鸽子巢，n+1个鸽子，则至少有 一个巢内有至少有两个鸽子。”
例 1 设G=(V, E)是一个简单图，其中V是 顶点集，E是边集. 则有
证明可以通过考虑集合SVE, 即所有 序对(v, e)的集合，这里vV是边eE的一 个端点.
双重计数（Double counting ）
例2 An extremal problem on graphs
双重计数（Double counting ）
ห้องสมุดไป่ตู้
鸽巢原理(Pigeon-hole principle)
例 将[ 1 , 65 ]划分为４个子集，必有一个 子集中有一数是同子集中的两数之差． 证 用反证法．设此命题不真．即 存在划分P1∪ P2∪ P3∪P4＝[ 1，65 ]，Pi 中不存在一个数是Pi中两数之差，i=1,2,3,4 因 65 = 17，故有一子集，其中至少有17 4 个数，设这17个数从小到大为a1 , … , a17 ． 不妨设 A={a1 , … , a17 } P1。 令bi－1= ai－a1，i = 2，· · · ，17。
高中数学祖暅原理的典型例题
高中数学祖暅原理的典型例题
高中数学中，祖暅原理（也称为鸽巢原理或抽屉原理）是一种重要的组合数学思想，用于解决箱子和物品之间的配对问题。
它指出，如果有n个物品要放入m个箱子，而n>m，那么至少有一个箱子中会放置多个物品。
下面是一个典型的例题，用于帮助理解祖暅原理的应用：
例题：假设有8个苹果和4个盘子，要将这些苹果放入盘子中。
按照祖暅原理，至少有一个盘子中会放置多个苹果。
解析：根据祖暅原理，我们可以得出结论，即使每个盘子只放一个苹果，我们也至少需要5个盘子来放置8个苹果。
而这里只有4个盘子，因此至少有一个盘子中会放置多个苹果。
这个例题很好地展示了祖暅原理的应用。
当物品的数量大于箱子的数量时，必然会出现至少一个箱子中装有多个物品的情况。
祖暅原理在实际生活中有很多应用，例如：
1. 生日问题：在一个房间里，至少有多少人才能确保至少两人生日相同？根据祖暅原理，这个数量为23人。
因为一年有365天，所以
至少要有365+1=366人才能确保至少有两人生日相同。
2. 选课问题：如果有50门选修课程，而每个学生只能选择5门课程，那么至少要有多少名学生才能确保每门课程都有学生选择？根据祖暅原理，至少需要11名学生。
因为每个学生可以选择5门课程，所以总共可以选择的组合数为50选5，约为2118760。
而如果学生人数少于11人，就无法满足每门课程都有学生选择的条件。
综上所述，祖暅原理是高中数学中的重要思想，可以帮助我们解决一些组合问题。
在解题过程中，我们需要注意正确理解问题并合理运用祖暅原理，以得出准确的结论。
鸽巢问题数学试题及答案
鸽巢问题数学试题及答案试题：1. 鸽巢原理是数学中的一个基本概念，它描述了当把n+1个物品放入n个容器中时，至少有一个容器会包含两个或更多的物品。
请简述鸽巢原理的基本概念。
2. 假设有10个乒乓球被随机放入9个盒子中，根据鸽巢原理，至少有几个盒子会包含至少2个乒乓球？3. 某班级有40名学生，如果将他们随机分配到6个不同的兴趣小组中，根据鸽巢原理，至少有几个兴趣小组会包含至少8名学生？4. 鸽巢原理在实际生活中的应用有哪些？请列举至少两个例子。
5. 鸽巢原理的数学表达式是什么？请用数学公式表示。
答案：1. 鸽巢原理，又称抽屉原理，是数学中的一个基本定理，它指出如果把多于容器数量的物品放入有限数量的容器中，那么至少有一个容器会包含多于一个的物品。
这个原理在组合数学、概率论和算法设计等领域有着广泛的应用。
2. 根据鸽巢原理，如果有10个乒乓球被放入9个盒子中，那么至少有一个盒子会包含至少2个乒乓球。
这是因为10除以9的商是1余1，所以至少有一个盒子会包含1+1=2个乒乓球。
3. 如果40名学生被随机分配到6个兴趣小组中，根据鸽巢原理，至少有一个兴趣小组会包含至少8名学生。
这是因为40除以6的商是6余4，所以至少有一个兴趣小组会包含6+1=7名学生，但因为余数是4，所以实际上至少有一个兴趣小组会包含8名学生。
4. 鸽巢原理在实际生活中的应用非常广泛，例如：- 在统计学中，鸽巢原理可以用来估计一个群体中至少具有某种特征的个体数量。
- 在计算机科学中，鸽巢原理可以用于设计哈希表，确保在最坏情况下，哈希表的冲突数量不会超过某个阈值。
5. 鸽巢原理的数学表达式可以表示为：如果有\( n \)个物品放入\( m \)个容器中，且\( n > m \)，则至少有一个容器包含的物品数不少于\( \lceil \frac{n}{m} \rceil \)，其中\( \lceil \cdot\rceil \)表示向上取整。
