高中数学北师大版选修11第一章解读四种命题的相互关系拓展资料素材

解读四种命题的相互关系

基本的逻辑知识及推理能力是同学们在日常生活和学习中认识问题、分析问题不可缺少的工具，然而四种命题的相互关系是逻辑知识的核心问题.因此理解掌握四种命题之间的相互关系非常有必要.

一、要点精析

1. 四种命题定义

（1）在两个命题中，如果第一个命题.即原命题的条件是第二个命题的结论，且原命题的结论是第二个命题的条件，那么第二个命题就叫做原命题的逆命题.原命题的逆命题的形式可表示为：若q则p；

（2）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题．这个命题叫做原命题的否命题．否命题的形式可表示为：若非p则非q．

（3）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题．这个命题叫做原命题的逆否命题．逆否命题的形式可表示为：若┐q则┐p．

关于逆命题、否命题与逆否命题，也可作如下描述：

交换原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是原命题的逆否命题.

2. 四种命题的相互关系

互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用下图表示：

3.四种命题的转化

四种命题之间存在着互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题的逻辑关系.如原命题与逆命题、否命题与逆否命题互逆，原命题与否命题、逆命题与逆否命题互否，原命题与逆否命题、逆命题与否命题互为逆否.它们之间是可以任意转化的，关键是要分清命题的条件和结论，然后根据其定义转化即可.

二、典例评析

例1．设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否

命题.

分析：“当c>0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a>b ，结论是ac>bc.

解：逆命题：“当c ＞0时，若ac ＞bc ，则a ＞c ．”；否命题：“当c ＞0时，若a ≤b ，则ac ≤bc ”；逆否命题：“当c ＞0时，若ac ≤bc ，则a ≤b ”.

评注：找出命题的条件和结论是解题的关键.

例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题． ①14

m >时， 210mx x -+=无实根； ②当a bc ＝0时，a ＝0或b ＝0或c ＝0．

分析： 改造原命题成“若p 则q 形式”再分别写出其逆命题、否命题、逆否命题． 解答：①原命题：“若14

m >

，则210mx x -+=无实根”；逆命题：“若210mx x -+=无实根，则14m >”；否命题：“若14

m ≤，则210mx x -+=有实根”；逆否命题：“若210mx x -+=有实根，则14m ≤”； ②原命题；“若abc ＝0，则a ＝0或b ＝0或c ＝0”；逆命题：“若a ＝0或b ＝0或c ＝0，则abc ＝0”；否命题：“若abc ≠0，则a ≠0且b≠0且c≠0”；(注意：“a ＝0或b ＝0或c ＝0”的否定形式是“a≠0且b≠0且c≠0”)逆否命题：“若a ≠0且b≠0且c≠0，则abc ≠0”．

评注：在命题转化时，一定要分清元命题的条件和结论，特别要注意前提条件. 要掌握和应用好四种命题之间的关系，首先要学会四种命题之间的转化，各种命题的等价性，从而彻底理解四种命题的结构.给定一个命题“若P 则q ”，一定要正确理解并写出其否命题“若非P 则非q ”，逆命题为“若q 则p”，逆否命题为“若非q 则非p”.学习时根据需要正确的写出其意义相同的命题形式.