(完整版)空间直线和平面总结_知识结构图+例题,推荐文档

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直线平面知识点总结

直线平面知识点总结一、直线的概念与性质1. 直线的定义：直线是无限延伸的一维图形，它上面的任意两点都可以用线段相连。

2. 直线的性质：(1) 直线上的任意两点确定一条直线；(2) 直线的长度是无限的；(3) 直线的任意一点到另一点的距离无限；(4) 直线的方向是唯一确定的。

3. 直线的表示方法：直线可以用两个点的坐标表示，也可以用方程表示。

二、点、直线、平面的位置关系1. 点与直线的位置关系：(1) 点在直线上；(2) 点在直线的一侧；(3) 点在线段上；(4) 点与直线相交；(5) 点与直线平行。

2. 点与平面的位置关系：(1) 点在平面上；(2) 点在平面的一侧；(3) 点与平面相交；(4) 点与平面垂直。

3. 直线与平面的位置关系：(1) 直线在平面内；(2) 直线在平面的一侧；(3) 直线与平面相交；(4) 直线与平面平行；(5) 直线与平面垂直。

三、直线的倾斜度1. 直线的斜率：直线的斜率是指直线上两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。

斜率为正表示直线上升，斜率为负表示直线下降，斜率为零表示水平直线，斜率不存在表示垂直直线。

2. 直线的斜角：直线与x轴正方向之间的夹角称为直线的斜角。

3. 直线的方向角：直线与x轴之间的夹角称为直线的方向角。

四、直线的方程1. 一般式方程：Ax + By + C = 0 （A和B不同时为0），其中A、B、C是实数。

2. 斜截式方程：y = kx + b （k为斜率，b为截距）3. 截距式方程：x/a + y/b = 1 （a和b为截距）4. 点斜式方程：y - y1 = k(x - x1) （k为斜率，(x1,y1)为直线上的一点）5. 两点式方程：(y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 - x1)五、平面的概念与性质1. 平面的定义：平面是无限延伸的二维图形，平面上的任意三点都可以用线段相连。

