统计学分布表(T分布,F分布,卡方分布,正态分布)
几种常见的分布
应用：假设检验。
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各种分布之间的关系
Gamma分布与指数分布、正态分布
当gamma分布的形状系数k为正整数时，gamma分布可看作k个独立的指数分布 之和，当k趋向于较大数值时，分布近似于正态分布。
在Gamma分布中：k=n（正整数）时的gamma分布可以看作n个独立的k=1的 gamma分布（即指数分布）之和，按照中心极限定理，独立同分布随机变量 之和趋于正态分布。
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六、Gamma分布
E[X]=
D[X]=
应用：用于描述随机变量X等到第K件事发生所需等候的时间。
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七、瑞利分布(Rayleigh distribution)
定义：当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分 布时，这个向量的模呈瑞利分布。
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ห้องสมุดไป่ตู้
四、对数正态分布
定义：如果一个随机变量的对数服从正态分布，那么该随机变量服从对数 正态分布。
应用：金融保险业、投资收益计算等。
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五、柯西分布(Cauchy distribution)
应用：主要应用于物理学中，它是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中， 它用来描述被共振或者其他机制加宽的谱线形状。
应用：在自然情况下，均匀分布极为罕见。在实际问题中，当我们无法区分在 区间内取值的随机变量取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定随机变 量服从区间上的均匀分布。
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三、指数分布(Exponential distribution)
f分布t分布与卡方分布
布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。
2当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从 N(0,1)时，Z=v X i 的i2(n)，它的分分布称为自由度等于 布密度p(z )=n 的1 AnX22- n2 0,n-1.+处 2 -u , 0u 2e du ,2分布，记作Zz _2e其他,称为Gamma 函数，且】1 =1，式中的『-=I2分布是非对称分布，具有可加性，即当丫与Z_I - = n 。
2相互独立，且丫2(n )， Z 2(m )，贝y Y+Z 〜2(n+m )。
Y+Z= X+§1.4 常用的分布及其分位数 1.卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分证明：先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独 立且都服从N(0,1)，再根据 2分布的定义以及上述随机变 量的相互独立性，令 丫=X 2+X 2+…+X -, z=x 备+X 2+2+…+Xn+m ，即可得到丫+Z 〜2(n +m )。
2. t 分布若X 与丫相互独立，且X 〜N(0,1) , 丫〜2(n ),则Z =x . 丫的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z〜t (n),它的分布密度；z2 V .n丿n 1 ~Y。
”心LP(z)=―；=时(殳)I请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。
这时，t 分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以得到。
3. F分布若X与丫相互独立，且X〜2(n)，丫〜2(m), 则Z=X丫的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于n mm的F分布，记作Z〜F (n, m)，它的分布密度2P (Z(m nz) 2n mn m------ in——1 z2-,z 0 n m2 20,其他。
请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度1的次序有关，当 Z 〜F (n , m )时，刁〜F (m ,n )。
t分布,卡方x分布，F分布
t分布,卡⽅x分布，F分布T分布：温良宽厚命名与源起“t”，是伟⼤的Fisher为之取的名字。
Fisher最早将这⼀分布命名为“Student's distribution”，并以“t”为之标记。
Student，则是William Sealy Gosset（⼽塞特）的笔名。
他当年在爱尔兰都柏林的⼀家酒⼚⼯作，设计了⼀种后来被称为t检验的⽅法来评价酒的质量。
因为⾏业机密，酒⼚不允许他的⼯作内容外泄，所以当他后来将其发表到⾄今仍⼗分著名的⼀本杂志《Biometrika》时，就署了student的笔名。
所以现在很多⼈知道student，知道t，却不知道Gosset。
（相对⽽⾔，我们常说的正态分布，在国外更多的被称为⾼斯分布……⾼斯~泉下有知的话，说不定会打出V字⼿势~欧耶！）看懂概率密度图这⼀点对于初学者尤为重要，相信还是有不少⼈对正态分布或者t分布的曲线没有确切的理解。
⾸先，我们看⼀下频率分布直⽅图，histogram：上图，最关键的就是横轴了，柱⾼，即，对于横轴上每⼀个点，发⽣的频次。
图中横轴为4处，次数最多，⼤约12次；依次类推，横坐标为10处，发⽣1次……我们做单变量的探索性数据分析，最喜欢做柱状图了，或者再额外绘制⼀条Density曲线于其上（见下图）。
