新人教版必修二高中数学《圆的标准方程》教学设计

合集下载

《圆的标准方程》第一课时教学设计

《圆的标准方程》第一课时教学设计稿华川中学李建军2007．10．16《圆的标准方程》第一课时教学设计稿一．教材分析圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.《圆的方程》安排在高中数学第二册（上）第七章第六节.是前面学习了直线方程、两条直线的位置关系、曲线和方程的基础上，让学生学会在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。

圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.本节课教材编者共安排了3个例题，例1是求圆的方程的问题，是直接运用所学知识的一个例题；例2是运用圆的标准方程的知识来解决数学问题——求圆的切线问题；例3是运用圆的标准方程的知识来解决实际问题的一个例题。

在作业安排上，安排了4个练习题和4个习题，它们分别是3个例题的补充。

二.学情分析圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的. 但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难，另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.为了让学生掌握本节课内容，我将例1和例2作为第一课时内容，例3同补充的例题作为第二课时的内容。

由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，计划在同学生一道推导圆的标准方程，以便进一步了解坐标在解决实际问题中的运用。

推导出圆的标准方程后，增加圆的标准方程的直接运用的3个练习题，其中有一个是教材中的练习题第一题，通过这样的训练来达到让学生充分掌握圆的标准方程的形式。

例1我直接选用教材中的例1，没有做改动；在讲解例2时，我采取先用一个具体的问题来求出圆的切线方程后，从特殊的例子入手，为推导一般的圆的切线方程打下知识和方法的铺垫，体现了“从特殊到一般”的思想。

高中数学教学课例《圆的标准方程》课程思政核心素养教学设计及总结反思

小组讨论的形式。由学生和老师共同计算出几个圆的方
程，然后进行小组讨论，得出圆的标准方程的一般形式。教学过程
这个过程老师就是一个引导者，主要由学生完成，采用
层层递进、从特殊到一般的形式，有助于学生掌握知识。
在此过程中，老师要不停巡视，参与到学生小组讨论中。
老师首先ห้องสมุดไป่ตู้了解学生初中时对本节知识的掌握情
况，学生计算能力，学生在课堂可能会出现的所有问题，
以及学生的性格特点，才能采取适合的教学方法。课例研究综
新课堂教学应该从老师为主体变成学生为主体，老述
师应不断增加课堂的趣味性，多融入相关的数学文化，
使学生爱上数学，不仅仅是为了高考、为了成绩而学，
而是发自内心的喜欢。
教学目标
二、能根据所给条件算出圆对的标准方程；
三、让学生体会圆的魅力与数学的独特魅力。
圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基
本性质作了比较系统的研究，本节之前又学习了建立直
学生学习能角坐标系求直线方程的方法，这些都为本节课的学习奠
力分析定的必要的基础。同时，由于学生对建系求方程的方法
以及圆的标准方程认识还不深刻，在探究知识的形成与
高中数学教学课例《圆的标准方程》教学设计及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《圆的标准方程》
称
圆的标准方程是高中数学必修二第四章第一节的
内容，在高考中占据一定位置，是之后学习椭圆等圆锥教材分析
曲线方程的基础。本节内容是初中圆的一个递进，计算
量较大。对于学生学习有一定难度。
一、掌握圆的标准方程及其推到过程；
方程的运用时可能会遇到一些困难。
应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转

高中数学_圆的标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思

4.1.1圆的标准方程【学习目标】（1）会推导圆的标准方程,掌握圆的标准方程;（2）能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程;【学习重点】圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。

【学习难点】由已知条件求圆的标准方程；判定点和圆的位置关系【知识链接】1.初中圆的定：。

2.在平面直角坐标系中，确定一条直线，和也确定一条直线。

【学习过程】探究一：圆的标准方程思考1:圆可以看成是平面上的一条曲线,在平面几何中，根据初中学习的圆的定义，如何用集合语言描述以点A为圆心，r为半径的圆？思考2:确定一个圆最基本的要素是什么？思考3:设圆心坐标为A(a，b)，圆半径为r，M(x，y)为圆上任意一点，根据圆的定义，圆心为A的圆的集合表示：P = { M | |MA| = r }，那么点M的坐标x，y应满足什么关系？。

思考4:对于以点A(a，b)为圆心，r为半径的圆，由上可知，若点M(x，y)在圆上,则点M 的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2；反之,若点M(x，y)的坐标适合方程(x-a)2+(y-b)2=r2，那么点M一定在这个圆上吗？新知圆的标准方程：。

思考5:那么确定圆的标准方程需要几个独立条件？思考6:以原点为圆心,1为半径的圆称为单位圆,那么单位圆的方程是什么？例题一：1、圆心为 A(2，-3)，半径长等于5的圆的方程为（）A (x – 2 )2+(y – 3 )2=25B (x – 2 )2+(y + 3 )2=25C (x – 2 )2+(y + 3 )2=5D (x + 2 )2+(y – 3 )2=52、圆 (x －2)2+ y 2=2的圆心C 的坐标及半径r 分别为（）A C （2，0） r = 2BC （ – 2，0） r = 2C C （0，2） r =2D C （2，0） r = 23、已知M(5，-7)和圆 (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 ，则点M 在（）A 圆内B 圆上C 圆外D 无法确定探究二：点与圆的位置关系思考7:在平面几何中，初中学过点与圆有哪几种位置关系？如何确定的思考8:在初中平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？思考9:在直角坐标系中,已知点M(x 0，y 0)和圆C ：222()()x a y b r -+-=,如何判断点M 在圆外、圆上、圆内？思考题：集合{(x ，y)|(x-a)2+(y-b)2≤r 2}表示的图形是什么？探究三：圆的标准方程的应用例1 已知圆心为C 的圆经过点A (1, 1)和B (2, －2)，且圆心C 在直线上l ：x －y +1=0，求圆心为C 的圆的标准方程．思考10：求圆的标准方程方法有哪些?变式：的三个顶点的坐标分别A(5,1)、B(7,－3)、C(2,－8)，求它的外接圆的方程．学情分析圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，本节之前又学习了建立直角坐标系求直线方程的方法，这些都为本节课的学习奠定的必要的基础。

