《函数的极值》ppt课件
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《函数的极值和导数》课件
Part
05
导数的计算方法
导数的四则运算规则
01
加法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
02
减法法则
$(u-v)' = u'-v'$
03
乘法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
04
除法法则
$left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v-uv'}{v^2}$
复合函数的导数计算
最小成本问题
总结词
利用极值理论寻找最小成本
详细描述
在生产和经营活动中，也常常需要寻求最小成本。通过建立数学模型，利用函数的极值和 导数，可以找到使得成本最小的生产量、原材料采购量等决策变量。
实例
某公司需要采购原材料，每次采购的成本包括固定成本5万元和变动成本与采购量的比例 系数0.1万元/单位。求该公司的最小总成本。通过建立函数并求导，可以找到使得总成本 最小的采购量。
Part
03
极值在实际问题中的应用
最大利润问题
01
总结词
利用极值理论寻找最大利润
02 03
详细描述
在生产和经营活动中，常常需要寻求最大利润。通过建立数学模型，利 用函数的极值和导数，可以找到使得利润最大的生产量、价格等决策变 量。
实例
某公司生产一种产品，其固定成本为100万元，每生产一个单位的产品 ，成本为2万元，售价为5万元。求该公司的最大利润。通过建立函数并 求导，可以找到使得利润最大的产量。
Part
04
导数的几何意义
导数在平面上的表示
切线斜率
3.1.2 函数的极值 课件(北师大选修2-2)
2 49 故f(x)极大值＝f－3＝ ， 27
1 f(x)极小值＝f(1)＝－ . 2
[例3]
设函数f(x)＝x3－3x＋1.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的
取值范围．
[思路点拨] 第(1)问利用导数求单调区间和极值，第
2．(2012· 陕西高考)设函数f(x)＝xex，则 A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点
(
)
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点 解析：求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x) 的极小值点．
x f′(x) f(x)
(0，e) ＋ 增加↗
e 0 极大值
(e，＋∞) － 减少↘
1 因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝ ，没有 e 极小值点．
[一点通]
求函数的极值必须严格按照求函数极值
的步骤进行，其关键是列表检查导数值为0的点的左、右
两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点；否
当x＝1时，f(x)有极小值－1.
(2)由(1)得函数y＝f(x)的图像大致形
状如右图所示，
当－1<a<3时，
直线y＝a与y＝f(x)的图像有三个不同交点， 即方程f(x)＝a有三个不同的实根时，a的取值范围为 (－1,3)．
[一点通]
极值问题的综合应用主要是利用函数的
单调性和极值确定函数图像的大致形状和位置．题目着
答案：D
5．已知函数y＝3x－x3＋m的极大值为10，则m的值为 ________ . 解析：y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令y′＝0得x1＝－1， x2＝1，经判断知x＝1是极大值点， 故f(1)＝2＋m＝10，m＝8. 答案：8
1 f(x)极小值＝f(1)＝－ . 2
[例3]
设函数f(x)＝x3－3x＋1.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的
取值范围．
[思路点拨] 第(1)问利用导数求单调区间和极值，第
2．(2012· 陕西高考)设函数f(x)＝xex，则 A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点
(
)
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点 解析：求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x) 的极小值点．
x f′(x) f(x)
(0，e) ＋ 增加↗
e 0 极大值
(e，＋∞) － 减少↘
1 因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝ ，没有 e 极小值点．
[一点通]
求函数的极值必须严格按照求函数极值
的步骤进行，其关键是列表检查导数值为0的点的左、右
两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点；否
当x＝1时，f(x)有极小值－1.
