含数学分析和高等代数两门课

含数学分析和高等代数两门课

数 学 分 析（I ）

（1）集合与函数

实数概述，绝对值不等式，区间与邻域，有界集，确界原理，函数概念。

（2）数列极限

数列。数列极限的N -∑定义。收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。子列。数列极限存在的条件；单调有限定理、柯西收敛原理。⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 11、STOLZ 定理。

（3）函数极限

函数极限概念（x x x →∞→与。瞬时函数的极限。δ-∑定义、M -∑定义）函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。

函数极限存在的条件：归结原则、柯西准则。 两个重要极限：1sin lim ,)11(lim 0==+→∞→x

x e x x x x 无穷小量与无穷大量及其阶的比较。

（4）函数的连续性

函数在一点的连续性。单侧连续性。间断点及其分类。在区间上连续的函数。连续函数的局部性质：有界性、保号性、连续函数的有理运算、复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质：有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性。初等函数的连续性。

（5）极限与连续性（续）

实数完备性的基本定理：区间套定理、数列的柯西收敛准则、聚点原理、致密性定理、有限覆盖定理、实数完备性基本定理的等价性。闭区间上连续函数性质的说明。实数系。压缩映射原理。

（6）导数与微分

引入问题（切线问题与瞬时速度问题）。导数的定义。单侧导数。导函数。导数的几何意义。和、积、商的导数。反函数的导数。复合函数的导数。初等函数的导数。

微分概念。微分的几何意义。微分的运算法则。一阶微分形式的不变性。微分在近似

计算中的应用。高阶导数与高阶微分。由参量方程所表示的曲线的斜率。

（7）中值定理与导数的应用

费马(Fermat)定理。罗尔（Rolle）中值定理。拉格朗日（Lagrange）中值定理。柯西中

值定理。泰勒（Taylor）定理（Taylor公式及其拉格朗日型余项、皮亚诺余项）、泰勒公式

的某些应用。

函数的单调性的判别法。极值。最大值与最小值。函数的凸性。拐点。渐近点。函数

图象的讨论。

数学分析（II）

（8）不定积分

原函数与不定积分概念。基本积分表。线性运算法则。换元积分法。分部积分法。有理

函数的积分。三角函数有理式的积分。若干初等可积函数。

（9）定积分

引入问题（曲边梯形面积与变力作功）。定积分定义。定积分的几何意义。可积的必要

条件。上下和及其性质。可积主要条件。几乎处处连续函数。可积函数类：在闭区间上连续

函数、在闭区间上只有有限个间断点的有界函数、单调有界函数。

定积分性质：线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性、积分中值定理、第二积分中值定理。微积分基本定理。牛顿—莱布尼兹公式。换元积分法。分部积分法。近

似求积。用活动上限定积分定义对数函数，并导出对数函数和指数函数的基本性质。

（10）定积分的应用

简单平面图形面积。曲线的弧长与弧微分。曲率。已知截面面积函数的立体体积。旋转体体积与侧面积。平均值。物理应用（压力、功、静力矩与重心等）。

（11）反常积分

无穷限反常积分的概念。柯西准则。线性运算法则。绝对收敛。反常积分与数项级数的

关系。无穷限反常积分收敛性判别法。

无界函数反常积分概念。两种反常积分的联系。无界函数反常积分收敛性的判别法。

（12）数项级数

级数收敛与和的定义。柯西准则。收敛级数的基本性质。正项级数。比较原则。比式判别法与根式判别法。拉贝判别法。一般项级数的绝对收敛与条件收敛。交错级数。莱布尼兹判别法。阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。阿贝尔求和。绝对收敛级数的性质（重排定理。级数的乘积）。Mertens定理。

（13）函数列与函数项级数

函数列与函数列级数的收敛与一致收敛的概念。一致收敛的柯西准则。函数项级数的维尔斯特拉斯优级数判别法。阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。函数列极限函数与函数项级

数的和函数的连续性。逐项积分与逐项微分。

（14）幂级数

阿贝尔第一定理。收敛半径与收敛区间。一致收敛性。和函数的连续性。逐项积分与逐项微分。幂级数的四则运算。泰勒级数。泰勒展开的条件。初等函数的泰勒展开。近似计算。用多项式逼近连续函数（可放在下章中讲）。

（15）傅里叶级数

三角级数。三角级数的正交性。傅里叶级数。贝塞尔不等式。黎曼—勒贝格定理。傅里叶级数的部分和公式。按段光滑且以2为周期的函数展开为傅里叶级数的收敛定理。奇函数与偶函数的傅里叶级数。以2L为周期的函数的傅里叶级数。一致收敛定理。傅里叶级数

的逐项积分。局部性定理。Dini判别法与Jordan判别法。

数学分析（III）

(1)N 维Euclid空间中点集的有关性质

点列的极限，内点、外点和孤立点；开集和闭集；列紧集和紧致集；连通集；点集的基本定理

(2) 多元函数的连续性

1．多元函数的极限

2．多元连续函数和连续映射

(3)函数微分学

1．方向导数、偏导数

2．多元函数及映射的微分，链式法则

3．隐函数定理、隐映射定理，逆映射定理

4．Taylor公式，极值与条件极值

5．曲面的显式方程、隐式方程和参数方程

(4) 多元函数积分学

1．多重积分，包括：可积条件，可积函数类，重积分的计算

2．重积分的应用

3．第一型曲线积分

4．第二型曲线积分，Green公式及其各种形式

5．曲面的面积和第一型曲面积分

6．第二型曲面积分，Gauss公式和Stokes公式及其各种形式

7．场论，包括：积分与路径无关的条件，数量场的梯度，向量场的散度和旋度，有势场和势函数

(5) 含参变量积分

1．含参量常义积分

2．含参量广义积分，包括：含参量广义积分的一致收敛性及其性质

3．Γ函数和B函数

高等代数

一、线性方程组

1．线性方程组的基本概念与问题

2．线性方程组的求解—行列式Cramer法则

3．排列

4．n-级行列式

5．n-级行列式的性质

6．行列式按行列展开

7．行列式Cramer法则

8．n-级行列式的计算常用方法

二、线性方程组的求解—消元法

1．消元法与矩阵

2．n-维向量空间

3．线性相关性

4．矩阵的秩

5．矩阵的秩与行列式的关系

6．矩阵的秩的计算

7．线性方程组有解的判定定理

8．线性方程组界的结构