九年级数学上册2121配方法件新版新人教版
人教版九年级数学上册21.2.1 配方法课件(共19张PPT)
第2课时 配方法
像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次 方程的方法，叫做配方法．可以看出，配方是为了降次， 把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程．
第2课时 配方法
2 2x2 1 3x；
解：移项，得 2x2－3x=－1,
二次项系数化为1，得 x2 3 x 1 ,
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
第1课时 直接开平方法
问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用
这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全 部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子 的表面积为6x2dm2，列出方程 10×6x2=1500.
直
概念
根据平方根的意义求一元 二次方程的根的方法
接
开
平
基本思路
把方程化成x2=p或(x+n)2=p
方
法
策略思想
一元二次方程降次，转化为 两个一元一次方程
21.2.1 配方法
第2课时 配方法
第2课时 配方法
探究：怎样解方程x2+6x+4=0？ 我们已经会解方程（x + 3）2= 5.因为它的左边是含有x的完全平 方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程. 那么，能否将方 程x2+6x+4=0转化为可以直接降次的形式再次求解呢？ 解方程x2+6x+4=0的过程可以用下面的框图表示：
（2）当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根 x1 x2 0.
（3）当p<0时，因为对任何实数 x，都有x2≥0 ，所以方程（Ⅰ）无 实数根.
根据平方根的意义,直接
九年级数学上册21.2.1配方法教案新人教版(1)
21.2。
1解一元二次方程一、教学目标1。
学生通过自学探究掌握配方法解一元二次方程;2。
理解一元二次方程的基本思想—-将次3.掌握配方法一元二次方程的格式二、课时安排：1课时三、教学重点:掌握配方法解一元二次方程的过程。
四、教学难点:能够正确使用配方法解一元二次方程.五、教学过程（一）导入新课内容：探究一桶油漆可刷的面积为1500dm2 ,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗?设一个盒子的棱长为xdm，则它的外表面面积为,10个这种盒子的外表面面积的和为，由此你可得到方程为,你能求出它的解吗?解：6x2，10×6x2,10×6x2=1500,整理得x2=25，根据平方根的意义，得x=±5,可以验证,5和—5是原方程的两个根,因为棱长不能为负值，所以盒子的棱长为5dm,故x=5dm.【归纳结论】一般地，对于方程x2=p,（Ⅰ）（1）当p〉0时,根据平方根的意义，方程(Ⅰ）有两个不等的实数根x1=—，x2；（2）当p=0时,方程(Ⅰ）有两个相等的实数根x1=x2=0；（3)当p〈0时，因为对任意实数x，都有x2≥0,所以方程（Ⅰ）无实数根.（二）合作探究对上面题解方程（Ⅰ）的过程,你认为应该怎样解方程(x+3）2=5？学生通过比较它们与方程x2=25异同，从而获得解一元二次方程的思路。
在解方程（Ⅰ）时，由方程x2=25得x=±5.由此想到:由方程（x+3）2=5,②得x+3=即或x+3=③于是，方程（x+3）2=5的两个根为x1=—2=—。
探究训练：(1)x2＋8x＋ =（x＋4)2（2)x2－4x＋ =（x－）2(3)x2－___x＋ 9 =(x－）2【归纳结论】上面的解法中，由方程②得到③,实质上是把一个一元二次方程“降次"，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.（三)重难点精讲活动内容1：例题分析例题1. 用配方法解下列方程:x2+6x-7=0解:x2+6x=70x2+6x+9=7+9(x+3）2=16x +3=±4∴x 1＝1,x 2＝－7例题2。
九年级数学上册 21.2.1 配方法教案 (新版)新人教版
21.2.1配方法一、教学目标1、掌握配方法的推导过程，并能够熟练地进行配方.2、用配方法解数字系数的一元二次方程.3、在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能.二、教学设想结合旧的知识展开，重点讨论配方法解一元二次方程。
教学中，应注意循序渐进地让学生掌握用配方法解数字系数的一元二次方程的做法，并且理解配方是为了配成完全平方的形式，再利用直接开平方的方法将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程.三、教材分析本课时的教材在第一课时的基础上，通过对直接开平方的方法的理解，进一步引出用配方法解一元二次方程，然后再引导学生得出的这个方程的具体的解。
以直接开平方法为铺垫，把解一元二次方程转化为用配方法，也是为后面学习其它一元二次方程的解法作好准备。
四、重点难点重难点：使学生掌握配方法，解一元二次方程.把一元二次方程转化为q p x =+2)(.（q ≥0）五、教学方法引导学习法六、教具准备多媒体课件七、教学过程【引入】1．解下列方程，并说明解法的依据：（1）2321x -= （2） ()2210x --= 通过复习提问，指出这两个方程都可以转化为以下两个类型： ()()()2200x b b x a b b =≥-=≥和根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果b < 0，方程就没有实数解。
思考：利用直接开平方法解一元二次方程的特征是什么？形如（1）x 2=b(b 0≥)，(2)（x+a ）2=b (b 0≥)就可利用直接开平方法。
它的特征是：左边是一个关于未知数的完全平方式；右边是一个非负数。
且不含一次项。
符合这个特征的方程，就可利用直接开平方法。
