第七章 最优控制

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线性系统无限时间状态调节器
• 线性系统二次型性能指标的最优控制是状态的线性反馈，但反馈增益是时变 的，即使是定常系统也是如此。
Ax Bu x
1 T J x Qx u T Ru dt 2 0
– 如果其中矩阵Q、R为常数阵，且为正定时，其最优控制为：
升降机快速降百度文库问题
1 x 2 x 2 u g x
x1 t 0 0 x 2 t 0 0 P
ut M
M g
J 0f dt t f
使升降机在最短时间内由给定的初始状态转移到零状态。
x2
u=-M F A u=-M
g (t0 ) g (t0 )
yr (t )
C T (t )Q(t )
u -

G T (t )
g (t )
B(t ) R 1 (t ) B T (t )
+ +
u

G (t )
x
C (t )
y
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权系数矩阵的选取
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权系数矩阵的选取
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同济大学 汽车学院
College of Automotive, Tongji University
钟再敏
最优控制
Optimized Control 现代控制理论基础7
目录
1. 2. 3. 4.
最优控制问题的表述 最优控制问题举例 二次型性能指标的最优控制 最优跟踪问题
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最优控制问题的表述
J K x t f , t f tt f L x, u, t dt J K x t , t f f 0
• 最优控制问题的表述：
在对象运动方程为 x f x,u, t 的约束下，能够找到一个容许控制u u t 它要满足对控制的约束条件和指定的时间区间边界条件，将系统由初始状态 X0转移到终值状态Xf，使性能指标J为极小（或极大） u u t 开环 u u x 闭环
1 x 2 x 2 u x
J
3 1 2 1 2 2 3 1 0 x1 3 2 x2 2 x12 4 x2 2 x1 x2 u 2 dt 2 2 2


时间区间为[0，3],求最优控制u*，使J为最小。
u R 1 B T P t x 20 2 P 12 t x1 2 P 22 t x 2
1 x 2 x 2 u g x
x1 t 0 0 x 2 t 0 0 P
ut M
M g
J 0f dt t f
使升降机在最短时间内由给定的初始状态转移到零状态。
t
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最优控制问题的举例
J 1 T 1 x f Fx f 2 2
x
tf t0
T
Qt x u T R t u dt

其中，Q，R，F均为半正定，Q—要求的过渡过程最快，R—对控制能量的限 制，F—对终端偏差、即稳态控制精度的限制。
R 1 (t ) B T (t )
A(t )x B(t )u x


R 1 (t ) B T (t )
A(t )x B(t )u x
P(t )
x
t Pt At AT t Pt Pt Bt R 1 t BT t Pt Qt 0 P
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二次型性能指标的最优控制举例
线性系统无限时间状态调节器
• 线性系统二次型性能指标的最优控制是状态的线性反馈，但反馈增益是时变 的，即使是定常系统也是如此。
Ax Bu x
1 T J x Qx u T Ru dt 2 0
– 如果其中矩阵Q、R为常数阵，且为正定时，其最优控制为：


ˆx u R 1 B T P
-
x(t0 ) * u A(t )x B (t )u x R 1 (t ) B T (t )
P (t )
C (t )
y
AT PBR 1 B T
t Pt At AT t Pt Pt Bt R 1 t BT Pt C T t Qt Ct 0 P
ˆ A AT P ˆ P ˆ BR1 BT P ˆ Q 0 P
ˆ 1 P 12 ˆ P22 a 2 P ˆ 11 a 2 b
u t x1 t a 2 x2 t
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最优跟踪器问题
• 以前的讨论都是系统加一扰动（或设定）已运行于稳定状态，当突然去掉 扰动（或设定）时，使二次型性能指标为最小的最优控制。 • 所谓跟踪问题就是寻找最优控制规律，使系统的实际输出，在给定的时间 区间内，尽量接近理想输出，而又不消耗过多的控制能量。 x A t x B t u
• 其中
ˆ P
为常数矩阵，且满足下列黎卡提矩阵代数方程
ˆ A AT P ˆ P ˆ BR1 BT P ˆ Q 0 P
• 为了得到定常的反馈增益，必须满足下列条件： – 系统是定常的，而且是可控的 – 无限时间调节器 t f – J中不包含终值型指标，F=0 MATLAB命令lqr(A,B,Q,R,N)
权系数矩阵的选取
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P12 0 1 0 0 P11 P12 0 0 1 0 P P22 12 P22 P12 0 P11 P12 2 1 2 0 1 P 0 P22 1 12 P22 1 4
t
E B
x1
u=M D C
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二次型性能指标的最优控制
状态调节器问题：状态调节器是指采用状态反馈，使状态向量的各分量迅 速趋近于零，而不消耗很多能量的控制系统。
At x Bt u x xt 0 x0
寻找一个最优控制u*，使下面的性能指标为最小。
u + -
P t 1 11 12 t P
P 12 t x1 P22 t x2

