【优化方案】高中人教A版数学必修4同步测试卷：高中同步测试卷(十四)(含答案解析)
2021高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4习题：模块综合检测 Word版含答案
模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：选C .a －b ＝⎝⎛⎭⎫12，－12，(a －b )·b ＝0， 所以a －b 与b 垂直．故选C .2．已知sin(π＋α)＝13，则cos 2α＝( )A ．79B ．89C ．－79D ．429解析：选A .由于sin(π＋α)＝13，所以sin α＝－13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－132 ＝79.3．下列函数中同时满足最值是12，最小正周期是6π的三角函数的解析式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 解析：选A .由题意得，A ＝12，2πω＝6π，ω＝13，故选A .4．已知平面对量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B ．由于a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )， 所以1×m －2×(－2)＝0， 所以m ＝－4.所以2a ＋3b ＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．5．在△ABC 中，A ＝15°，则3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A .22B ．32C . 2D ．2解析：选C .由于A ＋B ＋C ＝180°， 所以原式＝3sin A －cos(180°－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋30°) ＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝2.6．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．90°解析：选C .设a ，b 的夹角为θ，由c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a·b ＝0⇒a·b ＝－1⇒cos θ＝a·b |a ||b |＝－12且0°≤θ≤180°⇒θ＝120°.故选C .7．已知α，β为锐角，且tan α＝17，sin β＝35，则α＋β等于( )A ．3π4B ．2π3C ．π4D ．π3解析：选C .由于β为锐角，sin β＝35，所以cos β＝1－sin 2β＝45，所以tan β＝sin βcos β＝34， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝17＋341－17×34＝1.由于α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)， 所以α＋β＝π4.8．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A .π12B ．π6C .π3D .5π6解析：选B ．y ＝f (x )＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，向左平移m (m ＞0)个单位长度后得f (x ＋m )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋π3，由于图象关于y 轴对称，令x ＝0，得⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫m ＋π3＝2， 从而m ＋π3＝2k π±π2，故m ＝2k π＋π6或m ＝2k π－5π6，k ∈Z .又m ＞0，所以m min ＝π6.9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)的值等于( )A ．2B ．2＋ 2C ．2＋2 2D ．－2－2 2解析：选C .由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A ＝2，φ＝0，2πω＝8，从而f (x )＝2sinπ4x . 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋22.10．已知向量a ＝(2cos φ，2sin φ)，φ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，b ＝(0，－1)，则a 与b 的夹角为( ) A ．φ B ．π2－φC .π2＋φ D .3π2－φ 解析：选D .|a |＝（2cos φ）2＋（2sin φ）2＝2，|b |＝1，a·b ＝－2sin φ，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a |·|b |＝－2sin φ2×1＝－sin φ＝sin(－φ)＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－φ，即cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－φ，且3π2－φ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以θ＝3π2－φ.故选D .11．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|为( )A .152B ．152C ．7D ．18解析：选A .由于AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(5p ＋2q ＋p －3q )＝12(6p －q )，所以|AD →|＝|AD →|2＝12（6p －q ）2＝1236p 2－12p ·q ＋q 2＝1236×()222－12×22×3×cos π4＋32＝152.12．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4解析：选A .由于函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，所以θ＝π2，所以y ＝2cos ωx ，排解C ，D ；y ＝2cos ωx ∈[－2，2]，结合题意可知T ＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2，排解B ，故选A .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan(3π＋2θ)＝________．解析：由同角三角函数的基本关系式，得tan θ＝－32，从而tan(3π＋2θ)＝tan 2θ＝2tan θ1－tan 2 θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－⎝⎛⎭⎫－322＝125. 答案：12514．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2，2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________． 解析：由于∠ABO ＝90°，所以AB →⊥OB →，所以OB →·AB →＝0. 又AB →＝OB →－OA →＝(2，2)－(－1，t )＝(3，2－t )， 所以(2，2)·(3，2－t )＝6＋2(2－t )＝0. 所以t ＝5. 答案：515．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，则f (x )的最小值为________． 解析：f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由于π4≤x ≤π2，所以π6≤2x －π3≤2π3，所以12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 所以1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤2， 所以1≤f (x )≤2，所以f (x )的最小值为1. 答案：116(2021·高考安徽卷)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出全部正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →. 解析：由于 AB →2＝4|a |2＝4，所以|a |＝1，故①正确；由于 BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，又△ABC 为等边三角形，所以|BC →|＝|b |＝2，故②错误； 由于 b ＝AC →－AB →，所以a ·b ＝12AB →·(AC →－AB →)＝12×2×2×cos 60°－12×2×2＝－1≠0，故③错误；由于 BC →＝b ，故④正确；由于 (AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝AC →2－AB →2＝4－4＝0， 所以(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确． 答案：①④⑤三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，A (1，－2)，B (－3，－4)，O 为坐标原点． (1)求OA →·OB →；(2)若点P 在直线AB 上，且OP →⊥AB →，求OP →的坐标． 解：(1)OA →·OB →＝1×(－3)＋(－2)×(－4)＝5. (2)设P (m ，n )，由于P 在AB 上，所以BA →与P A →共线．BA →＝(4，2)，P A →＝(1－m ，－2－n )，所以4·(－2－n )－2(1－m )＝0. 即2n －m ＋5＝0.①又由于OP →⊥AB →，所以(m ，n )·(－4，－2)＝0. 所以2m ＋n ＝0.②由①②解得m ＝1，n ＝－2，所以OP →＝(1，－2)．18．(本小题满分12分)已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值． 解：(1)cos β＝55，β∈(0，π)， 得sin β＝255，即tan β＝2.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.(2)由于tan α＝－13，α∈(0，π)，所以sin α＝110，cos α＝－310. 所以f (x )＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －255sin x ＝－5sin x .所以f (x )的最大值为5.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)争辩f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2. 由于f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2， 即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减． 20．(本小题满分12分)(2021·高考湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上全部点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解：(1)依据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)，知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 因此g (x )＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由于y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0. 21．(本小题满分12分)将射线y ＝17x (x ≥0)围着原点逆时针旋转π4后所得的射线经过点A (cos θ，sin θ)．(1)求点A 的坐标；(2)若向量m ＝(sin 2x ，2cos θ)，n ＝(3sin θ，2cos 2x )，求函数f (x )＝m·n ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域． 解：(1)设射线y ＝17x (x ≥0)与x 轴的非负半轴所成的锐角为α，则tan α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 所以tan α＜tan π4，所以α∈⎝⎛⎭⎫0，π4， 所以tan θ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝17＋11－17×1＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θcos θ＝43，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35.所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫35，45. (2)f (x )＝3sin θ·sin 2x ＋2cos θ·2cos 2x ＝125sin 2x ＋125cos 2x ＝1225sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－125，1225.22．(本小题满分12分)已知向量OA →＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m ＝(2，1)，n ＝()0，－5，且m ⊥(OA →－n )．(1)求向量OA →； (2)若cos(β－π)＝210，0＜β＜π，求cos(2α－β)的值． 解：(1)由于OA →＝(cos α，sin α)， 所以OA →－n ＝()cos α，sin α＋5. 由于m ⊥(OA →－n )，所以m ·(OA →－n )＝0， 所以2cos α＋sin α＋5＝0.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得sin α＝－55，cos α＝－255， 所以OA →＝⎝⎛⎭⎫－255，－55. (2)由于cos(β－π)＝210， 所以cos β＝－210， 又0＜β＜π， 所以sin β＝1－cos 2β＝7210，且π2＜β＜π. 又由于sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－55×⎝⎛⎭⎫－255＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35，所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×⎝⎛⎭⎫－210＋45×7210 ＝25250＝22.。
2022版《优化方案》高中数学人教A版必修四文档：第一章§5.1正弦函数的图像 Word版含答案
§5 正弦函数的性质与图像5．1 正弦函数的图像1．问题导航(1)用“五点法”作正弦函数图像的关键是什么？(2)利用“五点法”作y ＝sin x 的图像时，x 依次取－π，－π2，0，π2，π可以吗？(3)作正弦函数图像时应留意哪些问题？ 2．例题导读P 27例1.通过本例学习，学会用五点法画函数y ＝a sin x ＋b 在[0，2π]上的简图． 试一试：教材P 28练习题你会吗？1．正弦函数的图像与五点法(1)图像：正弦函数y ＝sin x 的图像叫作正弦曲线，如图所示．(2)五点法：在平面直角坐标系中经常描出五个关键点(它们是正弦曲线与x 轴的交点和函数取最大值、最小值时的点)：(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线顺次将它们连接起来，得到函数y ＝sin x 在[0，2π]上的简图，这种画正弦曲线的方法为“五点法”．(3)利用五点法作函数y ＝A sin x (A >0)的图像时，选取的五个关键点依次是：(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，A ，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－A ，(2π，0)． 2．正弦曲线的简洁变换函数y ＝sin x 与y ＝sin x ＋k 图像间的关系．当k >0时，把y ＝sin x 的图像向上平移k 个单位长度得到函数y ＝sin x ＋k 的图像； 当k <0时，把y ＝sin x 的图像向下平移|k |个单位长度得到函数y ＝sin x ＋k 的图像．1．推断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝sin x 的图像与y 轴只有一个交点．( )(2)函数y ＝sin x 的图像介于直线y ＝1与y ＝－1之间．( )(3)用五点法作函数y ＝－2sin x 在[0，2π]上的图像时，应选取的五个点是(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，－2，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，2，(2π，0)．( )(4)将函数y ＝sin x ，x ∈[－π，π]位于x 轴上方的图像保持不变，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方即可得到函数y ＝|sin x |，x ∈[－π，π]的图像．( )解析：(1)正确．观看正弦函数的图像知y ＝sin x 的图像与y 轴只有一个交点． (2)正确．观看正弦曲线可知正弦函数的图像介于直线y ＝1与y ＝－1之间．(3)正确．在函数y ＝－2sin x ，x ∈[0，2π]的图像上起关键作用的五个点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－2，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，2，(2π，0)．(4)正确．当x ∈[－π，π]时，y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥0，－sin x ，sin x <0，于是，将函数y ＝sin x ，x ∈[－π，π]位于x轴上方的图像保持不变，把x 轴下方的图像翻折到x 轴上方即可得函数y ＝|sin x |，x ∈[－π，π]的图像．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像时，下列点不是关键点的是( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，12 B.⎝⎛⎭⎫π2，1 C ．(π，0) D ．(2π，0)解析：选A.用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像，五个关键点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0)．3．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．解析：0＋π2＋π＋3π2＋2π＝5π.答案：5π4．(1)正弦曲线在(0，2π]内最高点坐标为________，最低点坐标为________．(2)在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈(0，2π]与y ＝sin x ，x ∈(2π，4π]的图像外形________，位置________．(填“相同”或“不同”)解析：(1)由正弦曲线知，正弦曲线在(0，2π]内最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，最低点为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1.(2)在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈(0，2π]与y ＝sin x ，x ∈(2π，4π]的图像，外形相同，位置不同．答案：(1)⎝⎛⎭⎫π2，1 ⎝⎛⎭⎫3π2，－1(2)相同 不同1．y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈R 的图像间的关系(1)函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像是函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像的一部分．(2)由于终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π]，k ∈Z 且k ≠0的图像与函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像外形完全全都，因此将y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)就可得到函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像．2．“几何法”和“五点法”画正弦函数图像的优缺点(1)“几何法”的实质是利用正弦线进行的尺规作图，这样作图较精确，但较为烦琐．(2)“五点法”的实质是在函数y ＝sin x 的一个周期内，选取5个分点，也是函数图像上的5个关键点：最高点、最低点及平衡点，这五个点大致确定了函数一个周期内图像的外形．(3)“五点法”是画三角函数图像的基本方法，在要求精确度不高的状况下常用此法，要切实把握好．另外与“五点法”作图有关的问题经常消灭在高考试题中．3．关于“五点法”画正弦函数图像的要点 (1)应用的前提条件是精确度要求不是太高． (2)五个点必需是确定的五点．(3)用光滑的曲线顺次连接时，要留意线的走向，一般在最高(低)点的四周要平滑，不要消灭“拐角”现象．(4)“五点法”作出的是一个周期上的正弦函数图像，要得到整个正弦函数图像，还要“平移”．用五点法作正弦型函数的图像用五点法画函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图． (链接教材P 27例1) [解] 步骤：①列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 y－11－1－3－1②描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－3，(2π，－1)．③连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图，如图所示．方法归纳作形如函数y ＝a sin x ＋b ，x ∈[0，2π]的图像的步骤1．(1)函数f (x )＝a sin x ＋b ，(x ∈[0，2π])的图像如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝12sin x ＋1，x ∈[0，2π]B ．f (x )＝sin x ＋12，x ∈[0，2π]C ．f (x )＝32sin x ＋1，x ∈[0，2π]D ．f (x )＝32sin x ＋12，x ∈[0，2π](2)用五点法作出下列函数的简图．①y ＝2sin x ，x ∈[0，2π]； ②y ＝2－sin x ，x ∈[0，2π]．解：(1)选A.将图像中的特殊点代入f (x )＝a sin x ＋b ，x ∈[0，2π]，不妨将(0，1)与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.5代入得⎩⎨⎧a sin 0＋b ＝1，a sin π2＋b ＝1.5，解得b ＝1，a ＝0.5，故f (x )＝12sin x ＋1，x ∈[0，2π]． (2)①列表：x 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝2sin x2－2描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．②列表：x 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝2－sin x21232描点并将它们用光滑的曲线连接，如图：利用正弦函数的图像求函数的定义域求函数f (x )＝lg (sin x )＋16－x 2的定义域． (链接教材P 30习题1－5 A 组T 4)[解] 由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，16－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，sin x >0，作出y ＝sin x 的图像，如图所示．结合图像可得：该函数的定义域为[－4，－π)∪(0，π)． 方法归纳一些三角函数的定义域可以借助函数图像直观地观看得到，同时要留意区间端点的取舍．有时利用图像先写出在一个周期区间上的解集，再推广到一般状况．2．求函数y ＝log 21sin x－1的定义域.解：为使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0⇔0<sin x ≤12.依据正弦曲线得，函数定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π，2k π＋π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋5π6，2k π＋π，k ∈Z .利用正弦函数的图像确定方程解的个数在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图像，依据图像推断出方程sin x ＝lg x 的解的个数． (链接教材P 30习题1－5 A 组T 1(1))[解] 建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像，再依次向右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图像．作出y ＝lg x 的图像，如图所示．由图像可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．若本例中的函数y ＝lg x 换为y ＝x 2，则结果如何？解：在同始终角坐标系中画出函数y ＝x 2和y ＝sin x 的图像，如图所示．由图知函数y ＝x 2和y ＝sin x 和图像有两个交点，则方程x 2－sin x ＝0有两个根． 方法归纳方程根(或个数)的两种推断方法(1)代数法：直接求出方程的根，得到根的个数．(2)几何法：①方程两边直接作差构造一个函数，作出函数的图像，利用对应函数的图像，观看与x 轴的交点个数，有几个交点原方程就有几个根．②转化为两个函数，分别作这两个函数的图像，观看交点个数，有几个交点原方程就有几个根．3．(1)函数y ＝2sin x 与函数y ＝x 的图像的交点有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 (2)争辩方程10sin x ＝x (x ∈R )根的个数．解：(1)选B.在同始终角坐标系中作出函数y ＝2sin x 与y ＝x 的图像，由图像可以看出有3个交点．(2)如图所示，当x ≥4π时，x 10≥4π10>1≥sin x ；当x ＝52π时，sin x ＝sin 52π＝1，x 10＝5π20，1>5π20，从而x >0时，有3个交点，由对称性知x <0时，有3个交点，加上x ＝0时的交点为原点，共有7个交点．即方程有7个根．思想方法数形结合思想的应用求满足下列条件的角的范围．(1)sin x ≥12；(2)sin x ≤－22.⎝⎛⎭⎫0，12作x 轴[解] (1)利用“五点法”作出y ＝sin x 的简图，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，12两的平行线，在[0，2π]上，直线y ＝12与正弦曲线交于⎝⎛⎭⎫π6，12，点．结合图形可知，在[0，2π]内，满足y ≥12时x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π6≤x ≤5π6.因此，当x ∈R 时，若y ≥12，则x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z .(2)同理，满足sin x ≤－22的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪5π4＋2k π≤x ≤74π＋2k π，k ∈Z . [感悟提高] 形如sin x >a (<a )的不等式，求角x 的范围，一般接受数形结合的思想来解题，具体步骤： (1)画出y ＝sin x 的图像，画直线y ＝a .(2)若解sin x >a ，则观看y ＝sin x 在直线y ＝a 上方的图像．这部分图像对应的x 的范围，就是所求的范围． 若解sin x <a ，则观看y ＝sin x 在直线y ＝a 下方的图像．这部分图像对应的x 的范围，就是所求的范围．1．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的大致图像是( )解析：选B.利用五点法画图，函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的图像肯定过点(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，1)，⎝⎛⎭⎫32π，2，(2π，1)，故B 项正确．2．已知点M ⎝⎛⎭⎫π4，b 在函数f (x )＝2sin x ＋1的图像上，则b ＝________．解析：b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4＋1＝2.答案：23．若函数f (x )＝2sin x －1－a 在⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝0得2sin x ＝1＋a .作出y ＝2sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上的图像，如图所示．要使函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上有两个零点，需满足3≤1＋a <2，所以3－1≤a <1.答案：[3－1，1), [同学用书单独成册])[A.基础达标]1．关于正弦函数y ＝sin x 的图像，下列说法错误的是( ) A ．关于原点对称 B ．有最大值1C ．与y 轴有一个交点D ．关于y 轴对称解析：选D.正弦函数y ＝sin x 的图像如图所示．依据y ＝sin x ，x ∈R 的图像可知A ，B ，C 均正确，D 错误． 2．函数y ＝sin x 的图像与函数y ＝－sin x 的图像关于( ) A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：选A.在同始终角坐标系中画出函数y ＝sin x 与函数y ＝－sin x 在[0，2π]上的图像，可知两函数的图像关于x 轴对称．3．下列函数图像相同的是( ) A ．y ＝sin x 与y ＝sin(x ＋π)B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－xC ．y ＝sin x 与y ＝sin(－x )D ．y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x解析：选D.对A ，由于y ＝sin(x ＋π)＝－sin x ，故排解A ；对B ，由于y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，故排解B ；对C ，由于y ＝sin(－x )＝－sin x ，故排解C ；对D ，由于y ＝sin(2π＋x )＝sin x ，故选D.4.函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的简图是( )解析：选D .当x ＝－π2时，y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝1，故排解A 、B 、C ，选D .5．函数y ＝x sin x 的部分图像是( )解析：选A .函数y ＝x sin x 的定义域为R ，令f (x )＝x sin x ，则f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，知f (x )为偶函数，排解B 、D ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )>0，故排解C ，故选A.6．在[0，2π]上，满足sin x ≥22的x 的取值范围为________．解析：在同始终角坐标系内作出y ＝sin x 和y ＝22的图像如图，观看图像并求出交点横坐标，可得到x的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34π.答案：⎣⎡⎦⎤π4，34π7.函数y ＝sin x 的图像和y ＝x2π的图像交点个数是________． 解析：在同始终角坐标系内作出两个函数的图像如图所示：由图可知交点个数是3.答案：38.已知sin x ＝m －1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． 解析：由y ＝sin x ，x ∈R 的图像知，－1≤sin x ≤1， 即－1≤m －1≤1，所以0≤m ≤2. 答案：0≤m ≤29.用“五点法”画出函数y ＝3－sin x (x ∈[0，2π])的图像． 解：(1)列表，如表所示：x 0 π2 π 32π 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝3－sin x32343(2)描点，连线，如图所示．10.若函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且只有两个不同的交点，求k 的取值范围．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π，作出函数的图像如图：由图可知当1<k <3时函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且只有两个不同的交点． [B.力量提升]1．若y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，2π3，则函数的值域为( )A.⎝⎛⎭⎫22，1B.⎣⎡⎦⎤22，1 C ．(1，2] D ．[1，2]解析：选B.画出函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3的图像如图所示，可知y ∈⎣⎡⎦⎤22，1.2．设a >0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x(0<x <π)，下列结论正确的是( ) A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．有最大值且有最小值 D ．既无最大值也无最小值解析：选B.f (x )＝sin x ＋a sin x ＝1＋asin x.由于0<x <π，所以0<sin x ≤1.所以1sin x≥1.所以1＋asin x ≥a ＋1.所以f (x )有最小值而无最大值． 故选B.3．已知f (sin x )＝x 且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________．解析：由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin x ＝12时，x ＝π6，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6＝π6.答案：π64．若x 是三角形的最小角，则y ＝sin x 的值域是________． 解析：不妨设△ABC 中，0<A ≤B ≤C ， 得0<A ≤B ，且0<A ≤C ，所以0<3A ≤A ＋B ＋C ，而A ＋B ＋C ＝π， 所以0<3A ≤π，即0<A ≤π3.若x 为三角形中的最小角，则0<x ≤π3，由y ＝sin x 图像知y ∈⎝⎛⎦⎤0，32.答案：⎝⎛⎦⎤0，325．用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观看函数图像，写出满足下列条件的x 的区间． ①y >1；②y <1.(2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]有两个交点，求a 的取值范围． 解：列表如下：x －π －π2 0 π2 π sin x 0 －1 0 1 0 1－2sin x131－11描点连线得：(1)由图像可知图像在y ＝1上方部分时y >1，在y ＝1下方部分时y <1， 所以当x ∈(－π，0)时，y >1；当x ∈(0，π)时，y <1.(2)如图所示，当直线y ＝a 与y ＝1－2sin x 有两个交点时，1<a <3或－1<a <1. 所以a 的取值范围是{a |1<a <3或－1<a <1}．6．(选做题)已知函数y ＝f (x )为奇函数，且是⎝⎛⎭⎫－12，12上的减函数，f (1－sin α)＋f (1－sin 2α)<0，求α的取值范围．解：由题意可知f (1－sin α)<－f (1－sin 2α)． 由于f (x )是奇函数，所以－f (1－sin 2α)＝f (sin 2α－1)，所以f (1－sin α)<f (sin 2α－1)．又由f (x )是⎝⎛⎭⎫－12，12上的减函数， 所以⎩⎨⎧－12<1－sin α<12，－12<sin 2α－1<12，1－sin α>sin 2α－1，所以⎩⎨⎧12<sin α<32，12<sin 2α<32，sin 2α＋sin α－2<0，解得22<sin α<1， 所以2k π＋π4<α<2k π＋π2(k ∈Z )或2k π＋π2<α<2k π＋3π4(k ∈Z )，所以α的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋3π4(k ∈Z )．。
2021高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4习题：章末综合检测(一) Word版含答案
