集合的概念PPT教学课件
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反之，如果X是一个奇数，那么X除以2的余数为1，它能表示为 X=2k+1（k∈Z）的形式。所以，X=2k+1（k∈Z）是所有奇 数的一个共同特征，于是奇数集可以表为 {X∈Z｜X=2k+1， k∈Z}.
再如，实数集，有限小数和无限循环小数都具有q╱p（p， q∈Z，p≠0）的形式，这些数组成有理数集，我们将它表示为 Q={X∈R｜X=q╱p，p，q∈Z，p≠0}. 其中，X=q╱p（p，q∈Z，p≠0）就是所有有理数具有的共同 特征。
例如，
不等式X-7<3的解是X<10，因为满足X<10的实数有无数个， 所以X-7<3的解集无法用列举法表示。但是我们可以利用解集中 元素的共同特征，即：X是实数，且X<10，把解集表示为 {X∈R｜X<10}.
又如，整数集Z可以分为奇数集和偶数集。对于每一个X∈Z，如 果它能表示为X=2k+1（k∈Z）的形式，那么X除以2的余数为1， 它是一个奇数；
（1）小于10的所有自然数组成的集合
解：设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A={0，1，2，3， 4，5，6，7，8，9}.
注，由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因 此一个集合可以有不同的列举方法，故以上例题的集合还可以写成 A={9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}.
集合E={X∈Z｜X=2k+1，k∈Z}也可表示为E={X｜ X=2k+1，k∈Z}.
练习
1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）A，B是平面α内的定点，在平面α内与A，B等距离的点； （2）高中学生中的游泳能手. 2.用符号“∈”或“∉”填空： 0＿N； -3＿N； 0.5＿Z； √2＿Z； 1╱3＿Q； π＿R.
再如，实数集，有限小数和无限循环小数都具有q╱p（p， q∈Z，p≠0）的形式，这些数组成有理数集，我们将它表示为 Q={X∈R｜X=q╱p，p，q∈Z，p≠0}. 其中，X=q╱p（p，q∈Z，p≠0）就是所有有理数具有的共同 特征。
例如，
不等式X-7<3的解是X<10，因为满足X<10的实数有无数个， 所以X-7<3的解集无法用列举法表示。但是我们可以利用解集中 元素的共同特征，即：X是实数，且X<10，把解集表示为 {X∈R｜X<10}.
又如，整数集Z可以分为奇数集和偶数集。对于每一个X∈Z，如 果它能表示为X=2k+1（k∈Z）的形式，那么X除以2的余数为1， 它是一个奇数；
（1）小于10的所有自然数组成的集合
解：设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A={0，1，2，3， 4，5，6，7，8，9}.
注，由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因 此一个集合可以有不同的列举方法，故以上例题的集合还可以写成 A={9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}.
集合E={X∈Z｜X=2k+1，k∈Z}也可表示为E={X｜ X=2k+1，k∈Z}.
练习
1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）A，B是平面α内的定点，在平面α内与A，B等距离的点； （2）高中学生中的游泳能手. 2.用符号“∈”或“∉”填空： 0＿N； -3＿N； 0.5＿Z； √2＿Z； 1╱3＿Q； π＿R.
集合的概念-课件ppt
（一）集合的概念：
各种各样的事物或一些抽象的符号，都可以看作对象。
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就
说这个整体是有这些对象的全体构成的集合（或集）。 构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）
如：小于10的自然数 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 构成了一个集合
集合举例
3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来 表示一个集合.
例1：用列举法表示下列集合
（1）A {x N | 0 x 5} A {1，2，3，4，5} （2）B={2，3}
例2：用描述法表示下列集合
（1）{1，1}； （2）大于3的全体偶数构成的集合；
（二）“元素”与“集合”：
1. 集合通常用大写英语字母A，B，C，…来表示，元 素通常用小写英语字母a，b，c，…来表示；
2、元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 a∈A （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A， 记作要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.
问题：正偶数的集合怎么表示， 能否使用列举法？
{x R | x能被2整除，且大于0} 或{x R | x 2n, n N}
问题解决：用集合中元素的特征性 质来描述
2、描述法： 在集合I中，属于集合A的任意元素x都 具有性质p(x)，而不属于集合A的元 素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做 集合A的一个特征性质，于是集合A 可以表示如下：
3.空集
（1）考虑方程x+1=x+2的解的全体构成的集合.显然这 个集合不含任何元素.