人教A版高中数学必修二《圆的标准方程》教学设计

《圆的标准方程》教学设计
一、内容及其解析
本节课的教学内容是圆的标准方程，圆是平面解析几何中重要的几何模型，是研究圆锥曲线与方程的重要基础.
坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过建立平面直角坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来.因此在教学过程中，要始终贯穿坐标法中一重要思想,在学习圆与方程这一章节后,使学生初步形成坐标法的基本思想和步骤.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后将代数运算结果“翻译”成相应的几何结论。
解此方程组,得
所以的外接圆的方程是
练习2：已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上，求圆心为的圆的标准方程.
设计意图：进一步强化圆的标准方程的运用，使学生在不同的背景中熟悉常见的几何模型，能根据题设条件选择适当的方法来解决问题.
师生活动：激活学生思维，借助图形，让学生分析题设的几何特征，描述本题的算法，教师同步展示解答过程.启发引导学生思考教科书第120页的问题，归纳求圆的标准方程的两种方法.最后可以让学生尝试运用另一种方法解答问题7和问题8.
半径的大小等于圆上任意一点到圆心的距离,
圆心为的圆就是集合
由两点间距离公式,点的坐标适合的条件可以表示为
式两边平方,得
(1)
若点在圆上,则由上述讨论知,点的坐标适合方程(1);反之,若点的坐标适合方程(1),这说明点与圆心的距离为 ,即点在圆心为的圆上.我们把方程(1)称为圆心为 ,半径为的圆的方程,把它叫做圆的标准方程.
3.能力素养：重点提升学生的数学抽象、数学建模、直观想象能力。通过具体事例，让学生在自己的操作与思考中，抽象并概括圆的标准方程的概念、建立圆的标准方程的代数模型，学会利用几何图形理解和解决数学问题.关注现代信息技术工具的运用.

人教版高中数学必修2-4.1《圆的标准方程》教学设计

4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程（熊用兵）一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，掌握圆的定义，并根据此定义得出圆的标准方程.（二）学习目标掌握圆的定义及圆的标准方程，会利用条件求圆的标准方程.（三）学习重点利用各种条件求圆的标准方程.（四）学习难点根据圆的定义推导圆的标准方程以及求圆的标准方程.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务读一读：阅读教材第118页到119页，填空：确定一个圆的最基本的要素是圆心和半径；圆心为点(,)a b ，半径为r 的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=.2.预习自测（1）圆心在点(1,2)，半径为5的圆的标准方程为（）A.22(1)(2)5x y +++=B.22(1)(2)25x y +++=C.22(1)(2)5x y -+-=D.22(1)(2)25x y -+-=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由条件知1,2,5a b r ===，代入标准方程得：22(1)(2)25x y -+-=【思路点拨】熟记圆的标准方程，明确各字母的具体含义.【答案】D（2）若点(15,)M a a +在圆22(1)26x y -+=上，则实数a =（）A.1B. 1±C.2D.【知识点】点与圆的位置关系.【解题过程】由条件，将点M 的坐标代入圆的方程得21a =，故1a =±【思路点拨】点000(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=的位置关系：（1）点0M 在圆C 上⇔22200()()x a y b r -+-=；（2）点0M 在圆C 内⇔22200()()x a y b r -+-<；（3）点0M 在圆C 外⇔22200()()x a y b r -+->；【答案】B（3）已知点(1,1),(1,1)A B --，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为（）A.221x y +=B. 22x y +=C. 222x y +=D. 224x y +=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由线段AB 为直径，所以圆心为(0,0)，半径r 圆的标准方程为222x y +=【思路点拨】求圆的标准方程就是要找出圆心坐标和半径.【答案】C（二）课堂设计1.知识回顾：（1）在直角坐标平面中确定一条直线的方法有哪些？两点可以确定一条直线；一点和倾斜角可以确定一条直线；横、纵截距可以确定一条直线等等.（2）直角坐标平面中两点间的距离公式：设点1122(,)(,)A x y B x y 、，则这两点间2.问题探究探究一圆的定义•活动① 在直角坐标平面中，如何确定一个圆？显然，当圆心位置和半径大小确定后，这个圆也就唯一确定了.因此，确定一。

人教版高中必修2圆的标准方程教学设计

人教版高中必修2圆的标准方程教学设计《人教版高中必修2圆的标准方程教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！一、教学目标知识和能力1.学会圆的标准方程的推导方法。

2.掌握圆的标准方程并掌握其求法。

3.掌握点与圆的位置关系的判定方法。

过程和方法1.通过五个问题，引导学生理解归纳本节的主要内容，培养学生归纳整理知识的能力。

2.通过电脑演示，引导学生探究、分析图形的几何特征，再用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何的问题转化为代数问题，体现数形结合的数学思想。

3.通过具体情景，使学生逐步形成在坐标系下用坐标法解几何问题的能力，掌握自主学习的方法和形成合作学习的习惯。

情感态度和价值观1.通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生运算能力和逻辑推理能力。

2.培养学生勇于探索、坚韧不拔的意志品质。

二、教学重点难点重点：圆的标准方程的推导。

难点：圆的标准方程的求法。

三、教学对象分析圆是学生比较熟悉的曲线。

在初中几何课中已经学习过圆的性质，这里只是用解析法研究它的方程与其它图形的位置关系及一些应用。

对此，教师可在课堂上通过各种教学方法，帮助学生经历如下过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。

这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。

四、教学内容分析本节内容首先研究圆的标准方程的特点，和怎样根据不同条件建立圆的标准方程。

由于圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2含有三个参数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，确定a、b、r，可以根据条件利用待定系数法解决。