章末综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝tan x2是( )A ．最小正周期为4π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为4π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数解析：选B ．该函数为奇函数，其最小正周期T ＝π12＝2π.2．简谐运动y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5x －π3的相位与初相是( ) A ．5x －π3，π3B ．5x －π3，4C ．5x －π3，－π3D ．4，π3解析：选C .相位是5x －π3，当x ＝0时的相位为初相即－π3.3．设a ＜0，角α的终边与单位圆的交点为P (－3a ，4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( ) A .25 B ．－25C .15D ．－15解析：选A .由于点P 在单位圆上，则|OP |＝1. 即（－3a ）2＋（4a ）2＝1，解得a ＝±15.由于a ＜0，所以a ＝－15.所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－45. 所以sin α＝－45，cos α＝35.所以sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25.4．设α为其次象限角，则sin αcos α·1sin 2α－1＝( ) A ．1 B ．tan 2α C ．－tan 2α D ．－1解析：选D .sin αcos α·1sin 2α－1＝sin αcos α·cos 2αsin 2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪cos αsin α. 由于α为其次象限角，所以cos α＜0，sin α＞0.所以原式＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2(x ∈R )，下列结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )为奇函数解析：选D .由于f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x ，所以T ＝2π，故A 选项正确；由于y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数，所以y ＝－cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，故B 选项正确；由于f (0)＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝－1，所以f (x )的图象关于直线x ＝0对称，故C 选项正确；f (x )＝－cos x 是偶函数，故D 选项错误．6．sin 600°＋tan 240°的值等于( ) A ．－32B ．32C ．－12＋ 3D .12＋ 3 解析：选B ．sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32， tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3， 因此sin 600°＋tan 240°＝32. 7．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( ) A .355B ．377C .31010D .13解析：选C .由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010.8．设g (x )的图象是由函数f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位得到的，则g ⎝⎛⎭⎫π6等于( ) A ．1 B ．－12C ．0D ．－1解析：选D .由f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位得到的是g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，则g ⎝⎛⎭⎫π6＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6＋π3＝cos π＝－1.故选D . 9．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( ) A .23 B ．43C .32D ．3解析：选C .法一：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －4π3ω＋π3＋2的图象．由于两图象重合，所以ωx ＋π3＝ωx －4π3ω＋π3＋2k π，k ∈Z ，解得ω＝32k ，k ∈Z .又ω＞0，所以ω的最小值是32.法二：由题意可知，4π3是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2(ω＞0)的最小正周期T 的正整数倍，即4π3＝kT ＝2k πω(k ∈N *)，所以ω＝32k ，所以ω的最小值为32.10．假如函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A .π6 B ．π4C .π3D .π2解析：选A .由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，知f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，即3cos ⎝⎛⎭⎫8π3＋φ＝0， 所以8π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋π2－8π3(k ∈Z )，|φ|的最小值为π6.11．假如函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为T ，且当x ＝2时，取得最大值，那么( ) A ．T ＝2，θ＝π2B ．T ＝1，θ＝πC ．T ＝2，θ＝πD ．T ＝1，θ＝π2解析：选A .由于T ＝2ππ＝2，f (x )＝sin(πx ＋θ)，所以f (2)＝sin(2π＋θ)＝sin θ＝1， 又0＜θ＜2π，则θ＝π2.故选A .12．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内，则满足此条件的一个φ值为( )A .π12 B ．π6C .π3D .π4解析：选A .令2x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π4－φ2(k ∈Z )，由于函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内，所以令π6＜k π2＋π4－φ2＜π3(k ∈Z )，解得k π－π6＜φ＜k π＋π6(k ∈Z )， 四个选项中只有A 符合，故选A .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知cos(45°＋α)＝513，则cos(135°－α)＝________．解析：cos(135°－α)＝cos[180°－(45°＋α)] ＝－cos(45°＋α)＝－513.答案：－51314．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6，当f (x )取最大值时，x 的取值集合为________． 解析：由x 2－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝4k π＋43π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝4k π＋43π，k ∈Z15．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为2，则ω＝________． 解析：由于0＜ω＜1，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以ωx ∈⎣⎡⎦⎤0，ωπ3⎣⎡⎦⎤0，π2， 所以f (x )max ＝2sin ωπ3＝2， 所以sin ωπ3＝22，所以ωπ3＝π4，ω＝34. 答案：3416．有下列说法：①函数y ＝－cos 2x 的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2，k ∈Z ；③把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度得到函数y ＝3sin 2x 的图象． 其中，正确的说法是________．解析：对于①，y ＝－cos 2x 的最小正周期T ＝2π2＝π，故①对；对于②，由于k ＝0时，α＝0，角α的终边在x 轴上，故②错；对于③，y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后，得y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝3sin 2x ，故③对． 答案：①③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝12， 求cos （3π＋θ）cos θ[cos （π＋θ）－1]＋cos （θ－4π）cos （θ＋2π）cos （3π＋θ）＋cos （－θ）的值．解：由于cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝－sin θ， 所以sin θ＝－12.原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos θcos θ（－cos θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝8.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋a ，a 为常数． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最小值为－2，求a 的值． 解：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋a ， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，所以x ＝0时，f (x )取得最小值，即2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋a ＝－2， 故a ＝－1.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1(其中0＜ω＜1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心，(1)试求ω的值；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象．解：(1)由于点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心， 所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，所以ω＝－3k ＋12，k ∈Z ，由于0＜ω＜1，所以k ＝0，ω＝12.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1，x ∈[－π，π]，列表如下， x ＋π6 －56π －π2 0 π2 π 76π x －π －23π －π6 π3 56π π y－1131则函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象如图所示．20．(本小题满分12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的一段图象如图所示．(1)求此函数的解析式；(2)求此函数在(－2π，2π)上的递增区间． 解：(1)由题图可知，其振幅为A ＝23， 由于T2＝6－(－2)＝8，所以周期为T ＝16， 所以ω＝2πT ＝2π16＝π8，此时解析式为y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ. 由于点(2，－23)在函数y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ的图象上， 所以π8×2＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，所以φ＝2k π－3π4(k ∈Z )．又|φ|＜π，所以φ＝－3π4.故所求函数的解析式为y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x －3π4. (2)由2k π－π2≤π8x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得16k ＋2≤x ≤16k ＋10(k ∈Z )，所以函数y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x －3π4的递增区间是[16k ＋2，16k ＋10](k ∈Z )． 当k ＝－1时，有递增区间[－14，－6]，当k ＝0时，有递增区间[2，10]， 与定义区间求交集得此函数在(－2π，2π)上的递增区间为(－2π，－6]和[2，2π)．21．(本小题满分12分)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，在同一个周期内，当x ＝π4时，y 取最大值1，当x ＝7π12时，y 取最小值－1.(1)求函数的解析式y ＝f (x )，并说明函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换可得到y ＝f (x )的图象？ (2)若函数f (x )满足方程f (x )＝a (0＜a ＜1)，求此方程在[0，2π]内的全部实数根之和．解：(1)由于T ＝2×⎝⎛⎭⎫7π12－π4＝2π3， 所以ω＝2πT＝3.又sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝1， 所以3π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .又|φ|＜π2，所以φ＝－π4，所以y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4. y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象， 再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上全部点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象． (2)由于f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的最小正周期为2π3， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4在[0，2π]内恰有3个周期， 所以sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝a (0＜a ＜1)在[0，2π]内有6个实数根，从小到大设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，则x 1＋x 2＝π4×2＝π2，x 3＋x 4＝⎝⎛⎭⎫π4＋2π3×2＝11π6， x 5＋x 6＝⎝⎛⎭⎫π4＋2π3×2×2＝19π6， 故全部实数根之和为π2＋11π6＋19π6＝11π2.22．(本小题满分12分)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω＞0，0≤θ≤π2的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是P A 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，求x 0的值．解：(1)把 (0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋θ)中， 得cos θ＝32. 由于0≤θ≤π2，所以θ＝π6.由于T ＝π，且ω＞0，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.(2)由于点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是P A 的中点，y 0＝32. 所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫2x 0－π2，3. 由于点P 在y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上，且π2≤x 0≤π， 所以cos ⎝⎛⎭⎫4x 0－5π6＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π6. 所以4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6，所以x 0＝2π3或x 0＝3π4.。
优化方案·高中同步测试卷·人教B数学必修5：高中同步测试卷(五)-Word版含答案
高中同步测试卷(五)单元检测 数列的概念及表示方法和等差数列(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中不正确的是( ) A ．数列a ，a ，a ，…是无穷数列B ．数列{f(n)}就是定义在正整数集N *上或它的有限子集{1，2，3，…，n }上的函数值C ．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列D ．已知数列{a n }，则{a n ＋1－a n }也是一个数列2．在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14 3．已知等差数列{a n }中各项都不相等，a 1＝2，且a 4＋a 8＝a 23，则d ＝( )A ．0 B.12 C ．2D ．0或124．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝a 8＋6，则S 7＝( ) A ．49 B ．42 C ．35 D ．285．已知f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当－2≤x ≤0时，f (x )＝2x ，若n ∈N *，a n ＝f (n )，则a 2 013＝( )A ．2B ．4 C.12D ．146．把70个面包分五份给5个人，使每人所得的面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的16是较小的两份之和，问最小的一份面包的个数为( ) A ．2 B ．8 C ．14 D ．20 7．已知在数列{a n }中，a 1＝1，对n ≥2且n ∈N *都有a 1a 2·…·a n ＝2n ，则a 2a 3＝( )A ．2B ．4C ．6D ．88．已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．21 9．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋2，若对于n ∈N *，都有a n ＋1＞a n 成立，则实数k的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－3，＋∞)10．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知(a1 006－1)3＋2 013(a1 006－1)＝1，(a1 008－1)3＋2 013(a1 008－1)＝－1，则()A．S2 013＝2 013，a1 008＞a1 006B．S2 013＝2 013，a1 008＜a1 006C．S2 013＝－2 013，a1 008＞a1 006D．S2 013＝－2 013，a1 008＜a1 006二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知数列2，7，10，13，4，…，3n＋1，…，则210是它的第________项．12．已知数列{a n}满足a1＝0，a n＋1＝a n－33a n＋1(n∈N*)，则a20＝________．13．已知等差数列的前三项依次是m，6m，m＋10，则这个等差数列的第10项是________．14．等差数列{a n}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝________．三、解答题(本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)在数列{a n}中，a1＝2，点(a n，a n＋1)在函数f(x)＝2x1＋x的图象上．(1)求a2，a3，a4的值；(2)猜想数列{a n}的一个通项公式．16．(本小题满分10分)已知数列{a n}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n.(1)求a n；(2)设a n＝2λ－1，试求λ的取值范围．17.(本小题满分10分)设等差数列的前n项和为S n.已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．18．(本小题满分10分)已知函数f(x)满足ax·f(x)＝b＋f(x)(ab≠0)，f(1)＝2，且f(x＋2)＝－f(2－x)对定义域上任意x都成立．(1)求函数f(x)的解析式；(2)正项数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝14[3－2f（a n）]2，求证：数列{a n}是等差数列．附加题19．(本小题满分10分)已知数列{a n}满足：a1＝2t，t2－2a n－1t＋a n－1a n＝0，n＝2，3，4…(其中t为常数，且t≠0)．求数列{a n}的通项公式．20．(本小题满分10分)国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款(既无利息贷款)，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费，每一年度申请总额规定不超过6 000元．某大学2013届毕业生王某在本科期间共申请了24 000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内(按36个月计)全部还清．工作后，王某计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元．(1)用x和n表示王某第n个月的还款额a n元；(2)若王某恰好在第36个月(即毕业后三年)还清贷款，求x的值．参考答案与解析1．[导学号99450080]【解析】选B.A，D显然正确；对于B，因为数列{f(n)}是定义在正整数集N*上或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数a n＝f(n)，当自变量从小到大依次取值时，对应的是一列函数值，所以B项不正确；对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．2．[导学号99450081]【解析】选C.从第三项起，每一项都等于前面连续两项的和即a n＋a n ＋1＝a n＋2，所以x＝5＋8＝13.3．[导学号99450082]【解析】选B.由已知得a1＋3d＋a1＋7d＝(a1＋2d)2，即2a1＋10d＝a21＋4a1d＋4d2.又a1＝2，∴4d2－2d＝0，∴2d(2d－1)＝0，∴d＝0或d＝1 2.又∵{a n }中各项都不相等，∴d ＝12.4．[导学号99450083] 【解析】选B.因为数列{a n }是等差数列，所以2a 6＝a 4＋a 8＝a 8＋6， 所以a 4＝6，所以S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7×2a 42＝7·a 4＝7×6＝42.5．[导学号99450084] 【解析】选C.因为f (2＋x )＝f (2－x )， 所以f (4＋x )＝f (－x )． 又因为f (x )为偶函数， 所以f (4＋x )＝f (－x )＝f (x )． 所以a 2 013＝f (2 013)＝f (4×503＋1)＝f (1)＝f (－1)＝2－1＝12.6．[导学号99450085] 【解析】选A.设等差数列为{a n }，首项为a 1，公差为d ＞0，则有⎩⎨⎧16（a 3＋a 4＋a 5）＝a 1＋a 2，5a 1＋5×42×d ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝6.7．[导学号99450086] 【解析】选D.∵a 1·a 2·…·a n ＝2n (n ≥2)，∴a 1·a 2＝22＝4，∴a 2＝4.又a 1·a 2·a 3＝23，∴a 3＝2，∴a 2·a 3＝8.8．[导学号99450087] 【解析】选C.由a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，两式相减得3d ＝－6，即d ＝－2.又a 1＋a 3＋a 5＝105，∴a 1＝39，∴S n ＝39n －n (n －1)＝－(n －20)2＋400，∴当n ＝20时，S n 有最大值400，故选C. 9．[导学号99450088] 【解析】选D.由a n ＋1＞a n ， 得(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2＞n 2＋kn ＋2， 所以k ＞－(2n ＋1)．因为当n ＝1时，－(2n ＋1)取得最大值－3， 只要k ＞－3，则都有a n ＋1＞a n .10．[导学号99450089] 【解析】选B.∵(a 1 006－1)3＋2 013(a 1 006－1)＝1且(a 1 008－1)3＋2 013(a 1008－1)＝－1，∴a 1 006－1与1－a 1 008是方程x 3＋2 013x －1＝0的两根．设f (x )＝x 3＋2 013x －1，则f (x )是单调递增函数，∴a 1 006－1＝1－a 1 008，即a 1 006＋a 1 008＝2， ∴S 2 013＝2 013（a 1＋a 2 013）2＝2 013（a 1 006＋a 1 008）2＝2 013.又(a 1 006－1)3＋2 013(a 1 006－1)＝(a 1 006－1)[(a 1 006－1)2＋2 013]＝1＞0，∴a 1 006－1＞0，即a 1 006＞1，同理可得a 1 008＜1，即a 1 006＞a 1 008，故选B. 11．[导学号99450090] 【解析】由3n ＋1＝210，得3n ＋1＝40， 所以n ＝393＝13. 【答案】1312．[导学号99450091] 【解析】由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)知：a 2＝a 1－33a 1＋1＝－3，a3＝a2－33a2＋1＝3，a4＝a3－33a3＋1＝0，…，每3项一循环，故a20＝a6×3＋2＝a2＝－ 3.【答案】－ 313．[导学号99450092]【解析】由已知得12m＝2m＋10，所以m＝1，故a1＝1，a2＝6，a3＝11，所以d＝5，所以a n＝a1＋(n－1)d＝1＋5(n－1)＝5n－4，所以a10＝5×10－4＝46.【答案】4614．[导学号99450093]【解析】log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log22a1＋a2＋…＋a10＝a1＋a2＋…＋a10＝10（a1＋a10）2＝10×（a5＋a6）2＝10×42＝20.【答案】2015．[导学号99450094]【解】(1)∵(a n，a n＋1)在函数f(x)＝2x1＋x的图象上，∴a n＋1＝2·a n1＋a n. ∵a1＝2，∴a2＝43，a3＝87，a4＝1615.(2)由a1＝2＝21，a2＝43，a3＝87，a4＝1615，猜想得a n＝2n2n－1.16．[导学号99450095]【解】(1)由递推关系式知a1＝1，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n，当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2a n－1＝n－1，两式相减得：3n－1a n＝n－(n－1)＝1，故a n＝13n－1，当n＝1时a1＝1也符合此式．所以a n＝13n－1(n∈N*)．(2)由(1)知，数列{a n}为递减数列，0＜a n≤a1＝1，即0＜2λ－1≤1，解得12＜λ≤1，即λ的取值范围为(12，1]．17．[导学号99450096]【解】(1)依题意⎩⎨⎧S12＝12a1＋12×112d＞0，S13＝13a1＋13×122d＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a1＋11d＞0，a1＋6d＜0.①②由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12.③把③分别代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0，解得－247＜d ＜－3，即公差d 的取值范围是(－247，－3)． (2)法一：由d ＜0可知{a n }是递减数列， 因此若在1≤n ≤12中， 使a n ＞0且a n ＋1＜0，则S n 最大． 由于S 12＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13＝13a 7＜0， 可得a 6＞－a 7＞0，a 7＜0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大． 法二：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (12－2d )＋n （n －1）2d ＝d 2⎣⎡⎦⎤n －12⎝⎛⎭⎫5－24d 2－d 2⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫5－24d 2， 因为d ＜0，所以⎣⎡⎦⎤n －12⎝⎛⎭⎫5－24d 2最小时，S n 最大． 因为－247＜d ＜－3，6＜12⎝⎛⎭⎫5－24d ＜132， 所以当n ＝6时，⎣⎡⎦⎤n －12⎝⎛⎭⎫5－24d 2最小，S 6最大． 18．[导学号99450097] 【解】(1)由ax ·f (x )＝b ＋f (x )(ab ≠0)， 得f (x )(ax －1)＝b ，若ax －1＝0，则b ＝0，不合题意， 故ax －1≠0，∴f (x )＝bax －1. f (1)＝ba －1＝2，得2a －2＝b .① 由f (x ＋2)＝－f (2－x )对定义域上任意x 都成立， 得b a （x ＋2）－1＝－ba （2－x ）－1，解得a ＝12，②把②代入①，可得b ＝－1，∴f (x )＝－112x －1＝22－x (x ≠2)．(2)证明：由(1)得f (a n )＝22－a n， 又S n ＝14[3－2f （a n ）]2，∴S n ＝14(a n ＋1)2，∴a 1＝14(a 1＋1)2，∴a 1＝1.当n ≥2时，S n －1＝14(a n －1＋1)2，∴a n ＝S n －S n －1＝14(a 2n－a 2n －1＋2a n －2a n －1)，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n－1－2)＝0.∵a n ＞0，∴a n －a n －1－2＝0，即a n －a n －1＝2，∴数列{a n }是等差数列． 19．[导学号99450098] 【解】∵t 2－2a n －1t ＋a n －1a n ＝0， ∴(t 2－a n －1t )－(a n －1t －a n －1a n )＝0，∴t (a n －1－t )＝a n －1(a n －t )． 由a 1－t ≠0知a n －t ≠0， ∴1a n －t ＝a n －1t （a n －1－t ）＝a n －1－t ＋t t （a n －1－t ）＝1t ＋1a n －1－t， 即1a n －t －1a n －1－t ＝1t ，n ＝2，3，4，…，t ≠0.∴数列{1a n －t }为等差数列，公差为1t ，∴1a n －t＝1a 1－t ＋1t(n －1)＝n t ，∴a n ＝t ＋t n ＝（n ＋1）tn .20．[导学号99450099] 【解】(1)由题意得，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧500（1≤n ≤12，n ∈N *）500＋（n －12）x （13≤n ≤36，n ∈N *）. (2)由已知，每个月的还款额为a n ，从第13个月开始，还款额构成等差数列，其中a 13＝500＋x ，公差为x .从而，到第36个月， 王某共还款12×500＋24a 13＋24×（24－1）2x .令12×500＋(500＋x )×24＋24×（24－1）2x ＝24 000，解得x ＝20(元)，即要在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还20元．。
2021优化方案高考总复习·政治(新课标)试题：必修4第二单元单元过关检测(十四) Word版含答案
单元过关检测(十四)[同学用书单独成册](时间：50分钟，分值：100分)一、选择题(每小题4分，共60分)1．被古人称为“玉轮”“桂宫”的月球，随着航天观测的不断深化，确认其组成物质和地球基本相同。
这有力地证明白()A．不同的事物具有相同的物质结构B．世界的真正统一性在于它的物质性C．自然界依据自身的规律运动变化D．物质世界是永恒不变的解析：选B。
月球的组成物质和地球基本相同，证明世界的真正统一性在于它的物质性，故答案选B。
A 项说法错误，C项干肢不符，D项是静止的观点，均应排解。
2．清代诗人翁格在《暮春》中写道：“莫怨春早归，花余几点红。
留将根蒂在，岁岁有东风。
”诗中蕴含的哲理有()①物质世界是运动的②物质运动的规律是客观的③自然界的变化有其固有规律④人们在客观规律面前只能埋怨A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④解析：选A。
“留将根蒂在，岁岁有东风”，一方面说明物质世界是运动的，另一方面也说明自然界的变化有其固有规律，规律是客观的，①②③符合题意。
④否定了人的主观能动性，观点错误，含④的选项均应排解。
3．刻舟求剑的故事已为大家所熟知。
《吕氏春秋》这样评价刻舟求剑：“舟已行矣，而剑不行，求剑若此，不亦惑乎！”与此寓意相符合的是()A．只见树木，不见森林B．按图索骥，墨守成规C．士别三日，刮目相看D．量力而行，尽力而为解析：选B。
刻舟求剑只看到相对静止，而没有看到确定运动，是用静止的观点看问题，按图索骥，墨守成规，也是用静止的观点看问题，故选B项。
只见树木，不见森林，是强调整体与部分的关系，A项与题意不符；士别三日，刮目相看，强调用进展的眼光看问题，C项与题意不符；量力而行，尽力而为，强调一切从实际动身，同时发挥意识的能动作用，D项与题意不符。
4．2021年12月21日，十二届全国人大常委会第十八次会议初次审议《中华人民共和国人口与方案生育法修正案(草案)》议案，这意味着我国在连续坚持方案生育基本国策前提下，启动“全面二孩”政策，逐步调整完善生育相关的政策法规，促进人口长期均衡进展。
2024-2024学年优化方案苏教语文必修：高中同步测试卷含答
2024-2024学年优化方案苏教语文必修：高中同步测试卷(4)（含答案）清晨的阳光透过窗帘，洒在我的书桌上，眼前的电脑屏幕上跳出这个熟悉的。
思绪一下回到了十年前，那时候的我，还是一个刚刚入门的方案写作者，对于测试卷的编写，更多的是一份敬畏和好奇。
如今，我已经在这个领域摸爬滚打了十年，对于这份工作，有了更深的理解和感悟。
要确保测试卷的题目质量。
这些题目不能仅仅是为了测试而测试，它们需要具有代表性、创新性和针对性。
因此，在编写试卷之前，我要做的是对教材进行深入的研究，了解教材的重点、难点和考点。
这样，我才能确保试卷的题目能够覆盖到这些关键内容。
1.阅读理解部分在阅读理解部分，我选择了教材中的一篇现代文《背影》和一篇古文《岳阳楼记》。
这两篇文章都具有很强的代表性，前者是现代文的经典之作，后者则是古文的代表。
在题目设计上，我注重考查学生对文章内容的理解、分析和概括能力，同时也考察他们的审美鉴赏能力。
2.古诗文默写部分在这一部分，我选取了教材中的十首古诗和五篇古文。
这些诗文都是教材中的重点篇目，对于学生掌握古诗文知识具有重要的意义。
在题目设计上，我要求学生不仅要准确默写诗文，还要理解诗文的意思，甚至要能够背诵出来。
3.文言文翻译部分在这一部分，我选择了教材中的五篇文言文，要求学生进行翻译。
翻译不仅要求准确，还要注意语句的通顺和优美。
这一部分旨在考查学生的文言文阅读能力和翻译能力。
4.写作部分在这一部分，我设计了一篇作文题目，要求学生结合教材中的内容，进行创新性的写作。
这一部分旨在考查学生的写作能力，同时也鼓励他们发挥自己的想象力和创造力。
我要谈谈答案的编写。
答案不仅仅是提供一个正确答案，更重要的是要给出解题过程和思路。
这样，学生在核对答案时，不仅能够知道自己的答案是否正确，还能从中学习到解题的方法和技巧。
1.阅读理解部分的答案在编写答案时，我详细列出了解题步骤，包括如何理解文章内容、如何分析文章结构、如何概括文章主旨等。
人教新课标A版 高中数学必修4 第一章三角函数 1.5 函数y=sin(wx+φ) 同步测试A卷
人教新课标A版高中数学必修4 第一章三角函数 1.5 函数y=sin(wx+φ) 同步测试A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分） (2018高三上·黑龙江期中) 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（）A . 向右平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向左平移个单位长度2. （2分）把函数的图象向右平移个单位,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,则所得图象对应的函数解析式是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高三上·临沂期中) 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将图象（）A . 向右平移个单位长度B . 向左平移个单位长度C . 向右平移个单位长度D . 向左平移个单位长度4. （2分）用“五点法”作y=2sin2x的图象是，首先描出的五个点的横坐标是（）A . 0,,π,,2πB . 0,,,,πC . 0，π，2π，3π，4πD . 0,,,,5. （2分） (2020高三上·兴宁期末) 由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（）A .B .C .D .6. （2分）函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（）A .B .C .D .7. （2分）要得到函数y=cos（2x+1）的图象，只需将函数y=cos2x的图象（）A . 向左平移1个单位B . 向右平移1个单位C . 向左平移个单位D . 向右平移个单位8. （2分）已知函数f（x）=cos2x与g（x）=cosωx（ω＞0）的图象在同一直角坐标系中对称轴相同，则ω的值为（）A . 4B . 2C . 1D .9. （2分） (2017高一下·禅城期中) 三角函数y=sin（﹣2x）+cos2x的振幅和最小正周期分别为（）A . ，B . ，πC . ，D . ，π10. （2分） (2016高一下·岳阳期中) 若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（）A . 5B . 4C . 3D . 211. （2分）用“五点法”作函数y=cos2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是（）A . 0，，π，，2πB . 0，，，，πC . 0，π，2π，3π，4πD . 0，，，，12. （2分） (2016高三上·红桥期中) 函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A . 2，﹣B . 2，﹣C . 4，﹣D . 4，13. （2分）函数在区间上单调递减，且函数值从1减小到-1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为（）A .B .C .D .14. （2分）(2017·合肥模拟) 已知函数f（x）=Asin（ωx+ ）﹣1（A＞0，ω＞0）的部分图象如图，则对于区间[0，π]内的任意实数x1 ， x2 ， f（x1）﹣f（x2）的最大值为（）A . 2B . 3C . 4D . 615. （2分）(2020·海南模拟) 将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的倍得到曲线，则的解析式为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=________17. （1分）(2016·杭州模拟) 函数y=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图，则函数表达式为________；若将该函数向左平移1个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍得到函数g （x）=________．18. （1分） (2015高三上·河西期中) 已知角φ的终边经过点P（1，﹣2），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则 =________．19. （1分）(2016·新课标Ⅲ卷理) 函数y=sinx﹣ cosx的图象可由函数y=sinx+ cosx的图象至少向右平移________个单位长度得到．20. （1分） (2017高一上·安庆期末) 已知函数f（x）=sin（ωx+φ+ ）（ω＞0，0＜φ≤ ）的部分图象如图所示，则φ的值为________．三、解答题 (共5题；共25分)21. （5分） (2019高一上·郁南月考) 已知曲线y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)上的一个最高点的坐标为（，）此点与相邻最低点之间的曲线与x轴交于点（，0）且φ∈（- ，）（1）求曲线的函数表达式;（2）用“五点法”画出函数在[0，2 ]上的图象.22. （5分） (2020高一上·武汉期末) 已知函数 .（1）用五点法画出该函数在区间的简图；（2）结合所画图象，指出函数在上的单调区间.23. （5分）已知函数y=sin（2x+ ）+1．（1）用“五点法”画出函数的草图；（2）函数图象可由y=sinx的图象怎样变换得到？24. （5分） (2019高一下·蛟河月考) 函数的一段图像过点，如图所示.（1）求在区间上的最值；（2）若 ,求的值.25. （5分）(2017·黑龙江模拟) 某同学将“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：wx+φ0π2πxAsin（wx+φ）05﹣50（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O 最近的对称中心．参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分)16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共25分)21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、25-2、。
