等差数列的性质练习 含答案
小学数学《等差数列》练习题(含答案)
小学数学《等差数列》练习题（含答案）你还记得吗【复习1】你能给大家说一说有关等差数列的性质、结论以及相关公式吗？呵呵！快快举手，多多赢得小印章！分析：以下答案仅供参考！（1） 先介绍一下一些定义和表示方法：定义：从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列我们称它为等差数列.譬如：2、5、8、11、14、17、20、…… 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、…… 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列（2） 首项：一个数列的第一项，通常用a 1表示；末项：一个数列的最后一项，通常用a n 表示，它也可表示数列的第n 项. 每个数列都有最后一项吗？数列分有限数列和无限数列；项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变得差，通常用d 来表示；和 ：一个数列的某些项的和，常用S n 来表示 .（3） 三个重要的公式：① 通项公式：末项=首项＋(项数-1)×公差1(1)n a a n d =+-⨯回忆讲解这个公式的时候我们可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让同学明白末项其实就是首项加上（末项与首项的）间隔的公差个数，或者从找规律的情况入手.同时我们还可延伸出来这样一个有用的公式：(),()n m a a n m d n m -=-⨯② 项数公式：项数=（末项-首项）÷公差＋1 （其实此公式是由①推导出来的，教师也可以帮助同学推导，可以为以后的解方程做好铺垫）由通项公式可以得到： 1()1n n a a d =-÷+ （1na a 若）；1n ()1n a a d =-÷+（1n a a 若）.找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的！譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、……、40、43、46 ，分析：配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是 3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组. 当然，我们还可以有其他的配组方法.③ 求和公式：和=（首项＋末项）×项数÷21()2n n s a a n =+⨯÷对于这个公式的得到我们可以从两个方面入手：（思路1）1＋2＋3＋…＋98+99+100＝101×50=5050（思路2）这道题目，我们还可以这样理解：即，和= (100＋1)×100÷2＝101×50＝5050（4）中项定理对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首相与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数.譬如：（1）4＋8＋12＋…＋32＋36=（4+36）×9÷2=20×9=180 ，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于20×9 ；（2）65＋63＋61＋…＋5＋3+1=（1+65）×33÷2=33×33=1089 ，题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于33×33 .如果是一个项数为偶数的等差数列，我们该如何运用这个公式呢？其实我们可以将其去掉一项，变成奇数项，求和之后再加上去掉的那一项 .中项定理也可用在速算与巧算中.譬如：计算：124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68分析：这是一列等差数列，项数是奇数，中间数是524.68，所以可以用5×524.68=2623.4 .等差数列是小学奥数的一个重要知识，无论是竞赛还是小升初都是一个考核的重点.一部分题目是直接考数列，但更多的是结合到找规律、周期等问题进行考核.复习题目的重点就是让学生熟练掌握等差数列的求和、末项和项数的求解.不能让学生去单纯的背公式，而应该把原理讲透.【复习2】某剧院有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位.问：这个剧一共有多少个座位？分析：首项：70-(25-1)×2=22 ，座位总数：(22+70)×25÷2=1150．【复习3】小明从1月1日开始写大字。
经典等差数列练习题（含答案）
经典等差数列练习题（含答案）等差数列一、选择题：1.2005是数列7,13,19,25,31, ,中的第（）项.A.332B.333C.334D.3352.已知等差数列首项为2，末项为62，公差为4，则这个数列共有（）A．13项B．14项C．15项D．16项3.已知等差数列的通项公式为a n3na,a为常数，则公差d=（）4.首项为24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）A.d 8 8D.8B.d3C. d3 d33 3 3（）A．第22项B．第21项C．第20项D．第19项6. 已知数列a，-15，b，c，45 是等差数列，则a+b+c 的值是( )A．-5 B ．0 C ．5 D ．10( ) A．45 B ．48 C ．52 D ．558.已知等差数列的首项a1和公差d是方程x2-2x-3=0 的两根，且知d＞a1，则这个数列的第30项是( ）A．86 B．85 C．84D．83()A．3B．2C．1D．-110、若x≠y，且两个数列：x，a1，a2，y 和x，b1，b2，b3，y 各成等差数列，那么a1x()(A) 3(B) 4(C) 2 (D)值不确定y b3 4 3 3二填空题1．等差数列a n中,a29,a533,则a n的公差为______________。
2．数列{a n}是等差数列，a47 ，则s7_________3.等差数列a n中，a3a524，a23，则a621.4．在等差数列{a n}中，若a4a6a8a10 a12 120，则2a10a12 .5.在首项为31，公差为－4的等差数列中，与零最接近的项是6.如果等差数列a n的第5项为5，第10项为5，则此数列的第1个负数项是第项.7.已知{a n}是等差数列，且a4a7a1057,a4a5a6a14 77,若ak13,则k=8．在△ABC中，A，B，C成等差数列，则tan A tan C3tan A tanC.三、解答题：2 22 21.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式。
等差数列练习题附答案
等差数列练习题附答案一、选择题1、已知等差数列{an}中，S10=120，那么a1+a10=（）A.12B.24C.36D.482、已知等差数列{an}，an=2n-19，那么这个数列的前n项和Sn（）A.有最小值且是整数B.有最小值且是分数C.有最大值且是整数 D.有最大值且是分数3、已知等差数列{an}的公差d=1/80，a2+a4+⋯+a100=80，那么S100=（）A.135B.160C.120D.1954、已知等差数列{an}中，a2+a5+a9+a12=60，那么S13=（）A.390B.195C.180D.1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（）A.90B.180C.3606、等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为（）A.130B.170C.210D.2607、在等差数列{an}中，a2=-6，a8=6，若数列{an}的前n 项和为Sn，则（）A.S4<S5B.S4=S5C.S6<S5D.S6=S58、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（）A.13B.12C.11D.109、已知某数列前n项之和n，且前n个偶数项的和为n(4n+3)，则前n个奇数项的和为（）A.-3n(n+1)B.n(4n-3)C.-3nD.2n/310、若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（）A.6B.8C.10D.12二、填空题1、等差数列{an}中，若a6=a3+a8，则S9=.2、等差数列{an}中，若Sn=3n+2n，则公差d=.3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是.4、已知等差数列{an}的公差是正整数，且a3⋅a7=-12，a4+a6=-4，则前10项的和S10=.5、一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为项是.6、两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，则XXX=.一、选择题1、已知等差数列{an}中，S10=120，则a1+a10=（）A.12B.24C.36D.482、已知等差数列{an}，an=2n-19，则这个数列的前n项和Sn（）A.有最小值且是整数B.有最小值且是分数C.有最大值且是整数 D.有最大值且是分数3、已知等差数列{an}的公差d=1/80，a2+a4+⋯+a100=80，那么S100=（）A.135B.160C.120D.1954、已知等差数列{an}中，a2+a5+a9+a12=60，则S13=（）A.390B.195C.180D.1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（）A.90B.180C.3606、等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为（）A.130B.170C.210D.2607、在等差数列{an}中，a2=-6，a8=6，若数列{an}的前n 项和为Sn，则（）A.S4<S5B.S4=S5C.S6<S5D.S6=S58、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（）A.13B.12C.11D.109、已知某数列前n项之和n，且前n个偶数项的和为n(4n+3)，则前n个奇数项的和为（）A.-3n(n+1)B.n(4n-3)C.-3nD.2n/310、若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（）A.6B.8C.10D.12二、填空题1、等差数列{an}中，若a6=a3+a8，则S9=.2、等差数列{an}中，若Sn=3n+2n，则公差d=.3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是.4、已知等差数列{an}的公差是正整数，且a3⋅a7=-12，a4+a6=-4，则前10项的和S10=.5、一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为项是.6、两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，则XXX=.1.在等差数列{an}中，已知a4=0.8，a11=2.2，求a51+a52的值。
等差数列的性质2
(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.
a4+a7=28 ①
解 ①、 ② 得 又 a4a7=187 ② ，
解： a4+a5+a6+a7=56
a4= 17
a7= 11
或
a4= 11 a7= 17
∴d= _2或2, 从而a14= _3或31
练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ B ) A . -1 B. 1 C .-2 D. 2
{an＋bn}，{an－bn}，仍是等差数列，且公差分别为： d1＋d2，d1－d2
等差数列的其它性质：
(2)若{an}、{bn}分别是公差为 d1、d2 的等差数列，则下 列{pan＋qbn}(p、q 是常数)是公差为 pd1＋qd2 的等差数列． 3． {an}的公差为 d， 则 d>0⇔{an}为 递增 数列； d<0⇔{an} 为 递减 数列；d＝0⇔{an}为 常 数列．
【方法总结】
等差数列性质较多，利用数列性质
解题，方法灵活，计算简化，应多加思考，培养学生的 发散思维能力．
a2 变式练习 4 数列{an}满足 a1＝ 2a， an＋ 1＝ 2a－ (n an 1 ∈ N )，其中 a 是不为零的常数，令 bn＝ . an － a
*
(1)数列{bn}构成什么数列？并证明你的结论； (2)求数列{an}的通项公式．
[解析] a3＋ a6＋ a9＋ „＋ a99＝ (a1＋ 2d)＋ (a4＋ 2d)＋ (a7＋ 2d) ＋ „„＋ (a97＋2d)＝(a1＋a4＋a7＋„＋a97)＋2d×33＝50＋(－4)×33＝－82.