很容易就可以看出数据的分布（集中趋势、离散趋势），图中，数据⼤多集中在4左右（均数、众数），有⼀点点右偏态，但基本还是正态分布。
下图，⼿绘曲线，即密度曲线，英⽂全称Probability Density Function/Curve。
实际上是对上⾯柱状图的⼀个平滑，但它的纵坐标变为了概率，区别于柱状图的频次。
但理解起来意义差不多。
以下，我们就⽤Density曲线来讲解T分布的特征。
T分布的可视化我们平常说的t分布，都是指⼩样本的分布。
但其实正态分布，可以算作t分布的特例。
也就是说，t分布，在⼤⼩样本中都是通⽤的。
之前有读者问过：“是不是样本量⼤于30或者⼤于50，就不能⽤t分布了呀”？完全不是这样的！t分布，⼤⼩通吃！具体且看下⽂分解。
几种常见的分布
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一、正态分布 (Normal distribution)
E[X]=A D[X]=B2
应用：如果一个量是由许多微小的独立随机因影响的结果，就可以认为这个量 具有正态分布。在自然现象中，大量随机变量都服从或近似服从正态分布。
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二、均匀分布(Uniform distribution)
。
应用：三角形分布经常用于商务决策，尤其是计算机模拟领域。通常，如果对结果的概率 分布所知信息很少，例如仅仅知道最大值与最小值，那么可以使用平均分布模型。但 是，如果已经知道了最可能出现的结果，那么就可以用三角形分布进行模拟。 三角形分布以及Beta分布在项目管理中大量地用作项目评估与审核技术以及关键途径 的输入信息，以建立在最大值与最小值之间事件发生的概率模型。
正态分布
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几种常见的分布
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分类
连续型随机分布
◆ 正态分布、均匀分布、指数分布、对数正态分布、柯西分布、 Gamma分布、瑞利分布、韦伯分布、三角形分布
离散型随机分布
◆ 二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布
三大抽样分布
◆ 卡方分布、F分布、t分布
分布之间的关系
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应用：射击比赛等。
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十三、超几何分布
定义：在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所 得次品数X=k，是一个随机变量：
应用：产品质量检测等。（注：在实际应用时，只要N>=10n，可用二项分 布近似描述不合格品个数。）
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十四、泊松分布（Poisson distribution）
f分布t分布和卡方分布
§1、4 常用得分布及其分位数1、 卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都就是由正态分布所导出得分布，它们与正态分布一起，就是试验统计中常用得分布。
当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时，Z=∑ii X 2 得分布称为自由度等于n 得2χ分布，记作Z ～2χ(n)，它得分布密度p(z )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中得⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ2n =u d e u u n ⎰∞+--012，称为Gamma 函数，且()1Γ=1，⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21=π。
2χ分布就是非对称分布，具有可加性，即当Y 与Z 相互独立，且Y ～2χ(n )，Z ～2χ(m )，则Y+Z ～2χ(n+m )。
证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独立且都服从N(0,1)，再根据2χ分布得定义以及上述随机变量得相互独立性，令Y=X 21+X 22+…+X 2n ，Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。
2、 t 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～N(0,1)，Y ～2χ(n )，则Z =n Y X得分布称为自由度等于n 得t 分布，记作Z ～ t (n )，它得分布密度 P(z)=)()(221n nn ΓΓ+2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n z 。
请注意：t 分布得分布密度也就是偶函数，且当n>30时，t 分布与标准正态分布N(0,1)得密度曲线几乎重叠为一。
这时， t 分布得分布函数值查N(0,1)得分布函数值表便可以得到。
3、 F 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～2χ(n )，Y ～2χ(m )， 则Z=m Y n X得分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m 得F 分布，记作Z ～F (n , m )，它得分布密度 p(z)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ•。
5.3卡方分布、t分布及F分布
F分布的分位数
自由度为n, m的F分布的分位数记作 F (n, m ). 1) F ( n, m ) 0, 非对称分布。 2) 当F ~ F (n, m )时，P{F F (n, m )} .