（2）一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集， 记作Ф
知识探究
任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元 素有什么特征？
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04
差集的应用举例：在数据筛选中，可以使用差集运算找出满足某一条 件但不满足另一条件的记录。
补集及其运算
补集的定义：对于全集U 和它的一个子集A，由全 集U中所有不属于A的元 素组成的集合称为A的补 集，记作∁UA或~A。
补集的运算性质：满足德 摩根定律，即 ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB) ， ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB) 。
集合的包含关系
01
集合包含的定义
对于两个集合A和B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称
集合B包含集合A。
02
集合包含的性质
如果集合B包含集合A，则A是B的子集，即A⊆B。
03
集合包含的符号表示
B⊇A表示集合B包含集合A。
04
集合的应用
集合在数学中的应用
01
02
03
描述数学对象
集合论是数学的基础，用 于描述各种数学对象及其 性质，如数、点、线、面 等。
偏序集的概念
偏序集的定义
偏序集是一种具有部分顺序关系的集合，其中元素之间的比较不是完全的，而是部分的。 偏序关系通常表示为≤。
偏序集的性质
偏序集具有一些重要的性质，如自反性、反对称性和传递性。此外，偏序集还可以有最大 元、最小元、上界和下界等概念。
偏序集的应用
偏序集在数学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用，如用于描述数据结构中的排 序问题、经济学中的偏好关系等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
似，但要考虑隶属度的影响。
幂集的概念
幂集的定义
给定集合A，由A的所有 子集（包括空集和A本 身）组成的集合称为A 的幂集，记作P(A)。
幂集的性质
差集的应用举例：在数据筛选中，可以使用差集运算找出满足某一条 件但不满足另一条件的记录。
补集及其运算
补集的定义：对于全集U 和它的一个子集A，由全 集U中所有不属于A的元 素组成的集合称为A的补 集，记作∁UA或~A。
补集的运算性质：满足德 摩根定律，即 ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB) ， ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB) 。
集合的包含关系
01
集合包含的定义
对于两个集合A和B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称
集合B包含集合A。
02
集合包含的性质
如果集合B包含集合A，则A是B的子集，即A⊆B。
03
集合包含的符号表示
B⊇A表示集合B包含集合A。
04
集合的应用
集合在数学中的应用
01
02
03
描述数学对象
集合论是数学的基础，用 于描述各种数学对象及其 性质，如数、点、线、面 等。
偏序集的概念
偏序集的定义
偏序集是一种具有部分顺序关系的集合，其中元素之间的比较不是完全的，而是部分的。 偏序关系通常表示为≤。
偏序集的性质
偏序集具有一些重要的性质，如自反性、反对称性和传递性。此外，偏序集还可以有最大 元、最小元、上界和下界等概念。
偏序集的应用
偏序集在数学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用，如用于描述数据结构中的排 序问题、经济学中的偏好关系等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
似，但要考虑隶属度的影响。
幂集的概念
幂集的定义
给定集合A，由A的所有 子集（包括空集和A本 身）组成的集合称为A 的幂集，记作P(A)。
幂集的性质
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B {m Z | 6 N*} 3m
B {3,0,1,2}
小 结：本节课学习了以下内容：
1．集合的有关概念 （集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、 空集）
2．集合的表示方法 （列举法、描述法、文氏图共3种）
3．常用数集的定义及记法
作业： 1、列举集合的实例3个，用集合符号表示，并指 出其元素。 2、写出下列集合中的元素 （1）{大于-1且小于7的自然数} （2）{平方等于2的数} （3）{24的约数} 3、书上P7习题1、1第一题 选做题：求集合{3 , x, x2-2x}中x满足的条件。
课堂小练习一
1，下列条件，哪些可构成集合。 A 立方根等于自身的数 B 班级里高个子同学 C 西湖里的鱼 D 较大的数 2，若{1,2}={a,h}，则求 a, h。 3，A={平行四边形}，a为菱形，b为梯形， c为矩形，d为正方形。则不正确的是 ① a∈Ａ ② b ∈Ａ ③ c ∈Ａ ④ d ∈Ａ
第二节 函数及其性质
一、 函数的概念 二、 函数的几种特性 三、 反函数
一、 函数的概念
1．函数的定义
定义 1 设有两个变量 x和 y，若当变量 x在实数 的某一范围 D 内，任意取定一个数值时，变量 y 按照一 定的规律 f ，有惟一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的 函数,记作 y= f (x)， xD，其中变量 x称为自变量，变 量 y 称为函数（或因变量）．自变量的取值范围 D 称为 函数的定义域．
有限集与无限集 1、 有限集：含有有限个元素的集合。 2、 无限集：含有无限个元素的集合。 3、 空集：不含任何元素的集合。记作Φ，如：
{x R | x2 1 0}
课堂小练习二
（1）由实数 x,x,| x |, x2 ,3 x3 所组成的集合，
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Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
• 集合中的各个对象叫做这个集合的元素.
