2020九年级数学上册 第1章 二次函数 专题分类突破二 抛物线中几何图形的最值问题练习
浙教版九年级上册数学第1章 二次函数 利用二次函数解抛物线形的最值应用
2．【中考·金华】图②是图①中拱形大桥的示意图，桥 拱与桥面的交点为 O，B，以点 O 为原点，水平直 线 OB 为 x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可
近似看成抛物线 y＝－4100(x－80)2＋16，桥拱与桥
墩 AC 的交点 C 恰好在水面，有 AC⊥x 轴，若 OA ＝10 米，则桥面离水面的高度 AC 为( B )
9．【中考·滨州】如图，一小球沿与地面成一定角度 的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如 果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m) 与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y＝－5x2 ＋20x，请根据要求解答下列问题：
(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时， 飞行时间是多少？
解：根据题意得 B(0，4)，C3，127.把 B(0，4)，C3，127的 坐标代入 y＝－16x2＋bx＋c，解得 b＝2，c＝4.抛物线的函数 表达式为 y＝－16x2＋2x＋4，即 y＝－16(x－6)2＋10，所以 D(6， 10)．所以拱顶 D 到地面 OA 的距离为 10 m.
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽 为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货 车能否安全通过？
所用时间是4s.
(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大 高度是多少？
解：y＝－5x2＋20x＝－5(x－2)2＋20， ∴当x＝2时，y取得最大值，y最大＝20. 答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时
最大，最大高度是0m.
①小球在空中经过的路程是40m； ②小球抛出3s后，速度越来越快； ③小球抛出3s时速度为0； ④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s. 其中正确的是( ) A．①④B．①② C．②③④D．②③ D
6．【中考·武汉】飞机着陆后滑行的距离 y(单位：m)关 于滑行时间 t(单位：s)的函数表达式是 y＝60t－32t2， 在 飞 机 着 陆 滑 行 中 ， 最 后 4s 滑 行 的 距 离 是 ___2_4____m.
九年级数学上册第1章二次函数1.2二次函数的图象1.2.2二次函数y=a(x-m)2+k(a≠0)
2018年秋九年级数学上册第1章二次函数1.2 二次函数的图象1.2.2 二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象及特征同步练习（新版）浙教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第1章二次函数1.2 二次函数的图象1.2.2 二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象及特征同步练习（新版）浙教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2 第2课时二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0）的图象及特征一、选择题1．抛物线y＝(x－1)2－2的顶点坐标是（)A．（－1，－2) B．(－1，2）C．（1，－2) D．(1，2)2．2017·滨州将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的函数表达式为（)A．y＝2（x－3）2－5 B．y＝2(x＋3）2＋5C．y＝2（x－3)2＋5 D．y＝2（x＋3)2－53．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线的函数表达式为y＝－2（x－m)2－k，则下列结论正确的是( )图1A．m>0,k〉0 B．m〈0，k>0C．m<0，k〈0 D．m〉0，k<04．在下列二次函数中,其图象的对称轴为直线x＝－2的是（）A．y＝（x＋2)2 B．y＝2x2－2C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2）25．2017·丽水将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1，4)的方法是( )A．向左平移1个单位 B．向右平移3个单位C．向上平移3个单位 D．向下平移1个单位6．如图2，抛物线y＝x2与直线y＝x相交于点A,沿直线y＝x平移该抛物线，使得平移后的抛物线的顶点恰好为点A，则平移后抛物线的函数表达式是( ）图2A．y＝（x＋1）2－1 B．y＝(x＋1)2＋1C．y＝（x－1）2＋1 D．y＝(x－1）2－17．2017·盐城如图3，将函数y＝12（x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m),B（4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′。
九年级上册数学二次函数
九年级上册数学二次函数二次函数是数学中的一种重要类型的函数，也是九年级上册数学中的一个重要内容。
下面我将为大家详细介绍九年级上册数学的二次函数。
二次函数是一种以x的平方项为最高次的多项式函数。
它的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a，b，c为常数，且a 不等于零。
在二次函数中，a决定了函数的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下；而b决定了函数的对称轴位置，c决定了函数的平移位置。
一、函数的图像特征二次函数的图像是一个平滑的曲线，称为抛物线。
根据二次函数的a值，可以判断抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
对称轴是垂直于y轴的一条直线，过顶点。
顶点坐标为(-b/2a , f(-b/2a))，其中-f(-b/2a)为函数的最小值或最大值。
二、零点和交点二次函数的零点是指函数取0值的x的值。
根据函数f(x) = ax^2 + bx + c = 0，可以通过求解二次方程来求得二次函数的零点。
当二次方程有两个根时，表示函数与x轴有两个交点；当二次方程有一个根时，表示函数与x轴有一个交点；当二次方程没有实根时，表示函数与x轴没有交点。
三、函数的增减性根据二次函数的开口方向，可以判断函数的增减性。
当a>0时，二次函数是向上开口的，函数在开口处左右是递减的；当a<0时，二次函数是向下开口的，函数在开口处左右是递增的。
四、函数的平移与拉伸我们可以通过改变二次函数的常数项c来使函数平移，改变一次项系数b来使函数斜拉伸或压缩，改变二次项系数a来使函数横向拉伸或压缩。
具体来说，当我们将常数项c增大或减小时，函数的图像将上下平移；当我们将一次项系数b增大或减小时，函数的图像将左右移动；当我们将二次项系数a增大或减小时，函数的图像将变得更瘦或更胖。
五、二次函数的应用二次函数在现实生活中有很多应用，例如抛物线的运动轨迹、抛物线天线的接收范围等等。
浅谈二次函数的教学中如何突破重难点
浅谈二次函数的教学二次函数是初中阶段继一次函数、反比例函数之后,学生要学习的最后一类重要的代数函数,它也是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。
初中阶段主要研究二次函数的概念、图像和性质,用二次函数的观点审视一元二次方程,用二次函数的相关知识分析和解决简单的实际问题。
二次函数和一次函数、反比例函数一样,都是高中阶段要学习的一般函数和非代数函数的基础。
二次函数的图像因为是曲线,关系式变化形式多,应用比较复杂。
我在二次函数的教学中,整体把握,重点突破,收到了较好的教学效果。
一、抓住重点组织教学(一) 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的关系式,并体会二次函数的意义这里体现了数学与生活的关系。
教学中,应从教材中的“水滴激起波纹”、“圈养小兔”等实际问题入手,引导学生列出函数关系式。
然后,让学生观察、思考:所列的函数关系式有什么共同点?它们与一次函数、反比例函数有什么不同?从而引导出二次函数的概念,让学生认识二次函数的各部分名称。
如此,学生能够体会到二次函数来自生活,感受到二次函数也是描述一类现实问题中变量关系的数学模型,激发学习的积极性。
(二) 采用“描点法”画出二次函数的图像,从图像上认识二次函数的性质这是二次函数的教学重点。
一方面,学生要学会画出二次函数的图像;另一方面,要能从图像上认识二次函数的性质。
教学中,教师要扎实地让学生画出二次函数的图像(不能一带而过,就让学生去解决与图像有关的复杂题),即运用探索函数图像的方法——“描点法”,一步一步地列表、描点、连线,加深对二次函数图像形状的认识。
然后,引导学生从二次函数图像的形状、开口方向、对称性、顶点坐标、增减性等方面去理解二次函数的性质(学生一边看图像,一边说性质,很直观)。
要提醒的是,不仅要让学生画出二次函数的准确图像,还要会画二次函数的示意图像。
(三) 利用公式确定二次函数的顶点、开口方向和对称轴,解决简单的实际问题这里包括两点:一是从二次函数关系式上认识二次函数的性质,这是学生对二次函数性质的进一步认识;二是列二次函数的关系式解决问题,这是学生学习二次函数的落脚点所在。
九年级数学上册 第1章 二次函数 专题训练 巧用抛物线对称性解题 (新版)浙教版
巧用抛物线对称性解题►类型之一二次函数与三角形的综合图3－ZT－11．如图3－ZT－1，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为____________．2．如图3－ZT－2，在平面直角坐标系中，点A在y轴的负半轴上，点B，C在x轴上，OA＝8，AB＝AC＝10，点D在AB上，CD与y轴交于点E，且满足S△COE＝S△ADE，求过点B，C，E的抛物线的函数表达式．图3－ZT－23．如图3－ZT－3，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3(a≠0)的图象经过点A(3，0)，B(4，1)，且与y轴交于点C，连结AB，AC，BC.(1)求该二次函数的表达式；(2)判断△ABC的形状．图3－ZT－34．如图3－ZT－4，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，已知C(0，5)，M为它的顶点．(1)求抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；(2)求△MAB的面积；(3)求△MCB的面积．图3－ZT－45．如图3－ZT －5，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；(3)设(1)中的抛物线上有一个动点P ，且点P 在x 轴上方．若S △PAB ＝8，请求出此时点P 的坐标．图3－ZT －56．如图3－ZT －6，一小球从斜坡上点O 抛出，球的抛出路线可以用二次函数y ＝－x 2＋4x 刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画．(1)请用配方法求二次函数图象最高点P 的坐标； (2)小球的落点是A ，求点A 的坐标；(3)连结抛物线的最高点P 与点O ，A 得△POA ，求△POA 的面积；(4)在OA 上方的抛物线上存在一点M (点M 与点P 不重合)，使△MOA 的面积等于△POA 的面积，请直接写出点M 的坐标．图3－ZT －6► 类型之二 二次函数与特殊四边形的综合图3－ZT －77．边长为1的正方形OA 1B 1C 1的顶点A 1在x 轴的正半轴上，将正方形OA 1B 1C 1绕顶点O 顺时针旋转75°得正方形OABC (如图3－ZT －7)，使点B 恰好落在函数y ＝ax 2(a ＜0)的图象上，则a 的值为( )A ．－23B ．－12C ．－2D ．－238．如图3－ZT －8，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋c (a ≠0)的图象过正方形ABOC 的三个顶点A ，B ，C ，则ac 的值是________．3－ZT －83－ZT －99．二次函数y ＝3x 2的图象如图3－ZT －9，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B ，C 在二次函数y ＝3x 2的图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠OBA ＝120°，则菱形OBAC 的面积为__________．10．如图3－ZT －10，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－43x ＋2过点B (1，0)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求抛物线与y 轴的交点C 的坐标及与x 轴的另一交点A 的坐标； (3)以AC 为边在第二象限画正方形ACPQ ，求P ，Q 两点的坐标．图3－ZT －1011．如图3－ZT －11，已知抛物线y ＝－14x 2－12x ＋2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C .(1)求点A ，B ，C 的坐标．(2)E 是此抛物线上的点，F 是其对称轴上的点，求以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积．