113多边形及其内角和
多边形及其内角和第一课时教案数学八年级上第11章113人教版
11.3多边形及其内角和第一课时教案一、教学目标(1)观察生活中大量的图片，认识一些简单的几何体（四边形、五边形），了解多边形及其内角，对角线等数学概念；(2)能由实物中辨别寻找出几何体，由几何体图形联想或设计一些实物形状；(3) 了解类比的数学学习方法。
二、教学重难点重点：连接多边形、内角、外角、对角线的概念以及凸多边形的形状的辨别；难点：正多边形的正确理解以及凸多边形的辨别三、专家建议让学生认识生活中的多边形形状，感受数学与生活的联系；在三角形的基础上，学习多边形把多边形的有关问题转化为三角形问题。
在探究多边形的对角线的条数时，从特殊到一般进行分析，让学生体会从特殊到一般的分析问题的方法。
师生共同探究，教师注意多让学生活动，不要急于得出结论，在学生充分讨论的基础上再给出结论，有利于培养学生的探究精神，从而让学生感受成功的乐趣。
四、教学方法情境引入——探索研讨——总结归纳——练习提高五、教学用具多媒体，三角板，直尺六、教学过程（一）、情景导入[投影1]看下面的图片，你能从中找出由一些线段围成的图形吗？（二）、多边形及有关概念（1）多边形的定义这些图形有什么特点？由几条线段组成；它们不在同一条直线上；首尾顺次相接．这种在同一平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……、n边形。
这就是说，一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形，三角形是最简单的多边形。
例题讲解例1：请列出生活中的一些多边形，并指出其特征解：房屋顶是三角形，因为三角形有稳定性；螺母底面为六边形，是为了方便安装和拆卸；黑板为四边形，是为了满足教学的使用；等等教师强调：多边形概念的重要提示：在多边形的概念中，要分清以下几个方面（1）在同一平面内；（2）若干线段不在同一直线上；（3）首尾顺次相结；（4）所形成的封闭图形（2）多边形的内角与三角形类似地，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，如图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E。
多边形及其内角和知识点
多边形及其内角和知识点多边形是由若干条线段组成的闭合图形，每个线段都被称为多边形的边，相邻的两条边之间的夹角被称为内角。
多边形的内角和是指多边形内部所有内角的总和。
在数学中，多边形是一个非常重要且常见的图形，它具有丰富的性质和应用。
对于任何多边形，我们可以通过计算其内角和来深入了解它的性质。
首先，让我们考虑最简单的多边形，三角形。
三角形是由三条线段组成的多边形，它的内角和总是等于180度。
我们可以通过简单的几何推理证明这一点。
假设三角形的三个内角分别为A、B和C。
我们可以将三角形划分为两个小三角形，其中一个小三角形的两个内角分别为A和B，另一个小三角形的两个内角分别为A和C。
根据角的加法定理，我们可以得出结论：A+B+C=A+A+C=180度。
对于四边形，我们可以将其分为两个三角形，因此其内角和总是等于360度。
对于五边形，我们可以将其分为三个三角形，所以其内角和总是等于540度。
同样地，我们可以通过将六边形分为四个三角形，七边形分为五个三角形以及依此类推，推导出任何多边形的内角和。
另外，对于n边形（n>2），我们可以使用以下公式来计算其内角和：(n-2)×180度。
这个公式可以通过将n边形分解为(n-2)个三角形，然后利用三角形内角和等于180度的性质来得到。
在实际应用中，计算多边形的内角和可以帮助我们研究多边形的性质。
例如，通过计算一个多边形的内角和，我们可以确定该多边形是凸多边形还是凹多边形。
如果内角和等于(n-2)×180度，那么这个多边形是凸多边形；如果内角和小于(n-2)×180度，那么这个多边形是凹多边形。
此外，内角和还可以帮助我们计算多边形的外角和。
多边形的外角是指多边形的每个内角的补角。
换句话说，外角等于360度减去内角。
因此，我们可以通过计算内角和来得到外角和，并进一步研究多边形的性质。
总结起来，多边形及其内角和是数学中的重要概念。
通过计算多边形的内角和，我们可以揭示多边形的性质，如凸凹性质，并可以进一步计算多边形的外角和。
人教版数学八年级上册11.3.2多边形内角和-课件
思路：多边形问题转化为三角形
问题来解决．
试一试 • 完成下表
多边形边数 ３ ４ ５ ６
从一个顶点引对 角线的条数
0
1
2
3
分成的三角形 个数
1
2
34
多边形的内角 和
1800 3600 54007200
n
n-3 n-2
(n-2) ×1800
从n边形的一个顶点可以引＿＿n＿-3＿＿对角线，
• 例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么 另一组对角有什么关系？
A
B
D
C
解：四边形ABCD中，∠A+∠C=180° ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360° ∴∠B+∠D=360°-180°=180° 所以加一组对角也互补。
例2 在六边形的每个顶点各取一个外角，这些外 角和叫做六边形的外角和。六边形的外角和等 于多少？
（1）多边形的内角和随着边数的增加
而 增 加 ，边数增加一条时， 它的内角和增加 180 度 .