(2)由(1)得函数y＝f(x)的图像大致形
状如右图所示，
当－1<a<3时，
直线y＝a与y＝f(x)的图像有三个不同交点， 即方程f(x)＝a有三个不同的实根时，a的取值范围为 (－1,3)．
[一点通]
极值问题的综合应用主要是利用函数的
单调性和极值确定函数图像的大致形状和位置．题目着
答案：D
5．已知函数y＝3x－x3＋m的极大值为10，则m的值为 ________ . 解析：y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令y′＝0得x1＝－1， x2＝1，经判断知x＝1是极大值点， 故f(1)＝2＋m＝10，m＝8. 答案：8
函数的极值-课件
函数的极值-PPT课件
这份PPT课件介绍了函数的极值，包括引言、函数的极值点、函数的极值定理、 函数的极值应用等内容。通过本课件，你将深入了解这一重要数学概念的定 义、分类和应用。
一、引言
函数的极值是指函数在特定范围内的最大值或最小值。本节将讨论函数的极 值的定义以及不同类型的极值。
二、函数的极值点
极大值点和极小值点的定义
极大值点是函数在某个范围内的最大值，极小值点是函数在某个范围内的最小值。
函数求极值的步骤
求函数的极值需要确定函数的驻点和临界点，并通过对函数求导来判断是极大值还是极小值。
三、函数的极值定理
第一极值定理
如果函数在某个区间内连续且可导，那么在这个区 间内一定存在至少一个极值点。
六、参考文献
1 数学分册
数学分册中关于函数和极 值的相关章节提供了更深 入的理论和应用。
2 数学课程
数学课程中有关函数极值 的教材和讲义提供了更详 细的学习材料。
3 数学学习资料
网络上有很多关于函数的 极值的学习资料，可以进 一步加深对这一概念的理 解。
第二极值定理
如果函数在某个区间内可导，并且在驻点处的导数 不等于零，那么这个驻点必定不是极值点。
四、函数的极值应用
数学实际问题中的应 用
函数的极值在物理、经济学等 领域中的实际问题中有着广泛 的应用，如求解最大利润、最 小费用等。
OA题型解析
函数的极值常出现在各类OA题 目中，掌握函数的极值求解方 法有助于解答相关题目。
PSAT、SAT、GRE题 型解析
函数的极值是PSAT、SAT、GRE 等考试中经常出现的题型，熟 悉函数的极值概念和求解方法 对应试有帮助。
五、总结
1 函数的极值常见考点
这份PPT课件介绍了函数的极值，包括引言、函数的极值点、函数的极值定理、 函数的极值应用等内容。通过本课件，你将深入了解这一重要数学概念的定 义、分类和应用。
一、引言
函数的极值是指函数在特定范围内的最大值或最小值。本节将讨论函数的极 值的定义以及不同类型的极值。
二、函数的极值点
极大值点和极小值点的定义
极大值点是函数在某个范围内的最大值，极小值点是函数在某个范围内的最小值。
函数求极值的步骤
求函数的极值需要确定函数的驻点和临界点，并通过对函数求导来判断是极大值还是极小值。
三、函数的极值定理
第一极值定理
如果函数在某个区间内连续且可导，那么在这个区 间内一定存在至少一个极值点。
六、参考文献
1 数学分册
数学分册中关于函数和极 值的相关章节提供了更深 入的理论和应用。
2 数学课程
数学课程中有关函数极值 的教材和讲义提供了更详 细的学习材料。
3 数学学习资料
网络上有很多关于函数的 极值的学习资料，可以进 一步加深对这一概念的理 解。
第二极值定理
如果函数在某个区间内可导，并且在驻点处的导数 不等于零，那么这个驻点必定不是极值点。
四、函数的极值应用
数学实际问题中的应 用
函数的极值在物理、经济学等 领域中的实际问题中有着广泛 的应用，如求解最大利润、最 小费用等。
OA题型解析
函数的极值常出现在各类OA题 目中，掌握函数的极值求解方 法有助于解答相关题目。
PSAT、SAT、GRE题 型解析
函数的极值是PSAT、SAT、GRE 等考试中经常出现的题型，熟 悉函数的极值概念和求解方法 对应试有帮助。
五、总结
1 函数的极值常见考点
函数的极值与导数 课件
互动 1 满足 f′(x0)＝0 的点 x0 是函数 f(x)的极值点吗？ 【解析】 不一定，必须再加上 x0 左右导数的符号相反，才能 断定函数在 x0 处取得极值．
互动 2 函数 y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？ 【解析】 不一定．若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数， 就没有极值点．
例 2 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－12x； (2)f(x)＝sinx(1＋cosx)(0<x<2π)；
(3)f(x)＝ 2x －2. x2＋1
【思路分析】
求f（x）的定义域 → 求f′（x） →
解方程f′（x）＝0 → 列表分析 → 结论
【解析】 (1)函数 f(x)的定义域为 R；
思考题 2 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； (2)f(x)＝lnxx.
【解析】 (1)f′(x)＝3x2－6x－9.