(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得△ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图3－ZT －11详解详析1．(1＋2，2)或(1－2，2)[解析]∵△PCD 是以CD 为底的等腰三角形， ∴点P 在线段CD 的垂直平分线l 上．如图，作CD 的垂直平分线交抛物线于点P 1，P 2，交y 轴于点E ，则E 为线段CD 的中点．∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ， ∴C (0，3)，而D (0，1)，∴点E 的坐标为(0，2)， ∴点P 的纵坐标为2.在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令y ＝2，可得－x 2＋2x ＋3＝2，解得x ＝1±2，∴点P 的坐标为(1＋2，2)或(1－2，2)． 2．解：如图，过点D 作DG ⊥x 轴于点G . ∵OA ＝8，AC ＝AB ＝10， ∴A (0，－8)，BO ＝OC ＝6， ∴B (6，0)，C (－6，0)． ∵S △COE ＝S △ADE ，∴S △CBD ＝S △AOB ＝12×8×6＝24，∴12×BC ×||y D ＝24，解得||y D ＝4， ∴D 为AB 的中点，∴D (3，－4)．联合C 点坐标可求得直线CD 的函数表达式为y ＝－49x －83，∴E ⎝⎛⎭⎪⎫0，－83.设过B ，C ，E 三点的抛物线的函数表达式为y ＝a (x ＋6)(x －6)， 将E ⎝⎛⎭⎪⎫0，－83代入，得a ＝227，∴过点B ，C ，E 的抛物线的函数表达式为y ＝227(x ＋6)(x －6)＝227x 2－83.3．解：(1)把A (3，0)，B (4，1)代入y ＝ax 2＋bx ＋3中，得⎩⎨⎧9a ＋3b ＋3＝0，16a ＋4b ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－52，∴该二次函数的表达式为y ＝12x 2－52x ＋3.(2)△ABC 是直角三角形．理由：过点B 作BD ⊥x 轴于点D ， 易知点C 的坐标为(0，3)，∴OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝45°.又∵点B 的坐标为(4，1)， ∴AD ＝BD ， ∴∠DAB ＝45°，∴∠BAC＝180°－45°－45°＝90°，∴△ABC是直角三角形．4．解：(1)∵A (－1，0)，B (5，0)，∴可设表达式为y ＝a (x ＋1)(x －5)．将C (0，5)代入，得a ＝－1，∴抛物线的函数表达式为y ＝－(x ＋1)(x －5)＝－x 2＋4x ＋5.∴M (2，9)．(2)S △MAB ＝12AB ·||y M ＝12×6×9＝27. (3)过点M 作MD ⊥y 轴于点D ，则S △MCB ＝S 梯形MDOB －S △DCM －S △COB ＝12×(2＋5)×9－12×2×4－12×5×5＝15. 5．解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点，∴方程x 2＋bx ＋c ＝0的两根为x ＝－1或x ＝3，∴－1＋3＝－b ，－1×3＝c ，∴b ＝－2，c ＝－3，∴该抛物线的函数表达式是y ＝x 2－2x －3.(2)∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－4)．(3)设点P 的纵坐标为y P ，∵S △PAB ＝8，∴12AB ·|y P |＝8. ∵AB ＝3＋1＝4，∴|y P |＝4，∴y P ＝±4.∵点P 在x 轴上方，∴y P＝4.把y P ＝4代入表达式，得4＝x 2－2x －3，解得x ＝1±2 2，∴点P 的坐标为(1＋2 2，4)或(1－2 2，4)．6．解：(1)∵y ＝－x 2＋4x ＝－(x 2－4x )＝－(x 2－4x ＋4)＋4＝－(x －2)2＋4，∴最高点P 的坐标为(2，4)．(2)点A 的坐标满足方程组⎩⎨⎧y ＝－x 2＋4x ，y ＝12x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝74， ∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，74.(3)如图，过点P 作PB ⊥x 轴交OA 于点B ，则点B 的坐标为(2，1)，∴PB ＝3，∴S △POA ＝S △OPB ＋S △APB ＝12×3×2＋12×3×32＝214. (4)如图，过点P 作PM ∥OA 交抛物线于点M ，连结OM ，则△MOA 的面积等于△POA 的面积．设直线PM 的函数表达式为y ＝12x ＋b ， ∵直线PM 过点P (2，4)，∴12×2＋b ＝4，解得b ＝3，∴直线PM 的函数表达式为y ＝12x ＋3. 根据题意，可列方程组⎩⎨⎧y ＝－x 2＋4x ，y ＝12x ＋3，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝154， ∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，154.7．D [解析] 如图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，连结OB .依题意得∠AOE ＝75°，∠AOB ＝45°，∴∠BOE ＝30°.∵OA ＝1，∴OB ＝ 2.∵∠OEB ＝90°，∴BE ＝12OB ＝22，∴OE ＝62， ∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22. 将其代入y ＝ax 2(a ＜0)，得a ＝－23. 故选D.8．－2 [解析] 连结BC，与AO交于点D.观察图象，根据二次函数的图象与其表达式的系数之间的关系可知a<0，c>0.由图象可知，点A是抛物线的顶点，设点A的坐标为(0，c)，则OA＝c，∵四边形ABOC 是正方形，∴AO ＝BC ，AD ＝OD ，△ABD ，△ACD 是等腰直角三角形，∴AD ＝OD ＝c 2. ∵△ABD 是等腰直角三角形， ∴BD ＝c 2. ∵BD ＝c 2，OD ＝c 2， ∴点B 的坐标为(－c 2，c 2)． 将点B 的坐标代入二次函数表达式y ＝ax 2＋c ，可得c 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 22＋c ， 整理，得ac ＝－2.9．2 3 [解析] 连结BC 交OA 于点D .∵四边形OBAC 为菱形，∴BC ⊥OA .∵∠OBA ＝120°，∴∠OBD ＝60°，∴OD ＝3BD .设BD ＝t ，则OD ＝3t ，∴B ()t ，3t . 把B (t ，3t )代入y ＝3x 2，得3t ＝3t 2，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝1.∴BD ＝1，OD ＝3，∴BC ＝2BD ＝2，OA ＝2OD ＝2 3，∴菱形OBAC 的面积为12×2×2 3＝2 3.10．解：(1)将B (1，0)代入y ＝ax 2－43x ＋2，得a －43＋2＝0，∴a ＝－23， ∴抛物线的函数表达式为y ＝－23x 2－43x ＋2. (2)当y ＝0时，－23x 2－43x ＋2＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－3.当x ＝0时，y ＝2，∴抛物线与x 轴的另一交点A 的坐标为(－3，0)，与y 轴的交点C 的坐标为(0，2)．(3)如图，过点P ，Q 分别作PH ⊥y 轴，QG ⊥x 轴，H ，G 分别为垂足．∵四边形ACPQ 是正方形，∴易知△AOC ≌△QGA ≌△CHP ，∴AO ＝QG ＝CH ＝3，OC ＝GA ＝HP ＝2，∴P (－2，5)，Q (－5，3)．11．解：(1)当x ＝0时，y ＝2，∴C (0，2)．当y ＝0时，－14x 2－12x ＋2＝0， 解得x 1＝－4，x 2＝2，∴B (－4，0)，A (2，0)．(2)易得对称轴为直线x＝－1.当AB为对角线时，如图①，图①由点F 的横坐标为－1，易知点E 的横坐标也是－1，∴E (－1，94)， ∴▱AEBF 的面积为AB ×94×12×2＝272； 当AB 为边时，如图②，图②∵AB ＝6，∴EF ＝6，∴E (5，－274)或E ′(－7，－274)， ∴以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积为AB ×274＝6×274＝812. 综上，以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积为272或812. (3)存在，设点M 的坐标为(－1，t )．∵A (2，0)，C (0，2)，∴AC ＝22，MC ＝1＋（t －2）2，AM ＝9＋t 2.①当AC＝MC时，22＝1＋（t－2）2，解得t＝2±7，即M(－1，2＋7)或M(－1，2－7)；②当MC＝AM时，1＋（t－2）2＝9＋t2，解得t＝－1，即M(－1，－1)；③当AC＝AM时，22＝9＋t2，此方程无解．综上，此抛物线的对称轴上存在点M，使得△ACM是等腰三角形，点M的坐标为(－1，2＋7)或(－1，2－7)或(－1，－1)．感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！。
浙教版九年级数学上册第一章二次函数专题复习二（含答案）
浙教版九年级数学上册第一章二次函数专题复习二（含答案）专题二二次函数的图象性质与系数的关系[见B本P10](教材P22作业题第1题)已知二次函数y＝－2x2＋4x＋6.(1)求函数图象的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对称轴，并画出函数的大致图象；(2)自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？何时y随x的增大而减小？并求函数的最大值或最小值．解：(1)y＝－2x2＋4x＋6＝－2(x－1)2＋8.令y＝0，得x1＝－1，x2＝3.令x＝0，得y＝6，所以图象的顶点坐标是(1，8)，与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，与y轴的交点坐标为(0，6)，对称轴是直线x＝1，画图略．(2)当x≤1时，y随x的增大而增大；当x≥1时，y随x的增大而减小；当x＝1时，y有最大值8.【思想方法】(1)利用函数的增减性可以比较二次函数值的大小，也可以利用函数的图象比较大小．(2)根据函数的图象可以确定二次函数的各项系数或有关代数式的值．a的作用：||a的大小决定抛物线的开口大小.||a越大，抛物线的开口越小；||a越小，抛物线的开口越大．口诀：上(开口)＋(a的符号)，下(开口)－(a的符号)．b的作用：ab的符号决定抛物线的对称轴的位置．当ab＝0时，对称轴为y轴；当ab>0时，对称轴在y轴左侧；当ab<0时，对称轴在y轴右侧．口决：左(对称轴在y轴左侧)同(a，b同号)右(对称轴在y轴右侧)异(a，b异号)．c的作用：c的大小决定抛物线与y轴的交点位置，c＝0时，抛物线过原点；c>0时，抛物线与y 轴交于正半轴；c<0时，抛物线与y轴交于负半轴．口诀：上(抛物线与y轴交于正半轴)“＋”(c＞0)下(抛物线与y轴交于负半轴)“－”(c＜0)．特殊值：当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ；当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c .若a ＋b ＋c >0，即x ＝1时，y >0；若a －b ＋c >0，即x ＝－1时，y >0.[2012·泰安]设点A (－2，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( A )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 2【解析】根据二次函数的图象的对称性，找出点A 的对称点A ′，再利用二次函数的增减性可判断y 值的大小．画出函数y ＝－(x ＋1)2 ＋a 的大致图象如图所示，∴抛物线的对称轴是x ＝－1，∴点A 关于对称轴的对称点A ′的坐标是(0，y 1)．∵点A ′，B ，C 都在对称轴的右边，在对称轴右边y 随x 的增大而减小，∴y 1＞y 2＞y 3.[2012· 贵阳]已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)的图象如图1所示，当－5≤x ≤0时，下列说法正确的是( B )图1A ．有最小值－5，最大值0B ．有最小值－3，最大值6C ．有最小值0，最大值6D ．有最小值2，最大值6[2012·重庆]已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图2所示，对称轴为x ＝－12.下列结论中，正确的是( D )图2A ．abc >0B ．a ＋b ＝0C ．2b ＋c >0D ．4a ＋c <2b【解析】∵抛物线开口向上，∴a ＞0.∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c ＜0.∵抛物线的对称轴在y 轴左侧，∴－b 2a ＜0，∴b ＞0，∴abc ＜0，故A 项错误；∵抛物线的对称轴为x ＝－b 2a ＝－12，∴a ＝b ，故B 项错误；当x ＝1时，a ＋b ＋c ＝2b ＋c ＜0，故C 项错误；∵抛物线的对称轴为x ＝－12，抛物线与x 轴的一个交点的横坐标的取值范围为x 1＞1，∴抛物线与x 轴的另一个交点的横坐标的取值范围为x 2＜－2，∴当x ＝－2时，4a －2b ＋c ＜0，即4a ＋c ＜2b ，故D 项正确．故选D.[2013·长沙]二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列关系式错误的是( D )A ．a >0B ．c >0C ．b 2－4ac >0 D ．a ＋b ＋c >0[2013·山西]已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，对称轴为直线x ＝1，则下列结论正确的是( B )A ．ac >0B ．方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是x 1＝－1，x 2＝3 C ．2a －b ＝0D ．当x >0时，y 随x 的增大而减小[2013·滨州]如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y轴交于C 点，且对称轴为x ＝1，点B 坐标为(－1，0)．则下面的四个结论∶①2a ＋b ＝0；②4a －2b ＋c ＜0；③ac ＞0；④当y ＜0时，x ＜－1或x ＞2.其中正确的个数是( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[2013·烟台]如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，其对称轴为x ＝－1，且过点(－3，0)．下列说法∶①abc ＜0；②2a －b ＝0；③4a ＋2b ＋c ＜0，④若(－5，y 1)，(52，y 2)是抛物线上两点，则y 1＞y 2.其中说法正确的是( C )A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④[2013·德州]函数y ＝x 2＋bx ＋c 与y ＝x 的图象如图所示，有以下结论∶①b 2－4c >0；②b ＋c ＋1＝0；③3b ＋c ＋6＝0；④当1<="" 2＋(b=""A ．1B ．2C ．3D ．4[2012·威海]已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图9所示，下列结论中错误的是( D )图9A．abc>0 B．3a>2bC．m(am＋b)≤a－b(m为任意实数) D．4a－2b＋c<07、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。
