(参考资料)数值分析笔记
数值代数主要知识点
20世纪最好的十个算法( Computing in Science & Engineering 评选)1.1946.Los Alamos的Von Neumann,Stan Vlam,Nick Metropolis编的Metropolis算法,即Monte Carlo方法2.1947兰德公司的Grorge Dantzig创造的线性规划的单纯性算法3.1950.美国国家标准局数值分析所的Magnus Hestenes,Edward Stiefel, Cornelius Lanczos的Krylovz空间迭代法4.1951 橡树岭国家实验室的Alston Householder矩阵计算的分解方法5.1951 John Backus在IBM领导的小组研制的Fortron最优编译程序6.1959-61 伦敦的Ferranti Ltd的J.G.F.Francis的称为QR的算法的计算机本征值的稳定的算法7.1962London的Elliot Brothers Ltd的Tony Hoare提出的快速(按大小)分类法8.1965 IBM的Cooley与Princeton及Bell的Turkey的FFT算法9.1977 Brighham Young大学的Helaman Ferguson和Rodney Forcede的整数关系侦察算法10.1987 Yale的Leslie Greengard和Vladinimir Rokhlin发明的快速多级算法数值代数上课内容：一、预备知识（基础）1）误差分析2）范数理论3）初等变换与矩阵分解二、线性方程组的求解1）直接法2）迭代法3）最小二乘问题与矩阵广义逆三、矩阵特征值问题1）普通特征值问题a)幂法和反幂法b)QR方法2）对称特征值问题各部分的主要知识要点：（主要看上课笔记）一、预备知识（基础）§1 误差分析基本要求：1）了解数值代数的研究对象与特点及主要研究内容2）了解误差的基本知识及误差来源、误差种类3）了解浮点运算和舍入误差分析4）了解算法的评价及算法的向后稳定§2范数理论基本要求：1）熟练掌握向量范数的定义，会判断给定的某个函数是否是向量范数（范数的三个条件正定性、齐次性和三角不等式）2）了解常用向量范数、范数等价定理3）熟练掌握矩阵范数的定义，会判断给定的某个函数是否是矩阵范数（范数的三个条件正定性、齐次性和三角不等式）4）熟练掌握几个特殊的矩阵范数－算子范数、相容范数、酉不变范数的定义5）掌握常用矩阵范数1－范数，2－范数， －范数，F－范数的定义，并清楚且会证明它们分别属于算子范数、相容范数、酉不变范数的那一种范数6）会证明常用的范数不等式7）了解矩阵的谱和谱半径的定义二、初等变换与矩阵分解§1初等变换（主要看上课笔记）基本要求：1）了解初等变换的一般形式和一般初等变换的性质2）熟练掌握两种特殊的初等变换－Gauss消元变换、Household变换a)熟练掌握Gauss消元变换的定义和性质，特别是消元性质，会利用Gauss消元变换对向量进行消元b) 熟练掌握Householder变换/初等Hermit阵的定义和性质，特别是变换性质和消元性质，会利用Householder变换对向量进行消元，会求Householder变换矩阵3)熟练掌握Givens旋转变换的定义和性质，特别是消元性质即消元特点，会灵活运用Givens 旋转变换对向量进行消元（消调某一个变量）4）了解交换阵的定义即性质§2 矩阵分解1、基于Gauss消元阵的分解基于Gauss消元阵的分解，包括无主元LU分解、列主元LU分解、对称正定阵的Cholesky 分解基本要求：1）熟练掌握无主元LU分解的具体过程，会写出相应的程序，给定一个矩阵，会计算它的LU 分解矩阵2） 了解LU 分解的不稳定性和LU 分解的唯一性及存在条件det()0(1,2,,).1n n k k n A R D A k n A L U A LU ⨯∈=≠== 若阶方阵的顺序主子式则可唯一地分解为一个单位下三角阵和非奇异的上三角阵的乘积。
数值分析复习资料
数值分析复习资料一、重点公式第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2）迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3）单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：110111i i iii x x x llx x x lαα+-≤---≤-- 定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠ （Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法：1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'()0,,f x x a b ≠∈；③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <；则Newton 迭代法收敛于根α。
6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：P =7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()()i i i i f x x x rf x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。
