第七章 最优控制
第七章--最优控制
Optimal Control Theory
同济大学汽车学院：赵治国 教授 Prof. Zhiguo Zhao School of Automotive Studies, Tongji University Tel：69589117(O) E-mail: Zhiguozhao@
*
x(t ) x* (t )上的变分等于零，即 J [ x* (t )] 0
§7－3 泛函与变分的基本概念
证明：对于任意给定的
x(t ) 来说，J [ x* (t ) x(t )]是实变量 的 * * J [ x ( t )] 函数。泛函 在 x (t ) 达到极值，即函数 J [ x (t ) x(t )] 在 0 时达到极值，所以它的导数在 0 时应为零，即
二. 最优控制问题的一般提法 用数学语言描述最优控制问题，应包括以下几个方面的内容： 1. 受控系统的数学模型 用状态方程描述：x (t ) f [ x(t ), u (t ), t ] 2. 受控系统的始端和终端条件，即状态方程的边界条件 对最优控制问题始端条件通常是已知的：x(t0 ) x0 终端条件可以用一个目标集表示：
J J [ x()] J [ x(t ) x(t )] 中的 x(t ) 应理解为某一特定函数的整体，而不是对应于 的
dx(t ) J ( x (t ) t )dt 0 dt 1 5 2 J (t t )dt 0 6 2 1 e J (e 2t tet )dt 1 0 2
1 2
若 x (t ) t 有
t x ( t ) e 若 有
§7－3 泛函与变分的基本概念
2.泛函自变量的变分 泛函 J [ x (t )] 的自变量函数 x (t ) 与标称函数 x* (t )之间的差值函数
最优控制-第七章-动态规划法
当∆t很小时，有
t t
t
Lx, u, t d t Lx, u, t t
J x, t min
*
min
uU
uU
tf
t0
Lx, u, t d t Φ xt f
tf t t
t t
t
Lx, u, t d t
Lx, u, t d t Φ xt f
P1 11
7
P2 4 2
P3 4 4
12 A 4 8 Q1
4 3 2 2 Q3 B
5 Q2
第一段：P1、Q1的前站是始发站A。显见从
A到B的最优值为12，故得最优路线为AQ1P2Q3B。
综上可见，动态规划法的特点是： 1) 与穷举算法相比，可使计算量大大减少。如
上述最优路线问题，用动态规划法只须做10次
J x, t min Lx, u, t t J xt t , t t
* * uU
(8)
* J x , t J x, t * * J x x, t t J x, t t (12) x t x * T
A城出发到B城的行车时间最短。
P1 3 A 4 Q1 1
7
P2
2
P3 4
4
6 8 2 Q2
3 3 3
2 Q3 4
2
B
现将A到B分成四段，每一段都要作一最优决 策，使总过程时间为最短。所以这是一个多段最 优决策问题。 由图2可知，所有可能的行车路线共有8条。 如果将各条路线所需的时间都一一计算出来，并 作一比较，便可求得最优路线是AQ1P2Q3B，历时 12。这种一一计算的方法称为穷举算法。这种方 法计算量大，如本例就要做3×23=24次加法和7次 比较。如果决策一个n段过程，则共需(n-1)2n-1次 加法和(2n-1-1)次比较。可见随着段数的增多，计 算量将急剧增加。
最优控制 现代控制理论 教学PPT课件
第7章第3页
7.1.1宇宙飞船登月软着陆的实例
实例1：宇宙飞船若实现在月球表面实现软着陆，即登月舱到达月球表面时的速度为
零，要寻求登月舱发动机推力的最优变化率，使燃料消耗最少，以便在完成登月考察 任务后，登月舱有足够燃料离开月球与母舱会合，从而返回地球。
m(t) h(t) v(t)
u(t) g
M F h0 v0
