人教A版高中数学选修4-4课件直线的参数方程教学2.pptx
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选修4-4数学直线的参数方程【优质PPT】
演
练
参数方程为__________．
课 时
(2)由 α 为直线的倾斜角知 α∈__________，所以
作 业
课
sinα≥0，当 α∈(0，π)时，sinα＞0.
内
讲
练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
课
(3)直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：_____ 内
时 作 业
课 内
y＝3＋2
5 5 t.
讲
练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
经验证易知点
A(3,7)恰好在直线上，所以有
1＋
5 5
课 内
巩
t＝3，即 t＝2 5，即点 M 到点 A 的距离是 2 5.
固
自
而点 B(8,6)不在直线上，所以不能使用参数 t 的几
B．(－3,4)
练
课
C．(－3,4)或(－1,2)
D．(－4,5)或(0,1)
时 作
业
课 内 讲 练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
[解析] d＝ －2－ 2t－22＋3＋ 2t－32＝ 2， 课
内
∴t＝±
2 2.
巩 固
自 主 演
当 t＝ 22时，对应点为(－3,4)，
业
课 内 讲 练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
[解析] (1)因为倾斜角 α＝π6，所以 sinα＝12，
高中数学课件-人教A版4-4直线的参数方程 (共26张PPT)
x＝－4＋
23t，
y＝12t，
得 A 点坐标(12，323)，B 点坐标(－52， 23)．
4．求经过点(1,1)，倾斜角为 120°的直线截椭圆x42＋y2＝1 所 得的弦长．
解：由直线经过点(1,1)，倾斜角为 120°，可得直线的
参数方程为x＝1－12t，
y＝1＋
3 2t
(t 为参数)，代入椭圆的方
[解] (1)∵直线 l 过点 P(1,1)，倾斜角为π6，
∴直线的参数方程为x＝1＋tcosπ6， y＝1＋tsinπ6，
x＝1＋ 即
23t，
y＝1＋12t
为所求．
(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参
数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为
A(1＋ 23t1,1＋12t1)，B(1＋ 23t2,1＋12t2)，
以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4 整理得到 t2
＋( 3＋1)t－2＝0，
①
因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.
1．一直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝π4，求此直线与直线 3x＋
2y＝6 的交点 M 与 P0 之间的距离．
解：设直线的参数方程为x＝3＋ 22t， y＝4＋ 22t，
将它代入已知直线 3x＋2y－6＝0，
得 3(3＋ 22t)＋2(4＋ 22t)＝6.
解得 t＝－115 2，
∴|MP0|＝|t|＝115
2 .
2．已知直线 l 的参数方程为xy＝＝2－－1t＋， 3t， 求直线 l 的倾 斜角．
x＝－1＋ 解：若化成另一种形式
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参数方程第二讲2.3直线的参数方程课件(共37张PPT)
选修4-4 坐标系与参数方程
第二讲 参数方程
三 直线的参数方程
2.3 直线的参数方程
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
一 提出问题
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
x y
x0 y0
t
cos
（t为参数，
t sin
为常量）
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
思考：直线参数方程中的 t 的几何意义到底是什么？
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张P3π 4
1
2 t， 2
y 2 t sin 3π 2 4
2 t， 2
（t 为参数）
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
探究：直线的参数方程
思考：如何引进一个变量刻画直线上动点的变化？
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
已知过点M0 ( x0 , y0 )，倾斜角为 的直线l
设直线任一点M (x, y),
M 到M 0的距离d M 0M 向量M 0M
直线的参数方程的其他形式
x y
x0 y0
at bt
t 没有明显的几何意义
化为普通方程 y y0 b tan
第二讲 参数方程