（2）七边形的内角和等于 900 度（. 7－2）×180
（3）一个多边形的内角和等于720 ° 那么这个多边形是 六 边形.
（4）如果一个四边形的一组对角互补，
那么另一组对角 也互补 .
想一想：
除了上述我们利用对角线， 将一个多边形分割成几个三 角形外，还有其它的分割方 法吗?
C
• 多边形的对角线:连接
多边形不相邻的两个顶点
的线段叫做多边形的对角线.
A1 E
D
• 在图1中,画出任意一边所在 的直线,整个多边形都在直 线的同侧,这样的多边形叫
做凸多边形.
• 图2中,多边形ABCD不在 CD所在直线的同侧,就不是
八年级数学上册(人教版)课件：11.3 多边形及其内角和
11．3 多边形及其内角和 11．3.2 多边形的内角和
知识点1：多边形的内角和 B 1．八边形的内角和等于( ) A．360° B．1080° C．1440° D．2160° 2．(2017·重庆)已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是( ) A．C 五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
13．(2017·南宁)一个B 正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一 个外角等于( ) A．60° B．72° C．90° D．108° 14．四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角可能( )C A．都是钝角 B．都是锐角 C．一个是锐角、一个是钝角 D．一个是锐角、一个是直角
知识点2：多边形的外角和
C
6．一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数为( )
A．8 B．7 C．6 D．5
7．已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为
( B) A．3 B．4 C．5 D．6
D
8．多边形的边数每增加1条，它的( ) A．内角和、外角和都增加180° B．内角和、外角和都减少180° C．内角和、外角和都保持不变 D．内角和增加180°，外角和保持不变 9．一个正多边形的外角不可能等于( ) A．30° B．40° C．50° D．60° C
12．(2016·薛城)如图，小明从点O出发，前进5 m后向右转15°，再前进 5 m后又向右转15°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点O为止， 他所走的路径构成了一个多边形． (1)小明一共走了多少米？ (2)这个多边形的内角和是多少度？ 解：(1)360÷15×5＝120(m) (2)(360÷15－2)×180＝3960°
18．在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°. (1)如图①，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C 的度数； (2)如图②，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，试求出∠BEC的度 数．
知识点多边形的内角和与外角性质
知识点多边形的内角和与外角性质知识点：多边形的内角和与外角性质多边形是几何学中的基本概念之一，它由若干条直线段首尾相连而成，形成一个封闭的图形。
根据边的个数，多边形可以分为三角形、四边形、五边形等等。
在多边形中，我们关注的一个重要性质就是多边形的内角和与外角性质。
一、多边形的内角和性质多边形的内角和是指多边形中所有内角的度数之和。
对于n边形，其内角和可以通过以下公式计算：内角和 = (n-2) × 180°以三角形为例，三角形是由三条边组成的多边形。
根据内角和性质，三角形的内角和恒为180°。
即三角形的三个内角的度数之和始终等于180°。
对于四边形，四边形是由四条边组成的多边形。
根据内角和性质，四边形的内角和恒为360°。
即四边形的四个内角的度数之和始终等于360°。
同样地，我们可以推广到多边形的情况。
对于任意n边形，其内角和恒为(n-2) × 180°。
多边形的每个内角的度数之和始终等于(n-2) ×180°。
二、多边形的外角性质多边形的外角是指由多边形的一条边和其相邻的一条边所组成的角。
相邻边是指连接同一个顶点的两条边。
对于n边形，每个外角的度数可以通过以下公式计算：每个外角的度数 = 360° / n以正多边形为例，正多边形是指边长和内角都相等的多边形。
对于正n边形，每个内角的度数为(180° × (n-2)) / n，每个外角的度数为360°/ n。
可以发现，正多边形的每个内角和每个外角的度数之和均为180°。
三、内角和与外角的关系多边形的内角和与外角有着特殊的关系。
对于任意n边形，其内角和与外角和之间存在以下关系：内角和 + 外角和 = 360°这个关系可以通过推导得到。
由于多边形的每个外角的度数为360°/ n，n个外角的度数之和为360°。
人教版八年级数学上册 11.3.2 多边形的内角和 课件(共29张PPT)
5
知识点一：多边形的内角和
新知探究
四边形内角和
D
4
C
如图，在四边形ABCD中，连接 对角线AC,则四边形ABCD被分为
△ABC和△ACD两个三角形.