符号及关系表示
• 集合：A，B，C… • 集合的元素：a，b，c…
读作“a属于A”
• 若a是集合A的元素，记作 a A. 读作“a不属于A”
• 若a不是集合A的元素，记作 a A.
集合的元素的性质：
• 确定性：组成集合的元素，必须是能确定的， 不能模棱两可；
• 互异性：集合中的元素是互异的，不能重复出 现；
• 无序性：集合中的ຫໍສະໝຸດ 素没有一定的顺序（通常 用正常的顺序写出）.
集合的分类：
• 按元素个数：
– 有限集：含有有限个元素的； – 无限集：含有无限个元素的集合； – 空集：不含任何元素的集合，记作 .
常用集合：
• 实数集R
– （正实数集R＋ 、负实数集R－ ）
第一章 集 合
1.1.1 集合的概念
观察归纳 形成概念
（1）某职业学校电子电器专业全体学生构成的整体 （2）硬盘上存放在一个文件夹里的照片构成的整体 （3）所有能被2整除的数构成的整体 （4）平面直角坐标系中纵坐标为0的点构成的整体
归纳总结 概括定义
• 把能够确指的一些对象看作一个整体，这 个整体就叫做集合，简称集.
作
教材
P4 第3、4题
业
P9 习题1.1第1、2题
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
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第一讲 集合的概念
（两课时）
基础知识
• 一、集合的有关概念（描述性的） • 1、集合中元素的特性 • 确定性*、互异性*（检验）、无序性 • 2、集合的表示法 • 列举法、描述法、图示法(文氏图法)、区间 • 3、集合的分类（元素个数）：有限集、无限集 • 4、常用数集的符号：N、 Z、 Q、 R、 N+(N*) • 空集：指不含任何元素的集合，用Φ表示。
g(x)与A的关系。
看g(x)是否满足|g(x1)―g(x2)|≤4|x1―x2|
• 例2 已知A＝{a+2,(a+1)2,a2+3a+3}， 若1∈A，求实数a的取值范围。
分类讨论
注意：解出a后要检验，看是
否满足元素的互异性。
• 变1：已知集合A＝{x∈R|ax2+2x+1=0,a∈R}。 • ⑴若A中只有一个元素，求a的值； • ⑵若A中至多1个元素，求实数a的取值范围。
AB
A∪B
3、补集：①全集：若集合U含有我们所研究 的各个集合的全部元素，则U叫做全集。
x ∈∪且x A x∈CUA
UA
CUA
U是全集 A B A ____________ A B B ____________ A (Cu B) ________ (CU A) B U ________
高考题：
设U＝R，M＝ａ|ａ＝x 2 y, x, y Q ,则
下列说法中正确的是
A.M Q B.M CuQ
C.M Q
D.M Q
3、集合A {m | 6 N * , 且m Z}, 5m
用列举法表示集合 A ________
• 例1.设集合A＝{f(x)||f(x1)―f(x2)|≤4|x1―x2|, • |x1|≤1,|x2|≤1}，又g(x)＝x2―2x―1,试判断
例题3：已知集合M={x|x=3n,n∈Z}, N={x|x=3n+1,n∈Z},P={x|x=3n-1,n∈Z} 且a∈M,b∈N,c∈P,设d=a-b+c,则（ ） A、d∈M B、d∈N C、d∈P D、以上都不对 变1：M={x|x=4n+3,n∈Z},N={x|x=2n+1,n∈Z}
则M与N的关系。 变2：M={x|x=K/2+1/4,k∈Z},N={x|x=k/4+1/2 k∈Z}，则M与N的关系。
基础习题A： 1、1）某班个子比较（相当）高的同学。
2）无限接近0的实数。 3）倒数等于本身的实数。 4）06届洪中毕业生进入名牌大学的学生。 5）{3、1、1、2}。 6）{x|x2+1=0},其中构成集合的____.