三 直线的参数方程
2.3 直线的参数方程
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
一 提出问题
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
x y
x0 y0
t
cos
（t为参数，
t sin
为常量）
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
思考：直线参数方程中的 t 的几何意义到底是什么？
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张P3π 4
1
2 t， 2
y 2 t sin 3π 2 4
2 t， 2
（t 为参数）
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
探究：直线的参数方程
思考：如何引进一个变量刻画直线上动点的变化？
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
已知过点M0 ( x0 , y0 )，倾斜角为 的直线l
设直线任一点M (x, y),
M 到M 0的距离d M 0M 向量M 0M
直线的参数方程的其他形式
x y
x0 y0
at bt
t 没有明显的几何意义
化为普通方程 y y0 b tan
新人教A版选修4-4数学2.2.1《直线的参数方程》课件
（二） 教学目标
根据课程标准的要求和学生的实际情况，我确定本节 课的教学目标如下： （1） 知识与技能 ①掌握直线参数方程的标准式和一般式 ②对直线参数方程标准式中参数的几何意义的理解 ③ 学会直线参数方程标准式与一般式的转化
（2）过程与方法 通过回顾点斜式确定直线方程及利用向量的 有关知识，让学生积极、主动地参与观察， 分析、归纳进而得出直线的参数方程，培养 了学生运用类比法的数学思想方法解决问题； 通过参数几何意义的讨论，树立了数形结合 的思想。 （3）情感、态度与价值观 对参数方程的推导,培养学生的逻辑思维严谨 性,培养学生运用类比的数学思想,通过课堂活 动参与,激发学生学习数学的兴趣;同时,让学 生认识事物之间的普遍联系与互相转化。
x x0 y y 0 t 所以 x x0 lt （t为参数） l m y y0 mt
这是直线参数方程的一般形式。 如何利用直线参数方程的一般形式求出直 线的斜率？
直线的一个方向向量为
c (1, k ) ,
由向量共线可
m 得k tan ，再利用三角函数的定义求出直线 l
六、板书设计 （1）直线参数方程标准 式
（2）直线参数方程的一 般形式 x x0 lt （t为参数）
x x0 t cos y y0 t sin （t为参数）
例1： 例2： 例3：
（3）一般式到标准式的 转化公式 若m>0,则 t l 2 m 2 t ' 若m<0,则 t l 2 m2 t '
y y0 mt
七、作业布置
（1）基础：教材 P39 1,2.3 （2）提高：《红对勾》 P32
t
5 4 y 2 t 5
人教A版高中数学选修4-4课件《第二讲参数方程》本讲归纳整合
(1)P、M两点间的距离|PM|； (2)线段AB的长|AB|.
解 (1)∵直线 l 过点 P(2，0)，斜率为43，
设直线的倾斜角为 α，tan α ＝43，sin α ＝45，cos α ＝35，
∴直线 l 的参数方程为xy＝＝452t＋35t，(t 为参数)(*) ∵直线 l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程 y2＝ 2x 中，整理得 8t2－15t－50＝0，Δ＝(－15)2－4×8×(－50)>0.
它的参数方程；
(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
解 (1)由 ρ2－4 2ρ cosθ －π4 ＋6＝0 得， ρ 2－4ρcos θ －4ρsin θ ＋6＝0， 即 x2＋y2－4x－4y＋6＝0 为所求， 由圆的标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝2，
令 x－2＝ 2cos α ，y－2＝ 2sin α ，
________．
解析
x－1＝2cos
(1)y＝2sin θ
θ，
平方相加得(x－1)2＋y2＝4.
(2)由 x＝t＋1t 得，x2＝t2＋t12＋2，又 y＝t2＋t12，∴x2＝y＋2.
∵t2＋t12≥2，∴y≥2.
答案 (1)(x－1)2＋y2＝4 (2)x2－y＝2(y≥2)
题型二 圆的参数方程及其应用
在参数方程与普通方程的互化中，要注意参数方程与 普通方程应是等价的，即它们所表示的应是同一条曲线．
【例1】
(1)将参数方程xy＝＝21s＋in2cθos
θ
， (θ
为参数)化为普通方
程是________．
(2)
将
参
数
方
程
x＝t＋1t ， y＝t2＋t12
解 (1)∵直线 l 过点 P(2，0)，斜率为43，
设直线的倾斜角为 α，tan α ＝43，sin α ＝45，cos α ＝35，
∴直线 l 的参数方程为xy＝＝452t＋35t，(t 为参数)(*) ∵直线 l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程 y2＝ 2x 中，整理得 8t2－15t－50＝0，Δ＝(－15)2－4×8×(－50)>0.