2
A
1
3 B
你能推出五
由此可得：∠DAB+∠B+∠BCD+∠D
边形和六边形
=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D 的内角和吗？
=(∠1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D)
复习备用
多边形
三角形
四边形
五边形
……
六边形
n边形
从一个顶点引出 的对角线条数
0
1
2 3 …… n-3
1 分割出的三角形 的个数
2
3 4 …… n-2
1
激情引入
1.看完这些图案你能抽象出哪些几何图形? 2.生活中有如此多的几何图形，你对它们了 解多少?
我们知道三角形的内角和是180度,正方 形、长方形的内角和是360度，那么四边形、 五边形、六边形的呢?
2
人教版八年级数学上册 第十一章 三角形
11.3 多边形及内角和
11.3.2 多边形的内角和
3
学习目标 1.会通过不同方法探索多边形的内角和与外角和
公式,并会用它们进行有关计算. 2.通过将多边形问题转化为三角形问题解决，体 会化归思想的应用方法，提高分析问题和解决问 题的能力.
重点难点
重点:多边形的内角和与外角和. 难点:多边形的内角和公式的推导.
A.360° B.540° C.720° D.900°
14
多边形内角和和外角和的公式
多边形内角和和外角和的公式多边形是指由三个或更多条线段组成的封闭图形。
在数学中，多边形的内角和和外角和是一个重要的概念。
本文将介绍多边形的内角和和外角和的公式，并解释其含义和应用。
1. 多边形的内角和公式多边形的内角和指的是多边形内部所有角的和。
对于任意n边形（其中n大于等于3），其内角和可以通过以下公式计算得出：内角和 = (n - 2) × 180度这个公式的推导可以通过将多边形分割成n-2个三角形来进行。
每个三角形的内角和为180度，因此n边形的内角和就是(n-2)个三角形的内角和之和。
举例来说，对于一个三角形（3边形），其内角和为180度。
对于一个四边形（四边形），其内角和为360度。
对于一个五边形（五边形），其内角和为540度。
依此类推，随着边数的增加，多边形的内角和也会增加。
2. 多边形的外角和公式多边形的外角和指的是多边形外部所有角的和。
对于任意n边形，其外角和可以通过以下公式计算得出：外角和 = 360度这个公式的推导可以通过将多边形的每个外角和其相邻的内角相加得到。
根据三角形的性质可知，三角形的外角和为360度。
因此，不论多边形的边数是多少，其外角和始终为360度。
举例来说，对于一个三角形，其外角和为360度。
对于一个四边形，其外角和为360度。
对于一个五边形，其外角和为360度。
可见，不论多边形的边数是多少，其外角和始终为360度。
3. 内角和和外角和的关系内角和和外角和有一个重要的关系：它们的和始终等于多边形的边数乘以180度。
这可以通过以下公式表示：内角和 + 外角和= n × 180度这个公式的推导可以通过将多边形的每个内角和其对应的外角相加得到。
根据三角形的性质可知，内角和和外角和的和为180度。
因此，多边形的每个内角和其对应的外角的和为180度。
由于多边形共有n个内角和n个外角，所以它们的和为n × 180度。
举例来说，对于一个三角形，其内角和为180度，外角和为360度，满足内角和 + 外角和= 3 × 180度。
人教版八年级数学上册：11.3.2多边形及其内角和(教案)
四、教学流程
（一）导入边形及其内角和》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算多边形内角和的情况？”比如，在设计一个多边形的花园或地板图案时，我们可能需要知道所有内角的总和。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索多边形内角和的奥秘。
3.通过实际操作，让学生掌握如何利用内角和计算公式解决多边形相关问题。
4.案例分析，结合实际生活中的多边形问题，运用所学知识进行解答。
本节课将结合教材内容，注重培养学生的实际操作能力和解决问题的能力，使学生在掌握多边形内角和知识的基础上，能够灵活运用到实际生活中。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间观念和几何直观，通过多边形的认识，提高学生对平面图形的理解和运用能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调多边形的定义和内角和的计算公式这两个重点。对于难点部分，如内角和公式的推导，我会通过分割多边形为三角形的例子来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与多边形内角和相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用硬纸板制作一个多边形，并测量计算其内角和。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“多边形内角和在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
人教版八年级数学上册(教案)：11.3.2多边形的内角和
-举例：以四边形、五边形和六边形为例，演示如何运用内角和公式计算具体数值，如四边形的内角和为（4-2）×18理解多边形内角和公式的推导过程，特别是对于边数较多或形状复杂的多边形。