2．复习完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2(1)x 2+6x+_____=(x+3)2 (2)x 2+8x+_____=(x+___)2(3)x 2-16x+_____=( )2(4)x 2-5x+______=_________(5)x 2+px+______=_________3．要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2，场地的长和宽应各为多少？分 析：设场地宽xm ，长（x+6）m ，根据矩形面积为16m 2，列方程，x （x+6）=16即x 2+6x-16=0.【互动】怎样解方程x 2+6x-16=0？引导考虑用直接开方法解一元二次方程.（小组探索）移项: 1662=+x x配方: 916962+=++x x (方程两边同时加上一次项系数一半的平方) 写成完全平方式: 25)3(2=+x采用直开法降次解题: 53±=+x解一元一次方程: 8,221-==x x像上边那样,通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.强调:无论是直接开平方法还是配方法,其本质都是先降次,化成一元一次方程解决问题.例题1：解下列方程：(1) 0182=+-x x ； （2）x x 3122=+； (3) 04632=+-x x .分 析：能否经过适当变形，将它们转化为（x+a ）2=b (b 0≥)的形式，应用直接开方法求解？解（1）原方程化为1422-=⨯-x x （移项） 16116422+-=+⨯-x x （方程两边同时加上16）15)4(2=-x （化为完全平方的形式）由此得： 154±=-x 154;15421-=+=x x（2）原方程化为_____________________ （移项）_____________________ （方程两边同时加上_____）_____________________, （化为完全平方的形式）由此得： _____________________, 21;121==x x (3) 原方程化为_____________________ （移项）_____________________ （方程两边同时加上_____）_____________________, （化为完全平方的形式）由此得： _____________________,无解.【练习】1．P39页：练习题第1题：填空。
人教版数学九年级上册 第二十一章《21.2.1配方法》课件(共21张PPT)
(2)x(x＋4)＝8x＋12．
2
2
2
3.解下列方程： (1)x2－x－ 74＝0；
(2)x(x＋4)＝8x＋12．
解： (2)去括号，移项，合并同类项，得x2－4x＝12， 配方，得x2－4x＋4＝12＋4，(x－2)2＝16， 由此可得x－2＝±4，x1＝6，x2＝－2．
5.一元二次方程y2 y 3 0
人教版数学九年级上册
第二十一章 二元一次方程
21.2.1 配方法
学习目标
1.了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的 步骤。
2.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次 方程。
3.在探索配方法时，感受前后知识的联系，体会配方的过 程以及方法。
4.通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，解 二次项系数不是1的一元二次方程，经历从简单到复杂的过程， 对配方法全面认识。
大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解：设个位数字为x，十位数字为x−3．
x2=10(x−3)+x
x2−11x+30=0
x
11 2 2
1 4
x=5或x=6
年龄为25或36岁，而立之年是三十岁，
所以周瑜去世时的年龄为36岁．
7.已知方程 x2-6x+q＝0 配方后是 (x-p)2=7 ，那么方程 x2+6x+q=0
配方后是( D )
A．(x-p)2=5
B．(x+p)2=5
C．(x-p)2=7
D．(x+p)2=7
归纳新知
1.通过配成完全平方的形式来解一元二次方 程的方法，叫做配方法。
2121 一元二次方程的解法(一)配方法-2021-2022学年九年级数学上练(人教版)(解析版)
21.2.1 一元二次方程的解法（一）配方法瞄准目标，牢记要点夯实双基，稳中求进直接开方法解一元二次方程原理：题型一：直接开方法解一元二次方程原理：【例题1】下列方程不能用直接开平方法求解的是（ ） A ．240x -= B ．2(1)90x --= C ．230x x += D ．22(1)(21)x x -=+【答案】C【分析】根据直接开方法求一元二次方程的解的类型客直接得出答案．【详解】能用直接开平方法求解的是：240x -=、2(1)90x --=和22(1)(21)x x -=+； 故选C ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）． 变式训练【变式1-1】关于x 的方程()2x a b +=能直接开平方求解的条件是（ ） A ．0,0a b ≥≥B ．0,0a ≥≤知识点管理 归类探究 1 (1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义. 特别说明：用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）．C ．a b ，为任意数D ．a 为任意数且0b ≥【答案】D【分析】根据一个数的平方是非负数，可得0b ≥． 【详解】∵()20x a +≥，∵0b ≥，a 为任意数，故选：D ．【点睛】本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，基本形式有：2x a =（a≥0）．形如关于x 的一元二次方程2x a ，可直接开平方求解题型二：形如关于x 的一元二次方程2x a ，可直接开平方求解【例题2】一元二次方程290x 的解是（ ）A ．3x =B ．3x =-C ．123,3x x ==-D ．