如果泛函的变分存在，则
J ( x, x) J ( x x)
2021年4月30日
0
第7章第15页
求证 如果泛函的变分存在，则
J ( x, x) J ( x x)
0
证明 根据泛函变分的定义
J J (x0 x) J (x0 ) L(x0, x) r(x0, x)
由于 L( x0, x) 时关于 x 的连续线性泛函，故
J (C1x1(t) C2 x2 (t)) C1J ( x1(t)) C2J ( x2 (t)) ，且其增量可以表示为
J J ( x(t) x(t)) J ( x(t)) L( x(t), x(t)) r( x(t), x(t))
2021年4月30日
第7章第14页
其中，第一项是 x(t) 的连续线性泛函，第二项是关于 x(t) 的高阶无穷小，则称上式第
变分 x 表示U 中点 x(t) 与 x0 (t) 之间的差。由于 x 存在，必然引起泛函数值的变化，
并以 J (x x) 表示。其中 为参变数，其值 0 1。当 1时，得增加后的泛函值
J ( x x) ；当 0 时，得泛函原来的值 J (x) 。
若 泛 函 J ( x(t)) 对 于 任 何 常 数 C1 ， C2 及 任 何 x1(t) U ， x2 (t) U ， 都 有
第七章 最优控制：最大值原理
（7.39)
H
2
u
2
2 0
u (t )
的解是最大化 H
例1 最大化
满足 y y u 和 y (0 ) 1
V
1 0
u dt
2
y (1) 0
汉密尔顿函数： H u 2 ( y u )
0
H t , y
(T ) y T ( 0 ) y 0
的第一项对 求导，得：
T ( ) 0
(7.28)
H H q ( t ) dt H y q (t ) p (t ) u y
f (t , y , u ) H
以上两个方程右边相同，因此左边相等：
y
推导得到最大值 原理的条件之一
以上推导得到：
H ( t , y , u , ) y ( t ) dt ( T ) y
T 0
T
(0) y0
步骤3 推导新目标泛函 的另一种形式
推导得到最大值原 理的一般横截条件
第二节 其他终结条件
一般横截条件：
H t T T
(T ) y T 0
（7.30）
y
y Z
• 固定终结点的横截条件：
y (T ) y T
（T 和
y T 给定）
水平终结线的横截条件：
[ H ]t T 0
t
0
T
T2
T
现代控制理论-第7章 最优控制
(3)控制规律：
u* kx(t)
P由黎卡提微分k 方Q2程1BT得P 到 边界条件：P(tf)=Q0
PA AT P PBQ21BT P Q1 P(t)
例：求解使：J最小的u*(t)
0 1 0 x 0 0x 1u,
பைடு நூலகம்
J
第二节 状态调节器
在不消耗过多控制能量的前提下，使系统各状态在受 到外界干扰作用下，维持平衡状态。
一.无限长时间状态调节器
1.原系统：可控系统
2.性能指标： 说明：(1) J
x Ax Bu, y Cx
12表0 (示xTQ1系x u统TQ2要u)d求t 状态变量偏离平衡点的累积
u* kx(t)
3.控制规律
k Q21BT P
正定实对称P由黎卡提代数方程得到：
PA AT P PBQ21BT P Q1 0
例：求使J最小的u*(t)。 0 1 0
解：
x 0 0x 1u,
J
1
(xT
x uTu)dt
误差最小，这xTQ意1x 味着因某种原因系统状态偏离平衡点，控制
作用应使它很快回复到平衡点，调节器的名称由此而来
(2) 表示在控制过程中，消耗的能量最小
J中(3的u)TQ权Q2u1重半正定，Q2正定，用来确定状态变量与控制能量在
即寻求控制规律，使系统的状态变量x(t)按性能指标J的要 求，在无限长的时间内达到平衡点
1.原系统：可控、可观系统
x Ax Bu, y Cx
2.性能指标：J
1 2
[(y
0
现代控制工程-第7章最优控制
8
1.