还可通过分析图形的几何特征寻找圆心和半径，从而获得圆的标准方程。

点与圆的位置关系可通过点与圆心的距离判定。

以上的方法应尽可能在老师的启发引导下，由学生自己比较、归纳得到。

高中数学《圆的标准方程》教案11 新人教A版必修2

4.1.2 圆的一般方程（一）教学目标1．知识与技能（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.2．过程与方法通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.3．情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.（二）教学重点、难点教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.备选例题例1 下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径.（1）x 2 + y 2+ x + 1 = 0；（2）x 2 + y 2 + 2ac + a 2= 0 (a ≠0)；（3）2x 2 + 2y 2+ 2ax – 2ay = 0 (a ≠0). 【解析】（1）因为D ＝ 1，E ＝ 0，F ＝ 1，所以D 2 + E 2– 4F ＜0 方程（1）不表示任何图形；（2）因为D ＝ 2a ，E ＝ 0，F ＝ a 2，所以D 2 + E 2 – 4F ＝ 4a 2 – 4a 2= 0，所以方程（2）表示点(–a ，0)；（3）两边同时除以2，得x 2 + y 2+ ax – ay = 0，所以D = a ，E = – a ，F = 0. 所以D 2 + E 2– 4F ＞0，所以方程（3）表示圆，圆心为(,)22a a -，半径|r a =. 点评：也可以先将方程配方再判断.例2 已知一圆过P (4，–2)、Q (–1，3)两点，且在y 轴上截得的线段长为. 【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.【解析】法一：设圆的方程为： x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ① 将P 、Q 的坐标分别代入①得4220310D E F D E F -+=-⎧⎨--=⎩令x = 0，由①，得y 2+ Ey + F = 0 ④②③由已知|y 1 – y 2| = y 1，y 2是方程④的两根.∴(y 1 – y 2)2 = (y 1 + y 2) – 4y 1y 2 = E 2– 4F = 48 ⑤ 解②③⑤联立成的方程组，得2012D E F =-⎧⎧⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=-⎩⎩D=-10或E=-8F=4 故所求方程为：x 2 + y 2 – 2x – 12 = 0或x 2 + y 2– 10x – 8y + 4 = 0. 法二：求得PQ 的中垂线方程为x – y – 1 = 0 ①∵所求圆的圆心C 在直线①上，故设其坐标为(a ，a – 1)，又圆C的半径||r CP == ②由已知圆C 截y轴所得的线段长为C 到y 轴的距离为|a|.222r a =+ 代入②并将两端平方，得a 2– 5a + 5 = 0，解得a 1 = 1，a 2 = 5.∴12r r ==故所求的圆的方程为：(x – 1)2+ y 2= 13或(x – 5)2+ (y – 4)2= 37.【评析】(1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y 轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多.（2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算.例3 已知方程x 2 + y 2 – 2(t + 3)x + 2(1 – t 2)y + 16t 4+ 9 = 0表示一个圆，求（1）t 的取值范围；（2）该圆半径r 的取值范围.【解析】原方程表示一个圆的条件是D 2 +E 2 – 4F = 4(t + 3)2 + 4(1 – t 2)2 – 4(16t 4 + 9)＞0即7t 2– 6t – 1＜0，∴117t -<<（2）2222224224(3)(1)(169)76143167()77D E F r t t t t t t +-==++--+=-++=--+∴2160,07r r <≤<<。

高中数学必修二《圆的标准方程》优秀教学设计

4.1.1圆的标准方程教学设计1．内容和内容解析：内容：圆的标准方程。

内容解析：解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要思想方法。

其中圆的标准方程的教学目标主要是：一是经历通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，在这个过程中进一步体会坐标法研究几何问题的思想和步骤；二是用两种方法求解圆的方程。

圆是解析几何中一类重要的曲线，在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，处于直线与方程和点，直线与圆的关系的结合点和交汇点上。

学好圆的方程可以为圆锥曲线的学习奠定基础，有利于学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数法解决几何问题的能力。

也是培养学生运用能力和运算能力的重要素材。

从知识的结构和内容上都起到相当重要的作用。

2．教学目标：知识与技能（1）在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；（2）能根据圆心坐标、半径及其特殊情况熟练地写出圆的标准方程；（3）会根据条件选择并求出圆的方程；过程与方法（1）通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，让学生进一步体会坐标法在研究几何问题的思想和步骤；（2）通过类比直线方程的学习，发现并理解圆的方程与直线方程学习中相同的知识结构，进一步体会类比的思想；（3）通过求解圆标准的方程，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想；情感态度与价值观通过与直线方程的对比，体会类比思想的应用，让学生学会用联系的观点分析问题，认识事物之间的相互联系与转化；3．教学重难点：重点：（1）类比直线方程的学习，掌握圆的标准方程；难点：（1）圆的代数方程的建立过程；（2）圆的标准方程的灵活应用；落实的途径：（1）通过表格，建立直线与方程，圆与方程的结构图，在复习旧知的同时帮助学生经历坐标法建立圆的代数方程的如下过程：首先将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。

人教版高中数学《圆的标准方程》教学设计

课题: “圆的标准方程”教材：高中数学第二册（上册）第七章《直线和圆的方程》中的第六节“圆的方程”教材分析的第一课时在学习了“曲线与方程“之后，作为一般曲线典型的例子，安排了本节的“圆的方程”-圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程，圆与其他图形的位置关系及其应用-同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础-也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用-同时，由于“圆的方程” 一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程和一般方程的要求层次是“掌握”。