鸽巢原理经典例题及解析
鸽巢原理经典例题及解析鸽巢原理，也称为抽屉原理，是组合数学中的一个基本概念。
它指的是，如果有n+1个物体放入n个盒子中，那么至少有一个盒子会放入两个或以上的物体。
这个概念类似于我们熟知的“抽屉放东西”的现象，即如果有n个抽屉，放入n+1个东西，则至少有一个抽屉中会放入两个或以上的东西。
鸽巢原理是比较直观且易于理解的，它在解决组合数学中的问题时经常被使用。
下面我们将通过几个经典例题，来进一步理解鸽巢原理的应用。
例题1：从1到10的整数中选择6个数，至少存在两个数，使得它们的和或差能被11整除。
证明这个结论。
解析：我们需要选择6个数，我们可以利用鸽巢原理来解决这个问题。
首先，我们观察到，我们有5个余数，因为1到10的整数除以11的余数是0到10。
如果我们选择6个数，那么至少有两个数的余数是相同的，因为有6个数，但只有5个余数。
假设我们选择的两个数的和或差能被11整除，那么它们的余数必然相等，于是我们就证明了这个结论。
例题2：有20盒饼干，其中19盒都装有正数个饼干，而只有1盒装有0个饼干。
证明，如果我们从这20盒中选择11个盒子，那么至少有两个盒子是包含饼干的。
解析：我们假设每个盒子都是0个饼干，那么我们需要选择11个盒子，因为只有1个盒子是包含饼干的，所以我们无论如何选择都无法找到两个盒子都包含饼干。
但是根据鸽巢原理，我们知道，如果我们选择了11个盒子，至少有两个盒子是包含饼干的。
所以，我们证明了这个结论。
例题3：有N个正整数，它们的和是2N-1，证明至少有一个整数是1。
解析：我们假设所有的正整数都不是1，那么我们可以得到每个正整数至少是2。
这样，我们所有的正整数加起来至少是2N，而不是2N-1，与题目条件矛盾。
所以，我们证明了结论至少有一个整数是1。
鸽巢原理的应用非常广泛，可以用于解决各种数学问题和概率问题。
通过以上例题的解析，我们可以更好地理解鸽巢原理的含义和应用。
在实际问题中，我们可以利用鸽巢原理巧妙地解决一些问题，提高问题求解的效率和准确性。
计算机应用数学-(组合数学)-答案哈工大
1，证明，如果从集合{1，2，...，2n}中选择n+1整数，那么总存在两个整数，它们之间相差为1.2，用鸽巢原理证明，有理数m/n展开的十进制小数最终是要循环的。
例如，34 478/99 900=0.345 125 125 125 125 12...3，一间屋内有10个人，他们当中没有人超过60岁（年龄只能以整数给出）但又至少不低于1岁。
证明，总能够找出两组人（两组不含相同人），各组人的年龄和是相同的。
题中的数10能换成更小的数吗？4，一只袋子装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。
如果我每分钟从袋子里了出1种水果，那么需要多少时间我就能肯定至少已拿出了1打相同种类的水果？5，i）证明，在边长为1的等边三角形内任意选择5个点，存在2个点，其间距离至多为1/2。
ii）证明，在边长为1的等边三角形内任意选择10个点，存在2个点，其间距离至多为1/3。
iii）确定一个整数m小n，使得如果在边长为1的等边三角形内任意选择的m小n个点，则存在2个点，其间距离至多为1/n.6，下列各数各有多少互异正因子？i）3的4次方X 5的2次方X 7的6次方X 11ii）620iii）10的10次方7，确定下列类型的一手牌（5张牌）的数目。
i）full houses （3张一样大小的牌及2张相同点数的另外大小的牌）。
ii）顺牌（5张点数相连的牌）。
iii）同花（5张一样花色的牌）。
iv）同花顺（5张点数相连的同样花色的牌）。
v）恰好两个对（一对同样大小，另一对另外点数同样大小，再有一张另外大小的5张牌）。
vi）恰好一个对（一对同样大小，另外三张另外大小且互异点数的牌）。
8，从拥有10名男会员和12名女会员的一个俱乐部选出一个5人委员会。
如果至少要包含2位女士，能够有多少种方法形成这个委员会？此外，如果俱乐部还有一位特定的男士和一们特定的女士拒绝进入该委员会一起工作，形成委员会的方式又有多少？9，学校有100名学生和3个宿舍A，B和C，它们分别容纳25，35和40人。
抽屉原理十个例题
抽屉原理十个例题抽屉原理，又称为鸽巢原理，是一种基本的组合数学方法，它指的是如果有n+1个物品放入n个抽屉中，那么至少有一个抽屉里会有两个或两个以上的物品。
这一原理在日常生活中有着广泛的应用，比如在选择生日礼物时，如果有n种礼物要送给n-1个朋友，那么至少有两个朋友会收到相同的礼物。