2. 平面的性质：(1) 平面上的任意三点确定一个平面；(2) 平面的长度和宽度是无限的；(3) 平面的方向是无限的；(4) 平面与平面之间的夹角是唯一确定的。

直线和平面知识点总结

直线和平面知识点总结直线和平面是几何学中非常重要的基本概念。

它们的性质和相关定理在几何中有着广泛的应用，并且对于理解三维空间中的几何关系也非常重要。

在本文中，我们将总结直线和平面的基本性质、相关定理以及相关的几何问题。

一、直线的性质1. 直线是由无限多个点构成的集合，它是最简单的几何图形之一。

2. 直线是由两个点确定的，任意两个不同的点确定一条直线，也就是说，直线上的任意一点都可以由这两个点表示。

3. 直线没有宽度和厚度，只有长度。

4. 直线可以延伸到无穷远，也可以在有限的范围内。

二、平面的性质1. 平面是由无限多个点构成的集合，它是一个二维的空间。

2. 平面上的三个非共线的点确定一个平面，也可以采用点和一条直线来确定一个平面。

3. 平面没有体积，只有面积。

4. 平面可以延伸到无穷远，也可以在有限的范围内。

三、直线和平面的关系1. 直线和平面有三种可能的关系：相交、平行、重合。

2. 如果一条直线和一个平面相交，那么它们只有一个公共点。

3. 如果一条直线和一个平面平行，那么它们没有公共点。

4. 如果一条直线和一个平面重合，那么它们有无数个公共点。

四、直线与平面的角度关系1. 直线和平面的角度关系可以分为内角和外角两种情况。

2. 内角：直线和平面的交角称为内角，如果一条直线和一个平面相交，那么它们形成两个内角。

3. 外角：直线和平面的非交角称为外角，如果一条直线和一个平面平行，那么它们形成两个外角。

五、直线和平面的垂直关系1. 如果一条直线和一个平面相交，并且直线上的所有点都和平面上的一个点垂直，那么这条直线和这个平面是垂直的。

2. 如果一条直线和一个平面平行，并且这条直线和平面上的一条直线垂直，那么这条直线和这个平面是垂直的。

3. 两个垂直的直线不能在同一个平面内，而两个平行的直线可以在同一个平面内。

六、直线和平面的距离1. 直线到平面的距离定义为直线上的任意一点到平面的距离的最小值。

2. 如果一个点到一个平面的距离为 d，那么它的所有点到这个平面的距离也是 d。

直线和平面知识点总结归纳

直线和平面知识点总结归纳一、直线的定义和特性1. 直线的定义：直线是由无数个点组成的几何图形，它是在任意两点之间存在着无数个点的图形，用两个点确定一条直线，叫做这条直线的一个方向向量。

2. 直线的性质：(1) 直线无始无终：直线是由无数个点组成的，所以它既没有始点也没有终点。

(2) 直线上的任意两点都可以确定一条直线。

(3) 直线的长度是无限的。

(4) 直线的方向是唯一确定的，可以用方向向量来表示。

3. 直线的方程：直线可以用点斜式、一般式、截距式等形式来表示。

(1) 点斜式方程：y-y₁=k(x-x₁)；(2) 一般式方程：Ax+By+C=0；(3) 截距式方程：x/a+y/b=1。

4. 直线的倾斜角和斜率：直线的倾斜角是指直线与x轴的夹角，而斜率是直线倾斜角的正切值。

5. 直线的位置关系：直线之间的位置关系有相交、平行和重合三种情况。

二、平面的定义和特性1. 平面的定义：平面是由无数个点和直线组成的几何图形，它是一个没有厚度的二维空间。

2. 平面的性质：(1) 平面上的任意三点都在同一条直线上。

(2) 平面上的任意两点都可以确定一条直线。

(3) 平面是无限的。

3. 平面的方程：平面可以用点法向式、一般式、截距式等形式来表示。

(1) 点法向式方程：Ax+By+Cz+D=0；(2) 一般式方程：Ax+By+Cz+D=0；(3) 截距式方程：x/a+y/b+z/c=1。

4. 平面的位置关系：平面之间的位置关系有相交、平行和重合三种情况。

5. 平面的倾斜角和法向量：平面的倾斜角是指平面与水平面的夹角，而法向量是平面垂直于的一个向量。

三、直线与平面的位置关系1. 直线与平面的位置关系：直线与平面之间的位置关系有相交、平行和垂直三种情况。

2. 直线与平面的夹角：直线与平面的夹角是指直线在平面上的投影线与直线本身的夹角。

3. 直线与平面的交点：直线与平面的交点是指直线与平面的一个或多个交点，可以通过代入直线方程和平面方程求得。

空间的直线和平面单元知识小结

空间的直线和平面单元知识小结一、基础知识1、空间点线面的基本关系（点是元素，线、面是点的集合）公理1：公理2：公理3：推论（1）（2）（3）公理4：等角定理：2、点线面的关系符号（1）点A在直线m上点A不在直线m上（2）直线在平面α上（3）直线m与平面α相交于点P平面α与平面β相交于直线a3、空间线面之间所成的角（1）异面直线所成的角：；范围是。

（2）直线与直线所成的角：；范围是。

（3）直线与平面所成的角：；范围是。

（4）二面角的平面角：；范围是。

4、空间的平行与垂直关系直线与平面垂直的判定：直线与平面平行的判定：平面与平面平行的判定：平面与平面垂直的判定：5、异面直线的公垂线：5、一些结论（1）两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面。

（2）垂直于同一平面的两直线平行。

（3）垂直于同一直线的两个平面平行。

（4）过直线外一点作已知直线的平行线有且仅有一条。

（5）过直线外一点作直线的垂线有无数条。

（6）过一点作平面的垂线有且只有一条。

二练习题1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中：O为AC与BD的交点（1）求直线AD1与BD所成的角；（2）直线A1O与平面ABCD所成的角（3）直线A1C与平面BC1D所成的角（4）直线A1O与C1D的距离2、在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，（1）四边形EFGH是什么图形？满足什么条件时会是矩形、菱形、正方形？（2）若AB=BC=CD=DA=AC=BD,分别求异面直线AB与CD所成的角，异面直线AC与DF所成的角，直线AB与平面BCD所成的角，平面ABC与平面BCD所成的角。