(完整版)等差数列练习题有答案
数列A 、等差数列知识点及例题一、数列由与的关系求n a n S na 由求时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的n S n a 形式表示为。
11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩〖例〗根据下列条件，确定数列的通项公式。
{}na 分析：（1）可用构造等比数列法求解；（2）可转化后利用累乘法求解；（3）将无理问题有理化，而后利用与的关系求解。
n a n S 解答：（1）（2）……累乘可得，故（3）二、等差数列及其前n 项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，，第二种是利用等差中项，即。
1()(2)n n a a d n --=≥常数112(2)n n n a a a n +-=+≥2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。
（1）通项法：若数列{}的通项公式为n 的一次函数，即=An+B,则{}是等差数列；n a n a n a （2）前n 项和法：若数列{}的前n 项和是的形式（A ，B 是常数），则{}是等差数列。
n a n S 2n S An Bn =+n a 注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例〗已知数列{}的前n 项和为，且满足n a n S 111120(2),2n n n n S S S S n a ---+=≥=A （1）求证：{}是等差数列；1nS （2）求的表达式。
n a 分析：（1）与的关系结论；1120n n n n S S S S ---+=A →1n S 11n S -→（2）由的关系式的关系式1nS →n S →n a 解答：（1）等式两边同除以得-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}是以==2为首1n n S S -A 11n S -1n S 1n S 11n S -1n S 11S 11a 项，以2为公差的等差数列。
等差数列典型例题及详细解答
1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d __表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项 如果A ＝a ＋b2，那么A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n a 1＋a n2或S n ＝na 1＋n n －12d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( × ) (5)数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝n ，则数列{a n }是等差数列．( × )(6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( √ )1．(2015·重庆)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6 答案 B解析 由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.2．(2014·福建)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 答案 C解析 由题意知a 1＝2，由S 3＝3a 1＋3×22×d ＝12，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C.3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 答案 B 解析 S 11＝11a 1＋a 112＝11a 4＋a 82＝88.4．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35 答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.5．(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大．题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( ) A ．2 B ．10(2)已知在等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项和S 10等于( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400答案 (1)C (2)B解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S 10＝10×(－2)＋10×10－12×12＝52.(2)因为a 2＝7，a 4＝15，所以d ＝4，a 1＝3， 故S 10＝10×3＋12×10×9×4＝210.思维升华 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．(1)(2015·课标全国Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5等于( )A ．5B ．7C ．9D ．11(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )B ．1C ．2D ．3 答案 (1)A (2)C解析 (1)∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3， ∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，得a 3＝1， ∴S 5＝5a 1＋a 52＝5a 3＝5.故选A.(2)∵S n ＝n a 1＋a n2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又S 33－S 22＝1，得a 1＋a 32－a 1＋a 22＝1，即a 3－a 2＝2，∴数列{a n }的公差为2.题型二 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解 由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究例2中，若条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，探求数列{a n }的通项公式．解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1， 即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴a n ＝n 2－25n .思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．(1)若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( )A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列(2)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 (1)C (2)A解析 (1)∵a 2n －1＋2a 2n －(a 2n －3＋2a 2n －2) ＝(a 2n －1－a 2n －3)＋2(a 2n －a 2n －2) ＝2＋2×2＝6，∴{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列． (2)由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n＝n ，即a n ＝1n.题型三 等差数列的性质及应用命题点1 等差数列的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. (2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 答案 (1)10 (2)60解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20， ∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60. 命题点2 等差数列前n 项和的最值例4 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值． 解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.方法一 由a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653. 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.方法二 S n ＝20n ＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三 由S 10＝S 15得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 引申探究例4中，若条件“a 1＝20”改为a 1＝－20，其他条件不变，求当n 取何值时，S n 取得最小值，并求出最小值．解 由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0， ∴a 13＝0.又a 1＝－20，∴a 12<0，a 14>0， ∴当n ＝12或13时，S n 取得最小值， 最小值S 12＝S 13＝13a 1＋a 132＝－130.思维升华 (1)等差数列的性质：①项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．②和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则a ．S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；b ．S 2n －1＝(2n －1)a n .(2)求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法：①函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． ②邻项变号法：a ．当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；b ．当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .(1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8(2)设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n 的值为( )A ．5B ．6C ．5或6D ．11(3)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________． 答案 (1)B (2)C (3)110解析 (1)依题意得2a 6＝4,2a 7＝－2，a 6＝2＞0，a 7＝－1＜0；又数列{a n }是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当S n 取最大值时，n ＝6，选B.(2)由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大，选C. (3)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，代入求和公式得，S n ＝na 1＋n n －12d ＝20n －n n －12×2＝－n 2＋21n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110.6．等差数列的前n 项和及其最值典例 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( ) A ．45 B ．60 C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.(3)等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 4 B ．S 5 C ．S 6 D ．S 7思维点拨 (1)求等差数列前n 项和，可以通过求解基本量a 1，d ，代入前n 项和公式计算，也可以利用等差数列的性质：a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…；(2)求等差数列前n 项和的最值，可以将S n 化为关于n 的二次函数，求二次函数的最值，也可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项． 解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9， 所以S 10＝10a 1＋a 102＝10a 3＋a 82＝10×92＝45.(2)方法一 设数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.方法二 因为S 100－S 10＝a 11＋a 100×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2， 所以S 110＝a 1＋a 110×1102＝a 11＋a 100×1102＝－110.(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，所以S n 的最大值为S 5. 答案 (1)A (2)－110 (3)B温馨提醒 (1)利用函数思想求等差数列前n 项和S n 的最值时，要注意到n ∈N *； (2)利用等差数列的性质求S n ，突出了整体思想，减少了运算量．[方法与技巧]1．在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a 1，d 的方程组进行求解．2．证明等差数列要用定义；另外还可以用等差中项法，通项公式法，前n 项和公式法判定一个数列是否为等差数列．3．等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a ，a ＋d ，a ＋2d ；(2)a －d ，a ，a ＋d ；(3)a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等，可视具体情况而定． [失误与防范]1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数． 2．公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列． 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B.2．(2015·北京)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0 答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2>0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故选项A 错；若a 1＋a 3<0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故选项B 错；若0<a 1<a 2，可知a 1>0，d >0，a 2>0，a 3>0，所以a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2>0，所以a 2>a 1a 3，故选项C 正确；若a 1<0，则(a 2－a 1)·(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故选项D 错．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 C解析 ∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0，解得m ＝5，经检验为原方程的解，故选C.4．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( )A ．0B ．3C ．8D ．11答案 B解析 设{b n }的公差为d ，∵b 10－b 3＝7d ＝12－(－2)＝14，∴d ＝2. ∵b 3＝－2，∴b 1＝b 3－2d ＝－2－4＝－6. ∴b 1＋b 2＋…＋b 7＝7b 1＋7×62d＝7×(－6)＋21×2＝0.又b 1＋b 2＋…＋b 7＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝a 8－a 1＝a 8－3＝0， ∴a 8＝3.故选B.5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．7或8 D ．8或9 答案 C解析 由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或8，故选C. 6．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 答案 14解析 由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4， 故a 10＝14.7．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________. 答案 2n －1解析 设等差数列的公差为d ， ∵a 3＝a 22－4，∴1＋2d ＝(1＋d )2－4， 解得d 2＝4，即d ＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.8．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 答案 130解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.9．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12n －1＝n －1－n 2n n －1＝－12n n －1.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －1，n ≥2.10．等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大解 方法一 由S 3＝S 11得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，又a 1＞0，所以－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大． 