数值分析期末复习资料
数值分析期末复习资料数值分析期末复习题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明第一章误差与有效数字一、有效数字1、定义：若近似值X*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说x*有n 位有效数字。
2、两点理解：（1） 四舍五入的一定是有效数字（2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. ・§丄％ 3、 定理1 （P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差虧疗茲T 4、考点：（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1 （P7例题3） 二、避免误差危害原则 1、原则:（1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：xl*x2= c / a ） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. V777-77 =c ・2 X2sin7 或 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14 三. 数值运算的误差估计 1、公式：（1） 一元函数：I £*（ f 3））1 Q |「（於）1・| £*（力|或其变形公式求相对误差（两边同时除以f （卅））eg. P19习题1、2、5(2) (3) ln(x + £)- In x = In 1；1 — cos X =（2）多元函数（P8） eg. P8例4, P19习题4第二章插值法一、插值条件1、定义：在区间［a, b］上，给定n+1个点，aWxoVx［V・・・VxWb的函数值yi=f(xi),求次数不超过n的多项式P(x),饋兀)=儿 i =0,1,2,…，力2、定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数Wn的P(x)存在且唯一二、拉格朗日插值及其余项1、n次插值基函数表达式(P26 (2.8))2、插值多项式表达式(P26 (2.9))3、插值余项(P26 (2.12))：用于误差估计4、插值基函数性质(P27 (2. 17及2. 18)) eg. P28例1三、差商(均差)及牛顿插值多项式1、差商性质(P30)：(1)可表示为函数值的线性组合(2)差商的对称性：差商与节点的排列次序无关(3)均差与导数的关系(P31 (3.5))2、均差表计算及牛顿插值多项式例：已知X=1,4,9的平方根为1,2,3,利用牛顿基本差商公式求"的近似值。
数值分析主要知识点
第三章
非线性方程的数值解法
二分法的思想以及其中对分次数的计算；
不动点迭代法、迭代格式的收敛性判定方法、
误差估计式；
Newton迭代法及其收敛性; 割线法迭代格式；
迭代加速方法。
第四章
线性方程组的直接解法
Gauss消去法与列主元素Gauss消去法； 三角分解（LU）法； 平方根方法（Cholesky分解）； 向量与矩阵范数； 条件数与病态方程组求解。
第五章
曲线拟合与最小二乘问题
拟合与插值的异同点、矛盾方程组的最小二乘解； 满秩分解、法方程组、可化为线性拟合的非线性拟合；
（极小）最小二乘解的存在唯一性、广义逆与极小
最小二乘解;
GS与MGS正交化与最小二乘解；
Householder正交化与最小二乘解。
第六章代法与Gauss-Seidel迭代法及其收敛性；
SOR迭代法及其收敛的必要条件、最佳松弛因子； 解非线性方程组的Newton迭代法与拟Newton思想。
第七章
最优化方法与共轭梯度法
与方程组等价的变分问题、线性寻查（线搜索）法；
最速下降法； 解线性方程组的共轭梯度法。
写、不得打印、不得复印，纸上签有姓名和学号；
可以携带计算器（考试期间不允许互借）。
《数值分析》复习主要知识点 第一章
绪论 基本概念：误差的分类（截断误差、舍入误差）、 绝对误差和相对误差、有效数字;
数值稳定性; 误差分析的原则：1）尽量避免相近的数相减，2）
尽量避免绝对值小的数做除数，3）防止大数吃小数， 4）先化简再计算，5）选用数值稳定的算法;
浮点数系统特征（四个整数表征）。
第八章
数值微分与数值积分
数值分析笔记
第一章1.设x 为准确值，x*为x 的一个近似值.称e*=x*-x 为近似值的绝对误差，简称误差。
ε*=|e*|叫做近似值的误差限，e ∗x=x ∗−x x为相对误差，εr∗=ε∗|x ∗| 为相对误差限。
2.采用四舍五入原则时，值的误差不超过末位数字的半个单位(对π估计值取3.14时，误差|π-3.14|≤0.5 * 10-2). 3.ε(x 1∗±x 2∗)≤ ε(x 1∗)+ε(x 2∗) ε(x 1∗·x 2∗)≤|x 1∗|ε(x 2∗)+|x 2∗|ε(x 1∗) ε(x 1∗/x 2∗)≤|x 1∗|ε(x 2∗)+|x 2∗|ε(x 1∗)|x 2∗|24.相近数相减、大数吃小数等问题会加大误差。