3) 当较小时，表中查不出 F (n, m )， 可先查F1 (m, n)，
知道自由度n和α可查t分布的分位数表。
n 30, t n u
卡方分布的分位数
2 自由度n的 2分布的分位数记作 ( n).
1) ( n) 0, 非对称分布。
2
2) 当Z ~ ( n)时， P{ Z ( n)} .
2
2
自由度n, , 可以从 3) 给出概率和 2 2 中查出 ( n). 分布的分位数表
§5.3 卡方分布，t分布及F分布
与F分布的关系
5.常用分布的分位数
1.卡方分布
什么是卡方分布
设随机变量X 1 , X 2 , , X n相互独立, 且都服从
n i 1 2 i
N (0,1), 则随机变量Z X 服从自由度为n的
分布，记作Z ~ ( n).
3) u u1
0.005 ，u0.995 2.58.
t分布的分位数
自由度为n的t分布的分位数记作 t ( n).
为对称分布，记号方式类似标准正态分布。
1) 当T ~ t (n)时，P{T t ( n)} .
2) 0.5时，t n 0,
3) t (n) t1 (n),
，
又根据 F 分布的定义，
1 ~ F (n, m) ， X
1 P F n , m 所以 X ，
1 F n, m 因此 F1 (m, n)
F分布的概念及表和查表方法
F分布F分布是1924年英国统计学家R·A·Fisher提出，并以其姓氏的第一个字母命名的。
它是一种非对称分布，有两个自由度，且位置不可互换。
F分布有着广泛的应用，如在方差分析、回归方程的显着性检验中都有着重要的地位。
中文名F分布外文名F-distribution领域统计学提出者提出时间1924特性非对称分布目录1定义2性质定义若总体，与为来自X的两个独立样本，设统计量则称统计量F服从自由度和的F分布，记为分布的概率密度为分布的概率密度函数图像如图1所示图1[2]若总体与总体独立，为来自X的一个样本，为来自Y的一个样本，则统计量则称统计量F服从自由度为和，非中心参数为的非中心F分布，记为性质性质1：性质2：设，则。
性质3：设，则。
性质4：分布的分布函数可用标准正态分布的分布函数来逼近。
即其中，(，充分大)。
性质5：若总体与独立，为来自X的一个样本，为来自Y的一个样本，为已知参数。
则统计量性质6：若总体与独立，为来自X的一个样本，为来自Y的一个样本，则统计量F统计学附录表F—分布临界值表——α（―）α=Fα1234568 1224∞k1k2116211200002161522500230562343723925244262494025465 234567891011121314α=α=α=α=242526272829304060120∞注：三大抽样分布一般是指卡方分布（χ2分布）、t分布和F分布，是来自正态总体的三个常用的分布。
说明：F分布表横坐标是x，纵坐标是y（如下图），一个α分位点一张表，根据公式中的分子自由度(表第一行数字，k1)和分母自由度（表第一列数字,k2）；它是一种非对称分布，有两个自由度，且位置不可互换。
f分布表查询方法例：1.首先需要了解自由度是多少，例如当分位数α=时，找到α=的表。
2、这里以分位数为α=，自由度为（2,3）的F分布为例。
首先选择分位数为的分位数表，然后找到上方一行的2，对应2下方的一列。
计量经济学查表值
计量经济学查表值
计量经济学是应用数学和统计学方法研究经济学问题的学科。
在实际研究过程中，经常需要查找一些数值表格以便进行数据分析和模型建立。
下面是一些常见的计量经济学查表值：
1. t分布表，用于计算t统计量的p值和置信区间。
2. F分布表，用于计算F统计量的p值和置信区间。
3. 卡方分布表，用于计算卡方统计量的p值和置信区间。
4. 标准正态分布表，用于计算标准正态分布的累积概率和反函数值。
5. t检验临界值表，用于计算两个样本之间的t检验临界值。
6. F检验临界值表，用于计算方差分析和回归分析中F检验的临界值。
7. Durbin-Watson统计量表，用于计算回归分析中的自相关性。
8. Breusch-Pagan检验表，用于检验方差齐性。
以上是一些常见的计量经济学查表值，研究者们可以根据自身的研究需求进行选择和使用。
- 1 -。
概率论常用统计分布
由定 5.8,有 义 T2X 2~F (1,n ). Yn
例5 设X ~ F (n, m)(n 4),试求EX 1, DX 1.