方法二 由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象关于n ＝3＋112＝7对称．由方法一可知a ＝－a 113＜0，故当n ＝7时，S n 最大． 方法三 由方法一可知，d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，解得≤n ≤，故当n ＝7时，S n 最大． 方法四 由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0， 即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1＞0，S 3＝S 11可知d ＜0， 所以a 7＞0，a 8＜0，所以当n ＝7时，S n 最大．B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则( ) A ．S n 的最大值是S 8 B ．S n 的最小值是S 8 C ．S n 的最大值是S 7 D ．S n 的最小值是S 7答案 D解析 由条件得S n n ＜S n ＋1n ＋1，即n a 1＋a n 2n ＜n ＋1a 1＋a n ＋12n ＋1，所以a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }为递增数列．又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，即数列{a n }前7项均小于0，第8项大于零，所以S n 的最小值为S 7，故选D.12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－12，则正整数k ＝________.答案 13解析 S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212，又S k ＋1＝k ＋1a 1＋a k ＋12＝k ＋1⎝⎛⎭⎪⎫－3＋322＝－212，解得k ＝13.13．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．答案1941解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 6b 6＝1941. 14．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a n a n，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－8，－7)解析 依题意得b n ＝1＋1a n，对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8，即数列{b n }的最小项是第8项，于是有1a n ≥1a 8.又数列{a n }是公差为1的等差数列，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 8＜0，a 9＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＜0，a ＋8＞0，由此解得－8＜a ＜－7，即实数a 的取值范围是(－8，－7)．15．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求通项a n ； (2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c，求非零常数c .解 (1)因为数列{a n }为等差数列， 所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117， 所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d ＞0，所以a 3＜a 4， 所以a 3＝9，a 4＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.所以通项a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4， 所以S n ＝na 1＋n n －12×d ＝2n 2－n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －142－18.所以当n ＝1时，S n 最小， 最小值为S 1＝a 1＝1. (3)由(2)知S n ＝2n 2－n ， 所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn ＋c，所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .因为数列{b n }是等差数列， 所以2b 2＝b 1＋b 3， 即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c， 所以2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)，经验证c ＝－12时，{b n }是等差数列，故c ＝－12.。
等差数列测试题含答案
等差数列测试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．等差数列1＋x ，2x ＋2，5x ＋1，…的第四项等于( ) A ．10B ．6C ．8D ．122．在等差数列{}n a 中，若2810a a +=.，则()24652a a a +-=（ ） A ．100B ．90C ．95D ．203．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 分别满足下列各式，其中数列{}n b 必为等差数列的是（ ） A ．||n n b a =B ．2n n b a =C ．1n nb a =D ．2nn a b =-4．在等差数列{}n a 中，11a =，513a =，则数列{}n a 的前5项和为（ ） A ．13B ．16C ．32D ．355．在等差数列{}n a 中，若39717,9a a a +==，则5a =（ ） A ．6B ．7C ．8D ．96．在等差数列{}n a 中，124a a +=，7828a a +=，则数列的通项公式n a 为（ ） A ．2nB ．21nC ．21n -D ．22n +7．已知数列{}n a 是等差数列，71320a a +=，则91011a a a ++= ( ) A ．36B ．30C ．24D ．18．已知数列{}n a 是首项为2，公差为4的等差数列，若2022n a =，则n = （ ） A ．504B ．505C ．506D ．5079．已知数列{}n a 满足13n n a a +=-，127a =，*n ∈N ，则5a 的值为（ ） A ．12B ．15C ．39D ．4210．已知等差数列{}n a 满足3456790a a a a a ++++=，则28a a +等于（ ） A ．18B ．30C ．36D ．4511．在等差数列{}n a 中，143,24a a ==，则7a = A ．32B ．45C ．64D ．9612．设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，若244,6a a ==，则d = （ ）A ．4B ．3C ．2D ．113．在等差数列{}n a 中，若3712a a +=，则5a =（ ） A ．4B ．6C ．8D ．1014．在等差数列{}n a 中，若3691215120a a a a a ++++=，则12183a a -的值为（ ） A ．24B ．36C ．48D ．6015．在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则8910a a a ++=（ ） A ．72B ．60C ．48D ．3616．已知数列{}n a 是等差数列，且66a =，108a =，则公差d =（ ） A ．12B ．23C ．1D ．2二、填空题17．在数列{}n a 中，12a =，13n n a a +-=则数列{}n a 的通项公式为________________. 18．已知数列{}n a 中，12a =，25a =，212n n n a a a +++=，则100a =________ 19．在等差数列{}n a 中，47a =，2818a a +=，则公差d =__________．20．己知等差数列{}n a 满足：10a =，54a =，则公差d =______；24a a +=_______. 21．已知数列{}n a 对任意的,m n N +∈有mn m n a a a ++=，若12a =,则2019a =_______.参考答案1．C 【解析】 【分析】根据等差中项的性质求出x ，进而求出公差，得出答案. 【详解】解：由题意可得,(1＋x )＋(5x ＋1)＝2(2x ＋2) 解得x ＝1∴这个数列为2，4，6，8，… 故选C. 【点睛】本题考查了等差数列及等差中项的性质. 2．B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，即下标和相等对应项的和相等，得到28465210a a a a a +=+==. 【详解】数列{}n a 为等差数列，28465210a a a a a +=+==，∴()24652a a a +-=2101090-=.【点睛】考查等差数列的性质、等差中项，考查基本量法求数列问题. 3．D 【解析】 【分析】对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，选项A,B,C,都不满足1n n b b --=同一常数，所以三个选项都是错误的；对于选项D ，1112222n n n n n n a a a a d b b -----=-+==-, 所以数列{}n b 必为等差数列. 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的判定和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】直接利用等差数列的前n 项和公式求解. 【详解】数列{}n a 的前5项和为1555)(113)3522a a +=+=（. 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】通过等差数列的性质可得答案. 【详解】因为3917a a +=，79a =，所以51798a =-=. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，难度不大. 6．C 【解析】 【分析】直接利用等差数列公式解方程组得到答案.【详解】121424a a a d +=⇒+= 7812821328a a a d +=⇒+= 1211,2n n a d a ==⇒-=故答案选C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题型. 7．B 【解析】 【分析】通过等差中项的性质即可得到答案. 【详解】由于71310220a a a +==，故9101110330a a a a ++==，故选B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，难度较小. 8．C 【解析】 【分析】本题首先可根据首项为2以及公差为4求出数列{}n a 的通项公式，然后根据2022n a =以及数列{}n a 的通项公式即可求出答案。
2022年高中数学第二章数列2-2等差数列的性质练习含解析新人教A版必修
课时训练8 等差数列的性质一、等差数列性质的应用1.在等差数列{a n}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=( )A.12B.16C.20D.24答案:B2.等差数列{a n}中,若a2+a4 024=4,则a2 013=( )A.2B.4C.6D.-2答案:A解析:2a2013=a2+a4024=4,∴a2013=2.3.在等差数列{a n}中,a3+3a8+a13=120,则a3+a13-a8等于( )A.24B.22C.20D.-8答案:A解析:根据等差数列的性质可知a3+a13=2a8,所以已知等式可变为2a8+3a8=120,解得a8=24,所以a3+a13-a8=2a8-a8=a8=24.4.如果等差数列{a n}中,a1=2,a3=6,则数列{2a n-3}是公差为 的等差数列.答案:4解析:设数列{a n}的公差为d,则a3-a1=2d=4,∴d=2.∴数列{2a n-3}的公差为4.5.在等差数列{a n}中,a3=7,a5=a2+6,则a6= .答案:13解析:设等差数列{a n}的公差为d.∵a5=a2+6,∴a5-a2=6,即3d=6,d=2.∴a6=a3+3d=7+3×2=13.6.(2015河南郑州高二期末,14)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a= .答案:72解析:由等差数列的性质可得2b=2+9,解得b=112.又可得2a=2+b=2+112=152,解得a=154,同理可得2c=9+112=292,解得c=294,故c-a=294−154=144=72.二、等差数列的综合应用7.已知等差数列{a n}中,a7=π4,则tan(a6+a7+a8)等于( )A.-√33B.-√2C.-1D.1答案:C解析:在等差数列中,a6+a7+a8=3a7=3π4,∴tan(a6+a7+a8)=tan3π4=-1.8.已知数列{a n}是等差数列,a4=15,a7=27,则过点P(3,a3),Q(5,a5)的直线斜率为( )A.4B.14C.-4 D.-14答案:A解析:由数列{a n}是等差数列,知a n是关于n的一次函数,其图象是一条直线上的等间隔的点(n,a n),因此过点P(3,a3),Q(5,a5)的直线斜率即过点(4,15),(7,27)的直线斜率,所以直线的斜率k=27-157-4 =4.9.在等差数列{a n}中,若a4+a6+a8+a10+a12=90,则a10-13a14的值为( )A.12B.14C.16D.18答案:A解析:由等差数列的性质及a4+a6+a8+a10+a12=90得5a8=90,即a1+7d=18,∴a10-13a14=a1+9d-13(a1+13d)=23(a1+7d)=23×18=12,故选A.10.数列{a n}满足a1=1,a n+1=(n2+n-λ)a n(n=1,2,…),λ是常数.(1)当a2=-1时,求λ与a3的值;(2)数列{a n}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,请说明理由.解:(1)由条件得a2=(2-λ)a1,又a1=1,a2=-1,所以λ=3,从而a3=(22+2-3)a2=-3.(2)假设数列{a n}是等差数列,由a1=1,a n+1=(n2+n-λ)a n得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).由假设知2a2=a1+a3,即2(2-λ)=1+(6-λ)(2-λ),解得λ=3,于是a2=-1,a3=-3,a4=-27,所以a2-a1=-2,而a4-a3=-24,与数列{a n}是等差数列矛盾,故数列{a n}不可能是等差数列.(建议用时:30分钟)1.已知{a n}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于( )A.4B.5C.6D.7答案:C解析:由等差数列性质得a2+a8=2a5=12,所以a5=6.2.在等差数列{a n}中,a1+3a8+a15=120,则3a9-a11的值为( )A.6B.12C.24D.48答案:D解析:∵a1+a15=2a8,∴a1+3a8+a15=5a8.∴5a8=120,a8=24.而3a9-a11=3(a8+d)-(a8+3d)=2a8=48.∴选D.3.若数列{a n}为等差数列,a p=q,a q=p(p≠q),则a p+q为( )A.p+qB.0C.-(p+q)D.p+q2答案:B解析:公差d=p-qq-p=-1,∴a p+q=a p+(p+q-p)d=q+q×(-1)=0.4.由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,a n,…组成一个数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…,下列说法正确的是( )A.该新数列不是等差数列B.是公差为d的等差数列C.是公差为2d的等差数列D.是公差为3d的等差数列答案:C解析:∵(a n+1+a n+3)-(a n+a n+2)=(a n+1-a n)+(a n+3-a n+2)=2d,∴数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列.5.已知{a n}为等差数列,若a1+a5+a9=8π,则cos(a3+a7)的值为( )A.√32B.-√32C.12D.-12答案:D解析:∵{a n}为等差数列,a1+a5+a9=8π,∴a5=83π,cos(a3+a7)=cos(2a5)=cos163π=-12.6.等差数列{a n}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d= . 答案:-6解析:由题知d=a8-a38-3=-305=-6.7.在等差数列{a n}中,已知a8+m=10,a8-m=6,其中m∈N*,且1≤m≤7,则a8= . 答案:8解析:∵a 8+m +a 8-m =2a 8,∴a 8=8.8.如果有穷数列a 1,a 2,…,a m (m 为正整数)满足条件:a 1=a m ,a 2=a m-1,…,a m =a 1,则称其为“对称”数列.例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{c n }中,c 11,c 12,…,c 21是以1为首项,2为公差的等差数列,c 2= .答案:19解析:因为c 11,c 12,…,c 21是以1为首项,2为公差的等差数列,又{c n }为21项的对称数列,所以c 2=c 20=c 11+9d=1+9×2=19.9.已知等差数列{a n }中,a 1+a 4+a 7=15,a 2a 4a 6=45,求此数列的通项公式.解:∵a 1+a 7=2a 4,∴a 1+a 4+a 7=3a 4=15.∴a 4=5.又∵a 2a 4a 6=45,∴a 2a 6=9.即(a 4-2d )(a 4+2d )=9,即(5-2d )(5+2d )=9,解得d=±2.若d=2,a n =a 4+(n-4)d=2n-3;若d=-2,a n =a 4+(n-4)d=13-2n.10.已知{a n }为等差数列,a 15=8,a 60=20,求a 75.解:解法一:因为{a n }为等差数列,∴a 15,a 30,a 45,a 60,a 75也成等差数列,设其公差为d ,a 15为首项,则a 60为其第4项,∴a 60=a 15+3d ,得d=4.∴a 75=a 60+d=20+4=24.解法二:设{a n }的公差为d ,因为a 15=a 1+14d ,a 60=a 1+59d ,∴{a 1+14d =8,a 1+59d =20,解得{a 1=6415,d =415.故a 75=a 1+74d=6415+74×415=24.。