3、己知正方形ABCD边长为a，PA⊥平面ABCD（1）求点P到BC的距离（2）平面PBC与平面ABCD所成的角（3）若PA=AB=a，AD=2a，求异面直线PC与BD所成的角（4）若PA=AB=AD=a,M、N分别是AC、PB的中点，求异面直线MN与BC所成的角。

空间直线与平面-----知识要点

异面直线
直线和平面
两个平面
夹角
图示
定
义
由一点出发的两条射线组成的图形。
异面直线所成的角：作所成的角（锐角或直角）为异面直线所成的角。
直线与平面所成的角：a’是a在平面上的射影,a与a’所成锐角为直线与平面所成的角。
二面角的平面角：O在棱上，OA在α内，OA⊥棱，OB在β内，OB⊥棱，∠AOB是二面角的平面角。
性质定理
一个平面同时与两个平行平面相交，那么这两条交线平行。
公理4
平行于同一条直线的两条直线互相平行
六、空间直线与平面平行的判定方法
名称
图形
条件结论
判定方法
（文字叙述）
线面平行的定义
与
无公共点
一条直线与一个平面没有公共点
线面平行的判定定理
由线线平行得线面平行
面面平行的性质
由面面平行得线面平行
课本46页11题
线面垂直的定义
（逆）
由线面垂直得线线垂直.
课本46页10（2）
（大题中用时需证明）
三个两两垂直的平面的交线垂直。
九、空间直线与平面垂直的判定方法
名称
图形
条件结论
判定方法
（文字叙述）
线面垂直的定
⊥ ， ⊥
（为任意的）
一条直线若垂直于一平面内任意一条直线,则直线垂直于这个平面
线面垂直的判定定理
⊥
⊥ ⊥
空间直线与平面----概念定理
一．平面的基本性质及图示
基本性质
作用
图示
公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上所有点都在这个平面内.
判断线在面内的依据
公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们有且仅有一条通过这个点的公共直线.

解析几何ppt第3章平面及空间直线小结及复习

可得法式方程
Ax A B C
2 2 2

By A B C
2 2 2

Cz A B C
2 2 2

D A B C
2 2 2
0.
在取定符号后叫做法式化因子. 选取的符号通常与常数项 D 相反的符号,即
D 0.
四、平面的一般方程的特例
• 4. 平面的三点式方程
x x1 y y1 z z1 x x2 y y2 z z2 , l2 : X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2
的相关位置的充要条件为： ⅰ 异面
x2 x1 X1 X2 y2 y1 Y1 Y2 z2 z1 Z1 Z2 0
v2
M2

l2

ⅱ 相交 ⅲ 平行 ⅳ 重合
1 2 1 2
v1 v2
几何意义：两条异面直线 l , l 之间的距离等于以 M1M 2 , v1 , v2 1 2 为棱的平行六面体的体积除以以 v1 , v2 为邻边的平行四边形的面积.
两个异面直线的公垂线方程为：
M1 N1 N2平面的点位式方程
x x1 y y1 z z1 X 1 Y1 Z1 0 X Y Z x x2 y y2 z z2 X 2 Y2 Z 2 0 X Y Z
x x0 y y0 z z0 l: X Y Z
: Ax By Cz D 0
直线与平面之间的夹角为
sin cos n, v

nv nv

AX BY CZ A B C X Y Z
2 2 2 2 2 2
.
特例：

空间直线和平面概念整理

空间直线和平面概念整理1.空间直线、平面这一章节有哪几个章节组成？（1）平面直线；（2）空间两直线；（3）直线与直线平行，平面与平面平行；（4）直线与平面相交，平面与平面相交2.空间两直线位置关系有哪几种？（1）相交；（2）平行；（3）异面3.空间直线与平面的位置关系卫？（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交（包括垂直）；（3）直线与平面平行4.空间两平面位置关系？（1）平行；（2）相交（包括垂直）5.平面的概念中有哪几个公理？公理1：如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面内有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个点的公共线。