下面我们将通过十个例题来深入理解抽屉原理的应用。
例题1，在一个班级里有11个学生，他们每个人的身高都不一样。
如果要从这11个学生中选出5个人参加篮球比赛，那么至少有两个人的身高相同。
解析，根据抽屉原理，11个学生就相当于11个抽屉，而选出的5个人就相当于放入这11个抽屉的物品。
由于5个人的身高不可能完全不同，所以必然会有两个人的身高相同。
例题2，一家商店里有8种颜色的T恤，如果要购买12件T恤，那么至少会有两件颜色相同的T恤。
解析，同样根据抽屉原理，8种颜色的T恤就相当于8个抽屉，而购买的12件T恤就相当于放入这8个抽屉的物品。
由于购买的T恤数量超过了颜色种类，所以必然会有两件颜色相同的T恤。
例题3，某班有10位同学，他们的生日都在1月份。
如果要从这10位同学中选出6位同学参加生日聚会，那么至少会有两个人生日在同一天。
解析，根据抽屉原理，10位同学就相当于10个抽屉，而选出的6位同学就相当于放入这10个抽屉的物品。
由于选出的同学数量超过了1月份的天数，所以必然会有两个人生日在同一天。
例题4，一个班级有15名学生，其中有10名男生和5名女生。
如果要从这15名学生中选出7人组成一个小组，那么至少会有两名女生在同一个小组。
解析，根据抽屉原理，15名学生就相当于15个抽屉，而选出的7人就相当于放入这15个抽屉的物品。
由于女生的数量少于7人，所以必然会有两名女生在同一个小组。
例题5，一家餐厅有12种口味的冰淇淋，如果要购买16份冰淇淋，那么至少会有两份口味相同的冰淇淋。
解析，根据抽屉原理，12种口味的冰淇淋就相当于12个抽屉，而购买的16份冰淇淋就相当于放入这12个抽屉的物品。
鸽巢问题例3[1]
![鸽巢问题例3[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/4810742af121dd36a32d82cf.png)
鸽巢问题（抽屉原理） 例3
一、回顾旧课知堂，导小入结新知
抽屉原理一
只要放的物体比抽屉的数量多1，总有 一个抽屉里至少放入2个物体。
抽屉原理二
把a个物体放进n个抽屉里，如果 a÷n=b ……c（不等于零），那么一定 有一个抽屉至少可以放：b+1个物体。
二、探究新知，抽屉原理三
盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出 的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球？
假设我们每种颜色的都拿一个，需要拿4个，但是没有同 色的，要想有同色的需要再拿1个球，不论是哪一种颜色的， 都一定有2个同色的。
3. 希望小学篮球兴趣小组的同学中，最大的 12岁，最小的6岁，最少从中挑选几名学生，就 一定能找到两个学生年龄相同。
从6岁到12岁有 几个年龄段？
7＋1＝8
4. 从一副扑克牌（52张，没有大小王）中要抽出几 张牌来，才能保证有一张是红桃？54张呢？
抽屉原理有两个经典案例，一个是把
10个苹果放进9个抽屉里，总有一个抽
屉里至少放了2个苹果，所以这个原理Байду номын сангаас
又称“抽屉原理”；另一个是6只鸽子
德国 数学家 狄里克雷
飞进5个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进
（1805.2.13.～1859.5.5.） 2只鸽子，所以也称为“鸽巢原理”。
安全提示
•上下楼梯时 •轻声慢步靠右行 •注意脚下安全 •谨防踩踏事故
六年级里至少有 两人的生日是同一 天。
六（2）班中至 少有5人是同一个 月出生的。
他们说得对吗？为什么？
367÷365＝1……2 49÷12＝4……1
1＋1＝2 4＋1＝5
2. 把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个 放到一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取 到两个颜色相同的球？
ch3鸽巢原理3(组合数学)
3.4 鸽巢原理
【例5】 设a1 , a2 , · · · , a100是由1和2组成的序
列 , 已知从其任一数开始的顺序10个数的和 不超过16．即 ai + ai+1 +… + ai+9 ≤16，1≤ i ≤91 则至少存在一对h和k ，k > h，使得 ah + ah+1 +… + ak = 39
dr(v4)≥3
√
设 (v4v5)为蓝边
(v4v5) (v4v6) 为红边 △v1v5v6是蓝△?