-帮助学生理解为什么可以通过连接多边形的一个顶点到其他非相邻顶点来将多边形分割成若干个三角形，以及这一操作与内角和计算的关系。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-本节课的核心内容是掌握多边形内角和的计算公式（n-2）×180°，以及如何运用这一公式解决相关问题。
-重点讲解多边形内角和公式的推导过程，通过实际操作让学生理解多边形内角和与边数之间的关系。
-强调多边形内角和公式中180°的含义，即三角形的内角和，以及如何通过将多边形分割成三角形来计算内角和。
人教版八年级数学上册（教案）：11.3.2多边形的内角和
一、教学内容
本节课选自人教版八年级数学上册第十一章第三节第二部分“多边形的内角和”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.掌握多边形内角和的计算公式，即（n-2）×180°，其中n代表多边形的边数。
2.能够运用多边形内角和的计算公式解决实际问题，如求出给定多边形的内角和，以及根据内角和求出多边形的边数等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调内角和公式（n-2）×180°以及如何确定多边形的边数n这两个重点。对于难点部分，我会通过具体的多边形图形和实际计算来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与多边形内角和相关的实际问题，如如何计算一个不规则多边形的内角和。
八年级数学上册 第十一章 三角形 11.3 多边形及其内角和 11.3.2 多边形的内角和导学课件
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10. 如图所示，是某厂生产的一块模板，已知该模板 的边 AB∥CF，CD∥AE.按规定 AB，CD 的延长线相交 成 80°角，因交点不在模板上，不便测量．这时师傅告诉 徒弟只要测一个角，就知道 AB，CD 的延长线的夹角是 否符合规定，你知道需测哪一个角吗？说明理由．
唯一)
27
1．n 边形的内角和＝180(n－2)°，边数每增加 1，则 内角和就增加 180°.
2．n 边形的外角和＝360°，与边数无关；正 n 边形 的每个外角的度数＝36n0°.
3．正多边形除了满足一般多边形的所有性质外，还 有：各边相等，各内角相等，各外角相等．
28
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
6
4. 已知两个多边形的内角总和为 2700°，且两多边形 的边数之比为 7∶12，求这两个多边形的边数．
解：设两多边形的边数分别为 7x，12x，则 (7x－2)×180°＋(12x－2)×180°＝2700°， 解得 x＝1. ∴两多边形分别为七边形和十二边形．
3
知识点 多边形的内角和
1. 一个多边形的内角和超过 640°，则此多边形边数
的最小值是( B )
A．5
பைடு நூலகம்
B．6
C．7
D．8
4
2. (2017·苏州)如图，在正五边形 ABCDE 中，连接
BE，则∠ABE 的度数为( B )
A．30°
B．36°
C．54°
D．72°
5
八年级数学 第 三角形 11.3 多边形及其内角和11.3.2 多边形的内角和
探究 你能利用(lìyòng)三角形内角和定理证明你的 结论吗？
从四边形的一个顶点出发，
可以(kěyǐ)作
1 条对角线，它们
将四边形分为
个三2角形，四
边形的内角和等于180°×____=
°．
2
360
第五页，共三十页。
探究(tànjiū) 类比前面的过程，你能探索五边形 的内角和吗？六边形呢？
A.600° B.720° C.900° D.1080°
2.若多边形的边数由 3 增加到 5，则其外角和的
度数（ ）
C A.增加 B.减少 C.不变 D.不能确定
第二十五页，共三十页。
综合应用
3.已知，在四边形ABCD中，∠A:∠B＝5:7，∠B与∠A的差等 于∠C，∠D与∠C的差是80度，求四边形ABCD四个内角(nèi jiǎo)的度
x = 95
练习2 一个(yī ɡè)多边形的各内角都等于120°，
它是几边形？
六边形
第二十二页，共三十页。
练习3 一个多边形的内角和与外角(wài jiǎo)和相 等，它是几边形？
四边形
第二十三页，共三十页。
练习4 是否存在一个多边形，它的每个内角 都等于相邻外角的 1 ？为什么？
5
解：不存在．
一个多边形的内角和等于它的外角和的3 倍，它
是几边形？
解：设这个(zhège)多边形为 n 边形， 根据题意，可列方程
（ n -2）×180°=3×360°． 解得 n =8．
答：它是八边形．
第二十页，共三十页。
练习(liànxí)1 求出下列图形中 x 的值。
x = 65
x = 60
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人教版八年级上册：11.3 多边形及其内角和 课后作业 word版,含答案
