数学专题讲义---数列(完整资料)

一． 等差、等比数列的基本理论

⑴等差、等比数列：

⑵判定一个数列是不是等差数列有以下三种方法：

①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--

②211-++=n n n a a a (2≥n )

③b kn a n +=(k n ,为常数).

⑶判定一个数列是不是等比数列有以下三种方法：

①1(2,)n n a a q n q -=≥为非零常数

②112-+⋅=n n n

a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) ③n n cq a =(q c ,为非零常数).

⑷数列{n a }的前n 项和n S 与其通项n a 之间的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n

n

例1. 在等差数列{}n a 中，972S =。求249?a a a ++=

解：法一：因为9119(91)9936722

S a d a d -=+=+=

所以148a d +=

249113123(4)3824a a a a d a d ∴++=+=+=⨯=

法二：因为91289...72S a a a a =++++=

而19285...2a a a a a +=+==

所以 5972a = 58a ∴=

249533824a a a a ∴++==⨯=

例2. 在等比数列{}n a 中，11a =，634S S =。求4?a =

解：因为634S S =

所以公比1q ≠（事实上，若1q =，则6166S a ==，3133S a ==此时显然不满足题设条件634S S =）

于是有 6311(1)(1)411a q a q q q

--=-- 6314(1)q q ⇒-=- 又6331(1)(1)q q q -=+-

314q ∴+= 33q ∴=

341133a a q ∴==⨯=

例3. 在等差数列{}n a 中，535a a =。求95

?S S = 解：法一：19551513319(91)999(4)992595(51)5(2)555

52a d S a a a d S a d a a a d -+

+====⋅=⋅=-++ 法二：因为95539,5S a S a == 所以95553399959555

S a a S a a ==⋅=⋅= 例4. 设数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=， n *∈N 。求5?a =，8?S =

解：因为12n n a a +=

所以12n n

a a += {}n a ∴是以11a =为首项，2q =为公比的等比数列

1111122n n n n a a q ---∴==⨯=

4

5216a ∴==；8881(12)2125512S ⋅-==-=- 例5. 设数列{}n a 满足431n a -=，410n a -=，2n n a a =， n *∈N 。求2009?a =，2014?a =

解：因为200945033=⨯-

所以2009450331a a ⨯-==

又201421007=⨯

2014210071007425210a a a a ⨯⨯-∴====

例6. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且公比

为正数，1133331,3,17,12a b a b T S ==+=-=。求,n n a b

解：设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q

则由11331,3,17a b a b ==+=，有211(2)17a d b q ++=

即2(12)317d q ++=；亦即23216q d +=①

又由11331,3,12a b T S ==-=，有311(1)3(31)[3]1212

b q a d q ---+=- 即33(1)(33)121

q d q ⋅--+=-；亦即233312q q d +-=② ①-②，得534d q -= 345

q d +∴=

（﹡） 将345q d +=代入①，得23432165q q ++⋅= 化简整理，得252240q q +-= (2)(512)0q q ⇒-+=

122(,)5

q q ∴==-舍去这是因为已知公比为正数 将2q =代入（﹡），得2d =

故1(1)221n a n n =+-⋅=-；132n n b -=⋅

例7.已知等差数列{}n a 中，374616,0a a a a =-+=。求n S

解：因为4637a a a a +=+

所以由已知460a a +=，有370a a +=

又3716a a =-

37,a a ∴是一元二次方程2160x -=的两个根

374,4a a ∴==-或者374,4a a ∴=-=

当374,4a a ==-时，有112464a d a d +=⎧⎨

+=-⎩182a d =⎧⇒⎨=-⎩ 此时2(1)8(2)92

n n n S n n n -=+⋅-=-+； 当374,4a a =-=时，有112464a d a d +=-⎧⎨+=⎩ 182a d =-⎧⇒⎨=⎩

此时2(1)8292

n n n S n n n -=-+⋅=- 二．数列求和

一般地，数列求和常见的方法有以下几种：

（1）公式法；

（i ）等差数列求和公式：11(1)22

n n a a n n S n na d +-==+ （ii ）等比数列求和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩

当时当时 （2）分组求和法；

注：“分组求和法”通过把数列的通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列，再根据公式进行求和。

（3）倒序求和法；

注：“倒序求和法”是推导等差数列前n 项和的方法。

（4）错位相减法；

注：“错位相减法”是推导等比数列前n 项和的方法，常应用于形如{}n n a b 的数列求和,其中{}n a 为等差数列, {}n b 为等比数列。