T1. 已测得某场地长Ɩ的值为Ɩ*=110m ，宽d 的值为d*=80m ，已知 |Ɩ - Ɩ*| ≤ 0.2m ，|d – d*| ≤ 0.1m.试求面积s=Ɩd 的绝对误差限与相对误差限。
解：因为s= Ɩd, ðs ðƖ=d,ðsðd =Ɩ.故 ε(s∗)≈|(ðs ðl)∗|ε(l ∗)+|(ðs ðd)∗|ε(d ∗), (ðs ðl )∗=d ∗=80m (ðsðd)∗=l ∗=110m ε(l ∗)=0.2m ε(d ∗)=0.1m得绝对误差限 ε(s ∗)=27(m 2)相对误差限εr∗=ε(s ∗)|s ∗|=ε(s ∗)l ∗d ∗≈0.31%T3. 计算I n =e −1∫x n e xdx(n =0,1,…)1并估计误差。
解：由分部积分可得I n =e −1∫x n d (e x )=e −1(x n e x |01−∫e x d (x n )1)1=1−e −1n ∫x n−11e xdx =1−nI n−1 I 0=e−1∫e x10dx =1−e −1得到通式{I n =1−nI n−1 (n =1,2,…)I 0=1−e −1(1)为计算出I 0须先计算e -1,采用泰勒展开式，取k=7，使用四位小数计算。
《数值分析》复习笔记
始向量 x(0) = (0, 0, 0)T，用该迭代方法求近似解 x(k+1)（取小数点后四位） ，使 x
( k 1)
x(k )
10 3 。
7、 （某考题）为求方程 x3-x2-1=0 在初始值 x0=1.5 邻近的一个根，把方程改写成一下等价形式：
（1）求 f (x)的二次牛顿（Newton）插值多项式； （2）求 f (0.25)的近似值（取小数点后五位） ，并写出余项。 5、 （06 期末）给出 f (x)=3.6/x 的数值表： x f (x ) （1）求均差表； （2）写出三次牛顿插值多项式 N3 (x)； （3）利用上述插值多项式 N3 (x)计算 f (2.5)的近似值，并估算其误差大小。 6、 （12 期末）确定 a、b、c、d、e 的取值，使得下列函数是以： x y 0 1 1 1 2 0 3 10 1 3.60 2 1.80 3 1.20 4 0.90
1
-1
f ( x)dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 ) 中的高斯点 x0、x1、x2
和求积系数 A0、A1、A2 的值，并指明该求积公式的代数精度； （2）用上述求积公式求积分
3
1
dx 的近似值。 x
4、 （03 期末） （1）写出数值积分梯形法的递推化算法； （2）用龙贝格（Romberg）算法计算积分 I
★ 小明哥说要考的题型
填空题（15 分）、选择题（15 分）、计算及证明题（70 分）
一、插值与逼近（§2、3 章）
☆ 计算题： 1、 （05 期末）已知 y=sinx 的下列数据： x y π/6 0.5000 π/4 0.7071 π/3 0.8660
数值分析1.1
2、上机编程能力。 3、养成守时的习惯。 4、培养诚实守信的品质. 5、培养做事认真的态度。
QQ群： 群名称：2016科大硕士数值分析 群 号：435580365
加入QQ要求： 1、真实姓名。 2、格式：班级+姓名
举例：材料1601陈小军
1、求下列方程的根或零点：
x2 2x sin x 1 0
2、怎么求下列积分？
1ex2 dx
3、已知y=f0(x)在下列点的值，求 f (x)
应用问题举例
1、“鸡兔同笼”问题
a11 a12 a1n x1 b1
a21
an1
etc. ）为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。
促使一些边缘学科的相继出现： 计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
21世纪信息社会的两个主要特征： “计算机无处不在” “数学无处不在”
21世纪信息社会对科技人才的要求： --会用数学解决实际问题 --会用计算机进行科学计算
55196 66207 82992 98705 114333 126743
6、铝制波纹瓦的长度问题
建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机 器将一块平整的铝板压制而成的.
假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从 中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸 为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需铝板的 长度L.
理科 论学 研实 究验
科 学 计 算
使用计算机通过计算方 法或数值模拟的手段去 解决科学或工程中的关 键问题，简称为科学计 算。
现代科学研究的三大支柱
计算数学与科学计算 现代科学的三个组成部分:
数值分析4.21笔记
数值分析笔记4.21
笔记只是上课的辅助部分，远远不如老师讲的精彩！只看笔记是很枯燥的，而听老师上课时很有趣的。
前半小时复习上次所学，（此处省略300字）
把zuotu1 改成如下
再新建一个文件myfun 作为子程序，以便被zuotu1调用。
双击打开写入
