高中数学 必修三 导学案：3.3
必修三-3.3几何概型导学案
§3.3.1几何概型(1) 班级______姓名得分学习目标：1.了解几何概型的概念及基本特点；2.掌握几何概型中概率的计算公式；3.会进行简单的几何概率计算自主学习1、复习与回顾：1. 基本事件的概念: 一个事件如果事件，就称作基本事件.基本事件的两个特点:10.任何两个基本事件是的；20.任何一个事件(除不可能事件)都可以.2. 古典概型的定义：古典概型有两个特征：10.试验中所有可能出现的基本事件；20.各基本事件的出现是，即它们发生的概率相同．具有这两个特征的概率称为古典概率模型. 简称古典概型.3. 古典概型的概率公式, 设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个基本事件，则事件A的概率P(A)定义为：P(A)=_____________________问题１．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断．剪得两段的长都不小于1m的概率是多少?２．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色,奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm．运动员在70m外射箭,假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的．射中黄心的概率是多少?2、新知生成：1.几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个理解为从某个特定的几何，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个则理解为恰好取到上述区域内的．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型2.几何概型的基本特点：（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有个；（２）每个基本事件出现的可能性．3.几何概型的概率公式：在区域D中随机地取一点, 记事件A=＂该点落在其内部一个区域d内＂，则事件A发生的概率()dP AD=的测度的测度= A构成事件的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)．说明：（１）D的测度不为0；（２）其中＂测度＂的意义依D确定，当D分别是线段,平面图形,立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积．（３）区域D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．例题学习：例1判下列试验中事件A发生的概度是古典概型，还是几何概型。
2019高中数学必修3导学案：3.3.1几何概型
人教版高中数学必修精品教学资料《3.3.1几何概型》导学案【学法指导】1.认真阅读教科书，努力完成“基础导学”部分的内容；2.探究部分内容可借助资料，但是必须谈出自己的理解；不能独立解决的问题，用红笔做好标记；3.课堂上通过合作交流研讨，认真听取同学讲解及教师点拨，排除疑难；4.全力以赴，相信自己！用。
2、如何利用几何图形，把问题转化为几何概型问题。
学习难点正确判断几何概型并求出概率。
复习提问：1、古典概型的两个特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有____________.(2)每个基本事件出现的_____________________________.2、计算古典概型的公式：探究（一）1.一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；2.往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是有限的还是无限的。
那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如果求呢?进行下面的探究问题１：下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，甲壳虫分别在卧室和书房中自由地飞来飞去，并随意停留在某块方砖上，问在哪个房间里，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？问题2:图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜。
书房在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？（图见教材135页图3.3-1）问题3:甲获胜概率与区域的位置有关吗？与图形的大小有关吗?甲获胜可能性是由什么决定的？几何概型：定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_________________________成比例，则称这样的概率模型为______________概率模型(geometric models of probability)，简称几何概型。
几何概型的公式:几何概型的特点a) 试验中所有可能出现的基本事件有______________b) 每个基本事件出现的__________________________古典概型与几何概型的区别相同：两者基本事件发生的可能性都是___________的；不同：__________概型要求基本事件有有限个，______________概型要求基本事件有无限多个。
人教版高中数学必修第三册全册WORD讲义《导学案》
8.1.1向量数量积的概念(教师独具内容)课程标准：1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．教学重点：平面向量数量积的含义及几何意义．教学难点：向量的投影及数量积的几何意义.知识点一两个向量的夹角(1)定义：给定两个01非零向量a，b(如图所示)，在平面内任选一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则称02[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作03〈a，b〉.(2)根据向量夹角的定义可知，两个非零向量的夹角是唯一确定的，而且040≤〈a，b〉≤π，〈a，b〉＝05〈b，a〉.时，称向量a与向量b垂直，记作07a⊥b.在(3)垂直：当〈a，b〉＝06π2讨论垂直问题时，规定08零向量与任意向量垂直．知识点二向量数量积(内积)的定义一般地，当a与b都是非零向量时，称01|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝02|a||b|cos〈a，b〉.由定义可知，两个非零向量a与b的数量积是一个实数．知识点三平面向量的数量积的性质(1)当e是单位向量时，因为|e|＝1，所以a·e＝01|a|·cos〈a，e〉.(2)a⊥b⇔02a·b＝0.(3)a·a＝03|a|2，即04|a|＝a·a.(4)cos〈a，b〉＝05a·b(|a||b|≠0).|a||b|(5)|a·b|06≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．知识点四向量的投影如图1，设非零向量AB→＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量为向量a在直线l上的01投影向量或投影．类似地，给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l 上的投影称为a在向量b上的02投影.如图2中，向量a在向量b上的投影为03.可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量04共线，但它们的方向既有可能05相同，也有可能06相反.知识点五向量数量积的几何意义如图(1)(2)(3)所示．当〈a ，b 〉<π2时，A ′B ′→的方向与b 的方向01相同，而且||＝02|a |cos〈a ，b 〉；当〈a ，b 〉＝π2时，为零向量，即||＝030；当〈a ，b 〉>π2时，的方向与b 的方向04相反，而且||＝05－|a |cos 〈a ，b 〉.一般地，如果a ，b 都是非零向量，则称06|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 上的投影的数量．投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是07非负数，也可能是08负数.两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ，等于a 在向量b 上的投影的数量与b 的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．1．a 在b 方向上的投影的数量也可以写成a ·b|b |，它的符号取决于角θ的余弦值．2．在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.3．a ·b 的符号与a 与b 的夹角θ的关系设两个非零向量a与b的夹角为θ，则(1)若a·b>0⇔θ为锐角或零角．当θ＝0°时，a与b共线同向，a·b>0.或a与b中至少有一个为0.(2)a·b＝0⇔θ＝π2(3)a·b<0⇔θ为钝角或平角，当θ＝180°时，a与b共线反向，a·b<0.特别注意a，b共线同向与共线反向的特殊情况，即a·b>0(<0)，向量夹角不一定为锐角(钝角)．4．向量的数量积a·b＝|a||b|cosθ的主要应用(1)利用公式求数量积，应先求向量的模，正确求出向量的夹角(向量的夹角由向量的方向确定)．求夹角，应正确求出两个整体：数量积a·b与模(2)利用公式变式cosθ＝a·b|a||b|积|a||b|，同时注意θ∈[0，π]．(3)利用a·b＝0证明垂直问题．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a·b＝0，则a⊥b.()(2)两个向量的数量积是一个向量．()(3)当a∥b时，|a·b|＝|a||b|.()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(1)已知向量a与向量b的夹角为30°且|a|＝3，则a在b上的投影的数量为____.(2)已知|a|＝4，|b|＝22，且a与b的夹角为135°，则a·b＝____.(3)在直角坐标系xOy内，已知向量AB→与x轴和y轴正向的夹角分别为120°和30°，则BA→在x轴、y轴上的投影的数量分别为____和____.答案(1)32(2)－8(3)12|AB→|－32|AB→|题型一两个向量夹角的定义例1已知向量a，b的夹角为60°，试求下列向量的夹角：(1)－a，b；(2)2a，23b.[解]如图，由向量夹角的定义可知：(1)向量－a，b的夹角为120°.(2)向量2a，23b的夹角为60°.(1)向量的夹角是针对非零向量定义的．(2)注意向量的夹角是[0°，180°]．(3)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量CA→与AB→的夹角，作AD→＝CA→，则∠BAD才是向量CA→与AB→的夹角．|a|，求a－b与a的夹角．[跟踪训练1]已知向量a与b的夹角为60°且|b|＝12解如图，作OA→＝a，OB→＝b，则∠BOA＝60°，连接BA，则BA→＝a－b.取OA的中点D，连接BD，∵|b|＝1|a|，∴OD＝OB＝BD＝DA，2∴∠BDO＝60°＝2∠BAO，∴∠BAO＝30°.∴a－b与a的夹角为30°.题型二向量数量积的定义例2(1)已知|a|＝5，|b|＝2，若①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b.(2)已知|a|＝4，|b|＝2，b2－a2＝3a·b，求向量a与向量b的夹角．[解](1)①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝5×2×1＝10；若a与b反向，则它们的夹角为180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝5×2×(－1)＝－10.②当a⊥b时，则它们的夹角为90°，∴a ·b ＝|a ||b |cos90°＝5×2×0＝0.③当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a ||b |cos30°＝5×2×32＝53.(2)由题意，得4－16＝3a ·b ，∴a ·b ＝－4，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，向量a 与向量b 的夹角为120°.1．求向量数量积的一般步骤及注意事项(1)确定向量的模和夹角，根据定义求出数量积．(2)a 与b 垂直当且仅当a ·b ＝0.(3)非零向量a 与b 共线当且仅当a ·b ＝±|a ||b |.2．求向量夹角的一般步骤及注意事项(1)确定向量的模和数量积，根据夹角公式求出向量夹角的余弦值．(2)注意向量夹角的范围为[0，π]，从而确定夹角的大小．[跟踪训练2](1)已知|a |＝4，|b |＝5，向量a 与b 的夹角θ＝π3，求a ·b .(2)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，求a 与b 的夹角．解(1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×5×12＝10.(2)设a 与b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a ||b |＝21×4＝12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.题型三向量的投影例3已知直线l ，(1)|OA →|＝4，〈OA→，l 〉＝60°，求OA →在l 上的投影的数量OA 1；(2)|OB →|＝4，〈OB →，l 〉＝90°，求OB →在l 上的投影的数量OB 1；(3)|OC→|＝4，〈OC→，l〉＝120°，求OC→在l上的投影的数量OC1.＝2.[解](1)OA1＝4cos60°＝4×12(2)OB1＝4cos90°＝4×0＝0.(3)OC1＝4cos120°＝4 2.对向量投影的理解从定义上看，向量b在直线(或非零向量)上的投影是一个向量，投影的数量可正、可负、可为零．(1)当θ(2)当θ(3)当θ＝0时，该数量为|b|.(4)当θ＝π时，该数量为－|b|.注意：此处b为非零向量．时，该数量为0.(5)当θ＝π2时，a在e方向[跟踪训练3]已知|a|＝8，e为单位向量，当它们的夹角为π3上的投影的数量为()A．43B．4C．42D．8＋32答案B解析因为a在e方向上的投影的数量为|a|cosπ＝4，故选B.3题型四向量数量积的几何意义及应用例4(1)已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影的数量是32，则a ·b 为()A ．3 B.92C ．2D.12(2)如图，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，且AB ＝2DC ＝4.E 为腰BC 上的动点．求AE→·AB →的取值范围．[解析](1)设a 与b 的夹角为θ，a ·b ＝|a ||b |cos θ＝|b ||a |cos θ＝3×32＝92.(2)如图，过E 作EE ′⊥AB ，垂足为E ′，过C 作CC ′⊥AB ，垂足为C ′.则AE →在AB →上的投影为AE ′→，∴AE →在AB →上的投影的数量为|AE ′→|，由向量数量积的几何意义知AE →·AB →＝|AE ′→||AB →|＝4|AE ′→|.∵E 在腰BC 上运动，∴点E ′在线段C ′B 上运动，∴|AC ′→|≤|AE ′→|≤|AB→|，∴2≤|AE ′→|≤4，∴8≤4|AE ′→|≤16，∴AE→·AB→的取值范围是[8,16]．[答案](1)B(2)见解析利用向量数量积的几何意义求两向量的数量积需明确两个关键点：相关向量的模和一个向量在另一向量方向上的投影的数量，代入向量数量积的公式即可．利用向量数量积判断几何图形形状或解决最值范围问题时，常结合图形直观分析得到结果．[跟踪训练4](1)若E，F，G，H分别为四边形ABCD所在边的中点，且(AB→＋BC→)·(BC→＋CD→)＝0，则四边形EFGH是()A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形(2)已知a·b＝16，若a在b方向上的投影的数量为4，则|b|＝____.答案(1)C(2)4解析(1)因为(AB→＋BC→)·(BC→＋CD→)＝0，所以AC→·BD→＝0，所以AC→⊥BD→.又因为E，F，G，H分别为四边形ABCD所在边的中点，所以四边形EFGH的两组对边分别与AC，BD平行，且EF⊥EH，所以四边形EFGH为矩形．(2)设a与b的夹角为θ，因为a·b＝16，所以|a||b|cosθ＝16.又a在b方向上的投影的数量为4，所以|a|cosθ＝4，所以|b|＝4.1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影的数量为()A.125B．3C．4D．5答案A解析设a与b的夹角为θ，则向量a在b上的投影的数量为|a|cosθ＝a·b|b|＝12 5.2．已知|a|＝4，|b|＝2，当它们之间的夹角为π3时，a·b＝() A．43B．4C．83D．8答案B解析根据向量数量积的定义得a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝4×2×cosπ3＝4.3．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角θ的取值范围是()A.0，π6 B.π3，πC.π3，2π3 D.π6，π答案B解析由题意可得，Δ＝|a|2－4a·b≥0，∵|a|＝2|b|，∴cosθ≤12θ∈π3，π.故选B.4．(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是() A．