N Y
设 (v4v5)为蓝边
N Y
△v2v3v5是红△? 设 (v2v5)为蓝边 △v2v4v5是蓝△ √
△v1v4v5是蓝△ 设 (v v )为红边 5 6 √ △v4v5v6是红△所有的 li ∈[ 1 , m],其中必有 m
个相等，于是设
li = li = · · · = li = li
1 2 n
n+1
不妨设 应有
i1<i2< · · · <in+1， a i > ai > · · · > ai
1 2
n+1
h=1,2,· · · , m . 若存在 l , Sl≡0 mod m 则 命题成立．否则，1≤rh≤m-1．但h = 1 , 2 , · · ·, m．由鸽巢原理，故存在 rk = rh , 即 Sk≡ Sh，不妨设 h ＞k．则 Sh－Sk = ak+1 + ak+2 +… + ah ≡0 mod m
，
即有一长度为n+1的减子列．
否则，若
ai 1 ai2 li 1 li2
鸽巢问题经典例题10道
鸽巢问题经典例题10道鸽巢问题是一个经典的组合数学问题，它涉及到抽屉原理和排列组合知识。
以下是鸽巢问题的经典例题 10 道:1. 将 4 只鸽子放入 3 个鸽巢中，每个鸽巢至少放入一只鸽子，问至少有几个鸽巢要放入两只鸽子？答案：至少有两个鸽巢要放入两只鸽子，即 6 只鸽子放入 3 个鸽巢中，至少有一个是有两个鸽巢放入两只鸽子的情况。
2. 将 9 只鸽子放入 5 个鸽巢中，每个鸽巢至少放入一只鸽子，问至少有几个鸽巢要放入两只鸽子？答案：至少有三个鸽巢要放入两只鸽子，即 9 只鸽子放入 5 个鸽巢中，至少有一个是有三个鸽巢放入两只鸽子的情况。
3. 将 6 个苹果放入 3 个抽屉中，每个抽屉至少放入一个苹果，问至少有几个抽屉要放入两个苹果？答案：至少有两个抽屉要放入两个苹果，即 6 个苹果放入 3 个抽屉中，至少有一个是有两个抽屉放入两个苹果的情况。
4. 将 4 个男生和 3 个女生组成一个班级，要求每个男生和女生都坐在同一座位上，问至少需要多少种不同的座位安排方式？答案：至少需要 6 种不同的座位安排方式，即 4 个男生和 3 个女生组成一个班级，要求每个男生和女生都坐在同一座位上，可以分为两种情况:1) 三个女生坐在同一座位上，四个男生坐在其他座位上，需要安排 2 个座位;2) 四个女生坐在同一座位上，三个男生坐在其他座位上，需要安排 3 个座位。
5. 将 3 个红球和 4 个白球放入 5 个抽屉中，每个抽屉至少放入一个球，问至少有几个抽屉要放入两个红球或两个白球？答案：至少有两个抽屉要放入两个红球或两个白球，即 3 个红球和 4 个白球放入 5 个抽屉中，至少有一个是有两个抽屉放入两个红球或两个白球的情况。
6. 将 9 个红球和 6 个白球放入 7 个抽屉中，每个抽屉至少放入一个球，问至少有几个抽屉要放入两个红球或两个白球？答案：至少有两个抽屉要放入两个红球或两个白球，即 9 个红球和 6 个白球放入 7 个抽屉中，至少有一个是有两个抽屉放入两个红球或两个白球的情况。
组合数学：3-2 鸽巢原理
1. 鸽巢原理
2. Ramsey数
1. 鸽巢原理
鸽巢原理，又叫抽屉原则，结论非常简单。 n+1只鸽子放入n个鸽巢，则至少有一个鸽巢中至 少有两只鸽子。 例1 13个人中至少有2个人在同一个月过生日。 例2 从1到2n的正整数中任取n+1个，则至少存在 两个数，其中一个是另一个的倍数。
设取出的n+1个数为a1a2…an+1。
对每个ak除去所有2的因子，直至剩下一个奇数。 例如68=2×2×17，即68对应于17。 这样n+1个数分别对应于n+1个奇数b1b2…bn+1。
这n+1个奇数一定都小于2n，但是1到2n的奇数只有 n个，因此根据鸽巢原理，至少有2个相同。
不妨设bi=bj=b，则ai=2 b，aj=2 b。