*问给7定题.3t
变分法求解无约束最优控制
f ，终端自由，即 x(t f ) 任意
增广泛函为
Ja
[x(t f )]
tf [H (x,u,,t) T x]dt
t0
取一阶变分并令其为零，得
J a
(
x
)T
x
t t
f
tf [(H )T x (H )T u (H )T xT Tx]dt 0
J ( x*, x)
d d
J ( x * x)
0
0
在实际问题中，泛函极值问题的最优轨线通常是受到各种约束的。
例如，最优控制性能指标（7.2）中的u和x的选择，要满足状态方 程（7.1），这是一个等式约束。 在等式约束下的泛函极值问题，称为条件泛函极值问题。
用拉格朗日乘子法将条件泛函极值问题转化为无约束条件极值问
3
设7系.1统最的状优态控方程制为的概x 念f (x, u, t)
最优性能指标
J [x(t f ),t f ]
tf
L[ x(t ), u(t ), t ]dt
t0
所谓最优控制，就是要确定在 [t0 , t f ] 中的最优控制，将系统的
状态从 x(t0 )转移到 x(t f ) ，或者 x(t f ) 的一个集合，并使性能指 标最优。 最优控制问题从数学上看，就是求解一类带有约束条件的条件
称为无约束最优控制问题。
无约束最优控制问题是一个求有等式约束的泛函极值问题，可
以用拉格朗日乘子法把有约束条件问题转化为无约束条件问题。
构造增广泛函为
J a [x(t f ),t f ] t f {L[x(t),u(t),t] T [ f (x(t),u(t),t) x(t)]}dt t0
武汉大学自动化专业 《现代控制理论》第七章 最优控制
1
最优控制研究的主要问题是： 根据已建立的被控对象的数学模型，选择一个容许的 控制规律，使得被控对象按预定要求运行，并使给 定的某一性能指标达到极小值（或极大值）； 从数学观点看，最优控制研究的是求解一类带有约束 条件的泛函极值问题，属于变分学的范畴。 古典变分理论只能解决控制无约束（即容许控制属于 开集）的一类最优控制问题，为满足工程实际的需 要，在20世纪50年代中期出现了现代变分理论， 常用的数学工具是Bellman(美国)的“动态规划”， 和Pontryagin(苏联)的‘极大值原理“。，又进一步推动了现代控制论的发展
T t0 T tf t0
∴ ..J = {θ [ X (t ), t ] λ (t ) X (t )}
+ ∫ {H [ X (t ), u (t ), t ] + λT (t ) X (t )}dt
t0
tf
9
极大值曲线的充分条件为 δ2 J＜0
五 无约束条件的泛函极值
& 求 J ( X ) = ∫t Φ( X , X , t )dt 的极值，就是确定X(t)，使 J = min .
0
tf
& 几何意义：寻找一条曲线X(t)，使给定的可微函数 Φ ( X , X , t ) 沿X(t) 的积分达到极值，此时X(t)=X*(t)
横截条件： ①两端固定 ②两端状态自由
δX 0 = 0,.....δX f = 0
Φ & X Φ & X
tf
= 0,.....
③始端自由，终端固定 ④始端固定，终端自由 ⑤终端 t f 自由，但状态 X (tf )=c (tf ) 受约束——拦截 问题
Φ & X
第七章 最优控制
x 1 x
2
)T
1 x 1 x
2 T
0
x T 1
所求的极值曲线与约束曲线相正交
7.2.4 含有多个未知函数泛函的极值 泛函
J ( x1 , xn ) F ( x1,, xn ; x1,, xn ; t )dt
t0 T
边界值
xi (t ) xi (t )
若泛函 J (x) 有极值，则必有 J 0
J J [ x x] 0 0 上述方法与结论对多个未知函数的泛数同样适用
7.2.2
欧拉方程
T t0
泛函 J ( x( F ( x, x, t )dt ))
F d F 0 x dt x
边界条件为
x1 (0) 1
x2 (0) 1
x1 (2) 0
x2 (2) 0
引进乘子
(t ) (1 (t ), 2 (t ))T
1 F F T f u 2 1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 u ) 构造函数 2
欧拉方程
F * d F * 1 0 x1 dt x1
软着陆过程开始时刻t为零 hv u v g m m Ku
K为常数 ，初始状态
h(0) h0
终点条件
v(0) v0
m(0) M F
h(T ) 0
v(T ) 0
控制目标
J m(T )
推力方案
0 u(t ) umax
例7.1.2
导弹发射问题
令
(t ) H ( x, , u, t ) x
( x(T )) (T ) x(T )
07-07 最优控制器设计(下)