e1在e2上的投影的数量为sinθB．e21＝e22C．任给θ∈[0，π]，(e1＋e2)⊥(e1－e2)D．不存在θ，使e1·e2＝2答案BCD解析对于A，因为e1，e2为单位向量，所以e1在e2上的投影的数量为|e1|cosθ＝cosθ，A错误；对于B，e21＝e22＝1，B正确；对于C，如图，设AB→＝e1，AD→＝e2，则易知四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，即(e1＋e2)⊥(e1－e2)，C正确；对于D，e1·e2＝1×1×cosθ＝cosθ≤1，所以D正确．5．在△ABC中，已知|AB→|＝|AC→|＝6，且AB→·AC→＝18，则△ABC的形状是____.答案等边三角形解析∵AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos∠BAC，∴cos∠BAC＝12，∴∠BAC＝60°.又|AB→|＝|AC→|，∴△ABC为等边三角形．一、选择题1．若|a|＝2，|b|＝12，〈a，b〉＝60°，则a·b等于()A.1 2B.1 4C．1D．2答案A解析a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×12×12＝12.2．在Rt△ABC中，角C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于()A．－16B．－8C．8D．16答案D解析解法一：∵AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos A，△ACB为直角三角形，∴AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|·|AC→||AB→|＝|AC→|2＝16.故选D.解法二：∵△ACB为直角三角形，∴AB→在AC→上的投影为AC→，∴AB→·AC→＝AC→2＝16.故选D.3．向量a的模为10，它与x轴正方向的夹角为150°，则它在x轴正方向上的投影的数量为()A．－53B．5C．－5D．53答案A解析a在x轴正方向上的投影的数量为|a|cos150°＝－53.4．已知向量a，b满足|a|＝4，|a·b|≥10，则|a－2b|的最小值是()A．1B．2C．3D．4答案A解析设a，b的夹角为θ，因为|a·b|＝4|b||cosθ|≥10，所以|b|≥104|cosθ|≥52，由向量形式的三角不等式得，|a－2b|≥||a|－|2b||＝|2|b|－4|≥|2×52－4|＝1.5．(多选)关于菱形ABCD的下列说法中，正确的是()A.AB→∥CD→B．(AB→＋BC→)⊥(BC→＋CD→)C．(AB→－AD→)·(BA→－BC→)＝0D.AB→·AD→＝BC→·CD→答案ABC解析∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，∴AB→∥CD→，A正确；∵对角线AC 与BD互相垂直，且AB→＋BC→＝AC→，BC→＋CD→＝BD→，∴AC→⊥BD→，即(AB→＋BC→)⊥(BC→＋CD→)，B正确；∵AB→－AD→＝DB→，BA→－BC→＝CA→，∵DB→⊥CA→，即DB→·CA→＝0，∴(AB→－AD→)·(BA→－BC→)＝0，C正确；易知〈AB→，AD→〉＝180°－〈BC→，CD→〉，且|AB→|＝|AD→|＝|BC→|＝|CD→|，∴AB→·AD→＝－BC→·CD→，D错误．故选ABC.二、填空题6．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，a＝3，b＝1，∠C＝30°，则BC→·CA→等于____.答案－332解析BC→·CA→＝|BC→||CA→|cos(180°－30°)＝ab cos150°＝－332.7．若|a|＝2，b＝－2a，则a·b＝____.答案－8解析|b|＝2|a|＝4，且b与a反向，∴〈a，b〉＝180°.∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×4×(－1)＝－8.8．给出下列命题：①若a＝0，则对任一向量b，有a·b＝0；②若a≠0，则对任意一个非零向量b，有a·b≠0；③若a≠0，a·b＝0，则b＝0；④若a·b＝0，则a，b至少有一个为0；⑤若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；⑥若a·b＝a·c，且b≠c，当且仅当a＝0时成立．其中真命题为____.答案①解析由数量积的定义逐一判断可知，只有①正确．三、解答题9．已知正方形ABCD的边长为1，分别求：(1)AB→·CD→；(2)AB→·AD→；(3)AC→·DA→.解如图，(1)〈AB→，CD→〉＝π，∴AB→·CD→＝－1.(2)〈AB →，AD→〉＝π2，∴AB →·AD →＝0.(3)〈AC →，DA →〉＝3π4，∴AC →·DA →＝2×1×cos 3π4＝－1.10．已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB →·BC →＝6，AB →与BC →的夹角为θ.求θ的取值范围．解∵AB→·BC →＝|AB →||BC →|cos θ＝6>0，∴cos θ>0，∴θ为锐角，如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则|CD |＝|BC |sin θ.由题意，知AB→·BC →＝|AB →||BC →|cos θ＝6，①S ＝12|AB ||CD |＝12|AB →||BC →|sin θ.②由②÷①得S 6＝12tan θ，即3tan θ＝S .∵3≤S ≤3，∴3≤3tan θ≤3，即33≤tan θ≤1.又θ为AB →与BC →的夹角，θ∈[0，π]，∴θ∈π6，π4.1．(多选)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AH 为BC 边上的高，给出以下结论，其中正确的是()A.AH→·(AC→－AB→)＝0B.AB→·BC→<0⇒△ABC为钝角三角形C.AC→·AH→|AH→|＝c sin BD.BC→·(AC→－AB→)＝a2答案ACD解析因为AC→－AB→＝BC→，且AH⊥BC，所以AH→·(AC→－AB→)＝0，故A正确；在△ABC中，由AB→·BC→<0，只能得出角B为锐角，不能判断出△ABC的形状，故B不正确；AH→|AH→|是AH→的单位向量，依据数量积的几何意义可知AC→·AH→|AH→|为AC→在AH→方向上的投影，为b sin C＝c sin B，故C正确；因为AC→－AB→＝BC→，所以BC→·(AC→－AB→)＝|BC→|2＝a2，故D正确．2．已知a，b是两个非零向量．(1)若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角；(2)若|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．解(1)∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝6.又|a|＝3，|b|＝4，∴|cos〈a，b〉|＝6|a||b|＝63×4＝12，∴cos〈a，b〉＝±12.∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π3或2π3.(2)如图所示，在平面内取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，使|OA →|＝|OB →|，所以四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ，这时OC→＝a ＋b ，BA →＝a －b .由于|a |＝|b |＝|a －b |，即|OA→|＝|OB →|＝|AB →|，所以∠AOC ＝π6，即a 与a ＋b 的夹角为π6.8.1.2向量数量积的运算律(教师独具内容)课程标准：理解掌握数量积的性质和运算律．教学重点：向量数量积的性质与运算律及其应用．教学难点：平面向量数量积的运算律的证明.知识点平面向量数量积的运算律已知向量a ，b ，c 与实数λ，则交换律a ·b ＝01b ·a结合律(λa)·b＝02λ(a·b)＝03a·(λb)分配律(a＋b)·c＝04a·c＋b·c对向量数量积的运算律的几点说明(1)向量数量积不满足消去律：设a，b，c均为非零向量且a·c＝b·c，不能得到a＝b.事实上，如右图所示，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，AB⊥OC于D，可以看出，a，b在向量c上的投影分别为|a|cos∠AOD，|b|cos∠BOD，此时|b|cos∠BOD＝|a|cos∠AOD＝OD.即a·c＝b·c.但很显然b≠a.(2)向量的数量积不满足乘法结合律：一般地，向量的数量积(a·b)c≠a(b·c)，这是由于a·b，b·c都是实数，(a·b)c表示与c方向相同或相反的向量，a(b·c)表示与a方向相同或相反的向量，而a与c不一定共线．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于向量a，b，c等式(a·b)·c＝a·(b·c)恒成立．()(2)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)已知|a|＝2，b在a上的投影的数量为－2，则a·(a－b)＝____.(2)已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝____.(3)已知|a|＝6，|b|＝8，〈a，b〉＝120°，则|a2－b2|＝____，|a－b|＝____，|a2＋b2|＝____.答案(1)8(2)－7(3)28237100题型一求向量的数量积例1已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．[解](1)a·b＝|a||b|cos120°＝2×3 3.(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos120°－3|b|2＝8－15－27＝－34.求向量的数量积的两个关键点求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．[跟踪训练1]在边长为1的正三角形ABC中，设BC→＝2BD→，CA→＝3CE→，则AD→·BE→＝____.答案－14解析由已知得AD→＝12(AB→＋AC→)，AE→＝23AC→，BE→＝BA→＋AE→＝23AC→－AB→，所以AD→·BE→＝12(AB→＋AC→)·－＝12×→|2－|AB→|2－13AB→·＝1 2×1－13cos60°＝－14.题型二求向量的夹角例2已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．[解]设a，b的夹角为θ，∵单位向量e1，e2的夹角为60°，∴e1·e2＝|e1||e2|cos60°＝12.∴a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝e1·e2＋e22－2e21－2e1·e2＝e22－2e21－e1·e2＝1－2－12＝－32，|a|＝a2＝(e1＋e2)2＝|e1|2＋|e2|2＋2e1·e2＝1＋1＋1＝3.|b|＝b2＝(e2－2e1)2＝|e2|2－4e1·e2＋4|e1|2＝1＋4－4×12＝3.∴cosθ＝a·b|a||b|＝－323×3＝－12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝120°.求向量a，b夹角θ的思路(1)解题流程求|a|，|b|→计算a·b→计算cosθ＝a·b|a||b|→结合θ∈[0，π]，求出θ(2)解题思想：由于|a|，|b|及a·b都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及a·b的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量．[跟踪训练2]已知|a|＝3，|b|＝5，|a＋b|＝7，求a·b及a与b的夹角．解∵|a＋b|＝7，∴(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝34＋2a·b＝49，∴a·b＝152.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝1523×5＝12又θ∈[0，π]，故a与b的夹角θ＝60°.题型三求向量的模例3已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，〈a，b〉＝120°.求：(1)向量b的模；(2)向量2b＋a的模．[解](1)∵a2＝4，∴|a|2＝4，即|a|＝2.把x＝1代入方程x2＋|a|x＋a·b＝0，得1＋|a|＋a·b＝0，∴a·b＝－3，则a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2|b|cos120°＝－3，∴|b|＝3.(2)(2b＋a)2＝4b2＋a2＋4a·b＝4×9＋4＋4×(－3)＝28，∴|2b＋a|＝27.极化恒等式求模长(1)两个结论①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：①(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.②(a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝a2－b2.说明：下列结论也是成立的：(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d.(2)由上述结论，我们不难得到4a·b＝(a＋b)2－(a－b)2，即a·b＝1[(a＋b)2－(a－b)2]．4我们把该恒等式称为“极化恒等式”．(3)应用向量数量积的运算律求向量的模的方法①求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．②一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)(a－b)＝a2－b2等．提醒：向量的模是非负实数；一个向量与自身的数量积等于它的模的平方．，求|a－b|，|a＋b|.[跟踪训练3]已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为π3解解法一：|a＋b|＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos〈a，b〉＝53.＝52＋52＋2×5×5×cosπ3|a－b|＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos〈a，b〉＝5.＝52＋52－2×5×5×cosπ3解法二：以a，b为邻边作▱ABCD，设AC，BD相交于点E，如图所示．∵|a|＝|b|且∠DAB＝π3，∴△ABD为正三角形，∴|a－b|＝|DB→|＝5，|a＋b|＝|AC→|＝2|AE→|＝2|AB→|2－|BE→|2＝252－5 2253.题型四用向量数量积解决垂直问题例4已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°，求证：(a－b)⊥c.[证明]证法一：∵|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|·cos120°－|b||c|cos120°＝0.∴(a－b)⊥c.证法二：如图，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，连接AB，AC，BC，三条线段围成正三角形ABC，O为△ABC的中心，∴OC ⊥AB.又BA→＝a－b，∴(a－b)⊥c.要解决的问题是用向量表示，它往往对应一个几何图形；如果是几何的形式表示，它往往对应一个向量关系式．要善于发现这二者之间的关系，从一种形式转化为另一种形式，用哪种形式解决问题方便就选用哪种形式．[跟踪训练4]如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .证明设AD→＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a ·b ＝0，又DE→＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋a 2，所以AF →·DE →a 12a 2－34a ·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF →⊥DE→，即AF ⊥DE .1．若向量a 的方向是正北方向，向量b 的方向是西偏南30°方向，且|a |＝|b |＝1，则(－3a )·(a ＋b )等于()A.32B ．－32C.23D ．－23答案B解析由题意知a 与b 的夹角为120°，∴a ·b ＝－12.∴(－3a )·(a ＋b )＝－3a 2－3a ·b ＝－32.2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a －b |等于()A．1 B.2C.3D．2答案A解析|a－b|＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝12＋12－2·1·cos〈a，b〉＝2－2cos60°＝1.3．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．以上均不正确答案C解析由(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，得CB→·(AB→＋AC→)＝0，又CB→＝AB→－AC→，∴(AB→－AC→)·(AB→＋AC→)＝0，即|AB→|2－|AC→|2＝0.∴|AB→|＝|AC→|.∴△ABC为等腰三角形．，则4．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为π3实数λ＝____.