优化方案·高中同步测试卷·人教B数学必修3：高中同步测试卷一 含答案
高中同步测试卷(一)第一章算法初步(A卷)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列说法正确的是()A．算法就是某个问题的解题过程B．算法执行后可以产生不同的结论C．解决某一个具体问题，算法不同所得的结果不同D．算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施2.符号表示的意义是()A．流程图的开始或结束B．数据的输入或输出C．根据给定条件判断D．赋值执行语句结果的传递3.若一个算法的结构框图中有，则表示该算法中一定有下列逻辑结构中的()A．循环结构和条件分支结构B．条件分支结构C．循环结构D．顺序结构和循环结构4.下列给出的赋值语句中正确的是()A．3＝A B．m＝3*mC．B＝A＝2 D．x＋y＝05.条件语句的一般格式是if abelsecend其中b表示的是()A．满足条件a时执行的内容B．条件语句C．条件D．不满足条件a时执行的内容6.阅读下列程序，该程序执行循环体的次数为()S＝0；for i＝－5：5：150S＝S＋i；endSA．30次B．31次C．29次D．32次7.我国数学家刘徽采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的计算方法来求圆周率π，其算法的特点为()A．运算速率快B．能计算出π的精确值C．“内外夹逼”D．无限次地分割8.下列关于程序框图的说法正确的有()①程序框图只有一个入口，也只有一个出口；②程序框图中的每一部分都应有一条从入口到出口的路径通过它；③程序框图中的循环可以是无尽循环；④连接点是用来连接两个程序框图的．A．①②③B．②③C．①D．①②9.下列程序的功能是：判断任意输入的数x是否是正数，若是，输出它的平方值；若不是，x＝input (“x＝”)；if ________y＝－x；elsey＝x*x；endy则填入的条件应该是()A．x＞0 B．x＜0C．x＞＝0 D．x＜＝010．(2016·高考全国卷甲)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s＝()A．7 B．12题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11.以下是解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋6＝0 ①x ＋y ＋3＝0 ②的一个算法，请将该算法补充完整．S1 ①②两式相加得3x ＋9＝0.③S2 由③式可得________．④ S3 将④式代入①式得y ＝0. S4 输出方程组的解________．12.计算图中空白部分面积的一个算法框图如下，则①中应填________．13.某算法的程序框图如图所示，若输出结果为12，则输入的实数x 的值是________．(注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”)14.运行如下图所示的程序，输出的结果是________． a ＝1；b ＝2；a ＝a ＋b ；print （%io （2），a ）；15.下面程序是求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1， x ≥4x 2－2x ＋3， x ＜4的函数值，则①为________．x ＝input(“x ＝”)； if __①__y ＝2*x －1；三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分12分)设一个球的半径为r(r＞0)，请写出求以r为半径的球的表面积的算法．17.(本小题满分12分)已知一个直角三角形的两条直角边的边长分别为a，b，设计一个算法，求三角形的斜边，并画出相应的程序框图．18.(本小题满分12分)画出求1×2×3×4×5×6×7的程序框图．19.(本小题满分12分)设计程序，用公式法解一元二次方程2x2＋3x－1＝0.20.(本小题满分13分)已知a，b，c三个实数中，有且只有一个是负数，试用条件语句的嵌套设计一个程序，筛选出这个负数．21.(本小题满分14分)执行如图所示的程序框图，输出的S值为多少？并由程序框图写出程序．参考答案与解析1．[导学号32040000]解析：选B.B项，如判断一个整数是否为偶数，结果为“是偶数”和“不是偶数”两种；而A项，算法不能等同于解法；C项，解决某一个具体问题，算法不同所得的结果应该相同，否则算法不正确；D项，算法可以为很多次，但不可以无限次．2．[导学号32040001]解析：选C.掌握每一种框图的功能，能准确地画出框图符号．3．[导学号32040002]解析：选B.当有判断框时，一定有条件分支结构．4．[导学号32040003]解析：选B.对于A项，只能将赋值号右边的值赋给左边的变量；对于C、D项，只能给一个变量赋值；故只有B正确．5．[导学号32040004]解析：选A.b表示满足条件a时执行的内容，而c表示不满足条件a时执行的内容．6．[导学号32040005]解析：选D.for循环中，变量初值为－5，步长为5，终值为150，所以共执行循环体32次．7．[导学号32040006] 解析：选C.割圆术用正多边形面积代替圆面积的方法是内外夹逼，能得到π的不足和过剩近似值，其分割次数是有限的．8．[导学号32040007] 解析：选D.由框图符号及作用的说明可知③④错误，程序框图中的循环必须是有限循环；连接点是用来连接同一个程序框图的不同部分的．9．[导学号32040008] 解析：选D.因为条件真则执行y ＝－x ，条件假则执行y ＝x *x ，由程序功能知条件应为x ＜＝0.10．[导学号32040009] 解析：选C.法一：(通性通法)第一步，a ＝2，s ＝0×2＋2＝2，k ＝1；第二步，a ＝2，s ＝2×2＋2＝6，k ＝2；第三步，a ＝5，s ＝6×2＋5＝17，k ＝3＞2，跳出循环．故输出的s ＝17.法二：(光速解法)由秦九韶算法的意义可知s ＝f (x )＝[(0×x ＋2)x ＋2]x ＋5＝2x 2＋2x ＋5，故输出的s ＝f (2)＝17.11．[导学号32040010] x ＝－3 x ＝－3，y ＝012．[导学号32040011] 解析：该算法功能是求图形中空白部分的面积．S 白＝S 正－S 扇＝a 2－14π(a 2)2＝a 2－πa 216. 答案：S ＝a 2－πa 21613．[导学号32040012] 解析：当x ＞1时，令y ＝log 2x ＝12，解之得x ＝2，符合题意；当x ≤1时，令y ＝x －1＝12，解之得x ＝32，不符合题意，故x ＝ 2.答案： 214．[导学号32040013] 解析：a ＝1，b ＝2，a ＝a ＋b ＝1＋2＝3，所以输出的结果是3. 答案：315．[导学号32040014] 解析：由条件语句的特点知①处应为x ＞＝4. 答案：x ＞＝416．[导学号32040015] 解：算法如下： S1 输入半径r ；S2 计算表面积S ＝4πr 2； S3 输出S .17．[导学号32040016] 解：算法如下： S1 输入a ，b ；S2 计算d ＝a 2＋b 2； S3 计算c ＝d ； S4 输出c . 程序框图如图：18．[导学号32040017] 解：本题可用顺序结构和循环结构来完成，循环结构流程图如图所示．19．[导学号32040018] 解：根据一元二次方程的求根公式x ＝－b ±b 2－4ac2a ，结合赋值语句便可以设计出这个运算程序．程序如下： a ＝2； b ＝3； c ＝－1；x1＝(－b ＋sqrt(b*b －4*a*c))/(2*a)； x2＝(－b －sqrt(b*b －4*a*c))/(2*a)； print(%io(2)，x2，x1)；20．[导学号32040019] 解：程序框图如图所示．a ＝input(“a ＝”)；b ＝input(“b ＝”)；c ＝input(“c ＝”)； if a ＜0print(%io(2)，a)； elseif b ＜0print(%io(2)，b)； elseprint(%io(2)，c)； end end21．[导学号32040020] 解：由程序框图，依次可得， i ＝0＜4，i ＝1，S ＝2－12＋1＝13；i ＝1＜4，i ＝2，S ＝13－113＋1＝－12；i ＝2＜4，i ＝3，S ＝－12－1－12＋1＝－3；i ＝3＜4，i ＝4，S ＝－3－1－3＋1＝2；i ＝4＜4，否，输出S ＝2. 即最后输出S 的值为2. i ＝0； S ＝2； while i ＜4 i ＝i ＋1；。
高中数学必修四同步练习及答案(新课标人教A版)之欧阳理创编
高中数学必人修教四A版练习册高中数学人教A 版必修4练习册目录导航人教A 版必修4练习1.1任意角和弧度制 01.2任意角的三角函数 (3)1.3三角函数的诱导公式 (5)1.4三角函数的图像与性质 (7)1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用 (10)第一章 三角函数基础过关测试卷 (13)第一章三角函数单元能力测试卷 (15)2.1平面向量的实际背景及基本概念与2.2.1向量加法运算 (18)2.2向量减法运算与数乘运算 (20)2.3平面向量的基本定理及坐标表示 (22)2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例 (25)第二章平面向量基础过关测试卷 (28)第二章平面向量单元能力测试卷 (30)3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (33)3.2简单的三角恒等变换 (36)第三章三角恒等变换单元能力测试卷 ....................................... 38 人教A 版必修4练习答案1.1任意角和弧度制 (41)1.2任意角的三角函数 (42)1.3三角函数的诱导公式 (42)1.4三角函数的图像与性质 (43)1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用 (43)第一章三角函数基础过关测试卷 (45)第一章三角函数单元能力测试卷 (45)2.1平面向量的实际背景及基本概念与2.2.1向量加法运算 (46)2.2向量减法运算与数乘运算 (46)2.3平面向量的基本定理及坐标表示 (46)2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例 (48)第二章平面向量基础过关测试卷 (49)第二章平面向量单元能力测试卷 (49)3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (50)3.2简单的三角恒等变换 (50)第三章三角恒等变换单元能力测试卷 (51)1.1任意角和弧度制一、选择题（每题5分，共50分）1.四个角中，终边相同的角是 （ ）A.,398 - 38B.,398 - 142C.,398 - 1042D.,14210422.集合α{=A ︱ 90⋅=k α,36 -}Z k ∈，β{=B ︱ 180- 180<<β},则B A 等于 （ ）A.,36{ - 54}B.,126{ - 144}C.,126{ -,36 -,54 144}D.,126{ - 54}3.设θ{=A ︱θ为锐角}，θ{=B ︱θ为小于 90的角}，θ{=C ︱θ为第一象限角}，θ{=D ︱θ为小于 90的正角}，则（ ）A.B A =B.C B =C.C A =D.D A =4.若角α与β终边相同，则一定有 （ ）A. 180=+βαB. 0=+βαC. 360⋅=-k βα，Z k ∈D. 360⋅=+k βα，Z k ∈5.已知α为第二象限的角，则2α所在的象限是 （ ）A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限6.将分针拨慢5分钟，则分针转过的弧度数是 （ ） A.3π B.3π- C.2π D.32π 7.在半径为cm 2的圆中，有一条弧长为cm 3π，它所对的圆心角为 （ ）A.6πB.3πC.2πD.32π 8.已知角α的终边经过点)1,1(--P ,则角α为 （ ） A.)(45Z k k ∈+=ππα B.)(432Z k k ∈+=ππα C.)(4Z k k ∈+=ππα D.)(432Z k k ∈-=ππα 9.角316π化为)20,(2παπα<<∈+Z k k 的形式 ( ) A.35ππ+ B.344ππ+ C.326ππ- D.373ππ+ 10.集合α{=A ︱},2Z k k ∈+=ππα，α{=B ︱},)14(Z k k ∈±=πα，则集合A 与B 的关系是 （ ）A.B A =B.B A ⊇C.B A ⊆D.B A ≠二、填空题（每题5分，共20分）11.角a 小于 180而大于- 180，它的7倍角的终边又与自身终边重合，则满足条件的角a 的集合为__________.12.写满足下列条件的角的集合.1）终边在x 轴的非负半轴上的角的集合__________；2）终边在坐标轴上的角的集合__________；3）终边在第一、二象限及y 轴上的角的集合__________；4）终边在第一、三象限的角平分线上的角的集合__________.13.设扇形的周长为cm 8，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是__________.14.已知a {∈θ︱a =+πk },4)1(Z k k ∈⋅-π，则角θ的终边落在第__________象限.三、解答题（15、16每题7分，17、18每题8分）15.已知角a 的终边与y 轴的正半轴所夹的角是30，且终边落在第二象限，又 720-<a < 0，求角a .16.已知角 45=a ，（1）在区间 720[-0,)内找出所有与角a 有相同终边的角β；（2）集合x M {=︱ 1802⨯=k x 45+，}Z k ∈,x N {=︱ 1804⨯=k x 45+}Z k ∈ 那么两集合的关系是什么？ 17.若θ角的终边与3π的终边相同，在]2,0[π内哪些角的终边与3θ角的终边相同？18.已知扇形的周长为30，当它的半径R 和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值.1.2任意角的三角函数一、选择题（每题5分，共40分）1.已知角α的终边过点()αcos ,2,1-P 的值为 （ ） A.55- B.55 C.552 D.25 2.α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ）A.αsinB.αcosC.αtanD.αtan 1 3.已知角α的终边过点()()03,4<-a a a P ，则ααcos sin 2+的值是 （ ） A.52 B.52- C.0 D.与α的取值有关 4.(),,0,54cos παα∈=则αtan 1的值等于 （ ） A.34 B.43 C.34± D.43± 5.函数x x y cos sin -+=的定义域是 （ ）A.()Z k k k ∈+,)12(,2ππB.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,)12(,22πππ C.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,)1(,2πππ D.[]Z k k k ∈+,)12(,2ππ 6.若θ是第三象限角，且,02cos <θ则2θ是 （ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角7.已知,54sin =α且α是第二象限角，那么αtan 的值为 （ ） A.34- B.43- C.43 D.348.已知点()ααcos ,tan P 在第三象限，则角α在 （ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角二、填空题（每题5分，共20分）9.已知,0tan sin ≥αα则α的取值集合为__________.10.角α的终边上有一点(),5,m P 且(),013cos ≠=m m α则=+ααcos sin __________.11.已知角θ的终边在直线x y 33=上，则=θsin __________，=θtan __________.12.设(),2,0πα∈点()αα2cos ,sin P 在第三象限，则角α的范围是__________.三、解答题（第15题20分，其余每题10分，共40分）13.求43π的角的正弦，余弦和正切值. 14.已知,51sin =α求ααtan ,cos 的值. 15.已知,22cos sin =+αα求αα22cos 1sin 1+的值.1.3三角函数的诱导公式一、选择题（每题5分，共40分） 1.21)cos(-=+απ，παπ223<<,)2sin(απ-值为 ( ) A.23B.21C.23± D.23- 2.若,)sin()sin(m -=-++ααπ则)2sin(2)3sin(απαπ-++等于 （ ） A.m 32- B.m 23- C.m 32 D.m 23 3.已知,23)4sin(=+απ则)43sin(απ-值为 （ ） A.21B.21- C.23 D.23- 4.如果),cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是（ ） A.)](22,22[Z k k k ∈++-ππππ B.))(223,22(Z k k k ∈++ππππ C.)](223,22[Z k k k ∈++ππππ D.))(2,2(Z k k k ∈++-ππππ 5.已知,)1514tan(a =-π那么=︒1992sin （ ） A.21||a a + B.21a a + C.21a a +- D.211a +-6.设角则,635πα-=)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于 （ ） A.33 B.33- C.3D.－37.若,3cos )(cos x x f =那么)30(sin ︒f 的值为 （ ）A.0B.1C.1- D.23 8.在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是 （ ）A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰或直角三角形D .等腰直角三角形二、填空题（每题5分，共20分）9.求值：︒2010tan 的值为．10.若1312)125sin(=-α,则=+)55sin( α． 11.=+++++76cos 75cos 74cos 73cos 72cos 7cos ππππππ． 12.设,1234tan a =︒那么)206cos()206sin(︒-+︒-的值为．三、解答题（每题10分，共40分）13.已知3)tan(=+απ,求)2sin()cos(4)sin(3)cos(2a a a a -+-+--πππ的值． 14.若32cos =α,α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．15.已知αtan 、αtan 1是关于x 的方程0322=-+-k kx x 的两实根，且,273παπ<< 求)sin()3cos(απαπ+-+的值．16.记4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f ，（a 、b 、α、β均为非零实数），若5)1999(=f ，求)2000(f 的值．1.4三角函数的图像与性质一、选择题(每题5分,共50分)1.)(x f 的定义域为[]1,0则)(sin x f 的定义域为 （ ）A.[]1,0B.)(2,2222,2Z k k k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ πππππππ C.[])()12(,2Z k k k ∈+ππ D.)(22,2Z k k k ∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡+πππ 2.函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是（ ） A 52π B 25π C π D π5 3.x x y sin sin -=的值域是（ ）A ]0,1[-B ]1,0[C ]1,1[-D ]0,2- 4.函数)44(tan 1ππ≤≤-=x x y 的值域是 ( ) A.[]1,1- B.(][) +∞-∞-,11, C.[)+∞-,1D.(]1,∞- 5.下列命题正确的是 （ ）A.函数)3sin(π-=x y 是奇函数 B.函数)cos(sin x y =既是奇函数,也是偶函数C.函数x x y cos =是奇函数D.函数x y sin =既不是奇函数,也不是偶函数6.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于 （ ） A 1C.0D.2- 7.函数)3cos(πϖ+=x y 的周期为4π则ϖ值为 ( )A.8B.6C.8±D.48.函数)32sin(π+=x y 的图象( ) A.关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π对称 B.关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,6π对称C.关于直线3π=x 对称 D.关于直线6π-=x 对称9.)2sin(θ+=x y 图像关于y 轴对称则 ( ) A.)(,22Z k k ∈+=ππθ B.)(,2Z k k ∈+=ππθC.)(,2Z k k ∈+=ππθD.)(,Z k k ∈+=ππθ 10.满足21)4sin(≥-πx 的x 的集合是 ( ) A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,121321252ππππ B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-Z k k x k x ,1272122ππππD.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤Z k k x k x ,6522πππ 二、填空题(每题5分,共20分) 11.函数)23sin(2x y -=π的单调递增区间是__________.12.函数)21(cos log 2-=x y 的定义域是__________. 13.函数)2sin(x y =的最小正周期为__________.14.若)(x f 为奇函数,且当0>x 时,x x x x f 2cos sin )(+=,则当0<x 时,=)(x f __________.三、解答题(每题10分,共30分) 15.利用“五点法”画出函数)621sin(π+=x y 在长度为一个周期的闭区间的简图.16.已知函数⎪⎭⎫⎝⎛-=32tan )(πx x f ，(1)求函数)(x f 的定义域周期和单调区间； (2)求不等式3)(1≤≤-x f 的解集.17.求下列函数的最大值和最小值及相应的x 值. (1)1)42sin(2++=πx y(2)),32cos(43π+-=x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,3ππx (3)5cos 4cos 2+-=x x y (4)2sin sin 1-+=x xy1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用一、选择题(每题5分，共35分) 1.函数1)62sin(3)(--=πx x f 的最小值和最小正周期分别是( )A.13--，πB.13+-，πC.3-，πD.13--，π2 2.若函数)3sin(2πω+=x y 的图像与直线2=y 的相邻的两个交点之间的距离为π,则ω 的一个可能值为 ( )A.3B.2C.31D.21 3.要得到)32sin(π-=x y 的图像,只要将x y 2sin =的图像( ) A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位 4.函数1)62sin(2++=πx y 的最大值是（ ）A.1B.2C.3D.45.已知函数)(x f 的部分图像如图所示，则)(x f 的解析式可能为（ ）A.)62sin(2)(π-=x x f B.)44cos(2)(π+=x x fC.)32cos(2)(π-=x x fD.)64sin(2)(π+=x x f6.)23sin(2x y -=π的单调增区间为（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππK K B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,125ππππK K C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππK KD.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1211,125ππππK K 7.函数[]),0(),62sin(3ππ∈--=x x y 为增函数的区间是（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,0π B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,6ππ D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,32ππ 二、填空题(每题5分，共15分)8.关于))(32sin(4)(R x x x f ∈+=有下列命题： 1）有0)()(31==x f x f 可得21x x -是π的整数倍； 2）表达式可改写为)62cos(4)(π-=x x f ；3）函数的图像关于点)0,6(π-对称；4）函数的图像关于直线6π-=x 对称；其中正确的命题序号是__________.9.甲乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为45,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲乙两楼的高度分别为__________. 10.已知1tan sin )(++=x b x a x f 满足7)5(=πf ，则)599(πf 的值为__________.三、解答题(每题25分，共50分) 11.已知函数)421sin(3π-=x y ，1）用“五点法”画函数的图像；2）说出此图像是由x y sin =的图像经过怎样的变换得到的； 3）求此函数的周期、振幅、初相；4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间. 12.已知函数)32cos(log )(π-=x ax f （其中)1,0≠>a a 且，1）求它的定义域；2）求它的单调区间；3）判断它的奇偶性；4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期.第一章三角函数基础过关测试卷一、选择题(每题5分，共40分)1.与240-角终边位置相同的角是 （ ）A.240 B.60 C.150 D.480 2.已知()21cos -=+απ,则()απ+3cos 的值为 （ ） A.21 B.23± C.21- D.233.函数x y sin 1-=的最大值为 （ ）A.1B.0C.2D.1- 4.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=321sin x y 的最小正周期是 （ ） A.2πB.πC.π2D.π4 5.在下列各区间上，函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4sin 2πx y 单调递增的是 （ ） A.],4[ππB.]4,0[πC.]0,[π-D.]2,4[ππ 6.函数x y cos 1+=的图象 （ ）A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线2π=x 轴对称7.使x x cos sin <成立的x 的一个区间是 （ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,43ππ B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ C.⎪⎭⎫⎝⎛-43,4ππ D.()π,08.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=43sin πx y 的图象，可由x y 3sin =的图象 （ ）A.向左平移4π个单位 B.向右平移4π个单位 C .向左平移12π个单位 D .向右平移12π个单位二、填空题（每题5分，共20分）9.已知角β的终边过点()12,5--P ，求=βcos __________． 10.函数x y tan lg =的定义域是__________． 11.()R x x y ∈=sin 的对称点坐标为__________． 12.1cos cos -=x xy 的值域是__________．三、解答题(每题10分，共40分) 13.已知2tan =β，求1sin cos sin 2+βββ的值． 14.化简：()()()()()()()()πααπαπαπααπααπ6sin sin cos sin 6cos cos cos sin 2222---++---+-++． 15.求证：ααααααααcos sin cos sin 1cos sin 2cos sin 1+=+++++．16.求函数⎪⎭⎫⎝⎛≤≤+=323cos 2sin 2ππx x x y 的最大值和最小值．第一章三角函数单元能力测试卷一、选择题（每小题5分，共60分） 1.设α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于 ( ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.下列值①)1000sin( -；②)2200cos(-；③)10tan(-；④4sin 是负值的为（ ）A.①B.②C.③D.④3.函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是 （ ） A.0 B4π C 2πD π 4.已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于 （ ） A.43-B.34-C.43D.34 5.若α是第四象限的角，则πα-是 （ ）A 第一象限的角B 第二象限的角C 第三象限的角D 第四象限的角6.将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是 ( ) A.1sin2y x = B 1sin()22y x π=- C.1sin()26y x π=- D.sin(2)6y x π=-7.若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是( )A.35(,)(,)244ππππ B 5(,)(,)424ππππC.353(,)(,)2442ππππ D 33(,)(,)244ππππ 8.与函数)42tan(π+=x y 的图像不相交的一条直线是( ) A.2π=x B 2π-=x C 4π=D 8π=x9.在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、)322cos(π+=x y 中,最小正周期为π的函数的个数是（ ） A.1个 B 2个 C 3个 D 4个10.方程1sin 4x x π=的解的个数是 （ ）A 5B 6CD 811.在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为 （ ） A.)45,()2,4(ππππ B.),4(ππ C.)45,4(ππ D.)23,45(),4(ππππ12.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，则ϕ可能是（ ） A.2π B 4π- C 4π D 34π二、填空题（每小题5分，共20分）13.设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是__________14.若,24παπ<<则αααtan cos sin 、、的大小关系为__________15若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是__________16.关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题：①对任意α,()f x 都是非奇非偶函数；②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α,()f x 都是奇函数其中假命题的序号是__________三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）17.求下列三角函数值: （1）)316sin(π-（2）)945cos( - 18.比较大小:（1） 150sin ,110sin ； （2）200tan ,220tan19.化简：（1）)sin()360cos()810tan()450tan(1)900tan()540sin(x x x x x x --⋅--⋅--（2）xx x sin 1tan 1sin 12-⋅++20.求下列函数的值域： （1）)6cos(π+=x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ； (2) 2sin cos 2+-=x x y 21.求函数)32tan(π-=x y 的定义域、周期和单调区间.22.用五点作图法画出函数)631sin(2π-=x y 的图象(1)求函数的振幅、周期、频率、相位； (2)写出函数的单调递增区间；(3)此函数图象可由函数x y sin =怎样变换得到2.1平面向量的实际背景及基本概念与2.2.1向量加法运算一、选择题（每题5分，共40分）1.把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是（ ）A.一条线段B.一段圆弧C.两个孤立点D.一个圆2.下列说法中，正确的是 （ ）A.>,则b a >B.=，则b a =C.若=，则∥D.若≠，则与不是共线向量3.设O 为△ABC 的外心，则、、是 （ ）A.相等向量B.平行向量C.模相等的向量D.起点相等的向量4.已知正方形ABCD 的边长为1，设=，=，=， 则b +=（ ）A.0B.3C.22+D.225.58==的取值范围是 （ ）A.[]8,3B.()8,3C.[]13,3D.()13,36.如图，四边形ABCD 为菱形，则下列等式中 A B成立的是( )A.=+B.=+C.=+D.=+ D C7.在边长为1的正三角形ABC 中，若向量=，== （ ）A.7B.5C.3D.28.向量a 、b 皆为非零向量，下列说法不正确的是 （ ）A.向量a 与b >，则向量b a +与a 的方向相同B.向量与<，则向量+与的方向相同C.向量a 与b 同向，则向量b a +与a 的方向相同D.向量与同向，则向量+与的方向相同二、填空题（每题5分，共20分）9.ABC ∆是等腰三角形，则两腰上的向量AB 与AC 的关系是__________.10.已知C B A ,,是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则=__________.11.在菱形ABCD 中，∠DAB ︒=601=，则=+__________.12.化简=++BO OP PB __________.三、解答题（13题16分，其余每题12分，共40分）13.化简：（1)DF ++++. (2)PM MN QP NQ +++.14.已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且OC AO =，=.求证：四边形ABCD 是平行四边形.15.一艘船以h km /5的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成︒30 角，求水流速度和船的实际速度.2.2向量减法运算与数乘运算一、选择题(每题5分,共40分)1.在菱形ABCD 中，下列各式中不成立的是 （ ）A.-=AC AB BCB.-=AD BD ABC.-=BD AC BCD.-=BD CD BC2.下列各式中结果为O 的有 （ ）①++AB BC CA ②+++OA OC BO CO③-+-AB AC BD CD ④+-+MN NQ MP QPA.①②B.①③C.①③④D.①②③3.下列四式中可以化简为AB 的是 （ ）①+AC CB ②-AC CB ③+OA OB ④-OB OAA.①④B.①②C.②③D.③④ 4. ()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+b a b a 24822131 （ ）A.2a b -B.2b a -C.b a -D.()b a --5.设两非零向量12,e e ，不共线，且1212()//()k e e e ke ++，则实数k 的值为 （ ）A.1B.1-C.1±D.06.在△ABC 中，向量BC 可表示为 （ ）①-AB AC ②-AC AB ③+BA AC ④-BA CAA.①②③B.①③④C.②③④D.①②④7.已知ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中===,,OA a OB b OC c 则EF =( )A.a b +B.b a -C.-c bD.-b c8.当C 是线段AB 的中点，则AC BC += （ ）A.ABB.BAC.ACD.O二、填空题(每题5分,共20分)9.化简：AB DA BD BC CA ++--=__________.10.一架飞机向北飞行km 300后改变航向向西飞行km 400，则飞行的总路程为__________， 两次位移和的和方向为__________，大小为__________.11.点C 在线段AB 上，且35AC AB =，则________AC CB =. 12.把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是__________ 三、解答题(每题10分,共40分) 13.已知点C 在线段AB 的延长线上，且2,,BC AB BC CA λλ==则为何值?14.如图，ABCD 中,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a ，=b ，试以a ，b 表示DE 、BF 、CG 15.若菱形ABCD 的边长为2，求AB CB CD -+=?16.在平面四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则四边形ABCD 的形状是什么？A G E FB D2.3平面向量的基本定理及坐标表示一、选择题（每题5分，共50分）1.已知平面向量),2,1(),1,2(-==b a 则向量b a 2321-等于 （ ） A.)25,21(-- B.)27,21( C.)25,21(- D.)27,21(- 2.若),3,1(),4,2(==AC AB 则等于 （ ）A.)1,1(B.)1,1(--C.)7,3(D.)7,3(-- 3.21,e e 是表示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是 （ ） A.21e e +和21e e - B.2123e e -和1264e e - C.212e e +和122e e + D.2e 和21e e +4.已知平面向量),,2(),3,12(m m =+=且//，则实数m 的值等于 （ ）A.2或23-B.23C.2-或23D.72- 5.已知C B A ,,三点共线，且),2,5(),6,3(--B A 若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为A.13-B.9C.9-D.13 （ ）6.已知平面向量),,2(),2,1(m -==且//，则32+等于 （ ）A.)10,5(--B.)8,4(--C.)6,3(--D.)4,2(--7.如果21,e e 是平面内所有向量的一组基底，那么 （ ）A.若实数21,λλ使02211=+e e λλ，则021==λλB.21,e e 可以为零向量C.对实数21,λλ，2211e e λλ+不一定在平面内D.对平面中的任一向量，使=a 2211e e λλ+的实数21,λλ有无数对8.已知向量)4,3(),3,2(),2,1(===，且21λλ+=，则21,λλ的值分别为 ( )A.1,2-B.2,1-C.1,2-D.2,1-9.已知),3,2(),2,1(-==若n m -与2+共线（其中R n m ∈,且)0≠n ，则nm 等于 ( ) A.21- B.2 C.21 D.2- 10.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,,== 则 等于 （ ） A.b a 2141+ B.b a 3132+ C.b a 4121+ D.b a 3231+ 二、填空题（每题5分，共20分）11.已知),1,(),3,1(-=-=x b a 且//，则=x __________12.设向量)3,2(),2,1(==，若向量+λ与向量)7,4(--=共线，则=λ__________13.已知x 轴的正方向与a 的方向的夹角为3π4=，则a 的坐标为__________ 14.