它的参数方程；
(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
解 (1)由 ρ2－4 2ρ cosθ －π4 ＋6＝0 得， ρ 2－4ρcos θ －4ρsin θ ＋6＝0， 即 x2＋y2－4x－4y＋6＝0 为所求， 由圆的标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝2，
令 x－2＝ 2cos α ，y－2＝ 2sin α ，
________．
解析
x－1＝2cos
(1)y＝2sin θ
θ，
平方相加得(x－1)2＋y2＝4.
(2)由 x＝t＋1t 得，x2＝t2＋t12＋2，又 y＝t2＋t12，∴x2＝y＋2.
∵t2＋t12≥2，∴y≥2.
答案 (1)(x－1)2＋y2＝4 (2)x2－y＝2(y≥2)
题型二 圆的参数方程及其应用
在参数方程与普通方程的互化中，要注意参数方程与 普通方程应是等价的，即它们所表示的应是同一条曲线．
【例1】
(1)将参数方程xy＝＝21s＋in2cθos
θ
， (θ
为参数)化为普通方
程是________．
(2)
将
参
数
方
程
x＝t＋1t ， y＝t2＋t12
课件高中数学人教A版选修-节直线的参数方程PPT课件_优秀版
t表示有向线段M0P的数量。
求这条直线的方程.
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参数值分别为t1,t2. 求这条直线的方程.
x x at 0 若t=0,则M与点M0重合.
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参数值分别为t1,t2.
(t为参数） 此时,若t>0,则 的方向向上;
直线的参数方程可以写成这样的形式:
y M(x,y)
M0(x0,y0)
e
O
x
B
· y
· A M（x，y）x x0 t cos
·· M0（x0，y0）
y
y0
t
sin
(t是参数）
O
x
若M
为
0
中
点,
t
0
t1＋t2
0
•t表示有向线段M0P的数量。|t|=| M0M|
•t只有在标准式中才有上述几何意义
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参
请同学们回忆:
我们学过的直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0 )
斜截式： y kx b
两点式: y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
截距式： x y 1
ab
一般式: Ax By C 0
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
普通方程为y y k ( x x )或x x 。 3<0因此t不具有参数方程标准式中t的几何意
若t<0,则 的点方向向下;
直线方程后,符合直线方程,
0
0
0
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参数值分别为t1,t2.
t表示几何意义： 把它代入抛物线y=x2的方程,得
求这条直线的方程.
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参数值分别为t1,t2. 求这条直线的方程.
x x at 0 若t=0,则M与点M0重合.
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参数值分别为t1,t2.
(t为参数） 此时,若t>0,则 的方向向上;
直线的参数方程可以写成这样的形式:
y M(x,y)
M0(x0,y0)
e
O
x
B
· y
· A M（x，y）x x0 t cos
·· M0（x0，y0）
y
y0
t
sin
(t是参数）
O
x
若M
为
0
中
点,
t
0
t1＋t2
0
•t表示有向线段M0P的数量。|t|=| M0M|
•t只有在标准式中才有上述几何意义
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参
请同学们回忆:
我们学过的直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0 )
斜截式： y kx b
两点式: y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
截距式： x y 1
ab
一般式: Ax By C 0
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
普通方程为y y k ( x x )或x x 。 3<0因此t不具有参数方程标准式中t的几何意
若t<0,则 的点方向向下;
直线方程后,符合直线方程,
0
0
0
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参数值分别为t1,t2.
t表示几何意义： 把它代入抛物线y=x2的方程,得
人教A版高中数学选修4-4课件《2-3直线的参数方程》
M(-1,2)
B
t2 2t 2 0
O
x
2 10
2 10
解得t
，t
1
2
2
2
由参数t的几何意义得
AB t t 10
1
2
MA MB t t t t 2
12
12
探究
直线与曲线y f (x)交于M , M 两点，对应的参数
1
2
分别为t1, t2.
5
3
B. 或
2
C. 或
5
D. 或
6644
33
6
6
x 6.如直线
4
at
(t为参数）与曲线x2
y2
4x
y bt
1 0相切，则这条直线的倾斜角等于 或 2
33
1。直线
x
t
sin
20o
3 (t为参数）的倾斜角是
y t cos 20o
两点的距离之积。
解:因为把点M的坐标代入直线方
y
程后,符合直线方程,所以点M A
在直线上.
