函数的最大值和最小值
函数的最大值与最小值
函数的最大值与最小值在数学中，函数的最大值和最小值是非常重要的概念。
最大值指的是函数在某个区间上取得的最大数值，而最小值则是函数在该区间上取得的最小数值。
求解函数的最大值和最小值在实际问题中具有重要的应用，如寻找最佳解、优化问题等。
本文将介绍如何求解函数的最大值和最小值，并探讨其中的相关概念和方法。
一、局部最值和全局最值函数的最大值和最小值可以分为局部最值和全局最值两种情况。
局部最值指的是函数在某个小区间内取得的最大或最小值，而全局最值则是函数在整个定义域上取得的最大或最小值。
为了更好地理解这两个概念，我们考虑一个简单的例子。
假设有一个函数f(x) = x^2，在闭区间[-1, 1]上进行观察。
当x为-1时，f(-1) = 1；当x为0时，f(0) = 0；当x为1时，f(1) = 1。
可以看出，函数f(x)在这个区间内的最大值和最小值分别为1和0。
因此，在这个例子中，最大值和最小值都是局部最值。
然而，如果我们考虑函数f(x)在整个定义域上的取值情况，就会发现函数f(x)在x等于0时取得了全局最小值0。
因此，全局最值并不一定出现在局部最值处。
二、求解最值的方法在求解函数的最大值和最小值时，有一些常用的方法和技巧。
1. 导数法导数法是一种常见且经典的求解最值的方法。
它基于一个重要的数学定理：在函数的极值点处，导数等于0。
假设有一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，我们想要求解在该区间上的最大值和最小值。
首先，我们可以计算出函数f(x)的导数f'(x)。
然后，我们找到f'(x) = 0的所有解，这些解即为函数f(x)的极值点。
接下来，我们需要判断这些极值点是函数的最大值还是最小值。
可以通过一些判定条件进行判断，如利用二阶导数的符号、导数的变化规律等。
2. 区间法区间法在求解最值时，将区间等分成多个小区间，然后计算函数在每个小区间的取值，并找出最大值和最小值。
具体做法是将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b - a) / n。
函数的最大值与最小值
第08课时-函数的最大值与最小值教学目的：使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f(x)在闭区间[a,b]上所有点（包括端点a,b处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件；使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤.教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法.教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系.教学过程：一、复习1.极大(小)值：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜(>)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大(小)值=f(x0)，x0是极大(小)值点.2.极大值与极小值统称为极值:在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.3.求可导函数f(x)的极值的步骤:二、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a,b]上的函数f(x)的图象．最大值是f(x一般地，在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.说明：(1)在开区间(a ,b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小值．如函数f (x )=x 1在(0,+∞)内连续，但没有最大值与最小值；(2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.(3)函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，是f (x )在闭区间[a ,b ]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.三、例题选讲： 利用导数求函数的最值例1：求下列函数在相应区间上的最大值与最小值. (1) y =x 4-2x 2+5，x ∈[-2,2]；(2)x x x f sin 21)(+=，x ∈]2,0[π(1)解：先求导数，得x x y 443/-=令/y ＝0即0443=-x x 解得1,0,1321==-=x x x导数/y 的正负以及)2(-f ，)2(f 如下表从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4 .小结：利用导数求函数的最值步骤:由上面函数f (x )的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了.设函数f (x )在[a ,b ]上连续，在(a ,b )内可导，则求f (x )在[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求f (x )在(a ,b )内的极值；(2)将f (x )的各极值与f (a )、f (b )比较得出函数f (x )在[a ,b ]上的最值.