答案－8或5解析由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，则49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b.，即λ2＋3λ－40由a，b，c为单位向量，得a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcosπ3＝0，解得λ＝－8或λ＝5.5．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|和|a－b|.解(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4a2－4a·b－3b2＝61，，所以4×42－4×4×3cosθ－3×32＝61，cosθ＝－12又因为θ∈[0，π]，所以θ＝120°.(2)因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×4×3cos120°＋9＝13，所以|a＋b|＝13，同理可求得|a－b|＝37.一、选择题1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，(a－b)·b＝0，那么向量a与b的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C，解析由题意可得a·b－b2＝0，设a与b的夹角为θ，则2cosθ＝1，cosθ＝12又θ∈[0，π]，∴θ为60°.2．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝()A．1 B.7C．4＋3D．27答案B解析根据题意，得|a＋2b|＝a2＋4a·b＋4b2＝7.3．若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 为()A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形答案A解析∵0＝AB→·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →，∴AB →⊥AC →，∴∠BAC ＝90°.故选A.4.如图，O ，A ，B 是平面上的三点，C 为线段AB 的中点，向量OA→＝a ，OB →＝b ，设P 为线段AB 的垂直平分线上任意一点，向量OP →＝p .若|a |＝4，|b |＝2，则p ·(a －b )＝()A ．1B ．3C ．5D ．6答案D解析由题图知CP →⊥BA →，则CP →·BA →＝0，p ＝OP→＝OC →＋CP →＝12(OA →＋OB →)＋CP →，则p ·(a －b )＝12(a ＋b )＋CP →·(a －b )＝12(a ＋b )·(a －b )＋CP→·(a －b )＝12(a 2－b 2)＋CP →·BA →＝12(|a |2－|b |2)＋0＝12×(42－22)＝6.5．(多选)设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是()A ．a ·c －b ·c ＝(a －b )·cB ．(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直C ．|a |－|b |＜|a －b |D ．(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2答案ACD解析因为a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，则由向量数量积的运算律，知A ，D 正确；由向量减法的三角形法则，知C 正确；因为[(b ·c )·a －(c ·a )·b ]·c ＝(b ·c )·(a ·c )－(c ·a )·(b ·c )＝0.所以(b ·c )·a －(c ·a )·b 与c 垂直，B 错误．故选ACD.二、填空题6．若a ⊥b ，c 与a 及与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝____.答案11解析原式展开，得|a |2＋4|b |2＋|c |2＋4|a ||b |cos90°－2|a ||c |cos60°－4|b ||c |cos60°＝11.7．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 的夹角的余弦值为____.答案－13解析由|a |＝3|b |，得|b ||a |＝13.由|a |＝|a ＋2b |，两边平方得|a |2＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，整理得a ·b ＝－|b |2.设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－|b |2|a ||b |＝－|b ||a |＝－13.8．已知向量AB→与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP→⊥BC →，则实数λ的值为____.答案712解析因为向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2，所以AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos120°＝3×2 3.由AP→⊥BC→，得AP→·BC→＝0，即AP→·BC→＝(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝0，所以AC→2－λAB→2＋(λ－1)AB→·AC→＝0，即4－9λ－3(λ－1)＝0，解得λ＝7.12三、解答题9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(k a－b)．解由已知，得a·b＝4×816.(1)∵(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝3×162，∴|4a－2b|＝16 3.(2)若(a＋2b)⊥(k a－b)，则(a＋2b)·(k a－b)＝0.∴k a2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.10.如图，在△OAB中，点P为线段AB上的一个动点(不包含端点)，且满足AP→＝λPB→.(1)若λ＝12，用向量OA →，OB →表示OP →；(2)若|OA→|＝4，|OB →|＝3，且∠AOB ＝60°，求OP →·AB →的取值范围．解(1)∵AP →＝12PB →，∴OP →－OA →＝12(OB →－OP →)．∴32OP →＝OA →＋12OB →，即OP →＝23OA →＋13OB →.(2)OA→·OB →＝|OA →||OB →|cos60°＝6.∵AP→＝λPB →，∴OP→－OA →＝λ(OB →－OP →)，(1＋λ)OP →＝OA →＋λOB →，∴OP →＝11＋λOA →＋λ1＋λOB →.∵AB→＝OB →－OA →，∴OP →·AB →＋λ1＋λOB OB →－OA →)＝－11＋λOA →2＋λ1＋λOB →2·OB →＝－16＋9λ＋6－6λ1＋λ＝3λ－101＋λ＝3－131＋λ.∵λ＞0，∴3－131＋λ∈(－10,3)．∴OP→·AB →的取值范围是(－10,3)．1．已知向量OA→与OB→的夹角为θ，|OA→|＝2，|OB→|＝1，OP→＝tOA→，OQ→＝(1－t)OB→，t∈R，|PQ→|在t＝t0时取得最小值，当0<t0<15时，夹角θ的取值范围是()A.0，π3π3，π2C.π2，2π30，2π3答案C解析因为向量OA→与OB→的夹角为θ，|OA→|＝2，|OB→|＝1，所以OA→·OB→＝2cosθ，由PQ→＝OQ→－OP→＝(1－t)OB→－tOA→，得|PQ→|2＝PQ→2＝(1－t)2OB→2－2t(1－t)·OA→·OB→＋t2OA→2＝(5＋4cosθ)t2－(2＋4cosθ)t＋1，所以t0＝1＋2cosθ5＋4cosθ，由0<1＋2cosθ5＋4cosθ<15，解得－1 2<cosθ<0，因为0≤θ≤π，所以π2<θ<2π3.故选C.2．平面四边形ABCD中，AB→＝a，BC→＝b，CD→＝c，DA→＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD的形状．解∵AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0，即a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)，由上式可得(a＋b)2＝(c＋d)2，即a2＋2a·b＋b2＝c2＋2c·d＋d2.又a·b＝c·d，故a2＋b2＝c2＋d2.①同理可得a2＋d2＝b2＋c2②由①②，得a2＝c2，且b2＝d2，即|a|＝|c|，且|b|＝|d|，也即AB＝CD，且BC＝DA.∴四边形ABCD为平行四边形．故AB→＝－CD→，即a＝－c，∴a·b＝b·c＝－a·b，即a·b＝0，∴a⊥b，即AB→⊥BC→.综上知，四边形ABCD为矩形．8.1.3向量数量积的坐标运算(教师独具内容)课程标准：1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.2.能用坐标表示平面向量垂直的条件．教学重点：平面向量数量积的坐标表示以及模、角度、垂直关系的坐标表示．教学难点：用坐标法处理模、角度、垂直问题.知识点一向量数量积的坐标运算已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝01x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于02它们对应坐标乘积的和.知识点二向量的长度已知a＝(x1，y1)，则|a|＝01x21＋y21，即向量的长度等于02它的坐标平方和的算术平方根.知识点三两向量夹角的余弦设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝01x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.知识点四两点间的距离如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝01(x2－x1)2＋(y2－y1)2.知识点五用坐标表示两向量垂直设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔01x1x2＋y1y2＝0.1．两个向量垂直的条件已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；反之，如果x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.运用向量垂直的条件，既可以判定两向量是否垂直，又可以由垂直关系去求参数．如果a⊥b，则向量(x1，y1)与(－y2，x2)平行．这是因为a⊥b，有x1x2＋y1y2＝0(*)，当x2y2≠0时，(*)式可以表示为x1－y2＝y1x2，即向量(x1，y1)与向量(－y2，x2)平行．对任意的实数k，向量k(－y2，x2)与向量(x2，y2)垂直．2．不等式|a·b|≤|a||b|的代数形式若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，|a |＝x 21＋y 21，|b |＝x 22＋y 22.由|a·b |≤|a ||b |得|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21·x 22＋y 22，当且仅当a ∥b ，即x 1y 2－x 2y 1＝0时取等号，即不等式(x 1x 2＋y 1y 2)2≤(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)成立．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a ＝(1,1)，b ＝(－2,2)，则a·b ＝0.()(2)若a ＝(4,2)，b ＝(6，m )且a ⊥b ，则m ＝－12.()(3)若a·b ＞0(a ，b 均为非零向量)，则〈a ，b 〉为锐角．()答案(1)√(2)√(3)×2．做一做(1)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为____.(2)已知a ＝(1，3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋b |＝____.(3)设a ＝(2,0)，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则a·b ＝____.(4)已知a ＝(3,4)，则与a 垂直的单位向量有________，与a 共线的单位向量有________.答案(1)π6(2)2(3)1－45，－35，－题型一向量数量积的坐标运算例1已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10，求：(1)向量a 的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.[解](1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．又a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a·c)b＝0.(1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系．(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充．[跟踪训练1]已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)．解解法一：(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2.∵a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13，∴(3a－b)·(a－2b)＝3×5－7×8＋2×13＝－15.解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)，a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)，∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15.题型二向量的夹角问题例2已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，求a与b的数量积及a与b的夹角的余弦值．[解]＋b ＝(2，－8)，－b ＝(－8，16)，＝(－3，4)，＝(5，－12).∴a ·b ＝(－3,4)·(5，－12)＝(－3)×5＋4×(－12)＝－63.cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－63(－3)2＋42×52＋(－12)2＝－635×13＝－6365.∴a 与b 的夹角的余弦值为－6365.利用数量积求两向量夹角的步骤特别提醒：已知两个非零向量的坐标，就可以利用该公式求得两个向量的夹角，因为向量的夹角范围为[0，π]，故不存在讨论角的终边所在象限的问题．[跟踪训练2]设向量a ＝(－2sin α，2cos α)(0≤α≤π)，b ＝(－25，0)，则a 与b 的夹角为____.答案|π2－α|解析设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22＝45sin α2×25＝sin α，∵α∈[0，π]，∴θ＝|π2－α|.题型三向量的长度、距离问题例3已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|3a－2b|＝3.求|3a＋b|的值．[解]设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．∵|a|＝|b|＝1，∴x21＋y21＝1，x22＋y22＝1，3a－2b＝3(x1，y1)－2(x2，y2)＝(3x1－2x2,3y1－2y2)，∵|3a－2b|＝(3x1－2x2)2＋(3y1－2y2)2＝3，∴9x21－12x1x2＋4x22＋9y21－12y1y2＋4y22＝9，∴13－12(x1x2＋y1y2)＝9.∴x1x2＋y1y2＝13.∵3a＋b＝3(x1，y1)＋(x2，y2)＝(3x1＋x2,3y1＋y2)，∴|3a＋b|＝(3x1＋x2)2＋(3y1＋y2)2＝9x21＋6x1x2＋x22＋9y21＋6y1y2＋y22＝10＋6(x1x2＋y1y2)＝10＋6×13＝23.(1)在上述解题过程中，根据|a|＝|b|＝1，可以设a＝(cosβ，sinβ)，b＝(cosα，sinα)．(2)利用本题的解法可解决下面的一般性问题：若向量a，b满足|a|＝|b|＝r1，及|λ1a＋μ1b|＝r2求|λ2a＋μ2b|的值．(3)注意区别m＝n与|m|＝|n|，其中m＝n表示的是向量关系，即(x1，y1)＝(x2，y2)，而|m|＝|n|表示的是数量关系，即x21＋y21＝x22＋y22.[跟踪训练3]若向量OA→＝(1，－3)，|OA→|＝|OB→|，OA→·OB→＝0，则|AB→|＝____.答案25解析解法一：设OB→＝(x，y)，由|OA→|＝|OB→|，知x2＋y2＝10.①由题意知OA→·OB→＝x－3y＝0.②＝3，＝1＝－3，＝－1.当x＝3，y＝1时，AB→＝OB→－OA→＝(2,4)，则|AB→|＝25；当x＝－3，y＝－1时，AB→＝(－4,2)，则|AB→|＝25.故|AB→|＝25.解法二：由题意知，|AB→|就是以OA→，OB→对应线段为邻边的正方形的对角线长，因为|OA→|＝10，所以|AB→|＝2×10＝25.题型四两向量垂直条件的应用例4如图所示，以原点O和点A(5,2)为两个顶点作等腰直角三角形AOB，使∠B＝90°，求点B的坐标．[解]设点B(x，y)，则OB→＝(x，y)，AB→＝(x－5，y－2)．