第四章 分形041019105835

D
s
log N log(1 / )
例如，我们考虑一个边长为 2l 的正方体，并将它四等分，得到四个边长皆为 l 的小正方形。对原正方形来说，小正方形是其局部，各小正方形彼此相同。经 过平移或旋转操作，彼此可以重复。各小正方形的边长与原正方形边长之比为 l / 2l ＝1/2，即局部与整体的相似比为 。用 (4-1-4)式表达： D 2 log N log 4 s log(1 / ) log 2 对于一个更复杂的 D Ds 几何对象，我们只 虽然从不同的角度去定 f 以计算其相似维数。然而 要知道其局部与整 义的，但从计算结果看，两者是相等的。 相似维数 与豪斯道夫维数 体的相似比 ，就可
画出的另外一幅微粒的轨迹图。但将这两图进行比较一下可以发现，两幅图虽不 尽相同，它们具有同等的复杂程度，前者可以看成为后者在尺度上的适当放大。 实际上，这种两图之间在不同尺度上的相似性在还可以进一步扩展。例如，如果 充许，我们可将记录微粒坐标的时间间隔延长到每隔数小时一次，或者缩短到每 4 隔数毫秒一次。因此，记录的时间间隔跨度可以扩展到了10 3 ~10 秒。而实验结
线段(一维图形) 正方体(二维图形) 立方体(三维图形)
21 2
22 4 23 8
图 4-2 一个正方形的边长放大两倍，其面积放大四倍， 一个立方体的棱边放大两倍，其体积放大八倍
将边长放大的倍数记为 L，放大后图形变化的倍数记为 K，则上述关系可以 表达为 D = 1,2,3) LK ( (4-1-1)
2.1 康托尔点集
先介绍康托尔点集。取一线段[0,1]称为初始元，将其三等分，即各段的长度 为原线段的 1/3。取走中间一段，保留两侧的两段。将留下的两段再三等分，并
再取走它们的中间一段，保留两侧的其余两段。照此继续的分割、取走下去，留 下的线段愈来愈多，而其长度则愈来愈短，最终就分割成长度为无限短的无穷多 个点，这些保留下来的分布开的点组成所谓三分康托尔点集。康托尔点集的所有 点处于非均匀分布状态，具有自相似性，如图 4-3 所示。 E E 0 图中 E 是康托尔点集的初始元线段 [0,1]。 是生成元，它是由 舍去中间
果告诉我们，虽然记录时间间隔相差很大，但它们仍都具有相同的复杂性，因此， 布朗微粒轨迹图存在自相似性。 再如，人们在考察海岸线时发现，不管是漫步在海岸边看到的厘米量级的海 岸线长度，还是从人造卫星上观察到的数千米跨度，海岸线的弯曲的复杂程度也 可能是相同的。这种用不同尺度去测量都有相似的结果说明，这些测量对象没有 特征尺寸，或者说它们具有尺度（标度）不变性。
D 相等。 Ds 可见相似维数 与豪斯道 f 同样的方法可以计算康托尔四分点集的维数： 夫维数 D f log K log 2 log L log 4 0.5
按照上面的操作方法，若把一线段进行 n 段等分，舍去中间的 n－2 段，保 留两侧的两段，即构成 n 分点集，相应的维数为： D
f
第一节 豪斯道夫维数与规则分形
1. 豪斯道夫维数与相似维数
为了研究分形，首先来看一下数学家们是如何定义几何图形的维数的。我们 考虑几个最简单的几何图形。取一个长度为 l 的线段，把它放大 2 倍，则放大以 后的长度 2l。一个边长为 l 的正方形，面积为 l2，现在将每边长放大 2 倍，则放 大后的面积为 4 l2。一个边长为 l 的立方体，体积为 l3，现在将每边长放大 2 倍， 则放大后的体积为 8 l3，如图 4-2 所示。于是，边长放大 2 倍前后的关系可以整 理如下：
图 4-1 布朗微粒运动的径迹