解方程 3x2－6x－9＝0，得 x＝－1 或 x＝3.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1) －1 (－1，3)
3
【解析】 (1)∵f(x)＝2x2－ekxx＋k， ∴f′(x)＝－2x2＋（ke＋x 4）x－2k. ∵f(x)无极值，∴f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立． ∵ex>0，∴f′(x)与 g(x)＝－2x2＋(k＋4)x－2k 同号． ∵g(x)的二次项系数为－2， ∴g(x)≤0 恒成立，令 Δ＝(k＋4)2－16k＝(k－4)2≤0，则 k＝ 4. ∴当 k＝4 时，f(x)无极值．
【解析】 以 d、e 两点为例，y＝f(x)在点 x＝d 处的函数值 f(d)比它在点 x＝d 附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在 x＝d 的附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0.类似地函数 y＝f(x)在点 x ＝e 的函数值 f(e)比它在 x＝e 附近其他点的函数值都大，f′(e) ＝0；在 x＝e 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0.
互动 2 函数 y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？ 【解析】 不一定．若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数， 就没有极值点．
例 2 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－12x； (2)f(x)＝sinx(1＋cosx)(0<x<2π)；
(3)f(x)＝ 2x －2. x2＋1
【思路分析】
求f（x）的定义域 → 求f′（x） →
解方程f′（x）＝0 → 列表分析 → 结论
【解析】 (1)函数 f(x)的定义域为 R；
思考题 2 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； (2)f(x)＝lnxx.
【解析】 (1)f′(x)＝3x2－6x－9.
解方程 3x2－6x－9＝0，得 x＝－1 或 x＝3.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1) －1 (－1，3)
3
【解析】 (1)∵f(x)＝2x2－ekxx＋k， ∴f′(x)＝－2x2＋（ke＋x 4）x－2k. ∵f(x)无极值，∴f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立． ∵ex>0，∴f′(x)与 g(x)＝－2x2＋(k＋4)x－2k 同号． ∵g(x)的二次项系数为－2， ∴g(x)≤0 恒成立，令 Δ＝(k＋4)2－16k＝(k－4)2≤0，则 k＝ 4. ∴当 k＝4 时，f(x)无极值．
【解析】 以 d、e 两点为例，y＝f(x)在点 x＝d 处的函数值 f(d)比它在点 x＝d 附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在 x＝d 的附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0.类似地函数 y＝f(x)在点 x ＝e 的函数值 f(e)比它在 x＝e 附近其他点的函数值都大，f′(e) ＝0；在 x＝e 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0.
《函数的极值问题》课件
在物理问题中的应用
总结词
极值理论在物理领域的应用也十分广泛 ，它可以帮助我们解释各种物理现象， 预测物质的运动规律。
VS
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
详细描述
在物理学中，许多物理现象都可以通过极 值理论来解释，如物体下落、弹性碰撞、 电磁波传播等。通过分析这些现象对应的 物理函数，我们可以找到它们的极值点， 从而理解物质的运动规律和相互作用机制 。
05
极值的应用
Chapter
在最优化问题中的应用
总结词
极值理论是解决最优化问题的关键工具之一，它可以帮助我 们找到函数在某个区间内的最大值或最小值。
详细描述
在许多实际应用中，如工程设计、生产计划、金融投资等， 我们经常需要找到某个目标函数的最优解，即最大值或最小 值。通过分析函数的极值点，我们可以确定这些最优解的位 置，从而为实际问题的解决提供指导。
证明极值第一充分条件的关键在于理解导数的定义 和性质，以及函数极值的定义。首先，根据导数的 定义，如果函数在某一点的导数为零，那么函数在 该点可能取得极值。然后，根据函数极值的定义， 如果函数在某一点的导数在其两侧变号，那么函数 在该点一定取得极值。这两个条件共同构成了极值 的第一充分条件。
定理应用
在经济问题中的应用
总结词
极值理论在经济领域的应用十分广泛，它可以帮助我们分析各种经济指标的变化趋势， 预测未来的经济走势。
详细描述
在经济学中，许多经济指标都是随着时间变化的函数，如GDP、CPI、利率等。通过分 析这些指标的极值点，我们可以了解经济活动的周期性变化规律，从而为政策制定和投
资决策提供依据。
03
极值的第二充分条件
Chapter
定理表述
函数的极值(第一课时)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
在 = 1处取得极小值，故D正确.
练习
题型二：运用导数解决函数的极值问题
例2.求函数() = 2 − 的极值.
解：函数的定义域为，
’ () = 2 − + 2 − ∙ (−1) = 2 − − 2 − = (2 − ) − .
令 ’ () = 0，得(2 − ) − = 0，解得 = 0或 = 2.
