北师大版九年级数学重难点梳理
北师大版九年级上册数学[一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识点整理及重点题型梳理](基础)
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新北师大版九年级上册初中数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（基础）【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程()002≠=++a c bx ax 中， （1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0； （2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0； （3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0. 要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0.知识点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-； ②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+； ④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++；⑦12||x x -==； ⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==；⑨12x x -==⑩12||||x x +===(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数；当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数．②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a a a ，b 为有理数）．【典型例题】 类型一、一元二次方程根的判别式的应用1．（2016•丽水）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）A ．x 2+2x +1=0B ．x 2+x +2=0C ．x 2﹣1=0D ．x 2﹣2x ﹣1=0【思路点拨】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．【答案】B ．【解析】解：A 、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；B 、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C 、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D 、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；故选：B ．【总结升华】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 举一反三：【变式】不解方程，判别方程根的情况：2210xax a -++= .【答案】无实根.2．（2015•本溪）关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0.【答案】k ＜2且k≠1；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0，解得：k ＜2且k ≠1．故答案为：k ＜2且k≠1．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件.举一反三：【变式】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3．已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一个根及k 的值．【思路点拨】根据方程解的意义，将x ＝2代入原方程，可求k 的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根．【答案与解析】方法一：设方程另外一个根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系， 得125k x +=-，1625x =-，从而解得：135x =-，k ＝-7． 方法二：将x ＝2代入方程，得5×22+2k -6＝0，从而k ＝-7． 设另外一根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得1725x +=，从而135x =-， 故方程的另一根为35-，k 的值为-7． 【总结升华】根据一元二次方程根与系数的关系12b x x a +=-，12c x x a =易得另一根及k 的值． 举一反三：【变式】已知方程220x x c -+=的一个根是3，求它的另一根及c 的值．【答案】另一根为-1；c 的值为-3．4．（2015•咸宁）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【答案与解析】解：（1）△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解方程得，x=，x1=2m，x2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根．。
北师大版数学九年级上册第四章 《图形的相似》重点题型归纳
阶段强化专题训练专题一：平行线分线段成比例常见应用技巧 类型一 证比例式技巧1 中间比代换法证比例式1.如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB. (1)求证：BCDEAB AD =； (2)若AD:DB=3:5，求CF:CB 的值.技巧2 等积代换法证比例式2.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，E 是△ABC 内一点，DE ∥BC ，过D 作AC 的平行线交CE 的延长线于F ，CF 与AB 交于P.求证：PBPAPF PE =.技巧3 等比代换法证比例式3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，求证：ADAFAB AD =.类型2 证线段相等技巧 4 等比过渡证线段相等(等比例过渡法)4.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B ＞∠A ，点D 为边AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点E ，CF ∥BA 交DE 的延长线于点F.(1)求证：DE=EF ；(2)连结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ，求证：∠B=∠A+∠DGC ．类型3 证比例和为1技巧5 同分母的中间比代换法5.如图，已知AC ∥FE ∥BD.求证：1=+BCBEAD AE专题二：证明相似三角形的方法名师点金要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；(2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例；(3)除此之外，也可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性．．．”.方法1 利用边或角的关系判定两直角三角形相似1.下面关于直角三角形相似叙述错误的是( )A.有一锐角对应相等的两个直角三角形相似B.两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C.有一条直角边相等的两个直角三角形相似D.两个等腰直角三角形相似2.如图，BC⊥AD，垂足为C，AD=6.4，CD=1.6，BC=9.3，CE=3.1.求证：△ABC∽△DEC.方法2 利用角判定两三角形相似3.如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE 交于点 E. (1)求证：△ABD∽△CED； (2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．方法3 利用边角判定两三角形相似4.如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE. 方法4 利用三边判定两三角形相似5.如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF∽△ABC.专训三巧作平行线构造相似三角形名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．训练角度1 巧连线段的中点构造相似三角形1.如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP:PQ:QD.训练角度 2 过顶点作平行线构造相似三角形2.如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB 上一点，BF:AF＝3:2，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求BE:EC的值．