11.3 多边形及其内角和课后作业一．选择题1．如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠A＝135°，∠C＝60°，∠D＝150°，则∠E 的大小为（）A．60°B．65°C．70°D．75°2．下列说法中错误的是（）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．边数为n的多边形内角和是（n﹣2）×180°C．有一个内角是直角的三角形是直角三角形D．三角形的中线、角平分线、高线都是线段3．已知正多边形的一个内角为144°，则该正多边形的边数为（）A．12B．10C．8D．64．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个内角是（）A．120°B．108°C．90°D．605．如果一个正多边形的一个内角与一个外角的度数之比是7：2，那么这个正多边形的边数是（）A．11B．10C．9D．86．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（）A．180°B．260°C．270°D．360°二．填空题7．已知正n边形的每个内角为144°，则n＝．8．已知一个多边形的内角和与外角和之比是3：2，则这个多边形的边数为．9．如图所示，正五边形中∠α的度数为．10．为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五角星的五个顶点），则图中∠A的度数是度．11．如图，已知∠B＝30°，则∠A+∠D+∠C+∠G＝°．12．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A'的位置，若∠A ＝40°，则∠1﹣∠2的度数为度．三．解答题13．一个多边形的每个内角都相等，都等于150°，求这个多边形的边数？14．在四边形ABCD中，∠D＝60°，∠B＝∠A+20°，∠C＝2∠A，求∠B的度数．15．如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，求∠D的度数；（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由．16．（1）已知图①中的三角形ABC，分别作AB，BC，CA的延长线BD，CE，AF，测量∠CBD，∠ACE，∠BAF的度数，并计算∠CBD+∠ACE+∠BAF．由此你有什么发现？请利用所学知识解释说明；（2）类似地，已知图②中的四边形PQRS，分别作PQ，QR，RS，SP的延长线QG，RH，SM，PN，测量∠RQG，∠SRH，∠PSM，∠QPN的度数，并计算∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN．由此你又有什么发现？（3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？参考答案一．选择题1．解：∵AB∥CD，∴∠C+∠B＝180°，∵五边形ABCDE中，∠A＝135°，∠D＝150°，∴∠E＝540°﹣180°﹣135°﹣150°＝75°．故选：D．2．解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，故原说法错误，故本选项符合题意；B、边数为n的多边形内角和是（n﹣2）×180°，说法正确，故本选项不合题意；C、有一个内角是直角的三角形是直角三角形，说法正确，故本选项不合题意；D、角形的中线、角平分线、高线都是线段，说法正确，故本选项不合题意；故选：A．3．解：∵正多边形的一个内角是144°，∴该正多边形的一个外角为36°，∵多边形的外角之和为360°，∴边数＝＝10，∴这个正多边形的边数是10．故选：B．4．解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）＝540，解得：n＝5．则这个正多边形的每一个内角为540°÷5＝108°．故选：B．5．解：设这个正多边形的边数为n，由题意得：（n﹣2）×180＝360，解得：n＝9，故选：C．6．解：如图，∵∠1＝∠B+∠2，∠2＝∠D+∠E，∠A+∠1+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠C＝180°，故选：A．二．填空题7．解：由题意得正n边形的每一个外角为180°﹣144°＝36°，n＝360°÷36°＝10，故答案为10．8．解：设这个多边形的边数为n，依题意得：（n﹣2）180°＝×360°，解得n＝5．故这个多边形的边数为5．故答案为：5．9．解：∵正五边形的内角为：（5﹣2）×180°÷5＝108°，∴∠α＝×（180°﹣108°）＝36°，故答案为：36°．10．解：如图，∵正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，∴∠GFN＝∠FNM＝＝108°，∴∠AFN＝∠ANF＝180°﹣∠GFN＝180°﹣108°＝72°，∴∠A＝180°﹣∠AFN﹣∠ANF＝180°﹣72°﹣72°＝36°．故答案是：36．11．解：∵∠B＝30°，∴∠BEF+∠BFE＝180°﹣30°＝150°，∴∠DEF+∠GFE＝360°﹣150°＝210°．∵∠DEF＝∠A+∠D，∠GFE＝∠C+∠G，∴∠A+∠D+∠C+∠G＝∠DEF+∠GFE＝210°，故答案为：210．12．解：如下图所示，∵△ABC纸片沿DE进行折叠，点A落在四边形BCED的外部点A'的位置，∴∠4＝∠5，∠3＝∠2+∠DEC，∵∠1+∠4+∠5＝180°，∴∠1+2∠4＝180°，∴∠1＝180°﹣2∠4，∵∠3+∠DEC＝180°，∴∠2＝∠3﹣∠DEC＝2∠3﹣180°，∴∠1﹣∠2＝180°﹣2∠4﹣2∠3+180°＝360°﹣2∠4﹣2∠3＝2∠A，∴∠1﹣∠2＝2×40°＝80°，故答案为：80．三．解答题13．解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，解得n＝12．故多边形是12边形．边数为12．14．