因为∠B＝90°，所以x(x－5)＋y(y－2)＝0，又|AB→|＝|OB→|，所以x2＋y2＝(x－5)2＋(y－2)2，2＋y 2－5x －2y ＝0，x ＋4y ＝29，1＝72，1＝－322＝32，2＝72.即点B利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．常用方法是建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算再将向量问题转化为代数问题来解决．[跟踪训练4]在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB 是直角，AC ＝BC ，D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .证明建立如图所示的平面直角坐标系，设CA ＝CB ＝2，则A (2,0)，B (0,2)，C (0,0)，设E (x ，y )．∵D 为BC 的中点，∴D (0,1)．∵AE ＝2EB ，∴AE →＝23AB →，∴(x －2，y )＝23(－2,2)，－2＝－43，＝43，＝23，＝43，∴∴AD→·CE→＝(－＝－43＋43＝0，∴AD→⊥CE→，∴AD⊥CE.题型五向量数量积的综合应用例5若函数f(x)＝－2<x<10)的图像与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图像交于B，C两点，O为坐标原点，则(OB→＋OC→)·OA→＝() A．－32B．－16C．16D．32[解析]令f(x)＝0，得π6x＋π3kπ，k∈Z，∴x＝6k－2，k∈Z.∵－2<x<10，∴x＝4，即A(4,0)．设B(x1，y1)，C(x2，y2)，∵过点A的直线l与函数的图像交于B，C两点，∴B，C两点关于点A对称，即x1＋x2＝8，y1＋y2＝0.故(OB→＋OC→)·OA→＝(x1＋x2，y1＋y2)·(4,0)＝4(x1＋x2)＝32.[答案]D与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点问题．解此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角函数的图像和性质等知识．[跟踪训练5]设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，AP→＝λAB→.若OP→·AB→≥P A→·PB→，则实数λ的取值范围是()A.12≤λ≤1B．1－22≤λ≤1C.12≤λ≤1＋22D．1－22≤λ≤1＋22答案B解析设P(x，y)，则由AP→＝λAB→，得(x－1，y)＝λ(－1,1)，－1＝－λ，＝λ，∴x－1＋y＝0.①又OP→·AB→≥PA→·PB→，∴(x，y)·(－1,1)≥(1－x，－y)·(－x,1－y)．整理，得x2＋y2－2y≤0，即x2＋(y －1)2≤1.②将①整理，得x＝1－y，代入②中，得(y－1)2≤12.即－22≤y－1≤22.∴1－22≤y≤1＋22.结合题意，得1－22≤y≤1，即1－22≤λ≤1.故选B.1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x等于()A．3 B.13C．－13D．－3答案C解析∵3a·b＝(6，－9)·(x,2x)＝－12x＝4，∴x＝－13.2．已知A(1,2)，B(4,0)，C(8,6)，D(5,8)四点，则四边形ABCD是() A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形答案B解析∵AB→＝(3，－2)，DC →＝(3，－2)，∴AB →＝DC →，又AD→＝(4,6)，∴AB →·AD →＝0，∴AB →⊥AD →.∵|AB→|≠|AD →|，∴选B.3．正三角形ABC 的边长为1，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值是____.答案－32解析解法一：如图，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，∴a －12，b －12，－c ＝(1,0)，∴a ·b ＋32×＝－12，同理b ·c ＝c ·a ＝－12，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－32.解法二：a·b ＋b·c ＋c·a ＝1×1×cos120°＋1×1×cos120°＋1×1×cos120°＝3＝－32.4．设向量a 与b 的夹角为α，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cos α＝____.答案31010解析∵a ＝(3,3)，由2b －a ＝(－1,1)可得b ＝(1,2)，∴cos α＝a ·b |a ||b |＝918×5＝31010.5.如图，已知△ABC 的面积为32，AB ＝2，AB→·BC →＝1，求边AC 的长．解以点A 为坐标原点，AB →为x 轴正方向建立平面直角坐标系，设点C 的坐标为(x ，y )(y >0)，因为AB ＝2，∴点B 的坐标是(2,0)，∴AB→＝(2,0)，BC →＝(x －2，y )．∵AB →·BC →＝1，∴2(x －2)＝1，解得x ＝52.又S △ABC ＝32，∴12·|AB |·y ＝32，∴y ＝32，∴C AC →∴|AC→|＝＝342，故边AC 的长为342.一、选择题1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝()A．23B．7C．－23D．－7答案D解析a·b＝(－3)×5＋4×2＝－7.2．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形答案A解析∵AB→＝(1,1)，AC→＝(－3,3)，∴AB→·AC→＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB→⊥AC→，∴A＝90°，故选A.3．已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为() A．(3，－2)B．(3,2)C．(－3，－2)D．(－3,2)答案C解析设c＝(x，y)2x－3y＝0，x－2y＝1，x＝－3，y＝－2.4．与已知向量a 72，12，b12，－72的夹角相等，且模为1的向量是()－45，－223，答案B解析设与向量ab1的向量为(x，y)＋y2＝1，＋12y＝12x－72y，＝45，＝－35＝－45，＝35，故选B.5．(多选)设A(a,1)，B(2，b)，C(4,5)为坐标平面上的三点，O为坐标原点．若OA→与OB→在OC→方向上的投影相同，则a，b的取值可能为()A．a＝2，b＝1B．a＝7，b＝5C．a＝9，b＝6D．a＝12，b＝9答案ABD解析由图知，要使OA→与OB→在OC→方向上的投影相同，只需使AB→⊥OC→，即(2－a，b－1)·(4,5)＝0，得4a－5b－3＝0，则a，b需满足关系式4a－5b＝3，结合选项可知，A，B，D中a，b的取值满足条件．故选ABD.二、填空题6．若a＝(x,2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是____.答案103，＋∞解析x应满足(x,2)·(－3,5)<0且a，b不共线．解得x>103且x≠－65，∴x>103.7．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(a＋b)·c＝52，则a与c的夹角为____.答案120°解析由已知，得a＋b＝－a，∴a与c的夹角与c与a＋b的夹角互补．又cos〈a＋b，c〉＝(a＋b)·c|a＋b||c|＝12.∴〈a＋b，c〉＝60°.∴a与c的夹角是120°.8．已知向量a＝(cos2θ，sin2θ)，向量b＝(2,0)，则|2a－b|的最大值是____.答案22解析令t＝cos2θ(0≤t≤1)，则a＝(t,1－t)，所以|2a－b|2＝(2t－2)2＋(2－2t)2＝8(t－1)2.所以|2a－b|＝22|t－1|＝22(1－t)，故当t＝0时，|2a－b|取得最大值22.三、解答题9．在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD是BC边上的高，求。
2013～～2014学年北师大版高中数学必修3优化设计全套导学案
2013～2014学年北师大版高中数学必修3优化设计全套导学案目录第一章§1从普查到抽样导学案第一章§2.1简单随机抽样导学案第一章§2.2分层抽样与系统抽样导学案第一章§4数据的数字特征导学案第一章§5.2估计总体的数字特征导学案第一章§6统计活动结婚年龄的变化导学案第一章§7相关性导学案第一章§8最小二乘估计导学案第二章§2.1顺序结构与选择结构导学案第二章§2.3循环结构导学案第二章§3.1条件语句导学案第二章§3.2循环语句导学案第三章§1随机事件的概率导学案第三章§2.3互斥事件导学案第三章§3模拟方法概率的应用导学案§1从普查到抽样1．了解普查的意义．2．结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性．1．普查普查是为了了解总体的一般情况，对__________都无一例外地进行调查，也称整体调查或全面调查．当普查的对象________时，普查是一项非常好的调查方式，所取得的资料大，要耗费大量的人力、物力与财力，并且组织工作繁重、时间长．更值得注意的是，在很多情况下，普查工作难以实现．【做一做1】下列调查中，必须采用“普查”的是()．A．调查某品牌电视机的市场占有率B．调查某电视连续剧在全国的收视率C．调查高一一班的男女同学的比例D．调查某型号炮弹代表性，才能反映总体的基本特征．抽样调查的优点：(1)_____________；(2)______________．【做一做2－1】下列调查所抽取的样本具有代表性的是()．A．利用当地的七月份的日平均最高气温值估计当地全年的日平均最高气温B．在农村调查市民的平均寿命C．利用一块实验水稻田的亩产量估计水稻的实际亩产量D．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中任意抽取100袋进行检验【做一做2－2】为了调查全国城镇居民的寿命，抽查了十一个省(市况下，总是通过抽取样本来研究总体．题型一理解统计的有关概念【例题1】为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生测量其身高，下列说法正确的是()．A．总体是240B．个体是每一个学生C．样本是40名学生D．总体是全校240名学生的身高题型二普查【例题2】你的班主任想全面了解你班学生的学习和思想状况，请你帮助班主任设计一个调查方案．分析：在总体中的对象不是很多的情况下，普查是全面获取信息最可靠的方法，它有两个特点：(1)所得资料更加全面、系统；(2)能够得到某个时期的信息总量．反思：在进行普查时，一定要注意普查的两个特点：(1)所取得的资料全面、系统；(2)主要调查在特定时段、特定情2为了了解某校4500名学生的课外阅读时间情况，从中抽取200名学生进行调查，下列说法正确的是()．A．总体是4500名学生B．总体是某校4500名学生的课外阅读时间C．样本是200名学生D．个体是200名学生3下列调查工作，必须采用“抽样调查”的是()．A．调查某城市今年7月份的温度变化情况B．调查某一品牌5万包袋装鲜奶是否符合卫生标准C．调查我国所有城市中哪些是第一批沿海开放城市D．了解全班50名学生100米短跑的成绩4下面的各事件中，适合抽样调查的有______．①调查除夕之夜我国有多少人观看中央电视台春节联欢晚会；②调查某工厂生产的一万件胶卷中有无不合格产品；③评价一个班级升学考试的成绩；④调查当今中学生中，答案：基础知识·梳理1．所有的对象很少很多【做一做1】C2．一部分全体样本(1)迅速、及时(2)节约人力、物力和财力【做一做2－1】D【做一做2－2】样本全国每个城镇居民的寿命都是个体，抽出的2500名城镇居民的寿命是从总体中抽取的一个样本．典型例题·领悟【例题1】D总体是240名学生的身高，所以A项不正确，D项正确；个体是每一个学生的身高，所以B项不正确；样本是40名学生的身高，所包括同学们对学习的各种看法，同学们的爱好、心理和思想状况等，然后发放给每一个学生，并全部收回，然后进行统计．这样就可以全面了解每个学生的学习和思想状况了．【例题3】解：应该用抽样调查的方法对该批小包装饼干进随堂练习·巩固1．D2．B3．B4．①②④⑤5．分析：利用普查的特点进行判断．解：由于一个学校的电灯电路数目不算大，且对创建“和§2抽样方法2.1简单随机抽样1．了解简单随机抽样的定义．2．在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本．1．简单随机抽样(1)定义：如果在抽样过程中，________地抽取一部分个体，然后对抽取的对明：常用到的简单随机抽样方法有两种：________(抓阄法)和________．简单随机抽样具备下列特点：①总体中的个体数N 是有限的；②简单随机抽样抽取的样本数n 不大于总体中的个体数N ；③简单随机抽样是从总体中逐个抽取的，是一种不放回的抽样，也就是每次从总体中抽取元素后不再将这个元素放回总体；④简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为n N；⑤当总体中的个体无差异且个体数目较少时，采用简单随机抽样抽取样本．【做一做1－1】对于简单随机抽样，每个个体每次被抽到的机会都()．A．相等B．不相等C．无法确定D．无关系【做一做1－2】下列抽样方法是简单随机抽样的是()．A．从50个零件中一次性抽取5个做质量检验B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验C．从实数集中逐个抽取10个数分析奇偶性D．运动员从8个跑道中随机地抽取一个跑道2．抽签法(1)先把总体中的N 个个体编号，并把号签写在________、________相同的签上(签可以是纸条、卡片或小球等)，然后将这些号签放在同一个箱子里________搅拌．每次随机地从中抽取______个，然后将号签均匀搅拌，再进行下一次抽取．如此下去，直至抽到预先设定的样本数．根据实际需要，如果每次抽取后再______，就称为③规定读取数字的方向；④开始读取数字，若不在编号中，则________，前面已经读过的也跳过，若在编号中，则________，依次取下去，直到取满为止，相同的号只取一次；⑤根据选定的号码抽取样本．①抽签法的操作要点是：编号、制签、搅匀、抽取；随机数法的操作要点是：编号、选起始数、读数、获取样本．②抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平．随机数法的优点与抽签法相同，缺点是当总体应用随机数法抽取样本时，怎样对随机数的时间．题型一简单随机抽样的判断【例题1】下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样【例题3】现有一批零件，共600个，现从中抽取10个进行质量检查，若用随机数法，怎样设计方案？分析：本题按随机数法抽样的一般步骤写出抽样方案即可，具体流程为：将个体编号→选定开始的数字→确定读数方向→获取样本号码．反思：利用随机数法抽取样本时，关键是事先确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点，以及读数的方向，向左、向右、向上或向下都可以．同时，读数时结合编号特点进行读取，编号为两位，则两位、两位地读取，编号为三位数，则三位、三位地读取，如果出现重号则跳过，接着读取．题型四简单随机．A．①②③④B．①③④②C．③②①④D．④③①②4常用的简单随机抽样方法有________和________．5下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？说明基础知识·梳理1．(1)随机概率(2)抽签法随机数法【做一做1－1】A由定义可知选A.【做一做1－2】D选项A错在“一次性”抽取；选项B错在“有放回地”抽取；选项C错在总体容量无限．2．(1)形状大小均匀一放回不放回(2)①编号②工具【做一做2】B3．(1)摸球样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．(2)不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．(3)不是简单随机抽样．因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．(4)是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．【例题2】解：第一步将18名志愿者编号，号码为1,2， (18)第二步将号码分别写在18张纸条上，揉成团，制成号签．第三步将所有号签放入一个箱子中，充分搅匀．第四步依次取出6个号签，并记录其编号．第五步将对应编号的志愿者选出．【例题3】解：第一步将这批零件编号，分别为001，002， (600)第二步在教材表12随机数表中任选一数作为开始，到下一行从左到右继续读数．如此下去直到得出在00～29之间的10个两位数．这10个号码对应的零件就是所要抽取的样本．随堂练习·巩固1．D2．D3．B4．抽签法随机数法5．分析：依据简单随机抽样的特点来判断．解：(1)不是简单随机抽样，由于被抽取样本的总体个体数是无限的，而不是有限的．(2)不是简单随机抽样，由于它是有放回的抽样．2.2分层抽样与系统抽样1．理解分层抽样与系统抽样的概念．2．通过对实例的分析，了解分层抽样与系统抽样的方法．1．分层抽样(1)定义：将总体按其________分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照________随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．(2)分层抽样的步骤：①分层：按某种________将总体分成若干部分(层)．②按________确定每层抽取个体的个数．③各层分别按简单随机抽样或其他的抽样方法抽取样本．④综合每层抽样，组成样本．应用分层抽样应遵循以下要求：(1)分层：将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则，即保证样本结构与总体结构的一致性．