基于测量对象体形上的自相似性与标度不变性，曼德布罗特提出了分形理论。 首先，他在 1973 年在法兰商学院讲学期间提出了分形的几何学的基本思想，接 着在 1977 年他出版了第一本著作：《分形对象：形、机遇与维数》，而在 1982 年出版了第二本著作：《自然界的形几何学》，从而奠定了这门新科学的基础。 分形的英文词是“fractal”，是曼德布罗特创造的，用以表征某些不规则的几何形 体。他给出的分形定义为： A fractal is a shape made of parts simslar to the whole in some way”，即“分形是其组成部分以某种方式与整体相似的图形”，或者说， 分形是指一类体形复杂的体系，其局部与整体具有相似性。与人们熟悉的整规体 形的整数维不同，分形体的维数不一定是整数，它可取连续变化的各种数值，称 之为分形维数，或简称分维。根据分形体的不同特征，有多种分形维数的定义， 而且由不同分形维数定义计算出的维数也有一些差别。 目前，分形的研究现已大大地超出了数学、物理学的范畴，它不仅广泛用于 处理自然科学中相关问题，象雷电、相变、聚合物生长等等，而且在扩展到生态、 生命、经济、人文的许多领域。在地震、气象的预报预测、石油的多次开采等应 用领域，甚至在股票涨落分析等方面，分形也都得到了广泛的应用。由此可见， 分形为人们处理复杂对象提供了一个强有力的工具。尤其值得一提的是虽然从表 面上看来，分形似乎和前面讨论过的非线性动力学无多大关系，但是深入研究发 现，分形与系统的混沌运动是密切相关的，它是非线性科学中的另一个重要分支。
0
一条具有自相似结构的曲线，称为三次科赫曲线。图 4-4 是分别构造一次、二次 和三次以后的图形。 如图所示，三次科赫曲线由四个与整体相似的局部组成，相似比 1/ 3， Ds 因此相似 维数 log为： N log 4 D 1.2618 log(1 / ) log 3 s
(4-1-6)
1/ 3n
的区段组成。当
n 时， E 的长度 l为 n
1 liml lim 2 30
n n n
n
即随着线段分为无穷多段，不仅每段长度为零，其总长度也为零，因此构成了由 无穷个点组成的点集。因为在组成中每次将线段一分为三，所以称康托尔三分集。 依照康托尔点集的生成法则，我们可以生成四分、五分…等多种康托尔点集。例 如在四分康托尔点集中，先将一线段四等分，再舍去中间两段，保留两侧的两段， 以后再对保留的线段进行同样的操作。
0
侧的两段，将中间的一段改成夹角为 60 o 的两个等长的直线，每段长度均为 L0/3 ，这是 n=1 的第一次操作。类似地，第二次操作是将上次所得的四段边长 /3的线段都进行三等分，现在每段长度为 L /9 ，并将它们中间的一段改成 为 L 0 0 o L /9 夹角为60 的两个长度为 的直线。如果将上述操作一直进行下去，最终得到
D
Df ： 显然，D 即为相应图形的维数。对上式取对 数，并将 D 记为 D f log log K L (4-1-2)
可以见到，对于正规的几何图形，(4-1-2)式的分子刚好可以为分母所整除， D f 为整数，这就是我们所熟悉的欧几里德维数。但对于不规则的几何图形， (4-1-2) 式不总是可以整除的，于是在一般情况下，一个几何图形的维数是个分数， 简称 为分维。这就是说，规则几何图形是一般几何图形的特殊情况，与此相对应 f 常称为豪斯道夫维数。 的分数维概念， 的整 数维数也只是一种特例。这就是 1919 年由法国数学家豪斯道夫(Hausdorff) 我们还可以从另外角度来讨论图形维数的定义。例如，一个具有单位面积的 引进 正方形，现在把它等分成九个小正方形，即九个小正方形相加等于原来的面积， D 而这时小正方形的边长缩小为原来长度的 1/3 倍。上述关系为： 9×(1/3)2＝1 (4-1-3)
第四章 分 形
引言