等差数列的性质练习 含答案
时间：45分钟满分：100分课堂训练1．若一个数列的通项公式是a n＝k·n＋b(其中b，k为常数)，则下列说法中正确的是( )A．数列{a n}一定不是等差数列B．数列{a n}是以k为公差的等差数列C．数列{a n}是以b为公差的等差数列D．数列{a n}不一定是等差数列【答案】B【解析】a n＋1－a n＝k(n＋1)＋b－kn－b＝k.2．等差数列中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝420，则a2＋a10等于( )A．100 B．120C．140 D．160【答案】B【解析】∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝7a6＝420，则a6＝60，∴a2＋a10＝2a6＝2×60＝120.3．在等差数列{a n}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.【答案】99【解析】a15，a25，a35成等差数列，∴a35＝2a25－a15＝99.4．已知单调递增的等差数列{a n}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{a n}的通项公式．【分析】关键是求出数列{a n}的首项和公差．【解析】由于数列为等差数列，因此可设等差数列的前三项为a －d ，a ，a ＋d ，于是可得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝21，a －d a a ＋d ＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝21，a a 2－d2＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d 2＝16，由于数列为单调递增数列，因此d ＝4，a 1＝3，从而{a n }的通项公式为a n ＝4n －1.【规律方法】 此解法恰到好处地设定等差数列的项，为我们的解题带来了极大的方便，特别是大大降低了运算量．一般来说，已知三个数成等差数列时，可设成：a －d ，a ，a ＋d ，四个数成等差数列时，可设成：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，其余依此类推，如五个可设成：a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d .课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 9＝5，则a 7＝( ) A ．4 B ．－4 C ．7 D ．1【答案】 A【解析】 由题意知a 7为a 5，a 9的等差中项，故a 7＝12(a 5＋a 9)＝12×(3＋5)＝4.2．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13的值为( )A ．20B ．30C ．40D ．50 【答案】 C【解析】 ∵a 3＋a 11＝a 5＋a 9＝2a 7，∴a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝5a 7＝100， ∴a 7＝20.∴3a 9－a 13＝3(a 7＋2d )－(a 7＋6d )＝2a 7＝40.3．在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为( )A ．30B ．27C ．24D ．21【答案】 B【解析】 方法一：由等差数列的性质知，a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9成等差数列，所以(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)＝2(a 2＋a 5＋a 8)，则a 3＋a 6＋a 9＝2×33－39＝27. 方法二：(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7) ＝3d (d 为数列{a n }的公差)，则d ＝－2，a 3＋a 6＋a 9＝(a 2＋a 5＋a 8)＋3d ＝33－6＝27.4．把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 17是较小的两份之和，问最小的1份是( )【答案】 C【解析】 设这5份为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ， 由已知得a ＝20，且17(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d ，∴d ＝556，∴a －2d ＝53. 5．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2a 4＝12，a 1＋a 5＝8，则其通项公式为( )A ．a n ＝2n －2B ．a n ＝2n ＋4C ．a n ＝－2n ＋12D ．a n ＝－2n ＋10【答案】 D【解析】 由等差数列的性质得a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝8. 又a 2a 4＝12，所以a 2，a 4为方程x 2－8x ＋12＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，a 4＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6，a 4＝2.当a 2＝2，a 4＝6时，d ＝a 4－a 24－2＝2>0(舍去)， 当a 2＝6，a 4＝2时，d ＝a 4－a 24－2＝－2.所以数列的通项公式为a n ＝a 2＋(n －2)d ＝6＋(n －2)×(－2)＝－2n ＋10.即a n ＝－2n ＋10.6．设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )A ．0B ．37C ．100D ．－37【答案】 C【解析】 设{a n }，{b n }的公差分别是d 1，d 2，∴(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列． 又∵a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100， ∴a 37＋b 37＝100. 故正确答案为C.7．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．－5【答案】 C【解析】 设该数列的公差为d ，则由题设条件知：a 6＝a 1＋5d >0，a 7＝a 1＋6d <0.又∵a 1＝23，∴⎩⎪⎨⎪⎧d >－235，d <－236，即－235<d <－236.又∵d 是整数，∴d ＝－4，故选C.8．已知数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1、b 1，且a 1＋b 1＝5，a 1，b 1∈N ＋.设c n ＝ab n (n ∈N ＋)，则数列{c n }的前10项和等于( )A ．55B ．70C ．85D ．100【答案】 C【解析】 由题c n ＝ab n (n ∈N ＋)，则数列{c n }的前10项和等于ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝ab 1＋ab 1＋1＋…＋ab 1＋9.∵ab 1＝a 1＋(b 1－1)＝4，∴ab 1＋ab 1＋1＋…＋ab 1＋9＝4＋5＋…＋13＝85. 二、填空题(每小题10分，共20分)9．已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________.【答案】1【解析】∵a1＋a3＋a5＝105，即3a3＝105，∴a3＝35，同理a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2，∴a20＝a4＋(20－4)d＝1.10．等差数列{a n}中，a1＋a4＋a10＋a16＋a19＝150，则a18－2a14＝________.【答案】－30【解析】由a1＋a4＋a10＋a16＋a19＝5a10＝150，得a10＝30，a18－2a14＝(a10＋8d)－2(a10＋4d)＝－a10＝－30.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(1)已知数列{a n}为等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，求a3＋a15.(2)在等差数列{a n}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{a n}的通项公式．【解析】(1)方法一：∵数列{a n}是等差数列，∴设数列{a n}的首项为a1，公差为d，则由题意得a1－(a1＋4d)＋(a1＋8d)－(a1＋12d)＋(a1＋16d)＝117，∴a1＋8d＝117.从而a3＋a15＝(a1＋2d)＋(a1＋14d)＝2(a1＋8d)＝234.方法二：由等差数列的性质知，a1＋a17＝a5＋a13＝a3＋a15＝2a9.∵a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，∴a9＝117，∴a3＋a15＝2a9＝234.(2)∵a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，a2＋a8＝a3＋a7＝2a5，∴a5＝3，∴a3＋a7＝2a5＝6，a3a7＝－7，解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.又a7＝a3＋4d，∴当a3＝－1，a7＝7时，可得d＝2；当a3＝7，a7＝－1时，可得d＝－2.根据a n＝a3＋(n－3)d，可得当a3＝－1，d＝2时，a n＝2n－7；当a3＝7，d＝－2时，a n＝－2n＋13.12．已知无穷等差数列{a n}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{b n}．(1)求b1和b2；(2)求{b n}的通项公式；(3){b n}中的第503项是{a n}的第几项？【解析】数列{b n}是数列{a n}的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{a n}是等差数列，则{b n}也是等差数列．(1)∵a1＝3，d＝－5，∴a n＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n.数列{a n}中序号能被4除余3的项是{a n}中的第3项，第7项，第11项，…，∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.(2)设{a n}中的第m项是{b n}的第n项，即b n＝a m，则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，∴b n＝a m＝a4n－1＝8－5(4n－1)＝13－20n.即{b n}的通项公式为b n＝13－20n.(3)b503＝13－20×503＝－10 047，设它是{a n}中的第m项，则－10 047＝8－5m，则m＝2 011，即{b n}中的第503项是{a n}中的第2 011项．。
等差数列专题(有答案) 百度文库
一、等差数列选择题1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ）A ．121B ．161C ．141D ．1512．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大212，则该数列的项数是（ ） A ．8B ．4C ．12D ．163．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200B ．100C ．90D ．804．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（ ） A ．72B ．90C ．36D ．455．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A ．45B ．50C ．60D ．806．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（ ） A ．1n -B ．nC ．21n -D ．2n7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列8．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160B ．180C ．200D ．2209．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．210．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21B ．20C ．19D ．19或2011．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ） A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =12．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（ ） A ．2mB ．21m +C ．22m +D ．23m +13．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+，则63a b 的值为（ ） A ．511B ．38C ．1D ．214．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21SB ．20SC ．19SD ．18S15．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132a a +=，422a a -=，则5S =（ ） A ．21B ．15C ．10D ．616．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（ ）A ．7B ．9C ．21D ．4217．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若718a a a -<<-，则必定有（ ） A ．70S >，且80S < B ．70S <，且80S > C ．70S >，且80S > D ．70S <，且80S <18．若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（ ） A ．1010 B ．1011 C ．2020D ．202119．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（ ） A ．24B ．39C ．104D ．5220．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8B ．13C ．26D ．162二、多选题21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 22．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（ ）A ．7S 最小B ．130S =C ．49S S =D ．70a =23．(多选)在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．(){}1n- 是等方差数列C ．{}2n是等方差数列.D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列24．题目文件丢失！25．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 26．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 27．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值28．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．110S =B ．10n n S S -=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥ 29．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ）A ．60a >B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．0n S <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为21【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．B 【分析】由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即127a =所以231223161S a == 故选：B 2．A 【分析】设项数为2n ，由题意可得()21212n d -⋅=，及6S S nd -==奇偶可求解． 【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n ， 末项比首项大212， ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇，30S =偶，30246S S nd ∴-=-==奇偶②．由①②，可得32d =，4n =，即项数是8， 故选：A. 3．C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C 4．B 【分析】由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S . 【详解】由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，∴2444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，∴99(229)902S ⨯+⨯==，故选：B 【点睛】思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比，即2k m n a a a =； 2、等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=的应用. 5．C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选：C 【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题 6．