2020年浙教版数学九年级上册 1.2 二次函数的图象 第2课时(含答案)
拓展训练2020年浙教版数学九年级上册 1.2 二次函数的图象第2课时基础闯关全练1．下列关于抛物线y=3(x+2)²的说法不正确的是( )A．对称轴是直线x= -2B．顶点坐标是(3，2)C．它的开口方向和开口大小和抛物线y= 3x²的相同D．可以看作是由抛物线y= 3x²向左平移2个单位得到的2．在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x-h）²(a≠0)的图象可能是( )A. B. C. D.3．将抛物线y=2（x-1）²向____平移___________个单位，可得抛物线y=2x²．4．如图，直线y= -x-2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=a(x-h)²的顶点为A，且经过点B．(1)求该抛物线对应的函数解析式；(2)若点在该抛物线上，求m的值；(3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使PO+PB的值最小，求出点P的坐标.5．对于抛物线y= -2(x-1)²+3，下列判断正确的是( )A．抛物线的开口向上B．抛物线的顶点坐标是（-1，3）C．对称轴为直线x=1D．当x=3时，y＞06．将函数y=2（x+1）²-3的图象向上平移2个单位，再向左平移1个单位，可得到的抛物线的解析式为( )A.y=2(x-1)²-5B.y= 2x²-1C.y=2(x+2)²-5D.y=2(x+2)²-17．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(2，-1)，那么这个二次函数的解析式可以是____________．（只需写一个）8．已知函数y=3（x-2）²+9.(1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)求出该抛物线与y轴的交点坐标；(3)该函数图象经过怎样的平移可以得到y= 3x²的图象？能力提升全练1．二次函数y=a（x+k）²+k，当k取不同的实数值时，图象顶点总在( )A．直线y=x上 B.x轴上C．直线y= -x上 D.y轴上2．如图，边长为2的等边三角形放置在平面直角坐标系中，且AB //x轴，那么经过A、B、C三点的抛物线的解析式为( )A.y=3(x+1)²B.y=3(x-1)²C. D.3．已知直线y=ax+h与双曲线都不经过第三象限，则y=a(x-h) ²+k的图象可能是( )A. B. C. D.4．如图，将二次函数的图象向上平移m个单位得到二次函数y₂的图象，且与二次函数y₁=（x+2）²-4的图象相交于点A，过A作x轴的平行线分别交y₁，y₂于点B，C，当时，m的值是__________.5．如图，抛物线y₁=-x²+2向右平移1个单位得到抛物线y₂=（x-m₂）²+k₂，回答下列问题：(1)求抛物线y₂=（x-m₂）²+k₂的顶点坐标；(2)求阴影部分的面积S；(3)若再将抛物线y₂=（x-m₂）²+k₂沿x轴翻折得到抛物线y₃=a₃（x-m₃）²+k₃，求抛物线y₃=a₃(x-m₃)²+k₃的解析式．三年模拟全练一、选择题1．（2019浙江宁波期中，9．★☆☆）二次函数y=a（x-m）²-n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n的图象经过( )A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限二、填空题2．（2019浙江嘉兴秀洲高照实验学校第一次月考，11，★☆☆）二次函数y=-（x-2）²+5的图象的顶点坐标是____________ ．三、解答题3．（2019浙江宁波奉化期中，23，★★☆）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=（x-1）²-4，AB为半圆的直径，求这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长．五年中考全练选择题1．（2018浙江杭州临安中考，6，★☆☆）抛物线y=3（x-1）²+1的顶点坐标是( ) A．(1，1) B．（-1，1) C．（-1，-1) D．（1，-1)2．（2018浙江绍兴中考，9，★★☆）若抛物线y=x²+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，则称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )A．（-3，-6) B．（-3，0) C．（-3，-5) D．（-3，-1)核心素养全练（2017四川阿坝州中考）如图所示，抛物线的顶点为P( -2，2)，与y轴交于点A(0，3).若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P’（2，-2），点A的对应点为A’，则抛物线上PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为________.第2课时二次函数y=a(x-m)²(a≠0)及y=a(x-m) ²+k(a≠0)的图象及其特征基础闯关全练1．B顶点坐标是（-2，0）．2.D二次函数y=a（x-h）²(a≠0)图象的顶点坐标为(h，0)，易知顶点在x轴上，故选D．3．答案左；1解析根据“左加右减”的原则进行解题即可．4．解析(1)由直线y=-x-2，令x=0，则y=-2，∴点B的坐标为（0，-2），令y=0，则x=-2，∴点A的坐标为（-2，0），∴抛物线的顶点为A ，且经过点B ，∴y=a （x+2）²，∴-2=4a ，解得，∴抛物线的解析式为y=(x+2)²，即．(2)∵点在抛物线上，∴，∴m ²+4m-5=0．解得m ₁=1，m ₂=-5．∴m 为1或-5． (3)设点B 关于对称轴x= -2的对称点为B ’，连结OB ’，OB ’与对称轴的交点即为点P ， ∵点B 的坐标为（0，-2），∴B ’（-4，-2），则直线OB'的解析式为y=21x ， 联立 解得故P( -2，-1)．5.C ∵-2＜0，∴抛物线的开口向下，选项A 错误；抛物线的顶点坐标为(1，3)，选项B 错误；抛物线的对称轴为直线x=1，选项C 正确；把x=3代入y=-2（x-1）²+3，解得y=-5＜0，选项D 错误．故选C ．6．D 将函数y=2(x+1)²-3的图象向上平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=2(x+1+1)²-3+2，即y=2(x+2)²-1，故选D ．7．答案 y=2（x-2）²-1（答案不唯一）解析 设二次函数的解析式为y=a （x-2）²-1，∵抛物线的开口向上，∴a ＞0，∴二次函数的解析式可以为y=2（x-2）²-1．8．解析 (1)开口方向向上、对称轴是直线x=2、顶点坐标是(2，9)．(2)该抛物线与y 轴的交点坐标为(0，21)．(3)该函数图象先向下平移9个单位，再向左平移2个单位，可以得到y= 3x ²的图象． 能力提升全练1．C 当k=0时，原二次函数可化为y=ax ²，此时顶点坐标为A(0，0)；当k=1时，原二次函数可化为y=a （x+1）²+1，此时顶点坐标为B （-1，1）．设过A 、B 两点的直线的解析式为y=kx+b(k ≠0)，则，解得，∴函数图象顶点总在直线y= -x 上．故选C ．2．C 依题意得A （-2，），B （0，），C(-1，0)．易知C 点为所求抛物线的顶点，则设抛物线的解析式为y=a( x+1)²，把x=0，y=代入，得，∴抛物线的解析式为y=(x+1)²．3．B 由题意，得a ＜0，h ≥0，k ＜0，∴抛物线y=a （x-h ）²+k 开口向下，对称轴为y 轴或在y 轴右侧，顶点在x 轴下方，故选B ．4．答案解析 易知，设AC=a ，则AB= 2a ，∴点A的横坐标为- 2+a，点B的横坐标为-2-a，点C的横坐标为-2+2a，∵抛物线的对称轴为直线，∴，解得，∴点A的横坐标为-2+a=，把代入y₁=(x+2)²-4，得，∴，代入，得，解得.5.解析(1)抛物线y₁=-x²+2向右平移1个单位得到抛物线y₂=-(x-1)²+2，则所求抛物线的顶点坐标为(1，2)．(2)利用割补法，得阴影部分的面积S=1×2=2．(3)抛物线y₂=-(x-1)²+2的顶点坐标为(1，2)，而点(1，2)关于x轴对称的点的坐标为（1，-2），所以所求抛物线的解析式为y=（x-1）²-2．三年模拟全练一、选择题1．A观察函数图象可知m＞0，n＞0，∴一次函数y= mx+n的图象经过第一、二、三象限．故选A．二、填空题2．答案(2，5)解析∵二次函数y=a（x-h）²+k的图象的顶点坐标为(h，k)，∴二次函数y=-（x-2）²+5的图象的顶点坐标是(2，5).三、解答题3．解析连结CM,如图：当y=0时，（x-1）²-4=0，解得x₁=-1，x₂=3，∴A（-1，0），B(3，0)，∴AB=4，又∵M为AB的中点，∴M(1，0)，∴OM=1，CM=2，∴，当x=0时，y=-3，∴OD=3，∴CD= 3+，五年中考全练选择题1．A抛物线y=3(x-1)²+1的顶点坐标是(1，1)．故选A．2.B．∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，∴该定弦抛物线过点(0，0)、(2，0)，∴抛物线的解析式为y=x²-2x=(x-1)²-1．将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=(x-1+2)²-1-3=(x+1)²-4．当x=-3时，y=（-3+1）²-4=0，∴新抛物线过点（-3，0）．故选B．核心素养全练答案12解析连结AP，A'P’，AP’，由平移的性质可得四边形APP'A’为平行四边形，根据割补的原理可知阴影部分的面积即为平行四边形APP'A’的面积，又．所以平行四边形APP'A’的面积为，即抛物线上PA段扫过的区域的面积为12．。
2020年九年级数学中考专题复习：二次函数难点突破课件
开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 与坐标轴的交点
典例剖析
已知直线 y 3x 3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物
1
2
线 y x 3 4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数
3
有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
y 3x 3
1
2
y x 3 4
3
* 已知直线 y 3x 3 与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物
x 1
y
0
c
4;
c 4 或 c 24
x 3
y
0
c
24,
考点突破
2 核心考点
代数 ＆ 几何
考点梳理
抛物线等图形的 几何性质 ＆ 函数性质
典例剖析
如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴
的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（ ）
A．2a﹣b=0 C．3a﹣c=0
B．a+b+c＞0
D．当a=
1 2
时，△ABD是等腰直角三角形
以x为自变量的二次函数 y x2 2b 2 x b2 1
的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥ 5
4
B．b≥1或b≤﹣1
C．b≥2
D．1≤b≤2
顶点：y 4x 3
4b 22 4 b2 1 0 b 5 4
2
线 y x 3 4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有
_________.
* * 已知直线 y 3x 3 与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛
2
物线 y a x 3 4 上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数 有_________.