练习：求下列函数的值域：（1）]4,0[,)2()1(22∈--=x x x y ； （2）]4,2[,2122-∈-+=x x xy ；（3）)10(3)(3≤≤+-=x ax x x f （a 为常数）.例2：已知动点M 在抛物线y 2=2px (p >0)上，问M 在何位置时到定点P (p ,p )的距离最短.练习：动点P(x,y)是抛物线y=x2-2x-1上的点，O为原点，设S=|OP|2，求S的最小值.例3：已知x,y为正实数，且满足关系式x2-2x+4y2=0，求x⋅y 的最大值.例4：已知抛物线y= -x2+2，过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l的方程.小结：⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；⑵函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，是f(x)在闭区间[a,b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；⑶闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值；开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.例5：设a ∈R ，函数f (x )=x 2e 1-x -a (x -1)．(1)当a =1时，求f (x )在⎝⎛⎭⎪⎪⎫34，2内的极大值； (2)设函数g (x )=f (x )+a (x -1-e 1－x )，当g (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)时，总有x 2g (x 1)≤λf '(x 1)，求实数λ的值．(其中f '(x )是f (x )的导函数)．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2e 1－x －(x －1)，则f '(x )＝(2x －x 2)e 1－x－1＝(2x －x 2)－e x －1e x －1， 令h (x )＝(2x －x 2)－e x －1，则h '(x )＝2－2x －e x －1，显然h '(x )在⎝⎛⎭⎫34，2内是减函数，又h ′⎝⎛⎭⎫34＝12－14e<0，故x ∈⎝⎛⎭⎫34，2时，总有h '(x )<0，所以h (x )在⎝⎛⎭⎫34，2内是减函数．又h (1)＝0，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫34，1时，h (x )>0，从而f '(x )>0，这时f (x )单调递增，当x ∈(1,2)时，h (x )<0，从而f '(x )<0，这时f (x )单调递减，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫34，2内的极大值是f (1)＝1.(2)由题可知g (x )＝(x 2－a )e 1－x ，则g '(x )＝(2x －x 2＋a )e 1－x ＝(－x 2＋2x ＋a )e 1－x .根据题意，方程－x 2＋2x ＋a ＝0有两个不同的实根x 1，x 2(x 1<x 2)， 所以Δ＝4＋4a >0，即a >－1，且x 1＋x 2＝2， 因为x 1<x 2，所以x 1<1.由x 2g (x 1)≤λf ′(x 1)，其中f ′(x )＝(2x －x 2)e 1－x －a ，可得(2－x 1)(x 21－a )e1－x 1≤λ[(2x 1－x 21)e 1－x 1－a ]，注意到－x 21＋2x 1＋a ＝0，所以上式化为(2－x 1)(2x 1)e 1－x 1≤λ[(2x 1－x 21)e 1－x 1＋(2x 1－x 21)]，即不等式x 1[2e 1－x 1－λ(e 1－x 1＋1)]≤0对任意的x 1∈(－∞，1)恒成立．①当x 1＝0时，不等式x 1[2e 1－x 1－λ(e 1－x 1＋1)]≤0恒成立，λ∈R ；②当x 1∈(0,1)时，2e 1－x 1－λ(e 1－x 1＋1)≤0恒成立，即λ≥2e 1－x 1e 1－x 1＋1，令函数k (x )＝2e 1－x e 1－x ＋1＝2－2e 1－x ＋1，显然，k (x )是R 上的减函数，所以当x ∈(0,1)时，k (x )<k (0)＝2e e ＋1，所以λ≥2ee ＋1；③当x 1∈(－∞，0)时，2e 1－x 1－λ(e 1－x 1＋1)≥0恒成立，即λ≤2e 1－x 1e 1－x 1＋1，由②，当x ∈(－∞，0)时，k (x )>k (0)＝2e e ＋1，所以λ≤2ee ＋1.综上所述，λ＝2ee ＋1.作业布置：完成《全品》练习册P15-16完成《全品》单元测评（一）A。
函数最大值最小值
函数最大值最小值函数的最大值和最小值是函数分析中的重要概念。
在数学和科学领域，函数最大值和最小值的确定经常用于解决实际问题。
在这篇文章中，我们将探讨函数最大值和最小值以及它们在数学和科学中所起的重要作用。
让我们来了解什么是函数最大值和最小值。
在数学中，函数的最大值和最小值是指函数在定义域内的最大和最小值。
换句话说，当一个函数在定义域内达到其最大值或最小值时，我们称该函数具有最大值或最小值。
这些点称为函数的极值点。
在数学中，函数的最大值和最小值可以用求导数来求解。