遵循从特殊到一般的原则，只有把圆的标准方程学透了，再过渡到学圆的一般方程也就不难了，它们可以通过形式上的互相转化而解决。

可见圆的标准方程在“圆的方程”一节中非常重要。

依照大纲，本节分为三个课时进行教学-第一课时讲解圆的标准方程王•结合本节的内容的特点，和对学生的初步了解，我准备将这个课时分解为两个课时来完成。

第一课时主要是以轨迹思想探讨圆的标准方程，再以待定系数法求解圆方程为核心，让学生从中去体会数与形之间的关系，强化数形结合思想的运用。

二、学情分析此前，学生已经学习了“曲线的方程”和“方程的曲线”、直线方程等内容，对运用代数的方法来解决几何的问题（即解析法）有了一定的了解。

现在要运用解析法来研究另一种（学生熟悉的）几何图形一一圆，自然是水到渠成，对学生而言难度不会太大。

因此老师在教学中可以大胆的引导学生独立自主的去探索、发现所要学习的知识。

学生对待定系数法的运用会感到困难，因为圆的标准方程中的三个参数a，b，r （尤其是r）的给出形式变化很多，再加上学生对圆的许多几何性质可能都忘记了，不能灵活运用几何性质优化运算，所以通过对“待定系数法”的讲解，一方面可以复习圆的一些主要性质；另一方面还可以对代数法与几何法进行比较，使学生从中数与形的和谐美。

人教版高中数学必修二《圆的标准方程》说课稿

《圆的标准方程》说课稿说教学目标：本节课的知识目标是：理解掌握圆的定义及标准方程。

能力目标是：能根据圆的标准方程指出圆心和半径;能根据已知条件求圆的标准方程。

情感目标：培养学生勇于发现、勇于探索的精神。

说教学重难点，重点是理解掌握圆的定义及标准方程。

难点是圆的标准方程的推导说教法：本节课主要采用讲练结合法和引导发现法。

说学法：主要采用自主探究法说本节课使用的教具：主要采用多媒体教学说教学过程：一、师生问好二、复习提问：两点间的距离公式和线段的中点坐标公式。

三、导入新课用图片导入本节课主要内容㈠圆的定义圆是平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。

㈡圆的标准方程222()()x a y b r -+-=㈢例题讲解及练习例1 写出圆22(2)(1)5x y -++=的圆心的坐标及半径．解方程 22(2)(1)5x y -++=可化为 []222(2)(1)x y -+--=，所以 2,1,a b r ==-=，故，圆心的坐标为(2,1)C -，半径为r =．【注意】使用公式（8.8）求圆心的坐标时，要注意公式中两个括号内都是“－”号．练习1：说出圆的圆心坐标及半径(1) (x-1)2+(y-2)2=9 (2) (x+1)2+(y+2)2=4 (3) (x-3)2+y 2=5 (4) x 2+(y+5)2=8 (5) x 2+y 2=16 (6) (x-2)2+(y+8)2=(-6)2例2 设点A(4，3)、B (6，-1)，求以线段AB 为直径的圆的标准方程。

解：所求圆的圆心为C ，则C 为线段AB 的中点，半径为线段AB 的长度的一半，即 2211(46)(31)20522r =-++==故所求圆的方程为22(5)(1)5x y -+-=．练习2：1．求以点C(-1，3)为圆心，r=3为半径的圆的标准方程．2. 求以点(-2，5)为圆心，并且过点(3， -7)的圆的标准方程强化练习1．求圆心为点C(2，-3)且过点A （5,1）的圆的标准方程．2.已知点A （1,2),B(3,0),求以AB 为直径的圆的标准方程.四、说课堂小结1.圆的定义 2.圆的标准方程五、说作业布置读书部分：认真读教材64，65页；预习教材65—66页内容。

圆的标准方程教案

圆的标准方程
（人教版新课标教材《数学》必修二第四章第一节第一课）
【教学目标】
知识目标：
1、理解用解析法推导圆的标准方程的过程．
2、掌握圆的标准方程，会根据圆心和半径写出圆的标准方程．
3、会用待定系数法和坐标法求圆的标准方程．
能力目标：
1、培养学生用解析法研究几何问题的能力．
2、逐步渗透数形结合思想在解题中的应用．
3、培养学生发现问题提出问题和解决问题的能力以及团队合作精神．
情感目标：
1、培养学生合作交流的意识，感受学习乐趣，体验成功的喜悦．
2、让学生明确知识的产生过程，引导学生善于观察、发现问题，探究新知，充分调动学生的学习积极性，变被动学习为主动学习，增强数学学习兴趣．
【教学重点】
圆的标准方程
【教学难点】
会根据给定已知条件的不同，选取不同的方法求圆的标准方程．
【教具准备】
多媒体课件、学生用学案
【教学过程】
的坐标适合的条件
①
②
例1图
师生共同分析：从圆的标准方程(x–a)2 + (y–b)2 = r2可知，要确定圆的标准方程，即确定a、b、r三个参数，此处设出来标准方程之后要用
直线
【板书设计】
§4.1.1圆的标准方程
一、圆的标准方程的推导
二、圆的标准方程三、点和圆的位置关系
四、求圆的标准方程
五、课后小结。

圆的标准方程教学设计

圆的标准方程教学设计王会群一、教材分析1．教学内容普通高中课程标准实验教科书《数学》必修2第二章平面解析几何初步中2﹒2节圆与方程。

本节主要研究圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，以及他们在生活中的简单运用。

2．教材的地位与作用圆是最简单的曲线之一，这节教材安排在学习了直线之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准备。

同时有关圆的问题，特别是直线与圆的位置问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法。

应此教学中应加强练习，使学生确实掌握这单元的知识和方法。

初中教材中对圆的内容降低最低要求。

本课是单元的第一课，和直线方程一样，教学中先设计一个问题情景，让学生讨论，并引导学生观察圆上点在运动时，不变的是什么，抓住圆的本质，突破难点。

3．三维目标(1)知识与技能A．掌握圆的标准方程，并根据方程写出圆的坐标和圆的半径。

B．会选择适当的坐标系来解决与圆有关的实际问题。

(2)过程与方法A.实际问题引入，师生共同探讨。

B.探究曲线方程的基本方法。

(3)情感态度与价值观培养用坐标法研究几何问题的兴趣。

4．教学重点圆的标准方程及运用5. 教学难点求圆的标准方程的条件的确定。

二．教法分析高一学生，在老师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的能力。

所以在设计问题时应考虑周全和灵活性，采用启发式探索式教学，师生共同探讨，共同研究，让学生积极思考，主动学习。

在教学过程中采用讨论法，向学生提供具备启发式和思考性的问题。

因此，要求学生在课上讨论，提高学生的探索，推理，想象，分析和总结归纳等方面的能力。

三．学法分析从高考发展的趋势看，高考越来重视学生的分析问题解决问题的能力。

因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，采用转化思想，数形结合的思想，选择最佳方案加以解决“瞎撞，乱撞”的不良思想。