国家精品课程/ 国家精品资源共享课程/ 国家级精品教材国家级十一(二)五规划教材/ 教育部自动化专业教学指导委员会牵头规划系列教材控制系统仿真与CAD第七章控制器设计的经典方法最优控制器设计(下)Design of Optimum Controllers (III)主讲：薛定宇教授最优控制器设计界面——OCDOCD ＝ Optimal Controller Designer，2005用MATLAB编写的程序界面用户由用 Simulink 画出仿真模型并定义出目标函数 如 ITAE 准则、ISE准则等给 ocd 命令启动程序选择模型名、优化变量、终止时间按 Create File 按钮自动生成目标函数文件按 Optimize 即可启动最优设计过程设计时打开示波器观察优化过程OCD程序界面需要用Simulink画出控制系统 实际的控制系统框图定义出误差准则可以人工选择初值可以指定决策变量的上下限可以选择不同的优化算法无须给出如何命令，即可设计出最优控制器，可以解决非线性系统问题例7-10OCD设计举例 受控对象PID控制器设计：绘制Simulink 模型：c7mpidsys.slx优化参数：Kp,Ki,Kd终止时间：30最优控制器设计必要的参数Simulink模型的文件名需要优化的决策变量名，用逗号分隔终止仿真时间自动生成目标函数的 MATLAB文件按按钮设计控制器修改目标函数，如 ISE，比较结果演示参数变化、饱和非线性引入等控制器设计的结果例7-10串级PI控制器设计 双闭环DC调速系统Simulink仿真模型：c7model2.mdl 优化参数：Kp1,Kp2,Ki1,Ki2终止时间：tn=0.6OCD的其他应用从理论上说，只要能画出来误差目标函数、可以指定决策变量的问题就可以用OCD程序界面直接求解其他应用模型降阶如果给出原始模型，可以用OCD逼近其模型参数后续内容可以尝试使用OCD，如模型参考自适应控制系统 对于PID控制器设计，建议使用后面更专门的optimpid程序例7-11最优降阶的例子原始模型G(s) = 1/(s+1)6FOPDT由静态误差相同可以得出k = 1Simulink模型：c7mmr.mdl优化参数：L, T终止时间：10OCD程序的编程简介可以由 guide ocd 命令打开编辑界面 开放的结构，如控制器设计最优控制器设计小结探讨了目标函数的选择问题演示了ITAE类指标比ISE指标更适合伺服控制结合数值最优化技术和Simulink建模仿真技术 给出了对任意复杂系统的最优控制器设计方法 使用 assignin()、fminsearch() 等函数演示了作者开发的 OCD 图形用户界面 用户需要提供 Simulink 框图指出待优化变量和终止时间等参数按动相关按钮即可“可视”优化过程。
最优控制理论第七章
State Equation: Sale expressed in terms of advertising (which is a control variable) Objective: Profit maximization
Defining as the elasticity of demand with respect to goodwill and using (7.3), (7.5), and (7.9), we can derive ( sto obtain the optimal long-run stationary equilibrium or turnpike . That is, we obtain from (7.8) by using . We then set and in (7.9). Finally, from (7.11) and (7.9), or also the singular level can be obtained as
Because of these conditions it is clear that for a given G0 , a choice of 0 such that (0 ,G0 ) is in Regions II and III, will not lead to a path converging to the turnpike point . On the other hand, the choice of (0 ,G0 ) in Region I when or (0 ,G0 ) in Region IV when , can give a path that converges to From a result in Coddington and Levinson(1955), it can be shown that at least in the neighborhood of , there exists a locus of optimum starting points . Given , we choose 0 on the saddle point path in Region I of figure 7.3. Clearly, the initial control u*(0)=f1(0). Furthermore, (t) is increasing and by (7.17), u(t) is increasing, so that in this case the optimal policy is to advertise at a low rate initially and
最优控制理论
x(t)
tf
0
t0
x(t)
tf
t
x t f xt f
t0
L x
tf
tf
t
t0
0
Page: 20
Modern Control Theory
§7-3 无约束条件的泛函极值问题
现 代 控 制 理 论 (4)自由始端和自由终端 横截条件为：
L x
t0
1
0
x 2 (t )dt
[2 x x]dx
0
Page: 15
1
§7-2 最优控制中的变分法