(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与该层个体数量的比与样本容量与总体容量的比相等．(3)当总体个体差异明显时，采用分层抽样．【做一做1－1】某社区有500户家A．某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样B．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样【做一做2－2】一个总体中有1000个个体，按照预先制定的规则，从每一部分中抽取1个个体，得到所需样本．由于抽样的间隔相等，因此系统抽样又称为等距抽样(或叫机械抽样)，所以系统抽样中必须对总体中的每个个体进行合理(即等距)分段．若从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，用系统抽样时，应先将总体中的各个个体编号，再确定分段间隔k ，以便对总体进行分段．当N n 是整数时，取k ＝N n 为分段间隔即可，如N ＝100，n ＝20，则分段间隔k ＝10020＝5，也就是将100个个体平均每5个分为一段(组)．当N n不是整数时，应先从总体中随机剔除一些个体，使剩余个体数N ′能被n 整除，这时分段间隔k ＝N ′n，如N ＝101，n ＝20，则应先用简单随机抽样从总体中剔除1个个体，使剩余的总体容量(即100)能被20整除，从而得出分段间隔k ＝10020＝5，也就是说，只需将100个个体平均分为20段(组)．一般地，用简单随机抽样的方法从总体中剔除部分个体，其个数为总体中的抽样法抽取样本的过程是公平的．2．分层抽样中各层入样的个体数应如何确定？剖析：当总体由差异明显的几部分组成时，应将总体分成互不交叉的几部分，其中所分成的每一部分叫层，然后按照各部分所占的比例，从各部分中独立抽取一定数量的个体，再将各部分抽出的个体合在一起作为样本，这就是分层抽样．由于层与层之间有明显的区别，而层内个体间差异不明显，为了使样本更能充分地反映总体的情况，抽取样本时，必须照顾到各个层的个体．所以每层中所抽取的个体数应按各层个体数在总体中所占的比例抽取，也就是各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即抽样比＝样本容量总体容量.这样抽取能使所得到的样本结构与总体结构相同，可以提高样本对总体的代表性．在实际操作时，应先计算出抽样比k ＝样本容量总体容量，再按抽样比确定每层需要抽取的个体数：抽样比×该层个体数目＝样本容量总体容量×该层个体数目．题型一分层抽样中的计算问题【例题1】某校共有师生1600人，其中教师有100人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取的学生数为__________．反思：一个总体中有m 个个体，用分层抽样方法从中抽取一个容量为n (n ＜m )的样本，某层中含有x (x＜m )个个体，在该层中抽取的个体数目为y ，则有nx m＝y ，该等式中含有四个量，已知其中任意三个量，就能求出第四个量．题型二分层抽样的应用【例题2】某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下表所示：很喜爱喜爱一般不喜爱2435456739261072电视台为了进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中再抽取60人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？分析：人数多，差异大→分层抽样→确定每层抽取比例→在各层中分别抽取→合在一起得样本反思：在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比．题型三Nn为整数的系统抽样问题【例题3】为了了解某地区今年高一学生期末考试的数10013名学生中抽取100名进行健康检查，采用何种抽样方法较好，并写出过程．错而获得整个样本．错因分析：上面的解法违背了系统抽样的等距均分原理，抽出的个体不都是处在每段的同一位置上，前87段与后13段各自处的位置不一样，导致抽样的不公平性，所以解法是错误的，必须先要随机地剔除13人．1下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是()．A．从10名同学中抽取3人参加座谈会B．某社区有300户家庭，其中高收入的家庭75户，中等收入的家庭180户，低收入的家庭45户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为50户的样本C．从1000名工人中，抽取100人调查上班途中所用的时间D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量2(2011西安市一中月考，1)我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查，这里运用的是()．A．分层抽样B．抽签抽样C．随机抽样D．系统抽样3(为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取__________名学生．4若总体中含有1645个个体，采用系统抽样的方法从中抽取容量为35的样本，则编号后确定编号分为__________段，分段间隔k ＝__________，每段有__________个个体．5某学校有在编人员200人，其中行政人员20人，教师140人，后勤人员40人，教育部门为了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽样，并写出抽样过程．答案：基础知识·梳理1．(1)属性特征所占比例(2)①征②所占比例【做一做1－1】B【做一做1－2】A 抽样比是90360＋270＋180＝19，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360×1940.2．(1)简单随机抽样分组的间隔(3)①编号③一④加【做一做2－1】C【做一做2－2】10010典型例题·领悟【例题1】75抽样比为801600＝120，该校有学生1600－100＝1500人，则抽取的学生数为1500×120＝75.【例题2】解：采用分层抽样的方法，抽样比为6012000.“很喜爱”的有2第一步先从802辆轿车中剔除2辆轿车(剔除方法可用随机数法)；第二步将余下的800辆轿车编号为1,2，…，800，并均匀分成80段，每段含k ＝80080＝10个个体；第三步从第1段即1,2，…，10这10个编号中，用简单随机抽样的方法抽取一个号(如5)作为起始号；第四步从5开始，再将编号为15,25，…，795的个体抽出，得到一个容量为80的样本．【例题5】正解：由于总体个数为10013，数量较大，而且都是学生，差别不大，因而应采用系统抽样法，具体过程如下：由系统抽样的步骤可知编号分段时，10013÷100不为整数，先从总体中随机剔除13人，再按如下步骤操作：①采用随机的方式将总体中的个体编号为1,2，3， (10000)②把总体分成100段，每段10000100§3统计图表1．通过实例初步体会分布的意义和作用．2．在表示数据的过程中，复习几种统计图表(包括条形、扇形、折线统计图)，学习茎叶图，体会它们各自的特点和用途．3．能根据问题的需要选择合适的统计图表，并能用自己的方式进行表示．统计图表统计图表是表达和分析________的重要工具，它不仅可以帮助我们从数据中获取有用的信息，还可以帮助我们直观、准确地理解相应的________．统计图表有：________统计图、________统计图、________统计图、茎叶图．利用科学抽样方法收集了样本数据后，下一步要做的工作就是分析和处理数据，其中较理想的方法是将所得数据进行适当的整理、分析，并转化为直观的图形形式表现出来，以便从中获取相应的信息，帮助我们制定恰当的决策．1．条形面积的大小反映____________________．扇形统计图可以很清楚地表示各部分数量同总数之间的关系，即扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的__________．【做一做2】如图为某校高三(1)班的男女比例图表，已知该班共有学生55人，则该班男生比女生约多()．A．13人B．21人C．24人D．34人3．折线统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连结起来．折线统计图不但可以表示出__________，而且能够清楚地表示__________，即折线统计图能够清晰地反映数据的________情况．【做一做3】如图是某市5月1日至5月7日每天最高、最低气温的折线统计图，在这7天中，日温差最大的一天是()．A．5月1日B．5月2日C．5月3日D．5月5日4．茎叶图．(1)制作方法：将所有两位数的十位数字作为______，个位数字作为______，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶可以按从大到小(或从小到大)的顺序同行列出(也可以没有大小顺序)．(2)优点：一是茎叶图上没有________的损失，所有的原始数据都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图可以随时________，方便表示与比较．缺点：当数据量很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了．【做一做4】如图表示8位销售员一个月销售商品数量的茎叶图，则销售数据分别为________________(单位：百件)．础上，再根据不同的需要选择适当的统计图进行表示．如果只需大致判断一些数据的分布规律，了解数据中各元素所占比例的大小情况可以使用扇形统计图．例如统计一个农村种植的各种农作物的比例．如果需要根据反思：该例题中条形统计图的横轴是分组，纵轴是各组所含的个体数目．题型二扇形统计图的应用【例题2】如图是甲、乙、丙、丁四组人数的扇形统计图的部分结果，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为()．A．250B．150C．400D．300反思：扇形统计图中各百分比是该组个体数目与总体数目的比，所有组的个体数目之和等于总体数目，所有组的百分比之和等于1.题型三折线统计图的应用【例题3】下表给出了2010年A，B两地的降水量(单位：mm)：1月2月3月4月5月6月A9.2 4.9 5.418.638.0106.3B41.453.3178.8273.5384.9432.47月8月9月10月11月12月A54.4128.962.973.626.210.6B67.5228.5201.4147.328.019.1为了直观表示2010年A，B两地的降水量的差异和变化趋势，请用适当的统计,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445 ,451,454；品种B：363,371,374,383,3394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416 ,422,430.(1)根据上面数据画出茎叶图；(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？(3)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．分析：(1)茎图上没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录和表示．1当收集到的数据量很大或有多组数据时，需要比较各种数量的多少，用哪种统计图较合适()．A．茎叶图B．条形统计图C．折线统计图D．扇形统计图2如图是2009年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，则最低分和最高分分别为()．A．79,93B．84,87C．48,78D．39,973某班学生在课外活动中参加文娱、美术、体育小组的人数之比为3∶1∶6，则在扇形统计图中表示参加体育小组人数的扇形圆心角是()．A．108°B．216°C．60°D．36°4甲、乙两个班级各随机选出15名同学进行测验，成绩的茎叶图如图所示，则甲班、乙班的最高成绩各是________，从图中看，________班的平均成绩较高．5某地农村某户农民年收入如下(单位：元)：土地收入打工收入养殖收入其他收入432036002357843请用不同的统计图来表示上面的数据．答案：基础知识·梳理数据结果条形扇形折线1．一个单位长度数目【做一做1】B2．总体部分占总体的百分比的大小百分比【做一做2】A3．数量的多少数量增减变化的情况变化【做一做3】D4．(1)茎叶(2)信息记录【做一做4】45,45,52,56,57,58,60,63由茎叶图可知销售数据都是两位数，分别为45,45,52,56,57,58,60,63.典型例题·领悟【例题1】0.1参加羽毛球活动的人数是4，则频率为440＝0.1.【例题2】A甲组人数是120，占30%，则题3】解：用折线统计图表示题中的数据，如图．其中虚线为B地降水量，实线为A地降水量．【例题4】解：(1)茎叶图如图所示．(2)用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况，B由于需要比较各种数量的多少，并且收集到的数据量很大或有多组数据，符合条形统计图的特点．2．A3．B参加体育小组人数占总人数的63＋1＋6×100%＝60%，则扇形圆心角是360°×60%＝216°.4．96,92乙5．分析：题意的要求是将此四个数据用统计图表示出来，可利用条形统计图、折线统计图、扇形统计图来表示．解：用条形统计图表示，如图所示．用折线统计图表示，如图所示．用扇形统计图表示，如图所示．§4数据的数字特征1．能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息．2．通过实例理解数据标准差的意义．(2)特征：一组数据中的中位数是________的，反映了该组数据的________．中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点．【做一做1】某班50名学生右眼视力的检查结果如下表所示：视力0.10.20.30.40.50.60.70.8 1.0 1.2 1.5人数113434468106则该班学生右眼视力的众数为__________，中位数为__________．3．平均标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式来计算s＝________________________________________________________________________.可以用(2)特征：与标准差的作用________，描述一组数据围绕平均数波动的大小．(3)取值范围：________.数据组x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，标准差为s，则数据组ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b(a，b为非零常数)的平均数为a x＋b，方差为a2s2，标准差为as.【做一做4】下列能刻画一组数据离散程度的是()．A．平均数B．方差C．中位数D．众数6．极差(1)定义：一组数据的最______值与最______值的差称为这组数据的极差．(2)特征：表示该组数据之间的差异情况．极差利用了数据组中最大和最小的两个值，对极值过于敏感．但由于只涉及两个数据，便于得到，所以极差在实际中也经常应用．【做一做5】一组数据3，－1，0，2，x的极差是5，则x＝__________.平均数与标准差(方差)这两个数字特征在实际问题中如何应用？剖析：平均数反映的是数据的平均水平，在实际应用中，平均数常被理解为平均水平．标准差反映的是数据的离散程度的大小，反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度，标准差越小表明在样本平均数的周围越集中；反之，标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散．在实际应用中，标准差常被理解为稳定性，常常与平均数结合起来解决问题．例如，要从甲、乙两名射击运动员中选一名参加2012年伦敦奥运会，如果你是教练，你会制定怎样的选拔标准？制定怎样的选拔方案？。
高中数学全套导学案新人教版选修三原创
（ ）
全排列数： （叫做n的阶乘）
二、讲解新课：
解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等．
（3）某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？
解：（1） ；
（2） ；
（3）
课堂小节：本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的推导
课堂练习：
课后作业：
1.2.1排列
（第二课时）
教学目标：
掌握解排列问题的常用方法
教学重点：
掌握解排列问题的常用方法
2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有nK种不同的方法。那么，完成这件工作共有n1×n2×……×nk种不同方法
二、讲解新课：
例1书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
所以，从书架上任取1本书，有9种不同的取法；
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本艺术书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种方法 根据分步计数原理，从书架的第1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是 种
1.标准必须一致,而且全面、不重不漏！
2“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的即：它们两两的交集为空集！
人教版高中数学B版必修三导学案(全册)
学案：1.1.1-1.1.2算法与程序框图一、【使用说明】1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