已知边长为1的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AD AB ,分别落在x 轴，y 轴的正向上，则向量AC BC AB ++32的坐标为__________三、解答题(第15题6分,其余每题8分,共30分)15.已知向量a 与b 不共线，实数y x ,满足等式x x y x 2)74()10(3++=-+，求y x ,的值.16.已知向量21,e e 不共线，（1）若,82,2121e e e e +=+=),(321e e -=则B A ,,D 三点是否共线？（2）是否存在实数k ，使21e e k +与21e k e -共线？17.已知三点),10,7(),4,5(),3,2(C B A 点P 满足)(R ∈+=λλ，（1）λ为何值时，点P 在直线x y =上？（2）设点P 在第一象限内，求λ的取值范围.18.平面内给定三个向量)1,4(),2,1(),2,3(=-==，（1）求c b a 23-+；（2）求满足n m +=的实数n m ,；（3)若)2//()(a b c k a -+，求实数k .2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例一、选择题（每题5分，共50分）1.若,是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是 （ ）A.b a =B.1=⋅b aC.≠D.= 2.下面给出的关系始终正确的个数是 （ ）①00=⋅②⋅=⋅③2=④()()c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅⋅≤A.0B.1C.2D.3 3.对于非零向量b a ,，下列命题中正确的是 （ ）A.000==⇒=⋅或B. b a //⇒在C.()2⋅=⋅⇒⊥D.b a c b c a =⇒⋅=⋅4.下列四个命题，真命题的是 （ ）A.在ABC ∆中，若,0>⋅则ABC ∆是锐角三角形；B.在ABC ∆中，若,0>⋅则ABC ∆是钝角三角形；C.ABC ∆为直角三角形的充要条件是0=⋅；D.ABC ∆为斜三角形的充要条件是.0≠⋅BC AB .5.,8=为单位向量，与的夹角为,60o 则在方向上的投影为（ ） A.34 B.4 C.24 D.238+6.若向量b a ,,1==与的夹角为 120，则=⋅+⋅（ ）A.21B.21- C.23 D.23-7.a ,631==与的夹角为,3π则⋅的值为 （ ）A.2B.2±C.1D.1±8.已知()(),5,5,0,3-==b a 则与的夹角为 （ ） A.4π B.3π C.43π D.32π 9.若O 为ABC ∆所在平面内的一点，且满足()(),02=-+⋅-OA OC OB OC OB 则ABC ∆ 的形状为 （ ）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.A ，B ，C 均不是10.设向量()(),1,,2,1x ==当向量b a 2+与b a -2平行时，b a ⋅等于 （ ） A.25 B.2 C.1 D.27 二、填空题（每题5分，共20分）11.(),2,1,3==且,b a ⊥则的坐标是_____________.12.若(),8,6-=则与平行的单位向量是_____________.13.设21,e e 为两个不共线的向量，若21e e λ+=与()2132e e --=共线，则=λ________.14.有一个边长为1的正方形ABCD ，设,,,c AC b BC a AB ====+-__________.三、解答题（每题10分，共30分）15.()()61232,34=+⋅-==b a b a ，求a 与b 的夹角θ.16.,43==且与不共线，当k 为何值的时，向量k +与k -互相垂直？17.平面上三个力321,,F F F 作用于一点且处于平衡状态，121,226,1F N F N F +==与 2F 的夹角为,45o 求：①3F 的大小；②3F 与1F 的夹角的大小.第二章平面向量基础过关测试卷一、选择题（每题5分，共55分）1.如图在平行四边形ABCD 中,,b OB a OA ==,,d OD c OC ==则下列运算正确的是（ ）A.0=+++d c b a B.0 =-+-d c b a C.0 =--+d c b a D.0 =+--d c b a2.已知)1,3(),3,(-==b x a ，且a ∥b ，则x 等于 （ ）A.1-B.9C.9-D.13.已知a =)1,2(-，b =)3,1(，则－2a +3b 等于 （ ）A.)11,1(--B.)11,1(-C.)11,1(-D.)11,1(4.若点P 分有向线段21P P 所成定比为1:3，则点1P 分有向线段P P 2所成的比为 （ ） A.34-B.32-C.21-D.23- 5.下列命题中真命题是 （ ）A.000 ==⇒=⋅b a b a 或B.a b a b a 上的投影为在⇒//C.()2b a b a b a ⋅=⋅⇒⊥ D.b ac b c a =⇒⋅=⋅6.已知ABCD 的三个顶点C B A ,,的坐标分别为),3,1(),4,3(),1,2(--则第四个顶点D 的坐标为 ( )A.)2,2(B.)0,6(-C.)6,4(D.)2,4(-7.设21,e e 为两不共线的向量，则21e e λ+=与()1232e e --=共线的等价条件是 A.23=λ B.32=λ C.32-=λ D.23-=λ ACOD（ ）8.下面给出的关系式中正确的个数是 （ ）①00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a⋅=⋅⑤||||b a b a ⋅≤⋅A.0B.1C.2D.39.下列说法中正确的序号是 （ ）①一个平面内只有一对不共线的向量可作为基底； ②两个非零向量平行，则他们所在直线平行； ③零向量不能作为基底中的向量； ④两个单位向量的数量积等于零.A.①③B.②④C.③D.②③10.已知()()5,0,1,221P P -且点P 在21P P 22PP =，则点P 坐标是（ ）A.)11,2(-B.)3,34(C.)3,32( D.)7,2(-11.若k b a 432,1|||-+⊥==与且也互相垂直，则k 的值为 （ ）A.6-B.6C.3D.3-二、填空题（每题5分，共15分）12.已知向量)2,1(,3==b a，且b a ⊥，则a 的坐标是__________.13.若()0,2,122=⋅-==a b a b a，则b a 与的夹角为__________.14.ΔABC 中,)1,3(),2,1(B A 重心)2,3(G ，则C 点坐标为__________. 三、解答题（每题题10分，共30分）15.已知),4,(),1,1(),2,0(--x C B A 若C B A ,,三点共线，求实数x 的值.16.已知向量)1,0(),0,1(,4,23212121==+=-=e e e e b e e a，求（1）b a b a+⋅,的值；（2）a 与b 的夹角的余弦值.17.已知四边形ABCD 的顶点分别为)4,1(),7,2(),4,5(),1,2(-D C B A ,求证：四边形ABCD 为正方形.第二章平面向量单元能力测试卷一、选择题(每题5分，共60分)1.设F E D C B A ,,,,,是平面上任意五点，则下列等式①AB CE AE CB +=+②AC BE BC EA +=-③ED AB EA AD +=+ ④0AB BC CD DE EA ++++=⑤0AB BC AC +-=其中错误等式的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.42.已知正方形ABCD 的边长为1，设c AC b BC a AB ===,,=++ ( )A.0B.3C.22+D.223.设1e 、2e 是两个不共线向量，若向量 a =2153e e +与向量213e e m -=共线，则m 的值等于 （ ） A.35-B.－59C.53-D.95-4.已知)3,1(),1,2(=-=b a 则b a 32+-等于 ( )A.)11,1(--B.)11,1(-C.)11,1(-D.)11,1(5.设P )6,3(-,Q )2,5(-,R 的纵坐标为9-，且R Q P ,,三点共线，则R 点的横坐标为A.9-B.6-C.9D.6 （ ）6.在ΔABC 中,若0)()(=-⋅+CB CA CB CA ，则ΔABC 为 ( )A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定7.已知向量，，40-=⋅=8,则向量与的夹角为 （ ）A.60B.60- C.120D.120-8.已知)0,3(=a ,)5,5(-=b ，则a 与b 的夹角为 ( ) A.4πB.43πC.3πD.32π 9.若b a b a⊥==,1||||且b a 32+与b a k 4-也互相垂直，则k 的值为( )A.6-B.6C.3D.3-10.已知a =(2,3),b =(4-,7),则a 在b上的投影值为( )A.13B.513 C.565 D.65 11.若035=+CD AB ,且BC AD =，则四边形ABCD 是 ( )A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰梯形12.己知)1,2(1-P ,)5,0(2P 且点P 在线段21P P 的延长线上,||2||21PP P P =,则P 点坐标为 ( )A.)11,2(-B.)3,34(C.(3,32) D.)7,2(- 二、填空题(每题5分，共 20分)13.已知|a|=1,|b|=2,且(a－b)和a 垂直,则a与b的夹角为__________. 14.若向量),2(x a -=,)2,(x b -=,且a 与b 同向，则-a b 2=__________.15.已知向量a )2,3(-=,b )1,2(-,c )4,7(-=,且b a cμλ+=，则λ=__________，μ=__________.16.已知|a |=3,｜b ｜=2，a 与b 的夹角为60，则｜a －b ｜=__________. 三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）17.如图，ABCD 中，点M 是AB 的中点， 点N 在BD 上，且BD BN 31=，ABDMC求证：C N M ,,三点共线． 18.已知C B A ,,三点坐标分别为),2,1(),1,3(),0,1(--=31，=31BC ， 1）求点E 、F 及向量EF的坐标； 2）求证：∥．19.24==夹角为120,求：(1)⋅；(2))()2(b a b a +⋅-；(3)3+．20.已知)2,3(),2,1(-==b a，当k 为何值时：（1）b a k +与b a 3-垂直；（2）b a k +与b a3-平行，平行时它们是同向还是反向？21.())sin 3cos ),3(sin(,sin ,cos 2x x x b x x a -+==π,b a x f ⋅=)(，求：(1)函数()x f 的最小正周期； (2))(x f 的值域； (3))(x f 的单调递增区间.22.已知点)sin ,(cos ),3,0(),0,3(ααC B A ， （1）若1-=⋅，求α2sin 的值；（213=+，且),0(πα∈，求OB 与OC 的夹角.3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题(每题5分,共45分)1.345cos 的值等于 （ ） A.462- B.426- C.462+ D.462+- 2.195sin 75sin 15cos 75cos -的值为 （ ）A.0B.21C.23D.21- 3.已知1312sin -=θ，)0,2(πθ-∈，则)4cos(πθ-的值为 （ ） A.2627-B.2627C.26217-D.262174.已知53)4sin(=-x π，则x 2sin 的值为 （ ）A.2519B.2516C.2514D.257 5.若31sin cos ),,0(-=+∈ααπα且, 则α2cos 等于（ ） A.917 B.917± C.917- D.317 6.已知函数是则)(,,sin )2cos 1()(2x f R x x x x f ∈+= （ ）A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数7.已知71tan =α，βtan =31，20πβα<<<，则βα2+等于（ ）A.45π B.4π C.45π或4π D.47π8.ΔABC 中，已知αtan 、βtan 是方程01832=-+x x 的两个根，则c tan 等于 ( )A.2B.2-C.4D.4- 9.函数56sin2sin 5cos 2cos )(ππx x x f -=的单调递增区间是 （ ） A.)(53,10Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ B.)(207,203Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ C.)(532,102Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ D.)(10,52Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ 二、填空题(每题5分,共20分) 10.已知函数的最小正周期是则)(,,sin )cos (sin )(x f R x x x x x f ∈-=__________.11.135)6cos(-=+πx ,则)26sin(x -π的值是__________. 12.231tan 1tan +=+-αα,则α2sin =__________. 13.已知函数[]则,,0,sin )(π∈=x x x f )2(3)(x f x f y -+=π的值域为__________.三、解答题(14题11分，15、16题12分，共35分)14.求值：(1))32cos(3)3sin(2)3sin(x x x ---++πππ. (2)已知,71tan ,21)tan(-==-ββα且)0,(,πβα-∈，求βα-2的值.15.设x x x f 2sin 3cos 6)(2-=，（1)求)(x f 的最大值及最小正周期；（2)若锐角α满足323)(-=αf ，求α54tan 的值.16.已知),,0(,,55cos ,31tan πβαβα∈=-= （1)求)tan(βα+的值；（2)求函数)cos()sin(2)(βα++-=x x x f 的最大值.3.2简单的三角恒等变换一、选择题(每题5分，共40分)1.=-︒︒︒︒16sin 194cos 74sin 14sin （ ） A .23 B .23- C .21 D .21- 2.下列各式中，最小的是 （ ）A .40cos 22B .6cos 6sin 2 C .37sin 50cos 37cos 50sin -D .41cos 2141sin 23- 3.函数()R x x y ∈+=2cos 21的最小正周期为 （ ） A .2πB .πC .π2D .π4 4.︒︒︒︒-+70tan 50tan 350tan 70tan 的值为 （ ） A .21B .23C .21-D .3-5.若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos （ ） A .97-B .31- C .31 D .976.若函数x x y tan 2sin =，则该函数有 （ ） A .最小值0，无最大值B .最大值2，无最小值C .最小值0，最大值2D .最小值2-，最大值2 7.若παπ223<<，则=++α2cos 21212121 （ ） A .2cosαB .2sinαC .2cosα-D .2sinα-8.若()x x f 2sin tan =，则()=-1f （ ） A .1B .1- C .21D .21-二、填空题（每题5分，共20分）9.计算=-+75tan 175tan 1__________. 10.要使mm --=-464cos 3sin θθ有意义,则m 取值范围是__________.11.sin αβ==且,αβ为锐角，则αβ+＝__________. 12.若函数4cos sin 2++=x a x y 的最小值为1，则a =__________.三、解答题（每题10分，共40分） 13.化简：)10tan 31(40cos ︒+︒.14.求值：︒︒︒︒++46cos 16sin 46cos 16sin 22. 15.求函数1cos sin 2cos sin +++=x x x x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 的最值. 16.已知函数R x x x x x y ∈++=,cos 2cos sin 3sin 22,(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的对称轴； (3)求函数最大值及取得最大值时x 的集合.第三章三角恒等变换单元能力测试卷一、选择题（每题5分 ，共60分）1.︒︒︒︒++15cos 75cos 15cos 75cos 22的值等于 （ ） A.26 B.23 C.45 D.431+2.已知222tan -=θ，πθπ22<<，则θtan 的值为 ( )A.2B.22-C.2D.2或22- 3.设︒︒︒︒++=30tan 15tan 30tan 15tan a ，︒︒-=70sin 10cos 22b ，则a ，b 的大小关系A.b a =B.b a >C.b a <D.b a ≠ （ ）4.函数x x x x f cos sin 3sin )(2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上的最大值 （ ） A.1 B.231+ C.23 D.31+5.函数)32cos()62sin(ππ+++=x x y 的最小正周期和最大值分别为（ ）A.π,1B.π,2C.π2,1D.π2,2 6.xx xx sin cos sin cos -+=（ ） A.)4tan(π-x B.)4tan(π+x C.)4cot(π-x D.)4cot(π+x 7.函数)3cos()33cos()6cos()33sin(ππππ+++-+=x x x x y 的图像的一条对称轴是 A.6π=x B.4π=x C.6π-=x D.2π-=x（ ）8.)24tan 1)(25tan 1)(20tan 1)(21tan 1(++++的值为 （ ）A.2B.4C.8D.169.若51)cos(=+βα，53)cos(=-βα，则βαtan tan = （ ） A.2 B.21C.1D.010.函数[]0,(cos 3sin )(π-∈-=x x x x f ）的单调递增区间是 （ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--65,ππ B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,65ππ C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,3π D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,6π 11.已知A 、B 为小于︒90的正角，且31sin =A ，21sin =B ，则)(2sin B A +的值是 A.97 B.23C.1832+D.183724+（ ） 12.若22)4sin(2cos -=-παα，则ααsin cos +的值为 （ ） A.27-B.21-C.21D.27二、填空题（每题5分，共20分） 13.已知32tan=θ，则θθθθsin cos 1sin cos 1+++-=__________.14.函数)2sin()3sin(ππ+⋅+=x x y 的最小正周期T =__________. 15.已知xxx f +-=11)(，若),2(ππα∈则)cos ()(cos αα-+f f 可化简为__________.16.若2cos sin -=+αα，则ααtan 1tan +=__________. 三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）17.（1）已知54cos =α，且παπ223<<，求2tan α.（2）已知1cos )cos()22sin(sin 3=⋅+--θθπθπθ，),0(πθ∈，求θ的值. 18.已知135)43sin(=+πα，53)4cos(=-βπ，且434,44πβππαπ<<<<-， 求)cos(βα-的值.19.已知函数R x x x x x x f ∈++=,cos 3cos sin 2sin )(22， 求：（1）函数)(x f 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； （2）函数)(x f 的单调增区间.20.已知α、β),0(π∈，且αtan 、βtan 是方程0652=+-x x 的两根，求：（1）βα+的值；（2）)cos(βα-的值. 21.已知函数a x x x x f ++-++=2cos )62sin()62sin()(ππ（a 为实常数），（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）如果当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，)(x f 的最小值为2-，求a 的值. 16.已知函数R x xx x x f ∈--++=,2cos 2)6sin()6sin()(2ωπωπω（其中0>ω），（1）求函数)(x f 的值域；（2）若函数)(x f y =的图像与直线1-=y 的两个相邻交点间的距离为2π，求函数 )(x f y =的单调增区间.参考答案1.1任意角和弧度制一、选择题1-5CCDCC 6-10CADBA 二、填空题11.120{-60,-0,60,120,}12.（1）α{︱360⋅=k α},Z k ∈ （2）α{︱90⋅=k α},Z k ∈（3）α{︱ 360⋅k <<α 180360⋅+k },Z k ∈ α{︱360⋅=k α 270+},Z k ∈（4）α{︱ 180⋅=k α45+},Z k ∈ 13.2 14.一或第二 三、解答题15.解：∵ 120=α 360⋅+k Z k ∈,720,-0<<α ∴240-=α600,16.解：(1) 45=β360⋅+k Z k ∈,720-≤ 45 360⋅+k 0<，则2-=k 或1-=k675-=β或 315-=β(2)},45)1({},,45)12({Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==所以N M ⊂17.因为,,23Z k k ∈+=ππθ所以Z k k ∈+=,3293ππθ所以在]2,0[π内与3θ终边相同的角有：913,97,9πππ18.因为302=+R l ,所以4225)215(15)230(212122+--=+-=-==R R R R R lR S当215=R 时，扇形有最大面积4225，此时2,15230===-=RlR l α1.2任意角的三角函数 一、选择题1-4ABAB 5-8BBAB 二、填空题⒐⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=+<<+<≤Z k k k k k k ,222223222ππαππαπππαπα或或 10.1317或137- 11.33,21 12.⎪⎭⎫⎝⎛47,45ππ三、解答题 13.22,1,22-- 14.126,562 15.161.3三角函数的诱导公式 一、选择题1-4ABCC 5-8CCCC 二、填空题 9.1 10.1312 11.0 12.211aa ++-提示：12.由已知a -=26tan ，于是21126cos a+=；2126sin aa +-=．∴()()21126cos 26sin 206cos 206sin aa ++-=-=-+-．三、解答题 13.33 14.2515.0 16.3 提示：16.()()()42000cos 2000sin 2000++++=απαπb a f()[]()[]41999cos 1999sin ++++++=αππαππb a ()()841999cos 1999sin +-+-+-=απαπb a。
人教A版高中数学必修四测试题及答案全套
人教A版高中数学必修四测试题及答案全套人教A版高中数学必修四测试题及答案全套阶段质量检测（一）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.在0°～360°的范围内，与-510°终边相同的角是()A。
330° B。
210° C。
150° D。
30°2.若sinα = 3/3，π/2 < α < π，则sin(α+π/2) = ()A。
-6/3 B。
-1/2 C。
16/2 D。
33.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是()A。
2 B。
2sin1 C。
2sin1 D。
sin24.函数f(x) = sin(x-π/4)的图象的一条对称轴是()A。
x = π/4 B。
x = π/2 C。
x = -π/4 D。
x = -π/25.化简1+2sin(π-2)·cos(π-2)得()A。
sin2+cos2 B。
cos2-sin2 C。
sin2-cos2 D。
±cos2-sin26.函数f(x) = tan(x+π/4)的单调增区间为()A。
(kπ-π/2.kπ+π/2)，k∈Z B。
(kπ。
(k+1)π)，k∈ZC。
(kπ-4π/4.kπ+4π/4)，k∈Z D。
(kπ-3π/4.kπ+3π/4)，k∈Z7.已知sin(π/4+α) = 1/√2，则sin(π/4-α)的值为()A。
1/3 B。
-1/3 C。
1/2 D。
-1/28.设α是第三象限的角，且|cosα| = α/2，则α的终边所在的象限是()A。
第一象限 B。
第二象限 C。
第三象限 D。
第四象限9.函数y = cos2x+sinx在[-π/6.π/6]的最大值与最小值之和为()A。
3/4 B。
2 C。
1/3 D。
4/310.将函数y = sin(x-π/3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移一个单位，得到的图象对应的解析式为()A。
优化方案·高中同步测试卷·人教物理必修1：高中同步测试卷(一) Word版含解析
高中同步测试卷(一)第一单元运动的描述(时间：90分钟，满分：100分)一、单项选择题(本题共7小题，每小题4分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确)1．质点是常见的物理模型，下列机械运动的研究对象中，正确的是()A．研究门的转动时，门可当作质点B．研究钟表上分针转动时，分针可当作质点C．研究汽车在平直公路上行驶时，汽车可当作质点D．研究月球绕地球运动时，月球不可当作质点2．下列各组物理量中，全部是矢量的是()A．位移、时间、速度、加速度B．质量、路程、速度、平均速度C．速度、平均速度、位移、加速度D．位移、路程、时间、加速度3.2015年9月3号纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年阅兵式在北京天安门广场举行．参加此次阅兵的轰油-6空中加油机是中国自主研制的第一款空中加油机．图为加、受油机梯队保持在预对接状态，飞越天安门接受检阅．下列说法中正确的是()A．选地面为参考系，受油机是静止的B．选加油机为参考系，受油机是运动的C．参考系必须选静止不动的物体D．任何物体都可以作为参考系4．下列说法正确的是()A．路程是标量，即位移的大小B．位移是矢量，位移的方向即质点运动的方向C．地球虽大，且有自转，但有时仍可被视为质点D．研究自行车运动时，因为车轮在转动，所以无论研究哪方面问题，自行车都不能视为质点5．据报道，台风“帕布”在西北太平洋洋面上生成，随后以15 km/h左右的速度向西北方向移动，在登陆时，近中心最大风速达到25 m/s.请指出文中的两个速度数值分别是指()A ．平均速度，瞬时速度B ．瞬时速度，平均速度C ．平均速度，平均速度D ．瞬时速度，瞬时速度6.如图所示，A 、B 、C 是三个质点同时同地开始沿直线运动的位移—时间图象，则在时间t 2内( )A ．A 和B 的平均速度相等 B ．B 和C 的平均速度相等 C ．B 的平均速度最大D ．它们的平均速度都相等7.如图所示为甲、乙两质点的 v －t 图象．对于甲、乙两质点的运动，下列说法中正确的是( )A ．质点甲向所选定的正方向运动，质点乙与甲的运动方向相反B ．质点甲、乙的速度相同C ．在相同的时间内，质点甲、乙的位移相同D ．不管质点甲、乙是否从同一地点开始运动，它们之间的距离一定越来越大 二、多项选择题(本题共5小题，每小题6分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意)8．由a ＝ΔvΔt 可知( )A ．a 与Δv 成正比B ．物体加速度大小由Δv 决定C ．a 的方向与Δv 的方向相同D ．Δv /Δt 叫速度变化率，就是加速度9．小型轿车的“百公里加速时间”是汽车从静止开始加速到100 km/h 所用的最少时间，是反映汽车性能的重要参数．甲、乙两种型号的轿车实测的百公里加速时间分别为11.3 s 和15.5 s ．在这段加速时间里，两种型号的汽车相比( )A ．甲车的速度变化量较大B ．两车的速度变化量大小相等C ．甲车的加速度大D ．两车的加速度大小相等10．如图所示，水平面内的玩具汽车从A点由静止出发并开始计时，沿曲线轨迹的箭头方向运动，到达B、C、D、E四点分别用时1 s、2 s、3 s、4 s．下列对玩具汽车的说法，正确的是()A．它在AB段的平均速度是1 m/sB．它在ABC段的平均速度是1 m/sC．它在ABCDE段的平均速度是0.75 m/sD．它在A点的速度是1 m/s11．关于物体的运动，下列情况可能存在的是()A．物体具有加速度，而其速度为零B．物体具有恒定的速率，但仍有变化的速度C．物体的速度变化越来越快，加速度越来越小D．物体具有沿x轴正方向的加速度和沿x轴负方向的速度12.如图所示，为某物体做直线运动的速度图象．由图象可知()A．物体在8 s内运动的平均速度为2 m/sB．物体在8 s内最大加速度大小为2 m/s2C．物体在这段时间内发生的位移是20 mD．第2 s末物体的速度方向为斜向右上方步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位)13.(8分)如图所示，一质点自A点出发，沿半径为r＝20 cm的圆周逆时针运动2 s，运动34圆周到达B 点，求这段运动过程中：(1)质点的路程和位移； (2)质点的平均速度的大小．14.(10分)爆炸性的加速度往往是跑车的卖点．如图所示的这款跑车由静止加速至100 km/h 只需4.2 s.(1)求此跑车的平均加速度；(2)假设普通私家车的平均加速度为3 m/s 2，它需要多长时间才能由静止加速至100 km/h?15.(10分)某质点从A 点出发做变速直线运动，前3 s 向东运动了20 m 到达B 点，在B 点停了2 s 后又向西运动，又经过5 s 前进了60 m ，到达A 点西侧的C 点，如图所示．求：(1)总路程； (2)全程的平均速度．16．(14分)一质点做直线运动的v－t图象如图所示，试分析质点的运动情况，并求出其加速度．(1)第1 s内；(2)第1 s末到第3 s末；(3)第4 s内．参考答案与解析1．[导学号27630001]解析：选C.研究门的转动时，由于门上各个点离轴的远近不同，故运动有差异，门不能看作质点，故A错误；研究钟表上分针转动时，参考A的解释，分针不可当作质点，故B错误；研究汽车在平直公路上行驶时，汽车的整体运动情况基本一致，汽车可当作质点，故C正确；研究月球绕地球运动时，由于月地距离远大于月球本身，故月球可当作质点，故D错误．2．[导学号27630002]解析：选C.位移、平均速度、速度、加速度都有方向，均为矢量，C选项正确．3．[导学号27630003]解析：选D.选地面为参考系，受油机是运动的，故A错误；选加油机为参考系，受油机相对于加油机是静止的，故B错误；参考系可以任意选取，可以是静止的物体，也可以是运动的物体，任何物体都可以被选为参考系，故C错误，D正确．4．[导学号27630004]解析：选C.路程是标量，它的大小与位移的大小不一定相等，只有物体做单方向直线运动时，位移的大小与路程才相等，选项A错误；位移是矢量，它的方向是从初位置指向末位置，选项B错误；地球围绕太阳公转时，其形状和大小可以忽略，可看做质点，选项C正确；研究自行车从甲地到乙地所用时间时，可以把自行车视为质点，故选项D错误．5．[导学号27630005]解析：选A.根据题中信息推知，台风“以15 km/h左右的速度向西北方向移动”是指台风向西北方向运动的平均速度.25 m/s的速度是台风登陆时近中心的瞬时速度．因此，选项A正确，其他选项均错．6．[导学号27630006]解析：选B.A、C做匀速直线运动，B的x－t图象为曲线，表明B 的速度不断变化，在时间t 2内，A 的位移最大，B 、C 位移相等，所以A 的平均速度最大，B 和C 的平均速度相等．7．[导学号27630007] 解析：选A.甲速度为正，沿正方向做匀速直线运动，乙速度为负，沿负方向做匀速直线运动，速度大小相同，相同时间内位移方向不同，A 正确，B 、C 错误；若乙在甲正方向一侧，则两者距离减小，D 错误．8．[导学号27630008] CD9．[导学号27630009] 解析：选BC.甲、乙两种型号的轿车都是从静止开始加速到100 km/h ，初、末速度相同，则速度变化量大小相等，都是100 km/h ，A 错误，B 正确；由加速度定义式a ＝ΔvΔt得甲车加速度大，C 正确，D 错误．10．[导学号27630010] 解析：选AC.AB 段的平均速度：v AB ＝x AB t 1＝1 m 1 s＝1 m/s ，选项A 正确；ABC 段的平均速度：v ABC ＝x AC t 2＝ 5 m 2 s ＝52 m/s ，选项B 错误；ABCDE 段的平均速度：v ABCDE ＝x AE t 4＝3 m4 s＝0.75 m/s ，故选项C 正确；在A 点的速度是0，选项D 错误． 11．[导学号27630011] 解析：选ABD.加速度表示物体速度变化的快慢，速度变化越快，加速度就越大，而速度则表示物体运动的快慢，二者之间无论是大小还是方向都没有必然的联系，故A 、D 两选项是可能的．根据加速度的物理意义知C 选项不可能．速度是矢量，既有大小又有方向，瞬时速度的大小即速率，速度变化可能是速度方向变化而大小不变，也可能是速度大小变化而方向不变，还可能是速度大小和方向都变化，故B 选项可能．故选ABD.12．[导学号27630012] 解析：选BC.v －t 图象与t 轴所围面积表示物体运动的位移，可知在8 s 内物体的位移为20 m ，则物体在这段时间内的平均速度为2.5 m/s ，A 错误，C 正确；6～8 s 内，v －t 图线斜率最大，物体运动加速度最大，由a ＝ΔvΔt 知，此时加速度的大小为2 m/s 2，B 正确；整个运动过程，物体速度方向没有发生变化，v －t 图线并不是物体运动的轨迹，D 错误．13．[导学号27630013] 解析：(1)质点的路程 s ＝34×2πr ＝34×2×3.14×0.2 m ＝0.94 m (3分) 位移x ＝r 2＋r 2＝2r ＝2×0.2 m ＝0.28 m ． (3分) (2)平均速度：v ＝x t ＝0.28 m 2 s＝0.14 m/s.(2分)答案：(1)0.94 m 0.28 m ，方向从A 指向B (2)0.14 m/s 14．[导学号27630014] 解析：(1)末速度v t ＝100 km/h ＝1003.6m/s ≈27.78 m/s (3分)平均加速度a ＝v t －v 0t ＝27.78－04.2m/s 2≈6.61 m/s 2.(3分) (2)所需时间t ′＝v t －v 0a ′＝27.78－03s ＝9.26 s ． (4分)答案：(1)6.61 m/s 2 (2)9.26 s15．[导学号27630015] 解析：(1)全过程的总路程 s ＝(20＋60) m ＝80 m ．(3分)(2)设向东为正方向，平均速度为位移与发生这段位移所用时间的比值，初位置为A 点，末位置为C 点，则位移x ＝20 m －60 m ＝－40 m (2分) 所用的总时间为t ＝t 1＋t 2＋t 3＝10 s (2分) 则平均速度v ＝x t ＝－4010 m/s ＝－4 m/s(2分) 负号表示v 与规定的正方向相反． (1分)答案：(1)80 m (2)4 m/s ，方向向西16．[导学号27630016] 解析：(1)在第1 s 内物体的v －t 图象为一条倾斜的直线，表示物体做匀加速直线运动．(2分) t ＝0时，v 0＝0 t ＝1 s 时，v 1＝4 m/s则加速度为a 1＝v 1－v 0t ＝4－01m/s 2＝4 m/s 2(2分) 故第1 s 内质点由静止开始沿正方向做加速度为4 m/s 2的匀加速直线运动．(2分) (2)由图象知在从第1 s 末到第3 s 末时间内，加速度a 2＝v 2－v 1t ＝0－42 m/s 2＝－2 m/s 2a 2<0表明其方向与正方向相反．(2分)故质点在从第1 s 末到第3 s 末的时间内沿正方向做匀减速直线运动，初速度为4 m/s ，末速度为0，加速度为－2 m/s 2.(2分)(3)在第4 s 内，v 2＝0，v 3＝－2 m/s.故加速度a 3＝v 3－v 2t ＝－2－01m/s 2＝－2 m/s 2(2分) 质点在第4 s 内沿负方向由静止开始做匀加速直线运动，其加速度为－2 m/s 2. (2分) 答案：见解析。
高中人教A版数学必修4(课时习题与单元测试卷)：第一章 章末检测 含解析