解 因为 X~F (n ,m ),所以
由F分布的性质知
所以得
X1~F(m,n)
EX1 n , n2
DX 1m n2((n2m2)22(n n44)).
二、概率分布的分位数
1. 定义
定义5.9 对 于 总 体 X 和 给 定 的 ( 0 1 ) ,
若存在 x , 使
P {Xx}
则x 称 为 X的分布 分 的位 .上数 侧
2. 常用分布的上侧分位数记号
分布 N(0,1) 记号 u
2(n) t(n) F(n1,n2) 2(n) t(n) F(n1,n2)
<3> T的数字特征
E(T)0, D (T) n (n2).
n2
例3 设总体X和Y相互独立,且都服从N（0,9）
X1, X2,, X9和Y1,Y2,,Y9来自总体X ,Y的样本，
求统计量T的分布,其中
9
9
T Xi / Yi2 .
i 1
i 1
解 从抽样分X布 ~N知 (0,1)
而 Y i~ N ( 0 , 9 ) 故 Y ,i/3 ~ N ( 0 , 1 ) ，
又 Y1X12X2与Y2X3X4 4X5X6
相互独立.
所以 (X1X2)2(X3X4X5X6)2
2
4
Y12Y22 ~ 2(2)
则 C 1 12,C 2 14.
2. t 分布
历史上,正态分布由于其广泛的应用背景 和良好的性质,曾一度被看作是"万能分布", 在这样的背景下,十九世纪初英国一位年轻 的酿酒化学技师Cosset. WS, 他在酒厂从事试验 数据分析工作,对数据误差有着大量感性的认 识,我们知道在总体均值和方差已知情况下,
正态分布卡方分布t分布f分布的特点
正态分布卡方分布t分布f分布的特点正态分布（Normal Distribution）是统计学中最重要的概率分布之一，也是最常见的概率分布之一。
它的形状类似于一个钟形曲线，两头低，中间高，呈对称分布。
正态分布具有许多独特的特点，其中一些特点包括对称性、峰度和偏度的性质、标准正态分布等。
首先，正态分布的最重要特点之一是它的对称性。
这意味着分布的左侧和右侧是镜像对称的。
换句话说，正态分布的均值（mean）、中位数（median）和众数（mode）是相等的，这是它对称性的一个基本特征。
这也意味着在正态分布中，随机变量的概率密度在均值处达到最大值，并且向两侧逐渐减小，形成了典型的钟形曲线。
其次，正态分布具有一个重要的特点是其峰度（kurtosis）和偏度（skewness）的性质。
峰度描述了分布曲线的尖锐程度，它是描述分布形态的重要指标之一。
正态分布的峰度为3，这意味着它的尖峰程度与标准正态分布相当。
偏度则描述了分布曲线的偏斜程度，正态分布的偏度为0，这意味着它是对称的。
这些特点使得正态分布在统计学中有着广泛的应用，特别是在假设检验和统计推断中被广泛使用。
另外，正态分布还有一个重要的特点是标准正态分布。
标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。
它是统计学中非常重要的一种分布，因为许多统计量都服从于标准正态分布，比如t值、z值等。
正态分布的重要性在于中心极限定理，它指出了当随机变量的数量足够大时，它们的总和或者平均值会接近于正态分布，这使得正态分布在实际问题中有着广泛的应用。
除了正态分布外，卡方分布（Chi-square Distribution）也是统计学中重要的概率分布之一。
卡方分布是以卡方统计量为基础的分布，它在统计学中有着重要的应用。
卡方分布的特点包括其形状、参数和性质等。
首先，卡方分布的形状是非对称的。
它是一个正偏分布，即分布的右侧长尾较长，左侧短尾较短。
这与正态分布的对称性形成了鲜明的对比。
t分布f分布和卡方分布的关系 -回复
t分布f分布和卡方分布的关系-回复t分布、F分布和卡方分布都是常见的概率分布函数，主要用于统计学中的假设检验、置信区间估计等方面。