3.如图，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E.求证：AE:ED＝2AF:FB.训练角度 3 过一边上的点作平行线构造相似三角形4.如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证: BP:CP=BD:EC.训练角度 4 过一点作平行线构造相似三角形5.如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE=41AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC＝2CD. 作辅助线的方法一：作辅助线的方法二：作辅助线的方法三：作辅助线的方法四：全章整合提升密码专训一：证比例式或等积式的技巧 名师点金证比例式或等积式，若遇问题中无平行线或相似三角形时，则需构造平行线或相似三角形，得到等比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．技巧1 构造平行线法1.如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ， 求证：AE ·CF ＝BF ·EC.2.如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，试证明：AB ·DF ＝BC ·EF.技巧2 三点找三角形相似法3.如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F. 求证：DC AE ＝CF AD.4.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB于E.求证：AM 2＝MD ·ME.技巧3 构造相似三角形法5.如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点M ，N. 求证：BP ·CP ＝BM ·CN.技巧4 等比过渡法6.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF ＝∠ABE. 求证：(1)△DEF ∽△BDE ；(2)DG ·DF ＝DB ·EF.7.如图，CE 是Rt △ABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP于点G ，交CE 于点D. 求证：CE 2＝DE ·PE.技巧5 两次相似法8.如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F. 求证：BF BE ＝ABBC.9.如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证：(1)△AMB ∽△AND ；(2)AM AB ＝MNAC.技巧6 等积代换法10.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：AE AF ＝ACAB.技巧7 等线段代换法11.如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE ·PF.12.已知：如图，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.求证：PD 2＝PB ·PC.专训二 巧用“基本图形”探索相似条件 名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图： 1.平行线型2.相交线型3.子母型4.旋转型训练角度1 平行线型1.如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证：AE ·BC ＝BD ·AC ； (2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．训练角度2 相交线型2.如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DOCO ，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．训练角度3 子母型3.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DFAF.训练角度4 旋转型 4.如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)AD AE ＝BD CE.专训三 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系 名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．训练角度1 证明两线段的数量关系 类型1： 证明两线段的相等关系1.如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，直线AO 与BC 边交于点M ，与DE 交于点N. 求证：BM ＝MC.2.如图，一直线和△ABC 的边AB ，AC 分别交于点D ，E ，和BC 的延长线交于点F ，且AE:CE ＝BF:CF. 求证：AD ＝DB.类型2 证明两线段的倍分关系3.如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，∠A ＝60°，求证：DE ＝12BC.4.如图，AM 为△ABC 的角平分线，D 为AB 的中点，CE ∥AB ，CE 交DM 的延长线于E. 求证：AC ＝2CE.训练角度2 证明两线段的位置关系 类型1：证明两线段平行 5.如图，已知点D 为等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上一点，连接CD ，DE ⊥CD ，DE ＝CD ，连接CE ，AE.求证：AE ∥BC.6.在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AB ，AC 上的点，EF ∥BC ，DF ∥AB ，连接CE 和AD ，分别交DF ，EF 于点N ，M.(1)如图①，若E 为AB 的中点，图中与MN 平行的直线有哪几条？请证明你的结论； (2)如图②，若E 不为AB 的中点，写出与MN 平行的直线，并证明．类型2 证明两线垂直7.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC2＝AB ·AD ，BC 2＝BA ·BD ，求证：CD ⊥AB.8.如图，已知矩形ABCD ，AD ＝13AB ，点E ，F把AB 三等分，DF 交AC 于点G ，求证：EG ⊥DF.专训四巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质，位似图形必须具备三个条件：(1)两个图形相似；(2)对应点的连线相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上.类型1 三角形的内接正三角形问题1.如图,用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形,阅读后证明相应问题.画法:①在△AOB内画等边三角形CDE,使点C在OA上,点D在OB上；②连接OE并延长,交AB于点E′,过点E′作E′C′∥EC,交OA于点C′,作E′D′∥ED,交OB于点D′；③连接C′D′,则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形.求证:△C′D′E′是等边三角形.类型2 三角形的内接矩形问题2.求作:内接于已知△ABC的矩形DEFG,使它的边EF在BC上,顶点D,G分别在AB,AC上,并且有DE∶EF=1∶2.类型 3 三角形的内接正形问题(方程思想)3.如图,△ABC 是一块锐角三角形余料,边BC=120mm ,高AD=80mm ,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边QM 在BC上,其余两个顶点P ,N 分别在AB,AC上,则这个正方形零件的边长是多少?4.(1)如图①,在△ABC 中,点D ,E ,Q 分别在AB ,AC ,BC 上,且DE ∥BC ,AQ交DE 于点P.求证:DP：BQ=PE：QC.(2)在△ABC 中,∠BAC =90°,正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上,连接AG ,AF ,分别交DE 于M ,N 两点.①如图②,若AB=AC=1,直接写出MN的长；②如图③,求证:MN²=DM·EN.专训五： 图形的相似中的五种热门考点 名师点金：相似是初中数学的重要内容，也是中考重点考查内容之一，而对于成比例线段、相似三角形的判定与性质、位似图形等都是命题的热点．考点一： 比例线段及性质1.下列各组长度的线段，成比例线段的是( )A. 2 cm ，4 cm ，4 cm ，8 cmB. 2 cm ，4 cm ，6 cm ，8 cmC. 1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmD. 2.1 cm ，3.1 cm ，4.3 cm ，5.2 cm2．若a 2＝b 3＝c 4＝d 7≠0，则a ＋b ＋c ＋d c ＝________.3．如图，乐器上的一根弦AB ＝80 cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，则支撑点C 到端点A 的距离约为________．(5≈2.236，结果精确到0.01)考点二： 平行线分线段成比例4.