B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差，则等差数列{}n a 的通项公式可求. 【详解】因为3518a S +=，633a a =+，所以11161218523a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩， 所以111a d =⎧⎨=⎩，所以()111n a n n =+-⨯=，故选：B. 7．D 【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 8．B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=， 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选：B 9．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 10．B 【分析】 由题得出1392a d =-，则2202n dS n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由11101921a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+， 解得1392a d =-，10a <，0d ∴>，()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上， ∴当20n =时，n S 最小.故选：B. 【点睛】方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 11．D 【分析】把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝133()()44n n x x+-＝33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝114444log log log log n n nnx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ． 【点睛】 方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法. 12．C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 13．C 【分析】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则63a b 可得． 【详解】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，可得当2n ≥时，()()221221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-，()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，()232n b n λ=+故622a λ=，322b λ=， 故631a b =. 【点睛】由n S 求n a 时，11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解． 14．B 【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392a d =-. 又10a >，所以0d <，因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭， 所以20S 最大. 故选：B. 15．C 【分析】根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组，求解出1,a d 的值，再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩，所以122222a d d +=⎧⎨=⎩，所以101a d =⎧⎨=⎩，所以5154550101102S a d ⨯=+=⨯+⨯=， 故选：C. 16．C 【分析】利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=，即可得113a =，再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()1212121632a a S +==， 所以1216a a +=，即1126a =，所以113a =， 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a ++++=++++++111111111122277321a a a a a =+++==⨯=，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出1216a a +=，进而得出113a =，()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=即可求解.17．A 【分析】根据已知条件，结合等差数列前n 项和公式，即可容易判断. 【详解】依题意，有170a a +>，180a a +< 则()177702a a S +⋅=>()()188188402a a S a a +⋅==+<故选：A . 18．B 【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】 由121()2n n a a n N *++=∈，则11()2n n a a n N *+=+∈， 即112n n a a +-=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列，所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=， 所以2021a =2021110112+=. 故选：B 19．D 【分析】根据等差数列的性质计算求解． 【详解】由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==，74a =，∴11313713()13134522a a S a +===⨯=． 故选：D ． 20．B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =，又()1131371313131132a a S a +===⨯=， 故选：B. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.二、多选题21．ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；故选：ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换. 22．BCD 【分析】由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=，求出1a 与d 的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】设等差数列数列{}n a 的公差为d .由13522,a a S +=有()1112542252a a a d d ⨯+=++，即160a d += 所以70a =,则选项D 正确. 选项A. ()71176773212S a d a d d ⨯=+=+=-,无法判断其是否有最小值，故A 错误. 选项B. 113137131302a S a a +=⨯==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =，故C 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件13522,a a S +=得到160a d +=，即70a =，然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,属于中档题. 23．BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}na 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确； 对于C ，数列{}2n中，()()22221112234nn n n n a a ----=-=⨯不是常数，{}2n∴不是等方差数列，故C 错误； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.24．无25．ABD 【分析】根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，累加可知D 正确. 【详解】依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，可得13572019a a a a a +++++=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，故C 不正确；2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，所以22212201920202019a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题. 26．AC 【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d daa d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=， 故1011109333a =+⨯=，故C 正确； 由()111222n n n na dS d d n a n n -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断. 27．ABD【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD. 28．BC 【分析】 设公差d 不为零,由38a a =，解得192a d =-，然后逐项判断.【详解】 设公差d 不为零, 因为38a a =，所以1127a d a d +=+， 即1127a d a d +=--， 解得192a d =-，11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭，故A 错误；()()()()()()221101110910,10102222n n n n n n dd na d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-，故B 正确； 若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭，解得0d >，()()22510525222n d d d n n S n S =-=--≥，故C 正确；D 错误； 故选：BC 29．ACD 【分析】 由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7n nN ，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ； 【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <，所以1na 在1,6nn N上单调递增，1na 在7nn N ，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确；由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确 ；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0n S <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0nnS a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确； 【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题. 30．BC 【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ． 【详解】由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化简得110a d =-，②由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对；由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭ *n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错； 故选：BC 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．。
等差数列练习题及答案
等差数列练习题及答案等差数列练习题及答案数学作为一门基础学科，无论在学校还是在社会生活中都扮演着重要的角色。
其中，等差数列是数学中的一个重要概念，也是我们常见的数学问题之一。
本文将为大家提供一些等差数列的练习题及答案，以帮助大家更好地理解和掌握这个概念。
练习题一：已知等差数列的首项为3，公差为5，求第10项的值。
解答一：根据等差数列的性质，第n项的值可以通过公式an = a1 + (n-1)d来计算。
其中，an表示第n项的值，a1表示首项的值，d表示公差。
代入已知条件，可得第10项的值为a10 = 3 + (10-1)5 = 3 + 45 = 48。
练习题二：已知等差数列的前n项和为Sn = 2n^2 + n，求该等差数列的公差。
解答二：根据等差数列的性质，前n项和可以通过公式Sn = n/2(a1 + an)来计算。
代入已知条件，可得2n^2 + n = n/2(a1 + a1 + (n-1)d)。
化简后得到2n^2 + n = n/2(2a1 + (n-1)d)。
进一步化简可得4n^2 + 2n = n(2a1 + (n-1)d)。
由于等差数列的前n项和是一个关于n的二次函数，所以4n^2 + 2n = n(2a1 + (n-1)d)也是一个关于n的二次函数。
两个二次函数相等，意味着它们的系数相等。
根据系数相等的条件，可得4 = 2a1 + (n-1)d，即2a1 + (n-1)d = 4。
由此可得公差d = (4 - 2a1)/(n-1)。
练习题三：已知等差数列的前n项和为Sn = 3n^2 + 2n，求该等差数列的首项。
解答三：根据等差数列的性质，前n项和可以通过公式Sn = n/2(a1 + an)来计算。
代入已知条件，可得3n^2 + 2n = n/2(a1 + a1 + (n-1)d)。
化简后得到3n^2 + 2n = n/2(2a1 + (n-1)d)。
进一步化简可得6n^2 + 4n =n(2a1 + (n-1)d)。
高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题(含答案)
高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题（含答案）一、基础知识：1、等差数列性质与等比数列性质：（1）若{}n a 为等差数列，0,1c c >≠，则{}na c成等比数列证明：设{}n a 的公差为d ，则11n n n na a a da c c c c ++−==为一个常数所以{}na c成等比数列（2）若{}n a 为正项等比数列，0,1c c >≠，则{}log c n a 成等差数列 证明：设{}n a 的公比为q ，则11log log log log n c n c n c c na a a q a ++−==为常数 所以{}log c n a 成等差数列 二、典型例题：例1：已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A. 1 B. 1−或2 C. 2 D. 1−思路：由“1324,,2a a a 成等差数列”可得：3123122422a a a a a a =+⇒=+，再由等比数列定义可得：23121,a a q a a q ==，所以等式变为：22q q =+解得2q =或1q =−，经检验均符合条件 答案：B例2：已知{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ）A. 140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>思路：从“348,,a a a 成等比数列”入手可得：()()()22438111327a a a a d a d a d =⇒+=++，整理后可得：2135a d d=−，所以135d a =−，则211305a d a =−<，且()2141646025a dS d a d =+=−<，所以B 符合要求答案：B小炼有话说：在等差数列（或等比数列）中，如果只有关于项的一个条件，则可以考虑将涉及的项均用1,a d （或1,a q ）进行表示，从而得到1,a d （或1,a q ）的关系例3：已知等比数列{}n a 中的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++=_______________思路：由等比数列性质可得：1011912a a a a =，从而51011912a a a a e ==，因为{}n a 为等比数列，所以{}ln n a 为等差数列，求和可用等差数列求和公式：101112201011ln ln ln ln ln 2010ln 502a a a a a a a ++++=⋅==答案：50例4：三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，则这三个数为___________ 思路：可设这三个数为,,a a aq q ，则有3=512512aa aq a q⋅⋅⇒=，解得8a =，而第一个数与第三个数各减2，新的等差数列为82,8,82q q −−，所以有：()816282q q ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭，即22252520q q q q+=⇒−+=，解得2q =或者12q =，2q =时，这三个数为4,8,16，当12q =时，这三个数为16,8,4 答案： 4,8,16小炼有话说：三个数成等比（或等差）数列时，可以中间的数为核心。
新教材高考数学第二课时等差数列的性质及实际应用练习含解析选修2