第一章章末检测班级____ 姓名____ 考号____ 分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列命题中正确的是( )A ．终边相同的角一定相等B ．锐角都是第一象限角C ．第一象限角都是锐角D ．小于90°的角都是锐角答案：B2．已知sin(2π－α)＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α等于( ) A.17 B ．－17C ．－7D ．7答案：A解析：∵sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝45， ∴sin α＝－45. ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴cos α＝1－sin 2α＝35. ∴sin α＋cos αsin α－cos α＝－45＋35－45－35＝－15－75＝17. 3．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4答案：B解析：∵sin α＝－12＝－12，且α的终边在第四象限，∴α＝116π. 4．若函数y ＝2cos ωx 在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( ) A ．2 B.12C ．3 D.13答案：B解析：由y ＝2cos ωx 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上是递减的，且有最小值为1，则有f ⎝⎛⎭⎫2π3＝1，即2×cos ⎝⎛⎭⎫ω×2π3＝1，cos ⎝⎛⎭⎫2π3ω＝12，检验各选项，得出B 项符合． 5．sin(－1740°)的值是( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案：D解析：sin(－1740°)＝sin60°＝32. 6．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332 D.⎣⎡⎦⎤－332，3 答案：B解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. 7．下列函数中，在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数的偶函数是( ) A ．y ＝|sin x | B ．y ＝|sin2x |C ．y ＝|cos x |D ．y ＝tan x答案：A解析：作图比较可知．8．要得到函数y ＝cos(3x ＋2)的图象，只要将函数y ＝cos3x 的图象( )A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移23个单位 D ．向右平移23个单位 答案：C解析：∵y ＝cos(3x ＋2)＝cos3⎝⎛⎭⎫x ＋23， ∴只要将函数y ＝cos3x 的图象向左平移23个单位即可． 9．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为( ) A ．－12 B.32C ．－32 D.12答案：B解析：f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. 10．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π4(a >0)的最小正周期为1，且g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ax (x <0)g (x －1)(x ≥0)，则g ⎝⎛⎭⎫56等于( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32答案：C解析：由条件得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa＝1，∴a ＝2π，∴g ⎝⎛⎭⎫56＝g ⎝⎛⎭⎫－16＝sin ⎝⎛⎭⎫－a 6＝ sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32. 11．已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2] 答案：A解析：因为ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，所以ωπ2＋π4≤ωx ＋π4≤ωπ＋π4，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54，故选A. 12．下图为一半径为3m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮自点A 开始旋转，15s 旋转一圈．水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3 C ．ω＝2π15，A ＝5 D ．ω＝152π，A ＝5 答案：A解析：∵T ＝15，故ω＝2πT ＝2π15，显然y max －y min 的值等于圆O 的直径长，即y max －y min ＝6，故A ＝y max －y min 2＝62＝3. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m ，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________. 答案：m解析：cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m . 14．已知f (x )的定义域为(0,1]，则f (sin x )的定义域是________．答案：(2k π，2k π＋π)，k ∈Z解析：由0<sin x ≤1得2k π<x <2k π＋π(k ∈Z )．15．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域为________． 答案：{x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0cos x ≥12， 如图，结合三角函数线知： ⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π (k ∈Z )2k π－π3≤x ≤2k π＋π3 (k ∈Z )， 解得2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )， ∴函数的定义域为{x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }． 16．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )有下列命题，其中正确的是________． ①y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ②y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ③y ＝f (x )的最小正周期为2π；④y ＝f (x )的图象的一条对称轴为x ＝－π6. 答案：①②解析：4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，故①②正确，③④错误． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫45，－35. (1)求sin α的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)的值． 解：(1)∵|OP |＝1，∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35. (2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α. 由余弦函数的定义得cos α＝45，故所求式子的值为54. 18．(12分)已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－2 2ax ＋a ＝0的两个根．(1)求实数a 的值；(2)若θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求sin θ－cos θ的值． 解：(1)∵(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1， 又∵⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝2 2a ，sin θ·cos θ＝a ， ∴a ＝12或a ＝－14，经检验Δ≥0都成立， ∴a ＝12或a ＝－14.(2)∵θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴a <0， ∴a ＝－14且sin θ－cos θ<0， ∴sin θ－cos θ＝－62. 19．(12分)若函数f (x )＝a －b cos x 的最大值为52，最小值为－12，求函数g (x )＝－4a sin bx 的最值和最小正周期．解：当b ＞0时，⎩⎨⎧ a ＋b ＝52a －b ＝－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝32， g (x )＝－4sin 32x . 最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3. 当b ＜0时，⎩⎨⎧ a －b ＝52a ＋b ＝－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－32， g (x )＝－4sin(－32x )＝4sin 32x . 最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3. b ＝0时不符合题意．综上所述，函数g (x )的最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3. 20．(12分)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系是s ＝A sin(ω t ＋φ)，0<φ<π2，根据图象，求：(1)函数解析式；(2)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？(3)单摆来回摆动一次需要多长时间？解：(1)由图象知，34T ＝1112－16＝34，所以T ＝1.所以ω＝2πT＝2π. 又因为当t ＝16时取得最大值，所以令2π·16＋φ＝π2＋2k π， ∵φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 所以φ＝π6.又因为当t ＝0时，s ＝3， 所以3＝A sin π6，所以A ＝6，所以函数解析式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6. (2)因为A ＝6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6cm.(3)因为T ＝1，所以单摆来回摆动一次需要 1s.21．(12分)设函数f (x )＝3sin(ωx ＋π6)，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期． (1)求f (0)；(2)求f (x )的解析式；(3)已知f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95，求sin α的值．解：(1)f (0)＝3sin ⎝⎛⎭⎫ω×0＋π6＝3sin π6＝32. (2)∵T ＝2πω＝π2，∴ω＝4，所以f (x )的解析式为：f (x )＝3sin(4x ＋π6)． (3)由f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95得3sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫α4＋π12＋π6＝95，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝35，∴cos α＝35， ∴sin α＝±1－cos 2α＝± 1－⎝⎛⎭⎫352＝±45. 22．(12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π8，π2时，方程f (x )＝k 恰有两个不同的实数根，求实数k 的取值范围； (3)将函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移m (m >0)个单位后所得函数g (x )的图象关于原点中心对称，求m 的最小值．解：(1)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π， 由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，故函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )； (2)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上为减函数 又f ⎝⎛⎭⎫－π8＝0，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎫π－π4＝－2cos π4＝－1， ∴当k ∈[0，2)时方程f (x )＝k 恰有两个不同实根．(3)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋3π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π8 ∴g (x )＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π8－m ＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2m 由题意得π4－2m ＝2k π，∴m ＝－k π＋π8，k ∈Z 当k ＝0时，m ＝π8，此时g (x )＝2sin2x 关于原点中心对称．。
【优化方案】高中人教A数学必修1同步测试卷：高中同步测试卷(三)(含答案解析)
高中同步测试卷 (三 )单元检测函数及其表示 (B)(时间： 120 分钟，满分： 150 分)一、选择题 (本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1．以下说法：①定义域同样，值域也同样的两个函数相等；②定义域同样，对应关系一致的两个函数相等；③值域同样，对应关系一致的两个函数相等；④只需对应关系一致，两个函数就相等；⑤只需值域不一样，两个函数就不相等．此中正确的个数为 ()A ． 0B ．1C ． 2D ． 3|2－ x| － x － 3 02．函数 f(x) ＝2 的定义域为 ()x ＋ 2A. －2，3B ．( －2，＋ ∞) 233 3C. 2，＋ ∞D ． －2，2 ∪2，＋ ∞3．已知会合 A ＝ {1 ，2，m} 与会合 B ＝ {4 ，7，13} ，若 f ： x →y＝ 3x ＋1 是从 A 到 B 的映照，则 m 的值为 ()A ． 22B ．8C ． 7D ． 44．如下图，能够作为函数图象的是 ( )5．已知函数 f(x) ＝x 2 ＋1（ x<2 ）7＝()，则 ff （ x － 1）（ x ≥2） 229 9A. 4B ．413 53 C. 4D ． 46．已知 f(x 2 －1)的定义域为 [ － 3， 3]，则 f(x) 的定义域为 ( )A ． [－ 2， 2]B ．[0，2]C ． [ －1， 2]D ．[－ 3， 3]1 217．已知 x ≠0，函数 f(x) 知足 f x － x ＝ x ＋ x 2，则 f(x) 的表达式为 ()A ． f(x) ＝x ＋ 1(x ≠ 0) B ．f(x) ＝ x 2＋ 2xC ． f(x) ＝ x 2(x ≠ 0)D ． f(x) ＝ x － 12x (x ≠ 0)8．小明和小华进行自行车竞赛( 比胜过程中，两人平均速行驶 )，刚开始小华当先，但重点时辰自行车掉了链子，小明赶超小华，小华修睦车后，急起直追，但为时已晚，小明还是先到了终点．假如用s 1，s 2 分别表示小明和小华所行走的行程， t 表示时间，则以下图中与该事件切合的是 ()1， x ≥09．已知 f(x) ＝ ，则不等式 x ＋(x ＋2)f(x ＋ 2) ≤5的解集是 ()－ 1， x<033A ． (－ ∞， 2]B ．[ －2， 2]C ． ( －∞，－ 2)D ． (－ ∞，＋ ∞)10．定义在 R 上的函数 f(x) 知足 f(x ＋ y)＝f(x) ＋ f(y) ＋ 2xy(x ，y ∈ R)， f(1) ＝ 2，则 f( － 3)等于()A ． 2B ．3C ． 6D ． 911．设 f(x) ＝x － 2， x ≥ 10，则 f(5)的值为 ()f （ x ＋6）， x<10，A ． 10B ．9C ． 12D ． 131112．若函数 y ＝ f(x) 的值域是 2，3 ，则函数 F(x) ＝ f(x) ＋ f （x ） 的值域是 ()1 10 A. 2，3 B ．2，35， 10 10 C.2 3D ． 3，3题号 123456789101112答案二、填空题 (本大题共 4 小题，每题5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )13．已知函数 f(2x ＋1) ＝3x ＋ 2，且 f(a) ＝4，则 a ＝ ________．bx ＋ 1，此中 a ， b 为非零常数，且 ab ≠2，若 f(x) · f 1＝ k ，k 为常数，14．已知 f(x) ＝ 2x ＋ax则 k 的值为 ________．15．某在校大学生提早创业，想开一家服饰专卖店，经过估算，店面装饰费为10 000元，每日需要房租水电等花费100 元，受营销方法、经营信用度等因素的影响，专卖店销售1 2总收入 P 与店面经营天数 x 的关系是 P(x)＝300x － x ， 0≤x<300 ，2则总收益最大时店面经45 000， x ≥300，营天数是 ________．1x ， x ≤ 0，16．设函数 f(x) ＝ 2(x ＋ |x|)， g(x) ＝ x则 f[g(x)] ＝ ________．2， x>0，三、解答题 (本大题共6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 )17．(本小题满分10 分 )长为l 的铁丝弯成下部为矩形、上部为半圆形的框架(如下图)，若矩形底边长为2x ，求此框架围成图形的面积y 对于x 的函数．(写出定义域)1（ 0<x<1 ）18.(本小题满分12 分 )作出函数y＝x的图象，并求其值域．x（ x≥1）119．(本小题满分12 分 )已知函数y＝a x＋1(a<0且a为常数)在区间(－∞，1]上存心义，务实数 a 的取值范围．20． (本小题满分12 分 )已知二次函数知足f(3x ＋ 1)＝ 9x2－ 6x＋5.(1)求 f(x) 的分析式；(2)求 f(x) 的值域．21.(本小题满分 12 分 )跟着优惠形式的多样化，“可选择性优惠”渐渐被愈来愈多的经营者采纳．一次，小马去“物美”商场购物，一块醒目的牌子吸引了他，上边说该商铺销售茶壸和茶杯，茶壸每个订价 20 元，茶杯每个订价 5 元，在所需茶壸和茶杯一次性购置的状况下，该店推出两种优惠方法：①买一送一 (即买一只茶壶送一只茶杯 )；②打九折 (即按购置总价的90%付款 )．此刻小马需购置茶壸 4 个，茶杯若干个 (许多于 4 个)，那么小马用哪一种优惠方法付款更省钱呢？x＋ 1，x≤－ 2，22．(本小题满分12 分 )已知函数f(x) ＝x2＋2x，－2<x<2，2x－ 1，x≥ 2.(1)求 f( － 5)， f( －3)， f f －5的值；2(2)若 f(a) ＝ 3，务实数 a 的值；(3)若 f(m)>m(m ≤－ 2 或 m≥ 2)，务实数m 的取值范围．参照答案与分析1．【分析】选 C.一次函数 y ＝ x 与 y ＝－ x ，定义域同样，值域也同样，但对于同一个x的值1，对应元素分别为1、－ 1，故①不正确；②明显正确；函数y ＝ x 2， x ∈ {2} 与 y ＝ x 2，x ∈ {2 ，－ 2} ，值域都是{4}，对应关系都是自变量 x 对应着它的平方，但两个函数不相等，故③④不正确；定义域、对应关系和值域是函数的组成因素，值域不一样，自然函数就不一样，故⑤正确．x ＋2>0 ，332．[导学号 02100016] 【分析】选 D.由3 － 2，得 x> － 2 且 x ≠ ，表示为会合 2 x －2≠0， 2∪ 3，＋ ∞.23．【分析】选 D.由 f ：x →y＝ 3x ＋ 1，得 3×1＋ 1＝4，3× 2＋ 1＝7，3m ＋ 1＝ 13，即 m ＝4.4．【分析】选 D. 函数是一对一、多对一的关系，应选 D.5．【分析】选 C.f 7＝ f 7－1＝ f 5 ＝ f 5－1222233 2 13＝ f 2 ＝2 ＋1＝4.6． [ 导学号 02100017]【分析】选 C.因为－3≤ x ≤ 2≤ 3.3，因此 0≤x2因此－ 1≤x－ 1≤2.1 21 1 27．【分析】选 B. 因为 f x － x ＝ x ＋ x 2＝ x － x＋ 2.令 t ＝ x －1x (x ≠ 0)，则 t ∈ R ， f(t) ＝ t 2＋ 2，因此 f(x) ＝ x 2＋ 2(x ∈R)．8．【分析】选 B.小明匀速至终点，小华开始骑得快，半途修车行程未变，后又迅速骑至终点，此时小明已到终点，只有 B 切合，应选 B.9．【分析】 选 A. 当 x ＋ 2≥0，即 x ≥－ 2 时， f(x ＋ 2)＝ 1.不等式可化为x ≥－ 23 ? －2≤ x ≤.2x ＋ 2≤52x< －2? x< －2，当 x ＋2<0 ，即 x< － 2 时， f(x ＋2) ＝－ 1，不等式可化为x －（ x ＋ 2）≤53故不等式 x ＋ (x ＋2)f(x ＋ 2) ≤5的解集为 (－ ∞，－ 2)∪ [－ 2，2]＝ (－ ∞，32]．10．【分析】选 C.令 x ＝ y ＝ 0，得 f(0) ＝0；令 x＝y＝ 1，得 f(2) ＝ 2f(1) ＋ 2＝ 6；令 x＝2， y＝1，得 f(3) ＝ f(2) ＋ f(1) ＋ 4＝ 12；令 x＝3， y＝－ 3，得 0＝f(3 －3) ＝f(3) ＋ f(－ 3)－ 18＝12＋f( －3) －18，因此 f( － 3)＝ 6.11．[ 导学号 02100018] 【分析】选 B. 由题意得 f(5) ＝ f(5 ＋6) ＝f(11) ＝ 11－ 2＝9，应选B.11， 3，利用单一性定义知F(x) 在1， 112．【分析】选 B.令 f(x) ＝t ，则 F(x)＝ t＋t，t∈2210上单一递减，在 [1，3]上单一递加，经计算得F(x) 的值域为 2，3，应选 B.t－ 1，13．【分析】设 2x＋ 1＝ t，则 x＝2t－ 131因此 f(t) ＝ 3×＋ 2＝ t＋，222因为 f(a) ＝ 4，因此3a＋17 2＝ 4，因此 a＝ .23【答案】7314． [导学号 02100019]【分析】当 x≠0时，因为 f(x) ＝bx＋1，2x＋ a1b＋ 1x＋ b x因此 f x＝2＝ax＋ 2，＋ ax因此 f(x)1bx ＋ 1x＋ b＝bx2＋（ b2＋1） x＋ b＝ k，f·＝·2ax22x2x ＋ a ax＋ 2＋（ a ＋ 4） x＋2a因此 2akx2＋ k(a2＋ 4)x＋ 2ak＝bx 2＋ (b2＋ 1)x＋ b，即 (2ak－b)x2＋ [k(a 2＋ 4)－ (b2＋ 1)]x ＋ (2ak－ b)＝ 0，2 2 b因此2ak－ b＝ 0，且 k(a ＋ 4)－ (b ＋ 1)＝ 0.由 2ak－ b＝0，得 k＝，2b（ a ＋ 4）222因此－(b ＋ 1)＝0，因此 b(a ＋ 4)－ 2a(b ＋ 1)＝0，即 (ab－ 2) ·(a－ 2b)＝ 0，因为 ab≠2，因此 a－2b＝ 0，得 a＝ 2b，b b1因此 k＝2a＝4b＝4.【答案】1 415．【分析】设总收益为L(x) ，则 L(x) ＝－1x2＋ 200x－ 10 000， 0≤ x<300 ，2－100x＋ 35 000， x≥ 300，则 L(x) ＝－1（x－ 200）2＋ 10 000， 0≤x<300 ，2－100x＋ 35 000， x≥ 300，当0≤x<300时，L(x) max＝10 000，当 x≥300时， L(x) max＝ 5 000，因此总收益最大时店面经营天数是200.【答案】 200x， x>0 ，16．【分析】 f(x) ＝0， x≤ 0.当 x>0 时， g(x) ＝ x2>0.则 f[g(x)] ＝f(x 2)＝ x2.当 x≤0时， g(x) ＝ x≤0，则 f[g(x)] ＝ f(x) ＝ 0.x2， x>0 ，综上可得， f[g(x)] ＝0， x≤0.【答案】x2，x>00， x≤ 017． [导学号 02100020]︵－πx.【解】由题意知AB ＝ 2x，CD ＝πx，于是 AC ＝l－2x2l － 2x－πx12π＋ 4 2因此 y＝ 2x·2＋2πx＝－2 x ＋ lx.2x>0 ，l又l － 2x－πx解得 0<x<.2>0 ，2＋π故所求的函数为π＋ 4x20<x<l. y＝－2＋ lx2＋π18.【解】当 0<x<1 时， y＝1x的图象是反比率函数图象的一部分；当x≥1时，图象为直线y＝x 的一部分．函数的图象如下图．由此可知，值域为 [1，＋∞)．11 19．【解】要使函数 y＝a x＋ 1(a<0且 a 为常数 )在区间 (－∞，1]上存心义，一定有ax＋ 1≥0， a<0，因此 x≤－ a，即函数的定义域为(－∞，－ a]，因为函数在区间(－∞， 1]上存心义，因此 (－∞，1] ? ( －∞，－ a]，因此－ a≥1，即 a≤－ 1，因此 a 的取值范围是(－∞，－ 1]．20． [导学号 02100021]【解】(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 f(3x ＋ 1)＝ a(3x＋1)2＋b(3x ＋ 1)＋ c＝9ax2＋ (6a＋ 3b)x ＋ a＋ b＋c＝9x2－6x ＋ 5.9a＝ 9，a＝ 1，比较系数，得6a＋ 3b＝－ 6，解得b＝－ 4，a＋ b＋ c＝ 5，c＝ 8.因此 f(x) ＝ x2－ 4x＋ 8.(2)因为函数f(x) 是张口向上，对称轴为x＝ 2 的抛物线，且极点坐标为(2， 4)．因此函数图象如下图，因此函数的值域为[4，＋∞)．21．【解】设买茶杯x 只，付款 y 元 (x>3 ，且 x∈ N) ，则用第一种方法需付款y1＝ 4×20＋ (x－ 4) ×5＝5x＋ 60；用第二种方法需付款y2＝ (20 ×4＋ 5x) ×90%＝4.5x＋ 72.设 d＝y1－ y2＝ 5x＋ 60－ (4.5x ＋ 72)＝0.5x－ 12.当 d>0 时， 0.5x－ 12>0，即 x>24 ；当 d＝0 时， x＝24；当 d<0 时， x<24.综上可知，当所购茶杯多于24 只时，方法②省钱；恰巧购置24 只时，两种方法均可；购置个数在4～ 23 之间时，方法①廉价．22．【解】 (1)由－ 5∈( －∞，－ 2]，－3∈ (－ 2，2)，－ 5∈ (－ ∞，－ 2]，2 知 f( － 5)＝－ 5＋ 1＝－ 4，f(－ 3) ＝( － 3)2＋ 2×(－ 3)＝ 3－ 2 3，因为 f －5 5 3 32＝－ ＋ 1＝－ ，且－ 2<－ <2，222因此 f f － 53 3 23＝ f － ＝ － 2 ＋2× －22 293 ＝ 4－3＝－ 4.(2)①当 a ≤－ 2 时， a ＋ 1＝ 3，即 a ＝ 2>－2，不合题意，舍去．22因此 (a －1)(a ＋ 3)＝0，得 a ＝ 1，或 a ＝－ 3.因为 1∈ (－ 2， 2)，－ 3?(－ 2， 2)，因此 a ＝ 1，切合题意．③当 a ≥2时， 2a － 1＝ 3，因此 a ＝2，切合题意．综合①②③，当 f(a) ＝ 3 时， a ＝ 1，或 a ＝ 2.(3)因为 f(m)>m ，当 m ≤－ 2 时， f(m) ＝ m ＋ 1>m 恒建立，故 m ≤－ 2；当 m ≥2时， f(m) ＝ 2m － 1>m ，解得 m>1. 故 m ≥2.因此， m 的取值范围是 (－ ∞，－ 2]∪ [2，＋ ∞)．。
2022版《优化方案》高中数学人教A版必修四文档：第二章§3.2平面向量基本定理 Word版含答案
3．2 平面对量基本定理, )1．问题导航(1)平面对量基本定理与向量的线性运算有何关系？ (2)在平面对量基本定理中为何要求向量e 1，e 2不共线？(3)对于同一向量a ，若基底不同，则表示这一向量a 的实数λ1，λ2的值是否相同？ 2．例题导读P 86例4.通过本例学习，学会应用平面对量基本定理解决实际问题． 试一试：教材P 87习题2－3 A 组T 7你会吗？P 86例5.通过本例学习，学会用已知向量表示其他向量． 试一试：教材P 87习题2－3 A 组T 5，T 6你会吗？1．平面对量基本定理(1)定理：假如e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：我们把不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内全部向量的一组基底． 2．三点共线的充要条件平面上三点A 、B 、C 共线的充要条件是：存在实数α、β，使得OA →＝αOB →＋βOC →.其中α＋β＝1，O 为平面内任意一点．1．推断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内全部向量的基底．( ) (2)若e 1，e 2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内全部向量．( ) (3)若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a ，b ，c ，d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d .( )解析：(1)错误．依据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底． (2)正确．依据平面对量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e 1，e 2线性表示． (3)错误．当e 1与e 2共线时，结论不肯定成立． 答案：(1)× (2)√ (3)×2．已知平行四边形ABCD ，下列各组向量中，是该平面内全部向量基底的是( ) A.AB →，DC → B.AD →，BC → C.AD →，CB → D ．AB →，BC →解析：选D.由于AB →，BC →不共线，故是一组基底．3．已知向量a 与b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y ＝________．解析：由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.答案：34．已知向量a 与b 不共线，且AB →＝a ＋4b ，BC →＝－a ＋9b ，CD →＝3a －b ，则共线的三点为________．解析：BD →＝BC →＋CD →＝－a ＋9b ＋3a －b ＝2a ＋8b ，由于AB →＝a ＋4b ，所以AB →＝12BD →，所以A ，B ，D 三点共线．答案：A ，B ，D1．定理的实质平面对量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任意向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式．2．分解的唯一性平面对量基本定理中，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．3．体现的数学思想平面对量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择恰当的基底，将问题涉及的向量用基底化归，使问题得以解决．对基底的理解设e 1，e 2是同一平面内不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中不能作为平面内全部向量的一组基底的是________．(写出满足条件的序号)[解析] 由基底的定义可将此问题转化为推断各组中的两个向量是否共线的问题．若不共线，则它们可作为一组基底；若共线，则它们不能作为一组基底．①中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝0，无解，所以e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2可作为一组基底；②中，设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2λ＝0，－（2＋λ）＝0，无解，所以e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1可作为一组基底；③中，由于e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，所以e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不能作为一组基底；④中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝0，1－λ＝0，无解，所以e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2可作为一组基底．[答案] ③ 方法归纳同一平面内的两个向量能不能作为基底，关键是看它们共不共线，在同一平面内，只要两个向量不共线，就可以作为一组基底．1．(1)设O 是平行四边形ABCD 两对角线AC 与BD 的交点，下列向量组可作为表示这个平行四边形所在平面的全部向量的基底的是( )①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →. A ．①② B ．④ C ．①③ D ．①④(2)设a ，b 不共线，c ＝2a －b ，d ＝3a －2b ，试推断c ，d 能否作为基底．解：(1)选C.推断两个向量能否作基底，只需看两个向量是否共线，由图可知AD →与AB →不共线，CA →与DC →不共线，故①③可作为基底．(2)假设存在唯一实数λ，使得c ＝λd ，则2a －b ＝λ(3a －2b )，即(2－3λ)a ＋(2λ－1)b ＝0. 由于a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－3λ＝0，2λ－1＝0⇒⎩⎨⎧λ＝23，λ＝12.所以这样的λ是不存在的，从而c ，d 不共线． 所以c ，d 能作为基底．用基底表示向量点，设OA →＝a ，(1)如图，梯形ABCD 中AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间任意一OB →＝b ，OC →＝c ，则向量OD →用a ，b ，c 表示为( )A ．a －b ＋2cB ．a －b －2cC ．－12a ＋12b ＋cD.12a －12b ＋c (2)如图所示，D 是BC 边的一个四等分点．试用基底AB →，AC →表示AD →，则AD →＝________． (链接教材P 86例5)[解析] (1)由于AB ∥CD ，AB ＝2CD ，所以CD →＝12BA →，OD →＝OA →＋AC →＋CD → ＝OA →＋OC →－OA →＋12BA →＝OC →＋12(OA →－OB →)＝12a －12b ＋c .(2)由于D 是BC 边的四等分点，所以BD →＝14BC →＝14(AC →－AB →)，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝34AB →＋14AC →. [答案] (1)D (2)34AB →＋14AC →若本例(2)中的条件不变，用基底AB →，AC →表示CD →.解：由于D 是BC 边的四等分点，所以CD →＝34CB →＝34(AB →－AC →)＝34AB →－34AC →.即CD →＝34AB →－34AC →.方法归纳(1)依据平面对量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算．(2)要留意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量．2．(1)已知AM 为△ABC 的BC 边上的中线，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AM →＝( ) A.12(a －b ) B ．－12(a －b ) C ．－12(a ＋b ) D ．12(a ＋b )(2)假如3e 1＋4e 2＝a ，2e 1＋3e 2＝b ，其中a ，b 为已知向量，则e 1＝________，e 2＝________(用a ，b 表示)．(3)已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试以a 、b 为基底表示DC →、BC →、EF →.解：(1)选D.由于BC →＝AC →－AB →＝b －a ， BM →＝12BC →＝12(b －a )，所以AM →＝AB →＋BM →＝a ＋12(b －a )＝12(a ＋b )．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3e 1＋4e 2，b ＝2e 1＋3e 2，解得e 1＝3a －4b ，e 2＝3b －2a .故填3a －4b 和3b －2a . (3)如图，连接FD ，由于DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点， 所以DC 綊FB ，所以四边形DCBF 为平行四边形． 所以DC →＝FB →＝12AB →＝12b ，BC →＝FD →＝AD →－AF →＝AD →－12AB →＝a －12b ，EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →＝－⎝⎛⎭⎫a －12b －12×12b ＝14b －a .平面对量基本定理的应用且AB →＝a ，AC →＝如图，已知点G 是△ABC 的重心，若PQ 过△ABC 的重心G ，b ，AP →＝m a ，AQ →＝n b (m >0，n >0)，试问m ，n 的倒数和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．[解] 由于AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝12(a ＋b )，所以AG →＝23AD →＝13(a ＋b )，由于P 、G 、Q 三点共线，则PG →∥GQ →⇔PG →＝λGQ →(λ为正实数)，由于PG →＝AG →－AP →＝13(a ＋b )－m a＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ， GQ →＝AQ →－AG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b ， 所以⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎡⎦⎤－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b ， 可得⎝⎛⎭⎫13－m ＋13λa ＋⎝⎛⎭⎫13－λn ＋13λb ＝0， 由于a ，b 不共线， 则必有13－m ＋13λ＝13－λn ＋13λ＝0，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ， 所以1m ＋1n ＝3为定值．方法归纳用向量解决平面几何问题的一般步骤 (1)选取不共线的两个平面对量作为基底．(2)将相关的向量用基底向量表示，将几何问题转化为向量问题． (3)利用向量学问进行向量运算，得出向量问题的解． (4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解．3．(1)如图，在矩形OACB 中，E 和F 分别是边AC 和BC 上的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC →＝λOE →＋μOF →，其中λ，μ∈R ，求λ，μ的值．(2)已知，在△AOB 中，点P 在直线AB 上，且满足OP →＝2tP A →＋tOB →(t ∈R )，求|P A →||PB →|的值．解：(1)在矩形OACB 中，OC →＝OA →＋OB →， OC →＝λOE →＋μOF →＝λ(OA →＋AE →)＋μ(OB →＋BF →)＝λ(OA →＋13OB →)＋μ⎝⎛⎭⎫OB →＋13OA → ＝3λ＋μ3OA →＋3μ＋λ3OB →， 所以3λ＋μ3＝1，3μ＋λ3＝1，所以λ＝μ＝34.(2)P A →＝OA →－OP →，所以OP →＝2t (OA →－OP →)＋tOB →，即(1＋2t )OP →＝2tOA →＋tOB →，得OP →＝2t 1＋2t OA →＋t 1＋2tOB →.而P ，A ，B 三点共线，所以存在实数λ使得AP →＝λAB →，即OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →，所以2t 1＋2t ＋t 1＋2t ＝1，解得t ＝1，所以OP →＝2P A →＋OB →，得OP →－OB →＝2P A →，即BP →＝2P A →，有|P A →||PB →|＝12.易错警示对平面对量基本定理理解不精确 致误如图，在△ABC 中，点M 是边BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC .AM 与BN 相交于点P ，则AP ∶PM ＝( )A ．1∶4B ．4∶1C ．4∶5D ．5∶4[解析] 设BM →＝e 1，CN →＝e 2， 则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1， BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2.由于A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，所以存在实数λ，μ，使得AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2， BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2. 故BA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2， 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2，由平面对量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.所以AP →＝45AM →，所以AP ∶PM ＝4∶1.[答案] B[错因与防范] (1)解答本题，经常由于对平面对量基本定理理解不精确 ，而导致不能正确地表示出BA →，进而得出AP ∶PM 的错误结果．(2)为避开可能消灭上述错误，应留意以下两点：①充分挖掘题目中的有利条件，利用等量关系列出方程(组)，如本例中由AM 与BN 相交，得到相应三点共线，即A ，P ，M 与B ，P ，N 分别共线．由共线定理得两个方程，然后求解．②用基底表示向量也是用向量解决问题的基础．应依据条件机敏应用，通常以与待求向量亲密相关的两个不共线向量作为基底．4．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：由题意DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，于是λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.答案：121．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( ) A ．不共线 B ．共线 C ．相等 D ．不确定 解析：选B.由于a ＋b ＝3e 1－e 2，所以c ＝2(a ＋b )． 所以a ＋b 与c 共线．2．如图，在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________．解析：CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，故λ＝23.答案：233.如图，设点P ，Q 是线段AB 的三等分点，若OA →＝a ，OB →＝b ，则OP →＝________，OQ＝________(用a ，b 表示)．解析：OP →＝AP →－AO →＝13AB →＋OA →＝13(OB →－OA →)＋OA →＝13OB →＋23OA →＝13b ＋23a ， OQ →＝AQ →－AO →＝23AB →＋OA →＝23()OB →－OA →＋OA →＝23OB →＋13OA →＝13a ＋23b . 答案：13b ＋23a 13a ＋23b, [同学用书单独成册])[A.基础达标]1．设e 1，e 2是平面内全部向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．2e 1＋e 2和2e 1－e 2 B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1 C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1 D ．e 2和e 1＋e 2解析：选B.由于B 中4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，所以3e 1－2e 2和4e 2－6e 1共线不能作为基底．2．四边形OABC 中，CB →＝12OA →，若OA →＝a ，OC →＝b ，则AB →＝( )A ．a －12b B.a2－bC ．