求导数是函数的导数，它代表了函数在某一点的斜率。
函数的最大值和最小值出现在导数为零或不存在的点。
这些点称为函数的临界点。
通过对函数求导并找到所有临界点，我们可以确定函数的最大值和最小值。
在科学领域，函数的最大值和最小值有很多应用。
例如，在物理学中，通过确定物体的运动方程式，可以确定运动物体的最大高度和最小速度。
在经济学中，通过确定收入函数，可以确定财务分析中的最大利润和最小成本。
在生物学中，函数的最大值和最小值可以用于确定生物体的最佳生长条件。
通过确定生物体的生长率函数，可以确定生物体的最适生长条件。
这些条件可以通过确定生物体的最大值和最小值来确定。
在计算机科学中，函数的最大值和最小值可以用于确定算法的最大效率和最小时间。
通过确定算法的最大值和最小值，可以确定最优解决方案。
这些解决方案可以通过找到函数的最大值和最小值来确定。
函数的最大值和最小值是数学和科学中的重要概念。
它们可以用于解决各种实际问题，如物理学、经济学、生物学和计算机科学中的问题。
通过确定函数的最大值和最小值，可以确定最优解决方案。
因此，了解和应用函数的最大值和最小值对于解决实际问题至关重要。
函数的最大值和最小值
例1、求下列函数的最值： 、求下列函数的最值：
(1) y = x
2
− 2 x − 3, x ∈ R − 2 x − 3, x ∈ [ −1, 4]
( 2) y = x
2
( 3) y = x
2
− 2 x − 3, x ∈ [ −2, 0] − 2 x − 3, x ∈ [ 0, 4]
( 4) y = x
2
x2、函数的最ຫໍສະໝຸດ 值 、设函数y = f ( x) 在x0处的函数值是f ( x0 )
如果不等式f ( x) ≤ f ( x0 ) 对于定义域内任意x都成立， 记作ymax = f ( x0 ) 那么f ( x0 )叫做函数y = f ( x)的最大值。
y
f(x0) x 0 a x0 b
3、求函数的最值或值域的常见方法： 、求函数的最值或值域的常见方法： （1）利用一元二次函数的性质 ） （2）利用基本不等式 ） （3）利用函数的单调性 ） （4）利用一元二次方程有实根， ）利用一元二次方程有实根， 也称“△” 即△≥0也称“△”法。 也称“△”法 （5）利用“耐克”线 ）利用“耐克”
2
练习：求下列函数的最值： 练习：求下列函数的最值：
1 (1) y = 8 + 2 x − x , x ∈ −1, 2
2
( 2) y = 8 + 2x − x
2
, x ∈ ( −2, 2]
( 3) y = 8 + 2 x − x
2
,x ≤0
例2、求y = 8 + 2 x − x 的最值。
1 ( 5) y = x − ( x ≥ 2 ) x 2x +1 ( 6) y = ( x > 1) x −1
函数的最大值与最小值
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 有一个,而函数的极值则可能不止一个 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有 有一个 而函数的极值则可能不止一个 也可能没有 极值,并且极大值 极小值)不一定就是最大值 最小 极值 并且极大值(极小值 不一定就是最大值(最小 并且极大值 极小值 不一定就是最大值 但除端点外在区间内部的最大值(或最小值 值),但除端点外在区间内部的最大值 或最小值 则 但除端点外在区间内部的最大值 或最小值),则 一定是极大值(或极小值 或极小值). 一定是极大值 或极小值 (4)如果函数不在闭区间 如果函数不在闭区间[a,b]上可导 则在确定函 上可导,则在确定函 如果函数不在闭区间 上可导 数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端 数的最值时 不仅比较该函数各导数为零的点与端 点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点 点处的值 还要比较函数在定义域内各不可导的点 处的值. 处的值 (5)在解决实际应用问题中 如果函数在区间内只 在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只 在解决实际应用问题中 有一个极值点(这样的函数称为单峰函数 这样的函数称为单峰函数),那么要根 有一个极值点 这样的函数称为单峰函数 那么要根 据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再 据实际意义判定是最大值还是最小值即可 不必再 与端点的函数值进行比较. 与端点的函数值进行比较
函数的最大值与最 小值与导数
1.当函数 当函数f(x)在x0处连续时,判别 0)是极大 小)值的 在 处连续时 判别f(x 是极大(小 值的 当函数 判别 是极大 方法是: 方法是 如果在x 右侧f ①如果在 0附近的左侧 f/（x）>0 ,右侧 /(x)<0 ,那 ） 右侧 那 是极大值; 么,f(x0)是极大值 是极大值 如果在x 右侧f ②如果在 0附近的左侧 f/(x)<0, 右侧 /(x)>0 ,那 那 是极小值. 么,f(x0) 是极小值 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件 而不是充 导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 导数为零的点是该点为极值点的必要条件 分条件.极值只能在函数的 极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 分条件 极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 时取到. 两侧的导数异号时取到 两侧的导数异号时取到 3.在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上 在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上 在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小 而不是极值. 哪个值最小,而不是极值 哪个值最大 哪个值最小 而不是极值