含义如下 1. 输入量为x 输出量为y
回到zuotu1 继续写
保存，运行
第二节插值
一、插值的定义（老师讲的时候没记下来，此处省略100字）
二、插值的方法
三、用matlab解决插值问题
下面详细介绍
二插值方法
一维插值
1.拉格朗日插值（略，老师说了解一下，我就没记定义）结论，用拉格朗日插值与原曲线有很大差异
黑色是原曲线其他颜色是 n取不同值拉格朗日插值的图形
2.分段线性插值（略定义）
3. 三次样条插值 （略定义）
（老师在黑板上 讲解了用三次样条曲线 插值的原理，我的高数学的太差，复述不明白，略） 三种插值的比较 （取自老师课件）
例题1
打开软件命名 chazhi.m
程序如下：
保存运行
结果如下：
例题2
打开老师的文件夹，找到双击打开运行
老师用三种插值方法做了图（程序老师解释了，可惜我没完全记下来）
二维插值的定义
这里 z0 表示一个矩阵以x0为列数以y0 为行数例题3
打开老师程序里 wendu.m
运行后
老师把步长改为 0.01
运行结果如下
例题4
打开 HD1
11
运行
（当然程序内容更多不懂了，老师说以后多练习就好了。
）。
岩土工程数值分析学习笔记
岩土工程数值分析读书笔记摘要：阅读笔记分为两部分：理论学习和plaxis模拟相关问题。
理论部分0岩土工程数值分析简介岩土工程问题解析分析是以弹塑性力学理论和结构力学作为理论依据，适用于解决连续介质、各向同性材料、未知量少、边界条件简单的工程问题，存在很大的局限性。
岩土工程问题数值分析是借助于计算机的计算能力，适用于解决材料复杂、边界条件复杂、任意荷载、任意几何形状，适用范围广。
岩土工程数值分析发展过程：20世纪40年代，使用差分法解决了土工中的渗流及固结问题，如土坝渗流及浸润线的求法、土坝及地基的固结等。
20世纪60年代，使用有限元法成解决了土石坝的静力问题的求解。
20世纪70年代，使用有限元法解决了土石坝及高楼(包括地基)的抗震分析。
20世纪80年代，边界元法异军突起，解决了半无限域的边界问题；地基的静力及动力问题都使用边界元法得到了有效地解决。
岩土工程数值分析的方法有两类，一类方法是将土视为连续介质，随后又将其离散化，如有限单元法、有限差分法、边界单元法、有限元线法、无单元法以及各种方法的耦合。
另一类计算方法是考虑岩土材料本身的不连续性，如裂缝及不同材料间界面的界面模型和界面单元的使用，离散元法，不连续变形分析，流形元法，颗粒流等数值计算方法。
1数值分析过程中存在的问题及解决措施问题：(1)对岩土工程数值分析方法缺乏系统的知识和深入的理解，出现问题时不知道在什么情况下属于理论问题或数学模型问题；在什么情况下是属于计算方法问题或本构模型问题；在什么情况下是参数的确定问题或计算本身的问题等。
(2)各种本构模型固有的局限性。
具有多相性土的物理力学性质太复杂，难以准确地用数学模型和本构模型描述。
例如邓肯一张模型不能反映剪胀性，不能反映压缩与剪切的交叉影响；(3)现有的试验手段和设备不能提供适当、合理和精确的参数。
靠少数样本点所获得的参数难以准确地描述整个空间场地的物理力学性能；土的参数因土样扰动难以高质量的获取，其精度很差。
数值分析_第二章
方程求根问题 简单迭代法 牛顿迭代法 非线性方程组的数值解法
课程安排
第八章 矩阵特征值问题的数值解法 （6 学时） 幂法 雅可比方法 QR方法
课程安排
第九章 常微分方程初值问题 （4学时）
欧拉方法 龙格-库塔方法 单步法和多步法
课程安排
上机实验
（16学时）
课程基本要求
E An n E An 1 1
8
n 1
n! E A 1
7
E A9 1 9! 4.41210 0.1601
由于误差在计算过程中放大很严重， 所以这是一种 数值不稳定的算法。
寻找一种数值稳定的相反的算法， 把乘法改为除法。用相向的递推关系
n 1 x exp( x 1) n x exp( x 1) dx 0 0
An 1 n An1 ,
n 2,3,
0 A 1 x 1 exp(x 1) dx 0
1
1 d exp x 1
1 0
1 1 e
数值计算问题的适定性
1. “良态”问题和“病态”问题
在适定的情况下，若对于原始数据很小的变化δ X， 对应的参数误差δ y也很小，则称该数学问题是良 态问题；若δ y很大，则称为病态问题 病态问题中解对于数据的变化率都很大，因此数 据微小变化必将导致参数模型精确解的很大变化 数学问题的性态完全取决于该数学问题本身的属 性，在采用数值方法求解之前就存在，与数值方 法无关
4.7
取n=5，设计算每项数值的舍入误差为Δ ，
令4Δ ≤Є=0.0005 Δ ≤0.0001,取 Δ =0.00005=0.5*10-4
数值分析考点整理
39
Gauss 型 求 积 公 式
不 是
插 值 型 求 积 公 式
(1). (2).
n 个节点的插值型求积公式的代数精度不会超过 2n－1 次。 Gauss 点与积分区间____无关_____但与被积函数___有关。
40
牛顿－科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点是:牛顿－ 科茨求积公式的节点和求积系数确定后， 再估计其精度； 高斯型求积 公式是由精度确定其节点和求积系数。
5
零,是方阵 A 能进行 LU 分解的充分条件；严格行对角占优阵
能进行 LU 分解；非奇异矩阵不一定能进行 LU 分解。
(2).