公理3：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面（也称确定一个平面）。

推论1：经过直线与直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

6.什么是等角定理？如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，则这两组直线所交的锐角（或直角）相等。

7.异面直线如何定义？什么是异面直线所成角？什么是两条异面直线互相垂直？（1）不同在任何一平面内的两条直线，叫做异面直线。

（2）经过空间任意一点，作两条异面直线的平行线，这两条平行直线所成的锐角（或直角）就称异面直线的所成角。

90，则称这两条异面直线互相垂直。

（3）若两条异面直线的所成角为8.直线与平面平行的判定（1）定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称直线与平面平行。

（2）判定：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（线线平行，面面平行）9.直线与平面平行的性质：定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（线面平行，线线平行）10.平面与平面平行的判定：（1）定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行。

高三数学第一轮复习：空间直线与平面知识精讲

高三数学第一轮复习：空间直线与平面【本讲主要内容】空间直线与平面空间直线与直线间关系、直线与平面间关系、平面与平面间关系【知识掌握】【知识点精析】（一）平面的基本性质和空间的两条直线1. 平面的基本性质公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．（如图1）公理 2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．（如图2）公理3 经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面．（如图3）推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面（如图4）．推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．（如图5）推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．（如图6）说明：公理1是研究直线与平面的关系，公理2是研究平面与平面的关系，公理3及三个推论是研究有关确定平面的条件. 公理中的“有且只有一个”的含义是“既存在且唯一”．2. 空间中两条直线位置关系平行——在同一平面内，没有公共点；相交——在同一平面内，有且仅有一个公共点；异面——不同在任何一个平面内．公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行．说明：公理4反映了平行线的传递性，它是证明等角定理的基础，也是论证平行问题的主要依据之一．3. 异面直线的判定及异面直线构成的角与距离（1）异面直线的判定方法主要有：①定义法：不同在任何一个平面内的两条直线；②定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．（2）求两条异面直线所成的角的一般步骤：①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使它们成为相交直线.这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中的某一条上的特殊点．②求相交直线所构成的锐角（或直角，）通常在三角形中，计算这个角的大小．（3）异面直线间的距离是指它们的公垂线的长度. 公垂线的确定方法：既相交又垂直．（二）空间的直线与平面1. 直线与平面的位置关系（1）直线在平面内；（2）直线与平面平行；（3）直线与平面相交；相关概念——直线与平面所成的角①平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和平面所成的角．②直线和平面垂直——直线与平面所成的角是直角．③直线和平面平行或直线在平面内——直线与平面所成的角是0°的角．2. 直线和平面平行的判定与性质直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．a∥α，a⊂β,α∩β=b⇒ a∥b 直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．即：a∥b，a⊄α，b⊂α⇒ a∥α.3. 直线和平面垂直的判定与性质（1）直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．即：a⊂α，b⊂α，且a,b相交，l⊥a, l⊥b⇒ l⊥α．（2）直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b．（3）三垂线定理及逆定理：在平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线的射影垂直．即：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α上的射影，a⊂α，a⊥AO⇔a ⊥PO．注：三垂线定理及其逆定理，揭示了平面内的直线与平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影这三条直线的垂直关系，其实质是平面内的一条直线与平面的一条斜线（或斜线在平面内的射影）垂直的判定定理．（三）空间的平面与平面1. 平面与平面的位置关系：（1）平行——没有公共点；（2）相交——有且仅有一条公共直线.2. 平面和平面平行的性质与判定（1）判定两个平面平行的方法：①根据定义——证明两平面没有公共点；②判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；③证明两平面同垂直于一条直线。