(3)解方程 ’ () = 0得方程的根；
(4)利用方程 ’ () = 0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各
个小开区间的符号；
(5)确定函数的极值，如果 ’ ()的符号在0 处由正(负)变负(正)，则()在0 处取
得极大(小)值.
练习
方法技巧：
2.已知函数极值求参数时的注意点：
答案：√，√，×.
辨析2.函数() = + 2
A.0
6
B.
答案：B.
C.
3
2
D.
在[0， ]上的极大值点为(
2
).
例析
1
l l 3
1
= 3
3
例5.求函数() = 3 − 4 + 4的极值.
解：因为()
− 4 + 4，所以
’ () = 2 − 4 = ( − 2)( + 2).
练习
变1.(多选)已知函数 = ’ ()的图象如图所示，则下列说
法正确的是(
).
A.函数()在区间(1， + ∞)上是增函数
B.函数()在区间(−1，1)上无单调性
C.函数()在 =
1
− 处取得极大值
2
D.函数()在 = 1处取极小值
练习
题型二：运用导数解决函数的极值问题
例2.求函数() = 2 − 的极值.
解：函数的定义域为，
’ () = 2 − + 2 − ∙ (−1) = 2 − − 2 − = (2 − ) − .
令 ’ () = 0，得(2 − ) − = 0，解得 = 0或 = 2.
(3)解方程 ’ () = 0得方程的根；
(4)利用方程 ’ () = 0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各
个小开区间的符号；
(5)确定函数的极值，如果 ’ ()的符号在0 处由正(负)变负(正)，则()在0 处取
得极大(小)值.
练习
方法技巧：
2.已知函数极值求参数时的注意点：
答案：√，√，×.
辨析2.函数() = + 2
A.0
6
B.
答案：B.
C.
3
2
D.
在[0， ]上的极大值点为(
2
).
例析
1
l l 3
1
= 3
3
例5.求函数() = 3 − 4 + 4的极值.
解：因为()
− 4 + 4，所以
’ () = 2 − 4 = ( − 2)( + 2).
练习
变1.(多选)已知函数 = ’ ()的图象如图所示，则下列说
法正确的是(
).
A.函数()在区间(1， + ∞)上是增函数
B.函数()在区间(−1，1)上无单调性
C.函数()在 =
1
− 处取得极大值
2
D.函数()在 = 1处取极小值
函数的极值说课稿公开课一等奖课件省赛课获奖课件
思考与练习
B 1.
设 lim xa
f
(x) f (a) ( x a)2
1,
则在点
a
处(
).
( A) f (x) 的导数存在 , 且 f (a) 0；
(B) f (x) 取得极大值 ; (C) f (x) 取得极小值;
(D) f (x) 的导数不存在. (L. P500 题4)
提示: 运用极限的保号性 .
)
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 , 驻点又
唯一, 因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清晰 .
内容小结
1. 持续函数的极值
(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点
(2) 第一充足条件
f ( x) 过 x0 由正变负 f ( x) 过 x0 由负变正
例3. 求函数
f (x)
2x3
9
x2
12 x
在闭区间
[
1 4
,
5 2
]
上的最大值和最小值 .
阐明:
令 (x) f 2(x)
由于 ( x) 与 f ( x)最值点相似 , 因此也可通过 (x)
求最值点. ( 自己练习 )
例4. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20
Km , AC⊥ AB ,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条
公路, 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货
物从B 运到工厂C 的运费最省, 问 A x D
B
D 点应如何选用?
20
100
C
解: 设AD x (km), 则 CD 202 x2 , 总运费
B 1.
设 lim xa
f
(x) f (a) ( x a)2
1,
则在点
a
处(
).
( A) f (x) 的导数存在 , 且 f (a) 0；
(B) f (x) 取得极大值 ; (C) f (x) 取得极小值;
(D) f (x) 的导数不存在. (L. P500 题4)
提示: 运用极限的保号性 .
)
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 , 驻点又
唯一, 因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清晰 .
内容小结
1. 持续函数的极值
(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点
(2) 第一充足条件
f ( x) 过 x0 由正变负 f ( x) 过 x0 由负变正
例3. 求函数
f (x)
2x3
9
x2
12 x
在闭区间
[
1 4
,
5 2
]
上的最大值和最小值 .
阐明:
令 (x) f 2(x)
由于 ( x) 与 f ( x)最值点相似 , 因此也可通过 (x)
求最值点. ( 自己练习 )
例4. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20
Km , AC⊥ AB ,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条
公路, 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货
物从B 运到工厂C 的运费最省, 问 A x D
B
D 点应如何选用?