如图，若AB ∥CD ∥EF ，则下列结论中，与AD AF 相等的是( ) A.AB EF B.CD EF C.BO OE D.BC BE5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，以AC 为边向三角形外作正方形ACDE ，连接BE 交AC 于F ，若BF ＝ 3 cm ，则EF ＝________.6.如图，在△ABC 中，AM ∶MD ＝4∶1，BD ∶DC ＝2∶3，求AE ∶EC 的值．考点三 相似三角形的性质与判定7.已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为3∶4，则△ABC 与△DEF 的面积之比为( ) A.4:3 B.3:4 C.16:9 D.9:168.在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，且AE ∶ED ＝3∶1，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，则S △AEF ∶S 四边形ABCE 为( ) A.3∶4 B.4∶3 C.7∶9 D.9∶79.若两个相似多边形的面积之比为1∶4，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是________．10.如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F.(1)求证：FD 2＝FB ·FC ； (2)若FB ＝5，BC ＝4，求FD 的长．11.如图，四边形ABCD 是正方形，BD 是对角线，BE 平分∠DBC 交DC 于点E ，点F 是BC 的延长线上一点，且CE ＝CF ，BE 的延长线交DF 于点M.(1)求证：BM ⊥DF ； (2)若正方形ABCD 的边长为2，求ME ·MB.考点四相似三角形的应用12.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度CD.如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM 与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高度CD.(结果精确到0.1 m)13.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm.为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF的长应为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)考点五图形的位似14.如图，已知正方形ABCD，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形A′B′C′D′，则点C′的坐标为________．15.如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点上．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C 的周长．(结果保留根号)专训六全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧．考点一：3个概念概念1：成比例线段1.下列各组线段，是成比例线段的是( )A.3cm，6cm，7cm，9cmB.2cm，5cm，0.6dm，8cmC.3cm，9cm，1.8dm，6cmD.1cm，2cm，3cm，4cm2.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m，在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，则其他两边的实际长度都是________m.概念2：相似多边形3.如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D′＝∠D，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是否相似，并说明理由．概念3：位似图形4.如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a，b)，求点B的坐标．考点二： 2个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？性质2：相似三角形的性质6.如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC 与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．考点三： 1个判定——相似三角形的判定7.如图，△ACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接AE，过C作CO⊥AB于O.求证：△ACE ∽△OCD.8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l交⊙O 于另一点D，垂足为点E.设P是上异于点A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC 与PD，PD交AB于点G. (1)求证：△PAC∽△PDF； (2)若AB＝5，弧AP＝弧BP，求PD 的长．考点四： 2个应用应用1：测高的应用9.如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2 m，那么这棵树的高度是多少？应用2：测宽的应用10.如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．考点五： 1个作图——作一个图形的位似图形11.如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点O 为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC的位似图形．考点六： 1个技巧——证明四条线段成比例的技巧12.如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q. (1)求∠PAQ的度数； (2)若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM·BM.。
北师大版九年级数学重难点梳理
北师大版九年级数学重难点梳理〔上册〕第一章特殊平行四边第一节菱形的性质与判定重难点：1.掌握菱形的概念、性质以及判定方法，理解菱形与平行四边形之间的联系。
2.会用菱形的性质和判定方法来进展有关的论证和计算，会用菱形的对角线来计算菱形的面积。
3.通过菱形与平行四边形关系的研究，进一步加深对“特殊〞与“一般〞的关系。
第二节矩形的性质与判定重难点：1.探索并掌握矩形性质及矩形的判定定理2.矩形的轴对称性3.直角三角形斜边上的中线的性质4.矩形的判定〔难点〕第三节正方形的性质与判定重难点：1.掌握正方形的概念、性质及判定方法，学会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法。
2.能够用综合法证明正方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论，经历探索、猜测、证明的过程，开展推理论证能力。
第二章一元二次方程第一节认识一元二次方程重难点：1.理解一元二次方程的概念，会判断一个方程是不是一元二次方程。
2.会将一元二次方程转化为一般形式，并能指出各项系数及常数项。
3.会用估算的方法求一元二次方程的近似解。
〔难点〕第二节用配方法求解一元二次方程重难点：1.用直接开平方法解一元二次方程2.配方法解一元二次方程3.配方法的应用〔难点〕4.求解简单的实际问题第三节用公式法求解一元二次方程重难点：1.一元二次方程的求根公式〔难点〕2.公式法解一元二次方程3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况第四节用因式分解法求解一元二次方程重难点：1.因式分解法解一元二次方程2.选择适当的方法解一元二次方程〔难点〕第五节一元二次方程的根与系数的关系重难点：1.知道一元二次方程的根与系数的关系。
能运用根与系数的关系求一元二次方程的两根之和，两根之积及与两根有关的代数式的值。
2.能运用根与系数的关系由一元二次方程的一个根求出另一个根或由方程的根确定一元二次方程的系数。
第六节应用一元二次方程重难点：1.能根据具体问题的数量关系列出一元二次方程并求解，并能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理。
北师大版九年级数学下册教材分析
北师大版九年级数学下册教材分析一、引言与课程概述北师大版九年级数学下册作为中学数学教育的重要阶段，承担着巩固和拓展学生数学基础知识的任务。
本册教材在内容上更加注重知识的系统性和深度，旨在培养学生的逻辑思维、空间想象能力和数学应用能力。
通过本册教材的学习，学生将进一步掌握代数、几何、概率统计等核心数学知识，为后续的高中数学学习奠定坚实基础。
二、重点与难点解析本册教材的重点主要包括一元二次方程、函数初步、圆和三角函数等内容。
难点则在于一元二次方程的解法、函数的图像与性质、圆的性质及其应用等方面。
教师在教学过程中需要针对这些重点和难点进行有针对性的讲解和练习，帮助学生突破难点，掌握重点。
三、教学内容与方法本册教材的教学内容涵盖了代数、几何、概率统计等多个领域。