b ＋a2 D ．b －12a解析：选D.AB →＝AO →＋OC →＋CB →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故选D.3．已知e 1，e 2不共线，a ＝λ1e 1＋e 2，b ＝4e 1＋2e 2，并且a ，b 共线，则下列各式正确的是( ) A ．λ1＝1 B ．λ1＝2 C ．λ1＝3 D ．λ1＝4 解析：选B.b ＝4e 1＋2e 2＝2(2e 1＋e 2)，由于a ，b 共线，所以λ1＝2.4．若P 为△OAB 的边AB 上一点，且△OAP 的面积与△OAB 的面积之比为1∶3，则有( ) A.OP →＝OA →＋2OB → B.OP →＝2OA →＋OB → C.OP →＝23OA →＋13OB →D.OP →＝13OA →＋23OB →解析：选C.由于△OAP 的面积与△OAB 的面积之比为1∶3，所以AP →＝13AB →，所以OP →－OA →＝13(OB →－OA →)，所以OP →＝23OA →＋13OB →.5．已知|OA →|＝2，|OB →|＝3，∠AOB ＝120°，点C 在∠AOB 内，∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则mn ＝( )A.32B ． 3C.233D ．32解析：选B.如图，过点C 作CM ∥OB ，CN ∥OA ，则OC →＝OM →＋ON →，设|ON →|＝x ， 则|OM →|＝2x ，OC →＝2x ·OA →|OA →|＋x ·OB →|OB →|＝xOA →＋33xOB →，所以m ＝x ，n ＝3x 3，所以m n ＝x3x3＝ 3.6.如图，在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，M 是DC 的中点，以a ，b 为基底表示向量AM →＝________．解析：AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a .答案：b ＋12a7．设a ，b 是两个不共线向量，已知AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，若A 、B 、D 三点共线，则k ＝________．解析：由于CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，所以BD →＝CD →－CB →＝(2a －b )－(a ＋b )＝a －2b .由于A 、B 、D 三点共线，所以AB →＝λBD →，所以2a ＋k b ＝λ(a －2b )＝λa －2λb . 又a ，b 是两个不共线向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－2λ，所以k ＝－4. 答案：－4 8.如图，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．解析：由点D 是圆O 外一点，可设BD →＝λBA →(λ＞1)，则OD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →.又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ＞1)，则OC →＝－λμ·OA →－1－λμOB →(λ＞1，μ＞1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，且m ＋n＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1，0)．答案：(－1，0) 9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．解：NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．10．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 的中点，AM 与CN 交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值． 解：(1)由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，如图，令BM →＝λBC →⇒AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1∶4.(2)由BO →＝xBM →＋yBN →⇒BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x 4BC →＋yBN →，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎨⎧x ＋y 2＝1，x 4＋y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝47，y ＝67.[B.力量提升]1．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( )A.19 B ．13 C ．1 D ．3解析：选B.由于AN →＝12NC →，所以BN →－BA →＝12(BC →－BN →)，则BN →＝23BA →＋13BC →；由于AP →＝mAB →＋29AC →，所以BP →－BA →＝－mBA →＋29(BC →－BA →)，即BP →＝(79－m )BA →＋29BC →；由于P 是BN 上的一点，所以BN →＝λBP →，所以79－m＝49，即m ＝13. 2．如图，在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP →＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝( )A.12 B ．23C.67D ．1解析：选C.由题意可得AP →＝2QP →，QB →＝2QR →，由于AB →＝a ＝AQ →＋QB →＝12AP →＋2QR →，①AC →＝AP →＋PC →＝AP →＋RP →＝AP →＋QP →－QR → ＝AP →＋12AP →－QR →＝32AP →－QR →＝b ，②由①②解方程求得AP →＝27a ＋47b .再由AP →＝m a ＋n b 可得m ＝27，n ＝47，m ＋n ＝67.3．如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．解析：如图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC →＝OD →＋OE →.在Rt △OCD 中，由于|OC →|＝23，∠COD ＝30°， ∠OCD ＝90°，所以|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →， OE →＝2OB →，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6. 答案：64．设点O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△AOC 的面积为________． 解析：如图，以OA ，OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ，则OD →＝OA →＋OB →，结合条件OA →＋OB →＋2OC →＝0知，OD →＝－2OC →，设OD 交AB 于M ，则OD →＝2OM →，所以OM →＝－OC →，故O 为CM 的中点，所以S △AOC ＝12S △CAM ＝14S △ABC ＝14×4＝1.答案：1 5.已知△OAB 中，延长BA 到C ，使AB ＝AC ，D 是将OB →分成2∶1两部分的一个分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a ，b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解：(1)由于A 为BC 的中点，所以OA →＝12(OB →＋OC →)，OC →＝2a －b .DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .(2)由于OE →＝λOA →，所以CE →＝OE →－OC →＝λOA →－OC →＝λa －2a ＋b ＝(λ－2)a ＋b .由于CE →与CD →共线，所以存在实数m ，使得CE →＝mCD →，即(λ－2)a ＋b ＝m (－2a ＋53b )，即(λ＋2m －2)a ＋(1－53m )b ＝0.由于a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2m －2＝0，1－53m ＝0，解得λ＝45.6．(选做题)如图所示，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及线段AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OP →＝xOA →＋yOB →.(1)求x 的取值范围；(2)当x ＝－12时，求y 的取值范围．解：(1)由于OP →＝xOA →＋yOB →，以OB 和OA 的反向延长线为两邻边作平行四边形，由向量加法的平行四边形法则可知OP 为此平行四边形的对角线，当OP 长度增大且靠近OM 时，x 趋向负无穷大，所以x 的取值范围是(－∞，0)．(2)如图所示，当x ＝－12时，在OA 的反向延长线取点C ，使OC ＝12OA ，过C 作CE ∥OB ，分别交OM和AB 的延长线于点D ，E ，则CD ＝12OB ，CE ＝32OB ，要使P 点落在指定区域内，则P 点应落在DE 上，当点P 在点D 处时OP →＝－12OA →＋12OB →，当点P 在点E 处时OP →＝－12OA →＋32OB →，所以y 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，32.。
人教A版新课标高中数学必修4第一章《三角函数》综合练习题(含答案)
第一章《三角函数》综合练习一、选择题1.已知角α的终边经过点0p （-3，-4），则)2cos(απ+的值为（ ）A.54-B.53C.54D.53-2.半径为πcm ，圆心角为120︒所对的弧长为（）A .3πcmB .23πcmC .23πcm D .223πcm 3.函数12sin[()]34y x π=+的周期、振幅、初相分别是（ ）A .3π，2-，4πB .3π，2，12πC .6π，2，12πD .6π，2，4π4.sin y x =的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，然后把图象沿x 轴向右平移3π个单位，则表达式为（ ） A .1sin()26y x π=-B .2sin(2)3y x π=-C .sin(2)3y x π=-D .1sin()23y x π=-5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图像( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于点(π3，0)对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称6.如图，曲线对应的函数是 （ ） A ．y=|sin x | B ．y=sin|x |C ．y=－sin|x |D ．y=－|sin x |7．函数y=cos 2x –3cosx+2的最小值是（）A ．2B ．0C ．41 D ．68．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x －π6(x ∈[0，π])的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，11π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，11π12 9.已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如右图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><，则（ ）A.4=AB.1ω=C.6πϕ= D.4=B10.已知1cos()63πα+=-，则sin()3πα-的值为（）A .13B .13-C .233D .233-11.已知α、β是第二象限的角，且βαcos cos >，则 （ ）A.βα<;B.βαsin sin >；C.βαtan tan >；D.以上都不对12.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于( )A. 1B.22C. 0D.22-二、填空题13．函数x x f cos 21)(-=的定义域是______________ 14．若sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则sin αcos α的值是_____________.15、函数])32,6[)(6cos(πππ∈+=x x y 的值域是 ． 16．函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是__________.三、解答题17.已知α是第二象限角，sin()tan()()sin()cos(2)tan()f πααπαπαπαα---=+--．（1）化简()f α； （2）若31sin()23πα-=-，求()f α的值．18.已知tan 3α=，求下列各式的值： （1）4sin cos 3sin 5cos αααα-+ ；（2）212sin cos cos ααα+．19．（1）画出函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π － 2x 在一个周期的函数图像；（2）求出函数的对称中心和对称轴方程．20．已知y ＝a －b cos3x (b >0)的最大值为32，最小值为－12.(1)判断其奇偶性．(2)求函数y ＝－4a sin(3bx )的周期、最大值，并求取得最大值时的x ；21．已知函数45)62sin(21++=πx y (1)求函数的单调递增区间； (2)写出y=sinx 图象如何变换到15sin(2)264y x π=++的图象第一章《三角函数》综合练习答案一、选择题1-5 CDCBB 6-10 CBBCA 11-12 BB 二、填空题13、5[2,2],33k k k Z ππππ++∈14、31015、1[]216、13k << 17. 解析：（1）sin (tan )1()sin cos (tan )cos f ααααααα-==---；（2）若31sin()23πα-=-，则有1cos 3α=-，所以()f α=3。
2022版《优化方案》高中数学人教A版必修四文档：第一章章末综合检测 Word版含答案
,[同学用书单独成册])(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．化简sin 600°的值是( )A ．0.5B ．－32C.32D ．－0.5 解析：选B.sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32.2．已知函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b2的值为( )A ．0B ．22C ．1D ．－1解析：选C.由题知[a ，b ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，所以cos a ＋b 2＝cos 2k π＝1.3．函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域是( )A ．{1}B ．{1，3}C ．{－1}D ．{－1，3}解析：选D.当x 为第一象限角时，sin x ＞0，cos x ＞0，tan x ＞0，所以y ＝sin x sin x ＋cos x cos x ＋tan x tan x ＝3；当x 为其次象限角时，sin x ＞0，cos x ＜0，tan x ＜0，所以y ＝sin x sin x ＋－cos x cos x ＋tan x－tan x ＝－1；当x 为第三象限角时，sin x ＜0，cos x ＜0，tan x ＞0，所以 y ＝sin x －sin x ＋－cos x cos x ＋tan x tan x＝－1； 当x 为第四象限角时，sin x ＜0，cos x ＞0，tan x ＜0，所以y ＝sin x －sin x ＋cos x cos x ＋tan x －tan x ＝－1. 综上可知，值域为{－1，3}．4．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝( )A.56π B ．16π C.π2 D ．π3解析：选A.y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －π2）＋φ的图象，整理得y ＝cos(2x－π＋φ)．由于其图象与y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象重合，所以φ－π＝π3－π2＋2k π，所以φ＝π3＋π－π2＋2k π，即φ＝5π6＋2k π.又由于－π≤φ<π，所以φ＝5π6.5．要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度解析：选C.由于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，所以将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移π4个单位长度，即可得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图像．故应选C.6．若两个函数的图像仅经过有限次平移能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：f 1(x )＝2cos 2x ，f 2(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，f 3(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－1，则( )A ．f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )两两为“同形”函数；B ．f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )两两不为“同形”函数；C ．f 1(x )，f 2(x )为“同形”函数，且它们与f 3(x )不为“同形”函数；D ．f 2(x )，f 3(x )为“同形”函数，且它们与f 1(x )不为“同形”函数．解析：选D.由题意得f 2(x )与f 3(x )中，A ，ω相同，所以可通过两次平移使其图像重合，即f 2(x )与f 3(x )为“同形”函数，而f 1(x )中ω＝2与f 2(x )，f 3(x )中的ω＝1不同，需要伸缩变换得到，即它们与f 1(x )不为“同形”函数．7．已知奇函数f (x )在[－1，0]上为减函数，又α、β为锐角三角形两内角，则下列结论正确的是( ) A ．f (cos α)>f (cos β) B ．f (sin α)>f (sin β) C ．f (sin α)>f (cos β) D ．f (sin α)<f (cos β)解析：选D.由已知奇函数f (x )在[－1，0]上为减函数，知函数f (x )在[0，1]上为减函数．当α、β为锐角三角形两内角时，有α＋β＞π2且0＜α，β＜π2，则π2＞α＞π2－β＞0，所以sin α＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，即sin α＞cos β，又0＜sin α，cos β＜1，所以f (sin α)<f (cos β)成立，选D.8．将函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像向左平移π2个单位长度，若所得图像与原图像重合，则ω的值不行能为( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：选B.法一：将函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像向左平移π2个单位后所得图像的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ2＋φ，而平移后所得图像与原图像重合，所以ωπ2＝2k π(k ∈Z )，所以ω＝4k (k ∈Z )，所以ω的值不行能等于6，故选B.法二：当ω＝4时，将函数f (x )＝2sin(4x ＋φ)的图像向左平移π2个单位长度所得图像的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋φ＝2sin(4x ＋φ)与原函数相同．当ω＝6时，将函数f (x )＝2sin(6x ＋φ)的图像向左平移π2个单位长度所得图像的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋φ＝2sin(6x ＋3π＋φ)＝－2sin(6x ＋φ)，与原函数不相同，故选B.9．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中|φ|＜π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)，则f (x )的递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )解析：选C.由于f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6是函数f (x )的最大值或最小值．函数f (x )的周期T ＝π，所以f (π)＝f (0)．又由于函数的对称轴为x ＝π6，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6是函数f (x )的最小值，所以2×π6＋φ＝－π2，解得φ＝－56π.由－π2＋2k π≤2x －56π≤π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )．10．已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据：t (小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b 的图像．依据以上数据，你认为一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为( )A ．10小时B ．8小时C ．6小时D ．4小时解析：选B.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝1.5，－A ＋b ＝0.5，2πω＝12，解得A ＝0.5，b ＝1，ω＝π6，则y ＝0.5cos πt 6＋1.令y ＝0.5cos πt 6＋1>1.25(t ∈[0，24])得cos πt 6>12.又t ∈[0，24]，πt 6∈[0，4π]，因此0≤πt6<π3或5π3<πt 6≤2π或2π≤πt 6<2π＋π3或2π＋5π3<πt6≤2π＋2π，即0≤t <2或10<t ≤12或12≤t <14或22<t ≤24，在一日内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－m 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．解析：f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同零点，即方程f (x )＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同实数解，所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2与y ＝m 有两个不同交点．令u ＝2x －π6，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2得u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，在同始终角坐标系中做出函数y ＝2sin u 与y ＝m 的图像(如图)，可知1≤m <2.答案：[1，2)12．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(x ∈[－π，0])的递减区间是________．解析：令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，令k ＝－1，得－5π6≤x≤－π3，得函数的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3.答案：⎣⎡⎦⎤－5π6，－π313．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则a ，b ，c 的大小关系为________(按由小至大挨次排列)．解析：a ＝sin 5π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－5π7＝sin 2π7，b ＝cos 2π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2π7＝sin 3π14，由于0＜3π14＜2π7＜π2，y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，所以b ＜a ；又由于0＜π4＜2π7＜π2，y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，所以c ＝tan 2π7＞tan π4＝1，所以b ＜a ＜c .答案：b ＜a ＜c14．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度可得y ＝sin x 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．解析：将y ＝sin x 的图像向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图像，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图像，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.答案：2215．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题：①函数y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6；②函数y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③函数y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称；④函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝－π6对称．其中正确的是________．解析：①f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，正确；②T ＝2π2＝π，最小正周期为π，错误；③令2x ＋π3＝k π，当k ＝0时，x ＝－π6，所以函数f (x )关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称，正确；④令2x ＋π3＝k π＋π2，当x ＝－π6时，k ＝－12，与k ∈Z 冲突，错误．所以①③正确．答案：①③三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)计算3sin （－1 200°）tan 113π－cos 585°·tan ⎝⎛⎭⎫－374π. 解：原式＝3sin （－120°－3×360°）tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋2π3－cos(225°＋360°)·tan ⎝⎛⎭⎫－9π－14π＝－3sin 120°tan2π3＋cos 225°tan π4 ＝－3sin 60°－tanπ3＋(－cos 45°)·tan π4＝3·323＋⎝⎛⎭⎫－22×1＝32－22.17. (本小题满分10分)(1)求函数y ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的最大值和最小值及相应的x 值；(2)已知函数y ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为4，求实数a 的值．解：(1)当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－1，即x ＋π6＝－π2＋2k π，k ∈Z .所以当x ＝－23π＋2k π，k ∈Z 时，y 取得最大值1＋2＝3.当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，即x ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z .所以当x ＝π3＋2k π，k ∈Z 时，y 取得最小值1－2＝－1.(2)由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，所以－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤12.当a ＞0，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝12时，y 取得最大值12a ＋3.所以12a ＋3＝4，所以a ＝2.当a ＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y 取得最大值－a ＋3.所以－a ＋3＝4，所以a ＝－1. 综上可知，实数a 的值为2或－1.18．(本小题满分10分)为得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54的图像，只要把函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换？解：法一：①把函数y ＝sin x 的图像向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图像；②把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像；③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像；④把得到的图像向上平移54个单位长度，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像．综上得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像．法二：将函数y ＝sin x 依次进行如下变换：①把函数y ＝sin x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin 2x 的图像；②把得到的图像向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像； ③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像；④把得到的图像向上平移54个单位长度，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像．综上得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像．19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像．解：(1)由于x ＝π8是函数y ＝f (x )的图像的对称轴，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1.所以π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .由于－π<φ<0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，列表如下：x 0 π8 3π8 5π8 7π8 π y－22－11－22描点连线，可得函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像如下．20．(本小题满分13分)已知A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0图像上的任意两点，且角φ的终边经过点P (1，－3)，若|f (x 1)－f (x 2)|＝4时，|x 1－x 2|的最小值为π3.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，不等式mf (x )＋2m ≥f (x )恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由于角φ的终边经过点P (1，－3)，所以tan φ＝－3，且－π2＜φ＜0，得φ＝－π3.函数f (x )的最大值为2，又|f (x 1)－f (x 2)|＝4时，|x 1－x 2|的最小值为π3，得周期T ＝2π3，即2πω＝2π3，所以ω＝3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3.(2)令－π2＋2k π ≤3x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π18＋2k π3≤x ≤5π18＋2k π3，k ∈Z .所以函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π18＋2k π3，5π18＋2k π3，k ∈Z .(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，－π3≤3x －π3≤π6，得－3≤f (x )≤1，所以2＋f (x )＞0，则mf (x )＋2m ≥f (x )恒成立等价于m ≥f （x ）2＋f （x ）＝1－22＋f （x ）恒成立．由于2－3≤2＋f (x )≤3，所以1－22＋f （x ）最大值为13，所以实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫13，＋∞.。
【优化方案】高中人教A版数学必修4同步测试卷：高中同步测试卷(六)(含答案解析)
高中同步测试卷(六)单元检测 平面向量的基本概念及线性运算(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．平行于同一向量的两个向量是共线向量B ．单位向量都相等C ．a ∥b ⇔存在唯一的实数λ，使得a ＝λbD ．与非零向量a 相等的向量有无数个 2．化简AC →－BD →＋CD →－AB →得( ) A.AB → B.DA → C.BC →D ．0 3.如图所示，在正方形ABCD 中，点E 为CD 的中点，点F 为BC 上靠近点B 的一个三等分点，则EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.23AB →＋12AD →C.13AB →－12AD → D.12AB →－23AD → 4．下列命题中，正确的是( ) A ．|a|＝|b|⇔a ＝b B ．|a|>|b|⇔a>b C ．a ＝b ⇔a ∥bD ．|a|＝0⇔a ＝05．已知非零向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D6．已知向量m≠0，λ∈R ，a ＝m ＋λn ，b ＝λn ，若向量a 与b 共线，则( ) A ．λ＝0 B ．n ＝0 C ．m ∥n D ．λ＝0或m ∥n7．已知平面内M ，N ，P 三点满足MN →－PN →＋PM →＝0，则下列说法正确的是( ) A ．M ，N ，P 是一个三角形的三个顶点 B ．M ，N ，P 是一条直线上的三个点 C ．M ，N ，P 是平面内的任意三个点D ．N 必须是线段MP的中点8．若点M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB →共线的是( ) A.AB →＋BC →＋AC → B.AM →＋MB →＋BC → C.AM →＋BM →＋CM → D ．3AM →＋AC → 9．在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．给出下列命题：①若|a|＝|b|，则向量a 与b 的长度相等且方向相同或相反； ②对于任意非零向量，若|a|＝|b|且a 与b 的方向相同，则a ＝b ； ③非零向量a 与非零向量b 满足a ∥b ，则向量a 与b 方向相同或相反； ④向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线； ⑤若a ∥b ，且b ∥c ，则a ∥c. 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．311．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高线的交点12．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝( )A.15B.25C.35D.45 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13.如图，CB →＋ED →＋DC →＋FE →＋AF →＝________． 14．已知AD →＝23AB →，AE →＝23AC →，则DE →＝________BC →.15．已知点P 在线段AB 上，且|AB →|＝3|AP →|，设AP →＝lPB →，则实数l ＝________． 16．在△ABC 中，a ＝CB →，b ＝CA →，CP →＝1|a|a ＋1|b|b ，则直线CP 一定经过△ABC 的________心．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图，在正五边形ABCDE 中，若AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e ，求作向量a －c ＋b －d －e.18．(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 边上的点，CD DA ＝AE EB ＝12，记BC →＝a ，CA →＝b.求证：DE →＝13(b －a)．19.(本小题满分12分)在△ABC 中，AD →＝13AB →，DE ∥BC ，且与边AC 相交于点E ，△ABC 的中线AM 与DE 相交于点N.设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 分别表示向量AE →，CB →，DE →，CE →，DN →，NA →.20．(本小题满分12分)已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →(λ∈R ，λ≠0且λ≠1)．(1)求证：A ，B ，M 三点共线；(2)若点B 在线段AM 上，求实数λ的范围．21.(本小题满分12分)如图，在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b. (1)用a ，b 表示AC →，DB →；(2)当a ，b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 所在的直线互相垂直？ (3)当a ，b 满足什么条件时，|a ＋b|＝|a －b|? (4)a ＋b 与a －b 有可能为相等向量吗？为什么？22．(本小题满分12分)证明：若向量OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线，则存在实数λ，μ，且λ＋μ＝1，使得OC →＝λOA →＋μOB →，反之也成立．参考答案与解析1．解析：选D.若两个向量都与零向量平行，它们可能不共线，所以选项A 不正确；单位向量只是长度相等，方向不确定，故选项B 不正确；“a ∥b ⇔存在唯一的实数λ，使得a ＝λb”需在b≠0的前提下才成立，故选项C 不正确；平移非零向量a ，所得向量都与a 相等，故与非零向量a 相等的向量有无数个．故选D.2．解析：选D.AC →－AB →＋CD →＋DB →＝BC →＋CB →＝0.故选D. 3．解析：选D.法一：EF →＝AF →－AE →＝(AB →＋BF →)－(AD →＋DE →) ＝(AB →＋13AD →)－(AD →＋12AB →)＝12AB →－23AD →. 法二：EF →＝EC →＋CF →＝12AB →－FC →＝12AB →－23AD →. 4．解析：选D.由于向量是由两个基本要素(大小、方向)构成的，任何缺少一个要素的判断都是错误的，故A 、B 、C 三个选项都是错误的，又根据零向量的定义可知，D 选项是正确的，故选D.5．