2020年浙教版数学九年级上册 1.1 二次函数(含答案)
拓展训练 2020年浙教版数学九年级上册 1.1 二次函数基础闯关全练1．下列y 关于x 的函数中，属于二次函数的是 ( )A.y=x-1B.C.y=(x-1)²-x ²D.y=-2x ²+12．关于函数y=（500-10x ）（40+x ），下列说法不正确的是( )A ．y 是x 的二次函数B ．二次项系数是-10C ．一次项是100D ．常数项是20 0003．二次函数y=x ²+2x-7的函数值是8，那么对应的x 的值是 ( )A ．3B ．5C ．-3或5D ．3或-5 x... -1 0 1 2 3 ... y ... 0 -3 -4 -3 m ... 则该二次函数的解析式为________ ；m 的值为___________．5．某自营书店销售某种图书，经过一段时间的销售发现，该书每天的销售利润w （元）与销售价x （元／本）有如下关系：w=ax ²+bx-3 000，当销售价为32元／本时，每天的销售利润为72元，当销售价为36元／本时，每天的销售利润为168元，则销售该书每天的销售利润w （元）与销售价x （元／本）的函数表达式是______ ．6．某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为160元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价为x 元，宾馆每天的利润为 y 元，则y 与x 的函数关系式为___________.能力提升全练1．已知x 是实数，且满足（x-2）（x-3）=0，则相应的函数y=x ²+x+1的值为 ( )A ．13或3B ．7或3C ．3D ．13或7或32．如图，四边形ABCD 中，∠BAD= ∠ACB=90°，AB=AD ，AC= 4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是 ( )A. B.C. D.3．若y 关于x 的二次函数的解析式为()mx x m y m +-=2，则m=_______.三年模拟全练一、选择题1．（2019浙江湖州四中教育集团开学考试，2，★☆☆）下列各式中，y 是x 的二次函数的是 ( )A ．xy+x ²=2B ．x ²-2y+2=0C ．D ．y ²-x=0二、解答题2．（2019浙江绍兴蕺山外国语学校月考，17，★☆☆）已知函数()12242-+-=-+x x m y m m 是一个二次函数，求该二次函数的解析式．3．（2018浙江宁波陆埠中学第一次质检，21，★★☆）如图所示的是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙，另三边除大门外用篱笆围成．已知篱笆总长为30 m ，门宽是2m ，设这块场地的宽为xm ．(1)求场地的面积y( m ²)与宽x( m)之间的函数关系式；(2)求出自变量x 的取值范围.五年中考全练填空题（2017湖南常德中考，15．★☆☆）如图，正方形EFGH 的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE=x ，正方形EFGH 的面积为y ，则y 关于x 的函数关系式为__________.核心素养全练如图①，在平面直角坐标系中，直线(m ＞0)与直线y= 2x 交于点A ，与x 轴交于点B ，O 为坐标原点，点C 在线段OB 上，且不与点B 重合，过点C 作垂直于x 轴的直线，交直线AB 于点D ，将△BCD 以CD 为对称轴翻折，得到△CDE.设点C 的坐标为（x ₀，0），△CDE 与△AOB 重叠部分的面积为S ，S 关于x ₀的函数图象如图②所示．(1)点A 的坐标是_____________，m=____；(2)求S 与x ₀之间的函数关系式．1.1 二次函数基础闯关全练1．D 选项A 中自变量x 的次数是1，属于一次函数；选项B 是反比例函数；选项C ，由已知函数关系式得到y= - 2x+1，属于一次函数；选项D ，符合二次函数的定义，故选D ．2．C 原函数展开整理得y= -10x ²+100x+20 000，∴y 是x 的二次函数，故A 正确；二次项系数是- 10，故B 正确；一次项是100x ，故C 错误；常数项是20 000，故D 正确．故选C ．3.D 根据题意，得x ²+2x-7=8，即x ²+2x-15=0，解得x=3或x= -5，故选D ．4．答案y=x ²-2x-3；0解析 分别把点（-1，0），（2，-3），（0，-3）代入y=ax ²+bx+c 中，得解得∴二次函数的解析式为y=x ²-2x-3．把x=3代入，得y=0，即m=0．5．答案 w= -2x ²+160x-3 000解析 将(32，72)，(36，168)代入w=ax ²+ bx -3 000，得解得所以该书每天的销售利润w （元）与销售价x （元／本）的函数表达式是w=-2x ²+160x-3 000．6．答案解析 ∵每个房间每天的定价为x 元，宾馆每天的利润为y 元，∴y 与x 的函数关系式为.能力提升全练1.C 由已知得x ≤1，∵(x-2) (x-3) =0，∴x=1，当x=1时，y=x ²+x+1= 1+1+1=3．故选C ．2.C 作AE ⊥AC ，DE ⊥AE ，AE 、DE 交于点E ，作DF ⊥AC ，垂足为点F ，∵∠BAD=∠CAE= 90°，即∠BAC+ ∠CAD= ∠CAD+∠DAE= 90°，∴∠BAC=∠DAE ，又∵AB=AD ，∠ACB=∠E=90°，∴△ABC ≌△ADE ，∴BC=DE ，AC=AE ，设BC=a ，则DE=a ，DF=AE=AC=4BC=4a ，CF =AC-AF=AC-DE=3a ，在Rt △CDF 中，由勾股定理得CF ²+DF ²= CD ²．即(3a)²+(4a)²=x ²，解得（负值舍去）， ∴.故选C.3．答案 -2解析 ∵y 关于x 的二次函数的解析式为()mx x m y m +-=2，∴|m| =2，且m-2≠0，∴m= -2.三年模拟全练一、选择题1.B 选项A 整理后为，右边不是整式且最高次也不是2次，故不是二次函数；选项B 整理后为，符合二次函数的特点；选项C 等号右边不是整式，故不是二次函数；选项D 整理后为y ²=x ，故y 不是x 的二次函数，故选B ．二、解答题2．解析 由二次函数的定义得m ²+m-4=2，解得m ₁=2，m ₂=-3，又m-2≠0，即m ≠2，∴m= -3.3．解析 (1) y=x( 32-2x)= -2x ²+32x ．(2)∵，∴2＜x ＜16.五年中考全练填空题答案 y=2x ²-4x+4解析如图所示：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴∠A=∠B=90°，AB=2，∴∠1+∠2=90°，∵四边形EFGH为正方形，∴∠HEF=90°，EH=EF，∴∠1+∠3=90°，∴∠2= ∠3，在△AHE与△BEF中，∵∴△AHE≌△BEF，∴BF=AE=x，AH=BE=2-x，在Rt △AHE中，由勾股定理得，EH²=AE²+AH²=x²+（2-x）²=2x²-4x+4，即y=2x²-4x+4(0＜x＜2).核心素养全练解析(1) y=x+m，当y=0时，，即x= 2m，∴B(2m，0)，当x₀=m时，，此时C是线段OB的中点，如图，则E与O重合，OC=OB=m，CD=-m+m=m，∴，∵m＞0，∴，∴直线AB的解析式为，令，得x=1，∴A(1，2)．(2)分三种情况：①当0≤x₀≤1时，△CDE与△AOB的重叠部分是△OCF，如图，∴.②当时，△CDE与△AOB的重叠部分是四边形OFDC，如图，∵OC=x₀，∴BC= CE= 5-x₀，∴OE= 5-2x₀，将x=x₀代入，得，∴，设直线DE的解析式为，则，得，即，由得即，∴·.③当时，△CDE与△AOB的重叠部分是△CDE，如图，∴.综上，S与x₀之间的函数关系式为。
2020最新人教版九年级上册二次函数题型分类总结
2020最新人教版九年级上册二次函数题型分类总结二次函数题型分类总结题型1：二次函数的定义二次函数的定义要求二次项系数不为0，且表达式必须为整式。
下列函数中，是二次函数的是：①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；⑥y=mx2+nx+p；若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为多少？已知函数y=(m－1)x/(m2＋1)+5x－3是二次函数，求m的值。
题型2：二次函数的对称轴、顶点、最值二次函数的对称轴、顶点、最值是常考点。
解析式为顶点式y=a(x－h)2+k时，最值为k；解析式为一般式y=ax2+bx+c 时，最值为4ac-b2/4a。
下面是一些例题：1.抛物线y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝。
2.抛物线y＝x2＋3x的顶点在（）。
3.若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为（）。
4.若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口方向和对称轴的情况是（）。
5.已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－的顶点的横坐标是2，则m的值是_。
6.抛物线y=x2+2x－3的对称轴是（）。
7.若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m ＝（）。
8.已知二次函数y=mx2+(m－1)x+m－1有最小值，则m＝（）。
9.已知二次函数y=x2－2ax+2a+3，当a=时，该函数y的最小值为0.10.已知二次函数y=x2－4x+m－3的最小值为3，则m＝（）。
题型3：函数y=ax2+bx+c的图象和性质抛物线的图象和性质也是常考点。
下面是一些例题：1.抛物线y=x2+4x+9的对称轴是（）。
2.抛物线y=2x2－12x+25的开口方向是（），顶点坐标是（）。
3.写出一个开口方向向上，对称轴为直线x＝－2，且与y 轴的交点坐标为（，3）的抛物线的解析式。
4.通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：11注意：文章中出现的一些符号可能无法正确显示，如有需要，请以纯文本形式查看。
2020九年级数学上册 第1章 二次函数 专题分类突破二 抛物线中几何图形的最值问题练习
专题分类突破二 抛物线中几何图形的最值问题(见B 本9页), 类型 1 线段的最值问题)例1图【例1】 如图所示，线段AB ＝10，点P 在线段AB 上，在AB 的同侧分别以AP ，BP 为边长作正方形APCD 和BPEF ，点M ，N 分别是EF ，CD 的中点，则MN 的最小值是__5__．变式 某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y ＝1100x 2的形状．今在一个坡度为1∶5的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两个离地面高度为20米的塔柱(如图)，这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离是( B )变式图 A ．12.75米B ．13.75米C ．14.75米D ．17.75米, 类型 2 线段和差的最值问题【例2】 如图所示，已知抛物线y ＝－x 2＋px ＋q 的对称轴为直线x ＝－3，过其顶点M 的一条直线y ＝kx ＋b 与该抛物线的另一个交点为N(－1，1)．若要在y 轴上找一点P ，使得PM ＋PN 最小，则点P 的坐标为( A )A ．(0，2)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32例2图变式 如图所示，二次函数y ＝－x 2－3x ＋4的图象交x 轴于A ，B ，交y 轴于点C.点P 是抛物线的对称轴上一动点，若|PA －PC|的值最大，则点P 的坐标为 ⎝⎛⎭⎪⎫－32，10 ．, 类型 3 面积的最值问题【例3】 正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线l 经过O ，P ，A 三点，点E 是正方形内抛物线l 上的动点．则△OAE 与△OCE 面积之和的最大值是__9__．例3图变式图变式 如图所示，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A(2，4)与B(6，0)． (1)a ＝__－12__，b ＝__3__；(2)点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x ＜6)，写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝4，36a ＋6b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝3，变式答图(2)如图，过A 作x 轴的垂线，垂足为D(2，0)，连结CD ，CB ，过C 作CE⊥AD，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ， S △OAD ＝12OD ·AD ＝12×2×4＝4；S △ACD ＝12AD ·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4；S △BCD ＝12BD ·CF ＝12×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＋3x ＝－x 2＋6x ，则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋2x －4－x 2＋6x ＝－x 2＋8x ，∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x(2＜x ＜6)．∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16.1．2017·泸州中考已知抛物线y ＝14x 2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴第1题图的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3，3)，P 是抛物线y ＝14x 2＋1上一动点，则△PMF 周长的最小值是( C )A ．3B ．4C ．5D ．6第2题图2．如图所示，抛物线y ＝－x 2－2x ＋3 的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．(1)写出A ，B ，C 三点的坐标：A(__－3__，__0__)，B(__1__，__0__)，C(__0__，__3__)．(2)点M 为线段AB 上一点(点M 不与点A ，B 重合)，过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN⊥x 轴于点N.若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求△AEM 的面积．解：(2)由抛物线y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4可知， 对称轴为直线x ＝－1，设点M 的横坐标为m ，则PM ＝－m 2－2m ＋3，MN ＝(－m －1)×2＝－2m －2，∴矩形PMNQ 的周长＝2(PM ＋MN)＝2(－m 2－2m ＋3－2m －2)＝－2m 2－8m ＋2＝－2(m ＋2)2＋10， ∴当m ＝－2时矩形的周长最大．∵点A(－3，0)，C(0，3)，可求得直线AC 的函数表达式为y ＝x ＋3， 当x ＝－2时，y ＝－2＋3＝1，则点E(－2，1)，∴EM ＝1，AM ＝1，∴S ＝12AM ·EM ＝12.第3题图3．2017·东营中考如图所示，直线y ＝－33x ＋3分别与x 轴、y 轴交于B ，C 两点，点A 在x 轴上，∠ACB ＝90°，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点M 是直线BC 上方抛物线上的一点，过点M 作MH⊥BC 于点H ，作MD∥y 轴交BC 于点D ，求△DMH 周长的最大值．