3
M(-1,2)
易知直线的倾斜角为 4
所以直线的参数方程可以写成
B
x=-1+tcos
3
4
y
2
t
sin
3
(t为参数）
O
x
4
2
y
x 1 t
即
2 (t为参数） A
2
把它代入抛y物 线2 y=x22的t 方程,得
高二数学人教A版选修4-4课件：2.3 直线的参数方程
由 t′的几何意义得|AB|＝|t1′－t2′|
＝ （t1′＋t2′）2－4t1′t2′＝2 10.
栏
易错点：忽略t具有几何意义的前提条件
目 链
【易错点解析】t 具有几何意义前提条件是直线的参数方程为标 接
准形式．
栏 目 链 接
参数 t 的绝对值是有向线段M→oM的长度， 而方程xy＝ ＝31＋ ＋t，3t(t 为参数)是非标准形式，
参数 t 不具有上述几何意义．
例2
设直线的参数方程为xy＝ ＝150＋－34t，t.
(1)求直线的普通方程；
(2)化参数方程为标准形式．
栏 目
链
解析：(1)由 y＝10－4t，得 t＝104－y，代入 x＝5＋3t，得 x＝5 接
＝|t|＝－cos3 α.
故|PA|·|PB|＝sin2 α·－cos3 α＝－sin122α.∵π2 <α<π，
栏 目 链
∴当 2α＝3π 2 ，即 α＝34π时，|PA|·|PB|有最小值，此时直线 l
接
的方程为
x＝3－ 22t，
(t 为参数)．
y＝2＋
2 2t
析疑难
提
能
力
分析：由直线的方程可知，直线的斜率为43，即直线的倾斜角(设
栏 目
链
为 α)的正切值为43，tan α＝34，则 sin α＝35，cos α＝45.因为点 P
接
在直线 l 上，为了方便运算，选择点 P 作为直线上的定点，到点 M
和点 N 的距离可以根据参数方程的特点及几何意义或者两点之间的
距离公式来求．
则|PM|·|PN|＝|t1t2|＝2（1＋s3in2α）.
又直线与曲线相交，
人教A版高中数学选修4-4课件 2.3直线的参数方程课件2
∴t＝ 31＋4 1＝7( 3－1)．
∵t 为正值，∴|AB|＝7( 3－1)．
1．直线的参数方程的形式有多种，其中参数 t 不都具有
明确的几何意义．
2．经过点 M0(x0，y0)、倾斜角为 α 的直线的参数方程一
般写为xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α
(t 是参数)，
其中参数 t 具有明确的意义，在解题中注意应用．
2,6)的距离．
分析：由直线的方程可知，直线的斜率为34，即直线的倾 斜角(设为 α)的正切值 tan α＝34，则 sin α＝35，cos α＝45.因为 点 P 在直线 l 上，为了方便运算，选择点 P 作为直线上的定 点，到点 M 和点 N 的距离可以根据参数方程的特点及几何意 义或者两点之间的距离公式来求．
过点P
10 2
，0 作倾斜角为α的直线与曲线x2＋
2y2＝1交于点M，N，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α值．
解析：设直线方程为x＝ 210＋tcos α， y＝tsin α
代入 x2＋2y2＝1，
得(1＋sin2α)t2＋ 10tcos α＋32＝0.
(t 为参数)，
则|PM|·|PN|＝|t1t2|＝21＋3sin2α. 又∵直线与曲线相交， 则 Δ＝10cos2α－4×32·(1＋sin2α)≥0. 得 sin2α≤14. ∴当 sin α＝12(0≤α＜π)， 即 α＝π6或 α＝56π时， |PM|·|PN|有最小值65.
3．在上述参数方程中，参数 t 的系数具有明显特点，由 α∈[0，π)可知，sin α>0，且 sin2α＋cos2α＝1.