空间几何中的直线和平面知识点总结

空间几何中的直线和平面知识点总结直线和平面是空间几何中最基本的几何元素，它们在解决几何问题和应用数学中起到了重要的作用。

本文将对直线和平面的相关知识点进行总结，以便读者更好地理解和应用。

1. 直线的定义和性质直线是由无数个点组成的，它没有长度、宽度和厚度，可以看作是无限延伸的。

直线可以用两点确定，也可以通过斜率和截距的方式表示。

直线具有以下性质：- 直线上的任意两点可以确定一条直线。

- 直线上的任意一点与直线上的任意一点之间的距离是固定的。

- 直线上的相邻两点之间的线段是直线的一部分。

2. 平面的定义和性质平面是由无数个点组成的，它没有厚度，可以看作是无限延伸的。

平面可以用三个不共线的点确定，也可以通过法向量和过点的方式表示。

平面具有以下性质：- 平面上的任意三点不共线，可以确定一个平面。

- 平面上的任意一点与平面上的任意一点之间的距离是固定的。

- 平面上的任意两点之间的线段都在平面内。

3. 直线与平面的关系平面可以与直线相交、平行或重合：- 如果直线与平面相交于一点，则该点同时在直线和平面上。

- 如果直线与平面平行，则直线与平面没有公共点。

- 如果直线在平面上，则直线上所有的点都在平面上。

4. 平行线和垂直线直线之间的关系可以分为平行和垂直：- 如果两条直线在平面上没有公共点，它们互为平行线。

- 如果两条直线的斜率是互为倒数的关系，它们互为垂直线。

- 如果两条直线的斜率相同，但它们不重合，则可以判断它们既不平行也不垂直。

5. 平面之间的关系平面之间的关系可以分为平行和垂直：- 如果两个平面没有公共点，它们互为平行平面。

- 如果两个平面的法向量互为垂直关系，它们互为垂直平面。

6. 直线和平面的交点直线与平面相交于一点，可以使用解方程或者向量的方法求出交点的坐标。

如果直线与平面平行或重合，它们没有交点。

7. 斜线和斜面如果直线不在平面上，即使两者存在交点，也不构成斜线和斜面的关系。

斜线和斜面的定义如下：- 斜线：直线在空间中的投影线与平面的交点为一点。

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2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
①柱体的体积 V S底 h
②锥体的体积
V
1 3 S底
h
③台体的体积
V 13（S上上 S S下下 S ) h
④球体的体积V 4 R3 3
1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 —— 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a
画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
β
P
α ·L
3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
共面直平行直线：同一平面内，没有公共点；
4.斜二测法：在坐标系 x 'o ' y ' 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于 x
的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC、平面 ABCD 等。
（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.
3 三个公理：
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
（1）若 A1B2 A2B1 0 ，两直线相交；
（2）若 A1B2 A2B1 0 ，两直线平行或重合；
（3）若 A1A2 B1B2 0 ，若两直线垂直。
10.点 (x1, y1)和(的x2中, y点2 ) 坐标是

(完整word版)《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结,推荐文档

《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结1.内容归纳总结（1）四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面它给出了确定一个平面的依据。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。

符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈I 且。

公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。

符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。

（2）空间中直线与直线之间的位置关系1.概念异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。

（易知：夹角范围090θ<≤︒）定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

（注意：会画两个角互补的图形）2.位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种：//l l A l ααα⊂⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩I 直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点（4）空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ⎧⎨=⎩I 两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线直线、平面平行的判定及其性质1.内容归纳总结（1）四个定理1.内容归纳总结（一）基本概念1.直线与平面垂直：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α垂直，记作l α⊥。