解：(1)∵直线y ＝－33x ＋3分别与x 轴、y 轴交于B ，C 两点， ∴B(3，0)，C(0，3)，∴OB ＝3，OC ＝3，∴BC ＝23， ∴∠CBO ＝30°，∠BCO ＝60°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACO ＝30°，∴AO ＝1，∴A(－1，0)． ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点， ∴⎩⎨⎧a －b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－33，b ＝233， ∴抛物线解析式为y ＝－33x 2＋233x ＋ 3. (2)∵MD∥y 轴，MH ⊥BC ，∴∠MDH ＝∠BCO＝60°，则∠DMH＝30°， ∴DH ＝12DM ，MH ＝32DM ，∴△DMH 的周长＝DM ＋DH ＋MH ＝DM ＋12DM ＋32DM ＝3＋32DM ，∴当DM 有最大值时，其周长有最大值， ∵点M 是直线BC 上方抛物线上的一点， ∴可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－33t 2＋233t ＋3，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－33t ＋3， ∴DM ＝－33t 2＋233t ＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－33t ＋3＝－33t 2＋3t ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋334，∴当t ＝32时，DM 有最大值，最大值为334，此时3＋32DM ＝3＋32×334＝93＋98，即△DMH 周长的最大值为93＋98.第4题图4．已知：抛物线l 1：y ＝－x 2＋bx ＋3交x 轴于点A ，B(点A 在点B 的左侧)，交y 轴于点C ，其对称轴为x＝1，抛物线l 2经过点A ，与x 轴的另一个交点为E(5，0)，交y 轴于点D ⎝⎛⎭⎪⎫0，－52. (1)求抛物线l 2的函数表达式；(2)M 为抛物线l 2上一动点，过点M 作直线MN ∥y 轴，交抛物线l 1于点N ，求点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值．解：(1)∵抛物线l 1：y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为x ＝1，∴－b －2＝1，解得b ＝2，∴抛物线l 1的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，令y ＝0，可得－x 2＋2x ＋3＝0，解得x ＝－1或x ＝3， ∴A 点坐标为(－1，0)，∵抛物线l 2经过A ，E 两点， ∴可设抛物线l 2的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －5)， 又∵抛物线l 2交y 轴于点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52， ∴－52＝－5a ，解得a ＝12，∴y ＝12(x ＋1)(x －5)＝12x 2－2x －52，∴抛物线l 2的函数表达式为y ＝12x 2－2x －52.(2)由题意可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x 2－2x －52，∵MN ∥y 轴，∴N(x ，－x 2＋2x ＋3)，令－x 2＋2x ＋3＝12x 2－2x －52，解得x ＝－1或x ＝113.①当－1＜x≤113时，MN ＝(－x 2＋2x ＋3)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －52＝－32x 2＋4x ＋112＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432＋496，显然，－1＜43≤113，∴当x ＝43时，MN 有最大值496；②当113＜x≤5时，MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －52－(－x 2＋2x ＋3)＝32x 2－4x －112＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432－496，显然，当x ＞43时，MN 随x 的增大而增大，∴当x ＝5时，MN 有最大值，32×⎝ ⎛⎭⎪⎫5－432－496＝12.综上可知在点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值为12.。
九年级数学上册 第1章 二次函数 专题分类突破一 二次函数的解析式及图象特征练习 (新版)浙教版
专题分类突破一 二次函数的解析式及图象特征, 类型 1 由图象上的点确定解析式 )例1题图【例1】 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A ，C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过B ，C 两点，点D 为抛物线的顶点，连结AC ，BD ，CD.(1)求此抛物线的解析式；(2)四边形ABDC 的面积是__12__．解：(1)由已知，得C(0，4)，B(4，4)，把B 与C 坐标代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋c ＝12，c ＝4，解得b ＝2，c ＝4，则解析式为y ＝－12x 2＋2x ＋4.(2)∵y＝－12x 2＋2x ＋4＝－12(x －2)2＋6，∴抛物线顶点坐标为(2，6)，则S 四边形ABDC ＝S △ABC ＋S △BCD＝12×4×4＋12×4×2＝8＋4＝12. 变式 已知抛物线经过A(1，0)，B(0，3)两点，且对称轴是直线x ＝－1，求抛物线对应的函数解析式．(用顶点式与交点式两种方法完成)解：方法一：设y ＝a(x ＋1)2＋b ，将A(1，0)，B(0，3)两点坐标代入，求得a ＝－1，b ＝4；所求的函数解析式y ＝－(x ＋1)2＋4＝－x 2－2x ＋3.方法二：由题意可得抛物线与x 轴的另一个交点为(－3，0)， 设y ＝a(x －1)(x ＋3)，将B(0，3)的坐标代入，得a ＝－1，所求的函数解析式为 y ＝－(x －1)(x ＋3)＝－x 2－2x ＋3. , 类型 2 由系数的特征确定二次函数图象 )【例2】 在一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)中，y 随x 的增大而减小，则二次函数y ＝k(x －1)2的图象大致是( B )A ．B ．C ． D.变式图变式 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么下列关于此二次函数的四个结论中，正确的有( D )①a ＜0；②c＞0；③b 2－4ac ＞0；④a 2b＜0.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【解析】 ①∵图象开口向下，∴a ＜0，故本选项正确；②∵该二次函数的图象与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，故本选项正确；③∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个不相同交点，∴根的判别式Δ＝b 2－4ac ＞0，故本选项正确；④∵对称轴x ＝－b 2a ＞0，∴a2b＜0，故本选项正确．, 类型 2 由图象的平移变换确定解析式)【例3】 xx·天津中考已知抛物线y ＝x 2－4x ＋3与x 轴相交于点A ，B(点A 在点B 左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M′落在x 轴上，点B 平移后的对应点B′落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为( A )A ．y ＝x 2＋2x ＋1B ．y ＝x 2＋2x －1C ．y ＝x 2－2x ＋1D ．y ＝x 2－2x －1变式图变式 如图，抛物线y ＝x 2＋2x 与直线y ＝12x ＋1交于A ，B 两点，与直线x ＝2交于点P ，将抛物线沿着射线AB 平移325个单位．求：(1)求平移后的抛物线的顶点坐标；(2)在整个平移过程中，点P 经过的路径长.解：(1)由题意，抛物线沿着射线AB 平移32 5个单位时，点A 向右平移3个单位，再向上平移32个单位，∵抛物线y ＝x 2＋2x 的顶点坐标为(－1，－1)，∴平移后抛物线的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12.(2)设抛物线向右平移a 个单位，再向上平移12a 个单位，抛物线的解析式为y ＝(x ＋1－a)2－1＋a 2，令x ＝2，y ＝(3－a)2－1＋12a ，∴y ＝a 2－112a ＋8，∴y ＝⎝⎛⎭⎪⎫a －1142＋716， ∵0≤a ≤3，∴y 的最大值为8，最小值为716，∵a ＝3时，y ＝12，∴点P 经过的路径长为8－12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－716＝618.1．已知二次函数y＝a(x＋h)2＋k，其中，a＞0，h＜0，k＜0，则函数图象大致是( A)A．B．C． D.2．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－x－6向上(下)或向左(右)平移m个单位，使平移后的抛物线经过原点，则|m|的最小值为( B)A．1 B．2 C．3 D．43．已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点(2，4)，且顶点在直线y＝2x＋1上，则二次函数的表达式为__y＝x2－2x＋4__．第4题图4．如图所示，已知抛物线C1：y＝a1x2＋b1x＋c1和C2：y＝a2x2＋b2x＋c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一个交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则抛物线C1和C2为姐妹抛物线．请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形：__y和y＝3x2＋23x(答案不唯一，符合条件即可) ．5．已知抛物线C：y＝x2－4x＋3.(1)求该抛物线关于y轴对称的抛物线C1的解析式；(2)将抛物线C1平移使顶点在x轴上得到C2，求C2的解析式．解：(1)配方，y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1.∴该抛物线的顶点为(2，－1)，与y 轴交点(0，3)．∵C1与C关于y轴对称，∴C1顶点坐标是(－2，－1)，且与y轴交点(0，3)．设抛物线C1的解析式为y＝a(x＋2)2－1，把(0，3)代入，解得a＝1，∴抛物线C1的解析式为y＝x2＋4x＋3.(2)抛物线C1的解析式为y＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1.将抛物线C1向上平移1个单位得到抛物线C2：y＝(x＋2)2.此时顶点坐标是(－2，0)，符合题意．第6题图6．在直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．(1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积；(3)若直线y ＝－12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线BDC(包括端点B ，C)部分有两个交点，写出b 的取值范围．解：(1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1，∴抛物线解析式为y ＝12x 2－x ＋2.第6题答图(2)∵y＝12x 2－x ＋2＝12(x －1)2＋32.∴顶点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， ∵直线BC 为y ＝－x ＋4，∴对称轴与BC 的交点H(1，3)， ∴S △BDC ＝S △BDH ＋S △DHC ＝12·32·3＋12·32·1＝3.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋b ，y ＝12x 2－x ＋2，消去y 得到x 2－x ＋4－2b ＝0，当Δ＝0时，直线与抛物线有唯一公共点， 1－4(4－2b)＝0，∴b ＝158，当直线y ＝－12x ＋b 经过点C 时，b ＝3，当直线y ＝－12x ＋b 经过点B 时，b ＝5，∵直线y ＝－12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B ，C)部分有两个交点，∴158＜b≤3. 7．xx·江西中考已知抛物线C 1：y ＝ax 2－4ax －5(a ＞0)． (1)当a ＝1时，求抛物线与x 轴的交点坐标及对称轴；(2)①试说明无论a 为何值，抛物线C 1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将抛物线C 1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C 2，直接写出C 2的表达式； (3)若(2)中抛物线C 2的顶点到x 轴的距离为2，求a 的值．解：(1)当a ＝1时，抛物线表达式为y ＝x 2－4x －5＝(x －2)2－9， ∴对称轴为x ＝2，∴当y ＝0时，x －2＝3或－3，即x ＝－1或5， ∴抛物线与x 轴的交点坐标为(－1，0)或(5，0)．(2)①抛物线C 1表达式为y ＝ax 2－4ax －5， 整理，得y ＝ax(x －4)－5.∵当ax(x －4)＝0时，y 恒定为－5，∴抛物线C 1一定经过两个定点(0，－5)，(4，－5)． ②这两个点连线为y ＝－5，将抛物线C 1沿y ＝－5翻折，得到抛物线C 2，开口方向变了，但是对称轴没变，∴抛物线C 2的表达式为y ＝－ax 2＋4ax －5. (3)抛物线C 2的顶点到x 轴的距离为2， 则x ＝2时，y ＝2或－2.当y ＝2时，2＝－4a ＋8a －5，解得a ＝74；当y ＝－2时，－2＝－4a ＋8a －5，解得a ＝34.∴a ＝74或34.。