第二课时 等差数列的性质及实际应用课标要求素养要求1.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.通过推导等差数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等差数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.新知探究请同学们思考以下问题：若等差数列{a n }为1，3，5，7，…，2n －1，则数列{a n ＋2}，{2a n }是等差数列吗？ 提示 因为等差数列的通项为a n ＝2n －1，则a n ＋2＝2n －1＋2＝2n ＋1，2a n ＝2(2n －1)＝4n －2，可判断数列{a n ＋2}，{2a n }都是等差数列，一般地，若{a n }为等差数列，则{a n ＋c }，{ca n }也是等差数列，你还知道等差数列的其他性质吗？1.等差数列通项公式的变形及推广 (1)a n ＝dn ＋(a 1－d )(n ∈N *)， (2)a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)， (3)d ＝a n －a m n －m(m ，n ∈N *，且m ≠n ). 2.若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有数列 结论{c ＋a n } 公差为d 的等差数列(c 为任一常数) {c ·a n } 公差为cd 的等差数列(c 为任一常数) {a n ＋a n ＋k } 公差为2d 的等差数列(k 为常数，k ∈N *) {pa n ＋qb n }公差为pd ＋qd ′的等差数列(p ，q 为常数)3.在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n－1＝a3＋a n－2＝….4.下标性质在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.特别的，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有a m＋a n＝2a p.拓展深化[微判断]1.等差数列{a n}中，必有a10＝a1＋a9.(×)提示反例：a n＝n－1，a10＝9，a1＋a9＝8，不满足a10＝a1＋a9.2.若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列.(√)3.若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…也是等差数列.(×)提示反例：设两数列为1，3，5，…，4，6，8，…，显然1，4，3，6，5，8，…不是等差数列.4.若数列{a n}为等差数列，则a n＋1＝a n－1＋2d，n>1，且n∈N*.(√)[微训练]1.在等差数列{a n}中，a10＝18，a2＝2，则公差d＝( )A.－1B.2C.4D.6解析由题意知a10－a2＝8d，即8d＝16，d＝2.答案 B2.已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )A.a1＋a101>0B.a2＋a101<0C.a3＋a99＝0D.a51＝51解析∵a1＋a2＋…＋a101＝0，又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，∴101a51＝0，∴a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0.答案 C3.在等差数列{a n}中，若a2＋a8＝－3，a4＝－2，则a6＝________.解析由a2＋a8＝a4＋a6得a6＝－1.答案－1[微思考]1.在等差数列{a n}中，a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是等差数列吗？若是，公差是多少？提示是.若{a n}的公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…的公差为md.2.在等差数列{a n}中，若m，n，p，q，…成等差数列，那么a m，a n，a p，a q，…也成等差数列吗？若成等差数列，公差是什么？提示 成等差数列，若{a n }的公差为d ，则a m ，a n ，a p ，a q ，…的公差为(n －m )d .题型一 a n ＝a m ＋(n －m )d 的应用【例1】 在等差数列{a n }中，已知a 2＝5，a 8＝17，求数列的公差及通项公式. 解 因为a 8＝a 2＋(8－2)d ，所以17＝5＋6d ，解得d ＝2. 又因为a n ＝a 2＋(n －2)d ，所以a n ＝5＋(n －2)×2＝2n ＋1，n ∈N *.规律方法 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m ＝1，a n ＝a m ＋(n －m )d 即变为a n ＝a 1＋(n －1)d ，可以减少记忆负担.【训练1】 已知{b n }为等差数列，若b 3＝－2，b 10＝12，则b 8＝________. 解析 法一 ∵{b n }为等差数列，∴可设其公差为d ， 则d ＝b 10－b 310－3＝12－（－2）7＝2，∴b n ＝b 3＋(n －3)d ＝2n －8. ∴b 8＝2×8－8＝8. 法二 由b 8－b 38－3＝b 10－b 310－3＝d ，得b 8＝b 10－b 310－3·5＋b 3＝2×5＋(－2)＝8. 答案 8题型二 等差数列性质的应用【例2】 已知数列{a n }为等差数列，且公差为d . (1)若a 15＝8，a 60＝20，求a 105的值；(2)若a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2a 5＝52，求公差d . 解 (1)法一 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋14d ＝8，a 1＋59d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6415，d ＝415.故a 105＝a 1＋104d ＝6415＋104×415＝32.法二 ∵{a n }为等差数列，∴d ＝a 60－a 1560－15＝415， ∴a 105＝a 60＋45×415＝32.法三 ∵{a n }为等差数列， ∴a 15，a 60，a 105也成等差数列，则2a 60＝a 15＋a 105， ∴a 105＝2×20－8＝32.(2)由a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，得2(a 2＋a 5)＝34， ∴a 2＋a 5＝17.由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝17，a 2a 5＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 5＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝13，a 5＝4. ∴d ＝a 5－a 25－2＝13－43＝3或d ＝a 5－a 25－2＝4－133＝－3.规律方法 等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于a 1，d 的方程(组)，确定a 1，d ，然后求其他量.(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a r .【训练2】 (1)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. (2)已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9＝________. 解析 (1)3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 5＋a 7)＝2a 5＋2a 6＝2(a 3＋a 8)＝20.(2)法一 由性质可知，数列a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9是等差数列，所以2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)，则a 3＋a 6＋a 9＝2×33－39＝27.法二 设等差数列{a n }的公差为d ，则(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7)＝(a 2－a 1)＋(a 5－a 4)＋(a 8－a 7)＝3d ＝－6，解得d ＝－2，所以a 3＋a 6＋a 9＝a 2＋d ＋a 5＋d ＋a 8＋d ＝27. 答案 (1)20 (2)27题型三 等差数列的设法与求解【例3】 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.解 设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则⎩⎪⎨⎪⎧（a －3d ）2＋（a －d ）2＋（a ＋d ）2＋（a ＋3d ）2＝94，（a －3d ）（a ＋3d ）＋18＝（a －d ）（a ＋d ）， 又因为是递增数列，所以d >0， 所以解得a ＝±72，d ＝32，此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.【迁移】 已知单调递增的等差数列{a n }的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{a n }的通项公式.解 法一 根据题意，设等差数列{a n }的前三项分别为a 1，a 1＋d ，a 1＋2d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）＋（a 1＋2d ）＝21，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝231， 即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝21，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝231，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－4. 因为数列{a n }为单调递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4，从而等差数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1.法二 由于数列{a n }为等差数列，所以可设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝21，（a －d ）a （a ＋d ）＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝21，a （a 2－d 2）＝231，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝－4.由于数列{a n }为单调递增数列， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝4，从而a n ＝4n －1.规律方法 等差数列项的常见设法(1)通项法：设数列的通项公式，即设a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)对称项设法：当等差数列{a n }的项数为奇数时，可设中间一项为a ，再以公差为d 向两边分别设项：…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当等差数列{a n }的项数为偶数时，可设中间两项分别为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，….对称项设法的优点是：若有n 个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为na .【训练3】 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数. 解 法一 设此等差数列的首项为a 1，公差为d .根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）＋（a 1＋2d ）＋（a 1＋3d ）＝26，（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝40.化简得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝26，a 21＋3a 1d ＋2d 2＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－3. 所以这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.法二 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a －3d ）＋（a －d ）＋（a ＋d ）＋（a ＋3d ）＝26，（a －d ）（a ＋d ）＝40， 即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32，所以所求四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.题型四 等差数列的实际应用【例4】 中国历法推测遵循以算为主、以测为辅的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸146分(1寸＝10分).与清明之间的晷影长之差为( ) A.105.6寸 B.48寸 C.57.6寸D.67.2寸解析 设晷影长构成等差数列{a n }，公差为d ，则a 1＝130.0，a 13＝14.8，d ＝a 13－a 113－1＝－9.6，故小寒与清明之间的晷影长之差即为a 2－a 8＝－(a 8－a 2)＝－6d ＝57.6. 答案 C规律方法 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中.(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.【训练4】 假设某市2020年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在________年新建住房的面积开始大于820万平方米.解析 设n 年后该市新建住房的面积为a n 万平方米.由题意，得{a n }是等差数列，首项a 1＝450，公差d ＝50，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝400＋50n .令400＋50n >820，解得n >425.由于n ∈N *，则n ≥9.所以该市在2 029年新建住房的面积开始大于820万平方米.答案 2 029一、素养落地1.通过学习等差数列的性质解决等差数列问题，培养逻辑推理及数学运算素养，通过利用等差数列解决实际问题，提升数学建模素养.2.在等差数列{a n }中，当m ≠n 时，d ＝a m －a nm －n，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为a m ＝a n ＋(m －n )d .3.等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.4.等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)，特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p . 二、素养训练1.在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于( ) A.3 B.－6 C.4D.－3解析 由等差数列的性质得a 8－a 3＝(8－3)d ＝5d ，所以d ＝－20－105＝－6.答案 B2.在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7等于( ) A.5 B.8 C.10D.14解析 法一 设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，所以d ＝1，a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.法二 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 答案 B3.在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，则a 11＋a 15＝________.解析 (a 3＋a 7)－(a 1＋a 5)＝4d ＝6，则d ＝32，则a 11＋a 15＝(a 1＋a 5)＋20d ＝2＋20×32＝32.答案 324.在等差数列{a n }中，已知5是a 3和a 6的等差中项，则a 1＋a 8＝________. 解析 由题意知a 3＋a 6＝10，故a 1＋a 8＝a 3＋a 6＝10.答案 105.三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数. 解 设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d .由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝6，（a －d ）·a ·（a ＋d ）＝－24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝－4.∴所求三个数为－2，2，6或6，2，－2.基础达标一、选择题1.在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A.4B.6C.8D.10解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16， ∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.答案 C2.已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( ) A.12 B.8 C.6D.4解析 由等差数列性质得，a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， ∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8. 答案 B3.在等差数列{a n }中，a 2 018＝log 27，a 2 022＝log 217，则a 2 020＝( )A.0B.7C.1D.49解析 a 2 020＝12(a 2 018＋a 2 022)＝12(log 27＋log 217)＝12log 2 1＝0.