113多边形及其内角和

C
三角形的三个外角 之和为3600
（2）四边形的外角和等于多少度？
C
3
4
D
B
2
1
A
（3）五边形的外角和怎么求？n边形呢？
猜想与说理:
n边形的外角和是多少度呢?
答:都是360°.因为多边形的外角与它相邻 的内角是邻补角，所以n边形的外角和加内角 和等于n·180°，内角和为(n－2)·180°,因此， 外角和为：n·180°－(n－2)·180°= 360°.
观察下列图案
由这图形你抽象出什么几何图形？
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形？
三角形
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形？
长方形
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形？
四边形
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形？
六边形
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形？
113多边形及其内 角和
在△ABC中，
（1）∠C = 90º,∠B=30º, 则 ∠A =
º；
（2）∠A = 100º,∠B=∠C , 则 ∠B =
º；
（3）若△ABC中的三个内角度数之比为2：3：4，
则相应外角之比为
．
（4）三角形的三个内角中，最多有 个锐角，最
多有 个直角，最多有
个钝角．
§11.3多边形及其内角 和
A
F C
A B
E D
C B
多了什么？如何处理？
这种分割方式，将多边形分成n-1个三角形， 故所有三角形的内角和为（n-1）×180 °，边 上一点周围所形成的平角不是多边形的内角， 因此n边形的内角和为
（n-1）×180 °- 180 °= (n-2)×180 °
例1：求八边形的内角和的度数。
解：（n－2）×180°＝（8－2）×180° ＝1080°
360°÷30°＝12。
例题、已知两个多边形的内角和为1440°，且 两多边形的边数之比为1︰3，求它们的边数分 别是多少？
解:设它们的边数分别是x,y.由题意得： （x-2）·180+（ y -2）·180=1440
x : y=1 : 3 解之得 x =3
y =9 答：它们的边数分别是3和9。
1080°
A2 P A3 (2)
D
C
D
F
E
A
B
A
C
A B
多了什么？如何处理？
E D
C B
该图中n边形共有n个三角形，故所有三角 形内角和为n×180 °，但每个图中都有一个 以红圈圈住的点，它是一个圆周角360 °，因 此n边形的内角和为
n×180 °- 360 °= (n-2)×180 °
D A
B
C
D
E
（2）你是怎样求的？
(1)从顶点A可以画几条对
D
角线？分别是哪几条？
Байду номын сангаас
E
(2)这样五边形被分成了
C 几个三角形？
A
B
(3)五边形的内角和是多少
度？
你来探索六边形的内角和，你一定行！
A
F
B
被分得三角形个数 4
E
C
六边形的内角和 4×180°
D
这种探索方法你掌握了吗？请完成下表
多边形的
边数
3 4 5 6 7…
113多边形及其内角和
15
（4）已知四边形4个内角的度数比是1︰2︰3︰4，
那么这个四边形中最大角的度数是 144°
。
（5）一个五边形的三个内角是直角，另两个内角
都是n°，则n= 135° 。
（6）六角螺母的面是六边形，它的内12角0都°相等，则
这个六边形的每个内角是
。
（7）在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，那么∠B
n
分成的三
角形个数 1
2
3
4 5 … n-2
多边形的 内角和
180°
180°
×2
180°
×3
180°
×4
180°
×5
…
(n-2) ×180
想一想：从表中你能发现什么？
n边形的内角和等于(n－2)．180°
想一想
你还有其他的方法将多边形分割成三角形吗？
An
A5
A1
P
A4
A2
A3
(1)
An
A5
A1
A4
❖ ３、三角形的内角和是_1_8_0_0_度．
❖ ４、你能够利用三角形的内角和求四边形
的内角和吗？试试看？
A
D
四边形的内角和为360０
思路：多边形问题转化
为三角形问题来解决．
B
C
113多边形及其 内角和
长方形的内角和是 多少？为什么？
如果是任意 四边形呢？
A B
C
（1）四边形ABCD的内角 D 和是多少？
113多边形及 其内角和
观察下面多边形，它们的边，角有什么特点？
在平面内，内角都相等，边也都 相等的多边形叫做正多边形
❖ 1、在平面内，_由_一_些__线_段_首__尾_顺__次_相_接__组_成_的__图_形 叫做多边形。
❖ ２、在多边形中连接_多__边_形_不__相_邻_的__两_个__顶_点_的_线段 的线段叫做多边形的对角线。
八边形
113多边形及其内角和
三角形 长方形 四边形 六边形
你能仿照三角形的定义给出多边形的 定义吗？ 在平面内，由若干条不在同一条直线 上的线段首尾顺次相连组成的封闭图
八边形 形叫做多边形。
了解一下
可表示为：五边形ABCDE或
五边形DCBAE
A
内角
顶点
E
B
边 C
对角线：连接多边形不相邻的两个顶 点的线段。
与∠D有什么关系呢？为什么？
问题
1A
大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持
5
跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是 B
E
小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑， 按逆时针方向跑步的效果图. 请你观察并
2
4
思考如下几个问题:
CD
3
(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身
体转过的角是哪个角？在图中标出它们.
(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
答：八边形的内角和为1080°。
例2：一个正多边形的一个内角为150°，
你知道它是几边形吗？
解：设 这个多边形为n边形，根据题意得： （n－2）×180＝1５0n n＝12
答：这个多边形是12边形。
另解：由于多边形外角和等于360° 而这个正多边形的每个外角都等于
180°－150°＝30°， 所以这个正 多边形的边数等于
D 对角线
113多边形及其内角和
B 7
2
A 1
6
内角 内角：多边形相邻两边组成的角
5
10
C8 3
9 4
D
外角
外角：多边形的边与它的邻边 的延长线组成的角。
113多边形及其内角和
✓你能说出这两幅图形的异同点吗？
（1）
（2）
ü 如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线， 整个四边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形 就是凸多边形。本节我们只讨论凸多边形。
(3)在上图中，你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5 的大小吗？你是怎样得到的？
113多边
形及其 内（1角）什和么是三角形的外角？外角有什么性
质？
（2）类似地，在多边形中找出
外角
D
E
多边形的一边与另一边的
延长线的夹角，叫做多边
A
形的外角。
C
B
F
做一做
（1）如图，求△ABC的三个外角的和。
A
2
B3
1