20
100
C
解: 设AD x (km), 则 CD 202 x2 , 总运费
3.1.2 函数的极值 课件(北师大选修2-2)
(2)问可由(1)的结论，把问题转化为函数y＝f(x)与y＝a的图 像有3个不同的交点，利用数形结合的方法来求解．
[精解详析] 令f′(x)＝0，
(1)∵f′(x)＝3x2－3，
解得x1＝－1，x2＝1，
∴当x<－1或x>1时，f′(x)>0，
当－1<x<1时，f′(x)<0. ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)； f(x)的单调递减区间为(－1,1)． 当x＝－1时，f(x)有极大值3；
(1)对于可导函数来说，y＝f(x)在极值点处的导数
为0，但导数为0的点不一定是极值点．例如，函数y＝
x3在x＝0处，f′(0)＝0，但x＝0不是函数的极值点． (2)可导函数f(x)在x0取得极值的充要条件是f′(x0)＝0， 且在x0左侧与右侧，f′(x)的符号不同． (3)若函数y＝f(x)在(a，b)内有极值，则y＝f(x)在(a，
(1)按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端 点a，b. (2)极值是一个局部性概念，只要在一个小邻域内成立 即可． (3)极大值与极小值没有必然的大小关系，也不唯一．
(4)在区间上单调的函数没有极值．
[例1]
求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； ln x (2)f(x)＝ x .
重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分
类讨论的思想、数形结合思想在解题中的应用，熟练掌 握单调性问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合 问题的关键．
7．函数f(x)＝x3－3x＋2的零点个数为________． 解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
可知f(x)在(－∞，－1)及(1，＋∞)上是
函数的极值ppt课件
●
四 、不含参数的函数求极值
变式训练 求下列函数的极值：
(1)f(x)=x²e-×;
[解析](1)函数f(X) 的定义域为R,
f(x)=2xe-×+x²·e-×.(-x)'=2xe-×-x²e-×=x(2-x)e-×.
令f'(x)=0,得x(2-x)e-×=0,解得x=0 或x=2. 当x变化时，f'(x),f(x) 的变化情况如表所示：
2.对极值概念的再理解 (1 )极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是 最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值；
(2 ) 一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个； (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系； (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点； (5)单调函数一定没有极值.
e
f'(x)
十
0
f(x)
1
e
故当- 时，函数(x)取得极大值，且极大值为
●
(e,+0)
《
3求含参函数的极值
例2 已知函数f(x)=x-aln x(a∈R) ,求函数f(x)的极值.
①当a ≤0时，f(x)>0, 函数f(x)为(0,+0)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a>0 时，令f'(x)=0, 解得x=a,
课堂小结
y
f'(x₀)=0
f'(x)>0
f'(x)<0
y
f'(x <0
f'(x,)=0 f(x)
>0
a Xo b
高考数学总复习函数的极值与导数PPT课件
互动 1 满足 f′(x0)＝0 的点 x0 是函数 f(x)的极值点吗？ 【解析】 不一定，必须再加上 x0 左右导数的符号相反，才能 断定函数在 x0 处取得极值．
互动 2 函数 y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？ 【解析】 不一定．若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数， 就没有极值点．
(3)已知函数 y＝|x2－2|x|－3|的图像如图所示，由图像指出该 函数的极值．
【解析】 由图像可知：当 x＝±3 时，函数取极小值 0；当 x ＝0 时，函数取极小值 3；当 x＝±1 时，函数取极大值 4.
注：这个函数有五个极值点，其中三个极小值点处的导数均不 存在．
题型二 利用导数求极值
令 f′(x)＝0，得 cosx＝12或 cosx＝－1.
π
5π
当 0<x<2π时，x1＝ 3 ，x2＝π，x3＝ 3 .
当 x 在区间(0，2π)内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x)
f(x)
π (0， 3 )
＋
π 3
0 极大值
33 4
π ( 3 ，π)
－
π
5π (π， 3 )
要点 2 极大值：(对可导函数) 如图，若 b 为极大值点，f(b)为极大值，则必须满足： ①f(b)≥f(x0)(f(x0)表示 f(x)在 x＝b 附近的函数值)； ②f′(b)＝0； ③在 x＝b 附近的左侧，f′(x)>0，函数单调递增； 在 x＝b 附近的右侧，f′(x)<0，函数单调递减．
题型一 根据图像求极值
例 1 如图观察，函数 y＝f(x)在 d、e、f、g、h、i 等点处的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处 的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规 律？
互动 2 函数 y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？ 【解析】 不一定．若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数， 就没有极值点．
(3)已知函数 y＝|x2－2|x|－3|的图像如图所示，由图像指出该 函数的极值．
【解析】 由图像可知：当 x＝±3 时，函数取极小值 0；当 x ＝0 时，函数取极小值 3；当 x＝±1 时，函数取极大值 4.