四．教学过程项目具体内容教师活动学生活动教学意图复习复习上节课内容，思考一下几个问题什么是直线方程？确定直线方程的要素有哪些？直线方程有哪几种表达式，都是什么样的 ? 教师提问。

高中数学《圆的标准方程》教学设计新人教版必修2

某某省某某市第三中学高中数学《圆的标准方程》教学设计新人教版必修二2知识与技能：1、掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；2、会用两种方法求圆的标准方程：(1)待定系数法；(2)利用几何性质教学重点：圆的标准方程教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法和几何性质求圆的标准方程。

教学过程：情境设置：问题：①圆的定义？学生回忆所学知识：①圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，确定圆的要素是圆心和半径。

问题：②如果把直线放在直角坐标系下，那么其对应的方程是二元一次方程，那么如果把一个圆放在坐标系下，其方程有什么特征？如何写出这个圆的所在的方程？二、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。

（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M r =① 化简可得：222()()x a y b r -+-=②方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

总结出点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（１）2200()()x a y b -+-=2r ⇔点在圆上（２）2200()()x a y b -+-<2r ⇔点在圆内（３）2200()()x a y b -+->2r ⇔点在圆外三、知识应用与解题研究（一）练习１、指出下列方程表示的圆心坐标和半径：（１）222=+y x ；（２）5)1()3(22=-+-y x ；（３）222)1()2(a y x =+++（0≠a ）。

２、写出下列圆的标准方程：（Ｐ１２０－１２１练习１、３、４）（１）圆心在Ｃ（－３，４），半径长为5；（２）圆心在Ｃ（８,－３），且经过点Ｍ（５，１）；（３）圆心在（－１，２），与y轴相切（４）以Ｐ１（４，９）、Ｐ２（６，３）为直径的圆；（５）已知△ＡＢＣ的顶点坐标分别是Ａ（４，０），Ｂ（０，３）,Ｃ(０，０),求△ＡＢＣ外接圆的方程。

人教高中数学必修二 4.1.1圆的标准方程(公开课教案)

《4.1.1 圆的标准方程》教案
授课时间：授课地点：授课教师：
一、教材分析:圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，在学习中使学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的基础。

对于知识的后续学习，具有相当重要的意义.
二、教学目标：
1、知识与技能：①掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程;反之，
会根据圆的标方程，求圆心和半径;
②会判断点和圆的位置关系;
③会用待定系数法和几何法求圆的标准方程;
2、过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思
想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问
题、发现问题和解决问题的能力.
3、情感态度和价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习
数学的热情和兴趣.
三、内容分析：
重点：圆的标准方程的求法及其应用
难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程
四、教具学具的选择：多媒体、圆规、直尺、课件.
五、教学方法：采用“问题－探究”教学法.
六、教学过程：。

《圆的标准方程》教学设计

《圆的标准方程》教学设计《圆的标准方程》教学设计教学分析解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。

圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，在学习中使学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的基础。

对于知识的后续学习，具有相当重要的意义。

另外，本节课的学习是通过由特殊到一般逐步展开的，可以进一步发展学生观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及灵活处理问题的能力。

学情分析圆是学生比较熟悉的曲线，初中曾经学习过圆的有关知识，本节之前又学习了建立直角坐标系求直线方程的方法，这些都为本节课的学习奠定的必要的基础。

再者，经过必修一、必修二的学习，高一学生对高中数学学习的基本方法也有了一定的体验和了解，具备了初步的观察、类比、归纳、概括、表达能力。

通过五种直线方程的学习，对坐标系下建立方程进行了反复训练，这些都为本节课的学习做了能力和方法上的准备。

当然，由于学生对建系求方程的方法以及圆的标准方程认识还不深刻，在探究知识的形成与方程的运用时可能会遇到一些困难，在教学中一定要关注学生反馈的信息，循序渐进的开展教学。

三维目标1．知识与技能（1）会推导圆的标准方程,掌握圆的标准方程;（2）能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程;2．过程与方法（1）进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；（2）．使学生加深对数形结合思想的理解；（3）知识的应用及灵活处理问题能力的培养。

3．情感态度与价值观激发学生的学习兴趣.?培养学生主动探究知识、合作交流的意识，提高学生的思维能力。

??三、教学重点圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程的应用。

四、教学难点会根据不同的已知条件，会利用待定系数法和几何法求圆的标准方程。

五、课时安排 1课时六、教学过程设计问题师生活动设计意图1 直线可以用一个方程表示，那么圆可以用一个方程表示吗？我们应该怎样来建立圆的方程呢？这就是我们这节课的主要内容：圆的标准方程。

新人教版必修二高中数学：解析几何中圆的标准方程教案人教版必修2

4.1.1圆的标准方程【教学目标】（一）知识与技能(1)掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程．(2)会用待定系数法求圆的标准方程．（二）过程与方法进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力．（三）情感态度与价值观通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣．【教学重点】圆的标准方程．【教学难点】会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程．【教学方法】启发、引导、讨论．【教学过程】一、新课引入在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆?在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢?如果能，这个方程又有什么特征呢?二、讲授新课确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为(,)A a b ，半径为r （其中a 、b 、r 都是常数，0r ）．设(,)M x y 为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）{}P M MA r ==,由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r =①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论．若点(,)M x y 在圆上，由上述讨论可知，点M 的坐标适用方程②，说明点M 与圆心A 的距离为r ，即点M 在圆心为A 的圆上．所以方程②就是圆心为(,)A a b ,半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程．三、例题解析例1：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点1(5,7)M -,2(1)M -是否在这个圆上．分析：可以从计算点到圆心的距离入手．点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）22200()()x a y b r -+->，点在圆外（2）22200()()x a y b r -+-=，点在圆上（3）22200()()x a y b r -+-<，点在圆内解：圆心是(2,3)A -半径长等于5的圆的标准方程是22(2)(3)25x y -++=．。

