解析延拓

R2 z z0 R1 内收敛； 在圆环外发散； 而在
圆环上，可能有些点收敛，有些点发散。 （2） 当 R2 R1 时， 正幂项级数和负幂项级数收敛域 的交集等于空集，此时原级数发散。 因此，双边级数的收敛域为圆环域：
R2 z z0 R1 。 顺便指出，在特殊情况下，
圆环域的内半径 R2 可能为 0，外半径 R1 可能是 无穷大。
(n 0, 1, 2, ) (3.5.4)
上面称为函数在环域内的洛朗展开。其中积分路径为环域内 包围 z 0 的任意简单曲线。
数学物理方法
证明： z 是圆环域 R2 z z0 R1 内任一点， 设 作以 z 0 为中心，位于圆环内的圆周 Γ2： z z0 2 R2 ，Γ1:
z z0 1 R1 , ( 2 1 ) ， 二者均为逆时针方向， z 且
满
R
足 2 z z0 1 ， 如图所示 。 因为 f ( z ) 在闭圆环域
R2 2 z0 Γ2 R1
2 z z0 1 内解析，其
边界 1 2 ， 所以由复 通区域的柯西积分公式有
k 0
f2 ( z)
k 0

k! k 1 f ( z1 ) (1 z1 ) k ( z z1 ) ( z z1 ) k k! k! k 0
(k )
( z z1 ) k ( z z1 1 z1 ) k 1 k 0 (1 z1 )
1 k k 1 1 k f ( z ) (1 k 1 ) z z k z 2 2 k 0 2 k 0 k 0 1 1 1 1 1 z 2 (1 z / 2) ( z 1)( z 2)
1 F ( z) ( z 1)( z 2) 就是原函数的解析延拓。
n 1 n 1


a1 a2 2 a n n
1 它是一个通常的幂级数。 设它的收敛半径为 ， R2 1 则当 时，级数收敛； R2
数学物理方法
1 当 时，级数发散。因此，要判定负幂项级数 R2 a n ( z z0 ) n 的收敛范围，只需把 用 ( z z0 )1 代回去就

3.5 洛朗级数展开
数学物理方法
我们已经知道，若函数 f ( z ) 在圆域 z z0 R 内 解析，则 f ( z ) 在 z 0 点可展开成幂级数，且由上面的推论 知，当 f ( z ) 在 z 0 处不解析时，则 f ( z ) 在 z 0 处肯定不能 展开成幂级数。 那么，如果我们挖去不解析的点 z 0 ，函 数 f ( z ) 在解析的环域： R2 z z0 R1 内是否可展开 成幂级数呢？这就是我们下面要讨论的问题: 洛朗级数。 它和泰勒级数一起，都是研究复变函数的有力工具。

1 2
，则有
2
k 0

k 1
1 k 1 ( z ) ( z 1/ 2 ) 2 2
由此可见，解析延拓并不是任意情况下都能进行， 它不能越过奇点。
数学物理方法 一般情况都不直接采用泰勒展开方法，而用其它方法 例3.4.2 在去心圆域 0 z 1 中的解析函数
求该函数的解析延拓。 k 1 解：在区域 0 z 1 中，
数学物理方法
3.5.1双边幂级数
形如
n


an ( z z0 ) n
a n ( z z0 ) n a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2
的级数称为双边幂级数， 其中 z0 , an (n 0, 1, 2, ) 都是复 常数。
1 z2 z4 z6
1 , ( z 1) 2 1 z
( z 1)2 ( z 1)3 ln z n2 i ( z 1) ( z 1) 2 3 m m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 (1 z )m 1m{1 z z z }, ( z 1) 1! 2! 3!
数学物理方法 3.4.2 解析延拓的方法 原则上，解析延拓总是可以利用泰勒级数进行。具体说， z0 z0 选取区域B上任意一内点 ，在 的邻域上将解析函 数展开为泰勒级数。如果这个泰勒级数的收敛圆有部分 超出B之外，解析函数的定义域就扩大了一步。这样可 以逐步扩大。 可以证明，解析延拓具有唯一性。
数学物理方法 如果取 z1 ，则有

( z 1/ 2) k f2 ( z) (1 1/ 2) k 1 k 0 2 k 1 1 k 3 ( ) ( z ) ( z 1/ 2 ) 2 2 k 0 3

1 2
如果取 z1
( z 1/ 2) k f2 ( z) (1 1/ 2) k 1 k 0
n 0

其收敛域是一个圆域。 设它的收敛半径为 R1 ，则当
z z0 R1 时，该级数收敛；当 z z0 R1 时，级数发散。
数学物理方法
而负幂项级数
a n ( z z0 ) n 是一新类型的级数.
n 1 1

如果令 ( z z0 ) ，那么就得到
a n ( z z0 ) n a n n
注意到上面几个式子后面括号里注明成立的条件，如果 取消条件，则等号两边并不一回事。例如第二个式子， 左边是幂级数，在单位圆内部收敛，其和是解析函数， 但如果超出单位圆，则级数发散无意义；而右边除去 z i 它在全平面上都解析。
数学物理方法 这样，我们有两个函数，其一在一个较小的区域上是 解析函数，
按照泰勒展开定理的推导方法， 上式右端第一个积分可写
1 f ( ) d an ( z z0 ) n 2πi 1 z n 0 1 f ( ) an 1 ( z0 )n1 d (n 0,1, 2, ) 2πi
其中
数学物理方法
设 C : z z0 R ，且满足
数学物理方法 例3.4.1 在 z 1 中的解析函数
f ( z) z k