在教学方法上，教师应注重启发式教学，引导学生主动思考、探索和实践。
同时，还应注重培养学生的数学素养和综合能力，提高他们的数学应用意识和创新能力。
四、章节结构与顺序本册教材的章节结构清晰，顺序合理。
教材按照数学知识的逻辑顺序和学生的认知规律进行编排，每个章节都围绕一个核心知识点展开，由浅入深、循序渐进。
这种编排方式有助于学生逐步掌握数学知识，形成完整的数学知识体系。
五、与前册联系与对比与前册相比，本册教材在内容上更加深入和广泛。
它以前册为基础，对已有知识点进行拓展和延伸，同时引入新的知识点和概念。
教师在教学过程中需要注重与前册的衔接和对比，帮助学生建立数学知识之间的联系和脉络。
六、实际应用案例分析本册教材在编写过程中注重实际应用的案例分析。
通过设置具有实际应用背景的例题和习题，帮助学生理解和掌握数学知识在实际生活中的应用方法和技巧。
同时，通过分析案例，还可以培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
七、习题与解题策略教材中的习题是巩固和检验学生学习成果的重要手段。
本册教材的习题设计丰富多样，包括基础题、提高题和综合题等多个层次。
教师在教学过程中需要注重解题策略的指导，帮助学生掌握解题方法和技巧，提高解题速度和准确性。
北师大版九年级下册数学第7讲《待定系数法求二次函数的解析式》知识点梳理
1 2 北师大版九年级下册数学第 7 讲《待定系数法求二次函数的解析式》知识点梳理【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式1. 二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式： y = ax 2 + bx + c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式： y = a (x - h )2 + k (a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) ( x 1 ， x 2 为抛物线与 x 轴交点的横坐标，a ≠0)．2. 确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如 y = ax 2 + bx + c 或 y = a (x - h )2 + k ，或 y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) ，其中 a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为 y = ax 2 + bx + c ；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为y = a (x - h )2 + k ；③当已知抛物线与 x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为 y = a (x - x )(x - x ) ．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1. 已知抛物线 经过 A ，B ，C 三点，当 时，其图象如图 1 所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.⎩∴ ⎪图 1【答案与解析】设所求抛物线的解析式为 （ ）.由图象可知 A ，B ，C 的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）.⎧c = 2, ⎨16a + 4b + c = 0, ⎪25a + 5b + c = -3， 解之，得抛物线的解析式为该抛物线的顶点坐标为 .【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围 .2. （2016•丹阳市校级模拟）形状与抛物线 y=2x 2﹣3x +1 的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是 （0，﹣5）的抛物线的关系式为 ．【思路点拨】形状与抛物线 y=2x 2﹣3x +1 的图象形状相同，但开口方向不同，因此可设顶点式为 y=﹣2（x ﹣h ） 2+k ，其中（h ，k ）为顶点坐标．将顶点坐标（0，﹣5）代入求出抛物线的关系式．【答案】y=﹣2x 2﹣5．【解析】解：∵形状与抛物线 y=2x 2﹣3x +1 的图象形状相同，但开口方向不同，设抛物线的关系式为 y=﹣2（x ﹣h ）2+k ，将顶点坐标是（0，﹣5）代入，y=﹣2（x ﹣0）2﹣5，即 y=﹣2x 2﹣5．∴抛物线的关系式为y=﹣2x2﹣5．【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．3.已知抛物线的顶点坐标为（－1，4），与轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式.【答案与解析】因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为，又因为抛物线与轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为：，，则两交点的坐标为（，0）、（2，0）；求函数的函数关系式可有两种方法：解法(1) ：设抛物线的函数关系式为顶点式：(a≠0)，把（2，0）代入得，所以抛物线的函数关系式为；解法(2) ：设抛物线的函数关系式为两点式：y =a(x + 4（)x- 2）(a≠0)，把（－1，4）代入得，所以抛物线的函数关系式为：y=-4(x+4（)x- 2）；9【总结升华】在求函数的解析式时，要根据题中所给条件选择合适的形式.举一反三：【变式】（2014•永嘉县校级模拟）已知抛物线经过点（1，0），（﹣5，0），且顶点纵坐标为，这个二次函数的解析式．【答案】y=﹣x 2﹣2x+ .提示：设抛物线的解析式为y=a（x+2）2+，将点（1，0）代入，得a（1+2）2+=0，解得a=﹣，即y=﹣（x+2）2+ ，∴所求二次函数解析式为y=﹣x2﹣2x+ ．类型二、用待定系数法解题⎩ ⎩4.（2015 春•石家庄校级期中）已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据，（1） 求二次函数的解析式；（2） 设此二次函数的顶点为 P ，求△ABP 的面积．【答案与解析】解：（1）由二次函数图象知，函数与 x 轴交于两点（﹣1，0），（3，0），设其解析式为：y=a （x+1）（x ﹣3），又∵函数与 y 轴交于点（0，2），代入解析式得，a ×（﹣3）=2，∴a=﹣ ，∴二次函数的解析式为：，即；（2） 由函数图象知，函数的对称轴为：x=1， 当 x=1 时，y=﹣×2×（﹣2）= ，∴△ABP 的面积 S===．【总结升华】此题主要考查二次函数图象的性质，对称轴及顶点坐标，另外巧妙设函数的解析式，从而来减少计算量.【答案与解析】(1)把 A(2，0)，B(0，-6)代入 y = - 1 x 2 + bx + c 2得⎧-2 + 2b + c = 0, 解得⎧b = 4, ⎨c = -6, ⎨c = -6. ∴ 这个二次函数的解析式为 y = - 1 x 2 + 4x - 6 ． 2(2)∵ 该抛物线的对称轴为直线 x = - 4 2 ⨯⎛ - 1 ⎫= 4 ， 2 ⎪ ⎝ ⎭ ∴ 点 C 的坐标为(4，0)，∴AC＝OC-OA＝4-2＝2．∴S△ABC =1g AC g OB =1⨯ 2 ⨯ 6 = 6 ．2 2【总结升华】求△ABC 的面积时，一般要将坐标轴上的边作为底边，另一点的纵（横）坐标的绝对值为高进行求解．(1)将A、B 两点坐标分别代入解析式求出b，c 的值．(2)先求出点C 的坐标再求出△ABC 的面积．举一反三：⎛0 3 ⎫【变式】已知二次函数图象的顶点是(-1，2) ，且过点 ⎝ ，⎪．2 ⎭（1）求二次函数的表达式；（2）求证：对任意实数m，点M (m，-m2 ) 都不在这个二次函数的图象上.【答案】（1）y =-1 x 2-x +3 ；2 2（2）证明：若点M (m，-m2 ) 在此二次函数的图象上，则-m2=-1(m+1)2+2．2得m2- 2m + 3 = 0 ．△=4 -12 =-8 < 0 ，该方程无实根．所以原结论成立．。
北师大版-数学-九年级上册-位似图形的概念、性质与画法 重难点突破
初中-数学-打印版
位似图形的概念、性质与画法重难点突破
位似图形的准确作图及动手能力的落实
突破建议
1．对位似中心与图形的位置关系进行分类
如在进行“已知位似中心点O与△ABC，画△ABC关于点O的位似图形”的教学时，可以采用开放式的探讨方式，给出问题交给学生交流讨论：
（1）如果位似中心点O是一动点，则点O与△ABC有几种位置关系，画出示意图．
（2）分别以O为位似中心，将△ABC放大或缩小．让学生经历猜想，实验，总结的过程，将成果展示给所有人，对学生掌握图形分类思想方法和自我反思归纳的思维方式有很大的帮助．
2．对作图方法的模仿、归纳和总结
在教学时，规范点O在△ABC外部时候的作图方法，并强调作图的三个步骤：一是连接位似中心与三角形三个顶点，二是根据相似比截取对应点，三是顺次连接对应点到位似图形．
初中-数学-打印版。
九年级数学上册 第二章《一元二次方程》重难点分析素材 北师大版(2021年整理)