12=3,3x x =-【答案】C【分析】先变形得到x 2=9，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解：x 2=9，x =±3，所以x 1=3，x 2=-3． 故选：C ．【点睛】本题考查了直接开平方法：形如x 2=p 或（nx +m ）2=p （p ≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 变式训练【变式2-1】方程280x -=的解为（ ） A ．14x =，24x =-B ．122x =，222x =-2 若0a则x a =±；表示为1,2x a x a ==- 方程有两个不等实数根 若=0a 则x=O 表示为120x x == 方程有两个相等的实数根 若0a则方程无实数根特别说明：(1)先移项，再开方；(2)形如2x a =的方程不一定有解，需要分情况讨论.C ．10x =，222x =D ．22x =【答案】B【分析】移项得x 2=8，然后利用直接开平方法解方程即可．【详解】解：移项得28x =，两边开方的：22x =±，即1222,22x x ==-，故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：直接开平方法，熟练掌握运算方法是解题的关键． 【变式2-2】方程x 2＝0的解为（ ） A ．0x = B ．120x x ==C ．无解D ．以上都不对【答案】B【分析】直接运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵x 2＝0，∵x 1=x 2=0．故选：B.【点睛】此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握直接开平方的方法是解本题的关键． 【变式2-3】一元二次方程224x =-的解是（ ） A ．2x =- B ．2x =C ．无解D ．12x =，22x =-【答案】C形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解题型三：形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解 【例题5】方程2(1)4x +=的解为（ ）A ．121,1x x ==-B ．121,3x x =-=C ．122,2x x ==-D ．121,3x x ==-【答案】D【分析】根据直接开平方法即可求解．3 形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解，两根是12,n m n mx x a a-+--==． 特别说明：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【详解】解2(1)4x +=x+1=±2∵x+1=2或x+1=-2 解得121,3x x ==- 故选D ．【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知直接开平方法的运用． 变式训练【变式5-1】2(31)9x -= 【答案】（1）x 1=43，x 2=23-；【分析】两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 【详解】解：（1）2(31)9x -=， 两边开方得：313x -=±， 解得：x 1=43，x 2=23-；【变式5-2】解方程：（1）22(2)180x +-= （2）229(2)4(25)x x -=+ （1）解：22(2)180x +-=， ∵22(2)18x +=， ∵2(2)9x +=， ∵23x +=或23x，解得：x 1=1，x 2=-5；（2）解：∵9（x -2）2=4 （2x +5）2．∵3（x -2）=2（2x +5）或3（x -2）=-2（2x +5）， 解得x 1=-16，x 2=47-配方法解一元二次方程题型四：用配方法给方程变形【例题3】（2021·浙江杭州市·八年级期中）用配方法解方程241x x -=时，原方程应变形为（ ） A ．2(2)1x -= B ．2(2)5x +=C ．2(2)1x +=D ．2(2)5x -=【答案】D【分析】移项，配方，变形后即可得出选项． 【详解】解：x 2-4x =1， x 2-4x +4=1+4， ∵（x -2）2=5，4 1．配方法的定义通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．2．用配方法解一元二次方程的一般步骤①通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，把原方程化为20(0)ax bx c a ++=≠的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，形如；⑤一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成的形式，那么就有：（1）当p ＞0时，原方程有两个不相等的实数根；（2）当p =0时，原方程有两个相等的实数根；（3）当p ＜0时，因为对任意实数x ，都有，所以原方程无实数根. . 特别说明：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．2()x n p +=2()x n p +=12x n p x n p =--=-+，12x x n ==-2()0x n +≥故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 变式训练【变式4-1】（2021·浙江杭州市·八年级期中）方程26100x x --=变形时，下列变形正确的为（ ） A ．2(3)1x += B ．2(3)1x -=C ．2(3)19x +=D ．2(3)19x -=【答案】D【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程移项得：x 2-6x =10，配方得：x 2-6x +9=19，即（x -3）2=19，故选：D ．【变式4-2】（2021·浙江杭州市·八年级期中）一元二次方程2660x x --=经配方可变形为（ ） A ．2(3)10x -= B ．()2642x -=C ．