设 A 是正定矩阵，则 A 的 cholesky 的分解唯一
L — — 单 位 下 三 角 矩 阵
U — — 上 三 角 矩 阵
6
7
4.向量范数和矩阵范数 本章节只要理解范数的基本定义并会计算三种范数及谱半径就 行了！
等分，即要计算个
42
43
44
用复合梯形公式，复合 Simpson 公式计算
1 x
0
1
4
2
dx 的近似值（保留小数点后三位）
T8
1 1 1 3 1 5 3 7 { f (0) 2[ f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( )] f (1)} =3.139 16 8 4 8 2 8 4 8 1 1 3 5 7 1 1 3 S 4 { f (0) 4[ f ( ) f ( ) f ( ) f ( )] 2[ f ( ) f ( ) f ( )] f (1)} 24 8 8 8 8 4 2 4 =3.142
合用复合梯形公式复合simpson公式计算???10214dxx?的近似值保留小数点后三位187438521834181201618ffffffffft?????????31391432141287858381402414fffffffffs?????????3142计算积分??20sin?xdxi若用复合simpson公式要使误差不超过51021??问区间20?要分为多少等分
数值分析4.30笔记
数值分析笔记4.30笔记只是上课的辅助部分，远远不如老师讲的精彩！本次课程比较难，可能复述的不太明白。
新课导入由于数据测量存在误差，所以测量的点不一定完全正确。
插值的方法，可以通过这些点，但由于这些点存在误差，所以在生产实际中插值未必是最好的办法，从而引入拟合的概念。
找一条合适的曲线，让它到每个测量点的距离的平方和最小。
这条曲线就是我们要的拟合曲线。
曲线的类型往往通过我们的经验来取得。
常见的有以下几种类型一、 线性拟合若给定数组（i i y x ,） 其中 i =1,2,…… n 把各个点放到坐标系里，得到如果得到以下点，我们根据点的分布，推断可能有一条直线，可以最接近每个点，设直线为 y=a 1 +a 2 x图形中 a 1 为截距，a2 为斜率，若a1 a2 可知，则直线可求。
那么如何得到一个合适的曲线呢。
对应相同的x 测量点的值为1y ，曲线上的点为 121x a a + 这两距离就是第一个误差。
即 误差=1121y x a a -+ 对于2x 点，道理一样。
如果简单把这些误差累加，由于方向不同，可能使部分误差抵消。
比如有4个点误差分别为1,5，-3，-3.如果简单做和，为0.数值上显示没有误差，与实际不符。
因此对每一个误差做平方，使其符号一致再求和。
可以真实显示出曲线和各个点的位置关系是否最好。
设关于21,a a 的方程为),(21a a S 则有：∑=-+niiiyxaa1221])[(=),(21aaS误差平方和最小的直线，就是与原数据拟合最好的。
利用matlab软件进行线性拟合有两种函数“\”“polyfit()”老师证明了一下函数的合理性，我的高数、线数基本忘光，复述有困难，此处省略500字。
介绍matlab 使用中函数的格式例题一：具体步骤：打开MATLAB软件：新建文件夹disanke 双击右键新建文件quxnh.m 双击打开删除前三行写入程序如下分别用“\”“polyfit”编程运行后结果二、 非线型拟合 方法1. 线性化 例题：y=x ae b 该曲线 为非线型曲线， 可以两端同时去对数y l n =a ln +bx取 z=lny A=lna则 z= a+bx z 与x 间 为线型 2. 直接法用matlab 解决非线性拟合的方法：这两个函数所需信息量比较多，老师上课时候逐条介绍了，我复述不清楚，此处省略300字。
数值分析 第一章 基础知识.
参考资料
1.关治，陈景良. 数值计算方法. 北京：清华大学出版社，1990. 2.周铁，徐树方等. 计算方法. 北京：清华大学出版社，2006. 3.徐翠微，孙绳武. 计算方法引论. 北京：高等教育出版社，2005. 4.John H.Mathews, Kurtis D.Fink. 数值方法(MATLAB版). 北京：电子 工业出版社，2005. 5.徐士良. 数值分析与算法. 北京：机械工业出版社，2007. 6.葛哲学.精通Matlab.北京：电子工业出版社，2008. 7.任玉杰.数值分析及其MATLAB实现.北京：高等教育出版社,2007.
预备知识
微积分和常微分方程； 线性代数； 数值计算程序设计 （C/Matlab和Mathematica）
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郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis
参考教材
教材
李庆扬,王能超,易大义.数值分析(第五版).北京:清华大学出版社,2008 李清善，宋士仓. 数值方法. 郑州：郑州大学出版社，2007.