(t′为参数)，其中 α
是直线的倾斜角，tan α＝ba，此时参数 t′才有如前所说的几
∵t 为正值，∴|AB|＝7( 3－1)．
1．直线的参数方程的形式有多种，其中参数 t 不都具有
明确的几何意义．
2．经过点 M0(x0，y0)、倾斜角为 α 的直线的参数方程一
般写为xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α
(t 是参数)，
其中参数 t 具有明确的意义，在解题中注意应用．
2,6)的距离．
分析：由直线的方程可知，直线的斜率为34，即直线的倾 斜角(设为 α)的正切值 tan α＝34，则 sin α＝35，cos α＝45.因为 点 P 在直线 l 上，为了方便运算，选择点 P 作为直线上的定 点，到点 M 和点 N 的距离可以根据参数方程的特点及几何意 义或者两点之间的距离公式来求．
过点P
10 2
，0 作倾斜角为α的直线与曲线x2＋
2y2＝1交于点M，N，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α值．
解析：设直线方程为x＝ 210＋tcos α， y＝tsin α
代入 x2＋2y2＝1，
得(1＋sin2α)t2＋ 10tcos α＋32＝0.
(t 为参数)，
则|PM|·|PN|＝|t1t2|＝21＋3sin2α. 又∵直线与曲线相交， 则 Δ＝10cos2α－4×32·(1＋sin2α)≥0. 得 sin2α≤14. ∴当 sin α＝12(0≤α＜π)， 即 α＝π6或 α＝56π时， |PM|·|PN|有最小值65.
3．在上述参数方程中，参数 t 的系数具有明显特点，由 α∈[0，π)可知，sin α>0，且 sin2α＋cos2α＝1.
(t′为参数)，其中 α
是直线的倾斜角，tan α＝ba，此时参数 t′才有如前所说的几
人教A版高中数学选修4-4直线的参数方程 名师公开课市级获奖课件(24张)
预习导学
课堂讲义
当堂检测
跟踪演练 3 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 2 x＝3－ 2 t， (t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相 y＝ 5＋ 2t 2 同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴) 中，圆 C 的方程为 ρ＝2 5sin θ .
预习导学 课堂讲义 当堂检测
[预习导引] 直线的参数方程
经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为
α α
π ≠ 2 的直线 l 的参数方程为
(t 为参数)，其中参数 t 的几何意义是：|t|是直线 → l 上任一点 M(x，y)到点 M (x ，y )的距离，即|t|＝|M M|.
1 x＝1＋2t， 解析 由题意可得直线 l 的参数方程为 (t 为参数)， y＝5＋ 3t 2 1 3 代入直线方程 x－y－2＝0，得 1＋ t－5＋ t－2＝0，解得 2 2 t＝－6( 3＋1).根据 t 的几何意义可知|MM0|＝6( 3＋1).
答案 6( 3＋1)
直线参数方程的形式不同，参数 t 的几何意义也不同，过定点
x＝x0＋at， b M0(x0，y0)，斜率为a的直线的参数方程是 (a、b 为 y ＝ y ＋ bt 0
常数，t 为参数).
预习导学
课堂讲义
当堂检测
π 跟踪演练 1 直线 l 经过点 M0(1，5)，倾斜角为 3 ，且交直线 x －y－2＝0 于 M 点，则|MM0|＝________.
同一条直线，则 λ 与 t 的关系是(
)
A.λ＝5t C.t＝5λ
B.λ＝－5t D.t＝－5λ
解析 由x－x0，得－3λ＝tcos α，由y－y0，得4λ＝tsin α，消
2-3直线的参数方程-课件(人教A版选修4-4)
经过点
3 A－3，－2，倾斜角为
α 的直线 l 与圆 x2＋y2＝25
相交于 B，C 两点． (1)求弦 BC 的长； (2)当 A 恰为 BC 的中点时，求直线 BC 的方程； (3)当|BC|＝8 时，求直线 BC 的方程； (4)当 α 变化时，求动弦 BC 的中点 M 的轨迹方程．
【错解】 把直线方程代入圆的方程，化简得 t2－6t＋2＝0. 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2，那么 t1＋t2＝6，t1· t2＝2， 由于|MA|＝|t1|，|MB|＝|t2|，从而|MA|· |MB|＝|t1· t2|＝2，|AB|＝|t2－t1| ＝ t1＋t22－4t1t2＝ 62－4×2＝2 7.