2(6)6x -=D ．2(3)15x -=【答案】D【分析】把方程左边化为完全平方式的形式即可．【详解】解：原方程可化为x 2-6x +32-32=6，即（x -3）2=15．故选：D ．【变式4-3】（2021·浙江杭州市·八年级期中）若方程280x x m -+=可通过配方写成2() =6x n -的形式，则285++=x x m 可配方成（ ） A ．2(5)1x n -+= B ．2()1x n +=C ．2(5)11x n -+=D ．2()11x n +=【答案】D【分析】已知方程x 2-8x +m =0可以配方成（x -n ）2=6的形式，把x 2-8x +m =0配方即可得到一个关于m 的方程，求得m 的值，再利用配方法即可确定x 2+8x +m =5配方后的形式． 【详解】解：∵x 2-8x +m =0， ∵x 2-8x =-m ， ∵x 2-8x +16=-m +16，∵（x -4）2=-m +16， 依题意有n =4，-m +16=6， ∵n =4，m =10，∵x 2+8x +m =5是x 2+8x +5=0， ∵x 2+8x +16=-5+16， ∵（x +4）2=11， 即（x +n ）2=11． 故选：D【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 题型五：配方法解一元二次方程【例题5】（2019·湖北黄冈市·九年级期中）解方程：2x 2﹣4x ﹣1＝0．【答案】x 1x 2 【分析】用配方法解一元二次方程即可. 【详解】解：∵2x 2﹣4x ﹣1=0， ∵2x 2﹣4x=1，则x 2﹣2x=12， ∵x 2﹣2x+1=32，即（x ﹣1）2=32，则x ﹣∵x 1=22+x 2=22． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程, 解题时要注意解题步骤的准确使用, 把左边配成完全平方式, 右边化为常数.变式训练【变式5-1】（2018·芜湖市繁昌区第三中学）解方程： 22310x x --=（用配方法）【答案】14x =，24x =；【分析】先两边同时除以2，再将原方程配方即可得出答案.【详解】解：231x 022x --= 2223331x 02442x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2317x 416⎛⎫-= ⎪⎝⎭∵1x =2x = 【变式5-2】（2018·全国九年级单元测试）x 2－4x ＋2＝0(配方法);【答案】x 1＝2x 2＝2【分析】方程的常数项移到方程右边,两边都加上4,左边化为完全平方式,右边合并,开方转化为两个一元一次方程来求解;【详解】解方程变形得: x 2－4x=-2 配方得: x 2-4x+4=2,即(x -2) 2=2,开方得:x -2=±解得:12x =22x =【变式5-3】（2019·江苏期中）解方程：x 2+6x ﹣2=0.【答案】x=﹣.【分析】利用配方法可求出一元二次方程的解. 【详解】∵x 2+6x ﹣2=0，∵x 2+6x=2，则x 2+6x+9=2+9，即（x+3）2=11， ∵x+3=±11， ∵x=﹣3±11.配方法的应用题型六：配方法用于比较大小【例题6】（2020·福建省永春第五中学九年级期中）已知7115P m =-,2815Q m m =-,（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（ ） A ．P ＞Q B ．P=QC ．P ＜QD ．不能确定【答案】C【分析】由题意表示出，再根据化简后的代数式的特征即可作出判断.【详解】解：∵∵P Q <故选C.【点睛】用不等式比较代数式的大小是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握. 变式训练【变式6-1】（2020·四川遂宁市·八年级期中）已知22862M x y x =-+-，29413N x y =++，则M N-5 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 特别说明：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．的值 （ ） A ．为正数 B ．为负数C ．为非正数D ．不能确定【答案】B【分析】将M -N 整理成-（x -3）2-（y+2）2-2，从而说明M -N 的值为负数． 【详解】∵M -N=8x 2-y 2+6x -2-（9x 2+4y+13） =-x 2+6x -y 2-4y -15=-[（x 2-6x+9）+（y 2+4y+4）+2]=-（x -3）2-（y+2）2-2， ∵M -N 的值为负数，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法的应用、非负数的性质--偶次方．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．【变式6-2】（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）若代数式238M x =+，224N x x =+，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M N ≥ B ．M N ≤C ．M N >D ．M N <【答案】C【解析】∵223824M x N x x =+=+，，∵222238(24)48(2)40M N x x x x x x -=+-+=-+=-+>， ∵M N >.故选C.【变式6-3】（2021·河北九年级专题练习）已知M=29a ﹣1，N=a 2﹣79a （a 为任意实数），则M 、N 的大小关系为（ ） A ．M ＜N B ．M=NC ．M ＞ND ．不能确定【答案】A【详解】∵M =219a -，N =279a a -（a 为任意实数），∵N -M =21a a -+=21324a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵N ＞M ，即M ＜N ，故选A ． 题型七：配方法用于求待定字母的值【例题7】（2018·全国九年级单元测试）已知2a 4b 18-=-，2b 10c 7+=，2c 6a 27-=-．