2. Ramsey数
1928年，年仅24岁的英国杰出数学家Ramsey发表 了著名论文《论形式逻辑中的一个问题》。他在 这篇论文中提出并证明了关于集合论的一个重大 研究成果，现称为Ramsey定理。尽管两年后他不 幸去世， 但是他开拓的这一新领域至今仍十分活 跃，而且近年来在科技领域获得了成功的应用。
定理2 对任意正整数a≥3，b≥3，有 R(a,b)≤R(a-1,b) + R(a,b-1). 令N＝R(a-1,b) + R(a,b-1)，对KN进行红蓝两着色。
设x是KN的一个顶点，在KN中与x相连的边共有N-1 = R(a-1,b) + R(a,b-1)-1条，这些边要么为红色，要么 为蓝色。 由鸽巢原理可知，在与x相连的这些边中，要么至少 有R(a-1,b)条红色的边，要么至少有R(a,b-1)条蓝色 的边。
(1) 这些边中有R(a-1,b)条红边。 在与这些红边相关联的R(a-1,b)个顶点构成的完全图 KR(a-1,b)中，根据定义，必有一红色Ka-1或蓝色Kb。 若有红色Ka-1，则它加上顶点x以及x与Ka-1之间的红 边，即构成一个红色Ka；否则，就有一个蓝色Kb。
211144122_鸽巢问题的典型例题
◎刘玲鸽巢原理又叫抽屉原理。
抽屉原理一：如果将n+1（n≥1）个物体任意放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放有两个或两个以上的物体。
如，将5个苹果任意放进4个抽屉里，那么至少有一个抽屉里要放2个苹果。
抽屉原理二：如果将多于m×n个物体任意放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放有m+1个物体或更多的物体。
如，将17朵鲜花插进3只花瓶，那么至少有一只花瓶中插有6朵或更多的鲜花。
【例1】幼儿园买来了很多小白兔、长颈鹿和小熊玩具，如果每个小朋友从中任意选择两件，那么至少要有几个小朋友才能保证总有两人选择的玩具相同？【分析与解】解问题的关键是确定物体和抽屉。
这里应该把选择的两件玩具作为一个抽屉，而在玩具中挑选两件，所有的选择有如下几种情况：（兔，兔），（兔，鹿），（兔，熊），（鹿，鹿），（鹿，熊），（熊，熊），把每一种选择方式看作一个抽屉，共有6个抽屉，而将幼儿园的小朋友看作物体，如此问题可转化为把若干个物体放进6个抽屉中去。
根据抽屉原理一，要保证至少有两人取得的玩具相同，就至少要有7个小朋友。
解：6+1=7答：至少要有7个小朋友才能保证总有两人选择的玩具相同。
【例2】六（1）班一共有21个同学参加体育活动，有打篮球、跳绳、踢毽子和打羽毛球4个活动项目。
如果每个同学都参加活动，那么至少有多少个同学参加同一个活动项目？【分析与解】这是一个“抽屉问题”，也称为“鸽巢问题”。
如果把打篮球、跳绳、踢毽子和打羽毛球看作4个抽屉，再把21个同学看作21个物体，又因为21=5×4+1，且由抽屉原理可知，至少有5+1=6（个）同学参加同一个活动项目。
解：21=5×4+15+1=6（个）答：至少有6个同学参加同一个活动项目。
【例3】学校食堂中午有5种不同的菜和4种不同的汤，每人只能打一种菜和一种汤。
六年级有165人在学校吃饭，他们中至少有多少人买的菜和汤是完全一样的？【分析与解】在5种不同的菜和4种不同的汤中，买一种菜和一种汤，共有5×4=20（种）不同的买法。
组合数学答案2-5
2. Prove that for any n+1 integers a1, a2, …, an+1 there exist two of the integers ai and aj with i ≠ j such that ai - aj is divisible by n.