虽然它们在某些方面有一定的相似性，但每种分布都有其独特的特点和应用场景。
首先，让我们从概念上一步一步地介绍这三个分布函数。
1. t分布：t分布是由英国统计学家威廉·塞奥尼茨·高斯特（William Sealy Gosset）于1908年提出的，因其发表论文时使用了笔名“学生（Student）”，所以被称为t分布。
t分布是一种与正态分布相关的概率分布，它的特点是形状近似于正态分布，但是比正态分布的尖峰程度略高，而且尾部较厚。
t分布的形状由自由度参数决定，自由度越小，t分布的尾部越厚。
2. F分布：F分布是由英国统计学家罗纳德·费舍尔（Ronald Fisher）于1925年提出的，用于比较两个样本方差是否存在显著差异。
F分布是一种非对称的概率分布，其形状取决于两个自由度参数：分子自由度和分母自由度。
F分布通常用于方差分析和回归分析中，用于比较组间和组内的方差。
3. 卡方分布：卡方分布是由丹麦数学家托瑟·布伦塞利斯（Thorvald Thorvaldsen）于1900年提出的，用于计算独立性检验、拟合度检验和方差分析等问题。
卡方分布是一种右偏且非对称的概率分布，其形状由自由度参数决定。
卡方分布常用于计算观察值与期望值之间的差异。
虽然t分布、F分布和卡方分布在定义和特点上存在差异，但它们之间存在着紧密的关系。
1. 关系方面：t分布是由正态分布标准化得到的，其中正态分布的标准化变量被称为t 变量。
在实际应用中，t分布通常用于小样本情况下对总体均值的检验。
而F分布和卡方分布则都是基于t分布定义的。
2. 应用方面：t分布常用于小样本的统计推断中，特别是对总体均值的估计和假设检验。
F分布常用于分析方差来源的显著性差异以及回归分析的F检验。
卡方分布常用于在给定的显著性水平上检验观察数据与理论预期之间的差异。
卡方分布t分布和F分布的概念与应用
卡方分布t分布和F分布的概念与应用卡方分布、t分布和F分布是统计学中常用的概率分布，被广泛应用于假设检验、置信区间估计和回归分析等领域。
本文将介绍这些概念的基本原理和应用，并探讨它们在实际问题中的具体应用场景。
一、卡方分布的概念与应用卡方分布是一种特殊的概率分布，常用于分析分类数据和检验随机事件的独立性或拟合优度。
它的定义是基于自由度的度量，自由度决定了卡方分布的形状和位置。
在实际应用中，卡方分布常用于以下场景：1. 独立性检验：用于检验两个变量之间是否独立。
例如，我们可以利用卡方分布来检验男女性别与是否抽烟的关系，从而判断两者是否存在关联。
2. 拟合优度检验：用于检验观测值与理论模型之间的拟合程度。
例如，在假设人群的某一特征符合某种理论分布的情况下，我们可以利用卡方分布来检验观测结果与理论分布是否存在显著差异。
二、t分布的概念与应用t分布是一种常用的概率分布，广泛应用于小样本数据分析和参数估计。
与正态分布相比，t分布更适用于样本量较小或总体标准差未知的情况。
t分布的主要应用包括以下几个方面：1. 参数估计：用于估计总体均值的区间。
当总体标准差未知且样本量较小时，通常采用t分布进行区间估计。
例如，通过样本数据建立一个平均值的置信区间，这时就需要利用t分布。
2. 小样本假设检验：用于检验两个样本平均值之间是否存在显著差异。
当总体标准差未知且样本量较小时，可以利用t分布进行假设检验。
例如，比较两组学生在某门考试成绩上的差异，就可以使用t分布进行假设检验。
三、F分布的概念与应用F分布是一种用于比较两个或更多总体差异的概率分布。
它常用于方差的比较和回归分析中。
F分布的主要应用包括以下几个方面：1. 方差分析：用于比较两个或多个总体方差是否相等。
例如，在农业实验中，我们可能需要比较不同施肥方法对庄稼产量的影响，这时可以利用F分布进行方差分析。
2. 回归分析中的显著性检验：用于检验回归模型的显著性。
在回归分析中，我们可以利用F分布检验回归模型的整体拟合程度。