∴方程必有相异两实根 t1，t2，且 t1＋t2＝3(2cos α＋sin α)， 55 t1 · t2＝－ 4 . (1)|BC|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2 ＝ 92cos α＋sin α2＋55. (2)∵A 为 BC 中点，∴t1＋t2＝0， 即 2cos α＋sin α＝0，∴tan α＝－2. 3 故直线 BC 的方程为 y＋2＝－2(x＋3)， 即 4x＋2y＋15＝0.
， x＝1＋tcos 75° 方法：把原方程化为标准形式，即 ， y＝1＋tsin 75°
可以看出
直线的倾斜角为 75° .
特别提醒
x＝x0＋at b 过点 M(x0， y0)， 斜率为 k＝a的直线的参数方程为 y＝y0＋bt
(t 为参数)，这种形式称为直线的一般式参数方程，其中的参数 t 不是有向线段的数量轨迹是以 －2，－4 为圆心，以 4 为半径的圆．
易错盘点
(对应学生用书 P23)
易错点
不能正确运用直线参数方程参数 t 的几何意义 t x＝2－2， 已知过点 M(2，－1)的直线 l： y＝－1＋ t 2
人教A版高中数学选修4-4课件参数方程的概念ppt
意义。
2. 2.同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样 3. 3.在实际问题中要确定参数的取值范围
变式:
一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾 区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力,重 力加速g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？ （精确到1m）
例1:已知曲线C的参数方程是
B
( 25 , 0); 16
2、方程{ x sin (为参数)表示的曲线上 y cos 2
的一个点的坐标是 () C
A、(2,7)B、(1 , 1)，C、(1 , 1), D(1,0)
32
22
训练2：
已知曲线C的参数方程是
x y
1 2t at 2.
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(t为参数,a
x y
3t, 2t 2
(t为参数) 1.
（1）判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值。
训练1
1、曲线与xx轴的1 交t 2点, (坐t为标参是数(）) y 4t 3
A、（1，4）；B、(12C65、, 0D)、; (1, 3);
小结：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标
x，y都是某个变数t的函数 x f (t),
y
g (t ).
（2）
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y) 那都么在方这程条（曲2线）上就，叫做这条曲线的参数方程， 联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。
2
思考题：动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向的 速度分别为5和12,运动开始时位于点P(1,2),求点M的轨 迹参数方程。
高中数学人教A版选修4-4课件 第二讲参数方程
3 2 26 2 =4tan θ-6 2tan θ+ 11= 4 tan������+ , 4 4 3 2 3 2 26 当 tan θ- =0,即 tan θ= 时 ,|M0M| 2 取最小值 , 4 4 4 26 此时有 |M0M|= . 2 26 故点 M0 到双曲线的最小距离为 . 2
2
专题一
|PA|=
式 asin θ+bcos θ= ������2 + ������ 2 sin(θ+φ)求解 .
������ .转化为求关于 sin30°
θ 的三角函数的最值问题,利���� = 2cos������, (θ 为参数 ). ������ = 3sin������ 直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (2)设曲线 C 上任意一点 P(2cos θ,3sin θ), 解： (1)曲线 C 的参数方程为 则点 P 到 l 的距离为 d= |4cos θ+3sin θ-6|,
专题一
专题二
例1求下列条件下普通方程4x2+y2=16对应的参数方程: (1)设y=4sin θ,θ为参数; (2)以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数. 分析：对于(1),可以直接把y=4sin θ代入已知方程,解方程求出x 即可;对于(2),可寻找斜率k与此方程任意一点的坐标之间的关系来 求解. 解：(1)把y=4sin θ代入方程,得4x2+16sin2θ=16, 于是4x2=16-16sin2θ=16cos2θ. 所以x=±2cos θ. 由于参数θ的任意性, 可取x=2cos θ, ������ = 2cos������, 2 2 因此4x +y =16的参数方程是 ������ = 4sin������ (θ 为参数).
2
专题一
|PA|=
式 asin θ+bcos θ= ������2 + ������ 2 sin(θ+φ)求解 .