求函数最大值最小值的方法
求函数最大值最小值的方法
求函数的最大值和最小值可以通过7种方法：1、配方法；2、判别式法；
3、利用函数的单调性；
4、利用均值不等式；
5、换元法；
6、数形结合法；
7、利用导数求函数最值。
1、配方法：形如的函数，根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值。
2、判别式法：形如的分式函数，将其化成系数含有y的关于x的二次方程。
由于，所以≥0，求出y的最值，此种方法易产生增根，因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。
3、利用函数的单调性：首先明确函数的定义域和单调性，再求最值。
4、利用均值不等式，形如的函数，注意正、定等的应用条件，即：a，b均为正数，是定值，a=b的等号是否成立。
5、换元法：形如的函数，令，反解出x，代入上式，得出关于t的函数，注意t的定义域范围，再求关于t的函数的最值。
还有三角换元法，参数换元法。
6、数形结合法：形如将式子左边看成一个函数，右边看成一个函数，
在同一坐标系作出它们的图象，观察其位置关系，利用解析几何知识求最值。
求利用直线的斜率公式求形如的最值。
7、利用导数求函数最值。
函数的最大值和最小值
函数的最大值与最小值
a b 2、设 x, y 与 a, b 均为正实数，且满足 + = 1，求 x + y 的最小值. x y
a b π 2 2 解： 设 = sin t , = cos t , t ∈ (0, ). x y 2 a b x+ y = + = a csc 2 t + b sec 2 t sin 2 t cos 2 t
函数的最大值与最小值
x2 + x + 2 的最大值和最小值. 4、求函数y = 2 2x − x + 1
解： 本题可用判别式法求最值.
去分母得， y − 1) x 2 − ( y + 1) x + y − 2 = 0 (2
1 当y = 时，x = −1； 因为x ∈ R, 所以只须Δ ≥ 0. 2 1 当y ≠ 时，此为关于x的一元二次方程，且x, y 均为实数， 2
函数的最大值与最小值
主讲人：贺才兴
函数的最大值与最小值
函数的最大值与最小值的常用求法：
(1) 配方法：把函数写成若干个非负代数式及一个常数的和， 从而估计出函数的上、下界，进而求出其最大、小值.
(2) 判别式法：把所求最值的函数放到某一个一元二次方程的 系数上，利用判别式求出该函数的上界或下界，从而求得 最值.
函数的最大值与最小值
6、已知实数 x, y 满足1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4，求 f ( x, y ) = x 2 + xy + y 2 的 最小值和最大值. 1 2 3 2 2 2 2 ∵ xy ≤ ( x + y ), ∴ f ( x, y ) = x + y + xy ≤ ( x + y 2 ) ≤ 6, 解： 2 2
大学数学_3_4 函数的最大值与最小值
例5 3 甲船以 20nmile / h 的速度向东行驶，同一时间 乙船在甲船的正北 82nmile 处以16nmile / h 的速度向南行 驶，问经过多少时间，甲乙两船相距最近. y 82 解 设在时刻 t 0 时甲船位于 O 点， 16t 乙船位于甲船正北82nmile 处，在时刻 t B （单位：h）甲船由点 O 出发向东行驶了 20t (单位：nmile)至Ａ点，乙船向南行驶 O 20t A x 了16t （单位：nmile）至Ｂ点（图 3-7） 图3-7 甲乙两船的距离为
内容小结
1. 最值点应在极值点和边界点上找
2. 应用题可根据问题的实际意义判别
作业
P134 1(1), (5), 2, 3, 4
由这个例子看出，为什么我们经常用n次测量值的算 术平均值作为所测量值的近似值. 例题中x-xi代表第i次的 测量值xi与真值x的误差，由于x-xi（i=1,2, …,n）可为正 也可为负，不能用它们的和作为n次测量值的总误差，以 免正负误差相抵消，因此一般采用n次测量误差的平方和 作为总误差，寻求如何取近似值能使这个总误差最小. 这 就是通常所谓的最小二乘法.
2 ( x 差平方和 1
x1 x2 n
xn
( x x2 )2 ( x xn ) 2 为最小. 2 2 2 y ( x x ) ( x x ) ( x x ) 证 记 1 2 n . 现求y的最小
值.
y 2[( x x1 ) ( x x2 ) ( x xn )] 2[nx ( x1 x2 xn )]. 令 y 0 得唯一驻点 1 x ( x1 x2 xn ). n 1 又y一定存在最小值，故当x ( x1 x2 xn ).时误差平 n 方和最小.