解：四边形内角和定理得：∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∵∠D＝60°，∠B＝∠A+20°，∠C＝2∠A，∴∠A+（∠A+20°）+2∠A+60°＝360°，∴∠A＝70°，∴∠B＝∠A+20°＝90°，答：∠B的度数是90°．15．解：（1）∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∴∠ACD+∠DCE＝∠A+∠ABD+∠DBC，∠DCE＝∠D+∠DBC，又BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠ABD＝∠DBE，∠ACD＝∠ECD，∴∠A＝2（∠DCE﹣∠DBC），∠D＝∠DCE﹣∠DBC，∴∠A＝2∠D，∵∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°，∴∠D＝35°；（2）∠D＝（∠M+∠N﹣180°）；理由：延长BM、CN交于点A，∵∠A+∠ANM+∠AMN＝180°，∠AMN+∠BMN＝180°，∠ANM+∠CNM＝180°，∴∠A＝180°﹣∠ANM﹣∠AMN＝180°﹣（180°﹣∠CNM）﹣（180°﹣∠BMN）＝180°﹣180°+∠CNM﹣180°+∠BMN，则∠A＝∠BMN+∠CNM﹣180°，由（1）知，∠D＝∠A，∴∠D＝（∠BMN+∠CNM﹣180°）．16．解：（1）∠CBD＝138°，∠ACE＝117°，∠BAF＝105°，所以∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°，发现：三角形中的外角和为360°，理由：因为∠CBD+∠ABC＝180°，∠ACE+∠ACB＝180°，∠BAC+∠BAF＝180°，所以∠CBD+∠ACE+∠BAF+∠ABC+∠ACB+∠BAC＝540°，又因为∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，所以∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°；（2）∠RQG＝125°，∠SRH＝113°，∠PSM＝48°，∠QPN＝74°，所以∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°；发现：在四边形的外角和是360°；∵∠RQG+∠PQR＝180°，∠SRH+∠QRS＝180°，∠PSM+∠RSP＝180°，∠QPN+∠QPS＝180°，∵∠RQG+∠PQR+∠SRH+∠QRS+∠PSM+∠RSP+∠QPN+∠QPS＝720°，∵∠PQR+∠QRS+∠RSP+∠QPS＝360°，∴∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°．（3）猜想：多边形的外角和和都是360°．设多边形为n边形，则n边形的每一个内角与它相邻的外角的和为180°，∴n边形的外角和＝180°n﹣（n﹣2）×180°＝180°n﹣180°n+360°＝360°．。
多边形及其内角和知识点
第3讲多边形及其内角和（11.3）一、知识点总结边形的内角和等于180°（n-2）。
360°。
边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）3、4、6/。
拼成360度的角：3、4。
知识点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意：①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；②首尾顺次相连，二者缺一不可;③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形凹多边形图1(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。
要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。
人教版八年级上册数学教案：11.3.2多边形的内角和
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“多边形内角和在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
人教版八年级上册数学教案：11.3.2多边形的内角和
一、教学内容
本节课选自人教版八年级上册数学教材第十一章第三节第二部分，主题为“多边形的内角和”。教学内容主要包括以下两点：
1.多边形内角和定理：引导学生探索并掌握多边形内角和的计算公式，即（n-2）×180°，其中n表示多边形的边数。
2.应用多边形内角和定理解决实际问题：通过例题和练习，让学生学会运用内角和定理求解多边形中未知角度的问题，以及解决多边形拼接、镶嵌等生活中的实际问题。
本节课将着重讲解多边形内角和的计算方法，并培养学生的实际应用能力，提高他们解决几何问题的技巧。
二、核心素养目标
1.理解与运用：通过探究多边形内角和定理，培养学生对几何图形性质的理解，提高他们在实际问题中发现数学关系、运用数学公式解决问题的能力。