Proof: Suppose that we divide all the integers by n, the remainders are {0, 1, …, n-1}.不是 1 到 n-1. According to Pigeonhole Principal, for n+1 integers, there exit two integers have the same remainders when divided by n. Assume that they are ai and aj, it is obvious that ai - aj is divisible by n, because they have the same remainder.
第一次作业 第二章 鸽巢原理
1. Show that if n+1 integers are chosen from the set {1, 2, …, 3n}, then there are always two which differ by 1 or 2.
Proof: Suppose that we partition set {1, 2, …, 3n} into {1, 2, 3}, {4, 5, 6}, …, {3n-2, 3n-1, 3n} and choose n+1 integers from the n sets. According to the Pigeonhole Principal, there are at least two integers from the same set. And elements in the same set differ by 1 or 2. Therefore, we concluded t hat if n+1 integers are chosen from the set {1, 2, …, 3n}, there are always two which differ by 1 or 2.
鸽巢原理+容斥原理
组合数学初步
计算机及信息工程学院
鸽巢原理
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组合数学初步
计算机及信息工程学院
鸽巢原理
鸽巢原理是组合数学中最简单也是最基本的原理， 也叫抽屉原理。 原理描述：若有n个鸽子巢，n+1只鸽子，则至 少有一个鸽子巢里住着两只鸽子。 定理（鸽巢原理） 如果把n+1个物体放入n个盒 子，那么至少有一个盒子中有两个或更多的物品。
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组合数学初步
计算机及信息工程学院
容斥原理
由|A∩B∩C|=8 |A∩B|=33 |A∩C|=25 |B∩C|=41 |A|=200 |B|=166 |C|=125 所以由容斥原理，不能被5，6和8整除的整数的个数为 |~A∩~B∩~C| =|E|-（|A|+|B|+|C|）+（|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|）-|A∩B∩C| =600
⋯⋯⋯ | Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aik |= (n − k )! ⋯⋯⋯ | A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An |= 0!
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组合数学初步
计算机及信息工程学院
错排问题
定理 用Dn表示{1, 2, …, n}的全部错排个数，则
Dn =| A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n | n n n n = n !− (n − 1)!+ (n − 2)!− ... + (−1) 0! 1 2 n 1 1 n 1 = n !(1 − + − ... + (−1) ) 1! 2! n!
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组合数学初步
计算机及信息工程学院
错排问题
例 在8个字母ABCDEFGH的全排列中，求 （1）仅ACEG四个字母不在原来位置上的排列数 （2）只有4个字母不在原来位置的排列数 （3）ACEG四个字母不在原来上的排列数 解 （1）8个字母中仅ACEG四个字母不在原来位置 上，其余4个字母保持不动，相当于4个元素的错排