函数的最大值和最小值
f ( x)在[3,4]上单调递增,
当x 3时, f ( x)最小值为 15 7 , 当x 4时, f ( x)最大值为20 2 7 .
值域为[15 7 ,20 2 7 ].
例5. ( 05全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形 铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正 方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该 容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
∵x<10 时，V′>0, 10<x<36时，V′<0, x>36时，V′>0,
所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960…………………10分 又V(0)=0,V(24)=0,…………………………11分 所以当x=10,V有最大值 V(10)=1960…………………………12分
f ( x) 0, 得x 0.
例2.已知函数f ( x) x 3 ax2 bx在区间(2,1)内,
2 略解 : f ( x) 0 x 1, 为其两根. 3 1 a ,b 2 2 3
/
2 当x 1时取得极小值 ,当x 时取得极大值 . 3 f ( x) f ( x)[2,1]
2 2 0 x , 则 f ( x ) 0 , 从而 f ( x ) 在 ( 0 , ) 上单调递增； 若 a 2 a 2 若 x ,则f ( x) 0, 从而f ( x)在( ,) 上单调递减. a a f ( x) 在区间[0，1]上的最大值是 f (1) 1. （2）（i）当a=0时，
函数的最大值 和最小值
一.函数在什么条件下—定具有最大值和最小值?最值 与极值的关系如何?求函数的最值的方法与步骤怎样?
函数的最大值与最小值
题型二 利用函数的单调性求最值 x 求函数 f(x)＝ 在区间[2,5]上的最大值与最小值． x－1
2．(1)函数 f(x)＝2－3x，当 x∈[－2,3]时，f(x)的最小值为________，最大值 为________； x＋1 (2)已知函数 f(x)＝ ，x∈[3,5]，求函数 f(x)的最大值和最小值． 2－x
与函数最值数 f(x)＝ ，x∈[1，＋∞)． x 1 (1)当 a＝2时，求函数 f(x)的最小值； (2)若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，试求实数 a 的取值范围．
【反思与感悟】 在解决不等式恒成立问题时，最为常见和重要的方法是从 函数最值的角度或分离参数的角度去处理，在分离参数后常使用以下结论： a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max， a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.
函数的最大值、最小值
【目标】
1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．(重点) 2．会求一些简单函数的最大值或最小值．(重点、难点)
【化解疑难】 1．求函数最值应注意的问题 求函数的最大(小)值时，通常要先确定函数的单调性，同时要注意函数的定 义域． 2．函数的值域与最大(小)值的区别 (1)函数的值域是一个集合，函数的最值属于这个集合．即 M 首先是一个函数 值，它是值域的一个元素． (2)函数的值域一定存在，但函数并不一定有最大(小)值.
[课堂小结]
题型一
图象法求函数的最值
如图所示为函数 y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值 及单调区间．
[基础自测] 1．函数 f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是 ( ) A．f(－2)，0 C．f(－2)，2 B．0,2 D．f(2)，2
中考知识点函数的最大值与最小值
中考知识点函数的最大值与最小值函数的最大值和最小值是中考数学中的一个重要知识点。
在解题过程中，我们需要运用一些方法来求解函数的最大值和最小值。
本文将介绍三种常见的方法：图像法、导数法和附加条件法，以帮助大家更好地理解和应用这一知识点。
一、图像法使用图像法求解函数的最大值和最小值，一般需要绘制函数的图像。
在中考中，我们通常采用手绘图像的方式进行计算。
