(完整版)空间直线和平面总结_知识结构图+例题,推荐文档

（三）空间中的角与距离 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角 θ：0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°
（ 0 时，b∥或b ）
（3）二面角：二面角的平面角 θ，0°≤θ≤180°
2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角； （2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。
m
对于③
l l // m
m m
∴②错
③正确
l
对于④ lm
/
/ /，如图
m
∴④错
∴①③正确，选 D
例 4. 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC 的
中点，作 EF⊥PB 交 PB 于点 F。（1）证明 PA//面 EDB。（2）PB⊥平面 EFD。
证：（1）连 AC，AC 交 BD 于 O，连 EO
∵底面 ABCD 是正方形
∴点 O 是 AC 中点
又 E 为 PC 中点
∴EO//PA
又EO 面EDB，且PA 面EDB ∴PA//面 EDB
（2）∵PD⊥底面 ABCD ∴BC⊥PD
又BCDC且PD DC D ∴BC⊥面 PDC
∴BC⊥DE
A' D面ABC
∠A' AD为侧棱AA 与底面成的角，即∠A' AC 60°
3. 空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。 4. 点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。
常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。
【典型例题】
例. 在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别是 A1B1 和 BB1 的中点，那么 AM 与 CM 所成角 的余弦值为（ ）
l
三垂线定理、逆定理
线面垂直判定 1
PA , AO为PO
线线⊥
线面垂直定义
在内射影
a 则aOA aPO
l
a
aPO aAO
la
a
a
线面⊥
面面垂直判定
面面⊥Βιβλιοθήκη Baidu
面面垂直性质，推论 2
b a
a , ab
a
a
面面垂直定义
l，且二面角 l
［知识串讲］ 空间直线和平面：
（一）知识结构
空间直线和平面
（二）平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化：
面面平行性质
//
a // b
a, b
a // b
a
a , b
b
a //
公理 4
线面平行判定
线线∥ (a//b,b//c
线面平行性质
a//c)
a //
证明BCAC' ，故只要证明AC' 平面A' BC。
证明： （1）∵AA' C' C为菱形 AC' A' C
又AC' A' B AC' 面A' BC
AC' BC
又∠ACB=90°，即 AC⊥BC BC面AA' C' C
又BC 面ABC
面ABC面AA'C'C
（2）作A' DAC于D 面AA'C'C面ABC，AC为交线
则AE面B1BCC1，A1E1面B1BCC1及EB1 / / E1C
AE面B1 AB1BC1
BCC1
EB1BC1 EB1 / / E1C
E1CBC1 A1 E1面B1
BCC1
A1CBC1
注：三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。
例 6. 下列正方体中，l 是一条体对角线，M、N、P 分别为其所在棱的中点，如何证明 l⊥面 MNP。
成直二面角
3. 平行与垂直关系的转化：
a / /b b
a
a
a / /
a
线线∥
线面垂直判定 2 线面垂直性质 2
线面⊥
面面平行判定 2 面面平行性质 3
面面∥
a a / /b
b
/ / a
a
4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论：
∴l⊥面 MNP
例 7. 如图，斜三棱柱ABC A' B' C' 中，AC' A' B，AA' AC 8，AB 10，
∠ACB=90°，侧棱与底面成 60°的角。
（1）求证：面AA' C' C面ABC；
（2）求侧面AA' B' B的面积。
分析： 要证明面AA' C' C面ABC，只要证明BC面AA' C' C，又BCAC，只要
2 5
∴选 D
例 3. 已知直线l平面，直线m 平面，有下面四个命题：
① / lm ③l / /m
② l / /m ④lm / /
其中正确的两个命题是（ ）
A. ①与②
B. ③与④
C. ②与④
D. ①与③
对于① 分析：
l //
l m
lm
①正确
l
对于② a
/
l / /m，如图
a
b
a // b
a ,b
ab A
A
a // , b //
//
面面平行判定 1
线面∥
面面平行性质 1
//
a
a //
b a
面面平行性质
面面∥
//
//
//
2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：
a,b
a b O la, lb
又 E 为等直角三角形中点 DEPC且PC BC C ∴DE⊥面 PBC ∴DE⊥PB 又已知EFPB且EF DE E
∴PB⊥面 DEF
例 5. 正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB1⊥BC1，求证：A1C⊥BC1。
证明：设 E、E1 分别是 BC、B1C1 的中点，连 AE，A1E1，B1E，E1C
（1） D1 M
A1
P B1
N
l
D
A
B
C1 （2） D1
A1
l
M
C
D
P
A
C1 （3） D1
C1
B1
A1
P
B1
N
N
l
C B
D M A
C B
分析： ①l在侧面的射影显然与MP、MN垂直
MPl，MNl
l面MNP
②显然l分别与MN在底面上射影垂直及与MP垂直 l面MNP
③如图，取棱 A1A、DC、B1C1 的中点，分别记为 E、F、G，显然 EMFNGP 为平面图形，而 D1B 与该平 面垂直
A. 3
B. 10
C.3
D.2
2
2
5
5
分析：如图，取 AB 中点 E，CC1 中点 F 连结 B1E、B1F、EF
则 B1E//AM，B1F//NC ∴∠EB1F 为 AM 与 CN 所成的角
又棱长为 1
B1E
5 2
，B1 F
5 ，EF 2
6 2
cosEB1F
B1E 2 B1F 2 EF 2 2B1E B1F