最新人教版高中数学必修2第四章《圆的标准方程》教案1

§2 圆与圆的方程2.1 圆的标准方程整体设计教学分析作为一般曲线的典型例子,课本安排了本节“圆的标准方程”.圆是学生比较熟悉的曲线,在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究它的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的标准方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础,也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用.今天学习圆的标准方程,由于“圆的标准方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”.为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机地结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.三维目标1.使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.2.会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能力.3.理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线等.把握运动变化原则,培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点,欣赏和体验圆的对称性,感受数学美.重点难点教学重点:圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)情境一:如图1,已知隧道的截面是半径为4 m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶.一辆宽为2.7 m,高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？图1如图2,以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在直线为x轴,建立直角坐标系,问题可以转化为求圆上的点的纵坐标,这就需要建立圆的方程.为此我们学习圆的标准方程.图2情境二:课前准备：用淀粉在一张白纸上画上海和山.引入：说明最终在白纸上要表演的是一个小魔术,名称是《日出》,所以还缺少一个太阳,请学生帮助在白纸上画出太阳.要求其他学生在自己的脑海里也构出自己的太阳.课堂估计：一种是非尺规做图(指出数学做图的严谨性)；一种做出后有同学觉得不够美(点评:其实每人心中都有一个自己的太阳,每个人都有自己的审美观点).然后上升到数学层次：不同的圆心和半径对应着不同的圆,进而对应着不同的圆的方程. 从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹.那么在给定圆心和半径的基础上,结合我们前面所学的直线方程的求解,应该如何建立圆的方程？思路 2.(直接导入)同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题圆的标准方程.推进新课新知探究提出问题①已知两点A(2,-5),B(6,9),如何求他们之间的距离?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求他们之间的距离?②具有什么性质的点的轨迹称为圆？③图3中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？图3④我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么决定圆的条件是什么?⑤如果已知圆心坐标为C(a,b),圆的半径为r,我们如何写出圆的方程?⑥圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？活动:学生回忆学过的知识,注意观察图形,教师引导,学生思考、交流,学生之间可以相互讨论,学生有困难教师及时提示点拨.①教师引导学生回顾两点之间的距离公式,要正确代入点的坐标.②学生回顾初中学习的圆的定义,教师提示利用集合观点加以解释.③观察图形,结合圆的定义说明.④通过问题③的观察,不难得出确定圆的条件.⑤1°建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示圆上任意点M的坐标,简称建系设点；2°写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|},简称写点集；3°用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0,简称列方程；4°化方程f(x,y)=0为最简形式,简称化简方程；5°证明化简后的方程就是所求曲线的方程,简称证明.⑥问题⑤完成后,说明方程形式的特点.讨论结果：①根据两点之间的距离公式 d=212212)()(y y x x -+-,得 |AB|=212)59()26()()(22212212=-+-=-+-y y x x .同理,|CD|=22)8()3(++-y x . ②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径(教师在黑板上画一个圆).③圆心C 是定点,圆周上的点M 是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.④确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了.⑤确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r(其中a 、b 、r 都是常数,r ＞0).设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MC|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件22)()(b y a x -+-=r,将上式两边平方得(x-a)2+(y-b)2=r 2.化简可得(x －a)2+(y －b)2=r 2.(*)若点M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点M 的坐标满足方程(*),反之若点M 的坐标满足方程(*),这就说明点M 与圆心C 的距离为r,即点M 在圆心为C 的圆上.方程(*)就是圆心为C(a,b),半径长为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程.⑥这是二元二次方程,展开后没有xy 项,括号内变数x,y 的系数都是1.点(a,b)、r 分别表示圆心坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x 2+y 2=r 2.提出问题①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?②确定圆的方程的方法和步骤?③坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?活动:学生观察圆的标准方程,指出其中的变量和常量,自己动手,画出圆,看点与圆有什么位置关系,教师可以提示引导.①从圆的标准方程中可以看出,确定圆的方程有两个要素,三个条件,两个要素即圆心和半径,三个条件是参数a 、b 、r 且r ＞0.只要两个要素或三个条件确定了,那么圆就确定了. ②根据问题①我们知道,找到确定a 、b 、r 的条件就可以了.③点与圆有什么位置关系,取决于点到圆心的距离和半径的大小关系.讨论结果：①圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2中,有三个参数a 、b 、r,只要求出a 、b 、r 且r ＞0,这时圆的方程就被确定了,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.②确定圆的方程的主要方法是待定系数法,即列出关于a 、b 、r 的方程组,求a 、b 、r,或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为：根据题意,设所求的圆的标准方程(x-a)2＋(y －b)2＝r 2；根据已知条件,建立关于a 、b 、r 的方程组；解方程组,求出a 、b 、r 的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程. ③点M(x 0,y 0)与圆(x －a)2+(y －b)2=r 2的关系的判断方法：当点M(x 0,y 0)在圆(x －a)2+(y －b)2=r 2上时,点M 的坐标满足方程(x －a)2+(y －b)2=r 2. 