公元前 300 年，欧几里德在总结人们生产实践的基础上建立了几何学原理。 于是几何学成了处理各种图形对象最常用的方法，对于其它对象如物理问题，当 化解为图形时也常用到几何学原理。为了测量一条线段的长度，一个四边形的面 积…；计算一块立方体木材的密度，一块带电圆球体的电势，…，人们通常不言 明地假定：线段是笔直的，四边形是规则的，木材的密度是均匀的，而带电圆球 体的表面是光滑的。在这些假设下就可以用一个整数去表征一个图形的维数，即 大家熟悉的所谓三维空间、二维平面和一维线段等概念，在理论物理研究中甚至 还会用到 n 维的假想空间，这里都利用了欧几里德几何学原理。伽利略曾经说过， 自然界的语言是数学，其书写的符号是三角形、圆和其它图形。其实大自然是异 常复杂、丰富多彩的，那些简单、正规的理想对象只是少数。例如，那块木材内 部可能疏密不均，甚至存在空洞，如已被白蚁咬的千窗百孔；那个带电球体表面 可能凹凸不平，如此等等。分形理论的创始人、美国科学家曼德布罗特(Mandelprot) 曾说过：“浮云不呈球形，山峰不呈锥体，海岸线不是圆圈，树干不是光溜溜的， 闪电永不会沿直线行进”，说的就是人们一般不应以简单的、理想的体系去对待 实际体系。 另一方面应该注意到，许多形状不规则的物体，可能存在不同尺度上的相似 性，称为自相似性。例如，皮兰（Perrin）于 1908 年用显微镜测量了布朗运动的 轨迹，虽然实际的布朗微粒的轨迹是弯弯曲曲的曲线，但是他每隔 30 秒记录一 次某个微粒的位置，再将相继得到的两点位置连成直线，得到如图 4-1 所示的一 幅由长长短短的直线段连接成的轨迹图。他又将测量时间间隔缩短为每隔 3 秒，
2. 规则分形
现在来看一些比较特殊的几何图形，它们是在曼德布罗特提出分形理论之前， 由许多数学家构造出来的一批具有自相似的几何图形，如康托尔(Cantor)点集， 科赫(Koch)曲线，谢尔宾斯基(Serpinski)地毯等。这些数学家当时是从纯数学兴 趣来构造这些图形，并称之为“病态图形”。现在采用分形理论去研究它们时， 可以看到这些图形与正规几何图形之间存在着直接的联系。
log K log 2 log L logn
当 n→∞时， D f →0。表 4-1 给出了一些 n 与
表 4-1 n 与 f 的对应数据
D 的对应数据。 f
D
n Df
3 0.6309
3.5 0.5533
4 0.5000
4.5 0.4600
2.2 科赫曲线
科赫曲线是一种具有相似结构的弯弯曲曲的线段。它的构造过程如下：取一 L 条长度为 的直线段，与构造三分康托尔点集那样先将它三等分，然后保留两
可见对于康托尔点集的 0＜ D f ＜1，说明它是介于点与线段之间的几何图形。 s (4-1-4)来计算时，则把康托尔点集的初始元线段长度作为 如用相似维数 D 式 1，生成元 E 为两个 1/3 的线段，于是局部与整体的相似比β ＝1/3，N＝2： 1 D
s
log N log 2 0.6309 log(1 / ) log 3
s 2，说明它是一种介于线段与面之间的 可见对于三次科赫曲线，其维数 1＜ D ＜
几何图形。
图 4-4 Koch 曲线
类似于科赫曲线的操作方法可以构造出一种所谓科赫雪花。以一个三角形作 为源多边形，即初始元，将三角ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的每一边做三等分，舍去中间的 1/3，然后按
E2 E 1/3 以后得到的，它包含[0,1/3]和[2/3,1]两个区段。 是分别舍去 的两个区中 1 E 的中间 1/3 后得到的， 包含 [0,1/9]，[2/9,1/3]，[2/3,7/9]，[8/9,1]四个区段。按 2
n En 此规则继续操作下去，则生成元 ，将由 2 个长度各为 1 0
显然式(4-1-3)中的指数 2 即为正方形的维数。实际上，式(4-1-3)表示了一种局部 与整体的相似关系。因此，根据相似关系我们也可以来定义一个几何对象的维数。 s 根据相似关系定义的维数称为相似维数 D 。我们假定某个几何体由 N 个局部所
Ds 组成，每个局部 以相似比β 与整 体相似，则此客 (4-1-4) 体的相似维数 为：
图 4-3 康托尔三分点集
现在计算康托尔三分点集的豪斯道夫维数。我们设想，每次三等分后的一小 段，将此放大三倍，再把中间的 1/3 段舍去，得到两个 1/3 段，在豪斯道夫维数 公式(5-1-2)中，L＝3，K＝2，因此有： D f log K log 2 log L log 3 0.6309 (4-1-5)