二、【重点难点】1、体会算法的思想，了解算法的含义。
2、能说明解决简单问题的步骤，提高逻辑思维能力。
三、【学习目标】1、通过实例，发展对解决具体问题的过程与步骤进行分析的能力，发展应用算法的能力。
问题的能力；2初步了解高斯消去法的思想四、自主学习1、算法的要求例1、写出二元一次方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩的算法例2：用数学语言写出对任意3个整数. ,,a b c 求出最大值的算法。
五、合作探究1.试写出判断直线0Ax By C ++=与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系算法。
2. 用数学语言写出对任意3个整数. ,,a b c 求出最小值的算法。
3正三棱锥S ABC -的侧棱长为l ，底面边长为a 写出求此三棱锥S ABC -体积的一个算法。
4.某人带着一只狼和一只羊及一捆青菜过河，只有一条船，船仅可载重此人和狼、羊及青菜中的一种，没有人在的时候，狼会吃羊，羊会吃菜，设计过河的算法。
六、总结升华1、知识与方法：2、数学思想及方法：七、当堂检测（见大屏幕）导学案：1.1.3（1）算法的三种基本逻辑结构和框图表示一、【使用说明】1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
二、【重点难点】1、重点是利用三种逻辑结构编写框图；2、解决实际问题。
三、【学习目标】1、理解三种框图的逻辑结构；2、会利用三种逻辑结构编写框图；3、通过设计程序框图解决实际问题；四、自主学习1、框图的三种逻辑结构有哪些？例1、已知点00(,)p x y 和直线:0l Ax By C ++=，求点00(,)p x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d 的算法，及其程序框图。
郑2012-13高二数学必修三导学案3.3.2
2 将[0,1]内的均匀随机数转化为[－2,6]内的均匀随机数, 需要实施 则 fn(A)=___________即为概率 P（A）的近似值． 法三：几何概型公式求： P（A）= ★3 某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论: 他任意 9 时间打开电视看该台节目, 看不到广告的概率约为10, 那么该台每 ★★2、假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6:30~7:30 之 间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上 7:00~8:00 之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件 A）的概率的多 ★4.半径为 1 的圆上固定一点, 然后再随机地取另一点作弦, 则 弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率为________. 小时约有________分钟插播广告. 的变换为____________
(2)、算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是_____________函数. (3)、 Excel 软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为_____________ (4)、由计算器不能直接产生【a,b】区间上的均匀随机数，只能通 过 线 性 变 换 得 到 ， 如 果 X 是 [0,1] 区 间 上 的 均 匀 随 机 数 ， 则 （a+(b-a)X）就是区间[a,b]区间上的均匀随机数，你能理解这个 问题吗？
课前完成导学案,掌握基本题型,时间不超过 20 分钟,A 层次完成所有会做的题目;B 层次完成除★★所有会做的题目; 2 C 层次完成不带★所有会做的题目,坚决杜绝抄袭现象
： 1、用模拟法估计与长度、角度有关的几何概率 取一根长度为 5 m 的绳子, 拉直后在任意位置剪断, 用均匀随机模 拟方法估计剪得两段的长都不小于 2 m 的概率有多大？ 【解】 设剪得两段的长都不小于 2 m 为事件 A. 法一: 步骤是: (1)利用计算器或计算机产生 n 个 0～1 之间的均匀随机数, x＝___________
吉林省舒兰市第一中学高中数学人教A版导学案 必修三 3.3.2均匀随机数的产生
第一章 3.3.2 均匀随机数的产生编号022【学习目标】1．了解均匀随机数产生的方法与意义．2．会利用随机模拟试验估量几何概型的概率．【学习重点】如何利用均与随机数估量试验的概率.【基础学问】均匀随机数(1)产生方法：方法一，利用几何概型产生；方法二，用转盘产生；方法三，用______或______产生．(2)应用：利用均匀随机数可以进行随机模拟试验估量______的概率．【做一做】下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是()A．旋转的次数的多少不会影响估量的结果B．旋转的次数越多，估量的结果越精确C．旋转时可以按规律旋转D．转盘的半径越大，估量的结果越精确重难点突破：1．均匀随机数的产生剖析：产生均匀随机数和产生整数随机数的方法基本相同，都可以接受计算器和Excel软件产生，只是具体操作时所用的函数略有不同．下面以产生之间的均匀随机数为例来说明这种随机数的产生方法．(1)计算器法．比如我们要产生之间的均匀随机数，具体操作如下：(2)计算机法．比如首先打开Excel软件，在想要产生随机数的第一个单元格中输入“＝rand()”，再按Enter键，这时就在此单元格中产生了一个之间的均匀随机数，选中此单元格“复制”，再点选其他单元格中的一个，拖动鼠标直到最终一个单元格，执行“粘贴”操作，这时就得到了若干个之间的均匀随机数．2．产生范围的均匀随机数剖析：我们知道rand()函数可以产生范围内的均匀随机数，但事实上我们需要用到的随机数的范围是各种各样的，下面就介绍如何将范围内的随机数转化为之间的随机数．初探：先利用计算器或计算机产生内的均匀随机数a1，由于0≤a1≤1，且b－a＞0，所以0≤a1(b－a)≤b －a，∴a≤a1(b－a)＋a≤b.探究结果：rand()*(b－a)＋a表示之间的均匀随机数．特例：若0≤a1≤1，则－0.5≤a1－0.5≤0.5，即－1≤2(a1－0.5)≤1.所以当我们需要范围内的均匀随机数时，可以接受(rand()－0.5) 2，也可以接受2rand()－1来产生．【例题讲解】【例题1】在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，用随机模拟方法求这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率．反思：用随机模拟方法估量几何概型的步骤：①确定需要产生随机数的组数，如长度、角度型只用一组，面积型需要两组；②由基本大事空间对应的区域确定产生随机数的范围；③由大事A发生的条件确定随机数应满足的关系式；④统计大事A对应的随机数并计算A的频率来估量A的概率．【例题2】利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y＝2x与x轴、x＝±1围成的部分)的面积．反思：利用随机模拟方法估量图形面积的步骤是：①把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规章图形(长方形或圆等)的一部分，并用阴影表示；②利用随机模拟方法在规章图形内任取一点，求出落在阴影部分的概率P (A )＝N 1N ；③设阴影部分的面积是S ，规章图形的面积是S ′，则有S S ′＝N 1N ，解得S ＝N 1N S ′，则所求图形面积的近似值为N 1NS ′.【达标检测】1．用计算器或计算机产生20个0～1之间的随机数x ，但是基本大事都在区间上，则需要经过的变换是( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝3x ＋1C ．y ＝4x ＋1D ．y ＝4x －1 2．b 1是上的均匀随机数，b ＝3(b 1－2)，则b 是区间________上的均匀随机数．3．利用随机模拟方法计算如图所示的阴影部分(y ＝x 3和x ＝2以及x 轴所围成的部分)的面积．步骤是：(1)利用计算器或计算机产生两组0到1之间的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND ； (2)进行伸缩变换a ＝2a 1，b ＝8b 1；(3)数出落在阴影内的样本点数N 1(满足b ＜a 3的点(a ，b )的个数)，用几何概型公式计算阴影部分的面积． 例如，做1 000次试验，即N ＝1 000，模拟得到N 1＝250.由S S 阴影矩≈1N N ，得S 阴影≈________.4．取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟方法求出剪得两段的长都不小于1 m 的概率．5．如图所示，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，用随机模拟的方法求所投的点落入小正方形内的概率．【问题与收获】基础学问答案：(1)计算机 计算器 (2)几何概型【做一做】 B 旋转时要无规律旋转，否则估量的结果与实际有较大的误差，所以C 项不正确；转盘的半径与估量的结果无关，所以D 项不正确；旋转的次数越多，估量的结果越精确，所以B 项正确，A 项不正确．例题答案：【例题1】 解：步骤：(1)用计算机产生一组内的均匀随机数，a 1＝RAND ． (2)经过伸缩变换，a ＝12a 1得到内的均匀随机数． (3)统计试验总次数N 和内随机数的个数N 1. (4)计算频率N 1N.记大事A ＝{面积介于36 cm 2与81 cm 2之间}＝{边长介于6 cm 与9 cm 之间}，则P (A )的近似值为N 1N .【例题2】 解：步骤：(1)利用计算机产生两组内的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND ．(2)进行平移和伸缩变换，a ＝2(a 1－0.5)，b ＝2b 1，得到一组内的均匀随机数和一组内的均匀随机数．(3)统计试验总数N 和落在阴影内的点数N 1．(4)计算频率N 1N ，即为点落在阴影部分的概率的近似值．(5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P ＝S4，则N 1N ＝S 4. 故S ＝4N 1N ，即阴影部分面积的近似值为4N 1N .达标检测答案：1．D2． 0≤b 1≤1，则函数b ＝3(b 1－2)的值域是－6≤b ≤－3，即b 是区间上的均匀随机数．3．4 S 阴影≈1N N ·S 矩＝2501000×2×8＝4.4．分析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍内的任意数，并且内的每一个实数被取到都是等可能的．因此在任意位置剪断绳子的全部结果(基本大事)对应上的均匀随机数，其中取得的内的随机数就表示剪断位置与端点距离在内，也就是剪得的两段长都不小于1 m ．这样取得的内的随机数个数与内个数之比就是大事A 发生的频率．解：设剪得两段的长都不小于1 m 为大事A ．(1)利用计算器或计算机产生一组0到1之间的均匀随机数，a 1＝RAND ． (2)经过伸缩变换，a ＝3a 1.(3)统计出内随机数的个数N 1和内随机数的个数N .(4)计算频率1N N 即为概率P (A )的近似值．5．解：设大事A ＝{所投点落入小正方形内}．①用计算机产生两组上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND ．②经过平移和伸缩平移变换，a ＝3a 1－1.5，b ＝3b 1－1.5，得上的均匀随机数．③统计落入大正方形内的点数N (即上述全部随机数构成的点(a ，b )的个数)及落入小正方形内的点数N 1(即满足－1＜a ＜1且－1＜b ＜1的点(a ，b )的个数)．④计算1N N ，即为概率P (A )的近似值．。
郑2012-13高二数学必修三导学案3.3.1
事件A发生的概率P（A）=
例2：现有两个转盘（如上图所示）,甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜。分别求这两种情况下甲获胜的概率？
例3：有一杯2升的水,其中含有一个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升水,求小杯中含有这个细菌的概率.
如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为_______,
问题5：判断
概率为0的事件，一定是不可能事件
概率为1的事件，一定是必然事件
：
★例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
解析：记A={等待的时间不多于10分钟｝
事件A发生的区域长度为_______________________
（1）.某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为________
（2）.从1，2，3…，9这9个数字中任取2个数字，2个数字都是奇数的概率为____
：认真阅读教材135－136页完成下面内容
1.几何概率模型：
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的
成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型
★★6.设点M(x,y)在|x|≤1,|y|≤1时按均匀分布出现,试求满足:(1)x+y≥0的概率;(2)x+y<1的概率?（3） 的概率
【高考链接】
★1、（2012年高考（北京文理））设不等式组 表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）
A． B． C． D．
问题2：某人在7：00-8：00任一时刻随机到达单位，问此人在
高中数学导学案电子版
高中数学导学案电子版一、教学任务及对象1、教学任务本教学任务以“高中数学导学案电子版”为主题，旨在通过电子版导学案的运用，提高学生对高中数学知识的理解和应用能力。
教学内容涉及高中数学的核心概念、原理和方法，强调学生的主动探索和实践操作，培养他们的问题解决能力和创新思维。
通过引导学生利用电子版导学案进行自主学习，激发学生的学习兴趣，提高课堂效率，使学生在有限的课堂时间内掌握更多的数学知识。
2、教学对象本教学设计的对象为高中学生，他们已经具备了一定的数学基础知识和基本的计算机操作技能。
在这个阶段，学生正处于青春期，思维活跃，求知欲强，但同时也存在注意力分散、学习耐心不足等问题。
因此，针对这一年龄段的学生，教师需要运用生动、有趣的教学方法，激发他们的学习兴趣，引导他们主动参与到数学学习中来。
此外，由于学生个体差异，教学过程中还需关注学生的个性化需求，因材施教，使每个学生都能在数学学习中找到适合自己的方法。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握高中数学的基本概念、原理和公式，能够运用这些知识解决实际问题；（2）学会运用电子版导学案进行自主学习，提高信息素养和数字化学习能力；（3）掌握数学解题方法和技巧，提高运算速度和准确性；（4）培养数学思维能力，包括逻辑推理、空间想象、数据分析等；（5）提高数学语言表达和交流能力，能够清晰、准确地阐述自己的观点。
2、过程与方法（1）通过自主探究、合作学习等方式，让学生在探索中发现问题、解决问题，培养独立思考的能力；（2）运用电子版导学案，实现个性化学习，使学生在学习过程中能够根据自己的需求调整学习进度和方法；（3）设计丰富的教学活动，如小组讨论、课堂展示等，提高学生的课堂参与度和积极性；（4）采用启发式、情境式等教学方法，激发学生的创新思维和问题解决能力；（5）注重课后总结与反思，引导学生学会自我评价，培养自我监控和自我调整的能力。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养他们热爱数学、追求卓越的情感态度；（2）引导学生认识到数学在现实生活中的重要性，树立正确的数学价值观；（3）培养学生勇于面对困难、积极进取的精神风貌，增强自信心；（4）通过数学学习，培养学生的团队合作意识、责任感和使命感；（5）引导学生形成严谨、求实的学术态度，培养良好的学习习惯和道德品质。
高中数学人教A版必修3导学案
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§1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构 1
授课 时间
学习 目标
重点 难点
第 周 星期 第
节
课型
新授课
主备课人
1. 熟悉各种程序框及流程线的功能和作用； 2. 通过模仿、操作、探索，经历通过设计流程图表达解决问题的过程 程中，理解流程图的顺序结构； 3. 通过比较，体会流程图的直观性、准确性 . 重点：流程图的画法 . 难点：流程图的画法 .
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达标训练
1. 设计一个求解一元二次方程的算法，并画出程序框图表示。
2. 任意给定三个正实数， 设计一个算法， 判断以这三个正数为三边边长的三角形是否存在， 并画出这个算法的流程图 .
作业 布置 学习 小结 /教 学 反思
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§1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构 3
达标训练：下列语句描述的算法的输出结果 .
1、
a5
b3
c
ab 2
d cc
PRINT " d " ; d
2、
a1 b2 c ab b acb PRINT " a ,b ,c ";a,b,c
...
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..
3、
a 10 b 20 c 30 ab bc ca PRINT " a ,b ,c ";a,b,c
达标训练 课本练习 1、 2.
作业 布置 学习 小结 /教 学 反思
练习 3,4.