2、 集合A {x | x a 2 b, a Z,b Z},
则a 1 ______ A 2 1
2、真子集（ ）：① A B ②存在
一个元素x’ ∈B,且x’ A A B
性质：A A,
3、相等关系： A
BA,,BA
A(非空)
AB
4、不包含关系（ ）：
A中的元素有些不在B中，且B中的元素有些
也不在A中。
三、集合的运算
1、交集:x∈A且x∈B x ∈A∩B
AB
A∩B
2、并集: x∈A或x∈B x ∈A∪B
变3： A={x|x=kπ/4,k∈Z},B={y|cos2y=0} C={z|tanz=1}则A,B,C的关系
例题4、已知A＝{x∈R|x2―2x―8＝0}，B＝
范围＿＿＿＿＿＿＿＿＿
变1：已知A＝{x∈R|x2―2x―8＝0}，B
注意：含参方程要注意方程的“身份”
变2：已知集合A={1,3,x},B={1,x2},且 A∪B={1,3,x},这样的x的值_________
二、表示元素与集合之间的关系:
有“属于∈”和“不属于 ”两种
情形
表关示键集在合于与是集否合满之足间集的合关的系条件
1、子集 （ ）：对于任何x0∈A,
总有x0∈B A B
＝{x∈R|x2＋ax＋4＝0}且 B A ，
则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿、
变2：已知集合A={x|－x2+3x+10≥0}, 非
空集合B={x|m+1≤x≤2m－1},若
，
则实B 数 mA的取值范围是
________________。
• 例5 某地对农户抽样调查，结果如下：电 冰箱拥有率为49%，电视机拥有率为85%， 洗衣机拥有率为44%，至少拥有上述三种 电器中两种以上的为63%，三种电器齐全 的为25%，那么一种电器也没有的相对贫 困户所占比例是多少？
数
bB
形 结 合
AaefdcCg U
变： 全集I={x|0≤x≤9,x∈N},CI(A∪B)={1，3} (CIA)∩B={6,8,9},(CIB)∩A={4,7},求A,B
I
Ⅰ 1、3
4
A Ⅱ
7
Ⅲ
B Ⅳ
之和为奇数的集合A的个数是( )
A.5
B.6
C.7
D.8
变3.集合A中有m个元素，若在A中增加1个元素， 则它的子集将增加_______个。
2、集合A={x|x=a2-4a+5,a∈R}
B={y|y=4b2+4b+2,b∈R}则A与 B的关系。
3、A={y|y= 1 x2 x ∈R},B={x|y= 1 x2 x ∈R} C={(x,y)|y= 1 x2 x ∈R},D={(x,y)|x=1}则A与 B，B与C的关系,C∩D=?
4、集合P={(x,y)|2x+y-2=0},Q={(x,y)|2x2-
ay2+(2a-1)xy+4ay-2=0},P Q,则实数a 的
值（ ）
A、1 B、1/2 C、0 D-1/2
5、已知A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1} 若A∩B={-3},求a的值。
6、U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},CUA={5} 则a=?
基础习题B：
1、集合M={a1,a2,…,an}，则其子集个数为＿＿＿ 个，真子集个数为＿＿＿个，非空真子集个数为
＿＿＿个，非空子集个数为＿＿＿个。
变1.已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，
则6－a∈M，则集合M的个数是（ ）
A. 5 个 B.6个 C.7个 D.8个
变2.若 {1} A {1,2,3,4,5} ，且A中所有元素
（两课时）
基础知识
• 一、集合的有关概念（描述性的） • 1、集合中元素的特性 • 确定性*、互异性*（检验）、无序性 • 2、集合的表示法 • 列举法、描述法、图示法(文氏图法)、区间 • 3、集合的分类（元素个数）：有限集、无限集 • 4、常用数集的符号：N、 Z、 Q、 R、 N+(N*) • 空集：指不含任何元素的集合，用Φ表示。
g(x)与A的关系。
看g(x)是否满足|g(x1)―g(x2)|≤4|x1―x2|
• 例2 已知A＝{a+2,(a+1)2,a2+3a+3}， 若1∈A，求实数a的取值范围。
分类讨论
注意：解出a后要检验，看是
否满足元素的互异性。
• 变1：已知集合A＝{x∈R|ax2+2x+1=0,a∈R}。 • ⑴若A中只有一个元素，求a的值； • ⑵若A中至多1个元素，求实数a的取值范围。
AB
A∪B
3、补集：①全集：若集合U含有我们所研究 的各个集合的全部元素，则U叫做全集。
x ∈∪且x A x∈CUA
UA
CUA
U是全集 A B A ____________ A B B ____________ A (Cu B) ________ (CU A) B U ________
高考题：
设U＝R，M＝ａ|ａ＝x 2 y, x, y Q ,则
下列说法中正确的是
A.M Q B.M CuQ
C.M Q
D.M Q
3、集合A {m | 6 N * , 且m Z}, 5m
用列举法表示集合 A ________
• 例1.设集合A＝{f(x)||f(x1)―f(x2)|≤4|x1―x2|, • |x1|≤1,|x2|≤1}，又g(x)＝x2―2x―1,试判断
例题3：已知集合M={x|x=3n,n∈Z}, N={x|x=3n+1,n∈Z},P={x|x=3n-1,n∈Z} 且a∈M,b∈N,c∈P,设d=a-b+c,则（ ） A、d∈M B、d∈N C、d∈P D、以上都不对 变1：M={x|x=4n+3,n∈Z},N={x|x=2n+1,n∈Z}
则M与N的关系。 变2：M={x|x=K/2+1/4,k∈Z},N={x|x=k/4+1/2 k∈Z}，则M与N的关系。
基础习题A： 1、1）某班个子比较（相当）高的同学。
2）无限接近0的实数。 3）倒数等于本身的实数。 4）06届洪中毕业生进入名牌大学的学生。 5）{3、1、1、2}。 6）{x|x2+1=0},其中构成集合的____.