则a b c ++的值是（ ） A ．5-B ．10C ．0D ．5【答案】C【分析】将已知三个式子相加后，配方即可得到a 、b 、c 的值，从而得出结论． 【详解】由a 2﹣4b =﹣18，b 2+10c =7，c 2﹣6a =﹣27得：a 2﹣4b +b 2+10c +c 2﹣6a +38=0，∵（a ﹣3）2+（b ﹣2）2+（c +5）2=0，∵a =3，b =2，c =﹣5，∵a +b +c =0． 故选C ．【点睛】本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 变式训练【变式7-1】（2020·江苏南通市·八年级期中）若x 2+y 2+4x ﹣6y+13=0，则式子x ﹣y 的值等于（ ） A ．﹣1 B ．1C ．﹣5D ．5【答案】C【分析】把给出的式子进行配方，根据非负数的性质求出x ，y 的值，再代入要求的式子即可得出答案． 【详解】∵x 2＋y 2＋4x−6y ＋13＝0， ∵x 2＋4x ＋4＋y 2−6y ＋9＝0， ∵（x ＋2）2＋（y−3）2＝0，∵x ＝−2，y ＝3， ∵x−y ＝−2−3＝−5； 故选C ．【点睛】此题考查了配方法的应用，用到的知识点是非负数的性质，通过配方求出x ，y 的值是解题的关键． 【变式7-2】（2021·黑龙江大庆市·八年级期末）已知三角形三边长为a 、b 、c ，且满足247a b -=，246b c -=-， 2618c a -=-，则此三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．无法确定【解析】∵a 2﹣4b =7，b 2﹣4c =﹣6，c 2﹣6a =﹣18，∵a 2﹣4b +b 2﹣4c +c 2﹣6a =7﹣6﹣18，整理得：a 2﹣6a +9+b 2﹣4b +4+c 2﹣4c +4=0，即（a ﹣3）2+（b ﹣2）2+（c ﹣2）2=0，∵a =3，b =2，c =2，∵此三角形为等腰三角形． 故选A ．【变式7-3】若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值. 解:22228160m mn n n -+-+=，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+= 22()(4)0m n n ∴-+-=，4,4n m ∴==.题型八：配方法用于求最值【例题8】（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·八年级期末）阅读下面的解题过程，求21030y y -+的最小值．解：∵21030y y -+=()()222102551025555y y y y y -++=-++=-+，而()250y -≥，即()25y -最小值是0； ∵21030y y -+的最小值是5 依照上面解答过程，（1）求222020m m ++的最小值； （2）求242x x -+的最大值． 【答案】（1）2019；（2）5．【分析】(1)利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用完全平方公式把原式变形，利用非负数的性质解答即可； 【详解】（1）2222020212019m m m m ++=+++ ()212019m =++∵()210m +≥，∵()2120192019m ++≥，∵222020m m ++的最小值为2019；（2）()2242215x x x x -+=--++()215x =--+，∵()210x -≥， ∵()210x --≤， ∵()2155x --+≤， ∵242x x -+的最大值是5.变式训练【变式8-1】（2019·辽宁大连市·八年级期末）已知关于x 的多项式24x mx -++的最大值为5，则m 的值可能为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．5【答案】B【分析】利用配方法将24x mx -++进行配方，即可得出答案.【详解】解：22244,24m m x mx x ⎛⎫-++=--++ ⎪⎝⎭故245,4m += 解得： 2.m =± 故选B.【变式8-2】（2020·全国八年级课时练习）不论,a b 为任何实数，2261035a b a b +-++的值都是（ ） A ．非负数 B ．正数 C ．负数 D ．非正数【答案】B【分析】利用完全平方公式配方，进而利用偶次方的性质得出答案． 【详解】2261035a b a b +-++22(3)(5)10a b =-+++>， ∵a 2＋b 2−6a ＋10b ＋35的值恒为正数．故选：B ．【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用以及偶次方的性质，正确配方得出是解题关键． 【变式8-3】（2020·山东威海市·八年级期中）若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ）A ．5x >B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤-【答案】D【分析】由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．【详解】∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∵不论a 取何值，x ≤﹣3． 故选D ．【真题1】（2016·湖北荆州市·中考真题）将二次三项式x 2＋4x ＋5化成(x ＋p)2＋q 的形式应为____. 【答案】(x ＋2)2＋1 【详解】试题分析：原式=2x +4x+4+1=()221x ++ 故答案为：()221x ++【真题2】（2010·河北中考真题）已知实数的最大值为______.【答案】4【解析】变形的配方试题，2230x x x y +++-=223x y x x +=--+ 2(211)3x y x x +=-++-+ 2(1)3x y x +=-+++1链接中考2(1)4x y x +=-++ 所以当1x =-时x y +的最大值为4【真题3】（2010·江苏镇江市·中考真题）已知实数的最大值为______.