九年级数学上册第二章《一元二次方程》重难点分析素材（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第二章《一元二次方程》重难点分析素材（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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一元二次方程重难点分析许多现实问题的数量关系都可以抽象为一元二次方程，与前面所学的方程比较，一元二次方程有更广泛的应用，是初中学生体会和理解数学与外部世界联系的重要载体．教科书充分考虑到一元二次方程的这一地位，教学中要体现好这一编写意图，注意让学生经历建立和求解一元二次方程模型的完整过程，即从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立一元二次方程表示数学问题中的数量关系，求出结果、并讨论结果的意义，从而把模型思想、应用意识的培养落在实处．在建立数学模型解决实际问题的过程中，难点在于数量关系的分析和数学模型的选择，本章也不例外．教学中应注意引导学生仔细分析题意，借助适当的直观工具，如画图、列表等,找出问题中的已知量、未知量，找到关键词并由此确定等量关系，进而建立一元二次方程．要注意培养学生良好的解题习惯，包括借助直观方法分析题意、检验所得方程及其根的实际意义，找出合乎实际的结果等．课本用了两个实际问题（面积问题、比赛问题）引出一元二次方程的概念．学生必须理解题目、解决这个问题了,再进行观察思考,找出方程的共同点,最后根据以往的经验知道这不是以往学过的方程,从而学习新知识．而学生在解决这两个问题后,教科书还对所列的方程进行化简、特别是比赛的问题,还将方程的二次项系数化为1，学生难于理解为什么这样做．为了避免一节课的时间的大部分都放在引导解决问题上，导致一元二次方程概念这一重点内容难以落实和这一难点不易突破,建议老师们在教学中，可以根据自己学生的实际情况，设计符合本班学生思维特点的教学过程．如除了两个实际问题都讲的设计之外，可以考虑仅用一个具体的实际问题来引入,并辅之以类比教学，与以往学习过的一元一次方程、二元一次方程（组）进行类比教学，减少难点问题带来的对教学重点的冲击，也体现了知识的系统性，体现了知识的螺旋上升的知识结构．更方便学生理解新旧知识的差异性与共同性,使学生对同类型的知识进行归纳梳理，找到学习一类问题的方法．。
北师大版九年级数学(上册)重点知识点归纳整理
九年级数学上册知识点归纳（北师大版）第一章特殊平行四边形第二章一元二次方程第三章概率的进一步认识第四章图形的相似第五章投影与视图第六章反比例函数（八下前情回顾）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形．．．．．，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线．．．。
※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。
这个距离称为平行线之间的距离。
第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
2矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。
北师大版-数学-九年级上册-封面设计问题与一元二次方程 重难点突破
封面设计问题与一元二次方程重难点突破一元二次方程的两个根不一定都是实际问题的解，本节的重难点是根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．突破建议1．列方程解应用题的步骤是：审题，设未知数，列方程，解方程，检验，答题．实际问题的解，不仅要满足所列方程，还应符合实际问题的具体题意．因此，求出方程的解后一定要进行检验，以确定实际问题的答案．在以前学习一元一次方程、二元一次方程组的应用题时，因为一般只有一个（组）解，往往符合实际意义，所以很少检验是否符合题意．而列一元二次方程解应用题时，方程的解一般有两个，这时就需要判断两个解是否都符合题意．2．要注意培养学生良好的解题习惯，包括借助直观方法分析题意、检验所得方程及其根的实际意义，找出合乎实际的结果等．方程的解是不是实际问题的解，要根据实际意义来判断，不能想当然地主观判断．例如，在探究1中，方程有负数解，不符合实际意义需舍掉；在探究2、3中，虽然方程的两个解都是正数，但实际问题要求的解有范围限制，有的方程的解不在要求的范围内，所以它们并不都是实际问题的解；有时实际问题要求是整数解时，方程有分数解，不符合实际意义需舍掉．例有30 m长的围栏，要围成一个矩形的养鸡场．（1）若养鸡场面积为50 m2，求矩形两边的长；（2）若利用一面足够长的围墙作矩形的一边，能否围成面积为100 m2的养鸡场？（3）若围墙的长是15 m，能否围成面积为100 m2的养鸡场？（4）在（3）的条件下，能否围成面积为120 m2的养鸡场？（5）在（3）的条件下，养鸡场能围成的最大面积是多少？解析：（1）直接设矩形的一边长为m，则另一边长为m．利用矩形的面积公式直接列方程，求解，得，．经检验都符合条件，则矩形两边的长分别为10 m和5 m；（2）如图2，设与墙相连的一边长为m，则与墙相对的一边长为m．列方程，求解，得，．经检验都符合题意，则矩形两边的长分别为20 m和5 m或10 m和10 m时，能围成面积为100 m2的养鸡场；（3）因为增加了限制范围，所以由（2）可知不符合题意，应舍去．则矩形两边的长分别为10 m和10 m时，能围成面积为100 m2的养鸡场；（4）依题意，列方程得，整理得．由于判别式小于0，可知方程无实数解；（5）依题意，养鸡场围成面积，配方得．所以最大面积为m2．。
北师大版九年级下册数学[圆的对称性—知识点整理及重点题型梳理](提高)
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北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习圆的对称性—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系；3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用.【要点梳理】要点一、圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．要点诠释：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.要点三、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.要点四、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）要点五、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角与弧的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．2. 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1.（2015春•安岳县月考）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．【答案与解析】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=OE=1，在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF==，则CD=2DF=2．【总结升华】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三：【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，∴12MO HN CN CH CD CH==-=-11()(38)3 2.522CH DH CH=+-=+-=，111()(46)5222BM AB BH AH==+=+=，∴在Rt△BOM中，OB==【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.【答案】14cm.2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)图1 图2(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【总结升华】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3.（2015•普陀区一模）如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）【答案与解析】解：过点O作OD⊥AC于点D，则AD=BD，∵∠OAB=45°，∴AD=OD，∴设AD=x，则OD=x，OA=x，CD=x+BC=x+50）．∵∠OCA=30°，∴=tan30°，即=，解得x=25﹣25，∴OA=x=×（25﹣25）=（25﹣25）（米）．答：人工湖的半径为（25﹣25）米．【总结升华】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4. 不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如图所示，在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；在图②中AB、CD交于⊙O内一点；在图③中AB∥CD．(2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF．(3)证明：过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG＝GD．∵ AE⊥l于E，BF⊥l于F，∴ AE∥OG∥BF．∵ AB为直径，∴ AO＝OB，∴ EG＝GF，∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．