1 求该函数的解析延拓。 f ( z) 解：由于在区域 z 1 内， 1 z 函数解析，故可 以取区域内任意一点 z1 ( z1 0)，将函数在 z1 的一邻域内进 行泰勒展开，记展开后为 f 2 ( z ) ，则
k
f ( z) z k

1 1 F ( z) 就是原函数的解析延拓。 z 1 z
1 f ( z ) z ( 1 z z 2 ) z k 1 1 2 3 (1 z z z ) z 1 1 z 1 z
数学物理方法 例3.4.3 在圆域 z 1 中的解析函数 1 k f ( z ) (1 k 1 ) z 2 k 0 求该函数的解析延拓。 解：在区域 z 1 中，

z
1
C
1
数学物理方法
1 f ( ) 1 f ( ) f ( z) 1 z d 2πi 2 z d 2πi
即
1 f ( ) 1 f ( ) f ( z) 1 z d 2πi 2 z d 2πi
成
(3.5.5)
n 1
(3.5.2)
两部分组成。
数学物理方法 因此，我们可以用它的正幂项级数和负幂项级数的敛散 性来定义原级数的敛散性。规定：当且仅当正幂项级数和负
幂项级数都收敛时，原级数收敛，并且把原级数看成是正幂
项级数与负幂项级数的和。
对于正幂项级数
an ( z z0 ) n ，它是一个通常的幂级数，
f ( z ) 1 z 2 z 4 z 6 , ( z 1)
另一个在含上述区间的一个较大的区域上解析，并且 两者在较小的共同区域上相同。 1 F ( z) , ( z i) 2 1 z 于是有这样一个问题：已给某个区域B上的解析函数 ， f ( z) F ( z) 能否找到另一个函数 ，它在含有区域B的较大区域上 f ( z) 是解析的，且在区域B上等同于 ？这个问题就是解析 延拓，简单说，解析延拓就是解析函数定义域的扩大。
z0 1 ，所以 即 z z0
1 1 z ( z0 ) ( z z0 ) ( z0 ) 1 1 z z0 1 z0 n 1 ( z z0 ) n z z0
n 1
数学Baidu Nhomakorabea理方法
因此
1 f ( ) 1 d f ( )( z0 ) n 1 d ( z z0 ) n C 2πi 2 z n 1 2πi 1 1 f ( ) d ( z z 0 ) k C ( z0 )k 1 k 2πi

k
a (z z )
n 0
1
k
其中 C : z z0 R ，沿逆时针方向，上式推导中利用了闭路 变形定理。
综上讨论，可得
f ( z)
1 f ( ) d 2πi C ( z0 ) n 1
n
a (z z ) ,
n n 0

R2 z z0 R1
其中 an
(n=0, 1, 2,)
类似于泰勒展开定理，我们可以证明展开式是唯一的。
数学物理方法
特别说明： (1) 由闭路变形定理可知，定理中的 C : z z0 R 也 可以写成圆环域 R2 z z0 R1 内绕 z 0 的任一正向简单闭 曲线。 （2）一个函数可能在几个圆环域内解析，在不同的圆 环域内的洛朗展开式是不同的，但在同一圆环域内，不论 用何种方法展开，所得的洛朗展开式是唯一的。
数学物理方法
3.5.2 洛朗级数展开
定理(洛朗级数展开定理) 设函数 f ( z ) 在圆环域
R2 z z0 R1 内解析，则在此圆环内 f ( z ) 必可
展开成洛朗级数
f ( z)
n


an ( z z0 ) n
(3.5.3)
其中系数项
1 f ( ) an C ( z0 )n1 d 2πi
数学物理方法
由于这种级数没有首项， 所以对它的敛散性我们无法 象前面讨论的幂级数那样用前 n 项和的极限来定义， 容易 看出双边幂级数是由正幂项(包含常数项)级数
an ( z z 0 ) n
n 0


(3.5.1)
和负幂项级数
n

1
an ( z z0 ) n a n ( z z0 ) n
数学物理方法
陈尚达
材料与光电物理学院
第三章 幂级数展开
1、复数项级数
数学物理方法
2、幂级数
3、泰勒级数展开 4、解析延拓 5、洛朗级数展开 6、孤立奇点的分类
3.4 解析延拓
我们来回顾一下前面讲的幂级数，例
1 z z2 zk 1 , ( z 1) 1 z
数学物理方法
n 1
1 1 1 可以了。 事实上，由 ，得 ，即 z z0 R2 R2
z z0 R2 ，所以，负幂项级数在 z z0 R2 内收敛. 需特
别注意，该负幂级数在 z z0 R2 范围内却是发散的。
数学物理方法
综上可知： （1） 当 R2 R1 时， 双边幂级数在它的正幂项级数和 负幂项级数的收敛域的公共部分
2 R 1 ，则由闭路变形定理，其系数
cn 也可表示为
1 f ( ) an C ( z0 )n1 d , 2πi ( n 0,1, 2, )
其中 C 沿逆时针方向.
数学物理方法
上式(3.5.5)右端第二个积分， 2 ， z z0 z0 ， 因 故