周次 12 13 14 15 16 17 18 19 课次 周二 周二 周二 周二 周二 周二 周二 周二 课时 3课时 3课时 3课时 3课时 3课时 3课时 3课时 3课时
1.8.1 教学内容时间安排
教学内容 备注
第六章 解线性代数方程组的迭代法[1] 第六章 解线性代数方程组的迭代法[2] 第七章 非线性方程的数值解法[1] 第七章 非线性方程的数值解法[2] 第八章 常微分方程初值问题数值解法[1] 第八章 常微分方程初值问题数值解法[2] 习题课 总复习
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数值分析 清华李庆杨第五版第七章 非线性方程的数值求法
x轴交点的横坐标。
由高等数学知识知, 设f (x)为区间[a,b]上的单
值连续, 如果f (a)·f (b)<0 , 则[a,b]中至少有一个 实根。如果f (x)在[a,b]上还是单调地递增或递减， 则仅有一个实根。
y
y=f(x)
a b x
由此可大体确定根所在子区间，方法有： (1) 画图法 (2) 逐步搜索法
y=x y Q2 P* P2 x* x2 x1 x0 x x1 x3 x* x2 x0 x P1 Q1 P0 y
y= (x)
(x )
P y=x
*
y= (x )
(a)
0 ( x * ) 1
(b)
1 ( x * ) 0
y
P
*
y=x
y
y= (x) (x )
f ( x * ) f ( x * ) f
( m 1)
( x * ) 0, f
( m)
( x* ) 0
当f(x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程 为非线性方程。如果f(x)是多项式函数，则称为代数 方程，否则称为超越方程（三角方程，指数、对数方 程等）。一般称n次多项式构成的方程
如果由迭代格式 xk 1 ( xk ) 产生的序列 x n 收敛, 即 *
lim x n x
n
则称迭代法收敛。
实际计算中当然不可能也没必要无穷多步地做 下去, 对预先给定的精度要求ε，只要某个k满足
x k x k 1
即可结束计算并取
当然，迭代函数
x
*
xk
( x)
3 x k 1 2 ( x k ) x k 1
数值分析课期末复习总结
n1
f ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) ...
f [ x0 , ... , xn ]( x x0 )...( x xn1 )
插值余项
定理
设 f(x) Cn[a, b] ( n 阶连续可微 )，且 f (n+1)(x) 在 (a, b) 内存在，则对 x[a,b]，有
f ( n1) ( x ) Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x ) ( n 1)!
其中 x(a, b) 且与 x 有关, n1 ( x ) ( x x0 )( x x1 )( x xn ) 证明：（板书）
15
插值余项
几点说明
余项公式只有当 f(x) 的高阶导数存在时才能使用 x 与 x 有关，通常无法确定, 实际使用中通常是估计其上界 如果 f
( n 1)
( x ) M n 1
M n1 n ，则 Rn ( x ) x xi ( n 1)! i 0
计算插值点 x 上的近似值时，应选取与 x 相近插值节点
设 z0(x), z1(x), ... , zn(x) 构成 Zn(x) 的一组基，则插值多项式
通过基函数来构造插值多项式的方法就称为基函数插值法
基函数法基本步骤
① 寻找合适的基函数 ② 确定插值多项式在这组基下的表示系数
9
Lagrange插值
单项式基函数
利用线性无关的单项式族：1, x , x 2 , , x n
理工类专业课复习资料-数值分析知识点总结
数值分析知识点总结说明：本文只提供部分较好的例题，更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。
一、第1章 数值分析与科学计算引论1. 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？相对误差限：**r r e ε=的一个上界。
有效数字：如果近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说x *共有n 位有效数字。
即x *=±10m ×(a 1+a 2×10-1+…+a n ×10-(n-1))，其中a 1≠0，并且*11102m n x x -+-≤⨯。
其中m 位该数字在科学计数法时的次方数。
例如9.80的m 值为0，n 值为3，绝对误差限*211102ε-=⨯。
2. 一个比较好用的公式：f(x)的误差限：()***()'()()f x f x x εε≈ 例题：二、第2章插值法例题：5. 给出插值多项式的余项表达式，如何用其估计截断误差？6. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？7. 确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？8. 三弯矩法：为了得到三次样条表达式，我们需要求一些参数：对于第一种边界条件，可导出两个方程：，那么写成矩阵形式：公式 1对于第二种边界条件，直接得端点方程：，则在这个条件下也可以写成如上公式1的形式。