下面以一个例题来说明图像法的具体步骤。
例题：已知函数$f(x)=x^2-6x+5$，求$f(x)$的最大值和最小值。
解题步骤：（1）首先，我们绘制出函数$f(x)=x^2-6x+5$的图像。
为了方便计算，我们可以计算出函数的顶点坐标。
由二次函数的性质可知，函数的顶点坐标为$(p,q)$，其中$p$的值等于二次项系数的相反数的一半，$q$的值等于函数在$p$处的取值。
可以求得顶点坐标为$p=3$，$q=-4$。
将这个顶点坐标标在函数图像上。
（2）根据图像，我们可以看出函数$f(x)$的最大值为$q=-4$，对应的$x$值为$p=3$；最小值为$q=-\infty$（无穷小），对应的$x$值为$x\to \infty$。
因此，函数$f(x)=x^2-6x+5$的最大值为$-4$，最小值为$-\infty$。
二、导数法使用导数法求解函数的最大值和最小值，可以利用函数的导数来判断函数的增减性。
下面以一个例题来说明导数法的具体步骤。
例题：已知函数$g(x)=3x^2+4x+2$，求$g(x)$的最大值和最小值。
解题步骤：（1）首先，我们需要求出函数$g(x)$的导函数$g'(x)$。
对于一次或二次函数，我们可以通过对函数的表达式进行求导来得到导函数。
对函数$g(x)$进行求导，得到$g'(x)=6x+4$。
（2）根据导数的定义，导数表示函数在某一点的变化率。
根据函数的导数可以判断函数的增减性。
当导数大于$0$时，函数递增；当导数小于$0$时，函数递减。
最大值函数和最小值函数
最大值函数和最小值函数首先，我们来介绍最大值函数。
最大值函数是指输入一组数或一个函数集合，输出它们中的最大值。
在数学上，最大值函数可以用如下形式表示：f(x₁, x₂, ..., xₙ) = max{x₁, x₂, ..., xₙ}其中，x₁,x₂,...,xₙ是一组实数。
最大值函数的输出是输入数列或函数集合中的最大值。
举个例子，假设有一组数{x₁,x₂,...,xₙ}，其中x₁=1,x₂=4,x₃=6,x₄=2，那么最大值函数可以表示为：f(x₁, x₂, x₃, x₄) = max{1, 4, 6, 2} = 6这个函数的输出是数列中的最大值6接下来，我们来介绍最小值函数。
最小值函数类似于最大值函数，不同之处在于它输出的是数列或函数集合中的最小值。
在数学上，最小值函数可以用如下形式表示：g(x₁, x₂, ..., xₙ) = min{x₁, x₂, ..., xₙ}同样，x₁,x₂,...,xₙ是一组实数。
最小值函数的输出是输入数列或函数集合中的最小值。
继续以上面的例子，我们可以得到最小值函数：g(x₁, x₂, x₃, x₄) = min{1, 4, 6, 2} = 1这个函数的输出是数列中的最小值1最大值函数和最小值函数在数学中的应用十分广泛。
在数列分析中，我们经常需要找到数列中的最大值或最小值，以此来描述数列的特性。
例如，在股票市场中，我们可能需要找到只股票在一段时间内的最高价格和最低价格，这样可以帮助我们判断该股票的波动情况和投资风险。
在优化问题中，最大值函数和最小值函数也起到了关键作用。
例如，在线性规划中，我们需要定义目标函数并找到使其最大化或最小化的变量取值，从而求解最优解。
最大值函数和最小值函数可以帮助我们准确定义目标函数，并找到最优解。
在数据分析中，最大值函数和最小值函数常常用于寻找极端值。
通过求解数据集的最大值和最小值，我们可以获得数据集中的异常值或重要特征。
例如，在气象学中，我们可以通过求解气象数据中的最高温度和最低温度，推测地的气候情况和季节变化。
第四节函数的最大值与最小值
…, xn. 试证明：当取这n个测量值的算术平均值
x1 x2 xn
n 作为x的近似值时，n次测量所产生的误差平方和(x x1)2
(
证
x
记
x2 )2 y (x
(x x1 )2( x
xnx)22)为2 最小.
(
x
xn
)2
.
现求y的最小
值.
y 2[(x x1) (x x2 ) (x xn )]
3
33 x 33 x
令 f (x) 0,得驻点x 1 ，点 x 0是不可导点.又
3
f (1) 7, f (0) 0, f (1) 3, f (2)
4, 故 f (x) 在
1, 2的最大值为 f (0) 0，最小值为 f (1) 7 .
例 2 求函数 f (x)
x
ln
x
在
1 4
M max f (x1), f (x2 )..... f (xm ), f (a), f (b)，最小值
m min f (x1), f (x2 )..... f (xm ), f (a), f (b).
例 1 求函数 f (x) (2x 5) 3 x2 在1, 2上的最大值
与最小值.