【总结升华】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形. 类型三、圆心角、弧、弦之间的关系及应用5.已知：如图所示，⊙O 中弦AB ＝CD ．求证：AD ＝BC ．【思路点拨】本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD ＝BC ，只需证AD BC =或证∠AOD＝∠BOC 即可．【答案与解析】证法一：如图①，∵ AB ＝CD ，∴ A B C D =．∴ A B B DC D B D -=-，即AD BC =， ∴ AD ＝BC ．证法二：如图②，连OA 、OB 、OC 、OD ，∵ AB ＝CD ，∴ ∠AOB ＝∠COD ．∴ ∠AOB －∠DOB ＝∠COD －∠DOB ，即∠AOD ＝∠BOC ，∴ AD ＝BC ．【总结升华】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理．举一反三：【变式】如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ． 求证：AC BD =．【答案】证法一：如上图所示，连OC、OD，则OC＝OD，∵OA＝OB，且12OM OA=，12ON OB=，∴OM＝ON，而CM⊥AB，DN⊥AB，∴Rt△COM≌Rt△DON，∴∠COM＝∠DON，∴A C B D=．证法二：如下图，连AC、BD、OC、OD．∵M是AO的中点，且CM⊥AB，∴AC＝OC，同理BD＝OD，又OC＝OD．∴AC＝BD，∴A C B D=．。
北师大版九年级数学重难点梳理
了解锐角三角函数在测量、物理等领域的应用， 能够运用三角函数解决实际问题，如计算角度、 距离等。
圆的性质与定理
圆的基本性质
理解圆的基本概念，如圆心、半径、直径等，掌握圆的基本性质，如圆的对称性、圆心角 与弧的关系等。
圆的定理
熟悉与圆相关的定理，如垂径定理、切线长定理、割线定理等，能够运用这些定理解决与 圆相关的问题。
圆的应用
了解圆在几何图形中的应用，如计算面积、周长等，能够运用圆的知识解决实际问题。同 时，也要掌握与圆相关的综合问题解决方法，如圆与三角形、四边形等的综合问题。
04
数论部分重难点
整除与带余除法
整除的概念及性质
01
理解整除的定义，掌握整除的基本性质，如传递性、可加性等
。
带余除法定理及应用
02
掌握带余除法的定义及定理，能够运用带余除法解决相关问题
式分解法
一元二次方程根与系数的关系 （韦达定理）
一元二次方程的应用
二次函数
二次函数的定义及一般形式
二次函数的图象与性质：开 口方向、对称轴、顶点坐标
、最值等
02
01 03
二次函数的平移与对称
二次函数与一元二次方程的 联系
04
05
二次函数的应用
代数式的运算
整式的加减乘除运算
代数式的化简求值：直接代入法、整体代入法、特殊值 法等
经典计数问题
包括抽屉原理、容斥原理、鸽巢原理等，这些问题在解决一些看 似复杂的问题时非常有用。
概率初步知识与事件概率计算
概率的基本概念
古典概型与几何概型
概率是描述随机事件发生可能性大小的数 值，其取值范围在0到1之间。
古典概型是指每个样本点等可能出现且样 本空间有限的情况，几何概型则是指样本 点无限且等可能出现的情况。
北师大版九年级数学上册1.1菱形的性质与判定重难点题型总结
1.1菱形的性质与判定-重难点题型【题型1 菱形的性质（求角度）】【例1】如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°【变式1-1】如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD 沿DE折叠，点C落在AB边的垂直平分线上的点C′处，则∠DEC的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【变式1-2】如图，在菱形ABCD中，点M、N分别交于AB、CD上，AM＝CN，MN与AC 交于点O，连接BO．若∠OBC＝62°，则∠DAC为°．【变式1-3】如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝110°，AB的垂直平分线交AC于点N，点M 为垂足，连接DN ，则∠CDN 的大小是 ．【题型2 菱形的性质（求长度）】【例2】如图，在菱形ABCD 中，BC ＝10，点E 在BD 上，F 为AD 的中点，FE ⊥BD ，垂足为E ，EF ＝4，则BD 长为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．16【变式2-1】如图四边形ABCD 为菱形，点E 为BC 的中点，点F 在CD 上，若∠DAB ＝60°，∠DF A ＝2∠EAB ，AD ＝4，则CF 的长为（ ）A ．45B ．45√3C ．65D ．85 【变式2-2】如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13cm ，AC ＝24cm ，E ，F 分别是CD 和BC 的中点，连接EF 并延长与AB 的延长线相交于点G ，则EG 的长度为 cm ．【变式2-3】如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且CE ＝DF ，BF 与DE 交于点G ，若BG ＝3，DG ＝5，则CD ＝ ．【题型3 菱形的性质（等积法）】【例3】如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ．过O 作OE ⊥AB 于点E ．延长EO 交CD 于点F ，若AC ＝8，BD ＝6，则EF 的值为（ ）A ．5B ．125C ．245D ．485【变式3-1】如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC ＝6，BD ＝8，过A 点作AE 垂直BC ，交BC 于点E ，则BE CE 的值为（ ）A ．512B ．725C ．718D ．524【变式3-2】如图，在菱形ABCD 中，AB ＝10，AC ＝16，过点D 作DE ⊥BA ，交BA 的延长线于点E ，则线段DE 的长为 ．【变式3-3】如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，AB＝3，点E在BC上，且BE＝2EC，BF⊥AE，垂足为F，则BF的值为．【题型4 菱形的判定（选择条件）】【例4】在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（）A．∠AOB＝60°B．AC⊥BD C．AC＝BD D．AB⊥BC【变式4-1】已知平行四边形ABCD，下列条件：①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD．其中能使平行四边形ABCD是菱形的有（）A．①③B．②③C．③④D．①②③【变式4-2】如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（）A．OM=12AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND【变式4-3】如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF ∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有．（只填写序号）【题型5 菱形的判定（证明题）】【例5】如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BD平分∠ABC，求证：四边形AECF是菱形．【变式5-2】已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．（1）求证：OE=12AC；（2）如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形．【变式5-3】如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．（1）求证△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形．【变式5-3】如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB 延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A＝50°，则当∠ADE＝°时，四边形BECD是菱形．【题型6 菱形的判定与性质综合（最值问题）】【例6】如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（）A．3√3B．3+3√3C．6+√3D．6√3【变式6-1】如图，菱形ABCD的边长为2√3，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且EF＝2，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是（）A．4B．4+√3C．2+2√3D．6【变式6-2】如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于．【变式6-3】如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．