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§1.2.2 条件语句
授课 时间
第 周 星期 第
节
高中数学必修三第三章 概率导学案
3.1.1 随机事件的概率【学习要求】1．了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念； 2．正确理解事件A 出现的频率的意义，明确事件A 发生的频率f n (A )与事件A 发生的概率P (A )的区别与联系．【学法指导】通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高，并且体会数学知识与现实世界的联系．【知识要点】1．事件的概念及分类⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧的随机事件件的事件，叫做相对于条下，随机事件：在条件的必然事件件的事件，叫做相对于条下，必然事件：在条件的不可能事件件的事件，叫做相对于条下，不可能事件：在条件确定事件事件S S S S S S 2．频数与频率在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中 为事件A 出现的频数，称 为事件A 出现的频率. 3．概率（1）含义：概率是度量随机事件发生的 的量.（2）与频率联系:对于给定的随机事件A ,事件A 发生的 随着试验次数的增加稳定于 ,因此可以用 来估计 .【问题探究】[问题情境] 日常生活中，有些问题是能够准确回答的．例如：明天太阳一定从东方升起吗？木柴燃烧一定能产生热量吗？这些事情的发生都是必然的．同时也有许多问题是很难给予准确回答的．例如：明天中午12：10有多少人在学校食堂用餐？一次射击能否击中目标？明年房价是否下降？你购买的本期福利彩票是否能中奖？等等，这些问题的结果都具有偶然性和不确定性．研究这些问题有利于我们做出某些判断，防患于未然． 探究点一 必然事件、不可能事件和随机事件 问题1 考察下列事件：（1）导体通电时发热； （2）向上抛出的石头会下落；（3）在标准大气压下水温升高到100 ℃会沸腾．这些事件就其发生与否有什么共同特点？ 问题2 我们把上述事件叫做必然事件，你能说出必然事件的一般含义吗？ 问题3 考察下列事件：（1）在没有水分的真空中种子发芽； （2）在常温常压下钢铁融化；（3）服用一种药物使人永远年轻．这些事件就其发生与否有什么共同特点？ 问题4 我们把上述事件叫做不可能事件，你能表达不可能事件的一般含义吗？ 问题5 考察下列事件：（1）某人射击一次命中目标； （2）山东地区一年里7月15日这一天最热；（3）抛掷一个骰子出现的点数为偶数．这些事件就其发生与否有什么共同特点？ 问题6 我们把上述事件叫做随机事件，你能指出随机事件的一般含义吗？小结 在条件S 下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件；在条件S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S 的必然事件，简称必然事件；在条件S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件，必然事件和不可能事件统称为确定事件；确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A ，B ，C ，…表示．问题7 现在有10件相同的产品，其中8件是正品，2件是次品．我们要在其中任意抽出3件．那么，我们可能会抽到怎样的样本？问题8 我们再仔细观察上题中抽到样本的可能情况，还能得到一些什么结论？问题9 在问题7抽到样本的几种情况中及问题8的结论中，哪些是随机事件？哪些是必然事件？探究点二 事件A 发生的频率与概率导引 物体的大小常用质量、体积等来度量，学习水平的高低常用考试分数来衡量．对于随机事件，它发生的可能性有多大，我们也希望用一个数量来反映，最直接的方法就是试验，下面我们进行抛掷一枚硬币的试验．问题1 请班内四位同学依次、分别抛掷一枚硬币20次，其它同学观看并且记录硬币正面朝上的次数，比较他们的结果一致吗？为什么会出现这样的情况？问题2 历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表所示：在上述抛掷硬币的试验中，你会发现怎样的规律？问题3 在抛掷硬币试验中，把正面向上的比例称作正面向上的频率，你能给频率下个定义吗？ 问题4 频率的取值范围是什么？问题5 抛掷硬币试验表明，正面朝上在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，正面朝上发生的频率呈现出一定的规律性，这个规律性是如何体现出来的？问题6 我们把硬币正面朝上的频率所趋向的稳定值称做硬币正面朝上的概率,你能给随机事件A 发生的概率下个定义吗?问题7 在实际问题中，随机事件A 发生的概率往往是未知的(如在一定条件下射击命中目标的概率)，你如何得到事件A 发生的概率？问题8 在相同条件下，事件A 在先后两次试验中发生的频率f n (A )是否一定相等？事件A 在先后两次试验中发生的概率P (A )是否一定相等？问题9 必然事件、不可能事件发生的概率分别为多少？概率的取值范围是什么？ 问题10 概率为1的事件是否一定发生？概率为0的事件是否一定不发生？ 为什么？例 李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)．①90分以上；②60分～69分；③60分以上．小结随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性，可以用事件发生的频率去“测量”，因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率．（1）填写表中击中靶心的频率；（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？【当堂检测】1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是()A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．无法确定2．下列说法正确的是()A．任一事件的概率总在(0,1)内B．不可能事件的概率不一定为0C．必然事件的概率一定为1 D．以上均不对（1）完成上面表格；（2）该油菜子发芽的概率约是多少？【课堂小结】随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A发生的频率逐渐稳定在区间[0,1]内的某个常数上(即事件A的概率),这个常数越接近于1,事件A发生的概率就越大,也就是事件A发生的可能性就越大;反之,概率越接近于0,事件A发生的可能性就越小.因此,概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量,根据随机事件发生的频率只能得到概率的估计值.【课后作业】3.1.2概率的意义【学习要求】1．正确理解概率的意义，利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题；2．通过对概率的实际意义的理解，体会知识来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观，进而体会数学与现实世界的联系．【学法指导】通过对现实生活中的“掷币”，“游戏的公平性”，“彩票中奖”等问题的探究，感知应用数学知识解决数学问题的方法，理解逻辑推理的数学方法．【知识要点】1．对概率的正确理解随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有，认识了这种随机性中的，就能比较准确地预测随机事件发生的.2．游戏的公平性（1）裁判员用抽签器决定谁先发球,不管哪一名运动员先猜,猜中并取得发球权的概率均为,所以这个规则是的.（2）在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是的这一重要原则．3．决策中的概率思想如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一．【问题探究】[问题情境]据澳大利亚媒体报道，最近澳大利亚税务局盯上了一个神秘的赌博俱乐部“庞特俱乐部”．传说这个天才赌博团19名成员全部由数学家组成，他们在全球各个赌场奔走，用专业的数学方法计算概率，号称“十赌九赢”，仅仅3年就赚取了超过24亿澳元(约156亿元人民币)．今天我们就来学习概率．探究点一概率的正确理解问题1频率与概率有什么区别和联系？问题2有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上，你认为这种想法正确吗？问题3若某种彩票准备发行1 000万张，其中有1万张可以中奖，则买一张这种彩票的中奖概率是多少？买1 000张的话是否一定会中奖？问题4试验：全班同学各取一枚同样的硬币，连续抛掷两次，观察它落地后的朝向．将全班同学的试验结果汇总，计算三种结果发生的频率．你有什么发现？问题5围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，你认为一定有一次会摸到黑棋子吗？说明你的理由．小结随机事件在一次实验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性：即随着实验次数的增加，该随机事件发生的频率会越来越接近于该事件发生的概率．探究点二概率思想的实际应用问题1在乒乓球比赛前，要决定由谁先发球，裁判员拿出一个抽签器，它是一个像大硬币似的均匀塑料圆板，一面是红圈，一面是绿圈，然后随意指定一名运动员，要他猜上抛的抽签器落到球台上时，是红圈那面朝上还是绿圈那面朝上．如果他猜对了，就由他先发球，否则，由另一方先发球．你认为公平吗？为什么？问题2某中学高一年级有12个班,要从中选2个班代表学校参加某项活动.由于某种原因,一班必须参加，另外再从二至十二班中选1个班.有人提议用如下的方法:掷两枚骰子得到的点数和是几,就选几班,你认为这种方法公平吗?哪个班被选中的概率最大?(参考教材中两个骰子的点数和的表格)问题3 如果连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，你认为这枚骰子的质地是均匀的，还是不均匀的？如何解释这种现象？小结 （1）如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策问题，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法．（2）如果我们的判断结论能够使得样本出现的可能性最大，那么判断正确的可能性也最大，这种判断问题的方法在统计学中被称为似然法．问题4 天气预报是气象专家依据观测到的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的．某地气象局预报明天本地降水概率为70%，能否认为明天本地有70%的区域下雨，30%的区域不下雨？为什么？你认为应如何理解？问题5 天气预报说昨天的降水概率为90%，结果昨天根本没下雨，能否认为这次天气预报不准确？如何用概率的思想给出解释？问题6 奥地利遗传学家孟德尔1856年开始用豌豆作试验，他把黄色和绿色的豌豆杂交，第一年收获的豌豆都是黄色的．第二年，他把第一年收获的黄色豌豆再种下，收获的豌豆既有黄色的又有绿色的．同样他把圆形和皱皮豌豆杂交，第一年收获的豌豆都是圆形的．第二年，他把第一年收获的圆形豌豆再种下，收获的豌豆却既有圆形豌豆，又有皱皮豌豆．类似地，他把长茎的豌豆与短茎的豌豆杂交，第一年长出来的都是长茎的豌豆．第二年，他把这种杂交长茎豌豆再种下，得到的却既有长茎豌豆，又有短茎豌豆．试验的具体数据如下：你能从这些数据中发现什么规律吗？问题7 纯黄色和纯绿色的豌豆均由两个特征因子组成，用符号YY 代表纯黄色豌豆的两个特征，符号yy 代表纯绿色豌豆的两个特征，其中Y 为显性因子，y 为隐性因子，那么如何解释显性与隐性之比接近3︰1? 例 设有外形完全相同的两个箱子,甲箱有99个白球1个黑球,乙箱有1个白球99个黑球.今随机地抽取一箱,再从取出的一箱中抽取一球,结果取得白球.问这球是从哪一个箱子中取出的?小结 统计中极大似然法思想的概率解释：在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大． 跟踪训练 如果掷一枚质地均匀的硬币，连续5次正面向上，有人认为下次出现反面向上的概率大于12，这种理解正确吗？【当堂检测】1．“某彩票的中奖概率为11 000”意味着 ( ) A ．买1 000张彩票就一定能中奖 B ．买1 000张彩票中一次奖 C ．买1 000张彩票一次奖也不中 D ．购买彩票中奖的可能性是11 0002．同时向上抛掷100枚质量均匀的铜板,落地时这100枚铜板全都正面向上,则这100枚铜板更可能是下面哪种情况( )A ．这100枚铜板两面是一样的B ．这100枚铜板两面是不一样的C ．这100枚铜板中有50枚两面是一样的，另外50枚两面是不一样的D ．这100枚铜板中有20枚两面是一样的，另外80枚两面是不一样的3．某中学要在高一年级的二、三、四班中任选一个班参加社区服务活动，有人提议用如下方法选班：掷两枚硬币，正面向上记作2点，反面向上记作1点，两枚硬币的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？【课堂小结】1．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性大．2．孟德尔通过试验、观察、猜想、论证，从豌豆实验中发现遗传规律是一种统计规律，这是一种科学的研究方法，我们应认真体会和借鉴.3．利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.【课后作业】3.1.3 概率的基本性质【学习要求】1．正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念； 2．理解并熟记概率的几个基本性质；3．正确理解并事件与交事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系．【学法指导】通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养类比与归纳的数学思想;通过数学活动,了解数学知识与实际生活的密切联系,感受数学知识应用于现实世界的具体情境.【知识要点】2．概率的几个基本性质（1）概率的取值范围为.（2）的概率为1, 的概率为0.（3）概率加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝.特例：若A与B为对立事件，则P(A)＝.P(A∪B)＝，P(A∩B)＝.【问题探究】[问题情境]全运会中某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛，她们夺取冠军的概率分别是0.4和0.3，则该省夺取该项冠军的概率是0.4＋0.3吗？为什么？为解决这个问题，我们来学习概率的基本性质．探究点一事件的关系与运算导引在抛掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，D1＝{出现的点数不大于1}，D2＝{出现的点数大于4}，D3＝{出现的点数小于6}，E＝{出现的点数小于7}，F＝{出现的点数大于6}，G＝{出现的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}，等等．问题1上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？问题2如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？反之，成立吗？在集合中，集合C1与这些集合之间的关系怎样描述？小结一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)，记作B⊇A(或A⊆B)．不可能事件记为∅，任何事件都包含不可能事件．如果事件A发生，则事件B一定发生，反之也成立，(若B⊇A同时A⊆B)，我们说这两个事件相等，即A＝B.如C1＝D1. 问题3请指出如果事件C2发生或C4发生或C6发生，就意味着哪个事件发生？小结如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与B的并事件(或和事件)，记为A∪B或A＋B.问题4如果事件D2与事件H同时发生，就意味着哪个事件发生？小结如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与B的交事件(或积事件)，记为A∩B或AB.问题5事件D3与事件F能同时发生吗？小结如果A∩B为不可能事件(A∩B＝∅),那么称事件A与事件B互斥,即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.问题6事件G与事件H能同时发生吗？它们两个事件有什么关系？小结如果A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生．例1判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明理由．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：（1）“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；（2）“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；（3）“至少有1名男生”和“全是男生”；（4）“至少有1名男生”和“全是女生”．小结如果A、B是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A、B这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交．跟踪训练1一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、8、9、10环．探究点二概率的几个基本性质问题1概率的取值范围是什么？为什么？问题2必然事件、不可能事件的概率分别是多少？为什么？问题3如果事件A与事件B互斥,则事件A∪B发生的频数与事件A、B发生的频数有什么关系?f n(A∪B)与f n(A)、f n(B)有什么关系?进一步得到P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系?小结如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．问题4如果事件A与事件B互为对立事件，则P(A∪B)的值为多少？为什么？问题5如果事件A与事件B互为对立事件，P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？由此可得出什么结论？例2如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件A)的概率是14,取到方块(事件B)的概率是14,问:（1）取到红色牌(事件C)的概率是多少？（2）取到黑色牌(事件D)的概率是多少？小结事件C是事件A与事件B的并，且A与B互斥，因此可用互斥事件的概率加法公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P(D)＝1－P(C)．跟踪训练2袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？【当堂检测】1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶2．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得一张，那么事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A．对立事件B．互斥但不对立事件C．必然事件D．不可能事件3．