解 f (x) 2 3 x2 2 (2x 5) 1 2 (5x 5)
解 设容器的底边为 x，长方体的高为 h，则容器的
表面积为
S 4xh x2
又容器的体积为常数
V，即V
x2h ，故有h
V x2
，
所以表面积 S 为 x 的函数，则有
s(x)
4x
V x2
x2
4V x
x2(x
0) ，s(x)
4V x2
函数的最大值和最小值(教案与课后反思
函数的最大值和最小值教学内容：本节课主要讲解函数的最大值和最小值的概念，以及如何求解函数的最大值和最小值。
教学目标：1. 理解函数的最大值和最小值的概念。
2. 学会使用图像法求解函数的最大值和最小值。
3. 学会使用导数法求解函数的最大值和最小值。
教学准备：1. 教学课件。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的最大值和最小值的概念。
2. 举例说明函数的最大值和最小值的意义。
二、函数的最大值和最小值的概念（10分钟）1. 讲解函数的最大值和最小值的定义。
2. 给出函数的最大值和最小值的判定条件。
三、图像法求解函数的最大值和最小值（10分钟）1. 讲解图像法求解函数的最大值和最小值的方法。
2. 举例说明图像法求解函数的最大值和最小值的步骤。
四、导数法求解函数的最大值和最小值（10分钟）1. 讲解导数法求解函数的最大值和最小值的方法。
2. 举例说明导数法求解函数的最大值和最小值的步骤。
五、练习题讲解（10分钟）1. 讲解练习题的解题思路。
2. 逐个解答学生提出的疑问。
教学反思：本节课通过讲解函数的最大值和最小值的概念，以及如何求解函数的最大值和最小值，使学生掌握了这一重要知识点。
在教学过程中，采用图像法和导数法两种方法进行讲解，使得学生能够更好地理解和运用。
通过练习题的讲解，巩固了学生所学的知识，并解答了学生提出的疑问。
总体来说，本节课的教学效果较好，学生对函数的最大值和最小值的概念和求解方法有了较为深入的理解。
但在教学过程中，仍需注意引导学生主动思考和探索，提高学生的学习兴趣和参与度。
六、案例分析：实际问题中的最大值和最小值（10分钟）1. 引入实际问题，如成本最小化、收益最大化等。
2. 展示如何将实际问题转化为函数的最大值和最小值问题。
3. 引导学生运用所学的图像法和导数法解决实际问题。
七、练习与讨论：小组合作求解复杂函数的最大值和最小值（15分钟）1. 分配练习题，要求学生以小组合作的形式进行求解。
函数的最大值、最小值
2x 2
3
2x 2
1
5 2x1
5
）＜0,
所以f(x1)＜f(x2),
所以f(x)是增函数，则f(x)的最小值为 f（ 3） 1 .
22
方法二：f(x)有意义，则满足
2x 2x
3 5
00，, 得x
3. 2
则f(x)的定义域为[ 3 ,+∞).
2
由于y=2x+3是递增的，所以y= 2x 3 也是递增的；而y=2x+5在
min
24
max
【延伸探究】
题2(2)改为求f(x)在［0,m］(m＞0)上的最小值. 【解题指南】注意分对称轴 x 1 在区间［0,m］内、外两种情
2
况讨论.
【解析】当m≥ 1 时，对称轴x= 1 ∈［0,m］，
2
2
此时函数f(x)的最小值为f( 1 )= 3；
24
当m＜ 1 时，f(x)在区间［0,m］上单调递减，此时函数f(x)
3.函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则函
数的最小值为
;最大值为
.
【解析】观察图象,由图知最低点的纵坐标为
-1,最高点的纵坐标为2.
答案:-1 2
4.函数f(x)= 2 ,x∈［2,4］，则f(x)的最大值为______；最
x
小值为______.
【解析】由函数f(x)= 2 (x∈［2,4］)的图象可知，函数f(x)
3a .某市一家报刊摊点,从该市报社买进该市的晚报价格是每份
0.40元,卖出价格是每份0.60元,卖不出的报纸以每份0.05元的
价格退回报社.一个月按30天算,其中有18天每天可以卖出400
函数的最大值与最小值
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且 极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点 外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值 (或极小值).
(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最 值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值, 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值. (5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个 极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际 意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的 函数值进行比较.
练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最 大值. 2 p1 解: f ( x) p x(1 x) [2 (2 p) x].