2 P22 (t )
x2

x1
2 P12 (t )
P 11 P12 P 11 P12
P11 P 12 P P12 22


ˆx u R 1 B T P
• 其中
ˆ P
为常数矩阵，且满足下列黎卡提矩阵代数方程
ˆ A AT P ˆ P ˆ BR1 BT P ˆ Q 0 P
• 为了得到定常的反馈增益，必须满足下列条件： – 系统是定常的，而且是可控的 – 无限时间调节器 t f – J中不包含终值型指标，F=0 MATLAB命令lqr(A,B,Q,R,N)
• 最优控制问题的基本要素
– – – – 系统的状态方程（等式约束条件） 控制变量的限制 初始条件和终值条件 指标函数
2 t T T J J t0f L x,u, t dt J 0 x Qx u Rudt 0 e t dt
• 性能指标的形式
– 积分型 – 终值型 – 复合型
(t ) [ AT (t ) P(t )B(t )R 1 (t )BT (t )]g(t ) C T t Qt y t 0 g
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最优跟踪器问题的说明
• 跟踪系统的最优反馈部分和理想输出yr(t)无关，估计黎卡提矩阵微分方 程解出P(t)，仍为一调节器问题。 • 跟踪部分相当于加入了一个g(t)，它可以看出是作用于系统的强迫分量， 从而使调节器变为跟踪器。 • _g(t)的求解与yr(t)的变化有关，这就要求只有在过程开始之前知道yr(t) 的变化规律的情况下才能求出g(t) 。有些系统，例如控制雷达天线跟踪 人造地球卫星，卫星的运行规律是事先清楚的；但对于大多数跟踪系统， 例如随机性随动系统或者拦截导弹，就无法事先知道其运行规律，此时的 求解就会碰到很大困难，只能用大量的经验得出运动的统计规律，再求出 g(t) . 1 T • 如果取 Gt At Bt R t B t Pt 则有
y C (t ) x
• 定义误差向量为
et y yt
1 T 1 tf e f Fe f e T Qt e u T Rt u dt 2 2 t0
g (t0 )
C T (t )Q(t )
u -
• 跟踪问题的性能指标
J


•
最优解为
yr (t )

g (t )
性能指标J是和的函数，而和是t的函数，即J是函数的函数。这在数学上 称“泛函”，泛函的极值要用“变分法”才能求得。
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最优控制问题的举例
J x x
2 1 2 2
t
dt
x1 1, x2 2
求J极值时的
匀减速运动
x t
1 tf 2 t0 u dt 2
At x Bt u x xt 0 x0
寻找一个最优控制u*，使下面的性能指标为最小。
1 x 2 x 2 u x
J
3 1 2 1 2 2 2 2 3 1 0 x1 3 2 x2 2 x 4 x 2 x x u dt 1 2 1 2 2 2 2
u x

xt 0 x 0
xt f x f 0
J
x0 u t t f t0
x (t )
*
tf t t f t0
x0
物理解释：x-速度
u-力
A x0
x*(t)
O
t0 u*(t)
tf
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最优控制问题的举例
升降机快速降落问题
P(t )
x
t Pt At AT t Pt Pt Bt R 1 t BT t Pt Qt 0 P
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二次型性能指标的最优控制
状态调节器问题：状态调节器是指采用状态反馈，使状态向量的各分量迅 速趋近于零，而不消耗很多能量的控制系统。
•
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线性系统无限时间状态调节器举例
• 给定最优控制问题
x1 x2 x2 u
J 1 2 2 x1 2bx1 x 2 ax 2 u 2 dt 2 0


•
推导Q, R, A, B
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线性系统无限时间状态调节器举例
• 推导Q, R, A, B
t Pt A AT Pt Pt BR1 BT Pt Q 0 P
- 计算求得时变P（t）矩阵可以得到闭环状态反馈控制率 - 一般情况下不能求解析解，只能求数值解； - 虽然A、B、Q、R都是常数阵，但最优反馈增益仍是时变的。
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