对于第三种边界条件，可得：也可以写成如下矩阵形式：公式 2求解以上的矩阵可以使用追赶法求解。
（追赶法详见第五章）例题：数值分析第5版清华大学出版社第44页例7三、第3章函数逼近与快速傅里叶变换的正交多项式？什么是[-1,1]上的勒让德多项式？它有3.什么是[a,b]上带权()x什么重要性质？4.什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？5.用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同?6.什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n较大时，为什么不直接求解法方程？例题请参考第3章书上的作业题和课件上的例题。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结一、绪论数值分析是一门研究如何使用数值方法解决数学问题的学科。
它广泛应用于科学、工程、医学等领域。
在数值分析中，我们通常将实际问题转化为数学模型，然后使用计算机进行计算。
数值分析的主要内容包括：误差分析、插值与拟合、线性方程组求解、微分方程求解等。
二、误差分析误差分析是数值分析中的一个重要概念。
它包括绝对误差、相对误差和误差限等概念。
在计算过程中，误差会传递和累积，因此需要进行误差分析以评估计算结果的精度。
常用的误差分析方法有：泰勒级数展开、中点公式等。
三、插值与拟合插值与拟合是数值分析中的两个重要概念。
插值方法用于通过一组已知数据点生成一个函数，该函数能够近似地描述这些数据点之间的关系。
拟合方法则是通过一组已知数据点生成一个最佳拟合线或曲面，使得这个线或曲面与已知数据点之间的误差尽可能小。
常用的插值与拟合方法有：线性插值、多项式插值、样条插值、最小二乘法等。
四、线性方程组求解线性方程组是数值分析中经常遇到的一类方程组。
对于线性方程组，我们通常使用迭代法或直接法进行求解。
迭代法包括：雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代、松弛法等。
直接法包括：高斯消元法、逆矩阵法等。
在实际应用中，我们通常会选择适合问题的计算方法，并根据需要进行优化。
五、微分方程求解微分方程是描述变量之间的函数关系的一类方程。
在数值分析中，我们通常使用数值方法对方程进行离散化处理，然后使用计算机进行求解。
常用的微分方程求解方法有：欧拉方法、龙格-库塔方法等。
对于复杂的微分方程，我们还可以使用谱方法、有限元方法等进行求解。
六、总结数值分析是一门应用广泛的学科，它涉及到许多数学知识和计算机技术。
在实际问题中，我们需要根据问题的特点选择合适的数值方法进行解决。
在进行计算时，需要注意误差分析、算法的稳定性和收敛性等问题。
随着计算机技术的发展，数值分析的应用领域也在不断扩大，例如、大数据分析等领域。
因此，数值分析的学习和应用具有重要意义。
数值分析必备知识
1 n 1 i ( k 1 ) ( k ) x x ( b a x a x ), i 1 , 2 , n , k 0 , 1 , 2 , i ij ij i j j j 1 j i a ii
或写成向量形式 x（k+1）=x（k）+D-1(b+Lx(k+1)+(U-D)x(k)) , k=0,1,2,…
方程组:
a13 a1n a12 b1 x x x x 2 3 n 1 a11 a11 a11 a11 a 23 a2 n a 21 b2 x1 x3 xn x2 a 22 a 22 a 22 a 22 a n1 an 2 a nn 1 bn xn a x1 a x2 a xn 1 a nn nn nn nn
M
k
1 M
x(1) x(0)
, 即
k ln( )/ln M (1) (0) x x
可以事先估计达到某一精度需要迭代多少步。
ε(1 M )
例如，例1中J-法计算结果如下： k 0 1 2 3 4 5 6 7 x1(k) 0 1.4 1.11 0.929 0.9906 1.01159 1.000251 0.9982364 x2(k) 0 0.5 1.20 1.055 0.9645 0.9953 1.005795 1.0001255 x3(k) 0 1.4 1.11 0.929 0.9906 1.01159 1.000251 0.9982364
从而得迭代公式
a a a b (k1) 13 (k) 1 n (k) 12 (k) 1 x x x x 2 3 n 1 a a a a 11 11 11 11 a2n (k) b a21 (k) a23 (k) (k1) 2 x x x x 2 1 3 n a a a a22 22 22 22 an1 (k) an2 (k) ann b (k1) 1 (k) n x x x x n ann 1 ann 2 ann n1 ann
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常用的矩阵范数
n
矩阵的 1-范数:
A
1
max
1 jn
i 1
aij
矩阵的 2-范数:
A 2
max (AT A)
n
矩阵的-范数:
A
max 1in
j 1
aij
n
矩阵的 F-范数: A F
ai2j
i, j1
,也称矩阵的列范数. ,也称为谱范数. ,也称为行范数.