现 代 控 制 理 论
二、泛函的极值
* J x t 在 x t 上达到极小值的必要条件：
J x(t ) 0
Modern Control Theory
Page: 16
t
四.主要数学方法
<1> 解析法
<2> 数值法
控制无约束 采用变分法 控制有约束 采用极小值原理，动态 规划
<3> 梯度型法
Modern Control Theory
Page: 9
§7-2 最优控制中的变分法
现 代 一.泛函与变分的基本概念 控 制 1.泛函与变分的基本概念 理 论 (1)泛函 如果对于自变量t , 存在一类函数 x t , 对于每个函数x t , 有一J 值 与之对应，则变量J 称为依赖于函数x t 的泛函数，简称泛函， 记作J x t (2)函数的变分
[例]已知:
1 J u 2 t dt 20
2
x1 (0) 1
x1 ( 2) 0
现代控制理论-第七章 最优控制_动态规划
V (x(t),t) min (L(x(t t),u(t t),t t)t) u (t )U V (x(t), t) ( V )T dx t V t o(t)2 x dt t
第七章 最优控制
V min (L(x(t t),u(t t),t t) (V )T dx o(t)2 )
x02
第七章 最优控制
7.4.3 连续系统的动态规划
x f (x,u,t), x(t0 ) x0
u(t) U
性能指标
T
J (x(T )) L(x,u,t)dt
t
目标集
S {s | (x(T )) 0}
引进记号 V (x,t) J (x*(t),u*(t)) min J (x(t),u(t)) u(t )U
u0
第七章 最优控制
7.4.2 离散系统动态规划
n 阶离散系统
xk1 f (xk ,uk ), k 0, , N 1
性能指标
N 1
J L(xk ,uk ) k 0
求决策向量
u0 , , uN 1
使 J 有最小值（或最大值），其终点可自由，
也可固定或受约束。
第七章 最优控制
x12
(
1 2
x1 )2
(x1
1 2
x1 ) 2
3 2
x12
J (x0 ) x02 u02 J *(x1)
x02
u02
3 2
x12
x02
u02
3 2
( x0
u0 )2
J (x0 ) u0
第7章 最优控制
第七章 最优控制（Optimal Control ）最优化（Optimization ）：生产过程的控制，企业的生产调度，对资金、材料、设备的分配，经济政策的制定等都与最优化有关。
最优控制：通常是针对控制系统本身而言的，目的是使一个机组、一台设备、或一个生产过程实现局部最优。
7-1概述1．最优分配问题：仓库（水泥） 运费（元/包） 工地（需要水泥）问应怎样发送这些水泥，才能使运费最省？设：从甲仓库运往A 、B 、C 工地的水泥数分别为1x 、2x 、3x ；从乙仓库运往A 、B 、C 工地的水泥数分别为4x 、5x 、6x 目标函数()x f （总运费）：()65432195442x x x x x x x f +++++= 最优化的任务：确定[]Tx x x x x x x 654321=的值，使()x f 为最小。
约束条件：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+≤++≤++1200600900180********241654321x x x x x x x x x x x x该问题称为具有不等式约束条件的线性最优化问题，属于静态最优化问题，变量x 与时间无关2．动态最优化问题动态最优化问题：在最优控制系统中，受控对象是一个动态系统，所有变量都是时间的函数。
目标函数：是时间函数的函数，称为泛函数（简称泛函） 例：目标泛函 ()()[]⎰=ft t dt t t u t x L J 0,,基本约束条件（受控对象的状态方程）：()()()[]t t u t x f t x ,,= J----标量L----标量函数()t x ----n 维状态矢量 ()t u ----r 维控制矢量f ----n 维矢量函数最优控制问题：在满足约束条件下，寻求最优控制函数()t u ，使目标泛函J 取极值（最小或最大），即()max min =J 。
3．求解动态最优化问题的方法古典变分法、极小（大）值原理、动态规划法7-2研究最优控制的前提条件1．给出受控系统的动态描述，即状态方程()()()[]t t u t x f t x,,= 2．明确控制作用域控制集：()(){}0,≤=u x j t u U ϕ()()r m m j u x j ≤=≤;,,2,10, ϕ----()t u 满足的约束条件容许控制：()U t u ∈ 3．明确始端条件 固定始端：()0t x 给定 自由始端：()0t x 任意可变始端：()00Ω∈t x 始端集：()()[]{}0000==Ωt x j t x ρ()[]()n m m j t x j ≤==;,2,100 ρ----()0t x 必须满足的约束条件 4． 明确终端条件固定终端：f t 、()f t x 给定 自由终端：f t 给定、()f t x 任意可变终端：()f f t x Ω∈ 目标集：()()[]{}0==Ωf j t x ff t x ϕ()[]()n m m j t x f j ≤==;,2,10 ϕ----()f t x 必须满足的约束条件5． 给出目标泛函（即性能指标） 对于连续时间系统，一般表示为：()[]()()[]⎰+Φ=ft t f dt t t u t x L t x J 0,, （综合型或鲍尔扎型）()[]f t x Φ----终端指标函数，反映对终端性能的要求；()()[]⎰ft t dt t t u t x L 0,,----动态指标函数，L 为状态控制过程中对动态品质及能量或燃料消耗的要求等。