注：这个函数有五个极值点，其中三个极小值点处的导数均不 存在．
题型二 利用导数求极值
令 f′(x)＝0，得 cosx＝12或 cosx＝－1.
π
5π
当 0<x<2π时，x1＝ 3 ，x2＝π，x3＝ 3 .
当 x 在区间(0，2π)内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x)
f(x)
π (0， 3 )
＋
π 3
0 极大值
33 4
π ( 3 ，π)
－
π
5π (π， 3 )
要点 2 极大值：(对可导函数) 如图，若 b 为极大值点，f(b)为极大值，则必须满足： ①f(b)≥f(x0)(f(x0)表示 f(x)在 x＝b 附近的函数值)； ②f′(b)＝0； ③在 x＝b 附近的左侧，f′(x)>0，函数单调递增； 在 x＝b 附近的右侧，f′(x)<0，函数单调递减．
题型一 根据图像求极值
例 1 如图观察，函数 y＝f(x)在 d、e、f、g、h、i 等点处的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处 的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规 律？
人教版高中数学 选择性必修二 A版5.3.2(1)《函数的极值》课件PPT
第二部分
新知讲解
导入新课
3
引例：求函数 = +
1 2
2
− 2 + 4 的单调区间.
′
解析： =3 2 + − 2 = 3 − 2 + 1
′
令 < 0 得 −1 < <
′
2
3
2
3
令 > 0 得 > 或 < −1
导入新课
∴ = 的单调递减区间是(−1,
o
x
例如： = 的极大值是 −1 ，极小值是
2
极大值点是-1，极小值点是
3
2
3
，
知识梳理
结论: 函数 = 的极值点为, , … ，
则一定有′()=0 , ′()=0 ,……
反之，若′()=0 ,则 , , … ,不一定是 = 的极值点.
比如： = = 3 在R上单调递增， ′()=3 2 =0 时，
1
′()=4 − =
4 2 −1 2+1 2−1
=
令 ′() > 0 得 >
1
2
令 ′() < 0 得0< <
1
2
课堂互动
∴ 的单调递增区间是
∴ 的极小值为
没有极大值.
1
2
1
, +∞
2
=2 ×
1
4
1
,单调递减区间是(0, )
2
1
−
2
1
解析: 的定义域为 0, +∞
1
函数的极值 课件(第1课时)
知识点 1 极值点与极值 (1)极小值点与极小值 若函数 y＝f (x)在点 x＝a 的函数值 f (a)比它在点 x＝a 附近其他 点的函数值都小，f ′(a)＝_0，而且在点 x＝a 附近的左侧__f_′(_x_)_＜__0___， 右侧__f_′_(x_)_＞__0___，就把点 a 叫做函数 y＝f (x)的极小值点，f __(_a_) _叫 做函数 y＝f (x)的极小值．
A．y＝x3 B．y＝x2＋1 C．y＝|x| D．y＝2x BC [对于 A，y′＝3x2≥0，∴y＝x3 单调递增，无极值；对于 B， y′＝2x，x＞0 时 y′＞0，x＜0 时 y′＜0，∴x＝0 为极值点；对于 C，根 据图象，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，∴C 符合； 对于 D，y＝2x 单调递增，无极值．故选 BC．]
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值
学习任务
核心素养
1．了解极大值、极小值的概念．(难 1．通过极值点与极值概念的
点) 学习，培养数学抽象的核心
2．了解函数在某点取得极值的必 素养．
要条件和充分条件．(重点、易混 2．借助函数极值的求法，提
x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞)
y′
＋
0
－
0
＋
y
↗
极大值 ↘ 极小值
↗
∴当 x＝－1 时，函数 y＝f (x)有极大值，且 f (－1)＝10； 当 x＝3 时，函数 y＝f (x)有极小值，且 f (3)＝－22．
(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5) ＝5x2(x－3)(x－5)． 令 y′＝0，即 5x2(x－3)(x－5)＝0， 解得 x1＝0，x2＝3，x3＝5．当 x 变化时，y′与 y 的变化情况如下 表：
新教材人教A版选择性必修二册 5.3.2.1 函数的极值 课件(56张)
提示:不一定.例如f(x)=x3,x=0时,f′(0)=0,但由于在x=0两侧导数同号,因此函 数f(x)=x3在x=0处不取得极值.