鸽巢问题经典例题10道
鸽巢问题经典例题10道鸽巢问题是一种组合数学中的经典问题，也被称为鸽笼原理。
它源于一个直观的问题：如果在一个有限的鸽巢中放入超过鸽巢数量的鸽子，必定会有至少一个鸽巢中放入了多只鸽子。
在具体的问题中，鸽子可以表示为对象，而鸽巢可以表示为容器。
鸽巢问题的核心思想是，如果将多个对象放入少量的容器中，那么必然会有其中某一个容器中放入了多个对象。
以下是鸽巢问题的经典例题及其解析：1. 有五个鸽巢，但有六只鸽子，证明至少有一个鸽巢有两只鸽子。
假设每个鸽巢最多只能放一只鸽子，那么最多只能放五只鸽子。
然而，我们有六只鸽子，所以至少有一个鸽巢有两只鸽子。
2. 在一群人中，证明至少有两个人生日相同。
假设有365天的一年中有365个鸽巢（代表每天），而有超过365人。
根据鸽巢原理，至少有一个鸽巢中有两个人，也就是至少有两个人生日相同。
3. 在一副标准的扑克牌中，证明至少有五张牌的花色相同。
一副标准扑克牌共有52张牌，而有四种花色（鸽巢）。
根据鸽巢原理，如果我们从这副牌中选择了五张牌，那么至少有两张牌的花色相同。
4. 在一群人中，证明至少有两人的朋友数量相同。
假设一群人中的每个人代表一个鸽子，而每个人的朋友数量代表一个鸽巢。
如果我们有超过鸽巢数量的人（鸽子），那么根据鸽巢原理，至少有两个人的朋友数量相同。
5. 在一个装有11个苹果和5个橙子的框中，证明至少有一个水果箱中有两种水果。
假设我们有两种鸽子，分别代表苹果和橙子，而水果箱代表鸽巢。
如果我们将这16个水果放入11个水果箱（鸽巢）中，根据鸽巢原理，至少有一个水果箱中有两种水果。
6. 在一个装有50个球的袋子中，有10个红球、20个蓝球和20个绿球。
证明至少要从袋子中取出几个球，才能确保至少有两个颜色相同的球。
假设我们将红球、蓝球和绿球分别看作三种鸽子，而袋子中的球看作鸽巢。
根据鸽巢原理，如果我们从袋子中取出多于三种鸽巢数量的球，那么至少有两个颜色相同的球。
因此，取出四个球即可确保至少有两个颜色相同的球。
鸽笼原理题目和解析答案
鸽笼原理题目和解析答案
鸽笼原理是组合数学中的一个基本原理，也被称为鸽巢原理或鸽舍原理。
它是由鸽巢问题推导而来，用于解决计数问题中的分配原理。
本文将围绕鸽笼原理的题目和解析答案展开讨论。
一、题目
假设有10只鸽子，但只有7个鸽舍可以供它们栖息。
那么至少有几只鸽子会被安排在同一个鸽舍里？请根据鸽笼原理给出解析答案。
二、解析答案
根据题目描述，我们可以将鸽子数量设为n，鸽舍数量设为m。
根据鸽笼原理的表述，当n个鸽子被分配到m个鸽舍时，至少有一个鸽舍中会有⌈n/m⌉只鸽子。
应用到题目中，我们有10只鸽子和7个鸽舍。
按照鸽笼原理，至少有一只鸽舍中会有⌈10/7⌉=2只鸽子。
即至少有2只鸽子会被安排在同一个鸽舍里。
三、总结
鸽笼原理是一种非常有用且直观的计数原理，用于解决分配问题。
它的表述简洁明了，符合直觉。
在解题时，我们可以根据具体的题目描述将鸽子数量和鸽舍数量转化为n和m，并应用鸽笼原理的公式
⌈n/m⌉，得出最终的解析答案。
通过以上对鸽笼原理的题目和解析答案的讨论，我们加深了对鸽笼
原理的理解，并掌握了如何运用鸽笼原理解决实际问题。
同时，我们
也了解了在组合数学中，鸽笼原理的重要性和应用广泛性。
在解决计
数问题时，我们可以充分发挥鸽笼原理的作用，提升问题的解决效率。
鸽巢原理的数学应用
鸽巢原理的数学应用1. 什么是鸽巢原理鸽巢原理也称为鸽巢原理定理、鸽笼原理定理，是数学的一种基本原理，用于描述将多个对象映射到有限的目标集合中的过程。
鸽巢原理的形象化表达是将n只鸽子放到m个鸽巢中，如果n>m，那么至少有一个鸽巢会有多只鸽子。
2. 数学应用鸽巢原理在数学中有广泛的应用，包括组合数学、离散数学等领域。
下面将介绍其中一些常见的应用案例。
2.1. 生日问题生日问题是鸽巢原理最著名的应用之一。
问题描述如下：在一个房间里，至少需要多少人才能保证其中至少有两个人生日相同？假设一年有365天，忽略闰年。
根据鸽巢原理，我们可以得出答案。
解答步骤1.假设房间内有n个人，每个人的生日是随机的且独立分布的。
2.假设所有人的生日都不相同，即每个人在365个可能的生日中选择一个。
3.根据鸽巢原理，当n>365时，至少有两个人会选择相同的生日。
4.因此，当n>365时，可以保证至少有两个人生日相同。