������ .转化为求关于 sin30°
θ 的三角函数的最值问题,利���� = 2cos������, (θ 为参数 ). ������ = 3sin������ 直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (2)设曲线 C 上任意一点 P(2cos θ,3sin θ), 解： (1)曲线 C 的参数方程为 则点 P 到 l 的距离为 d= |4cos θ+3sin θ-6|,
专题一
专题二
例1求下列条件下普通方程4x2+y2=16对应的参数方程: (1)设y=4sin θ,θ为参数; (2)以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数. 分析：对于(1),可以直接把y=4sin θ代入已知方程,解方程求出x 即可;对于(2),可寻找斜率k与此方程任意一点的坐标之间的关系来 求解. 解：(1)把y=4sin θ代入方程,得4x2+16sin2θ=16, 于是4x2=16-16sin2θ=16cos2θ. 所以x=±2cos θ. 由于参数θ的任意性, 可取x=2cos θ, ������ = 2cos������, 2 2 因此4x +y =16的参数方程是 ������ = 4sin������ (θ 为参数).
数学(选修4-4)课件2.2直线的参数方程
∴cos
α＝21，sin
α＝
3 2.
x＝1＋21t，
∴直线
l
的参数方程为 y＝
3 2t
(t 为参数)．①
∵直线 l 和椭圆相交，将直线的参数方程代入椭圆方程并
整理，得 5t2＋2t－4＝0.
∴Δ＝4＋4×5×4＞0.
设这个二次方程的两个实根为 t1，t2. 由根与系数的关系，得 t1＋t2＝－25，t1t2＝－54.
直线的参数方程
已知直线l过(3,4)，且它的倾斜
角θ＝120°.
(1)写出直线l的参数方程．
(解2)：求(直1)线直l线与直l 的线参x－数y方＋程1＝为0的xy＝＝交34＋＋点tt．csions
120°， 120°，
x＝3－21t，
即
y＝4＋
3 2 t.
x＝3－12t，
(2)把 y＝4＋
3 2t
由 M 为 AB 的中点，根据参数 t 的几何意义，
得|PM|＝t1＋2 t2＝51.
(2)|AB|＝|t2－t1|＝ t1＋t22－4t1t2＝
8245＝2
21 5.
1．过定点 P(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数)，|t|的几何意义是有向线段P→M的长
代入 x－y＋1＝0，得
3－21t－4－ 23t＋1＝0.解得 t＝0.
x＝3－21t，
把
t＝0
代入 y＝4＋
23t，
得两直线的交点为(3,4)．
【点评】 (1)已知直线经过的定点及直线的倾斜角，求参
数方程可利用xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α，
2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
(1)写出直线 l 的参数方程． (2)设 l 与圆 x2＋y2＝4 相交于两点 A、B，求点 P 到 A、 B 两点的距离之积． [思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方
程；(2)充分利用参数几何意义求解．
返回
[解]
π (1)∵直线 l 过点 P(1,1)，倾斜角为 ， 6
π x＝1＋tcos6 ， ∴直线的参数方程为 y＝1＋tsinπ， 6 3 x＝1＋ 2 t， 即 y＝1＋1t 2
为所求．
返回
(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参 数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 3 1 3 1 A(1＋ t1,1＋ t1)，B(1＋ t2,1＋ t2)， 2 2 2 2 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4 整理得到 t2 ＋( 3＋1)t－2＝0， 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|· |PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2. ①
返回
求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求
出交点坐标，根据直线参数方程中参数t的几何意义 即可求得结果，与常规方法相比较，较为简4,0)，倾斜角 α＝ ，l 与圆 x2＋y2 6 ＝7 相交于 A、B 两点． (1)求弦长|AB|； (2)求 A、B 两点坐标．
在 α∈[0，π)内无解；
返回
3 x＝－1＋－ 2 －2t， 而化成 y＝2＋1－2t 2 3 cos α＝－ 2 ， 则 sin α＝1 2 5π 得 α＝ . 6
时，
5π 故直线 l 的倾斜角为 . 6
返回
[例 2]
π 已知直线 l 经过点 P(1,1)，倾斜角 α＝ ， 6
人教版选修A4-4数学课件：2.3 直线的参数方程 (共24张PPT)
三
直线的参数方程
-1-
三
直线的参数方程
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X 新知导学 D答疑解惑
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AYIJIEHUO
D当堂检测
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学 习 目 标 思 维 脉 络 1.掌握 直线参数方程的标 准形式,理解 参数 t 的几何 直线的参数方程 直线的参数方程 意义. 2.能 利用直线的参数方程 直线的参数方程的应用 解决简单的实际问题.