【题型7 菱形的判定与性质综合（多结论问题）】【例7】如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD=12AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论：①CN⊥BD；②MN＝NP；③四边形MNCP是菱形；④ND平分∠PNM．其中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【变式7-1】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G 分别是OC，OD，AB的中点．下列结论正确的是（）①EG＝EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．A．③⑤B．①②④C．①②③④D．①②③④⑤【变式7-2】如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF 相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF ≌△CGB；④S菱形ABCD＝AB2；⑤2DE=√3DC；⑥BF＝BC，正确结论的有（）个．A．1B．2C．3D．4【变式7-3】如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①∠DBC＝60°：②△AED≌△DFB；③GC与BD一定不垂直；④∠BGE 的大小为定值．其中结论正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【题型8 菱形的判定与性质综合（动点问题）】【例8】如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5cm ，∠ADC ＝120°，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1cm /s ，点F 的速度为2cm /s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为（ ）A ．34B ．43C ．32D ．53 【变式8-1】如图，菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝8，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是线段OC 上一动点，F 是射线AD 上一动点，若∠BEF ＝120°，则在点E 运动的过程中，EF 长度为整数的个数有（ ）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【变式8-2】如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ．AB ＝10，AC ＝12，BD ＝16．（1）求证：▱ABCD 是菱形；（2）若点P 是对角线BD 上一动点（不与点B 、D 重合），PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，PE +PF 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【变式8-3】如图1，四边形ABCD 为菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为OC 上的动点．（1）当AD ＝AE 时，OE ＝1，OD ＝5，求菱形ABCD 的面积；（2）如图2，当OE ＝OD 时，过点A 作CD 的垂线，垂足为F ，交ED 延长线于点G ，求证：GE=√2AO．。
九年级数学下册知识讲义-3圆内接正多边形(附练习及答案)-北师大版
一、考点突破1. 了解圆内接正多边形的有关概念。
2. 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系。
3. 会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形。
二、重难点提示重点：圆内接正多边形的定义及相关性质。
难点：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。
考点精讲 1. 圆内接正多边形的有关概念 ① 顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形。
这个圆叫做该正多边形的外接圆。
② 正多边形的中心、半径、边心距、中心角正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径；正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距；正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
如图：五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， 圆心O 叫做这个正五边形的中心； OA 是这个正五边形的半径； OM 是这个正五边形的边心距。
AOB 叫做这个正五边形的中心角。
A E【要点诠释】① 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
② 求正n 边形中心角的常用方法：正n 边形有n 条边，每条边对应一个中心角，所以正n 边形的中心角为。
（正n 边形中心角度数与正n 边形的一个外角相等）2. 特殊的圆内接正多边形的半径、弦心距、边长之间的关系① 正三角形——在中进行：；② 正四边形——在中进行，；③ 正六边形——在中进行，。
D E OC OB O D B A CA A B【规律总结】正多边形的外接圆半径R 与边长a 、边心距r 之间的关系：R 2＝r 2＋（a ）2，连接正n 边形的半径，弦心距，把正n 边形的有关计算转化为直角三角形中的问题。
典例精讲例题1 （义乌市）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如下图所示方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（ ）A. 5：4B. 5：2C.：2D.：思路分析：先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可。
北师大版九年级数学重难点梳理
北师大版九年级数学重难点梳理北师大版九年级数学重难点梳理（上册）第一章特殊平行四边第一节菱形的性质与判定重难点：1.掌握菱形的概念、性质以及判定方法，理解菱形与平行四边形之间的联系。
2.会用菱形的性质和判定方法来进行有关的论证和计算，会用菱形的对角线来计算菱形的面积。
3.通过菱形与平行四边形关系的研究，进一步加深对“特殊”与“一般”的关系。
第二节矩形的性质与判定重难点：1.探索并掌握矩形性质及矩形的判定定理2.矩形的轴对称性3.直角三角形斜边上的中线的性质4.矩形的判定（难点）第三节正方形的性质与判定重难点：1.掌握正方形的概念、性质及判定方法，学会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法。
2.能够用综合法证明正方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论，经历探索、猜想、证明的过程，发展推理论证能力。
第二章一元二次方程第一节第二节应用一元二次方程重难点：1.能根据具体问题的数量关系列出一元二次方程并求解，并能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理。
2.经历“问题情境--建立模型--模型求解--解释与应用”的过程，获取更多分析和解决实际问题的方法和经验。
第三章概率的进一步认识第一节用树状图或表格求概率第二节用频率估计概率本章重点：用画树状图法或列表法计算较复杂的随机事件发生的概率，会用稳定的频率估计概率。
本章难点：用画树状图法或列表法计算较复杂的随机事件发生的概率。
第四章图形的相似第一节成比例线段重难点：1.认识形状相同的图形。
2.结合实例能识别出现实生活中形状相同，大小、位置不同的图形。
3.了解线段的比和比例线段的概念，掌握两条线段的比求法。
4.理解并掌握比例的性质（难点），能通过比例式变形解决一些实际问题。
（重点）第二节平行线分线段成比例重难点：1.理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论。
2.会熟练运用平行线分线段成比例的基本事实及其推论计算线段的长度。
第三节相似多边形1.了解相似多边形和相似比的概念2.能根据条件判断出两个多边形是否为相似多边形3.掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行简单的计算。
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北师大版九年级数学重难点梳理The latest revision on November 22, 2020北师大版九年级数学重难点梳理（上册）第一章特殊平行四边第一节菱形的性质与判定重难点：1.掌握菱形的概念、性质以及判定方法，理解菱形与平行四边形之间的联系。
2.会用菱形的性质和判定方法来进行有关的论证和计算，会用菱形的对角线来计算菱形的面积。
3.通过菱形与平行四边形关系的研究，进一步加深对“特殊”与“一般”的关系。
第二节矩形的性质与判定重难点：1.探索并掌握矩形性质及矩形的判定定理2.矩形的轴对称性3.直角三角形斜边上的中线的性质4.矩形的判定（难点）第三节正方形的性质与判定重难点：1.掌握正方形的概念、性质及判定方法，学会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法。