【答案】4 【解析】变形的配方试题，2230x x x y +++-=223x y x x +=--+ 2(211)3x y x x +=-++-+ 2(1)3x y x +=-+++12(1)4x y x +=-++ 所以当1x =-时x y +的最大值为4【拓展1】（2020·全国九年级课时练习）解方程：2232mx x -=+()1m ≠【答案】当1m 时，原方程的解是x =1m <时，原方程无实数解【分析】先移项，再合并同类项可得()215m x -=，根据1m ≠求出251x m =-，再讨论10m -<时，10m ->，分别计算出方程的解.【详解】解：移项得：2223mx x -=+， 化简得：()215m x -=，1m ≠，251x m ∴=-， 当10m -<时，2501x m =<-， ∴原方程无实数解，当10m ->时，2501x m =>-， 满分冲刺1x ∴==2x ==∴当1m 时，原方程的解是x ==当1m <时，原方程无实数解．【点睛】此题考查解一元二次方程，根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键.【拓展2】（2020·渠县崇德实验学校七年级期中）“a 2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x 2+4x +5＝x 2+4x +4+1＝（x +2）2+1，∵（x +2）2≥0，∵（x +2）2+1≥1，∵x 2+4x +5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x 2﹣4x +5＝（x ）2+ ； （2）已知x 2﹣4x +y 2+2y +5＝0，求x +y 的值； （3）比较代数式：x 2﹣1与2x ﹣3的大小． 【答案】（1）﹣2，1；（2）1；（3）x 2﹣1＞2x ﹣3 【分析】（1）直接配方即可；（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x 、y 的值，再求x ＋y 的值； （3）将两式相减，再配方即可作出判断． 【详解】解：（1）x 2﹣4x+5＝（x ﹣2）2+1； （2）x 2﹣4x+y 2+2y+5＝0， （x ﹣2）2+（y+1）2＝0， 则x ﹣2＝0，y+1＝0， 解得x ＝2，y ＝﹣1， 则x+y ＝2﹣1＝1； （3）x 2﹣1﹣（2x ﹣3） ＝x 2﹣2x+2 ＝（x ﹣1）2+1， ∵（x ﹣1）2≥0，∵（x﹣1）2+1＞0，∵x2﹣1＞2x﹣3．【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方的关键步骤是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．【拓展3】（2019·全国九年级单元测试）阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4，∵（y+2）2≥0，∵（y+2）2+4≥4，∵y2+4y+8的最小值为4.仿照上面的解答过程，求x2-x+4的最小值和6-2x-x2的最大值．【答案】154；7.【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．【详解】解：（1）x2-x+4=（x-12）2+154，∵（x-12）2≥0，∵（x-12）2+154≥154．则x2-x+4的最小值是154；（2）6-2x-x2=-（x+1）2+7，∵-（x+1）2≤0，∵-（x+1）2+7≤7，则6-2x-x2的最大值为7．【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．配方法：先加上一次项系数一半的平方，使式中出现完全平方式，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．。
人教版数学九年级上册第二十一章《21.2.1配方法》课件(共18张PPT)
解：
x1 5, x2
5
4
解： 由题意可知 ax2=b 有两个根， 由直接开方法可知：m-1 与 2m+4互为相反数， 所以 m-1 + 2m+4=0， 所以 m= -1， 所以 m-1=-2，2m+4=2， 所以 b x2 4 ． a
再见
①
得 x + 3 = 5， 5
一元二次方程
降 转化 次 思想
一元一次方程
如何解形式为 (x+m)2=n (其中m，n是常数)的一元二次方程呢？
n有没有条件限制呢？
n≥0
直接开平方法适用于 x2=a (a≥0) 形式的一元二次方程的求解．这里的 x 既 可以是字母，单项式，也可以是含有未知数的多项式． 只要经过变形可以转化为 x2=a (a≥0) 形式的一元二次方程都可以用直接开 平方法求解．
人教版数学九年级上册
第二十一章 二元一次方程
21.2.1 配方法
学习目标
1.初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直 接开平方法解形如“x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)”的方程。
2.会对简单的一元二次方程进行配方。 3.通过对直接开平方法解一元二次方程的学习，进一 步了解数学与实际生活的紧密联系。
导入新知
市区内有一块边解长为一15米元的二正 次方程
方形绿地，经城市规划，2需1.2扩.1大 配方法 绿化面积，预计规划后的正方形 绿地面积将达到300平方米，请 问这块绿地的边长增加了多少米？ （结果保留一位小数）你能通过 一元二次方程解决这个问题吗？
解：设这块绿地的边长增加了x米。根据题意得：
典型例题
解下列方程： （1）(x+5)2=25；
21.2.1 配方法 初中数学人教版九年级上册教学课件
练一练
练一练
2.已知：a 是不等式5a 2 8 6(a 1) 7的最小整数解，请用配方法解
关于 x 的方程 x2 2ax a 1 0.
【解析】 解不等式5a 2 8 6(a 1) 7,得a 3,∴最小整数解为2.将a 2
为了将方程 x2 6x 4的左边配成完全平方的形式，方程两边必须同时
加上一次项系数一半的平方，即(6)2 9，使方程左边化成(x 3)2的形 2
式，再运用直接开平方法求解.加其他数不行.