当点M(x 0,y 0)不在圆(x －a)2+(y －b)2=r 2上时,点M 的坐标不满足方程(x －a)2+(y －b)2=r 2. 用点到圆心的距离和半径的大小来说明:1° 点到圆心的距离大于半径,点在圆外 (x 0－a)2+(y 0－b)2>r 2,点在圆外;2° 点到圆心的距离等于半径,点在圆上 (x 0－a)2+(y 0－b)2=r 2,点在圆上;3° 点到圆心的距离小于半径,点在圆内 (x 0－a)2+(y 0－b)2<r 2,点在圆内.应用示例思路1例1 求以C(4,-6)为圆心,半径等于3的圆的方程.解:将圆心C(4,-6)、半径等于3代入圆的标准方程,可得所求圆的方程为(x-4)2+(y+6)2=9. 例2 已知两点M 1(4,9)和M 2(6,3).求以M 1M 2为直径的圆的方程.解:根据已知条件,圆心C(a,b)是M 1M 2的中点,那么它的坐标为a=264+=5,b=239+=6. 根据两点间距离公式,得圆的半径r=|CM 1|=10)69()54(22=-+-=10.因此,所求圆的方程是(x-5)2+(y-6)2=10.点评:A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)的中点坐标为(221x x +,221y y +). 例3 写出圆心为A(2,－3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M 1(5,－7),M 2(5-,－1)是否在这个圆上.活动:学生阅读题目,分析探求,可以从计算点到圆心的距离入手,教师巡视指导,要求学生在黑板上板书,并说明自己解题的思维过程.先由圆心坐标和半径写出圆的方程,再探究点M(x 0,y 0)与圆(x －a)2+(y －b)2=r 2的位置关系.解:圆心为A(2,－3),半径长等于5的圆的方程是(x －2)2+(y+3)2=25,把点M 1(5,－7),M 2(5-,－1)分别代入方程(x －2)2+(y+3)2=25知道,M 1的坐标满足方程,所以M 1在圆上.M 2的坐标不满足方程,M 2不在圆上.点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想.根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看点在不在圆上——从代数到几何.例4 △ABC 的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,－3),C(2,－8),求它的外接圆的方程.活动:教师引导学生从圆的标准方程(x －a)2+(y －b)2=r 2入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a 、b 、r 三个参数.另外可利用直线AB 与AC 垂直平分线的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳,提炼方法.解法一:设所求圆的标准方程为(x －a)2+(y －b)2=r 2,因为A(5,1),B(7,－3),C(2,－8)都在圆上,它们的坐标都满足方程(x －a)2+(y －b)2=r 2,于是⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-=-+-.)8()2(,)3()7(,)1()5(222222222r b a r b a r b a 解此方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.5,3,2r b a所以△ABC 的外接圆的方程为(x －2)2+(y+3)2=25.解法二:线段AB 的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段AB 的垂直平分线的方程为y+1=21(x-6),即x-2y-8=0.① 同理,线段AC 的中点坐标为(27,27-),斜率为3,所以线段AC 的垂直平分线的方程为y+27=31-(x 27-),即x+3y+7=0.② 解由①②组成的方程组得x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径r=22)31()25(++-=5.所以△ABC 的外接圆的方程为(x －2)2+(y+3)2=25.点评:△ABC 外接圆的圆心是△ABC 的外心,它是△ABC 三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路.例5 已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,－2),且圆心在直线l:x －y+1=0上,求圆心为C 的圆的标准方程.活动:学生阅读题目,分析条件,教师指导学生考虑问题的思路.(1)利用圆的标准方程(x －a)2+(y －b)2=r 2,只要能构造三个方程求出a 、b 、r 便可.(2)确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),由于圆心C 与A,B 两点的距离相等,所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线m 上,又圆心C 在直线l 上,因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点,半径长等于|CA|或|CB|.解法一:设所求的圆的标准方程为(x －a)2+(y －b)2=r 2,将点A(1,1)和B(2,－2)代入得⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=-+-.)2()2(,)1()1(222222r b a r b a 又圆心在l:x －y+1=0上,所以a-b+1=0.联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--+-=-+-,01,)2()2(,)1()1(222222b a r b a r b a解得a=-3,b=-2,r=5.所以所求的圆的标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25.解法二:因为A(1,1)和B(2,－2),所以线段AB 的中点坐标为(23,21-),直线AB 的斜率为k AB =1212---=－3,故线段AB 的垂直平分线方程为y+21=31(x 23-),即x －3y －3=0.由 ⎩⎨⎧=+-=--,01,033y x y x 解得⎩⎨⎧-=-=.2,3y x 因此圆心C 的坐标为(-3,-2),半径r=|AC|=22)21()31(+++=5,所以所求的圆的方程为(x+3)2+(y+2)2=25.点评:比较解法一与解法二,不难看出解法二直接明了,思路明确,易于理解,而解法一则笼统,较繁.圆的几何性质的运用使圆的方程的求解运算简单、方便、快捷,这也是解析几何中以形助数的精髓,在以后的解题中要注意应用.思路2例1 图4是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,在建造时每隔4 m 需用一个支柱支撑,求支柱A 2P 2的长度(精确到0.01 m).图4解:建立坐标系如图,圆心在y 轴上,由题意得P(0,4),B(10,0).设圆的方程为x 2+(y-b)2=r 2,因为点P(0,4)和B(10,0)在圆上,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+,)0(10,)4(0222222r b r b 解得⎩⎨⎧=-=.5.14,5.1022r b 所以这个圆的方程是x 2+(y+10.5)2=14.52.设点P 2(-2,y 0),由题意y 0>0,代入圆方程得(-2)2+(y 0+10.5)2=14.52,解得y 0=2225.14--10.5≈14.36-10.5=3.86(m).答：支柱A 2P 2的长度约为3.86 m.例2 求与圆x 2+y 2-2x=0外切,且与直线x+3y=0相切于点(3,-3)的圆的方程.活动:学生审题,注意题目的特点,教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解题.首先利用配方法,把已知圆的方程写成标准方程,再利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组,求出参数,得到所求的圆的方程.解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.圆x 2+y 2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1.