2.2. 赛马问题赛马问题是另一个常见的鸽巢原理应用。
问题描述如下：有25匹马参加赛马比赛，每次比赛只能决出前三名，那么最少需要进行多少场比赛，才能确定出前三名马匹？解答步骤1.将参赛的25匹马分成5组，每组5匹马。
2.进行5场比赛，每组决出前三名，共计决出15匹马。
3.假设最快的三匹马分别来自不同的组。
考虑这三匹马在前一轮比赛中的情况：–如果有超过一组的马进入前三名，那么必定有一个组中的马进入了前三名，可知至少有一个组中的马进入了前三名，那么至少有一个组中的马进入了前15名。
–如果只有一组的马进入前三名，那么它们必定为前三名，可知至少有一个组中的马进入了前15名。
–因此，至少有一个组中的马进入前15名。
4.在第5轮比赛中，将前15名马分为3组，每组5匹马。
5.进行3场比赛，每组决出前三名，共计决出9匹马。
6.同样地，至少有一个组中的马进入前9名。
7.在第6轮比赛中，将前9名马分为3组，每组3匹马。
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设a1,a2,…,an是1,…,n的一个排列，证明，当n是奇数 时，(a1-1)(a2-2)…(an-n)是一偶数。
证明：只须证明上述因子中有一个是偶数即可。因 为只要有一个因子是偶数，则积必为偶数。 n是奇数时，1~n中有(n+1)/2个奇数， (n-1)/2个偶 数。 从而，a1,a3,…,an中至少有一个是奇数,设为a2i+1 这样以来，(a2i+1-(2i+1))为偶数。 乘积为偶数。证毕。
思考题
1. 2. 一个1*1的方格里任选5个点，则必存在两点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ其 距离<√2/2. 空间直角坐标系中，我们把(x,y,z)坐标均为整数 的点简称为格点，证明，任意9个格点中，必存 在两点，其连线的中点亦是格点。 设西工大在北京的办事处有90间房间。每次总 是有100人中的90人到那里出差，试设计一种配 钥匙方案，保证这100人中的任意90人到北京出 差时，至少有一间房间可让其使用。试问在这 一方案下，共配了多少把钥匙？
证明：构造数列：S1=a1, S2=a1+a2, …, Sn=a1+a2+…+an; 若某个Si已经可被m整除，则得证。 设不存在被整除的情况，则每个Si模m的余数ri满足： 1≤ri ≤m-1。 这样的ri共有m个。 根据鸽巢原理，存在i<j，但ri=rj。即Si与Sj同余。 从而有： Sj-Si=km=ai+1+ai+2+…+aj. 得证。
证明：在1~200中可选取100个数它 们中任何两个数互素。并证明所选 的100个数中的最小数不小于16。
显然，当选出的数为101时，可用鸽巢原理证 明，必存在两个数是倍数（或整除）关系。 本题证明参见《辅导》P301，7.7题
证明：任给m个正整数a1, a2, … , am， 必存在连续的若干项，其和是m的倍 数（能被m整除）。
3.
续：22题的情况
• • 若存在某一周没有做满12题，则a77+22<154,使得这154 个数最多到153,从而仍有aj=ai+22; 若每周都做满12题，那么a1,a2,…,a77, a1+22, a2+22, …,a77+22这154个数恰在1~154之间。
•
• •
若不存在i,j使得aj=ai+22,则它们取值遍历1,2,…,154。 即有a1=1,a2=2,…,a22=22。
一人以11周时间准备考试，他决定每天至少做一道 题，但每周不多于12题。证明：存在连续的若干天， 在这些天时他恰好做了21题。改为更少的题数如何？ 改为22题如何？ 令ai表示从第一天到第i天所做的题数之和。因为每 天至少做一题，有：a1<a2<…<a77<=12*11=132。 考虑序列:a1+21,a2+21,…,a77+21(<=153). 两个序列共有154个数，而ai≠aj(当i≠j时), 同理， ai+21≠aj+21(当i≠j时), 所以，必有某个aj=ai+21,即从第i+1天到第j天共做 了21题。 原命题改为小于21题，显然是成立的。
鸽巢原理例题
证明[1,2n]中任意n+1个不同的数中 至少有一对数互质
设这n+1数为a1<a2<…<an+1,令bi=ai+1 (i=1,2,…,n)。显然，b1<b2<…<bn<=2n, a1,…,an+1,b1,…,bn这2n+1个数中必有二数相 等，即存在bi与ai+1相等，而bi=ai+1,而ai与 ai+1（即ai+1)是互质的。