[导学号19460033] 解析：选A.BC →＋CD →＝BD →＝2AB →，显然A ，B ，D 三点共线． 6．解析：选D.λ＝0⇒a ∥b ，m ∥n ⇒a ∥b ，反之亦然，故选D.7．解析：选C.因为MN →－PN →＋PM →＝MN →＋NP →＋PM →＝MP →＋PM →＝0，所以MN →－PN →＋PM →＝0对任意情况是恒成立的．故M ，N ，P 是平面内的任意三个点．8．解析：选C.选项A 中，AB →＋BC →＋AC →＝2AC →，与AB →不共线；选项B 中，AM →＋MB →＋BC →＝AC →，与AB →不共线；选项D 显然不与AB →共线，故选C.9．解析：选B.如图，因为AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD → ＝AD →，所以|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2|AO →|＝2|AB →|＝2.故选B.10．解析：选C.①若|a|＝|b|，则向量a 与b 的长度相等而方向可以任意，故①不正确；②根据相等向量的定义可知②正确；③根据共线向量的定义可知③正确；④向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线或AB ∥CD ，故不正确；⑤若b ＝0，则a 与c 不一定共线，故不正确．综上可知只有②③正确，故选C.11．[导学号19460034] 解析：选D.因为OA →·OB →＝OB →·OC →， 所以OB →·(OA →－OC →)＝0，所以OB →·CA →＝0， 所以OB ⊥CA.同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ， 所以O 为垂心．12．解析：选D.因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45.13．解析：原式＝(ED →＋DC →)＋CB →＋FE →＋AF → ＝(EC →＋CB →)＋FE →＋AF →＝(FE →＋EB →)＋AF → ＝AF →＋FB →＝AB →. 答案：AB →14．解析：DE →＝DA →＋AE →＝－AD →＋AE →＝－23AB →＋23AC →＝23(AC →－AB →)＝23BC →. 答案：2315．[导学号19460035] 解析：由题意得AB →＝3AP →，所以PB →＝2AP →，故l ＝12.答案：1216．解析：设1|a|a ＝CM →，1|b|b ＝CN →，则|CM →|＝|CN →|，CP →＝CM →＋CN →，所以四边形CMPN为菱形，所以CP 平分∠ACB.而三角形的内心是三个内角平分线的交点， 所以直线CP 必过△ABC 的内心． 答案：内 17．解：a －c ＋b －d －e ＝(a ＋b)－(c ＋d ＋e)＝(AB →＋BC →)－(CD →＋DE →＋EA →)＝AC →－CA →＝2AC →. 如图，连接AC ，并延长至点F ，使CF ＝AC ，则CF →＝AC →. 所以AF →＝2AC →，即为所求作的向量a －c ＋b －d －e.18．[导学号19460036] 证明：因为AE →＝13AB →＝13(CB →－CA →)＝13(－a －b)， AD →＝23AC →＝－23b ，所以DE →＝AE →－AD →＝－13a －13b ＋23b＝13(b －a)． 19．解：由图示可知， 因为DE ∥BC ， 所以AE →＝13AC →＝13b.CB →＝AB →－AC →＝a －b.DE →＝13BC →＝13b －13a.CE →＝－23AC →＝－23b.DN →＝12DE →＝12⎝⎛⎭⎫13b －13a ＝16b －16a. NA →＝－AN →＝－(AD →＋DN →) ＝－⎝⎛⎭⎫13a ＋16b －16a ＝－16a －16b.20．[导学号19460037] 解：(1)证明：因为OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →， 所以OM →＝λOB →＋OA →－λOA →， OM →－OA →＝λOB →－λOA →，所以AM →＝λAB →(λ∈R ，λ≠0且λ≠1)． 又因为AM →与AB →有公共点A ， 所以A ，B ，M 三点共线． (2)由(1)知AM →＝λAB →， 若点B 在线段AM 上，则AM →与AB →同向且|AM →|>|AB →|(如图所示)．所以λ>1.21．解：(1)AC →＝AD →＋AB →＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →＝a －b.(2)由(1)知a ＋b ＝AC →，a －b ＝DB →.a ＋b 与a －b 所在的直线互相垂直，即AC ⊥BD. 又因为四边形ABCD 为平行四边形，所以四边形ABCD 为菱形，即a ，b 应满足|a|＝|b|. (3)|a ＋b|＝|a －b|，即|AC →|＝|BD →|.因为矩形的对角线相等，所以当a 与b 所在的直线互相垂直时，满足|a ＋b|＝|a －b|. (4)不可能．因为平行四边形ABCD 的两对角线不可能平行，因此a ＋b 与a －b 不可能为共线向量，那么就更不可能为相等向量了．22．[导学号19460038] 证明：(1)若向量OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线， 则有AC →＝tAB →，①在△AOB ，△AOC 中分别利用向量的三角形法则， 有AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →， 代入①得OC →－OA →＝t(OB →－OA →)， 所以OC →＝tOB →＋(1－t)OA →， 所以存在实数λ＝1－t ，μ＝t ，且λ＋μ＝(1－t)＋t ＝1，使得OC →＝λOA →＋μOB →. (2)若OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1， 则μ＝1－λ，OC →＝λOA →＋μOB →＝λOA →＋(1－λ)OB → ＝OB →＋λ(OA →－OB →)， 所以OC →－OB →＝λ(OA →－OB →)， 即BC →＝λBA →，利用向量共线定理，得BC →∥BA →.因为BC →与BA →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线，即向量OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线．。
高中数学必修四同步练习及答案(新课标人教A版)
高中数学必人修教四A版练习册高中数学人教A 版必修4练习册目录导航人教A 版必修4练习1.1任意角和弧度制 ....................................................... 1 1.2任意角的三角函数 ..................................................... 3 1.3三角函数的诱导公式 ................................................... 5 1.4三角函数的图像与性质 . (7)1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用 .............. 10 第一章 三角函数基础过关测试卷 ........................................... 12 第一章三角函数单元能力测试卷 .. (14)2.1平面向量的实际背景及基本概念与2.2.1向量加法运算 .................... 18 2.2向量减法运算与数乘运算 .............................................. 20 2.3平面向量的基本定理及坐标表示 ........................................ 22 2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例 .............................. 25 第二章平面向量基础过关测试卷 ............................................ 27 第二章平面向量单元能力测试卷 .. (29)3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 .................................... 33 3.2简单的三角恒等变换 .................................................. 36 第三章三角恒等变换单元能力测试卷 . (38)人教A 版必修4练习答案1.1任意角和弧度制 ...................................................... 42 1.2任意角的三角函数 .................................................... 42 1.3三角函数的诱导公式 .................................................. 43 1.4三角函数的图像与性质 (43)1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用 .............. 44 第一章三角函数基础过关测试卷 ............................................ 45 第一章三角函数单元能力测试卷 .. (45)2.1平面向量的实际背景及基本概念与2.2.1向量加法运算 .................... 46 2.2向量减法运算与数乘运算 .............................................. 46 2.3平面向量的基本定理及坐标表示 ........................................ 46 2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例 .............................. 47 第二章平面向量基础过关测试卷 ............................................ 48 第二章平面向量单元能力测试卷 .. (48)3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 .................................... 49 3.2简单的三角恒等变换 .................................................. 49 第三章三角恒等变换单元能力测试卷 . (50)1.1任意角和弧度制一、选择题（每题5分，共50分）1.四个角中，终边相同的角是 （ ）A.,398- 38 B.,398- 142 C.,398- 1042 D.,14210422.集合α{=A ︱ 90⋅=k α,36-}Z k ∈，β{=B ︱180-180<<β},则B A 等于（ ）A.,36{- 54} B.,126{- 144} C.,126{-,36-,54144} D.,126{-54}3.设θ{=A ︱θ为锐角}，θ{=B ︱θ为小于90的角}，θ{=C ︱θ为第一象限角}， θ{=D ︱θ为小于 90的正角}，则 （ ） A.B A = B.C B = C.C A = D.D A =4.若角α与β终边相同，则一定有 （ ） A.180=+βα B.0=+βαC.360⋅=-k βα，Z k ∈ D.360⋅=+k βα，Z k ∈ 5.已知α为第二象限的角，则2α所在的象限是 （ ） A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 6.将分针拨慢5分钟，则分针转过的弧度数是 （ ）A.3π B.3π- C.2π D.32π7.在半径为cm 2的圆中，有一条弧长为cm 3π，它所对的圆心角为 （ ）A.6πB.3πC.2πD.32π 8.已知角α的终边经过点)1,1(--P ,则角α为 （ ）A.)(45Z k k ∈+=ππα B.)(432Z k k ∈+=ππα C.)(4Z k k ∈+=ππα D.)(432Z k k ∈-=ππα 9.角316π化为)20,(2παπα<<∈+Z k k 的形式 ( )A.35ππ+B.344ππ+C.326ππ-D.373ππ+10.集合α{=A ︱},2Z k k ∈+=ππα，α{=B ︱},)14(Z k k ∈±=πα，则集合A 与B 的关系是 （ ） A.B A = B.B A ⊇ C.B A ⊆ D.B A ≠ 二、填空题（每题5分，共20分）11.角a 小于180而大于-180，它的7倍角的终边又与自身终边重合，则满足条件的角a 的集合为__________.12.写满足下列条件的角的集合.1）终边在x 轴的非负半轴上的角的集合__________； 2）终边在坐标轴上的角的集合__________；3）终边在第一、二象限及y 轴上的角的集合__________； 4）终边在第一、三象限的角平分线上的角的集合__________.13.设扇形的周长为cm 8，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是__________. 14.已知a {∈θ︱a =+πk },4)1(Z k k∈⋅-π，则角θ的终边落在第__________象限.三、解答题（15、16每题7分，17、18每题8分）15.已知角a 的终边与y 轴的正半轴所夹的角是30，且终边落在第二象限，又720-<a < 0，求角a .16.已知角45=a ，（1）在区间720[-0,)内找出所有与角a 有相同终边的角β；（2）集合x M {=︱ 1802⨯=k x 45+，}Z k ∈,x N {=︱ 1804⨯=kx 45+}Z k ∈ 那么两集合的关系是什么？17.若θ角的终边与3π的终边相同，在]2,0[π内哪些角的终边与3θ角的终边相同？18.已知扇形的周长为30，当它的半径R 和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值.1.2任意角的三角函数一、选择题（每题5分，共40分）1.已知角α的终边过点()αcos ,2,1-P 的值为 （ ）A.55-B.55C.552 D.252.α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ） A.αsin B.αcos C.αtan D.αtan 13.已知角α的终边过点()()03,4<-a a a P ，则ααcos sin 2+的值是 （ ）A.52B.52- C.0 D.与α的取值有关 4.(),,0,54cos παα∈=则αtan 1的值等于 （ ）A.34B.43C.34±D.43± 5.函数x x y cos sin -+=的定义域是 （ ）A.()Z k k k ∈+,)12(,2ππB.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,)12(,22πππ C.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,)1(,2πππ D.[]Z k k k ∈+,)12(,2ππ 6.若θ是第三象限角，且,02cos<θ则2θ是 （ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角7.已知,54sin =α且α是第二象限角，那么αtan 的值为 （ ） A.34- B.43- C.43 D.348.已知点()ααcos ,tan P 在第三象限，则角α在 （ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 二、填空题（每题5分，共20分）9.已知,0tan sin ≥αα则α的取值集合为__________. 10.角α的终边上有一点(),5,m P 且(),013cos ≠=m mα则=+ααcos sin __________.11.已知角θ的终边在直线x y 33=上，则=θsin __________，=θtan __________. 12.设(),2,0πα∈点()αα2cos ,sin P 在第三象限，则角α的范围是__________. 三、解答题（第15题20分，其余每题10分，共40分） 13.求43π的角的正弦，余弦和正切值.14.已知,51sin =α求ααtan ,cos 的值.15.已知,22cos sin =+αα求αα22cos 1sin 1+的值.1.3三角函数的诱导公式一、选择题（每题5分，共40分） 1.21)cos(-=+απ，παπ223<<,)2sin(απ-值为 ( ) A.23 B.21C.23±D.23- 2.若,)sin()sin(m -=-++ααπ则)2sin(2)3sin(απαπ-++等于 （ ） A.m 32-B.m 23-C.m 32D.m 233.已知,23)4sin(=+απ则)43sin(απ-值为 （ ） A.21B.21-C.23D.23-4.如果),cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是（ ）A.)](22,22[Z k k k ∈++-ππππB.))(223,22(Z k k k ∈++ππππC.)](223,22[Z k k k ∈++ππππD.))(2,2(Z k k k ∈++-ππππ 5.已知,)1514tan(a =-π那么=︒1992sin （ ）A.21||aa + B.21aa +C.21aa +-D.211a+-6.设角则,635πα-=)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于 （ ）A.33B.33-C.3D.－37.若,3cos )(cos x x f =那么)30(sin ︒f 的值为 （ ） A.0 B.1C.1-D.238.在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是 （ ） A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰或直角三角形D .等腰直角三角形二、填空题（每题5分，共20分）9.求值：︒2010tan 的值为 ．10.若1312)125sin(=-α,则=+)55sin(α ． 11.=+++++76cos 75cos 74cos 73cos 72cos 7cos ππππππ ．12.设,1234tan a =︒那么)206cos()206sin(︒-+︒-的值为 ． 三、解答题（每题10分，共40分） 13.已知3)tan(=+απ,求)2sin()cos(4)sin(3)cos(2a a a a -+-+--πππ的值．14.若32cos =α,α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．15.已知αtan 、αtan 1是关于x 的方程0322=-+-k kx x 的两实根，且,273παπ<< 求)sin()3cos(απαπ+-+的值．16.记4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f ，（a 、b 、α、β均为非零实数），若5)1999(=f ，求)2000(f 的值．1.4三角函数的图像与性质一、选择题(每题5分,共50分)1.)(x f 的定义域为[]1,0则)(sin x f 的定义域为 （ ） A.[]1,0 B.)(2,2222,2Z k k k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ πππππππ C.[])()12(,2Z k k k ∈+ππ D.)(22,2Z k k k ∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡+πππ2.函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是 （ ）A52π B 25π C π2 D π5 3.x x y sin sin -=的值域是 （ ） A ]0,1- B ]1,0 C ]1,1[- D ]0,2[-4.函数)44(tan 1ππ≤≤-=x x y 的值域是 ( ) A.[]1,1- B.(][) +∞-∞-,11, C.[)+∞-,1 D.(]1,∞-5.下列命题正确的是 （ ） A.函数)3sin(π-=x y 是奇函数 B.函数)cos(sin x y =既是奇函数,也是偶函数C.函数x x y cos =是奇函数D.函数x y sin =既不是奇函数,也不是偶函数6.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于 （ ） A 1C.0D.2- 7.函数)3cos(πϖ+=x y 的周期为4π则ϖ值为 ( ) A.8 B.6 C.8± D.48.函数)32sin(π+=x y 的图象 ( )A.关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π对称 B.关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,6π对称C.关于直线3π=x 对称 D.关于直线6π-=x 对称9.)2sin(θ+=x y 图像关于y 轴对称则 ( ) A.)(,22Z k k ∈+=ππθ B.)(,2Z k k ∈+=ππθC.)(,2Z k k ∈+=ππθD.)(,Z k k ∈+=ππθ 10.满足21)4sin(≥-πx 的x 的集合是 ( ) A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,121321252ππππ B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-Z k k x k x ,1272122ππππ D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤Z k k x k x ,6522πππ 二、填空题(每题5分,共20分) 11.函数)23sin(2x y -=π的单调递增区间是__________.12.函数)21(cos log 2-=x y 的定义域是__________. 13.函数)2sin(x y =的最小正周期为__________.14.若)(x f 为奇函数,且当0>x 时,x x x x f 2cos sin )(+=,则当0<x 时,=)(x f __________.三、解答题(每题10分,共30分) 15.利用“五点法”画出函数)621sin(π+=x y 在长度为一个周期的闭区间的简图.16.已知函数⎪⎭⎫⎝⎛-=32tan )(πx x f ，(1)求函数)(x f 的定义域周期和单调区间； (2)求不等式3)(1≤≤-x f 的解集.17.求下列函数的最大值和最小值及相应的x 值. (1)1)42sin(2++=πx y (2)),32cos(43π+-=x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,3ππx (3)5cos 4cos 2+-=x x y (4)2sin sin 1-+=x xy1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用一、选择题(每题5分，共35分) 1.函数1)62sin(3)(--=πx x f 的最小值和最小正周期分别是 ( )A.13--，πB.13+-，πC.3-，πD.13--，π2 2.若函数)3sin(2πω+=x y 的图像与直线2=y 的相邻的两个交点之间的距离为π,则ω的一个可能值为 ( ) A.3 B.2 C.31 D.21 3.要得到)32sin(π-=x y 的图像,只要将x y 2sin =的图像 ( )A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位 4.函数1)62sin(2++=πx y 的最大值是 （ ）A.1B.2C.3D.45.已知函数)(x f 的部分图像如图所示，则)(x f 的解析式可能为 （ ）A.)62sin(2)(π-=x x f B.)44cos(2)(π+=x x fC.)32cos(2)(π-=x x fD.)64sin(2)(π+=x x f6.)23sin(2x y -=π的单调增区间为 （ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππK K B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,125ππππK K C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππK K D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1211,125ππππK K 7.函数[]),0(),62sin(3ππ∈--=x x y 为增函数的区间是 （ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,0πB.⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππC.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,6ππD.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,32ππ二、填空题(每题5分，共15分)8.关于))(32sin(4)(R x x x f ∈+=有下列命题： 1）有0)()(31==x f x f 可得21x x -是π的整数倍； 2）表达式可改写为)62cos(4)(π-=x x f ；3）函数的图像关于点)0,6(π-对称；4）函数的图像关于直线6π-=x 对称；其中正确的命题序号是__________.9.甲乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为45,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲乙两楼的高度分别为__________.10.已知1tan sin )(++=x b x a x f 满足7)5(=πf ，则)599(πf 的值为__________. 三、解答题(每题25分，共50分) 11.已知函数)421sin(3π-=x y ，1）用“五点法”画函数的图像；2）说出此图像是由x y sin =的图像经过怎样的变换得到的； 3）求此函数的周期、振幅、初相；4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间.12.已知函数)32cos(log )(π-=x ax f （其中)1,0≠>a a 且，1）求它的定义域； 2）求它的单调区间； 3）判断它的奇偶性；4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期.第一章 三角函数基础过关测试卷一、选择题(每题5分，共40分)1.与240-角终边位置相同的角是 （ ） A.240 B.60 C.150 D.480 2.已知()21cos -=+απ,则()απ+3cos 的值为 （ ） A.21 B.23± C.21- D.233.函数x y sin 1-=的最大值为 （ ） A.1 B.0 C.2 D.1-4.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=321sin x y 的最小正周期是 （ ） A.2πB.πC.π2D.π4 5.在下列各区间上，函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4sin 2πx y 单调递增的是（ ） A.],4[ππB.]4,0[πC.]0,[π-D.]2,4[ππ 6.函数x y cos 1+=的图象 （ ） A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线2π=x 轴对称7.使x x cos sin <成立的x 的一个区间是 （ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,43ππ B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ C.⎪⎭⎫⎝⎛-43,4ππ D.()π,08.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=43sin πx y 的图象，可由x y 3sin =的图象 （ ）A.向左平移4π个单位 B.向右平移4π个单位 C .向左平移12π个单位 D .向右平移12π个单位二、填空题（每题5分，共20分）9.已知角β的终边过点()12,5--P ，求=βcos __________．10.函数x y tan lg =的定义域是__________． 11.()R x x y ∈=sin 的对称点坐标为__________． 12.1cos cos -=x xy 的值域是__________．三、解答题(每题10分，共40分) 13.已知2tan =β，求1sin cos sin 2+βββ的值．14.化简：()()()()()()()()πααπαπαπααπααπ6sin sin cos sin 6cos cos cos sin 2222---++---+-++． 15.求证：ααααααααcos sin cos sin 1cos sin 2cos sin 1+=+++++．16.求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤+=323cos 2sin 2ππx x x y 的最大值和最小值．第一章三角函数单元能力测试卷一、选择题（每小题5分，共60分） 1.设α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于 ( ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列值①)1000sin( -；②)2200cos(-；③)10tan(-；④4sin 是负值的为 （ ）A.①B.②C.③D.④3.函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是 （ ）A.0 B4π C 2πD π 4.已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于 （ ） A.43-B.34-C.43D.34 5.若α是第四象限的角，则πα-是 （ ） A 第一象限的角 B 第二象限的角 C 第三象限的角 D 第四象限的角6.将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是 ( )A.1sin 2y x = B 1sin()22y x π=- C.1sin()26y x π=- D.sin(2)6y x π=-7.若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是 ( )A.35(,)(,)244ππππ B 5(,)(,)424ππππC.353(,)(,)2442ππππ D 33(,)(,)244ππππ 8.与函数)42tan(π+=x y 的图像不相交的一条直线是 ( )A.2π=x B 2π-=x C 4π=x D 8π=9.在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、)322cos(π+=x y 中,最小正周期为π的函数的个数是（ ） A.1个 B 2个 C 个 D 4个10.方程1sin 4x x π=的解的个数是（ ） A B C 7 D 811.在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为 （ ）A.)45,()2,4(ππππ B.),4(ππ C.)45,4(ππ D.)23,45(),4(ππππ12.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，则ϕ可能是 （ ）A.2π B 4π- C 4πD 34π二、填空题（每小题5分，共20分）13.设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是__________14.若,24παπ<<则αααtan cos sin 、、的大小关系为__________15 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是__________16.关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题：①对任意α,()f x 都是非奇非偶函数；②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α,()f x 都是奇函数 其中假命题的序号是__________三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.求下列三角函数值: （1）)316sin(π- （2）)945cos( -18.比较大小:（1） 150sin ,110sin ； （2）200tan ,220tan19.化简：（1）)sin()360cos()810tan()450tan(1)900tan()540sin(x x x x x x --⋅--⋅--（2）xx x sin 1tan 1sin 12-⋅++20.求下列函数的值域： （1）)6cos(π+=x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ； (2) 2sin cos 2+-=x x y21.求函数)32tan(π-=x y 的定义域、周期和单调区间.22.用五点作图法画出函数)631sin(2π-=x y 的图象(1)求函数的振幅、周期、频率、相位； (2)写出函数的单调递增区间；(3)此函数图象可由函数x y sin =怎样变换得到2.1平面向量的实际背景及基本概念与2.2.1向量加法运算一、选择题（每题5分，共40分）1.把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是（ ） A.一条线段 B.一段圆弧 C.两个孤立点 D.一个圆2.下列说法中，正确的是 （ ）A.>,则b a >B.=，则b a =C.若b a =，则a ∥bD.若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量3.设O 为△ABC 的外心，则AB 、BO 、CO 是 （ ） A.相等向量 B.平行向量 C.模相等的向量 D.起点相等的向量4.已知正方形ABCD 的边长为1，设a AB =，b BC =，c AC =， b ++=（ ） A.0 B.3 C.22+ D.225.58==，的取值范围是 （ ） A.[]8,3 B.()8,3 C.[]13,3 D.()13,36.如图，四边形ABCD 为菱形，则下列等式中 A B成立的是A.CA BC AB =+ B.BC AC AB =+C.AD BA AC =+D.DC AD AC =+ D C7.在边长为1的正三角形ABC 中，若向量a BA =，b BC =，+= （ ） A.7 B.5 C.3 D.28.向量a 、b 皆为非零向量，下列说法不正确的是 （ ）A.向量a 与b >，则向量b a +与a 的方向相同B.向量a 与b <，则向量b a +与a 的方向相同C.向量a 与b 同向，则向量b a +与a 的方向相同D.向量a 与b 同向，则向量b a +与b 的方向相同二、填空题（每题5分，共20分）9.ABC ∆是等腰三角形，则两腰上的向量AB 与AC 的关系是__________.10.已知C B A ,,是不共线的三点，向量m 与向量AB 是平行向量，与BC 是共线向量，则m =__________.11.在菱形ABCD 中，∠DAB ︒=601==+__________.12.化简=++BO OP PB __________.三、解答题（13题16分，其余每题12分，共40分）13.化简：（1)FA BC CD DF AB ++++. (2)PM MN QP NQ +++.14.已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且OC AO =，OB DO =. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.15.一艘船以h km /5的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成︒30 角，求水流速度和船的实际速度.2.2向量减法运算与数乘运算一、选择题(每题5分,共40分) 1.在菱形ABCD 中，下列各式中不成立的是 （ ） A.-=AC AB BC B.-=AD BD AB C.-=BD AC BC D.-=BD CD BC2.下列各式中结果为O 的有 （ ） ①++AB BC CA ②+++OA OC BO CO ③-+-AB AC BD CD ④+-+MN NQ MP QP A.①② B.①③ C.①③④ D.①②③3.下列四式中可以化简为AB 的是 （ ） ①+AC CB ②-AC CB ③+OA OB ④-OB OA A.①④ B.①② C.②③ D.③④4. ()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+ba b a24822131 （ ）A.2a b -B.2b a -C.b a -D.()b a --5.设两非零向量12,e e ，不共线，且1212()//()k e e e ke ++，则实数k 的值为 （ ） A.1 B.1- C.1± D.06.在△ABC 中，向量BC 可表示为 （ ） ①-AB AC ②-AC AB ③+BA AC ④-BA CAA.①②③B.①③④C.②③④D.①②④ 7.已知ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中===,,OA a OB b OC c 则EF =( )A.a b +B.b a -C.-c bD.-b c 8.当C 是线段AB 的中点，则AC BC += （ ） A.AB B.BA C.AC D.O二、填空题(每题5分,共20分)9.化简：AB DA BD BC CA ++--=__________.10.一架飞机向北飞行km 300后改变航向向西飞行km 400，则飞行的总路程为__________， 两次位移和的和方向为__________，大小为__________. 11.点C 在线段AB 上，且35AC AB =，则________AC CB =. 12.把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是__________三、解答题(每题10分,共40分)13.已知点C 在线段AB 的延长线上，且2,,BC AB BC CA λλ==则为何值? 14.如图，ABCD 中,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 表示DE 、BF 、CG15.若菱形ABCD 的边长为2，求AB CB CD -+=?16.在平面四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则四边形ABCD 的形状是什么？AGE F BD2.3平面向量的基本定理及坐标表示一、选择题（每题5分，共50分）1.已知平面向量),2,1(),1,2(-==b a则向量b a2321-等于（ ） A.)25,21(-- B.)27,21( C.)25,21(- D.)27,21(-2.若),3,1(),4,2(==AC AB 则BC 等于 （ ） A.)1,1( B.)1,1(-- C.)7,3( D.)7,3(--3.21,e e 是表示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是 （ ）A.21e e +和21e e -B.2123e e -和1264e e -C.212e e +和122e e +D.2e 和21e e +4.已知平面向量),,2(),3,12(m b m a =+=且b a //，则实数m 的值等于 （ ） A.2或23-B.23C.2-或23D.72- 5.已知C B A ,,三点共线，且),2,5(),6,3(--B A 若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为 A.13- B.9 C.9- D.13 （ ） 6.已知平面向量),,2(),2,1(m b a -==且b a //，则b a 32+等于 （ ） A.)10,5(-- B.)8,4(-- C.)6,3(-- D.)4,2(--7.如果21,e e 是平面内所有向量的一组基底，那么 （ ） A.若实数21,λλ使02211=+e e λλ，则021==λλ B.21,e e 可以为零向量C.对实数21,λλ，2211e e λλ+不一定在平面内D.对平面中的任一向量a ，使=a 2211e e λλ+的实数21,λλ有无数对8.已知向量)4,3(),3,2(),2,1(===c b a ，且b a c 21λλ+=，则21,λλ的值分别为 ( ) A.1,2- B.2,1- C.1,2- D.2,1-9.已知),3,2(),2,1(-==b a 若b n a m -与b a 2+共线（其中R n m ∈,且)0≠n ，则nm 等于 ( )A.21-B.2C.21D.2- 10.