剪应力的强度条件
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青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
课 题 教 学 目 的 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 需 2 课时
§5.4 梁的弯曲切应力
掌握弯曲切应力的分布规律、计算公式，弯曲切应力强度条件及其应用。
弯曲切应力的计算公式，切应力强度条件及其应用
编写日期
弯曲切应力的计算公式。
年 月 日
教 学 内 容 与 教 学 过 程
六、切应力强度条件 梁内最大切应力发生在剪力最大的截面的中性轴上， 所以梁的切应力强度 条件为最大切应力不能超过许用切应力，即
青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
max
梁的强度必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。 正应力强度起 着主要作用，但在以下几种情况下也需作切应力强度计算：① 跨度与横截面 高度比值较小的粗短梁，或在支座附近作用有较大的集中荷载，使梁内出现弯 矩较小而剪力很大的情况。② 木梁。 梁在剪切弯曲时，横截面中性轴上有较 大的切应力，根据切应力互等定理，梁在中性层上将产生与截面中性轴相等的 切应力。 由于木梁在顺纹方向的抗剪能力较差，有可能在中性层上发生剪切 破坏。③ 对于组合截面钢梁，当横截面的腹板厚度与高度之比小于型钢截面 的相应比值时，需校核切应力强度。 [ 例 5 － 5] 木梁的受力情况如图 9 － 35a 所示，已知材料的许用应力
青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
图9－33
式中
FQ S Z
IZ d
（ 3 ）
； I Z ——整个工字形截面对中性轴的惯性矩（m4）
——所求点处水平线以下（或以上）至边缘部分面积对中性轴的静 SZ
矩（m3） ；
d ——所求点处腹板的宽度（m） 。
最大切应力的计算式为
FQ S Z max
提示与补充
1. 矩形截面梁弯曲切应力计算公式 2、圆形、圆环形、工字型梁弯曲切应力计算公式 3、切应力强度条件及其应用 例题 5—4、例题 5—5、例题 5—6.
第五章 弯பைடு நூலகம்应力 §5.4 弯曲切应力
青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
一、矩形截面梁的切应力 当矩形截面的高度 h 大于宽度 b 时，截面上的切应力情况如下： 1）切应力的方向与剪力的方向一致 2）切应力的分布规律：切应力沿截面宽度均匀分布，沿截面高度按抛物 线规律分布 3）切应力的计算式
所以
max
满足切应力强度条件，因此选用 22a 工字钢。
max 2
式中
FQ A
（ 6 ）
A ——圆环形截面面积（m2） 。
[例 5－4] 计算例 5－1 中 C 截面上 a、 b、 c 各点的切应力及全梁的最大切应力。 [解]（1）画出梁的剪力图（图 9－34b） 。
FQc 2 kN， FQ max 6 kN
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IZ d
FQ IZ
SZ max
（ 4 ）
d
式中
（或以上） 至边缘部分面积对中性轴的静矩 （m3） ； SZ max ——中性轴以下
三、T 形截面梁的切应力 T 形截面也是由翼缘和腹板组成。翼缘部分切应力较复杂，且数值小，不 作分析。腹板部分切应力的分布规律、计算与工字形腹板部分的切应力相同。
梁满足正应力强度条件。
· m
（a)
· m
图9－35
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（3）校核切应力强度。最大切应力发生在 A 偏右、B 偏左截面的中性轴 上。
max 1.5
FQ max A
(1.5
9 103 ) N/mm2=0.45MPa＜ 150 200
梁满足切应力强度条件。 [例 5－ 6] 图 9－ 36 所示的工字形截面外伸梁，已知材料的许用应力
(3) 计算梁内最大切应力 最大切应力发生在 A 偏右、B 偏左截面的中性轴各点上，其值为
FQc S Z
max 1.5
FQ max A
6 103 (1.5 ) N/mm2=0.28MPa 180 120
max 1.5
FQ max A
(1.5
6 103 ) N/mm2=0.28MPa 180 120
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查型钢表，选用 22a 工字钢，其抗弯截面系数 WZ 309cm3，最接近而又大 于 300cm3。 （3）校核切应力强度 按型号 22a 查得有关数据为
IZ
SZ max
18.9 cm， d 7.5 mm
FQ max 24 103 ( ) N/mm2=16.9MPa＜ IZ 189 7.5 d SZ max