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1.2 二次函数的图象(1)(见B 本1页)A 练就好基础 基础达标1．若二次函数y ＝ax 2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点( A ) A ．(2，4) B ．(－2，－4) C ．(4，2) D ．(4，－2)2．已知抛物线y ＝(1－m)x 2，除顶点外，其余各点均在x 轴的下方，则m 的取值范围为( C )A ．m ＝1B ．m<1C ．m>1D ．m<03．关于y ＝13x 2，y ＝x 2，y ＝3x 2的图象， 下列说法中不正确的是( C )A ．顶点相同B ．对称轴相同C ．图象形状相同D ．最低点相同4．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y ＝－125x 2.当水面离桥拱顶的高度DO 是4 m 时，水面宽度AB 为( C )第4题图A ．－20 mB ．10 mC ．20 mD ．－10 m5．函数y ＝－3x 2的图象是__抛物线__，它关于__y 轴__对称，开口__向下__，顶点坐标是 (0，0) ，顶点是抛物线的最__高__点．6．有下列四个二次函数：①y＝x 2；②y＝－2x 2；③y ＝12x 2；④y＝3x 2.其中抛物线相对开口从大到小的排列顺序是__③①②④__．(填序号)7．在同一直角坐标系中作出y ＝3x 2和y ＝－3x 2的图象，并比较两者的异同． 解：如图所示：两图象开口大小、形状相同，但是开口方向不同．第7题答图8．如图所示，已知直线l 过A(4，0)，B(0，4)两点，它与二次函数y ＝ax 2的图象在第一象限内相交于点P.若△AOP 的面积为92，求a 的值．第8题图解：设直线l 的解析式为y ＝kx ＋b ， ∵直线l 过点A(4，0)和B(0，4)两点， ∴4k ＋b ＝0，b ＝4，k ＝－1， ∴y ＝－x ＋4，∵S △AOP ＝92，∴12|OA|·y P ＝92，即12×4×y P ＝92， ∴y P ＝94，∴94＝－x ＋4，解得x ＝74，把点P 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫74，94代入y ＝ax 2，解得a ＝3649.9．二次函数y ＝3x 2的图象如图所示，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B ，C 在二次函数y ＝3x 2的图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠OBA＝120°.求菱形OBAC 的面积．9题图9题答图解：连结BC 交OA 于点D ，如图． ∵四边形OBAC 为菱形， ∴BC ⊥OA ，∵∠OBA ＝120°，∴∠OBD ＝60°，∴OD ＝3BD.设BD ＝t ，则OD ＝3t ，∴B(t ，3t)，把B(t ，3t)代入y ＝3x 2，得3t ＝3t 2， 解得t 1＝0(舍去)，t 2＝1，∴BD ＝1，OD ＝3，∴BC ＝2BD ＝2，OA ＝2OD ＝23，∴菱形OBAC 的面积＝12×2×23＝2 3.B 更上一层楼 能力提升10．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象有可能是( C )A ．B ．C ． D. 11．抛物线y ＝－2x 2上一点到x 轴的距离是2，则该点的横坐标是( C ) A ．－8 B ．1 C ．1或－1 D ．2或－212．如图，在矩形ABCD 中，长AB ＝4 cm ，宽AD ＝2 cm ，O 是AB 的中点，以O 为顶点的抛物线经过C ，D ，以OA ，OB 为直径在矩形内画两个半圆，则图中阴影部分的面积为__π2__．12题图13题图13．如图所示，若一抛物线y ＝ax 2与四条直线x ＝1，x ＝2，y ＝1，y ＝2围成的正方形有公共点，则a 的取值范围为__14≤a ≤2__．第14题图14．有一座抛物线形拱桥，其水面宽AB 为18 m ，拱顶O 到水面AB 的距离OM 为8 m ，货船在水面上的部分的横截面是矩形CDEF ，如图所示建立直角坐标系．(1)求此抛物线的解析式；(2)如果限定矩形的长CD 为9 m ，那么矩形的宽DE 不能超过多少米，才能使船通过拱桥？(3)若设EF ＝a ，请将矩形CDEF 的面积S 用含a 的代数式表示，并指出a 的取值范围.解：(1)y ＝－881x 2(－9≤x≤9)．(2)∵CD＝9，∴点E 的横坐标为92，则点E 的纵坐标为－881×⎝ ⎛⎭⎪⎫922＝－2，∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92 ，－2， 因此要使货船通过拱桥，货船最大高度不能超过8－2＝6(米)． (3)由于EF ＝a ，则E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－281a 2，此时ED ＝8－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－281a 2＝8－281a 2，∴S 矩形CDEF ＝EF·ED＝8a －281a 3(0＜a ＜18)．C 开拓新思路 拓展创新第15题图15．二次函数y ＝23x 2的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，A 1，A 2，A 3，…，A 2018在y轴的正半轴上，B 1，B 2，B 3，…，B 2018在二次函数y ＝23x 2第一象限的图象上．若△A 0B 1A 1，△A 1B 2A 2, △A 2B 3A 3，…，△A 2017B 2018A 2018都为等边三角形，则△A 0B 1A 1的边长是__1__；△A 2B 3A 3的边长是__3__；△A 2017B 2018A 2018的边长是__2018__．第16题图16．如图所示，抛物线①y＝x 2和②y＝－12x 2.在x 轴上有动点P ，从原点出发，以每秒2 (cm)的速度沿x 轴正方向运动，出发t (s)后，过P 点作与y 轴平行的直线交①于点A ，交②于点B ，过A ，B 分别作x 轴的平行线交①于点D ，交②于点C.(1)求点B 、点D 的坐标(用含t 的式子表示)； (2)点P 运动几秒时，四边形ABCD 为正方形？第16题答图解：(1)如图，P 点坐标为(2t ，0)，代入y ＝－12x 2，可求B 点坐标为B(2t ，－2t 2)，P 点关于y 轴的对称点为P′(－2t ，0)，代入y ＝x 2可求D 点坐标为D(－2t ，4t 2)． (2)由题意知四边形ABCD 为矩形， 当AD ＝AB 时，四边形ABCD 为正方形，即2t －(－2t)＝4t 2－(－2t 2)， 6t 2＝4t ，解得t ＝23或t ＝0(舍去)．即点P 运动23秒时，四边形ABCD 为正方形．。
人教版2020年九年级上数学22.1.4二次函数的图象和性质课时1二次函数的图象和性质(含答案解析)
人教版2020年九年级上数学22.1.4二次函数的图象和性质课时1二次函数的图象和性质学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．二次函数2287y x x =++的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．关于抛物线244y x x =-+，下列说法错误的是（ ） A ．开口向上B ．与x 轴的交点为(2,0)C ．对称轴是直线2x =D ．当0x >时，y 随x 的增大而增大3．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是（ ） A ．直线x ＝﹣3B ．直线x ＝﹣2C ．直线x ＝﹣1D ．直线x ＝04．已知点()2,3在抛物线22y ax ax c =-+上，则下列四个点中，一定也在该抛物线上的是（ ） A ．()0,3 B ．()0,3-C ．()3,2D ．()2,3--5．已知一次函数y=bax+c 的图象如图，则二次函数y=ax 2+bx+c 在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．老师出示了小黑板上的题目后（如图），小华说：过点()3,0；小彬说：过点()4,3；小明说：1a =；小颖说：抛物线被x 轴截得的线段长为2.你认为四人的说法中，正确的有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论中：①0abc >；②20a b +<；③()a b m am b +>+（1m ≠的实数）；④22()a c b +<；⑤1a >，其中正确的是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个8．对于二次函数y ＝2x 2﹣（a ﹣2）x +1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；且关于x 的分式方程22x -﹣3＝2ax x --有整数解，则满足条件的整数a 的和为（ ） A ．5B ．6C ．10D ．17二、解答题9．对于抛物线243y x x =-+． （1）将抛物线的一般式化为顶点式． （2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．（3）结合图象，当03x <<时，求出y 的取值范围． 10．已知抛物线223y ax x =++经过点(1,0)-． （1）求出实数a 的值；（2）求出这条抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 11．已知抛物线245(0)y ax ax a =--≠． （1）写出抛物线的对称轴：直线______；（2）当1a =-时，将该抛物线图象沿x 轴翻折，得到新的抛物线解析式是_____； （3）若抛物线的顶点在x 轴上，求a 的值．12．如图，已知抛物线245y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）直接写出点A ，B ，C 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA PC +的值最小，求此时点P 的坐标； （3）点D 是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点C ，B 重合），过点D 作DF x ⊥轴于点F ，交直线BC 于点E ，连接BD ，直线BC 把BDF 的面积分成两部分，使:3:2BDE BEF S S =，请求出点D 的坐标；（4）若M 为抛物线的对称轴上的一个动点，使得MBC △为直角三角形，请直接写出点M 的坐标．三、填空题13．把抛物线y ＝﹣x 2+4x ﹣3先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则变换后的抛物线解析式是_____．14．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)P a bc 在第__________象限．15．如图，抛物线y ＝﹣x 2+2x+3交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，点D 为抛物线的顶点，点C 关于抛物线的对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，则四边形EDFG 周长的最小值为_____．参考答案1．C 【分析】把二次函数配成顶点式，从开口方向及顶点坐标可判断出大致图象． 【详解】解：∵2287y x x =++ = 22(4)7x x ++，= 2222(422)7x x ++-+， =22(2)1x +-，∴二次函数2287y x x =++的图象是一条抛物线，抛物线开口向上，顶点坐标为（-2，-1）， ∴二次函数2287y x x =++的图象大致是C. 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等，熟练进行配方变形是解题的关键． 2．D 【分析】根据二次函数的图象及性质逐一判断即可． 【详解】∵抛物线244y x x =-+的10a =>， ∴该抛物线开口向上，故选项A 不符合题意；把(2,0)代入抛物线中满足224240-⨯+=，故选项B 不符合题意； 对称轴是直线4221x -=-=⨯，故选项C 不符合题意； 当2x >时，y 随x 的增大而增大，故选项D 符合题意． 故选D ． 【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键． 3．B 【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可． 【详解】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2． 故选B ． 【点睛】本题考查二次函数的图象． 4．A 【分析】将点（2，3）代入抛物线22y ax ax c =-+，求出y=c=3，再将各个选项中的点代入计算即可求解． 【详解】解：将点（2，3）代入抛物线22y ax ax c =-+， 可得y=c=3，∴223y ax ax =-+． 当x=0时，y=c=3；当x=3时，y=9a-6a+3=3a+3； 当x=-2时，y=4a+4a+3=8a+3； 故（0，3）一定在该抛物线上， 故选：A ． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，抛物线经过点，即点的坐标满足函数解析式． 5．A 【分析】由一次函数的图象判断出ba<0, c>0，再判断二次函数的图象特征，进而求解. 【详解】由一次函数的图象可得：b a <0, c>0，所以二次函数y=ax 2+bx+c 图象的对称轴=2b a->0,与y 轴的交点在正半轴，符合题意的只有A.故选A. 【点睛】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，解题的关键是根据一次函数的图象判断出ba<0, c>0. 6．C 【分析】根据图上给出的条件是与x 轴交于（1，0），叫我们加个条件使对称轴是x=2，意思就是抛物线的对称轴是x=2是题目的已知条件，这样可以求出a 、b 的值，然后即可判断题目给出四个人的判断是否正确． 【详解】解：∵抛物线过（1，0），对称轴是x=2，3022a b b a++=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩解得a=1，b=-4， ∴y=x 2-4x+3，当x=3时，y=0，所以小华正确；当x=4时，y=3，小彬也正确，小明也正确；抛物线被x 轴截得的线段长为2，已知过点（1，0），则可得另一点为（-1，0）或（3，0），所以对称轴为y 轴或x=2，此时答案不唯一，所以小颖错误． 故选C ． 【点睛】本题是开放性题目，要把题目的结论作为题目的条件，再推理出四个人说的结论的正误．难度较大． 7．A 【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①∵抛物线的开口向上，∴a ＞0， ∵与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，∴c ＜0， ∵对称轴为2bx a=-＞0， ∴a 、b 异号，即b ＜0， 又∵c ＜0，∴abc ＞0， 故①正确； ②∵对称轴为2bx a=-，a ＞0， ∴0＜2ba-＜1， ∴−b ＜2a ， ∴2a ＋b ＞0； 故②错误；③当x ＝1时，y 1＝a ＋b ＋c ；当x ＝m 时，y 2＝m （am ＋b ）＋c ，当m ＞1，y 2＞y 1，即可得m （am ＋b ）＞a ＋b ，当-1＜m ＜1，y 2＜y 1即可得m （am ＋b ）＜a ＋b ，所以不能确定； 故③错误；④当x ＝1时，a ＋b ＋c ＝0； 当x ＝−1时，a−b ＋c ＞0；∴（a ＋b ＋c ）（a−b ＋c ）＝0，即（a ＋c ）2−b 2＝0， ∴（a ＋c ）2＝b 2； 故④错误；⑤当x ＝−1时，a−b ＋c ＝2； 当x ＝1时，a ＋b ＋c ＝0， ∴a ＋c ＝1，∴a ＝1＋（−c ）＞1，即a ＞1； 故⑤正确；综上所述，正确的是①⑤，有2个， 故选A ． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 系数符号的确定： （1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0； （2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式2bx a=-判断符号； （3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0；（4）b 2−4ac 由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2−4ac ＞0；1个交点，b 2−4ac ＝0，没有交点，b 2−4ac ＜0． 8．