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,,b BD a AC == 则AF 等于 （ ）A.b a 2141+ B.b a 3132+ C.b a 4121+ D.b a 3231+ 二、填空题（每题5分，共20分）11.已知),1,(),3,1(-=-=x b a 且b a //，则=x __________12.设向量)3,2(),2,1(==b a ，若向量b a +λ与向量)7,4(--=c 共线，则=λ__________13.已知x 轴的正方向与a 的方向的夹角为3π4=，则a 的坐标为__________ 14.已知边长为1的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AD AB ,分别落在x 轴，y 轴的正向上，则向量AC BC AB ++32的坐标为__________三、解答题(第15题6分,其余每题8分,共30分)15.已知向量a 与b 不共线，实数y x ,满足等式b x a x b y a x 2)74()10(3++=-+，求y x ,的值.16.已知向量21,e e 不共线，（1）若,82,2121e e BC e e AB +=+=),(321e e CD -=则B A ,,D 三点是否共线？（2）是否存在实数k ，使21e e k +与21e k e -共线？17.已知三点),10,7(),4,5(),3,2(C B A 点P 满足)(R AC AB AP ∈+=λλ，（1）λ为何值时，点P 在直线x y =上？（2）设点P 在第一象限内，求λ的取值范围.18.平面内给定三个向量)1,4(),2,1(),2,3(=-==c b a ，（1）求c b a 23-+；（2）求满足c n b m a +=的实数n m ,；（3)若)2//()(a b c k a -+，求实数k .2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例一、选择题（每题5分，共50分）1.若b a ,是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是 （ ）A.b a =B.1=⋅b aC.≠D.=2.下面给出的关系始终正确的个数是 （ ）①00=⋅a ②a b b a ⋅=⋅ ③2a = ④()()c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅ b a ⋅≤ A.0 B.1 C.2 D.33.对于非零向量b a ,，下列命题中正确的是 （ ）A.000==⇒=⋅b a b a 或B. b a //a ⇒在bC.()2b a b a b a ⋅=⋅⇒⊥ D.b ac b c a =⇒⋅=⋅4.下列四个命题，真命题的是 （ ） A.在ABC ∆中，若,0>⋅BC AB 则ABC ∆是锐角三角形； B.在ABC ∆中，若,0>⋅BC AB 则ABC ∆是钝角三角形； C.ABC ∆为直角三角形的充要条件是0=⋅BC AB ； D.ABC ∆为斜三角形的充要条件是.0≠⋅BC AB .5.e ,8=为单位向量，a 与e 的夹角为,60o 则a 在e 方向上的投影为 （ ）A.34B.4C.24D.238+6.若向量b a ,a ,1==与b 的夹角为120，则=⋅+⋅b a a a （ ）A.21 B.21- C.23 D.23-7.a ,631==与b 的夹角为,3π则b a ⋅的值为 （ ）A.2B.2±C.1D.1±8.已知()(),5,5,0,3-==b a 则a 与b 的夹角为 （ ） A.4π B.3π C.43π D.32π9.若O 为ABC ∆所在平面内的一点，且满足()(),02=-+⋅-OA OC OB OC OB 则ABC ∆ 的形状为 （ ） A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.A ，B ，C 均不是10.设向量()(),1,,2,1x b a ==当向量b a 2+与b a -2平行时，b a ⋅等于 （ ）A.25 B.2 C.1 D.27二、填空题（每题5分，共20分）11.(),2,1,3==b 且,b a ⊥则a 的坐标是_____________. 12.若(),8,6-=a 则与a 平行的单位向量是_____________.13.设21,e e 为两个不共线的向量，若21e e a λ+=与()2132e e b --=共线，则=λ________.14.有一个边长为1的正方形ABCD ，设,,,c AC b BC a AB ====b __________. 三、解答题（每题10分，共30分）15.()()61232,34=+⋅-==b a b a ，求a 与b的夹角θ.16.,43==且a 与b 不共线，当k 为何值的时，向量b k a +与b k a -互相垂直？17.平面上三个力321,,F F F 作用于一点且处于平衡状态，121,226,1F N F N F +==与 2F 的夹角为,45o求：①3F 的大小；②3F 与1F 的夹角的大小.第二章平面向量基础过关测试卷一、选择题（每题5分，共55分）1.如图在平行四边形ABCD 中,,b OB a OA ==,,d OD c OC ==则下列运算正确的是（ ）A.0=+++d c b a B.0 =-+-d c b a C.0 =--+d c b a D.0 =+--d c b a2.已知)1,3(),3,(-==b x a ，且a ∥b ，则x 等于 （ ） A.1- B.9 C.9- D.13.已知a =)1,2(-，b =)3,1(，则－2a +3b 等于 （ ） A.)11,1(--B.)11,1(-C.)11,1(-D.)11,1(4.若点P 分有向线段21P P 所成定比为1:3，则点1P 分有向线段P P 2所成的比为 （ ） A.34-B. 32-C.21-D.23- 5.下列命题中真命题是 （ ）A.000 ==⇒=⋅b a b a 或B.a b a b a 上的投影为在⇒//C.()2b a b a b a ⋅=⋅⇒⊥ D.b ac b c a =⇒⋅=⋅6.已知ABCD 的三个顶点C B A ,,的坐标分别为),3,1(),4,3(),1,2(--则第四个顶点D的坐标为 ( ) A.)2,2( B.)0,6(- C.)6,4( D.)2,4(-7.设21,e e 为两不共线的向量，则21e e a λ+=与()1232e e b --=共线的等价条件是 A.23=λ B.32=λ C.32-=λ D.23-=λ （ ） 8.下面给出的关系式中正确的个数是 （ ）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅ ③22a a = ④)()(c b a c b a ⋅=⋅ ⑤||||b a b a⋅≤⋅A.0B.1C.2D.39.下列说法中正确的序号是 （ ） ①一个平面内只有一对不共线的向量可作为基底； ②两个非零向量平行，则他们所在直线平行；ACOD③零向量不能作为基底中的向量； ④两个单位向量的数量积等于零.A.①③B.②④C.③D.②③10.已知()()5,0,1,221P P -且点P 在21P P 延长线上，22PP =，则点P 坐标是（ ） A.)11,2(- B.)3,34( C.)3,32( D.)7,2(-11.若b a k b a b a b a 432,1||||-+⊥==与且也互相垂直，则k 的值为 （ ） A.6- B.6 C.3 D.3- 二、填空题（每题5分，共15分）12.已知向量)2,1(,3==b a，且b a ⊥，则a 的坐标是__________.13.若()0,2,122=⋅-==a b a b a，则b a 与的夹角为__________.14.ΔABC 中,)1,3(),2,1(B A 重心)2,3(G ，则C 点坐标为__________. 三、解答题（每题题10分，共30分）15.已知),4,(),1,1(),2,0(--x C B A 若C B A ,,三点共线，求实数x 的值.16.已知向量)1,0(),0,1(,4,23212121==+=-=e e e e b e e a ，求（1）b a b a+⋅,的值；（2）a 与b的夹角的余弦值.17.已知四边形ABCD 的顶点分别为)4,1(),7,2(),4,5(),1,2(-D C B A ,求证：四边形ABCD 为正方形.第二章平面向量单元能力测试卷一、选择题(每题5分，共60分)1.设F E D C B A ,,,,,是平面上任意五点，则下列等式①AB CE AE CB +=+ ②AC BE BC EA +=- ③ED AB EA AD +=+ ④0AB BC CD DE EA ++++= ⑤0AB BC AC +-=其中错误等式的个数是（ ）A.1B.2C.3D.42.已知正方形ABCD 的边长为1，设c AC b BC a AB ===,,=++b ( ) A.0 B.3 C.22+D.223.设1e 、2e 是两个不共线向量，若向量 a =2153e e +与向量213e e m b -=共线，则m 的值等于 （ ） A.35-B.－59C.53-D.95-4.已知)3,1(),1,2(=-=b a 则b a 32+-等于 ( ) A.)11,1(--B.)11,1(-C.)11,1(-D.)11,1(5.设P )6,3(-,Q )2,5(-,R 的纵坐标为9-，且R Q P ,,三点共线，则R 点的横坐标为 A.9-B.6-C.9D.6 （ ）6.在ΔABC 中,若0)()(=-⋅+CB CA CB CA ，则ΔABC 为 ( ) A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定7.已知向量a ，b ，40-=⋅b a =8,则向量a 与b 的夹角为 （ ） A.60B. 60-C.120D.120-8.已知)0,3(=a ,)5,5(-=b ，则a 与b 的夹角为 ( )A.4πB.43π C.3π D.32π 9.若b a b a⊥==,1||||且b a 32+与b a k 4-也互相垂直，则k 的值为 ( )A.6-B.6C.3D.3-NA BDM C10.已知a =(2,3),b =(4-,7),则a 在b上的投影值为 ( )A.13B.513 C.565 D.6511.若035=+CD AB ,且BC AD =，则四边形ABCD 是 ( ) A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰梯形12.己知)1,2(1-P ,)5,0(2P 且点P 在线段21P P 的延长线上,||2||21PP P P =, 则P 点坐标为 ( ) A.)11,2(-B.)3,34(C.(3,32) D.)7,2(- 二、填空题(每题5分，共 20分)13.已知|a |=1,|b |=2,且(a －b )和a 垂直,则a 与b的夹角为__________.14.若向量),2(x a -=,)2,(x b -=,且a 与b 同向，则-a b 2=__________.15.已知向量a )2,3(-=,b )1,2(-,c )4,7(-=,且b a cμλ+=，则λ=__________，μ=__________.16.已知|a |=3,｜b ｜=2，a 与b 的夹角为60，则｜a －b ｜=__________. 三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.如图，ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BD BN 31=，求证：C N M ,,三点共线．18.已知C B A ,,三点坐标分别为),2,1(),1,3(),0,1(--AE =31AC ，BF =31BC ， 1）求点E 、F 及向量EF 的坐标； 2）求证：EF ∥AB ．19.24==夹角为120,求：(1)b a ⋅；(2))()2(b a b a +⋅-；(3)a 3+．20.已知)2,3(),2,1(-==b a，当k 为何值时：（1）b a k +与b a 3-垂直；（2）b a k +与b a3-平行，平行时它们是同向还是反向？21.())sin 3cos ),3(sin(,sin ,cos 2x x x b x x a -+==π,b a x f ⋅=)(，求：(1)函数()x f 的最小正周期； (2))(x f 的值域； (3))(x f 的单调递增区间.22.已知点)sin ,(cos ),3,0(),0,3(ααC B A ， （1）若1-=⋅BC AC ，求α2sin 的值；（213=+，且),0(πα∈，求OB 与OC 的夹角.3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题(每题5分,共45分)1. 345cos 的值等于 （ ）A.462- B.426- C.462+ D.462+- 2.195sin 75sin 15cos 75cos -的值为 （ ） A.0 B.21 C.23D.21- 3.已知1312sin -=θ，)0,2(πθ-∈，则)4cos(πθ-的值为 （ ）A.2627-B.2627C.26217-D.26217 4.已知53)4sin(=-x π，则x 2sin 的值为 （ ）A.2519B.2516C.2514D.257 5.若31sin cos ),,0(-=+∈ααπα且, 则α2cos 等于 （ ）A.917 B.917± C.917- D.317 6.已知函数是则)(,,sin )2cos 1()(2x f R x x x x f ∈+= （ ）A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数7.已知71tan =α，βtan =31，20πβα<<<，则βα2+等于 （ ）A.45πB.4πC.45π或4πD.47π8.ΔABC 中，已知αtan 、βtan 是方程01832=-+x x 的两个根，则c tan 等于 ( ) A.2 B.2- C.4 D.4-9.函数56sin2sin 5cos 2cos )(ππx x x f -=的单调递增区间是 （ ） A.)(53,10Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ B.)(207,203Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ C.)(532,102Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ D.)(10,52Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ 二、填空题(每题5分,共20分)10.已知函数的最小正周期是则)(,,sin )cos (sin )(x f R x x x x x f ∈-=__________. 11.135)6cos(-=+πx ,则)26sin(x -π的值是__________. 12.231tan 1tan +=+-αα,则α2sin =__________. 13.已知函数[]则,,0,sin )(π∈=x x x f )2(3)(x f x f y -+=π的值域为__________.三、解答题(14题11分，15、16题12分，共35分) 14.求值：(1))32cos(3)3sin(2)3sin(x x x ---++πππ.(2)已知,71tan ,21)tan(-==-ββα且)0,(,πβα-∈，求βα-2的值.15.设x x x f 2sin 3cos 6)(2-=，（1)求)(x f 的最大值及最小正周期；（2)若锐角α满足323)(-=αf ，求α54tan 的值.16.已知),,0(,,55cos ,31tan πβαβα∈=-= （1)求)tan(βα+的值； （2)求函数)cos()sin(2)(βα++-=x x x f 的最大值.3.2简单的三角恒等变换一、选择题(每题5分，共40分)1.=-︒︒︒︒16sin 194cos 74sin 14sin （ ） A .23 B .23-C .21 D .21- 2.下列各式中，最小的是 （ ） A .40cos 22B .6cos 6sin 2 C .37sin 50cos 37cos 50sin - D .41cos 2141sin 23- 3.函数()R x x y ∈+=2cos 21的最小正周期为 （ ） A .2πB .πC .π2D .π4 4.︒︒︒︒-+70tan 50tan 350tan 70tan 的值为 （ ） A .21 B .23 C .21- D .3-5.若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos （ ） A .97-B .31-C .31D .97 6.若函数x x y tan 2sin =，则该函数有 （ ） A .最小值0，无最大值 B .最大值2，无最小值 C .最小值0，最大值2 D .最小值2-，最大值2 7.若παπ223<<，则=++α2cos 21212121 （ ） A .2cosαB .2sinαC .2cosα- D .2sinα-8.若()x x f 2sin tan =，则()=-1f （ ） A .1 B .1- C .21D .21-二、填空题（每题5分，共20分）9.计算=-+75tan 175tan 1__________.10.要使mm --=-464cos 3sin θθ有意义,则m 取值范围是__________.11.sin αβ==且,αβ为锐角，则αβ+＝__________. 12.若函数4cos sin 2++=x a x y 的最小值为1，则a =__________.三、解答题（每题10分，共40分） 13.化简：)10tan 31(40cos ︒+︒.14.求值：︒︒︒︒++46cos 16sin 46cos 16sin 22.15.求函数1cos sin 2cos sin +++=x x x x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 的最值.16.已知函数R x x x x x y ∈++=,cos 2cos sin 3sin 22,(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的对称轴； (3)求函数最大值及取得最大值时x 的集合.第三章三角恒等变换单元能力测试卷一、选择题（每题5分 ，共60分）1.︒︒︒︒++15cos 75cos 15cos 75cos 22的值等于 （ ）A.26 B.23 C.45 D.431+2.已知222tan -=θ，πθπ22<<，则θtan 的值为 ( ) A.2 B.22-C.2D.2或22- 3.设︒︒︒︒++=30tan 15tan 30tan 15tan a ，︒︒-=70sin 10cos 22b ，则a ，b 的大小关系 A.b a = B.b a > C.b a < D.b a ≠ （ ）4.函数x x x x f cos sin 3sin )(2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上的最大值 （ ）A.1B.231+ C.23 D.31+5.函数)32cos()62sin(ππ+++=x x y 的最小正周期和最大值分别为（ ） A.π,1 B.π,2 C.π2,1 D.π2,2 6.xx xx sin cos sin cos -+= （ ）A.)4tan(π-x B.)4tan(π+x C.)4cot(π-x D.)4cot(π+x 7.函数)3cos()33cos()6cos()33sin(ππππ+++-+=x x x x y 的图像的一条对称轴是A.6π=x B.4π=x C.6π-=x D.2π-=x （ ）8.)24tan 1)(25tan 1)(20tan 1)(21tan 1(++++的值为 （ ） A.2 B.4 C.8 D.169.若51)cos(=+βα，53)cos(=-βα，则βαtan tan = （ ）A.2B.21C.1D.010.函数[]0,(cos 3sin )(π-∈-=x x x x f ）的单调递增区间是 （ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--65,ππ B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,65ππ C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,3π D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,6π 11.已知A 、B 为小于︒90的正角，且31sin =A ，21sin =B ，则)(2sin B A +的值是 A.97B.23C.1832+D.183724+ （ ）12.若22)4sin(2cos -=-παα，则ααsin cos +的值为 （ ） A.27-B.21-C.21D.27 二、填空题（每题5分，共20分） 13.已知32tan=θ，则θθθθsin cos 1sin cos 1+++-=__________.14.函数)2sin()3sin(ππ+⋅+=x x y 的最小正周期T =__________. 15.已知xxx f +-=11)(，若),2(ππα∈则)cos ()(cos αα-+f f 可化简为__________.16.若2cos sin -=+αα，则ααtan 1tan +=__________. 三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.（1）已知54cos =α，且παπ223<<，求2tan α.（2）已知1cos )cos()22sin(sin 3=⋅+--θθπθπθ，),0(πθ∈，求θ的值.18.已知135)43sin(=+πα，53)4cos(=-βπ，且434,44πβππαπ<<<<-， 求)cos(βα-的值.19.已知函数R x x x x x x f ∈++=,cos 3cos sin 2sin )(22， 求：（1）函数)(x f 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； （2）函数)(x f 的单调增区间.20.已知α、β),0(π∈，且αtan 、βtan 是方程0652=+-x x 的两根，求：（1）βα+的值；（2）)cos(βα-的值.。
2019【人教A版】高中数学：必修4课本例题习题改编(含答案)
人教版高中数学必修精品教学资料人教A 版必修4课本例题习题改编1.原题（必修4第十页A 组第五题）改编1 下列说法中正确的是( ) A ．第一象限角一定不是负角 B ．－831°是第四象限角C ．钝角一定是第二象限角D ．终边与始边均相同的角一定相等 解：选C. －330°＝－360°＋30°,所以－330°是第一象限角,所以A 错误；－831°＝(－3)×360°＋249°,所以－831°是第三象限角,所以B 错误；0°角,360°角终边与始边均相同,但它们不相等,所以D 错误． 改编2 已知θ为第二象限角,那么3θ是（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第一或四象限角 C. 第二或四象限角 D. 第一、二或第四象限角解：选D.36090360180,,1203012060,3k k k z k k k z θθ+〈〈∙+∈∴∙+〈〈∙+∈（1）当()3,36030360180,,3k n n z n n n z θ=∈∙+〈〈∙+∈时此时3θ为第一象限角；（2）当()31,360150360180,,3k n n z n n n z θ=+∈∙+〈〈∙+∈时此时3θ为第二象限角；（3）当()32,360270360300,3k n n z n n θ=+∈∙+〈〈∙+时此时3θ为第四象限角。
改编3 设α角属于第二象限,且2cos2cosαα-=,则2α角属于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解：22,(),,(),2422k k k Z k k k Z ππαππαππππ+<<+∈+<<+∈当2,()k n n Z =∈时,2α在第一象限；当21,()k n n Z =+∈时,2α在第三象限；而coscoscos0222ααα=-⇒≤,2α∴在第三象限；答案：C2.原题（必修4第十页B 组第二题）改编 时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( ) A.143 π B ．－143 π C.718 π D ．－718 π解：选B. 显然分针在1点到3点20分这段时间里,顺时针转过了两周又一周的13,用弧度制表示就是－4π－13×2π＝－143π.故选B.3.原题（必修4第十九页例6）改编 （1）已知sin α 13=,且α为第二象限角,求tan α；（2）已知sin α= m (0,1)m m ≠≠±,求tan α。
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高中同步测试卷(十四)高考微专题 高考中的三角恒等变换(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．cos 165°的值是( ) A.6－22 B.6＋22 C.6－24 D.－6－242．设向量a ＝(cos 23°，cos 67°)，b ＝(cos 53°，cos 37°)，则a·b 等于( ) A.32 B.12 C ．－32 D ．－123．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－434．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 5．tan αtan 2α－tan 2αtan α＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．26．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2 B ．2α－β＝π2 C ．3α＋β＝π2 D ．2α＋β＝π27．4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．22－1 8．已知顶点在坐标原点，终边在第三象限的角α满足1＋cos 2α1＋sin 2α＝12，则tan α＝( )A ．1或－3B ．1C ．－1或3D ．3 9．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.34π B.54π C.74π D.54π或74π 10．已知β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，满足tan (α＋β)＝324，sin β＝13，则tan α＝( ) A.23 B.4211 C.3211 D.32411．已知3＋tan θ1－tan θ＝1＋23，那么sin 2θ＋sin 2θ的值为( )A ．1 B.45 C.35 D.2512．已知25sin 2α＋sin α－24＝0，α是第二象限角，则cos α2的值等于( )A ．±35 B.35 C ．－35 D ．以上均不正确13．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．14．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．15．设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.16．已知sin ()α－2β＝－23，cos ()2α－β＝14，其中0<α<π4，π2<β<3π4，则cos (α＋β)＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2014·高考广东卷)已知函数f(x)＝Asin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝32. (1)求A 的值；(2)若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫3π4－θ.18．(本小题满分12分)(2014·高考江苏卷)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值．19.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3.20．(本小题满分12分)(2014·高考江西卷)已知函数f(x)＝sin(x ＋θ)＋acos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当a ＝2，θ＝π4时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．21.(本小题满分12分)已知向量a ＝(1＋sin 2x ，sin x －cos x)，b ＝(1，sin x ＋cos x)，函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最大值及相应的x 的值； (2)若f(θ)＝85，求cos 2⎝⎛⎭⎫π4－2θ的值．22．(本小题满分12分)已知f(x)＝2cos 2x ＋23⎝⎛⎭⎫sin xcos x ＋3a 6，其中x ∈R ，a 为常数． (1)求y ＝f(x)的最小正周期；(2)若角C为△ABC的三个内角中的最大角且y＝f(C)的最小值为0，求a的值；(3)在(2)的条件下，试画出y＝f(x)(x∈[0，π])的简图．参考答案与解析1．解析：选D.cos 165°＝cos(180°－15°) ＝－cos 15°＝－cos(45°－30°) ＝－cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝－22×32－22×12＝－6－24，故选D. 2．解析：选A.a·b ＝(cos 23°，cos 67°)·(cos 53°，cos 37°) ＝cos 23°cos 53°＋cos 67°cos 37° ＝cos 23°cos 53°＋sin 23°sin 53° ＝cos(23°－53°)＝cos(－30°)＝32.故选A. 3．[导学号19460084] 解析：选C.把条件中的式子两边平方，得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，即3cos 2α＋4sin αcos α＝32，所以3cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝32，所以3＋4tan α1＋tan 2α＝32，即3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 4．解析：选A.由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3tan αtan β＝2，所以tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.5．[导学号19460085] 解析：选A.tan αtan 2α－tan 2αtan α＝tan 2α²tan 2α－1tan α＝2tan α1－tan 2α²tan 2α－1tan α＝－2，故选A.6．解析：选B.由tan α＝1＋sin βcos β，得sin αcos α＝1＋sin βcos β， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， 所以sin (α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α. 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以由sin (α－β)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α，得α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2.7．[导学号19460086] 解析：选C.4cos 50°－tan 40° ＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4cos 40°sin 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin （120°－40°）－sin 40°cos 40°＝3cos 40°＋sin 40°－sin 40°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝3，故选C.8．解析：选B.由1＋cos 2α1＋sin 2α＝2cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＋sin 2α＝21＋2tan α＋tan 2α＝12，可得tan 2α＋2tan α－3＝0，解得tan α＝1或tan α＝－3，因为角α的终边在第三象限，所以tan α＝1，故选B.9．[导学号19460087] 解析：选C.因为α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， 所以cos α＝－255，sin β＝1010，所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22>0， 又α＋β∈(π，2π)，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫32π，2π， 所以α＋β＝7π4.10．解析：选B.因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin β＝13，所以cos β＝223，所以tan β＝24，又因为tan (α＋β)＝324，所以tan α＝tan [(α＋β)－β]＝tan （α＋β）－tan β1＋tan （α＋β）tan β＝324－241＋324×24＝4211，故选B.11．解析：选A.由条件等式可解得tan θ＝12.所以sin 2θ＋sin 2θ＝sin 2θ＋2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θtan 2θ＋1＝14＋2×1214＋1＝1.12．解析：选A.因为α为第二象限角，所以由25sin 2α＋sin α－24＝0求得sin α＝2425(sin α＝－1舍去)，则有cos α＝－725.又由α为第二象限角可判断α2为第一、三象限角，所以由cos α＝2cos 2α2－1，求得cos α2＝±35.13．[导学号19460088] 解析：因为f(x)＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φ²cos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ， 所以f(x)的最大值为1. 答案：114．解析：因为sin 2α＝－sin α， 所以2sin αcos α＝－sin α.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－12. 所以sin α＝1－cos 2α＝32. 所以sin 2α＝－32，cos 2α＝2cos 2α－1＝－12. 所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝ 3. 答案： 315．解析：y ＝sin x －2cos x ＝5(15sin x －25cos x)， 设15＝cos α，25＝sin α， 则y ＝5(sin xcos α－cos xsin α) ＝5sin(x －α)．因为x ∈R ，所以x －α∈R ，所以y max ＝ 5. 又因为x ＝θ时，f(x)取得最大值， 所以f(θ)＝sin θ－2cos θ＝ 5. 又sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以⎩⎨⎧sin θ＝15，cos θ＝－25，即cos θ＝－255.答案：－25516．[导学号19460089] 解析：因为0<α<π4，π2<β<3π4，所以－3π2<α－2β<－34π，－34π<2α－β<0，所以由sin (α－2β)＝－23，得cos (α－2β)＝－1－⎝⎛⎭⎫－232＝－53，由cos (2α－β)＝14，得sin (2α－β)＝－1－⎝⎛⎭⎫142＝－154， 则cos (α＋β)＝cos [(2α－β)－(α－2β)]＝cos (2α－β)cos (α－2β)＋sin (2α－β)sin (α－2β) ＝14×⎝⎛⎭⎫－53＋⎝⎛⎭⎫－154×⎝⎛⎭⎫23 ＝215－512.答案：215－51217．解：(1)因为f ⎝⎛⎭⎫5π12＝Asin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π4 ＝Asin2π3＝Asin π3＝32A ＝32，所以A ＝ 3.(2)由(1)知f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 故f(θ)＋f(－θ)＝3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎫－θ＋π4 ＝32，所以 3⎣⎡⎦⎤22（sin θ＋cos θ）＋22（cos θ－sin θ）＝32， 所以6cos θ＝32，所以cos θ＝64.又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝1－cos 2θ＝104，所以f ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝3sin (π－θ)＝3sin θ＝304. 18．解：(1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α ＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－4＋3310.19．[导学号19460090] 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π6－π12 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝2cos π4＝1. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－π12 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝cos 2θ－sin 2θ. 因为cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， 所以sin θ＝－45.所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725.所以f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ ＝－725－⎝⎛⎭⎫－2425＝1725.20．解：(1)f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x)－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x .因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π4. 故f(x)在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f （π）＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ（1－2asin θ）＝0，2asin 2θ－sin θ－a ＝1. 由θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2知cos θ≠0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.21．[导学号19460091] 解：(1)因为a ＝(1＋sin 2x ，sin x －cos x)，b ＝(1，sin x ＋cos x)， 所以f(x)＝1＋sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝1＋sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. 因此，当2x －π4＝2kπ＋π2(k ∈Z)，即x ＝kπ＋38π(k ∈Z)时，f(x)取得最大值2＋1.(2)由f(θ)＝1＋sin 2θ－cos 2θ及f(θ)＝85，得sin 2θ－cos 2θ＝35，两边平方，得1－sin 4θ＝925，即sin 4θ＝1625. 因此cos 2⎝⎛⎭⎫π4－2θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－4θ ＝sin 4θ＝1625.22．解：(1)y ＝f(x) ＝2cos 2x ＋23⎝⎛⎭⎫sin xcos x ＋36a ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1.所以T ＝π. (2)由C 为△ABC 的三个内角中的最大角可得： π3≤C<π⇒2C ＋π6∈⎣⎡⎭⎫5π6，13π6， 所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＋a ＋1的最小值为：2×(－1)＋a ＋1＝0⇒a ＝1.(3)由(2)知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2，列表如下：。