1, 2, …, n 为矩阵 A 的 n 个特征值,
向量的 1-范数:
向量的 2-范数:
向量的-范数:
x 1 x1 x2 xn
x 2
x12 x22 xn2
范数的等价性 m ‖x‖ ‖x‖ M ‖x‖ , xRn
x
max
1in
|
xi
|
常用的三种向量范数等价关系 ‖x‖ ‖x‖1 n‖x‖ , xRn
x x n x ,x Rn
2
x x n x ,x Rn
凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的半
个单位。
2.设近似值 x 的相对误差限位 10-5，则 x 至少具有（5）为有效数字。
第二章 解线性方程组的直接法
1、Gauss 消去法
是一种规则化的加减消元法，通过逐次消元计算，转化为等价的上三角形方程组。
顺序 Gauss 消去法(简称为 Gauss 消去法):
a11 U
a12 a22 l21u12
a13
a23 l21u13
a33 l31u13 l32u23
（2）平方根法
u11
LDM 分解 和 Cholesky 分解(GGT) D u22
1 u12 / u11
M
1
A = LU = LDM = LDLT = GGT
u33
（平方根法：Ax=b 且 A= GGT，则先用 Gy=b 求 y，再用 GTx=y 求 x）
全公式：若记 G=(gij), 则有: 对 k=1,2,…,n
（3）追赶法 Crout 分解(TM) A = LU = LDM = TM
g
kk
(akk
k 1
g ) 2
1 2
km
m1
k 1
gik
(aik
gim gkm ) gkk
m1
,i k 1,, n
a1 c1
d2 a2 c2
迭代法） x(k1) i
1 aii
(bi
i 1 j 1
aij
x
(k
j
)
n
aij
x
(k
j
)
)
j i 1
0 a12 a1n
a11
a11
,i 1,2,n, k 0,1,2,
迭代矩阵
B
a21 a22
an1 ann
0
anx2 (k1) ai
nn
a2n a22
1 aii
0(bi
2、直接三角分解法
（1）Doolittle 分解(LU) 前提条件：A 的各阶顺序主子式不为零。
则存在唯一单位下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U 使 A = LU
Doolittle 分解(LU)法：Ax=b 且 A=LU，则先用 Ly=b 求 y，再用 Ux=y 求 x。
a11 a12 ... a1n
则
(A)
max
1in
i
为矩阵
A 的谱半径。
Cond(A)=‖A‖‖A-1‖,
称为方程组 Ax=b 或矩阵
A 的条件数。
第三章 解线性方程组的迭代法
x(k+1)=Mx(k)+g , k=0,1,2,…
其中 M 称为迭代矩阵。
1、Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法
Jacobi
迭代法（J
i 1 j 1
若记
g ( b1 , a11
则 x(k+n1)=B x(k)+g
a x(k 1) ij j
aij
a21
an1
a22
an2
... a2n
...
ann
1
l21 1
L
l31
l32
1
l
n1
ln2
ln3
1
u11 u12 ... u1n
U
u22 ... u2n
unn
1
三阶的 LU 计算公式
L a21 / u11
1
a31 / u11 (a32 l31u12 ) / u22 1
2
1
2
若 lim x(k) x* 0 则向量序列{x(k)}收敛于向量 x*, 记作 lim x(k) x* ,或x(k) x*
k
k
x(k )
x*
x(k) i
xi* , i
1,2,, n
4、矩阵的范数
①非负性②齐次性③三角不等式‖A+B‖‖A‖+‖B‖和‖AB‖‖A‖‖B‖
‖A‖为矩阵 A 的范数， 为矩阵的特征值 A E 0
第一章 绪 论
1、设 x 是精确值 x*的一个近似值，
近似值 x 的绝对误差 e= x*-x
绝对误差限 |e|≤
有关系式 x-≤x*≤x+ 或 x*=x±
相对误差 er 相对误差限 r
er
e x*
x* x*
x（x*未知，用
x
代替）er
=/|x|
|er|≤r
e x* x xx
有效数字 n 从 x 左起第一个非零数 字到该数位共有 n 位
1i
a1, 1 c1 1, i di , i ai dii1, i 2,3,, n
2,3,,
n
i ci i ,i 2,3,, n 1
（1）向量的范数 ‖x‖为向量 x 的范数
①非负性：‖x‖0 ,且‖x‖=0 当且仅当 x=0； ②齐次性：实数 ,‖x‖=| |‖x‖； ③三角不等式:‖x+y‖‖x‖+‖y‖。 x=(x1,x2,…,xn)T
u13 / u11 u23 / u22
1
紧凑格式 a11 三阶公式 a21
a31
a22 a32
g11 g21 a33 g31
g 22 g32
g
33
a21 a31
a11 / g11 / g11
a22
g
2 21
(a32 g31g21) / g22
a33
g
2 31
g322
a(k) kk
(k
1,2,...,n)
为主元素
前提条件：主元素都不为零 矩阵 A 的各阶顺序主子式都不为零。
主元 Gauss 消去法:
前提条件：矩阵 A 的行列式不为零。
分为列主元消去法和全主元消去法，常用的方法为列主元消去法。列主元 Gauss
消去法是在每一步消元前,在主元所在的一列选取绝对值最大的元素作为主元素。
d n1 an1 cn1
dn
an
1 2
T
2
n1
n1 n
Hale Waihona Puke 1Mn1 1
2
1
n1
1
三对角矩阵 A 的各阶顺序主子式都不为零 的一个充分条件是: |a1|>|c1|>0;|an|>|dn|>0;|ai||ci|+|di|, cidi0,i=2,3,…,n-1. 3、向量和矩阵的范数