2.思维与创新：鼓励学生通过观察、猜想、验证等思维过程，发展逻辑推理和空间想象能力，激发创新思维，学会运用不同的方法和策略解决问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了多边形内角和的基本概念、计算公式以及它在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对多边形内角和的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
多边形的内角和外角和
多边形的内角和外角和多边形是几何学中的一个基本概念，指的是由多条线段组成的闭合图形。
在多边形中，每个顶点都有相应的内角和外角。
本文将探讨多边形内角和外角的性质以及它们的和。
一、内角和的性质1. 正多边形的内角和：对于一个正多边形，内角和等于360°。
例如，一个正三角形的每个内角为60°，三角形的内角和为180°；一个正四边形的每个内角为90°，四边形的内角和为360°。
2. 不规则多边形的内角和：对于不规则多边形，内角和取决于它的边数和形状。
我们可以通过以下公式来计算不规则多边形的内角和：内角和 = (n - 2) × 180°，其中n表示多边形的边数。
3. 三角形的内角和：三角形是最简单的多边形，它的内角和始终为180°。
这可以通过欧拉公式证明：每个三角形可以划分为三个顶点，每个顶点都对应了一个内角，因此三角形的内角和为180°。
二、外角和的性质1. 外角和的性质：在任何一个凸多边形中，外角和等于360°。
凸多边形的外角和是通过将每个顶点的外角相加得出的。
2. 凹多边形的外角和：与凸多边形不同，凹多边形中的外角和可能大于360°。
原因在于凹多边形中某些外角的度数可能大于180°。
三、内角和与外角和的关系内角和和外角和存在一个重要的关系：内角和加上外角和等于360°。
这是因为内角和和外角和分别计算了多边形内部和外部的角度总和，它们加起来完全覆盖了一个平面。
结论：多边形的内角和是由多边形的边数和形状所决定的，而外角和则是由多边形的凸凹性质决定的。
无论多边形的类型如何，内角和加上外角和始终等于360°，这是一个重要的性质。
在几何学中，了解多边形内角和和外角和的性质对于解决各种与多边形相关的问题非常有帮助。
通过计算内角和和外角和，我们可以更好地理解多边形的结构和性质，从而应用于实际问题的解决。
新人教版八年级上册初中数学 11.3.2 多边形的内角和 教学课件
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新课讲解
知识点1 多边形的内角和 思考 问题1：你能说出三角形的内角和是多少度吗？
三角形的内角和是180°
问题2：你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？ 长方形和正方形的内角和都是360°
问题3：你能猜测任意一个四边形的内角和是多少度吗？ 任意一个四边形的内角和是360°
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新课讲解
知识点1 多边形的内角和
多边形的内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）×180°.
通过以上的探究，多边形的内角和与边数之间有密切的关系:
从n边形的一个顶点出发，
可以作出（n-3）条对角线， 它们将n边形分成了（n-2）个三角形，
n边形的内角和等于180°×（n-2）.
当堂小练
（3）已知一个多边形的每一个内角与其相邻外角的比都是7:2，则这个多边形
是（ ）边九形，共有（
）条2对7 角线.
解：设这个多边形的一个内角为7x°，则与其相邻的外角为2x°,
因为每一个内角与其相邻的外角之和为180°，所以
7x°+2x°= 180° ，解得x=20，外角为40°.
边数为360° ÷40° =9，则这个多边形是九边形.
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新课讲解
典例分析
1、六边形的每一个外角和相邻的内角有什么关系？
任意一个外角加上与它相邻的内角等于180°.
2、六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？
E 5
4 D 3
F 6
A1
C 2 B
每一个外角加上与它相邻的内角等于180°，所以六个外角加 上与它们相邻的内角等于180°×6.
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A2 P A3 (2)
D
C
D
F
E
A
B
A
C
A B
多了什么？如何处理？
E D
C B
该图中n边形共有n个三角形，故所有三角 形内角和为n×180 °，但每个图中都有一个 以红圈圈住的点，它是一个圆周角360 °，因 此n边形的内角和为
n×180 °- 360 °= (n-2)×180 °
D A
B
C
D
E
360°÷30°＝12。
例题、已知两个多边形的内角和为1440°，且 两多边形的边数之比为1︰3，求它们的边数分 别是多少？
解:设它们的边数分别是x,y.由题意得： （x-2）·180+（ y -2）·180=1440
x : y=1 : 3 解之得 x =3
y =9 答：它们的边数分别是3和9。
1080°
C
三角形的三个外角 之和为3600
（2）四边形的外角和等于多少度？
C
3
4
D
B
2
1
A
（3）五边形的外角和怎么求？n边形呢？
猜想与说理:
n边形的外角和是多少度呢?
答:都是360°.因为多边形的外角与它相邻 的内角是邻补角，所以n边形的外角和加内角 和等于n·180°，内角和为(n－2)·180°,因此， 外角和为：n·180°－(n－2)·180°= 360°.