答案 A4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：“已知A ，B ，C ，D ，E 五人个分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品，A ，B ，C 三人所得钱数之和与D ，E 二人所得钱数之和相同，且A ，B ，C ，D ，E 每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C 分得物品的钱数是( ) A.25 B.45C.65D.75解析 设5个人分得的物品的钱数为等差数列中的项a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，则a 1＋a 2＋a 3＝a 4＋a 5，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝6＝5a 3，a 3＝65.答案 C5.等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A.10B.20C.40D.2＋log 25解析 因为2a 1·2a 2·…·2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4＝220，所以原式＝log 2220＝20. 答案 B 二、填空题6.在等差数列{a n }中，若a 22＋2a 2a 8＋a 6a 10＝16，则a 4a 6＝________. 解析 ∵等差数列{a n }中，a 22＋2a 2a 8＋a 6a 10＝16， ∴a 22＋a 2(a 6＋a 10)＋a 6a 10＝16，∴(a 2＋a 6)(a 2＋a 10)＝16，∴2a 4·2a 6＝16，∴a 4a 6＝4. 答案 47.已知数列{a n }是等差数列.若a 4＋a 7＋a 10＝17，a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 12＋a 13＋a 14＝77，且a k ＝13，则k ＝________.解析 设数列{a n }的公差为d ，∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7＝17，∴a 7＝173.∵a 4＋…＋a 14＝11a 9＝77，∴a 9＝7，d ＝23.∴a k －a 9＝(k －9)d ，即13－7＝(k －9)×23，解得k ＝18.答案 188.已知等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 8＝5π4，那么cos(a 3＋a 5)＝________.解析 在等差数列{a n }中，由a 1＋a 3＋a 8＝5π4，得a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋7d )＝5π4，∴3a 1＋9d ＝5π4，即a 1＋3d ＝a 4＝5π12，∴a 3＋a 5＝2a 4＝5π6，则cos(a 3＋a 5)＝cos 5π6＝－32.答案 －32三、解答题9.已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数.解 设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，且d >0.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝18，（a －d ）2＋a 2＋（a ＋d ）2＝116， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，d ＝－2.∵d >0，∴a ＝6，d ＝2. ∴这三个数是4，6，8. 10.已知数列{a n }满足a n ＋1＝1＋a n 3－a n(n ∈N *)，且a 1＝0. (1)求a 2，a 3；(2)是否存在一个实常数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ为等差数列，请说明理由. 解 (1)因为a 1＝0，a n ＋1＝1＋a n 3－a n (n ∈N *)，所以a 2＝1＋a 13－a 1＝13，a 3＝1＋a 23－a 2＝12.(2)假设存在一个实常数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ为等差数列，所以2a 2－λ＝1a 1－λ＋1a 3－λ，即213－λ＝10－λ＋112－λ，解得λ＝1. 因为1a n ＋1－1－1a n －1＝11＋a n 3－a n －1－1a n －1＝3－a n 2（a n －1）－1a n －1＝1－a n 2（a n －1）＝－12，又1a 1－1＝－1，所以存在一个实常数λ＝1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ是首项为－1，公差为－12的等差数列.能力提升11.下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个结论：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列. 其中正确的为( )A.p 1，p 2B.p 3，p 4C.p 2，p 3D.p 1，p 4解析 设等差数列首项a 1，d >0，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，∴数列{a n }递增，p 1正确；na n ＝dn 2＋(a 1－d )n ，当n <d －a 12d 时，不递增，p 2错误；a n n ＝d ＋a 1－d n，当a 1－d >0时，不递增，p 3错误； [a n ＋1＋3(n ＋1)d ]－(a n ＋3nd )＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d >0，{a n ＋3nd }递增，p 4正确，故选D. 答案 D12. 有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？解 设某单位需购买电视机n 台.在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{a n }，a n ＝780＋(n －1)×(－20)＝－20n ＋800，由a n ＝－20n ＋800≥440，得n ≤18，即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n )元；购买台数超过18台时，每台售价440元.到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元).比较在甲、乙两家家电商场的费用(800－20n )n －600n ＝20n (10－n ).当n ＜10时，(800－20n )n ＞600n ，到乙商场购买花费较少；当n ＝10时，(800－20n )n ＝600n ，到甲、乙商场购买花费相同；当10＜n ≤18时，(800－20n )n ＜600n ，到甲商场购买花费较少；当n ＞18时，440n ＜600n ，到甲商场购买花费较少.因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少.创新猜想13.(多选题)已知等差数列{a n }中，a 1＝3，公差为d (d ∈N *)，若2021是该数列的一项，则公差d 不可能是( )A.2B.3C.4D.5 解析 由2021是该数列的一项，即2021＝3＋(n －1)d ，所以n ＝2 018d＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.答案 BCD14.(多空题)已知两个等差数列{a n }：5，8，11，…与{b n }：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{c n }，则数列{c n }的通项公式c n ＝________；若数列{a n }和{b n }的项数均为100，则{c n }的项数是________.解析 由于数列{a n }和{b n }都是等差数列，所以{c n }也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c 1＝11，故c n ＝11＋12(n －1)＝12n －1.又a 100＝302，b 100＝399，由⎩⎪⎨⎪⎧11≤12n －1≤302，11≤12n －1≤399，解得1≤n ≤25.25，故{c n }的项数为25.答案 12n －1 25。
等差数列练习题及答案
等差数列练习题及答案等差数列练习题及答案数学中的等差数列是一种非常重要且常见的数列形式。
在我们的日常生活中，很多问题都可以用等差数列来解决。
掌握等差数列的性质和求解方法，对于我们的数学学习和解决实际问题都有很大的帮助。
下面，我将给大家介绍一些常见的等差数列练习题及其答案。
题目一：已知等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。
解析：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
代入已知条件，可得第10项的值为2 + (10-1)×3 = 2 + 27 = 29。
题目二：已知等差数列的前三项分别为3、7、11，求该数列的公差和第10项的值。
解析：首先，我们可以通过前三项求出公差。
根据等差数列的性质，第二项减去第一项的值等于公差，第三项减去第二项的值也等于公差。
所以，公差d = 7 - 3 = 4。
接下来，我们可以利用公差和首项求出第10项的值。
根据等差数列的通项公式，第10项的值为a1 + (10-1)×d = 3 + 9×4 = 3 + 36 = 39。
题目三：已知等差数列的前五项之和为50，公差为2，求该数列的首项和第10项的值。
解析：首先，我们可以利用前五项之和求出首项。
根据等差数列的性质，前五项之和等于5/2（首项加上末项）乘以项数。
所以，50 = 5/2 × (a1 + a5) = 5/2 × (a1 + (a1 + 4d)) = 5/2 × (2a1 + 4d)。
化简得到2a1 + 4d = 20。
又已知公差d = 2，代入得到2a1 + 8 = 20，解得a1 = 6。
接下来，我们可以利用公差和首项求出第10项的值。
根据等差数列的通项公式，第10项的值为a1 + (10-1)×d = 6 + 9×2 = 6 + 18 = 24。
通过以上的练习题，我们可以看出，掌握等差数列的求解方法和性质是非常重要的。
等差数列练习题及答案
等差数列练习题及答案一、选择题1. 下列哪个数列不是等差数列？A. 2，4，6，8B. 3，8，13，18C. 5，10，15，20D. 1，3，5，8答案：D2. 若一个等差数列的公差为2，首项为3，则第5项为多少？A. 11B. 13C. 15D. 17答案：C3. 若等差数列的前两项是a，b，且公差为d，那么第n项可以表示为多少？A. a + (n-1)dB. a + ndC. a - ndD. a + (n+1)d答案：A4. 若一个等差数列的首项为7，公差为-3，则第8项为多少？A. 19B. 16C. 13D. 10答案：B5. 若一个等差数列的首项为3，末项为16，则公差为多少？A. 3B. 4C. 5D. 6答案：B二、填空题1. 求等差数列6，11，16，21的第10项。
答案：512. 求等差数列9，7，5，3的前20项和。
答案：-803. 若等差数列的首项为3，公差为-2，则第15项为多少？答案：-274. 若等差数列的首项为-4，末项为22，公差为3，则该数列的项数为多少？答案：95. 若等差数列的第7项为31，公差为6，则首项为多少？答案：-1三、解答题1. 求等差数列5，9，13，17，...的第15项。
解答：首项a1=5，公差d=9-5=4，根据等差数列通项公式an=a1+(n-1)d，代入a1=5，d=4，n=15计算得到a15=5+(15-1)4=61。
2. 求等差数列1，4，7，10，...的前10项和。
解答：首项为a1=1，公差d=4-1=3，前10项和可以通过求和公式Sn=n/2(a1+an)来计算，代入n=10，a1=1，an=a1+(n-1)d=1+(10-1)3=28，计算得Sn=10/2(1+28)=145。
3. 若等差数列的前五项和为35，公差为2，求首项和项数。
解答：设首项为a1，项数为n，则根据求和公式Sn=n/2(a1+an)，代入Sn=35，公差d=2，an=a1+(n-1)d，可以得到35=n/2(a1+a1+(n-1)d)=n/2(2a1+(n-1)d)，化简得到35=n(2a1+(n-1)d)/2，进一步化简得到70=2na1+n(n-1)d。
等差数列专题(有答案)
一、等差数列选择题1．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（ ） A ．60B ．11C ．50D ．552．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100 C ．90 D ．80 3．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（ ）A ．a 5＝4B ．a 6＝4C ．a 5＝2D ．a 6＝24．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（ ） A ．32n -B ．322n - C ．3122n - D ．3122n + 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则612SS =（ ） A ．177B ．83 C ．143D ．1036．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（ ） A ．32B ．7059C ．7159D ．857．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．8D ．168．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ．47B ．1629C ．815D ．459．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161B ．155C ．141D ．13910．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21SB ．20SC ．19SD ．18S11．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（ ） A ．(23)n －1B ．(23)n C ．21n + D ．12n + 12．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） A ．48B ．60C ．72D ．2413．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =.定义数列{}n b 如下：()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b ++++=（ ）A ．25B ．50C ．75D ．10014．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（ ） A ．103B ．107C ．109D ．10515．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25B ．11C ．10D ．916．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（ ） A ．18B ．19C ．20D ．2117．已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈，则下列判断正确的是（ ）A ．22p p S p a =⋅B ．p q m n a a a a >C ．1111p q m n a a a a +<+ D ．1111p q m nS S S S +>+ 18．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若542S S =，248a a +=，则5a 等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．1019．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（ ） A ．15B ．30C ．3D ．6420．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+，则63a b 的值为（ ） A ．511B ．38C ．1D ．2二、多选题21．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（ ） A ．7S 最小B ．130S =C ．49S S =D ．70a =22．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)212n a =-，则关于数列{}n a 的说法正确的是 （ ）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列23．题目文件丢失！24．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4B ．－2C ．0D ．225．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ） A ．15B ．25C ．45D ．6526．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d <B ．70a =C ．95S S >D ．170S <27．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（ ）A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；B ．2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈）.28．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ）A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+29．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值30．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（ ） A ．17aB ．35SC ．1719a a -D ．1916S S -【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．D 【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】因为在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =， 所以()1111161111552a a S a +===.故选：D. 2．C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C 3．C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2. 故选：C 4．