2、 集合A {x | x a 2 b, a Z,b Z},
则a 1 ______ A 2 1
2、真子集（ ）：① A B ②存在
一个元素x’ ∈B,且x’ A A B
性质：A A,
3、相等关系： A
BA,,BA
A(非空)
AB
4、不包含关系（ ）：
A中的元素有些不在B中，且B中的元素有些
也不在A中。
三、集合的运算
1、交集:x∈A且x∈B x ∈A∩B
AB
A∩B
2、并集: x∈A或x∈B x ∈A∪B
变3： A={x|x=kπ/4,k∈Z},B={y|cos2y=0} C={z|tanz=1}则A,B,C的关系
例题4、已知A＝{x∈R|x2―2x―8＝0}，B＝
范围＿＿＿＿＿＿＿＿＿
变1：已知A＝{x∈R|x2―2x―8＝0}，B
注意：含参方程要注意方程的“身份”
变2：已知集合A={1,3,x},B={1,x2},且 A∪B={1,3,x},这样的x的值_________
二、表示元素与集合之间的关系:
有“属于∈”和“不属于 ”两种
情形
表关示键集在合于与是集否合满之足间集的合关的系条件
1、子集 （ ）：对于任何x0∈A,
总有x0∈B A B
＝{x∈R|x2＋ax＋4＝0}且 B A ，
则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿、
变2：已知集合A={x|－x2+3x+10≥0}, 非
空集合B={x|m+1≤x≤2m－1},若
，
则实B 数 mA的取值范围是
________________。
• 例5 某地对农户抽样调查，结果如下：电 冰箱拥有率为49%，电视机拥有率为85%， 洗衣机拥有率为44%，至少拥有上述三种 电器中两种以上的为63%，三种电器齐全 的为25%，那么一种电器也没有的相对贫 困户所占比例是多少？
数
bB
形 结 合
AaefdcCg U
变： 全集I={x|0≤x≤9,x∈N},CI(A∪B)={1，3} (CIA)∩B={6,8,9},(CIB)∩A={4,7},求A,B
I
Ⅰ 1、3
4
A Ⅱ
7
Ⅲ
B Ⅳ
之和为奇数的集合A的个数是( )
A.5
B.6
C.7
D.8
变3.集合A中有m个元素，若在A中增加1个元素， 则它的子集将增加_______个。
2、集合A={x|x=a2-4a+5,a∈R}
B={y|y=4b2+4b+2,b∈R}则A与 B的关系。
3、A={y|y= 1 x2 x ∈R},B={x|y= 1 x2 x ∈R} C={(x,y)|y= 1 x2 x ∈R},D={(x,y)|x=1}则A与 B，B与C的关系,C∩D=?
4、集合P={(x,y)|2x+y-2=0},Q={(x,y)|2x2-
ay2+(2a-1)xy+4ay-2=0},P Q,则实数a 的
值（ ）
A、1 B、1/2 C、0 D-1/2
5、已知A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1} 若A∩B={-3},求a的值。
6、U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},CUA={5} 则a=?
基础习题B：
1、集合M={a1,a2,…,an}，则其子集个数为＿＿＿ 个，真子集个数为＿＿＿个，非空真子集个数为
＿＿＿个，非空子集个数为＿＿＿个。
变1.已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，
则6－a∈M，则集合M的个数是（ ）
A. 5 个 B.6个 C.7个 D.8个
变2.若 {1} A {1,2,3,4,5} ，且A中所有元素