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四、圆形截面梁的切应力 圆形截面梁横截面上的切应力比较复杂。 与中性轴等远处各点的切应力方 向汇交于该处截面宽度线两端切线的交点， 且与剪力平行的竖向分量沿截面宽 度方向均匀分布（图 9－33d） 。最大切应力发生在中性轴上，是截面平均切应 力的 4/3 倍。 其计算式为
图9－34
（2）计算 C 截面各点的切应力
a 0
2 103 b 1.5 (1.5 ) N/mm2=0.14MPa A 180 120 FQc
2 103 40 120 70 c ( ) N/mm2=0.096MPa 3 120 180 IZ d 120 12
矩形截面的最大切应力发生在中性轴各点上，是截面平
均切应力的 1.5 倍。其计算式为
FQ S Z max
max
式中
IZb
1.5
FQ A
（ 2 ）
3 ； SZ max ——中性轴以上（或以下）部分面积对中性轴的静矩（m ）
A ——矩形截面面积（m2） 。
二、工字形截面梁的切应力 工字形截面由腹板和翼缘两部分组成（图 9－33b） ，翼缘上的切应力情况 较复杂，其数值又较小，一般不必计算，也不必讨论。而腹板上的切应力其方 向和分布规律与矩形截面相同，即沿腹板宽度均匀分布，沿腹板高度按抛物线 规律分布。最大切应力出现在中性轴各点，在翼缘和腹板的交界处也存有较大 的切应力。其计算公式为
式中
FQ S Z
I zb
（ 1 ）
； ——横截面上任一点处的切应力（N/m2） FQ——横截面上的剪力（N） ； ； I Z ——横截面对中性轴的惯性矩（m4）
b ——所求点处横截面的宽度（m） ；
——所求点处水平线以下 （或以上） 部分面积对中性轴的静矩 （m3） 。 SZ
4）最大切应力
12 MPa， 1.2 MPa。试校核梁的强度。
[解]（1）画梁的弯矩图和剪力图。由图可知
M max 11.25 kN·m，
FQ max 9 kN
（2）校核正应力强度。最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘处。
max
M max 11.25 106 ( ) N/mm2=11.25MPa＜ 1 WZ 150 2002 6
max
式中
4 FQ 3 A
（ 5 ）
A ——圆截面的面积（m2） ；
FQ——截面上的剪力（N） 。 五、圆环形截面梁的切应力 圆环形截面上各点处的切应力方向与该处的圆环切线方向平行， 且沿圆
环厚度方向均匀分布（图 9－33e）最大切应力也发生在中性轴上，是截面平 均切应力的 2 倍。其计算式为
160MPa， 100MPa。试选择工字钢的型号。
图）
· m
（M图）
· m
图9－36
[解]（1）画梁的剪力图和弯矩图 由图可知：
FQ max 24 kN，
M max 48 kN·m
（2）按正应力强度条件选择工字钢型号
WZ
M max
(
48 106 ) mm3=0.3×106mm3=300cm3 160
课 题 教 学 目 的 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 需 2 课时
§5.4 梁的弯曲切应力
掌握弯曲切应力的分布规律、计算公式，弯曲切应力强度条件及其应用。
弯曲切应力的计算公式，切应力强度条件及其应用
编写日期
弯曲切应力的计算公式。
年 月 日
教 学 内 容 与 教 学 过 程
六、切应力强度条件 梁内最大切应力发生在剪力最大的截面的中性轴上， 所以梁的切应力强度 条件为最大切应力不能超过许用切应力，即
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max
梁的强度必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。 正应力强度起 着主要作用，但在以下几种情况下也需作切应力强度计算：① 跨度与横截面 高度比值较小的粗短梁，或在支座附近作用有较大的集中荷载，使梁内出现弯 矩较小而剪力很大的情况。② 木梁。 梁在剪切弯曲时，横截面中性轴上有较 大的切应力，根据切应力互等定理，梁在中性层上将产生与截面中性轴相等的 切应力。 由于木梁在顺纹方向的抗剪能力较差，有可能在中性层上发生剪切 破坏。③ 对于组合截面钢梁，当横截面的腹板厚度与高度之比小于型钢截面 的相应比值时，需校核切应力强度。 [ 例 5 － 5] 木梁的受力情况如图 9 － 35a 所示，已知材料的许用应力
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图9－33
式中
FQ S Z
IZ d
（ 3 ）
； I Z ——整个工字形截面对中性轴的惯性矩（m4）
——所求点处水平线以下（或以上）至边缘部分面积对中性轴的静 SZ
矩（m3） ；
d ——所求点处腹板的宽度（m） 。
最大切应力的计算式为
FQ S Z max
提示与补充
1. 矩形截面梁弯曲切应力计算公式 2、圆形、圆环形、工字型梁弯曲切应力计算公式 3、切应力强度条件及其应用 例题 5—4、例题 5—5、例题 5—6.
