(参考资料)数值分析笔记

2、直接三角分解法
（1）Doolittle 分解(LU) 前提条件：A 的各阶顺序主子式不为零。
则存在唯一单位下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U 使 A = LU
Doolittle 分解(LU)法：Ax=b 且 A=LU，则先用 Ly=b 求 y，再用 Ux=y 求 x。
a11 a12 ... a1n
向量的 1-范数:
向量的 2-范数:
向量的-范数:
x 1 x1 x2 xn
x 2
x12 x22 xn2
范数的等价性 m ‖x‖ ‖x‖ M ‖x‖ , xRn
x
max
1in
|
xi
|
常用的三种向量范数等价关系 ‖x‖ ‖x‖1 n‖x‖ , xRn
x x n x ,x Rn
2
x x n x ,x Rn
凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的半
个单位。
2.设近似值 x 的相对误差限位 10-5，则 x 至少具有（5）为有效数字。
第二章 解线性方程组的直接法
1、Gauss 消去法
是一种规则化的加减消元法，通过逐次消元计算，转化为等价的上三角形方程组。
顺序 Gauss 消去法(简称为 Gauss 消去法):
则
(A)
max
1in
i
为矩阵
A 的谱半径。
Cond(A)=‖A‖‖A-1‖,
称为方程组 Ax=b 或矩阵
A 的条件数。
第三章 解线性方程组的迭代法
x(k+1)=Mx(k)+g , k=0,1,2,…
其中 M 称为迭代矩阵。
1、Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法
Jacobi
迭代法（J
1i
a1, 1 c1 1, i di , i ai dii1, i 2,3,, n
2,3,,
n
i ci i ,i 2,3,, n 1
（1）向量的范数 ‖x‖为向量 x 的范数
①非负性：‖x‖0 ,且‖x‖=0 当且仅当 x=0； ②齐次性：实数 ,‖x‖=| |‖x‖； ③三角不等式:‖x+y‖‖x‖+‖y‖。 x=(x1,x2,…,xn)T
a(k) kk
(k
1,2,...,n)
为主元素
前提条件：主元素都不为零 矩阵 A 的各阶顺序主子式都不为零。
主元 Gauss 消去法:
前提条件：矩阵 A 的行列式不为零。
分为列主元消去法和全主元消去法，常用的方法为列主元消去法。列主元 Gauss
消去法是在每一步消元前,在主元所在的一列选取绝对值最大的元素作为主元素。
d n1 an1 cn1
dn
an
1 2
T
2
n1
n1 n
1
M
n
1 1
2
1
n1
1
三对角矩阵 A 的各阶顺序主子式都不为零 的一个充分条件是: |a1|>|c1|>0;|an|>|dn|>0;|ai||ci|+|di|, cidi0,i=2,3,…,n-1. 3、向量和矩阵的范数
u13 / u11 u23 / u22
1
紧凑格式 a11 三阶公式 a21
a31
a22 a32
g11 g21 a33 g31
g 22 g32
g
33
a21 a31
a11 / g11 / g11
a22
g
2 21
(a32 g31g21) / g22
a33
g
2 31
g322
常用的矩阵范数
n
矩阵的 1-范数:
A
1
max
1 jn
i 1
aij
矩阵的 2-范数:
A 2
max (AT A)
n
矩阵的-范数:
A
max 1in
j 1
aij
n
矩阵的 F-范数: A F
ai2j
i, j1
,也称矩阵的列范数. ,也称为谱范数. ,也称为行范数.
1, 2, …, n 为矩阵 A 的 n 个特征值,
2
1
2
若 lim x(k) x* 0 则向量序列{x(k)}收敛于向量 x*, 记作 lim x(k) x* ,或x(k) x*
k
k
x(k )
x*
x(k) i
xi* , i
1,2,, n
4、矩阵的范数
①非负性②齐次性③三角不等式‖A+B‖‖A‖+‖B‖和‖AB‖‖A‖‖B‖
‖A‖为矩阵 A 的范数， 为矩阵的特征值 A E 0
全公式：若记 G=(gij), 则有: 对 k=1,2,…,n
（3）追赶法 Crout 分解(TM) A = LU = LDM = TM
g
kk
(akk
k 1
g ) 2
1 2
km
m1
k 1
gik
(aik
gim gkm ) gkk
m1
,i k 1,, n
a1 c1
d2 a2 c2
i 1 j 1
若记
g ( b1 , a11
则 x(k+n1)=B x(k)+g
a x(k 1) ij j
aij
a21
an1
a22
an2
... a2n
...
ann
1
l21 1
L
l31
l32
1
l
n1
ln2
ln3
1
u11 u12 ... u1n
U
u22 ... u2n
unn
1
三阶的 LU 计算公式
L a21 / u11
1
a31 / u11 (a32 l31u12 ) / u22 1
a11 U
a12 a22 l21u12
a13
a23 l21u13
a33 l31u13 l32u23
（2）平方根法
u11
LDM 分解 和 Cholesky 分解(GGT) D u22
1 u12 / u11
M
1
A = LU = LDM = LDLT = GGT
u33
（平方根法：Ax=b 且 A= GGT，则先用 Gy=b 求 y，再用 GTx=y 求 x）
迭代法） x(k1) i
1 aii
(bi
i 1 j 1
aij
x
(k
j
)
n
aij
x
(k
j
)
)
j i 1
0 a12 a1n
a11
a11
,i 1,2,n, k 0,1,2,
迭代矩阵
B
a21 a22
an1 ann
0
anx2 (k1) ai
nnBaidu Nhomakorabea
a2n a22
1 aii
0(bi
第一章 绪 论
1、设 x 是精确值 x*的一个近似值，
近似值 x 的绝对误差 e= x*-x
绝对误差限 |e|≤
有关系式 x-≤x*≤x+ 或 x*=x±
相对误差 er 相对误差限 r
er
e x*
x* x*
x（x*未知，用
x
代替）er
=/|x|
|er|≤r
e x* x xx
有效数字 n 从 x 左起第一个非零数 字到该数位共有 n 位