2.能够用综合法证明正方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论，经历探索、猜想、证明的过程，发展推理论证能力。
第二章一元二次方程第一节认识一元二次方程重难点：1.理解一元二次方程的概念，会判断一个方程是不是一元二次方程。
2.会将一元二次方程转化为一般形式，并能指出各项系数及常数项。
3.会用估算的方法求一元二次方程的近似解。
（难点）第二节用配方法求解一元二次方程重难点：1.用直接开平方法解一元二次方程2.配方法解一元二次方程3.配方法的应用（难点）4.求解简单的实际问题第三节用公式法求解一元二次方程重难点：1.一元二次方程的求根公式（难点）2.公式法解一元二次方程3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况第四节用因式分解法求解一元二次方程重难点：1.因式分解法解一元二次方程2.选择适当的方法解一元二次方程（难点）第五节一元二次方程的根与系数的关系重难点：1.知道一元二次方程的根与系数的关系。
能运用根与系数的关系求一元二次方程的两根之和，两根之积及与两根有关的代数式的值。
2.能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根或由方程的根确定一元二次方程的系数。
第六节应用一元二次方程重难点：1.能根据具体问题的数量关系列出一元二次方程并求解，并能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理。
2.经历“问题情境--建立模型--模型求解--解释与应用”的过程，获取更多分析和解决实际问题的方法和经验。
第三章概率的进一步认识第一节用树状图或表格求概率第二节用频率估计概率本章重点：用画树状图法或列表法计算较复杂的随机事件发生的概率，会用稳定的频率估计概率。
本章难点：用画树状图法或列表法计算较复杂的随机事件发生的概率。
第四章图形的相似第一节成比例线段重难点：1.认识形状相同的图形。
2.结合实例能识别出现实生活中形状相同，大小、位置不同的图形。
3.了解线段的比和比例线段的概念，掌握两条线段的比求法。
4.理解并掌握比例的性质（难点），能通过比例式变形解决一些实际问题。
（重点）第二节平行线分线段成比例重难点：1.理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论。
2.会熟练运用平行线分线段成比例的基本事实及其推论计算线段的长度。
第三节相似多边形1.了解相似多边形和相似比的概念2.能根据条件判断出两个多边形是否为相似多边形3.掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行简单的计算。
第四节探索三角形相似的条件重难点：1.相似三角形的有关概念2.相似三角形的判定方法13.相似三角形的判定方法2（难点）4.相似三角形的判定方法35.黄金分割的有关概念（重点）第五节相似三角形判定定理的证明重难点：1.理解并掌握相似三角形的判定定理，会选择适当的方法证明两个三角形相似。
2.熟练运用相似三角形的判定定理解决生活中的实际问题。
第六节利用相似三角形测高重难点：1.掌握几种测量旗杆高度的方法与原理，解决一些相关的生活实际问题。
2.通过设计测量旗杆高度的方案，学会将实物图形抽象成几何图形的方法，体会将实际问题转化成数学模型的转化思想。
第七节相似三角形的性质重难点: 1.理解并熟练应用相似三角形的性质：对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长比都等于相似比，而面积比等于相似比的平方。
2.理解并掌握相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
第八节图形的位似重难点：1.理解位似图形、位似中心的概念，理解位似变换是特殊的相似变换。
2.会画位似图形，能够根据相似比的大小把一个图形放大缩小3.掌握位似图形的坐标的变化规律，会利用这个规律求某些特殊点的坐标。
第五章投影与视图第一节投影第二节视图本章重点：掌握中心投影和平行投影的简单应用及会画简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物的原型。
本章难点：根据三视图描述基本几何体或实物原型，理解基本几何体与其三视图、展开图之间的关系，通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）。
第六章反比例函数第一节反比例函数重难点：1.反比例函数的概念2.反比例函数表达式的确定3.根据实际问题列反比例函数的表达式第二节反比例函数的图象与性质重难点：1.反比例函数图象的画法2.反比例函数的图象与性质3.反比例函数y=k/x（k为常数，k≠0）中比例函数k的几何意义（拓展点）第三节反比例函数的应用重难点：1.利用反比例函数的图象解决实际问题2.反比例函数图象与一次函数图象的交点（下册）第一章直角三角形的边角关系第一节锐角三角函数重难点：1.理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义。
能够用 tanA,sinA,cosA表示直角三角形中两边的比。
2.能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算。
第二节 30°，45°，60°角的三角函数值重难点：1.经历探索特殊角30°，45°，60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数值的意义。
2.会进行含有30°，45°，60°角的三角函数值的计算。
3.会根据30°，45°，60°角的三角函数值，说出相应锐角的度数。
第三节三角函数的计算重难点：1.利用计算器求任意锐角的三角函数值。
2.由锐角三角函数值求锐角3.锐角三角函数在实际生活中的应用（难点）第四节解直角三角形重难点：1.知道直角三角形的含义2.会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
3.掌握直角三角形的条件和解题技巧第五节三角函数的应用重难点：1.方向角的定义2.直角三角形边角之间关系的实际应用（难点）第六节利用三角函数测高重难点：1.测量倾斜角2.测量底部可以到达的物体的高度（重点）3.测量底部不可以到达的物体的高度（难点）第二章二次函数第一节二次函数重难点：1.知道二次函数的概念2.会根据二次函数的关系式计算一些函数值3.会表示简单变量之间的二次函数关系第二节二次函数的图象与性质重难点：1.经历用描点法作函数y=x2的图象的过程，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质。
2.能作出二次函数y=-x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数关系式与图象之间的关系。
3.在二次函数图象中初步研究二次函数的图象变换。
第三节确定二次函数的表达式重难点：1. 会用待定系数法确定二次函数的表达式2.能根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究。
第四节二次函数的应用重难点：1.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值问题。
2.培养自主探究能力，在运用知识解决问题中体会二次函数的应用价值和数学转化思想。
第五节二次函数与一元二次方程重难点：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2.经历用图象法求一元二次方程近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验。
第三章圆第一节圆重难点：1.掌握圆的形成过程及其相关概念。
2.理解点与圆的位置关系，能形成分类讨论思想3.会利用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系。
第二节圆的对称性重难点：1.知道圆的对称性，明白圆在运动变化中的特点。
2.知道在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的对应相等关系的定理。
第三节垂径定理重难点：1.会运用圆的对称性探究垂径定理，并会运用垂径定理解决相关问题。
2.知道垂径定理的逆定理并会运用它解决问题。
第四节圆周角和圆心角的关系重难点：1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程。
2.理解圆周角的概念及其推论，并能进行简单的推理和计算。
3.体会分类、归纳等数学思想方法，提高自己的实际运用能力。
第五节确定圆的条件重难点：1.探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的结论。
2.会过不在同一条直线上的三个点作圆3.知道三角形外接圆的概念及外心的性质（难点）4.进一步体会解决数学问题的策略第六节直线和圆的位置关系重难点：1.经历探索直线和圆的位置关系的过程2.理解直线与圆的三种位置关系3.知道切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线。
4.掌握经过圆上一点画圆的切线的方法第七节切线长定理重难点：1.掌握切线长的定义，切线长定理及圆外切四边形的性质。
2.掌握切线长定理的证明及应用。
第八节圆内接正多边形重难点：1.了解圆内接正多边形的定义及相关概念。
2.会用尺规作图的方法作一个圆的内接正多边形3.掌握正多边形边长、中心角及边心距的求法第九节弧长及扇形的面积重难点：1.弧长公式2.扇形面积公式（难点）。