答案：(1)
������ = 1 + ������, ������ = 5 +
3 ������ 2
1 2
(t 为参数)
(2)50°
-5-
三
直线的参数方程
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做一做2 若直线的参数方程为 截式方程为 .
-2-
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直线参数方程的标准形式 (1)标准形式:过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为 ������ = ������0 + ������cos������, (t 为参数). ������ = ������0 + ������sin������
1 ������ = 2 + ������, 2 3 ������ = 3 + ������ 2
(t为参数),则它的斜
解析：消去参数 t 可得 y=3+ 3(x-2), 化为斜截式方程为 y= 3x+3-2 3.
直线的参数方程
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学 习 目 标 思 维 脉 络 1.掌握 直线参数方程的标 准形式,理解 参数 t 的几何 直线的参数方程 直线的参数方程 意义. 2.能 利用直线的参数方程 直线的参数方程的应用 解决简单的实际问题.
答案：(1)
������ = 1 + ������, ������ = 5 +
3 ������ 2
1 2
(t 为参数)
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直线参数方程的标准形式 (1)标准形式:过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为 ������ = ������0 + ������cos������, (t 为参数). ������ = ������0 + ������sin������
1 ������ = 2 + ������, 2 3 ������ = 3 + ������ 2
(t为参数),则它的斜
解析：消去参数 t 可得 y=3+ 3(x-2), 化为斜截式方程为 y= 3x+3-2 3.
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{xa yb
cos sin
(为参数)
为离心角
椭圆 y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)的参数方程：
{x b cos y a sin
(为参数)
双曲线的参数方程 x2 - y2 =1(a>0,b>0)的参数方程为：
a2 b2
注意：双曲线：x2 a2
y2 b2
1的参数方程实质是由三角恒等式
sec2 tan2 1而代换得来的
x a sec
y
b
tan
(为参数)
为离心角
y2 - x2 =1(a>0,b>0)的参数方程为：
a2 b2
y x
a b
sec tan
(为参数)
注意:双曲线还有什么参数方程?
x t 1
{t y t 1
(t为参数)
t
｛ (t为参数) xet et yet et
抛物线y2 2 px( p 0)的参数方程：
空白演示在此输入您的封面副标题二、圆锥曲线的参数方程
1.圆的普通方程 (x x0 )2 ( y y0 )2 r 2
则圆的参数方程
x {
x0
r
cos
(为参数)
y y0 r sin
的几何意义：旋转角
二、圆锥曲线的参数方程
2.椭圆 x2 y2 1(a b 0)的参数方程： a2 b2
{x2 y2
pt 2 pt
(t为参数)
t的几何意义：
表示抛物线上除顶点外的任意一点 与原点连线斜率的倒数
经过定点M（0 x0,y0）,倾斜角为的直线L的参数方程
x=x0
y
y0
t cos t sin
(t是参数）
参数t 的几何意义:
t 表示参数t对应的点M 到定点M0的距离， uuuuuur r
当Muuu0uMuur与er同向时， t>0 当M0M与e反向时， t<0 当M与M0重合时， t 0
注意:直线参数方程的另外一种形式:
x y
x0 y0
at bt
(t为参数）
当a2 b2 1时， t不一定具有明显几何意义
参数t的几何意义的几个应用；
1.用参数t表示点的坐标、 2.直线上两点间的距离、 3.直线被曲线所截得的弦的长， 4.中点对应的参数t.
２.一条直线的参数方程是
x
1
1 2
t
(t为参数），
y
5
3t 2
另一条直线的方程是x-y-2 3 0,则两直线的交点
4 3 与点（1，-5）间的距离是
(0,3)
｛x1t y 5t
(t为参数)