C 【分析】先解分式方程得x ＝4-3a -，根据分式方程22x -﹣3＝2ax x --有整数解，可推出a 可以取的值，再根据二次函数的性质可推出a 的取值范围，即可求解． 【详解】 解分式方程22x -﹣3＝2ax x --， 可得x ＝4-3a -， ∵分式方程22x -﹣3＝2ax x --有整数解， ∴a ＝﹣1，2，4，5，7， ∵y ＝2x 2﹣（a ﹣2）x +1， ∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝24a -， ∴当x ＞24a -时，y 随x 的增大而增大， ∵x ＞1时，y 随x 的增大而增大， ∴24a -≤1，解得a ≤6， ∴a 能取的整数为﹣1，2，4，5； ∴所有整数a 值的和为10， 故选：C ． 【点睛】本题考查了分式方程和二次函数的性质，掌握知识点是解题关键．9．（1）2(2)1y x =--；（2）函数图象如图所示，见解析；（3）当03x <<时，y 的取值范围是13y -<． 【分析】（1）利用配方法变形即可； （2）列表、描点、连线即可；（3）结合（2）中图象和表格即可得出结论． 【详解】（1）()222434443(2)1y x x x x x =-+=-+-+=--． ∴抛物线的顶点式为2(2)1y x =--． （2）函数图象如图所示：（3）根据函数图象可知，当03x <<时，y 的取值范围是13y -<． 【点睛】此题考查的是二次函数解析式的变形、画二次函数的图象和根据自变量的取值范围，求函数值的取值范围，掌握配方法、画二次函数的图象的一般步骤和数形结合的数学思想是解决此题的关键．10．（1）1a =-；（2）抛物线的开口方向向下，对称轴为直线1x =，顶点坐标为(1,4)．【分析】（1）将(1,0)-代入抛物线解析式中即可求出结论；（2）先将抛物线的一般式变形为顶点式，然后根据抛物线的性质与各项系数的关系即可得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线223y ax x =++经过点(1,0)-，∴2(1)2(1)30a ⨯-+⨯-+=，∴1a =-．（2）由（1）得抛物线2223(1)4y x x x =-++=--+，∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线1x =，顶点坐标为(1,4)．【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系和配方法是解决此题的关键．11．（1）2x =；（2）245y x x =-+；（3）54a =-． 【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式解答即可；（2）先确定当1a =-时抛物线的顶点坐标，再得出翻折后的顶点坐标和a 的值，进而可得答案；（3）抛物线的顶点在x 轴上也就是顶点的纵坐标为0，据此解答即可．【详解】解：（1）对称轴是直线422a x a-=-=． 故答案为：x =2；（2）1a =-时，245y x x =-+-，顶点坐标为(2,1)-，图象沿x 轴翻折后，新抛物线的顶点坐标为(2,1),1a =，∴新的抛物线解析式是22(2)145y x x x =-+=-+．故答案为：245y x x =-+；（3）由题意得顶点的横坐标2x =，所以顶点的纵坐标4850y a a =--=，即450a --=，解得54a =-． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质以及轴对称变换，属于基本题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．12．（1）点A ，B ，C 的坐标分别为(1,0),(5,0),(0,5)-；（2）点P 的坐标为(2,3)；（3）点335,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（4）点M 的坐标为(2,7)或(2,3)-或(2,6)或(2,1)-． 【分析】（1）令0y =，即可求出x 的值，从而求出点A 、B 的坐标，然后令x=0，求出y 的值，即可求出点C 的坐标；（2）先求出抛物线的对称轴，然后连接BC 交抛物线对称轴于点P ，根据两点之间线段最短可得此时PA PC +最小，则点P 为所求，利用待定系数法求出直线BC 的解析式，即可求出点P 的坐标；（3）设点()2,45D x x x -++，则点5(),E x x -+，利用等高时，三角形的面积比等于底之比列出方程即可求出结论；（4）设点(2,)M m ，利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式即可求出222229,4(5),50MB m MC m BC =+=+-=，然后根据直角三角形斜边的情况分类讨论，利用勾股定理列出方程即可求出结论．【详解】解：（1）令0y =，则1x =-或5．令0x =，则5y =，故点A ，B ，C 的坐标分别为(1,0),(5,0),(0,5)-．（2）抛物线的对称轴为直线()4221x =-=⨯-，如图，点B 是点A 关于函数对称轴的对称点，连接BC 交抛物线对称轴于点P ，根据对称性可知此时PA=PB ，即PA PC PB PC BC +=+=，根据两点之间线段最短，此时PA PC +最小，则点P 为所求．设直线BC 的解析式为y kx b =+将点B 、C 的坐标分别代入，得055k b b=+⎧⎨=⎩ 解得：15k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的解析式为5y x =-+，当2x =时，3y =，故点P 的坐标为(2,3)．（3）设点()2,45D x x x -++，则点5(),E x x -+． :3:2BDE BEF S S =，则35DE DF =， 即224553455x x x x x -+++-=-++， 解得132x =或25x =（点D 不与点B 重合，故舍去），故点335,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （4）设点(2,)M m ，而点B ，C 的坐标分别为(5,0),(0,5)，则222229,4(5),50MB m MC m BC =+=+-=，①当MB 为斜边时，则2294(5)50m m +=+-+，解得7m =；②当MC 为斜边时，则229504(5)m m ++=+-，解得3m =-；③当BC 为斜边时，则2294(5)50m m +++-=，解得6m =或1-．综上，点M 的坐标为(2,7)或(2,3)-或(2,6)或(2,1)-．【点睛】此题考查的是二次函数与一次函数的综合大题，掌握抛物线与坐标轴的交点坐标求法、抛物线对称轴公式、利用待定系数法求一次函数解析式、两点之间线段最短、平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式和勾股定理是解决此题的关键．13．y ＝﹣x 2﹣2x ﹣2．【分析】根据图像“左加右减，上加下减”的平移规律平移即可.【详解】∵抛物线y ＝﹣x 2+4x ﹣3＝﹣（x ﹣2）2+1，∴顶点坐标（2，1），向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的点是（﹣1，﹣1）．则变换后的抛物线解析式y ＝﹣（x +1）2﹣1＝﹣x 2﹣2x ﹣2．故答案为y ＝﹣x 2﹣2x ﹣2．【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，平移规律为“左加右减，上加下减”，掌握平移的规律是解题的关键.14．二【分析】首先根据二次函数的图象及性质判断a 及bc 的符号，从而得出点P （a ，bc ）所在象限．【详解】解：∵从图象可知：0a <，0c >， b 12a-= ∴20b a =->∴0bc >∴点(,)P a bc 在第二象限故答案为：二【点睛】本题考查了二次函数图象的对称轴、开口方向与y轴的交点与系数的关系．15【分析】根据抛物线解析式求得点D（1，4）、点E（2，3），作点D关于y轴的对称点D′（-1，4）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-3），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案．【详解】解：如图，在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，即点C（0，3），∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为x＝1，顶点D（1，4），则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，3），作点D关于y轴的对称点D′（﹣1，4），作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3），连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，四边形EDFG的周长＝DE+DF+FG+GE＝DE+D′F+FG+GE′＝DE+D′E′=∴四边形EDFG【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G 的位置是解题的关键．。
(名师名校推荐)2020-2021最新九年级数学上册第1章二次函数本章总结提升试题(新版)浙教版
二次函数本章总结提升问题1 抛物线的平移抛物线y＝ax2经过怎样的平移可以得到抛物线y＝a(x－m)2＋k?例1 已知某抛物线和坐标轴的交点坐标分别为(3，0)，(－1，0)和(0，－3)，回答下列问题：(1)求该抛物线的函数表达式；(2)请对该抛物线给出一种平移方案，使平移后的抛物线经过原点．【归纳总结】问题2 二次函数的图象及性质结合二次函数的图象回顾二次函数的性质，例如根据抛物线的开口方向、顶点坐标，说明二次函数在什么情况下取得最大(小)值．例2 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图1－T－1所示，有下列说法：①2a＋b＝0；②当－1≤x≤3时，y＜0；③若点(x1，y1)，(x2，y2)在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④9a＋3b＋c＝0.其中正确的是( )图1－T－1A．①②④B．①④C．①②③ D．③④【归纳总结】问题3 求二次函数的表达式用待定系数法求二次函数的表达式的方法有哪些？例3 已知一条抛物线与x轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)求该抛物线的顶点坐标．【归纳总结】用待定系数法求二次函数的表达式问题4 二次函数与一元二次方程的关系结合抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系，说明方程ax2＋bx＋c＝0的根的各种情况．例4 2016·荆门若二次函数y＝x2＋mx的图象的对称轴是直线x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为( )A．x1＝0，x2＝6 B．x1＝1，x2＝7C．x1＝1，x2＝－7 D．x1＝－1，x2＝7例5 已知抛物线y＝x2－2(m－1)x＋m2－7与x轴有两个不同的交点．(1)求m的取值范围；(2)若抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为(3，0)，求点B的坐标．【归纳总结】问题5 二次函数最值问题的实际应用在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归纳为求二次函数的最大值或最小值．请举例说明如何分析、解决这样的问题．例6 2017·湖州湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000 kg 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元(总成本＝放养总费用＋收购成本)．(1)设每天的放养费用是a 万元，收购成本为b 万元，求a 和b 的值．(2)设这批淡水鱼放养t 天后的质量为m (kg)，销售单价为y 元/kg.根据以往经验可知：m与t 的函数关系为m ＝⎩⎪⎨⎪⎧20000（0≤t ≤50），100t ＋15000（50＜t ≤100），y 与t 的函数关系如图1－T －2所示．①分别求出当0≤t ≤50和50＜t ≤100时，y 与t 之间的函数表达式；②设将这批淡水鱼放养t 天后一次性出售所得利润为W 元，求当t 为何值时，W 最大，并求出最大值．(利润＝销售总额－总成本)图1－T－2【归纳总结】二次函数的实际应用注意：(1)当题目中没有给出平面直角坐标系时，选取的平面直角坐标系不同，所得函数表达式也不同．(2)在求二次函数的最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响．(3)建立函数模型解决实际问题时，题目中没有明确函数类型时，要对求出的函数表达式进行验证，防止出现错解．问题6 二次函数与几何的综合几何图形在二次函数的应用中怎样体现？例7 2017·镇江如图1－T－3，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(4，t)(t＞0)．二次函数y＝x2＋bx(b＜0)的图象经过点B，顶点为D.(1)当t＝12时，顶点D到x轴的距离等于________；(2)E是二次函数y＝x2＋bx(b＜0)的图象与x轴的一个公共点(点E与点O不重合)．求OE·EA 的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；(3)矩形OABC的对角线OB，AC相交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数y＝x2＋bx(b ＜0)的图象于点M，N，连结DM，DN.当△DMN≌△FOC时，求t的值．图1－T－3【归纳总结】二次函数与几何综合二次函数常常与三角形、四边形、圆等几何图形综合，考查以下几类问题：(1)线段数量关系、最值问题；(2)面积数量关系、最值问题；(3)存在性问题：包含特殊三角形、特殊四边形、直线与圆相切等．详解详析【整合提升】例1解：(1)∵抛物线与x轴的交点坐标为(3，0)，(－1，0)，∴设抛物线的函数表达式为y＝a(x－3)(x＋1)(a≠0)．∵当x＝0时，y＝－3，∴－3＝(0－3)(0＋1)a，∴a＝1，∴y＝(x－3)(x＋1)，即y＝x2－2x－3.(2)在抛物线上取一点P(1，－4)，∵将点P向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得点P′(0，0)，∴将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后所得的抛物线经过原点(0，0)．注：(2)题答案不唯一．例2[解析] B ∵函数图象的对称轴为直线x＝－b2a＝－1＋32＝1，∴b＝－2a，即2a＋b＝0，故①正确；∵抛物线开口向上，∴a>0.又∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，∴当－1≤x≤3时，y≤0，故②错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，∴若点(x1，y1)，(x2，y2)在函数图象上，当1<x1<x2时，y1<y2；当x1<x2<1时，y1>y2，故③错误；∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(3，0)，∴当x＝3时，y＝0，即9a＋3b＋c＝0，故④正确．故选B.例3 [解析] 本题可用待定系数法求抛物线的函数表达式，求该抛物线的顶点坐标可将表达式配方成顶点式．解：(1)设这个抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由抛物线过A(－2，0)，B(1，0)，C(2，8)三点，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，c ＝－4.