（2）你是怎样求的？
(1)从顶点A可以画几条对
D
角线？分别是哪几条？
E
(2)这样五边形被分成了
C 几个三角形？
A
B
(3)五边形的内角和是多少
度？
你来探索六边形的内角和，你一定行！
A
F
B
被分得三角形个数 4
E
C
六边形的内角和 4×180°
D
这种探索方法你掌握了吗？请完成下表
多边形的
边数
3 4 5 6 7…
n
分成的三
角形个数 1
2
3
4 5 … n-2
多边形的 内角和
180°
180°
×2
180°
×3
180°
×4
180°
×5
…
(n-2) ×180
想一想：从表中你能发现什么？
n边形的内角和等于(n－2)．180°
想一想
你还有其他的方法将多边形分割成三角形吗？
An
A5
A1
P
A4
A2
A3
(1)
An
A5
A1
A4
❖ ３、三角形的内角和是_1_8_0_0_度．
❖ ４、你能够利用三角形的内角和求四边形
的内角和吗？试试看？
A
D
四边形的内角和为360０
思路：多边形问题转化
为三角形问题来解决．
B
C
113多边形及其 内角和
长方形的内角和是 多少？为什么？
如果是任意 四边形呢？
A B
C
（1）四边形ABCD的内角 D 和是多少？
D 对角线
113多边形及其内角和
B 7
2
A 1
6
内角 内角：多边形相邻两边组成的角
5
10
C8 3
9 4
D
外角
外角：多边形的边与它的邻边 的延长线组成的角。
113多边形及其内角和
✓你能说出这两幅图形的异同点吗？
（1）
（2）
ü 如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线， 整个四边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形 就是凸多边形。本节我们只讨论凸多边形。
113多边形及其内角和
15
（4）已知四边形4个内角的度数比是1︰2︰3︰4，
那么这个四边形中最大角的度数是 144°
。
（5）一个五边形的三个内角是直角，另两个内角
都是n°，则n= 135° 。
（6）六角螺母的面是六边形，它的内12角0都°相等，则
这个六边形的每个内角是
。
（7）在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，那么∠B
A
F C
A B
E D
C B
多了什么？如何处理？
这种分割方式，将多边形分成n-1个三角形， 故所有三角形的内角和为（n-1）×180 °，边 上一点周围所形成的平角不是多边形的内角， 因此n边形的内角和为
（n-1）×180 °- 180 °= (n-2)×180 °
例1：求八边形的内角和的度数。
解：（n－2）×180°＝（8－2）×180° ＝1080°
答：八边形的内角和为1080°。
例2：一个正多边形的一个内角为150°，
你知道它是几边形吗？
解：设 这个多边形为n边形，根据题意得： （n－2）×180＝1５0n n＝12
答：这个多边形是12边形。
另解：由于多边形外角和等于360° 而这个正多边形的每个外角都等于
180°－150°＝30°， 所以这个正 多边形的边数等于
(3)在上图中，你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5 的大小吗？你是怎样得到的？
113多边
形及其 内（1角）什和么是三角形的外角？外角有什么性
质？
（2）类似地，在多边形中找出
外角
D
E
多边形的一边Hale Waihona Puke 另一边的延长线的夹角，叫做多边
A
形的外角。
C
B
F
做一做
（1）如图，求△ABC的三个外角的和。
A
2
B3
1
观察下列图案
由这图形你抽象出什么几何图形？
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形？
三角形
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形？
长方形
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形？
四边形
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形？
六边形
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形？
八边形
113多边形及其内角和
三角形 长方形 四边形 六边形
你能仿照三角形的定义给出多边形的 定义吗？ 在平面内，由若干条不在同一条直线 上的线段首尾顺次相连组成的封闭图
八边形 形叫做多边形。
了解一下
可表示为：五边形ABCDE或
五边形DCBAE
A
内角
顶点
E
B
边 C
对角线：连接多边形不相邻的两个顶 点的线段。
与∠D有什么关系呢？为什么？
问题
1A
大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持
5
跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是 B
E
小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑， 按逆时针方向跑步的效果图. 请你观察并
2
4
思考如下几个问题:
CD
3
(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身
体转过的角是哪个角？在图中标出它们.
(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
113多边形及 其内角和
观察下面多边形，它们的边，角有什么特点？
在平面内，内角都相等，边也都 相等的多边形叫做正多边形
❖ 1、在平面内，_由_一_些__线_段_首__尾_顺__次_相_接__组_成_的__图_形 叫做多边形。
❖ ２、在多边形中连接_多__边_形_不__相_邻_的__两_个__顶_点_的_线段 的线段叫做多边形的对角线。
113多边形及其内 角和
在△ABC中，
（1）∠C = 90º,∠B=30º, 则 ∠A =
º；
（2）∠A = 100º,∠B=∠C , 则 ∠B =
º；
（3）若△ABC中的三个内角度数之比为2：3：4，
则相应外角之比为
．
（4）三角形的三个内角中，最多有 个锐角，最
多有 个直角，最多有
个钝角．
§11.3多边形及其内角 和