最优控制理论PPT课件
生产计划与调度
在企业生产管理中，利用 最优控制理论对生产计划 和调度进行优化，提高生 产效率和降低成本。
08
总结与展望
最优控制理论的重要性和应用前景
总结
最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分，它在解决复杂系统的优化和控制问题方面 具有显著的优势。该理论通过数学模型和算法，寻求在给定条件下实现系统性能最优化的 控制策略。
非线性最优控制理论
20世纪70年代，基于微分几何、非 线性分析和最优控制问题的研究。
智能优化算法与最优控制
20世纪80年代，考虑系统不确定性 ，引入概率论和随机过程理论。
03
最优控制问题的数学模型
状态方程与性能指标
状态方程
描述系统动态行为的数学方程，通常表示为状态变量对时间 的导数等于其函数。
性能指标
态。这种控制策略的关键在于如何根据当前状态信息快速、准确地计算出最优控制输入。
离散系统的最优输出反馈控制
总结词
离散系统的最优输出反馈控制是一种基 于系统输出的反馈控制策略，通过最优 控制算法计算出在当前输出下的最优控 制输入，使得系统状态在有限时间内达 到预期目标。
VS
详细描述
离散系统的最优输出反馈控制是一种有效 的最优控制策略，它根据系统的输出信息 ，通过最优控制算法计算出在当前输出下 的最优控制输入，使得系统状态在有限的 时间步内以最优的方式达到目标状态。这 种控制策略的关键在于如何根据输出信息 快速、准确地计算出最优控制输入。
控制问题分类
确定性和不确定性控制、线性与 非线性控制、连续和离散控制等 。
重要性及应用领域
重要性
在实际工程和科学问题中，许多问题 都需要通过最优控制理论来解决，如 航天器轨道控制、机器人运动控制、 电力系统优化等。
第七章 稳定性
2
dt
ess 其中， sup表示真上确界。所谓函数在点集 Q 上的真上确界是指它在 Q 中除某个零测度集外的上 确界。对于连续函数，其上确界就是真上确界。
在空间 L p , 中，所有对 t 0 除去测度为 零的集合上函数的全体所构成的集合记为L p [0,) ， 它是L p , 的一个闭空间。因为实际信号均满 足 t 0，所以我们讨论的信号均属于 L p [0,) 空间。需要说明的是：对于函数空间中的元素ut 可以是单个的函数，也可以是向量函数。
由特征方程
，得
a1 a12 4a0 conx1e 2
设 a0 0, a1 0, 则
①当 cos x1e 0 时，系统在 xe 渐近稳定；
1 1 2 ② cos x1e 0 时，1 2 (a1 a1 4a0 cos x1e ) 2 (a1 a1 ) 0
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在控制系统中，经常要面临各种信号，这些 信号通常可以表示为时域或者频域内的函数。而系统 在这些信号激励下的响应，同样也可以表示为各种函 数。 因此，一个系统可以看成是从一个函数空间到 另一个函数空间的映射，即算子。与向量和矩阵的 情况类似，如果在函数空间引入范数的概念来表述 信号在某种工程意义上的强度，以此来描述控制系 统的性能，那么，系统作为算子时的范数就反映了 系统在传递信号过程中的一种“增益”，它是描述 系统性能的一个重要手段。
f1 f1 f1 x x n y n 1 G( y) o( y 2 ) f n f n f n y n xn x x y 0 x1 e
定理 1
7.1
数学基础知识
第7章最优控制原理总结
第7章最优控制原理总结第7章的最优控制原理是指在动态系统中，通过分析系统的状态和控制输入，确定最佳的控制策略，以达到系统的最优性能。
这一原理在工程、经济和生态等领域都有广泛的应用。
本文将从最优控制的基本概念、最优控制方法以及最优控制的应用方面进行总结。
最优控制的基本概念包括系统模型、性能指标和约束条件。
系统模型描述了动态系统的行为，可以通过微分方程或差分方程表示。
性能指标用来衡量系统的性能，可以是一些状态的值、系统的能耗等。
约束条件是系统在控制过程中必须满足的限制条件，例如系统的输入上下限、状态的约束等。
最优控制方法主要包括动态规划、变分法和数值优化等。
动态规划是一种通过将问题分解为一系列子问题来求解最优控制策略的方法。
通过选取最优子问题解来确定最优策略，并使用递推算法进行求解。
变分法是一种通过构建泛函，并通过最小化泛函来求解最优控制策略的方法。
通过求解欧拉-拉格朗日方程，得到最优控制策略的微分方程，并通过求解微分方程得到最优策略。
数值优化是一种通过数值计算方法求解最优化问题的方法。
通过建立优化模型，将最优控制问题转化为最优化问题，并应用优化算法进行求解。
最优控制在实际应用中有广泛的应用。
在工程领域，最优控制可以应用于飞行器、机器人和自动控制系统等。
例如，对于无人机飞行控制问题，可以通过最优控制方法来实现自动飞行，提高飞行性能。