探究二
配方法解一元二次方程
配方法：把方程ax2 bx c 0(a 0)的左边配成一个含有未 知数的完全平方式、右边时一个常数的形式，进而用直接开 方平法求解，这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程 的方法，叫做配方法.
利用平方根的意义直接开 平方
x2 7 x ( 7)2 3 ( 7)2，
2
4
24
即(x 7)2 25 . 4 16
x7 5 44
1.用配方法解方程： x2 4x 3 0.
【解析】 移项得 x2 4x 3，
配方得 x2 4x 4 3 4，即 x 22 7，
两边开方，得 x 2 7 ， 所以 x1 2 7 ， x2 2 7 .
探究
直接开平方法解一元二次方程
1.直接开平方法：利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方
法叫做直接开平方法.
2.方程 x2 p（Ⅰ）的根 （1）当 p 0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的 实数根 x1 p, x2 p ； （2）当 p 0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根 x1 x2 0； （3）当 p 0时，因为对认识实数 x，都有 x2 0，所以方程 （Ⅰ）无实数根.
x26x9 49
九年级数学上册 21.2.1 配方法教案 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级上册数学教案
配方法第1课时直接开平方法1.了解降次将一元二次方程转化为一元一次方程.2.能用直接开平方法解x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)形式的方程.【重点难点】会用直接开平方法解一元二次方程.【新课导入】1.你能求出方程x2=16中的未知数吗?2.把方程(x-1)2=9中的x-1看作一个整体,你能转化为两个一元一次方程吗? 【课堂探究】一、用直接开平方法解形如x2=p的一元二次方程1.一元二次方程2x2-6=0的解为x1=,x2=-.2.解方程4x2=9.解:由4x2=9,得x2=,两边直接开平方,得x=±,所以原方程的解为:x1=,x2=-.二、用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程3.解方程2(x+3)2-4=0.解:x1=-3+,x2=-3-.4. 解方程(2x+1)2=(x-1)2.解:两边直接开平方,得到2x+1=±(x-1),即2x+1=x-1或2x+1=-(x-1), 解得x1=-2,x2=0.1.只有二次项和常数项的方程x2=p(p≥0),方程两根为x=±.2.方程左边是完全平方式,右边是常数的方程(mx+n)2=p(m≠0,p≥0)方程可转化为两个一元一次方程mx+n=±p,解得x1=,x2=.1.方程x2-4=0的根是(C)(A)x=2 (B)x=-2(C)x1=2,x2=-2 (D)x=42.(2013某某)一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是(D)(A)x-6=-4 (B)x-6=4(C)x+6=4 (D)x+6=-43.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2-12x+35=0的根,则该三角形的周长为(B)(A)14 (B)12(C)12或14 (D)以上都不对4.关于x的一元二次方程(x-k)2+k=0,当k>0时的解为(D)(A)k+ (B)k-(C)k±(D)无实数解5.解方程:2y2=8.解:两边同除以2,得y2=4,所以y1=2,y2=-2.6.解方程:4(3x-2)2-32=0.解:移项,得4(3x-2)2=32,方程两边同除以4,得(3x-2)2=8.两边直接开平方,得3x-2=±2,所以3x-2=2或3x-2=-2.因此,原方程的解是:x1=,x2=.第2课时配方法1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.2.掌握配方法的推导过程,熟练地用配方法解一元二次方程. 【重点难点】配方法解一元二次方程.【新课导入】1.将x2+6x配成完全平方式且原整式不变(x+3)2-9.2.你能将方程x2-2x-5=0的左边配成完全平方式吗?【课堂探究】一、多项式的配方1.填空: x2-8x+16=(x-4)2.2.应用配方法把关于x的二次三项式x2-4x+6变形,然后证明:无论x取任何实数值,二次三项式的值都是正数.解:x2-4x+6=x2-4x+4-4+6=(x-2)2+2,无论x取任何实数值,(x-1)2≥0,则(x-1)2+2>0.所以无论x取任何实数值,二次三项式的值都是正数.二、配方法解一元二次方程3.解方程x2-2x-1=0.解:移项,得x2-2x=1,配方,得(x-1)2=2,两边开平方,得x-1=±,所以x1=1+,x2=1-.4.用配方法解方程4x2-12x-1=0.解:二次项系数化为1,得x2-3x-=0,移项,得x2-3x=,配方,得x2-3x+-2=+-2,得到x-2=,则x-=±,∴x1=+,x2=-.小结:配方法解一元二次方程的关键一步是:配方,即方程两边同时加上一次项系数一半的平方,化成(x+m)2=n(n≥0)的形式.1.配方法:通过配成完全平方式来解一元二次2.配方法解一元二次方程的步骤方程的方法. (1)移项:方程右边只有常数项,(2)化1:二次项系数化为1,(3)配方:方程化为(x+m)2=n形式,(4)开方:n≥0时,方程两边直接开方,n<0时,无解,(5)求解:解两个一元一次方程得原方程解.1.(2013某某)用配方法解方程x2-2x-1=0时,配方后所得的方程为(D)(A)(x+1)2=0 (B)(x-1)2=0(C)(x+1)2=2 (D)(x-1)2=22.用配方法解方程x2-x-1=0应该先变形为(C)(A)x-2= (B)x-2=-(C)x-2= (D)x-2=03.方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为(B)(A)12 (B)15(C)12或15 (D)不能确定4.解方程:x(x+4)=21.解:原方程即x2+4x=21,配方,得(x+2)2=25,两边开平方,得x+2=±5,所以x1=-7,x2=3.5.解方程:-2x2+2x+1=0.解:化二次项系数为1,得x2-x-=0,移项,配方, 得x2-x+=+即x-2=,两边开平方, 得x-=±,所以x1=,x2=.。
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4.方程(x-m)2=n(n为正数)的解是
x =m+ 1
n
,x 2
=m-
n.