【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)导数值为0的点一定是函数的极值点. ( ) (2)函数的极小值一定小于它的极大值. ( ) (3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值. ( ) (4)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数. ( )
2.函数y=1+3x-x3有 ( A.极小值-2,极大值2 C.极小值-1,极大值1
) B.极小值-2,极大值3 D.极小值-1,极大值3
【解析】选D.y′=3-3x2=3(1+x)(1-x). 令y′=0得x1=-1,x2=1. 当x<-1时,y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数; 当-1<x<1时,y′>0,函数y=1+3x-x3是增函数; 当x>1时,y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数. 所以当x=-1时,函数y=1+3x-x3有极小值-1; 当x=1时,函数y=1+3x-x3有极大值3.
2.选D.因为f(x)=xex, 所以f′(x)=ex+xex=ex(1+x). 当f′(x)≥0,即ex(1+x)≥0时,解得x≥-1, 所以当x≥-1时,函数f(x)为增函数. 同理可得,当x<-1时,函数f(x)为减函数. 所以当x=-1时,函数f(x)取得极小值.
【内化·悟】 函数的极值点满足的条件是什么?
2.设函数f(x)=xex,则 ( ) A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点 C.x=-1为f(x)的极大值点 D.x=-1为f(x)的极小值点
【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)导数值为0的点一定是函数的极值点. ( ) (2)函数的极小值一定小于它的极大值. ( ) (3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值. ( ) (4)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数. ( )
2.函数y=1+3x-x3有 ( A.极小值-2,极大值2 C.极小值-1,极大值1
) B.极小值-2,极大值3 D.极小值-1,极大值3
【解析】选D.y′=3-3x2=3(1+x)(1-x). 令y′=0得x1=-1,x2=1. 当x<-1时,y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数; 当-1<x<1时,y′>0,函数y=1+3x-x3是增函数; 当x>1时,y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数. 所以当x=-1时,函数y=1+3x-x3有极小值-1; 当x=1时,函数y=1+3x-x3有极大值3.
2.选D.因为f(x)=xex, 所以f′(x)=ex+xex=ex(1+x). 当f′(x)≥0,即ex(1+x)≥0时,解得x≥-1, 所以当x≥-1时,函数f(x)为增函数. 同理可得,当x<-1时,函数f(x)为减函数. 所以当x=-1时,函数f(x)取得极小值.
【内化·悟】 函数的极值点满足的条件是什么?
2.设函数f(x)=xex,则 ( ) A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点 C.x=-1为f(x)的极大值点 D.x=-1为f(x)的极小值点
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是极小值
D.如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0) 是极大值
【解析】直接根据极值概念判断,也可画出图像进行分析.
.. 导. 学 固思
2
函数 y=ax3+bx2 取得极大值和极小值时的 x 的值分别为 0 和 , 3 则( D ). A.a-2b=0 C.2a+b=0
利用函数的极值和极值点求函数的相关系数
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x=-1时,取得极大值7;当x=3时,
取得极小值,求f(x)的极小值及a、b、c的值.
【解析】f'(x)=3x +2ax+b,据题意知-1,3 是方程 3x +2ax+b=0 的两 个根, ∴ -1 + 3 = b
2 2 2
【解析】∵f(x)= x -bx +c,∴f'(x)=x -2bx.
3 1
3 2 2
1 3
3
2
∵x=2 时,f(x)取得极值,∴2 -2b×2=0,解得 b=1, ∴f(x)= x -x +c,∴f'(x)=x -2x=x(x-2),
3 1
3 2 2
2
∴当 x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增; 当 x∈(0,2)时,f(x)单调递减; 当 x∈(2,+∞)时,f(x)单调递增. f(0) = c > 0, 4 若 f(x)=0 有 3 个实根,则 解得 0<c< , 1 3 f(2) = × 23 -22 + c < 0,
第2课时
函数的极值
.. 导. 学 固思
1.理解求函数极大值与极小值的方法.
2.极小值点与极大值点的概念. 3.应用极值解决求参数值、参数取值范围、判断函数零点的 个数,证明不等式等问题.
.. 导. 学 固思
若函数f(x)的定义域为区间(a,b),导数f'(x)在(a,b)内的图
像如图所示,用极值的定义你能判断函数f(x)在(a,b)内的极 小值点有几个吗?