2 . 令 f ( x ) 0,解得 x1 0, x2 1, x3 2 p 2 p 2 p ) 4( ) , 在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0, f ( 2 p 2 p p 2 p 故所求最大值是4( ) . 2 p
75 2 75 2 , f (1 2 ) . 相应的函数值为: f (1 2 ) 2 2 又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0 75 2 ; 比较得, f(x)在点 x1 1 2 处取得最大值 2 75 2 . 在点 x2 1 2 处取得最小值 2
二、新课——函数的最值y源自观察右边一 个定义在区间 [a,b]上的函数 a x1 o X X b x y=f(x)的图象. f(x2) f(x1)、f(x3) 是极小值，_________ 发现图中____________ 是极 f(b) ，最小值 大值，在区间上的函数的最大值是______ f(x3) 。 是_______
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一次函数图象
1．函数的最大值
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： ①对于任意x∈I ，都有f(x)≤M， ②存在x0∈I，使f(x0)＝M.
那么称M是函数y＝f(x)的最大值
．
准确理解函数最大值的概念
(1)对于定义域内全部元素，都有
f(x)≤M成立，“任意”是说对每一个值 都必须满足不等式． (2)定义中M首先是一个函数值，它是 值域的一个元素，注意对②中“存在” 一词的理解
，[5,7]．
单调减区间为[－3，－1]，[2,5]，[7,8]．
1.试求函数 y＝|x－2|＋ (x＋1)2的最值． 【解析】 原函数变为 y＝|x－2|＋|x＋1|
－2x＋1 ＝3 2x－1
(x≤－1) (－1＜x≤2) (x＞2)
利用单调性求函数的最值 x＋2 求函数 y＝ x∈[2,3]上的最值． x－1 【思路点拨】 性―→求最值
(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重 要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时 ，单调性几乎成为首选方法． (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x) 在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)； ②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x) 在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
当一个函数有多个单调增区间 和多个单调减区间时，我们该如何 简单有效的求解函数最大值和最小 值呢？
二次函数最值问题
求二次函数f(x)＝x2－6x＋4在区间[－2,2]上的 最大值和最小值． 【思路点拨】由题目可获取以下主要信息
①所给函数为二次函数；
②在区间[－2,2]上求最值． Nhomakorabea解答本题可先确定函数在区间[－2,2]上的单
【解析】 x＋2 x－1＋3 3 函数 y＝ ＝ ＝1＋ x－1 x－1 x－1
定义法判断函数的单调
设 2≤x1<x2≤3， 3 3 则 f(x1)－f(x2)＝ － x1－1 x2－1 3(x2－x1) ＝ (x1－1)(x2－1)
∵2≤x1<x2≤3 ∴x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0 ∴f(x1)－f(x2)>0 即 f(x1)>f(x2) x＋2 ∴函数 y＝ 在[2,3]上是减函数 x－1 3＋2 5 ∴f(x)的最小值为 f(3)＝ ＝2. 3－1 2＋2 f(x)的最大值为 f(2)＝ ＝4. 2－1
函数解析式为“y＝x2－2x” ，求
函数的在定义域 [2,4)上的最值．
（1）掌握函数最大值、最小 值的概念。
（2）熟悉求最大值、最小值 的方法。
2．函数的最小值 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果
存在实数M满足：
①对于任意x∈I，都有f(x)≥M， ②存在x0∈I ，使f(x0)＝M. 那么称M是函数y＝f(x)的最小值 ．
函数最大值、最小值的几何
意义是什么？
【提示】 函数最大值或最小
值是函数的整体性质，从图象上 看，函数的最大值或最小值是图 象最高点或最低点的纵坐标．
调性，再求最值．
【解析】 f(x)＝x2－6x＋4＝(x
－3)2－5，
其对称轴为x＝3，开口向上，
∴f(x)在[－2,2]上为减函数，
∴f(x)min＝f(2)＝－4，f(x)max＝
f(－2)＝20.
在求二次函数的最值时，要注意定义 域．定义域若是区间[m，n]，则最大(小) 值不一定在顶点处取得，而应看对称轴是 在区间[m，n]内还是在区间左边或右边， 在区间的某一边时应该利用函数单调性求 解．
利用函数图象求最值
如图为函数y＝f(x)，x∈[－3,8]的图象，
指出它的最大值、最小值及单调区间．
【解析】
观察函数图象可以知道，图象
上位置最高的点是(2,3)，最低的点是(－1，
－3)，所以函数y＝f(x)当x＝2时，取得最大
值，最大值是3，当x＝－1.5时，取得最小值
，最小值是－3.函数的单调增区间为[－1,2]