解：直接开平方得x-m n,
所以x-m= n或x-m=- n，
所以x =m+ 1
n
,x 2
=m-
n.
故填x =m+ 1
n
,二次方程的一般 步骤是什么? 首先将一元二次方程化为左边是含有未知数 的一个完全平方式,右边是非负数的形式,.直接开平方法是解一元二次方程的最基本的 方法,主要解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方 程,解方程的理论依据是平方根的定义.
九年级数学上 新课标 [人]
21.2解一元二次方程
学习新知检测反馈 牛牛文档分 享问题思考（1）什么是一个数的平方根？平方根有哪些性 质？
（2）计算：9的平方根是 根＿ ＿52
±3
，4 25ຫໍສະໝຸດ 的平方（3）如果 x2 36=±4,地,对于方程x2=p:
(1)当p>0时,方程有两个不相等的实数根
x1 p , x2 p
(2)当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0;
(3)当p&l程3x2+27=0的解是 ( C )
A.x=±3
B.x=-3
C.无实数根
D.以上都不对
解析:移项,得3x2=-27,系数化为1,得x2=-9, 因为-9<0,所过直接将某一个数开平方解一 元二次方程程.(抢答) (1)x2=9; (2)9x2-144=0.
解:(1)根据平方根的意义,得x=±3, ∴x1=3,x2=-3. (2)移项,得9x2=144,系数化为1,得x2=16
棱长不能为负数,所以正例解方程 解下列方程. (1)x2=4; (2)x2-2=0.
解:(1)根据平方根的意义得x=±2, ∴x1=2,x2=-2.
(2)移项得x2=2,∴x=± 2
即 . x1 2 , x2 2
2.利用直接开平方法解一元二次方程时,要注 意开方的结果.
3.方程(x+n)2=p中,当p&l方程的基本策略是 降次,依据是平方根的概念.
直接开平方法适合解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元 二次方程.
一元二次方程(x+n)2=p根的情况: 当p≥0时,方程有实数根,当p<0时,方程没有实 数根.
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问题1：一桶油漆可刷的面积为1500 dm2,李林用 这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子 的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?
(1)设其中一个盒子的棱长为x dm,则这个盒子
的表面积为
dm2;
(2)据题意可得等量关系为
;
(3)根据等量关系可列方程
;
(4)化简可得. 牛牛文档分 享A.x1=5,x2=-1 B.x1=-5,x2=1 C.x1=11,x2=-7 D.x1=-11,x2=7
(A )
解析:直接开平方得x-2=±3,即x-2=3或x-2=-3, 所以方程的两个根是x1程(x+h)2=k,方程必须满 足的条件是 ( A ) A.k≥0 B.h≥0 C.hk>0 D.k<0
,x2=-3-
(2)两边同时除以4,得
x 32 5
4=
即x 3 5 , x 3 5
2
2
方程的根为x1 3
5 2
或x2解一元二次方程的基本策略 是什么?
“降次”是解一元二次方程的基本策略,直 接开平方法是根据平方根的意义,把一个 一元二次方程“降次”,达到转化为-3-=,
解形如(x+n)2=p(p≥0)的方程
.
解下列方程.
(1)(x+3) 2=5;
(2)4(x+3)2=5.
解:(1)直接开平方,得x+3=± 5
即x 3 5或x 3 5
方程的根x程. (1)4x2=81; (2)(x-2)2=5; (3)36x2-1=0; (4)系数化为1得 x2 81
解:设其中一个盒子的棱长为x dm,则这个盒 子的表面积为6x2 dm2. 根据题意,得10×6x2=1500,整理,得x2=25. 根据平方根的意义,得x=±5. 即x1=5,x2=-5(不合题意,舍去) 答:其中25的根,
(2)能用直接开平方法解的一元二次方程有什 么特点?方程的解是什么?
如果一个一元二次方程具有(x+n)2=p(p≥0) 的形式,那么就可以用直接开平方法求解, 方程的解为 x1