∴所求抛物线的函数表达式为y ＝2x 2＋2x －4.(2)∵y＝2x 2＋2x －4＝2(x 2＋x －2)＝2(x ＋12)2－92， ∴该抛物线的顶点坐标为(－12，－92)． [点评] 求抛物线的顶点坐标除了可以将一般式配方成顶点式外，还可以直接运用顶点坐标公式(－b 2a ，4ac －b 24a)求得． 例4 [答案] D例5 [解析] (1)根据b 2－4ac>0确定m 的取值范围；(2)可以把x ＝3，y ＝0代入表达式，求出m 的值，但要注意m 的值应符合(1)中的要求．解：(1)∵抛物线y ＝x 2－2(m －1)x ＋m 2－7与x 轴有两个不同的交点，∴方程x 2－2(m －1)x ＋m 2－7＝0有两个不同的实数根，∴b 2－4ac>0，即4(m －1)2－4(m 2－7)>0，解得m<4.(2)把x ＝3，y ＝0代入表达式，得9－6(m －1)＋m 2－7＝0，即m 2－6m ＋8＝0，解得m 1＝2，m 2＝4.∵m<4，∴m ＝2，∴函数表达式为y ＝x 2－2x －3.令y ＝0，则x 2－2x －3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1，∴点B 的坐标为(－1，0)．例6 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10a ＋b ＝30.4，20a ＋b ＝30.8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.04，b ＝30.即a 的值为0.04，b 的值为30. (2)①当0≤t≤50时，设y 与t 之间的函数表达式为y ＝k 1t ＋n 1，把点(0，15)和(50，25)的坐标分别代入y ＝k 1t ＋n 1，得⎩⎪⎨⎪⎧15＝n 1，25＝50k 1＋n 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝15，n 1＝15.∴y 与t 之间的函数表达式为y ＝15t ＋15； 当50＜t≤100时，设y 与t 之间的函数表达式为y ＝k 2t ＋n 2，把点(50，25)和(100，20)的坐标分别代入y ＝k 2t ＋n 2，得⎩⎪⎨⎪⎧25＝50k 2＋n 2，20＝100k 2＋n 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－110，n 2＝30.∴y 与t 之间的函数表达式为y ＝－110t ＋30. ②由题意得， 当0≤t≤50时，W ＝20000⎝ ⎛⎭⎪⎫15t ＋15－(400t ＋300000)＝3600t ， ∵3600＞0，∴当t ＝50时，W 最大值＝180000；当50＜t≤100时，W ＝(100t ＋15000)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－110t ＋30－(400t ＋300000)＝－10t 2＋1100t ＋150000＝－10(t －55)2＋180250.∵－10＜0，∴当t ＝55时，W 最大值＝180250.∵180000<180250，∴当t ＝55天时，W 最大，最大值为180250.例7 解：(1)14(2)∵二次函数y ＝x 2＋bx(b<0)的图象与x 轴交于点E ，∴E(－b ，0)，∴OE ＝－b ，EA ＝4＋b.∴OE ·EA ＝－b(b ＋4)＝－b 2－4b ＝－(b ＋2)2＋4.∴当b ＝－2时，OE ·EA 有最大值，其最大值为4.此时二次函数的表达式为y ＝x 2－2x.(3)如图，过点D 作DG⊥MN，垂足为G ，过点F 作FH⊥CO，垂足为H.∵△DMN ≌△FOC ，∴MN ＝CO ＝t ，DG ＝FH ＝2.∵D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2，－b24，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＋t 2，－b 24＋2，即N(t －b 2，8－b24)．把x ＝t －b 2，y ＝8－b24代入y ＝x 2＋bx ，得8－b24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －b 22＋b·t －b 2，解得t ＝±2 2.∵t ＞0，∴t ＝2 2.。
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专题分类突破二 抛物线中几何图形的最值问题
(见B 本9页)
, 类型 1 线段的最值问题)
例1图
【例1】 如图所示，线段AB ＝10，点P 在线段AB 上，在AB 的同侧分别以AP ，BP 为边长作正方形APCD 和BPEF ，点M ，N 分别是EF ，CD 的中点，则MN 的最小值是__5__．
变式 某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y ＝
1100
x 2
的形状．今在一个坡度为1∶5的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两个离地面高度为20米的塔柱(如图)，这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离是( B )
变式图 A ．12.75米
B ．13.75米
C ．14.75米
D ．17.75米
, 类型 2 线段和差的最值问题
【例2】 如图所示，已知抛物线y ＝－x 2
＋px ＋q 的对称轴为直线x ＝－3，过其顶点M 的一条直线y ＝kx ＋b 与该抛物线的另一个交点为N(－1，1)．若要在y 轴上找一点P ，使得PM ＋PN 最小，则点P 的坐标为( A )
A ．(0，2)
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，53
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，43
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，32 例2图
变式 如图所示，二次函数y ＝－x 2
－3x ＋4的图象交x 轴于A ，B ，交y 轴于点C.点P 是抛物线的对称轴上
一动点，若|PA －PC|的值最大，则点P 的坐标为 ⎝
⎛⎭
⎪⎫－32
，10 ． , 类型 3 面积的最值问题
【例3】 正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线l 经过O ，P ，A 三点，点E 是正方形内抛物线l 上的动点．则△OAE 与△OCE 面积之和的最大值是__9__．
例3图
变式 如图所示，二次函数y ＝ax 2
＋bx 的图象经过点A(2，4)与B(6，0)． (1)a ＝__－1
2
__，b ＝__3__；
(2)点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x ＜6)，写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．
解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y ＝ax 2
＋bx ，
得⎩⎪⎨⎪
⎧4a ＋2b ＝4，36a ＋6b ＝0，解得⎩⎪⎨
⎪⎧a ＝－12，b ＝3，
变式答图
(2)如图，过A 作x 轴的垂线，垂足为D(2，0)，连结CD ，CB ，过C 作CE⊥AD，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ， S △OAD ＝12OD ·AD ＝1
2
×2×4＝4；
S △ACD ＝12AD ·CE ＝1
2×4×(x －2)＝2x －4；
S △BCD ＝12BD ·CF ＝12×4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12x 2＋3x ＝－x 2
＋6x ，
则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋2x －4－x 2
＋6x ＝－x 2
＋8x ，
∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2
＋8x(2＜x ＜6)．
∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2
＋16，
∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16.
1．2017·泸州中考已知抛物线y ＝14x 2
＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x
轴
第1题图
的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3，3)，P 是抛物线y ＝14x 2
＋1上一动点，则△PMF 周长的最小值
是( C )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
第2题图
2．如图所示，抛物线y ＝－x 2
－2x ＋3 的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．
(1)写出A ，B ，C 三点的坐标：A(__－3__，__0__)，B(__1__，__0__)，C(__0__，__3__)．
(2)点M 为线段AB 上一点(点M 不与点A ，B 重合)，过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN⊥x 轴于点N.若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求△AEM 的面积．
解：(2)由抛物线y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2
＋4可知， 对称轴为直线x ＝－1，
设点M 的横坐标为m ，则PM ＝－m 2
－2m ＋3，MN ＝(－m －1)×2＝－2m －2，
∴矩形PMNQ 的周长＝2(PM ＋MN)＝2(－m 2
－2m ＋3－2m －2)
＝－2m 2－8m ＋2＝－2(m ＋2)2
＋10， ∴当m ＝－2时矩形的周长最大．
∵点A(－3，0)，C(0，3)，可求得直线AC 的函数表达式为y ＝x ＋3， 当x ＝－2时，y ＝－2＋3＝1，则点E(－2，1)，
∴EM ＝1，AM ＝1，∴S ＝12AM ·EM ＝1
2.
第3题图
3．2017·东营中考如图所示，直线y ＝－
3
3
x ＋3分别与x 轴、y 轴交于B ，C 两点，点A 在x 轴上，∠ACB ＝90°，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋3经过A ，B 两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M 是直线BC 上方抛物线上的一点，过点M 作MH⊥BC 于点H ，作MD∥y 轴交BC 于点D ，求△DMH 周长的最大值．
解：(1)∵直线y ＝－
3
3
x ＋3分别与x 轴、y 轴交于B ，C 两点， ∴B(3，0)，C(0，3)，
∴OB ＝3，OC ＝3，∴BC ＝23， ∴∠CBO ＝30°，∠BCO ＝60°，
∵∠ACB ＝90°，∴∠ACO ＝30°，∴AO ＝1，∴A(－1，0)． ∵抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋3经过A ，B 两点， ∴⎩⎨⎧a －b ＋3＝0，
9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3
3，b ＝23
3， ∴抛物线解析式为y ＝－
33x 2＋233
x ＋ 3. (2)∵MD∥y 轴，MH ⊥BC ，
∴∠MDH ＝∠BCO＝60°，则∠DMH＝30°， ∴DH ＝12DM ，MH ＝3
2
DM ，
∴△DMH 的周长＝DM ＋DH ＋MH ＝DM ＋12DM ＋32DM ＝3＋3
2DM ，
∴当DM 有最大值时，其周长有最大值，
∵点M 是直线BC 上方抛物线上的一点， ∴可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－
33t 2＋233t ＋3，则D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ，－33t ＋3， ∴DM ＝－33t 2＋233t ＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫
－33t ＋3＝－33t 2＋3t ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋334，
∴当t ＝32时，DM 有最大值，最大值为33
4
，
此时3＋32DM ＝3＋32×334＝93＋98，即△DMH 周长的最大值为93＋9
8.
第4题图
4．已知：抛物线l 1：y ＝－x 2
＋bx ＋3交x 轴于点A ，B(点A 在点B 的左侧)，交y 轴于点C ，其对称轴为x
＝1，抛物线l 2经过点A ，与x 轴的另一个交点为E(5，0)，交y 轴于点D ⎝
⎛⎭⎪⎫0，－52. (1)求抛物线l 2的函数表达式；
(2)M 为抛物线l 2上一动点，过点M 作直线MN ∥y 轴，交抛物线l 1于点N ，求点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值．
解：(1)∵抛物线l 1：y ＝－x 2
＋bx ＋3的对称轴为x ＝1，
∴－b －2＝1，解得b ＝2，∴抛物线l 1的解析式为y ＝－x 2
＋2x ＋3，
令y ＝0，可得－x 2
＋2x ＋3＝0，解得x ＝－1或x ＝3， ∴A 点坐标为(－1，0)，∵抛物线l 2经过A ，E 两点， ∴可设抛物线l 2的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －5)， 又∵抛物线l 2交y 轴于点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52， ∴－52＝－5a ，解得a ＝1
2，
∴y ＝12(x ＋1)(x －5)＝12x 2－2x －52，
∴抛物线l 2的函数表达式为y ＝12x 2－2x －52.
(2)由题意可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x 2
－2x －52，
∵MN ∥y 轴，∴N(x ，－x 2
＋2x ＋3)，
令－x 2
＋2x ＋3＝12x 2－2x －52，解得x ＝－1或x ＝113
.
①当－1＜x≤113时，MN ＝(－x 2
＋2x ＋3)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －52＝－32x 2＋4x ＋112＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432＋496，
显然，－1＜43≤113，∴当x ＝43时，MN 有最大值49
6
；
②当113＜x≤5时，MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －52－(－x 2
＋2x ＋3)＝32x 2－4x －112＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432－496，
显然，当x ＞4
3时，MN 随x 的增大而增大，
∴当x ＝5时，MN 有最大值，32×⎝ ⎛⎭⎪⎫5－432－49
6
＝12.
综上可知在点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值为12.。