平面和直线知识点总结

平面和直线知识点总结1. 平面的基本概念平面是几何学中最基本的基本图形之一，它是一个没有边界的二维空间。

在数学上，平面可以用坐标系中的方程或者向量来表示。

平面上的任意两点都能确定一条直线，任意三点不在一条直线上。

在欧氏空间中，平面还有着平行、相交、共面等基本性质。

平面分为射影平面、仿射平面、欧氏平面等不同的类型。

2. 平面的性质（1）平面上的直线性质：平面上的任意两点都能确定一条直线，平面上的一点和一直线也可以确定唯一一条直线，平面上不存在一条直线以上的直线。

（2）平行线与垂直线：在平面上，两条直线如果不相交且不重合，则它们是平行的；两条直线如果相交成直角，则它们是垂直的。

3. 直线的基本概念直线是具有长度但没有宽度和高度的几何元素。

在欧氏几何中，直线是任意两点的集合，它具有无限延伸的性质。

直线也可以通过方程或者向量进行表示。

直线在解析几何中有着重要的应用，也是数学中的一个基本概念。

4. 直线的性质（1）直线的斜率：直线的斜率描述了直线的倾斜程度，直线与坐标轴的夹角可以通过斜率来计算。

（2）直线的方程：直线可以用各种不同的方程形式来表示，如点斜式、斜截式、截距式等。

（3）直线的平行与垂直关系：直线之间的平行和垂直关系在几何学中有着重要的意义，可以通过斜率判断直线的平行和垂直关系。

平面和直线在几何学、数学、物理学等领域都有着广泛的应用，其性质和关系在解决实际问题中有着重要的作用。

研究平面和直线的性质和关系，有利于加深对几何学的理解，提高数学分析和解决问题的能力。

希望通过本篇总结，读者能够对平面和直线有更深入的认识，为进一步学习相关知识打下坚实的基础。

空间直线与平面的知识框架

空间直线与平面的知识框架空间的直线与平面，主要讨论三种位置关系：两直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系.两个主题证明：平行性和垂直性的证明.三种计算：角的计算(线线角、线面角、面面角)、距离的计算、面积与体积的计算.从交点的个数来看空间线面的位置关系：①对于两直线而言，由于交点的个数只有0和1这两种情形，0对应于平行或异面；1对应于相交，两个及两个以上重合，所以空间两直线的位置关系对应有平行、异面和相交三种情形；②对于直线与平面而言，由于交点的个数也只有0和1这两种情形，0对应于平行；1对应于相交，两个及两个以上对应于线在面内.所以空间的直线与平面的位置关系对应有，线面平行、线面相交和线在面内三种情形；③两平面的交点个数只有0或无数个且共线，0对应于平行；无数个且共线对应于相交，所以两平面只有平行和相交两种位置关系.【知识框架图】公理一.A ∈l ， B ∈l ，A ∈α，B ∈α，⬚֜l ⊂α. 公理二.P 是两不重合平面α、β的公共点，l ,且P l . (应用：证明线共点或点共线). 公理三.不共线三点确定一个平面. (应用：与三个推论一起作为作辅助平面的依据.证明点共线). 平行——公理4：a ∥b, b ∥c ， a ∥c. 相交——等角定理.异面——不同在任何一个平面内的两条直线. 异面直线所成角的求法：平移或补形；要求：“作—证—算”. 线在平面外相交判定性质 ①a α，α∥β，a ∥β.② a ∥α,aβ，α∩β=b ，a ∥b.a α，b α，a ∥b ，a ∥α. 平行垂直斜交判定性质 ①m ,n α，m∩n=A , m ⊥a,n ⊥a ，a ∥α. ② ③α⊥β， α∩β=m ,a α，a ⊥m ，a ⊥β.a ⊥α，b ⊥α， a ∥b.①三垂线及其逆定理. ②线面角的计算.平行相交 a ∥b,a ⊥α， b ⊥α.①a ∩b=A,a,b α，a ∥β，b ∥β，α∥β.②α∥β，α∩γ=a ，β∩γ=b ，a ∥b . 判定性质①α∥β，b β，b ∥α.②a ⊥α，a ⊥β，α∥β.垂直斜交:二面角的计算.判定性质 ①二面角是直二面角.①α⊥β，α∩β=m, a α,a ⊥m ，a ⊥β.②α⊥β，A ∈a,A ∈α，a ⊥β，a α.线在面内的判定——公理一，面面垂直的性质.空间直线与平面的位置关系②a ⊥α, a ⊥β，α∥β.直线与平面平面的基本性质直线与直线平面与平面【平行与垂直的证明依据】文字语言图形语言符号语言线线平行线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和已知平面相交，那么这条直线和交线互相平行.公理4：平行于同一直线的两直线互相平行.(平行的传递性).线面垂直的性质：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线互相平行.面面平行的性质：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么它们的交线互相平行.线面平行线面平行的判定：不在平面内的一条直线和这个平面内的一直线平行,则该直线与此平面平行.两平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面.面面平行面面平行的判定：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行.垂直于同一直线的两平面平行。