因为两圆外切,所以圆心距等于两圆半径之和, 即22)0()1(-+-b a =r+1, （1）由圆与直线x+3y=0相切于点(3,3-),得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-∙-+)3(.)3(1|3|)2(,1)31(332r b a a b 解①②③,得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-43,r=6.故所求圆的方程为(x-4)2+y 2=4或x 2+(y+43)2=36. 点评:一般情况下,如果已知圆心(或易于求出)或圆心到某一直线的距离(或易于求出),可用圆的标准方程来求解,用待定系数法求出圆心坐标和半径.变式训练一圆过原点O 和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,求此圆的方程.解法一：因为圆心在直线y=x+2上,所以设圆心坐标为(a,a+2).则圆的方程为(x-a)2+(y-a-2)2=r 2.因为点O(0,0)和P(1,3)在圆上,所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-,)23()1(,)20()0(222222r a a r a a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.825,412r a 所以所求的圆的方程为(x+41)2+(y 47-)2=825. 解法二：由题意得圆的弦OP 的斜率为3,中点坐标为(21,23), 所以弦OP 的垂直平分线方程为y 32-=31-(x 21-),即x+3y-5=0. 因为圆心在直线y=x+2上,且圆心在弦OP 的垂直平分线上,所以由⎩⎨⎧=-++=,053,2y x x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,47,41y x ,即圆心坐标为C(41-,47). 又因为圆的半径r=|OC|=22)47()41(+-=825, 所以所求的圆的方程为(x+41)2+(y 47-)2=825. 点评:圆的标准方程中有a 、b 、r 三个量,要求圆的标准方程即要求a 、b 、r 三个量,有时可用待定系数法.要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用.例3 求下列圆的方程:(1)圆心在直线y=-2x 上且与直线y=1-x 相切于点(2,-1);(2)圆心在点(2,-1),且截直线y=x-1所得弦长为22.解:(1)设圆心坐标为(a,-2a),由题意知圆与直线y=1-x 相切于点(2,-1),所以2211|12|+--a a =22)12()2(+-+-a a ,解得a=1.所以所求圆心坐标为(1,-2),半径r=22)12()21(+-+-= 2.所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(2)设圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=r 2(r>0),由题意知圆心到直线y=x-1的距离为d=2211|112|+-+=2.又直线y=x-1被圆截得弦长为22,所以由弦长公式得r 2-d 2=2,即r=2.所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4.点评:本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关,故都利用了圆的标准方程求解,此外平面几何的性质的应用,使得解法简便了许多,所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用,从确定圆的圆心和半径入手来解决.知能训练1.说出下列圆的圆心和半径：(1)(x-3)2+(y-2)2=5；(2)(x+4)2+(y+3)2=7；(3)(x+2)2+y 2=4.2.写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点,半径是3；(2)圆心在点C(3,4),半径是5;(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)；(4)圆心在点C(1,3),并且和直线3x-4y-7=0相切.解答:1.(1)圆心坐标是(3,2),半径是5;(2)圆心坐标是(-4,-3),半径是7;(3)圆心坐标是(-2,0),半径是2.点评:已知圆的标准方程,要能够熟练地求出它的圆心和半径.2.(1)由于圆心在原点,半径是3,所以圆的标准方程为(x －0)2+(y －0)2=32,即x 2+y 2=9.(2)由于圆心在点C(3,4),半径是5,所以圆的标准方程为(x －3)2+(y －4)2=52,即(x-3)2+(y-4)2=5.(3)方法一:圆的半径r=CP=22)31()85(++-=25=5,因此,所求圆的标准方程为(x －8)2+(y+3)2=25.方法二:设圆的标准方程为(x －8)2+(y+3)2=r 2,因为圆经过点P(5,1),所以(5－8)2+(1+3)2=r 2,r 2=25,因此所求圆的标准方程为(x －8)2+(y+3)2=25.点评:这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可,要视问题的方便而定.(4)设圆的标准方程为(x －1)2+(y －3)2=r 2,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以r=25|16|25|7123|=--,因此所求圆的标准方程为(x －1)2+(y －3)2=25256. 点评:要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.拓展提升1.求圆心在直线y=2x 上且与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圆的方程.活动:学生思考交流,教师提示引导,求圆的方程,无非就是确定圆的圆心和半径,师生共同探讨解题方法.解:首先两平行线的距离d=2221||B A C C +-=2,所以半径为r=2d =1. 方法一：设与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距离相等的直线方程为3x+4y+k=0,由平行线间的距离公式d=2221||B A C C +-,得222234|3|43|7|+-=++k k ,即k=-2,所以直线方程为3x+4y-2=0.解3x+4y-2=0与y=2x 组成的方程组⎩⎨⎧==-+,2,0243x y y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.114,112y x ,因此圆心坐标为(112,114). 又半径为r=1,所以所求圆的方程为(x 112-)2+(y 114-)2=1. 方法二：解方程组⎩⎨⎧==-+x y y x 2,0743与⎩⎨⎧==++,2,0343x y y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==117,1114x y 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.113,116x y 因此圆心坐标为（112,114).又半径r=1,所以所求圆的方程为(x 112-)2+(y 114-)2=1. 点评:要充分考虑各几何元素间的位置关系,把它转化为代数问题来处理.课堂小结①圆的标准方程.②点与圆的位置关系的判断方法.③根据已知条件求圆的标准方程的方法.④利用圆的平面几何的知识构建方程.⑤直径端点是A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)的圆的方程是(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0.作业习题2—2 A 组1.设计感想圆是学生比较熟悉的曲线,求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点,为此本节布设了由浅入深的学习环境,先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系,逐步理解三个参数的重要性,自然形成待定系数法的解题思路,在突出重点的同时突破了难点.利用圆的标准方程由浅入深的解决问题,并通过圆的方程在实际问题中的应用,增强学生应用数学的意识.另外,为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,我用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,并且使学生的有效思维量加大,随时对所学知识和方法产生有意注意,能力与知识的形成相伴而行,这样的设计不但突出了重点,更使难点的突破水到渠成.。