在经济领域，最优控制可以应用于经济模型和金融产品的定价等。
例如，在股票市场中，可以通过最优控制方法来确定最佳交易策略，以最大化利润。
在生态领域，最优控制可以应用于生态系统的保护和管理等。
例如，通过最优控制方法来优化捕鱼策略，保护渔业资源。
最优控制原理的研究还面临一些挑战和问题。
首先，最优控制问题的求解往往需要耗费大量的计算资源和时间。
因此，如何提高求解效率是一个重要的问题。
其次，最优控制的求解通常需要对系统进行建模，而模型的准确性对最优控制的效果有重要影响。
因此，如何建立准确的系统模型也是一个关键问题。
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性能指标J是和的函数，而和是t的函数，即J是函数的函数。这在数学上 称“泛函”，泛函的极值要用“变分法”才能求得。
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最优控制问题的举例
J x x
2 1 2 2
t
dt
x1 1, x2 2
求J极值时的
匀减速运动
x t
1 tf 2 t0 u dt 2
g (t0 ) g (t0 )
yr (t )
C T (t )Q(t )
u -
G T (t )
g (t )
B(t ) R 1 (t ) B T (t )
+ +
u
G (t )
x
C (t )
y
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权系数矩阵的选取
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权系数矩阵的选取
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同济大学 汽车学院
College of Automotive, Tongji University
钟再敏
最优控制
Optimized Control 现代控制理论基础7
目录
1. 2. 3. 4.
最优控制问题的表述 最优控制问题举例 二次型性能指标的最优控制 最优跟踪问题
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最优控制问题的表述
1 x 2 x 2 u x
J
3 1 2 1 2 2 3 1 0 x1 3 2 x2 2 x12 4 x2 2 x1 x2 u 2 dt 2 2 2
时间区间为[0，3],求最优控制u*，使J为最小。
u R 1 B T P t x 20 2 P 12 t x1 2 P 22 t x 2
-
x(t0 ) * u A(t )x B (t )u x R 1 (t ) B T (t )
P (t )
C (t )
y
AT PBR 1 B T
t Pt At AT t Pt Pt Bt R 1 t BT Pt C T t Qt Ct 0 P
t
E B
x1
u=M D C
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二次型性能指标的最优控制
状态调节器问题：状态调节器是指采用状态反馈，使状态向量的各分量迅 速趋近于零，而不消耗很多能量的控制系统。
At x Bt u x xt 0 x0
寻找一个最优控制u*，使下面的性能指标为最小。
ˆx u R 1 B T P
• 其中
ˆ P
为常数矩阵，且满足下列黎卡提矩阵代数方程
ˆ A AT P ˆ P ˆ BR1 BT P ˆ Q 0 P
• 为了得到定常的反馈增益，必须满足下列条件： – 系统是定常的，而且是可控的 – 无限时间调节器 t f – J中不包含终值型指标，F=0 MATLAB命令lqr(A,B,Q,R,N)
线性系统无限时间状态调节器
• 线性系统二次型性能指标的最优控制是状态的线性反馈，但反馈增益是时变 的，即使是定常系统也是如此。
Ax Bu x
1 T J x Qx u T Ru dt 2 0
– 如果其中矩阵Q、R为常数阵，且为正定时，其最优控制为：
ˆx u R 1 B T P
J K x t f , t f tt f L x, u, t dt J K x t , t f f 0
• 最优控制问题的表述：
在对象运动方程为 x f x,u, t 的约束下，能够找到一个容许控制u u t 它要满足对控制的约束条件和指定的时间区间边界条件，将系统由初始状态 X0转移到终值状态Xf，使性能指标J为极小（或极大） u u t 开环 u u x 闭环
•
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线性系统无限时间状态调节器
• 线性系统二次型性能指标的最优控制是状态的线性反馈，但反馈增益是时变 的，即使是定常系统也是如此。
Ax Bu x
1 T J x Qx u T Ru dt 2 0
– 如果其中矩阵Q、R为常数阵，且为正定时，其最优控制为：
• 其中
ˆ P
为常数矩阵，且满足下列黎卡提矩阵代数方程
ˆ A AT P ˆ P ˆ BR1 BT P ˆ Q 0 P
• 为了得到定常的反馈增益，必须满足下列条件： – 系统是定常的，而且是可控的 – 无限时间调节器 t f – J中不包含终值型指标，F=0 MATLAB命令lqr(A,B,Q,R,N)
u x
xt 0 x 0