2a 3
-1 × 3 = ,
3
3
, ∴a=-3,b=-9.
∴f(x)=x -3x -9x+c. ∵f(-1)=7,∴c=2. 3 2 极小值 f(3)=3 -3×3 -9×3+2=-25. ∴极小值为-25,a=-3,b=-9,c=2.
.. 导. 学 固思
函数的极值与零点问题 已知函数 f(x)= x -bx +c(b,c 为常数).当 x=2 时,函数 f(x)取得 极值,若函数 f(x)只有三个零点,求实数 c 的取值范围.
2
1
B.2a-b=0 D.a+2b=0
1 3
2
【解析】y'=3ax +2bx,据题意,0、 是方程 3ax +2bx=0 的两根, ∴- = ,∴a+2b=0.
3a 3 2b 1
3
若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13,则实数m= -19 .
【解析】y'=-3x2+12x,由y'=0,得x=0或x=4,容易得出当x=4 时函数取得极大值,所以-43+6×42+m=13,解得m=-19.
4
若y=x3+kx在R上无极值,求k的取值范围.
【解析】y'=3x2+k,∵y=x3+kx在R上无极值, ∴y'≥0恒成立,∴k∈[0,+∞).
.. 导. 学 固思
利用导数求函数的极值 求函数
1 3 f(x)= x -4x+4 3
1 3
3
的极值.
2
【解析】因为 f(x)= x -4x+4,所以 f'(x)=x -4=(x-2)(x+2), 令 f'(x)=0,解得 x=2 或 x=-2. 下面分两种情况讨论: (1)当 f'(x)>0 时, x>2 或 x<-2; (2)当 f'(x)<0 时,-2<x<2. 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
单调性的关系呢?
函数的极值有助于分析函数的最值或值域,其实质就是函数
单调性的升华.
.. 导. 学 固思
1
已知f'(x0)=0,则下列结论中正确的是( B ).
A.x0一定是极值点 B.如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0) 是极大值 C.如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)
3
∴实数 c 的取值范围为(0, ).
3
4
.. 导. 学 固思
已知函数 f(x)=2ln
1 x
1 x+ ,求 x
f(x)的极值.
【解析】f(x)=2ln x+ ,且函数 f(x)的定义成为(0,+∞), f'(x)= - 2 = 由 f'(x)=
2 1 2x -1 x x x2 2x -1 x2 1 2
问题2
用导数求函数极值的方法和步骤
如果y=f(x)在某个区间内有导数,则可以这样求它的极值.
第一步,求导数f'(x). 第二步,求方程
f'(x)=0
的根x=x0.
第三步,判断x=x0是不是函数的极值点,若是,则求f(x0)的值,即 为
极值 ,若不是,则 无极值 .
问题3
函数的极值有助于分析函数的最值与值域吗?与函数
【解析】(法一)因为 f'(x)=x -(2a+1)x+(a +a)=(x-a)[x-(a+1)].令 f'(x)=0,得 x1=(a+1),x2=a,所以 f'(x),f(x)随 x 的变化情况如下表: x f'(x) f(x) (-∞,a) + 递增 a 0 极大值 (a,a+1) 递减 a+1 0 极小值 (a+1,+∞) + 递增
.
1 2 1 2
>0,解得 x> ,∴f(x)在(0, )上是
减函数,在( ,+∞)上是增函数. ∴f(x)的极小值为 f( )=2-2ln 2,无极大值.
2 1
.. 导. 学 固思
已知函数 f(x)= x - (2a+1)x +(a +a)x.若 f(x)在 x=1 处 取得极大值,求实数 a 的值.
.. 导. 学 固思
x
(-∞,-2) -2 0
(-2,2) -
2 0
(2,+∞) + 单调递增
f'(x) + f(x) 单调递增
28 4 单调递减 3 3
因此,当 x=-2 时,f(x)有极大值,且极大值为 f(-2)= ;当 x=2 时,f(x)有
3
28
极小值,且极小值为 f(2)=- .
3
4
.. 导. 学 固思
.. 导. 学 固思
问题1
判断函数y=f(x)的极值的一般方法
解方程f'(x)=0.当f'(x0)=0时:
(1)如果在x0附近的左侧f'(x0)>0,右侧f'(x0)<0,那么f(x0)是
极大值 ;
(2)如果在x0附近的左侧f'(x0)<0,右侧f值 .
.. 导. 学 固思