一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为_______4．在掷骰子的游戏中，向上的数字是1或2的概率是______【课堂小结】1．概率的基本性质是学习概率的基础．不可能事件一定不发生，因此其概率为0，必然事件一定发生，因此其概率为1.当事件A与事件B互斥时，A∪B发生的概率等于A发生的概率与B发生的概率的和，从而有公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，所以有P(A)＋P(B)＝1.2．要注意互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：(1)事件A发生且事件B不发生；(2)事件A不发生且事件B发生；(3)事件A与事件B同时不发生．而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形：①事件A发生事件B不发生；②事件B发生事件A不发生，对立事件是互斥事件的特殊情形．【课后作业】3.2.1 古典概型(一)【学习要求】1．了解基本事件的特点；2．理解古典概型的概念及特点；3．会应用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题．【学法指导】通过模拟试验理解古典概型的特征,观察类比各个试验,归纳总结出古典概型的概率计算公式,体现了化归的重要思想,掌握列举法,学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题.【知识要点】1．基本事件：在实验中所有可能的结果都是 ，我们把这类 称为基本事件．基本事件有两个特点：(1)任何两个基本事件是 的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型：将具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． （1）试验中所有可能出现的基本事件 个； （2）每个基本事件出现的可能性 .3．古典概型概率计算公式P (A )＝mn.m 表示 ,n 表示 .【问题探究】[问题情境] 香港著名电影演员周润发在影片《赌神》中演技高超，他扮演的赌神在一次聚赌中，曾连续十次抛掷骰子都出现6点，那么如果是你随机地来抛掷骰子，连续3次、4次、…、10次都是6点的概率有多大？本节我们就来探究这个问题． 探究点一 基本事件问题1 抛掷两枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？连续抛掷三枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？ 问题2 上述试验中的每一个结果都是随机事件，我们把这类事件称为基本事件．在一次试验中，任何两个基本事件是什么关系？问题3 在连续抛掷三枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“出现两次正面和一次反面”，“至少出现两次正面”分别由哪些基本事件组成？例1 从字母a 、b 、c 、d 中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件?事件“取到字母a ”是哪些基本事件的和?跟踪训练1 把一枚骰子抛6次，设正面出现的点数为x . （1）求出x 的可能取值情况；（2）下列事件由哪些基本事件组成． ①x 的取值为2的倍数(记为事件A )； ②x 的取值大于3(记为事件B )；③x 的取值为不超过2(记为事件C )．探究点二 古典概型问题1 抛掷一枚质地均匀的硬币，每个基本事件出现的可能性相等吗？问题2 抛掷一枚质地均匀的骰子，有哪些基本事件？每个基本事件出现的可能性相等吗？问题3 上述试验的共同特点是什么？例2 某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？跟踪训练2 从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？探究点三 古典概型概率公式导引 在古典概型下，每一基本事件的概率是多少？随机事件出现的概率如何计算？ 问题1 在抛掷硬币试验中,如何求正面朝上及反面朝上的概率? 问题2 在抛掷骰子的试验中，如何求出现各个点的概率？问题3 从集合的观点分析，如果在一次试验中，等可能出现的所有n 个基本事件组成全集U ，事件A 包含的m 个基本事件组成子集A ，那么事件A 发生的概率P (A )等于什么？特别地，当A ＝U ，A ＝∅时，P (A )等于什么？例3 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A ，B ，C ，D 四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，则他答对的概率是多少？小结 解答概率题要有必要的文字叙述，一般要用字母设出所求的随机事件，要写出所有的基本事件及个数，写出随机事件所包含的基本事件及个数，然后应用公式求出．跟踪训练3 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率．【当堂检测】1．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．下列不是古典概型的是 ( ) A ．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小 B ．同时掷两颗骰子，点数和为7的概率 C ．近三天中有一天降雨的概率D ．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( ) A ．16B ．12C ．13D ．234．用1,2,3组成无重复数字的三位数，这些数能被2整除的概率是_______【课堂小结】1．基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件，且这些事件彼此互斥．试验中的事件A 可以是基本事件，也可以是由几个基本事件组合而成的.2．有限性和等可能性是古典概型的两个本质特点,概率计算公式P (A )＝事件A 所包含的基本事件的个数基本事件的总数,只对古典概型适用. 3．求某个随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏.。
数学必修3导学案
第一章统计第一节从普查到抽样编制人：刘才兴审核: 郭安佑领导签字：一、学习目标1．了解普查的意义2．结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性．二、重点、难点重点：结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性．难点：对什么是“有一定价值的统计问题”的理解.三、课前自学1．统计的概念统计是研究如何合理的学科．2．普查(1)定义：普查是指一个________或一个________专门组织的__________大规模的全面调查，目的是为了详细地了解________重要的国情、国力．(2)普查的主要特点：①所取得的资料更加全面、________；②主要调查在特定时段的社会经济现象总体的________．(3)普查的对象________时，普查无疑是一项非常好的调查方式．3．抽样调查(1)定义：通常情况下，从调查对象中______________抽取一部分，进行__________，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查，其中，调查对象的全体称为________，被抽取的一部分称为________．(2)抽样调查最突出的优点①____________②______________________.。
四、课内探究探究一：阅读课文，并回答下列问题：１）．人口普查对一个国家的发展有什么作用？依据上面的信息，你能举例说明吗？２）．根据上面的有关信息，我国第五次人口普查中漏登的人数约有多少？你对人口普查中漏登率是如何认识的？３）．你对上面“武汉一人口普查员劳累过度以身殉职”的报道有何看法？中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此调查对象的某项指标做出推断，这就是抽样调查．探究二：医生是如何检验人的血液中得血脂的含量是否偏高的？你觉得这样做的合理性是什么？探究三：为了缓解城市的交通拥堵情况，北京市准备出台限制私家车的政策，为此要进行民意调查。
某个调查小组调查了一些拥有私家车的市民，你认为这样的调查结果会怎样？五、当堂检测（时量：15分钟满分：15分）计分：1.下面的问卷是为了调查最近上映的影片的受欢迎程度而设计的,调查对象是去电影院看电影的人,你认为这份问卷好不好?为什么?姓名__________ 年龄__________地址__________________ 电话__________________工资收入____________ 工作单位________________今天晚上你看的电影是__________________________,电影院的名字是________________________________.影片好看吗?很好________,好________,不好________.用十分制为影片打分:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10比起你看的上一场电影怎么样? 1 2 3 4 5，你认为这部影片什么地方最精彩?________________. 从事文艺工作吗?__________.买雪糕了吗?__________.是开私家车来的吗?__________.2.为了调查小区平均每户居民的月用水量,下面是3名同学设计的方案:学生A:我把这个用水量调查表放在互联网上,只要登陆网址的人就可以看到这张表,他们填的表可以很快地反馈到我的电脑中,这样我就可以很快地估计小区平均每户居民的月用水量;学生B:我给我们居民小区的每一个住户发一个用水调查表,只要一两天就可以统计出小区平均每户居民的月用水量;学生C:我在小区的电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码,然后逐个给他们打电话,问一下他们的用水量,然后就可以估计出小区平均每户居民的月用水量.请你分析上述3名学生设计的调查方案能够获得平均每户居民的月用水量吗?为什么?你有何建议?练案A组一、选择题1．为了了解某种花的发芽天数，种植某种花的球根200个，进行调查发芽天数的试验，样本是( )A．200个表示发芽天数的数值B．200个球根C．无数个球根发芽天数的数值集合D．无法确定2．某校有40个班，每班50人，要求每班随机选派3人参加“学生代表大会”．在这个问题中样本容量是( )A．40 B．50 C．120 D．1503．为调查参加运动会的1 000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是( )A．1 000名运动员是总体B．每个运动员是个体C．抽取的100名运动员是样本D．样本容量是1004．若要调查某城市家庭的收入情况，在该问题中，总体是( )A．某城市B．某城市的所有家庭的收入C．某城市的所有人口D．某城市的工薪阶层5．对于下列调查：①测定海洋中微生物的含量；②某种灯泡使用寿命的测定；③入学报考者的学历调查；④全国人口普查．其中不属于样本调查的是( )A．①② B．③④ C．②③ D．①④6．下列调查，比较适用普查而不适用抽样调查方式的是( )A．为了了解中央电视台春节联欢晚会的收视率B．为了了解初三年级某班的每个学生周末(星期六)晚上的睡眠时间C．为了了解夏季冷饮市场上一批冰淇淋的质量情况D．为了考察一片试验田某种水稻的穗长情况二、填空题7．抽样调查一定要保证________原则，尽可能地避免人为因素的干扰，并且要保证每个个体以相同的可能性被抽取到．8． (1)对某班学生视力作一个调查；(2)某汽车生产厂要对所生产的某种品牌的轿车的抗碰撞情况进行检验；(3)联合国教科文组织要对全世界适龄儿童的入学情况做一个调查．对于上述3个实际问题所应选用的调查方法分别为__________、____________、____________.9．某公司新上市一款MP4，为了调查产品在用户中受欢迎的情况，采用什么形式调查为好____________(填“普查”或“抽样调查”)．10．春节前夕，质检部门检查一箱装有2 500件包装食品的质量，抽查总量的2%，在这个问题中，下列说法正确的是( )A．总体是指这箱2 500件包装食品B．个体是一件包装食品C．样本是按2%抽取的50件包装食品D．样本容量是50B组1．某校高中学生有900人，校医务室想对全体高中学生的身高情况做一次调查，为了不影响正常教学活动，准备抽取50名学生作为调查对象．校医务室若从高一年级中抽取50名学生的身高来估计全校高中学生的身高，你认为这样的调查结果会怎样？该问题中的总体和样本是什么？2．儿童的喂养及辅食添加是影响儿童生长发育、身体健康的重要因素，喂养不当及辅食添加不正确，容易导致儿童贫血及其他疾病，影响儿童生长发育．为了了解农村儿童的喂养、辅食添加情况、发现存在的问题、确定儿童的喂养及辅食添加的促进措施，欲在该地农村进行一次农村3岁以下儿童的喂养、辅食添加情况和贫血相关因素的调查研究．请给出一个合理的调查方案．(该地区共10个县)第二节抽样方法（一）——简单随机抽样编制人：刘才兴审核: 郭安佑领导签字：一、学习目标1．正确理解随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数表法的一般步骤 2．学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本。
(完整word版)高中数学必修3三导学案
1.1.1算法的概念二次备课高二数学备课组一、教学目标：1. 了解算法的含义，体会算法的思想；2. 能够用自然语言叙述算法；3. 掌握正确的算法应满足的要求。
4. 通过例题分析，体会算法的基本思路。
二、教材阅读：1、引入：算法作为一个名词，我们虽然没有接触过它的概念，但是我们却从小学就开始接触算法，如做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括号是算法；菜谱是做菜肴的算法；洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法。
广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。
在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。
在数学上，现代意义上的“算法”通常是指：可以用计算机来解决某一类问题的程序或，这些程序或步骤必须是___________ 和有效的，而且能够在___________ 步之内完成.3、算法的特点：(1) ____ 性：一个算法的步骤序列是有限的.(2) ____ 性：算法中的每一步应该是确定的.(3) ____ 性：算法分为若干有序的步骤，按顺序运行(4) ____ 性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.(5) ____ 性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决三、基础作业：1. (算法结构：含有依次执行步骤的算法)已知一个学生的语文成绩为89,数学成绩为96,外语成绩为99,求他的总分和平均分的一个算法为：解：算法：第一步，令a=89，b96，c=99第二步，计算总分s= __________第三步，计算平均分m= ________________第四步，输出s和m2. (算法结构：含有判断条件的算法)2x 1 x 1已知函数y ，设计一个算法，输入自变量x的值，输出对应的函x 1,x 1数值。
解：算法：第一步，输入自变量x的值第二步，判断_____________ 是否成立，若成立，则计算_____________________ ;否则计算第三步，输出y3、（算法结构：含有重复步骤的算法）设计一个算法，判断5是否为质数。
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§3.3 几何概型
课前预习案
教材助读
预习教材P135-P136，完成以下问题。
几何概型的两个特点：（1）________________性，（2）_________________性.
课内探究案
一、新课导学
1.模拟方法：通常借助____________来估计某些随机事件发生的概率。
用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验，对于某些无法确切知道概率的问题，模拟方法能帮助我们得到其概率的近似值。
2.几何概型：
（1）向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在的概率与G1的成正比，而与G的、无关，即P(点M落在G1) = ,则称这种模型为几何概型。
（2）几何概型中G也可以是或的有限区域，相应的概率是或。
二、合作探究
问题1：各个圆盘的中奖概率各是多少？
问题2：在区间[0，9]上任取一个整数，恰好取在区间[0，3]上的概率为多少？
问题3：在区间[0，9]上任取一个实数，恰好取在区间[0，3]上的概率为多少？
新知1：几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的______________，____________或______________，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
几何概型的两个特点：（1）_______________性，（2）_________________性.
几何概型概率计算公式：
P(A)=____________________________________
※ 典型例题
例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
例2 如图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆，则图1、图2落到阴影部分的概率分别为 ___________，__________.
例2、（选讲）在区间[-1,1]上任取两个数，则
（1）求这两个数的平方和不大于1的概率；
（2）求这两个数的差的绝对值不大于1的概率。
例3 取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都大于1米的概率是_______.
三、当堂检测
1、平面上画了一些彼此相距a 2的平行线，把一枚半径为)(a r r 的硬币任意掷在这平面上
如图3，则硬币不与任一条平行线相碰的概率是________.
2、从区间(0,1)内任取两个数,则这两个数的和小于
56的概率是 ( ) A. 35 B. 45 C. 1625 D.1725 3、在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于252cm 与49 2cm 之间的概率为( ). A. 103 B. 51 C. 52 D. 5
4 4、A 是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取点B,连接A 、B 两点,它是一条弦,它的长度大于或等于半径长度的概率为 ( ) A. 12 B. 23
D. 14 5、在等腰ABC Rt ∆中，在线段AB （斜边）上任取一点M ，使AM<AC ，则AM<AC 的概率为_______.
6、在10立方米的沙子中藏有一个玻璃球,假定这个玻璃球在沙子中的任何一个位置是等可能的,若取出1立方米的沙子.则取出的沙子中含有玻璃球的概率是_________。
四、课后反思
课后训练案
1、课本142页 A 组第1，2题。
2、在半径为1的半圆内，放置一个边长为
21的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，落在正方形内的概率为（ ）. A. 21 B. 41 C. π41 D. π
21 3、甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．
图3。