xt f x f 0
J
x0 u t t f t0
x (t )
*
tf t t f t0
x0
物理解释：x-速度
u-力
A x0
x*(t)
O
t0 u*(t)
tf
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最优控制问题的举例
升降机快速降落问题
At x Bt u x xt 0 x0
寻找一个最优控制u*，使下面的性能指标为最小。
1 x 2 x 2 u x
J
3 1 2 1 2 2 2 2 3 1 0 x1 3 2 x2 2 x 4 x 2 x x u dt 1 2 1 2 2 2 2
t Pt A AT Pt Pt BR1 BT Pt Q 0 P
- 计算求得时变P（t）矩阵可以得到闭环状态反馈控制率 - 一般情况下不能求解析解，只能求数值解； - 虽然A、B、Q、R都是常数阵，但最优反馈增益仍是时变的。
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P12 0 1 0 0 P11 P12 0 0 1 0 P P22 12 P22 P12 0 P11 P12 2 1 2 0 1 P 0 P22 1 12 P22 1 4
权系数矩阵的选取
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J 1 T 1 x f Fx f 2 2
x
tf t0
T
Qt x u T R t u dt
其中，Q，R，F均为半正定，Q—要求的过渡过程最快，R—对控制能量的限 制，F—对终端偏差、即稳态控制精度的限制。
R 1 (t ) B T (t )
A(t )x B(t )u x
• 最优控制问题的基本要素
– – – – 系统的状态方程（等式约束条件） 控制变量的限制 初始条件和终值条件 指标函数
2 t T T J J t0f L x,u, t dt J 0 x Qx u Rudt 0 e t dt
• 性能指标的形式
– 积分型 – 终值型 – 复合型
ˆ A AT P ˆ P ˆ BR1 BT P ˆ Q 0 P
ˆ 1 P 12 ˆ P22 a 2 P ˆ 11 a 2 b
u t x1 t a 2 x2 t
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最优跟踪器问题
• 以前的讨论都是系统加一扰动（或设定）已运行于稳定状态，当突然去掉 扰动（或设定）时，使二次型性能指标为最小的最优控制。 • 所谓跟踪问题就是寻找最优控制规律，使系统的实际输出，在给定的时间 区间内，尽量接近理想输出，而又不消耗过多的控制能量。 x A t x B t u
升降机快速降落问题
1 x 2 x 2 u g x
x1 t 0 0 x 2 t 0 0 P
ut M
M g
J 0f dt t f
使升降机在最短时间内由给定的初始状态转移到零状态。
x2
u=-M F A u=-M
P(t )
x
t Pt At AT t Pt Pt Bt R 1 t BT t Pt Qt 0 P
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二次型性能指标的最优控制
状态调节器问题：状态调节器是指采用状态反馈，使状态向量的各分量迅 速趋近于零，而不消耗很多能量的控制系统。
u + -
P t 1 11 12 t P
P 12 t x1 P22 t x2
2 P22 (t )
x2
x1
2 P12 (t )
P 11 P12 P 11 P12
P11 P 12 P P12 22
y C (t ) x
• 定义误差向量为
et y yt
1 T 1 tf e f Fe f e T Qt e u T Rt u dt 2 2 t0
g (t0 )
C T (t )Q(t )
u -
• 跟踪问题的性能指标
J
•
最优解为
yr (t )
g (t )
1 x 2 x 2 u g x
x1 t 0 0 x 2 t 0 0 P
ut M
M g
J 0f dt t f
使升降机在最短时间内由给定的初始状态转移到零状态。
t
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最优控制问题的举例
(t ) [ AT (t ) P(t )B(t )R 1 (t )BT (t )]g(t ) C T t Qt y t 0 g
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最优跟踪器问题的说明
• 跟踪系统的最优反馈部分和理想输出yr(t)无关，估计黎卡提矩阵微分方 程解出P(t)，仍为一调节器问题。 • 跟踪部分相当于加入了一个g(t)，它可以看出是作用于系统的强迫分量， 从而使调节器变为跟踪器。 • _g(t)的求解与yr(t)的变化有关，这就要求只有在过程开始之前知道yr(t) 的变化规律的情况下才能求出g(t) 。有些系统，例如控制雷达天线跟踪 人造地球卫星，卫星的运行规律是事先清楚的；但对于大多数跟踪系统， 例如随机性随动系统或者拦截导弹，就无法事先知道其运行规律，此时的 求解就会碰到很大困难，只能用大量的经验得出运动的统计规律，再求出 g(t) . 1 T • 如果取 Gt At Bt R t B t Pt 则有