第五章 弯பைடு நூலகம்应力 §5.4 弯曲切应力
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一、矩形截面梁的切应力 当矩形截面的高度 h 大于宽度 b 时，截面上的切应力情况如下： 1）切应力的方向与剪力的方向一致 2）切应力的分布规律：切应力沿截面宽度均匀分布，沿截面高度按抛物 线规律分布 3）切应力的计算式
所以
max
满足切应力强度条件，因此选用 22a 工字钢。
max 2
式中
FQ A
（ 6 ）
A ——圆环形截面面积（m2） 。
[例 5－4] 计算例 5－1 中 C 截面上 a、 b、 c 各点的切应力及全梁的最大切应力。 [解]（1）画出梁的剪力图（图 9－34b） 。
FQc 2 kN， FQ max 6 kN
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IZ d
FQ IZ
SZ max
（ 4 ）
d
式中
（或以上） 至边缘部分面积对中性轴的静矩 （m3） ； SZ max ——中性轴以下
三、T 形截面梁的切应力 T 形截面也是由翼缘和腹板组成。翼缘部分切应力较复杂，且数值小，不 作分析。腹板部分切应力的分布规律、计算与工字形腹板部分的切应力相同。
梁满足正应力强度条件。
· m
（a)
· m
图9－35
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（3）校核切应力强度。最大切应力发生在 A 偏右、B 偏左截面的中性轴 上。
max 1.5
FQ max A
(1.5
9 103 ) N/mm2=0.45MPa＜ 150 200
梁满足切应力强度条件。 [例 5－ 6] 图 9－ 36 所示的工字形截面外伸梁，已知材料的许用应力
(3) 计算梁内最大切应力 最大切应力发生在 A 偏右、B 偏左截面的中性轴各点上，其值为
FQc S Z
max 1.5
FQ max A
6 103 (1.5 ) N/mm2=0.28MPa 180 120
max 1.5
FQ max A
(1.5
6 103 ) N/mm2=0.28MPa 180 120
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查型钢表，选用 22a 工字钢，其抗弯截面系数 WZ 309cm3，最接近而又大 于 300cm3。 （3）校核切应力强度 按型号 22a 查得有关数据为
IZ
SZ max
18.9 cm， d 7.5 mm
FQ max 24 103 ( ) N/mm2=16.9MPa＜ IZ 189 7.5 d SZ max
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四、圆形截面梁的切应力 圆形截面梁横截面上的切应力比较复杂。 与中性轴等远处各点的切应力方 向汇交于该处截面宽度线两端切线的交点， 且与剪力平行的竖向分量沿截面宽 度方向均匀分布（图 9－33d） 。最大切应力发生在中性轴上，是截面平均切应 力的 4/3 倍。 其计算式为
图9－34
（2）计算 C 截面各点的切应力
a 0
2 103 b 1.5 (1.5 ) N/mm2=0.14MPa A 180 120 FQc
2 103 40 120 70 c ( ) N/mm2=0.096MPa 3 120 180 IZ d 120 12
矩形截面的最大切应力发生在中性轴各点上，是截面平
均切应力的 1.5 倍。其计算式为
FQ S Z max
max
式中
IZb
1.5
FQ A
（ 2 ）
3 ； SZ max ——中性轴以上（或以下）部分面积对中性轴的静矩（m ）
A ——矩形截面面积（m2） 。
二、工字形截面梁的切应力 工字形截面由腹板和翼缘两部分组成（图 9－33b） ，翼缘上的切应力情况 较复杂，其数值又较小，一般不必计算，也不必讨论。而腹板上的切应力其方 向和分布规律与矩形截面相同，即沿腹板宽度均匀分布，沿腹板高度按抛物线 规律分布。最大切应力出现在中性轴各点，在翼缘和腹板的交界处也存有较大 的切应力。其计算公式为
式中
FQ S Z
I zb
（ 1 ）
； ——横截面上任一点处的切应力（N/m2） FQ——横截面上的剪力（N） ； ； I Z ——横截面对中性轴的惯性矩（m4）
b ——所求点处横截面的宽度（m） ；
——所求点处水平线以下 （或以上） 部分面积对中性轴的静矩 （m3） 。 SZ
4）最大切应力
12 MPa， 1.2 MPa。试校核梁的强度。
[解]（1）画梁的弯矩图和剪力图。由图可知
M max 11.25 kN·m，
FQ max 9 kN
（2）校核正应力强度。最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘处。
max
M max 11.25 106 ( ) N/mm2=11.25MPa＜ 1 WZ 150 2002 6
max
式中
4 FQ 3 A
（ 5 ）
A ——圆截面的面积（m2） ；
FQ——截面上的剪力（N） 。 五、圆环形截面梁的切应力 圆环形截面上各点处的切应力方向与该处的圆环切线方向平行， 且沿圆
环厚度方向均匀分布（图 9－33e）最大切应力也发生在中性轴上，是截面平 均切应力的 2 倍。其计算式为
160MPa， 100MPa。试选择工字钢的型号。
图）
· m
（M图）
· m
图9－36
[解]（1）画梁的剪力图和弯矩图 由图可知：
FQ max 24 kN，
M max 48 kN·m
（2）按正应力强度条件选择工字钢型号
WZ
M max
(
48 106 ) mm3=0.3×106mm3=300cm3 160