C 【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =， 则公差为31322a a d -==， 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选：C. 5．D 【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列， 所以()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =.又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，∴31210S S =，从而126103S S =. 故选：D 【点睛】 思路点睛：（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列， （2）()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =， （3）()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，化简解得31210S S =. 6．C 【分析】可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果． 【详解】因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且3221n n S n T n +=+， 所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-， 故选：C ．7．A 【分析】 将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22nn n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n n n a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22nn n λ+≥恒成立，所以()max 22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A 8．D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺，由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】设该妇子织布每天增加d 尺， 由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=， 解得45d =． 故该女子织布每天增加45尺． 故选：D 9．B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得：3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ，解得15548x y =⎧⎨=⎩.故选：B. 10．B 【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392a d =-. 又10a >，所以0d <，因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭， 所以20S 最大. 故选：B. 11．C 【分析】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而得出答案．【详解】 由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且121131,2x x ==，故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-⨯=，故21n x n =+故选：C 12．A 【分析】根据条件列方程组，求首项和公差，再根据107891093S S a a a a -=++=，代入求值. 【详解】由条件可知114832362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩， ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.故选：A 13．B 【分析】先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到21212k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，可得21n a n =-，因为n a m ≥，即21n m -≥，解得12m n +≥， 当21m k =-，（*k N ∈）时，1m m b k m +=，即()()11212m m m mk m b m m +===++， 即21212k k b --=， 从而()13519113519502b b b b ++++=++++=.故选：B. 14．B 【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案. 【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2，21+2n a n ∴=， 5215+2107a ∴=⨯=.故选：B. 15．D 【分析】利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，故选：D ． 16．B 【分析】由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得10a .【详解】()122n n a a n --=≥，且11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，通项公式为()12121n a n n =+-=-，10210119a ∴=⨯-=，故选：B. 17．D 【分析】利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误；利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误；利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由于()()1221222p pp p p p a a Sp a a pa ++==+≠，故选项A 错误；对于B 选项，由于m p q n -=-，则()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()22m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2220q n n m d q n d =-----<，故选项B 错误；对于C 选项，由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅，故选项C 错误； 对于D 选项，设0x q n m p =-=->，则()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<，从而pq mn <，由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++，故2222p q m n +>+.()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--，故()()22221122p q m n p q p q m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d--+---⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()221121124mn m n mn p q mna a d d+---<++()()()221121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=，由此1111p q m n p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S +++=>=+，故选项D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断. 18．D 【分析】由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ，即可求得5a . 【详解】解：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则由542S S =，248a a +=，得：111154435242238a d a d a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+++=⎧⎪⎨⎪⎩，即{1132024a d a d +-+=， 解得：{123a d =-=，51424310a a d ∴=+=-+⨯=.故选：D. 19．A 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a 和d 的值，12111a a d =+，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：174174d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以12117760111115444a a d =+=-+⨯==， 所以12a 的值是15， 故选：A 20．C【分析】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则63a b 可得．【详解】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，可得当2n ≥时，()()221221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-，()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，()232n b n λ=+故622a λ=，322b λ=，故631a b =. 【点睛】由n S 求n a 时，11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解．二、多选题21．BCD 【分析】由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=，求出1a 与d 的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】设等差数列数列{}n a 的公差为d .由13522,a a S +=有()1112542252a a a d d ⨯+=++，即160a d += 所以70a =,则选项D 正确.选项A. ()71176773212S a d a d d ⨯=+=+=-,无法判断其是否有最小值，故A 错误. 选项B. 113137131302a S a a +=⨯==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =，故C 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件13522,a a S +=得到160a d +=，即70a =，然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,属于中档题. 22．ABC 【分析】由)212n a =-1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断. 【详解】当2n ≥时，由)212n a =-，得)221n a +=，1=，又12a =，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，即221n a n n =+-，故C 正确；所以27a =，故A 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；数列{}n a 不具有周期性，故D 错误； 故选：ABC23．无24．AB 【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误， 故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题. 25．ABC 【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题. 26．ABD 【分析】结合等差数列的性质、前n 项和公式，及题中的条件，可选出答案. 【详解】由67S S =，可得7670S S a -==，故B 正确； 由56S S <，可得6560S S a -=>，由78S S >，可得8780S S a -=<，所以876a a a <<，故等差数列{}n a 是递减数列，即0d <，故A 正确； 又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确； 又因为等差数列{}n a 是单调递减数列，且80a <，所以90a <， 所以()117179171702a a S a +==<，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式()12n n n a S S n --≥=，及()12n n n a a S +=，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题. 27．AC 【分析】 直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列． 【详解】A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2n S An Bn =+，所以{}n a 不为等差数列．故错误． 故选：AC 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 28．ABD 【分析】由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】)211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确， 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题. 29．AC 【分析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值． 【详解】解：在递增的等差数列{}n a 中， 由5105a a +=，得695a a +=，又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =， 则967(2)3963a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．故A 正确，B 错误；12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正． 而5610820b b +=-=>．∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题． 30．BD 【分析】 由1718S S =得180a =，利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确；；根据351835S a =可知 B 正确；根据171920a a d -=-≠可知C 不正确；根据19161830S S a -==可知D 正确. 【详解】因为1718S S =，所以18170S S -=，所以180a =，因为公差0d ≠，所以17180a a d d =-=-≠，故A 不正确；13518351835()35235022a a a S a +⨯====，故B 正确； 171920a a d -=-≠，故C 不正确；19161718191830S S a a a a -=++==，故D 正确.故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题.。
等差数列的性质练习题
等差数列的性质练习题等差数列是数学中常见的一种数列形式，它具有一些独特的性质和规律。
在本文中，我们将通过练习题的形式来深入探讨等差数列的性质，并解答一些相关问题。
练习题一：已知等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an。
若a=2，d=3，an=20，求n的值。
解答一：根据等差数列的通项公式an = a + (n-1)d，代入已知条件可以得到20 = 2 + (n-1)3。
简化方程可以得到18 = (n-1)3，进一步化简得到6 = n-1。
因此，n的值为7。
练习题二：已知等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为Sn。
若a=1，d=4，Sn=45，求n的值。
解答二：根据等差数列的前n项和公式Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)，代入已知条件可以得到45 = (n/2)(2 + 4(n-1))。
简化方程可以得到45 = (n/2)(2 + 4n - 4)。
进一步化简得到45 = (n/2)(4n - 2)。
再次化简得到45 = 2n^2 - n。
将方程变为二次方程的标准形式，得到2n^2 - n - 45 = 0。
通过求解这个二次方程，可以得到n的值为5或-4。
由于数列的项数不能为负数，因此n的值为5。
练习题三：已知等差数列的首项为a，公差为d，第m项为am，第n项为an。
若a=3，d=2，am=11，an=23，求m和n的值。
解答三：根据等差数列的通项公式an = a + (n-1)d，代入已知条件可以得到23 = 3 + (n-1)2。
简化方程可以得到20 = (n-1)2，进一步化简得到10 = n-1。
因此，n的值为11。
同样地，代入已知条件可以得到11 = 3 + (m-1)2。
简化方程可以得到8 = (m-1)2，进一步化简得到4 = m-1。
因此，m的值为5。
通过解答以上练习题，我们可以看出等差数列的性质和规律。
首先，等差数列的通项公式an = a + (n-1)d可以用来求解数列的任意一项。
等差数列的前n项和性质+练习
1、等差数列{a n }前n 项和公式： n S = n a n 2a 1+=d n n n a 2)1(1-+=d n n na n 2)1(--。
等差数列的前n 项之和公式可变形为，若令A ＝，B ＝a 1－，则＝An 2+Bn.在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，，n 中任意三个，可求其余两个。
2、等差数列{a n }前n 项和的性质性质1:S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n , …也在等差数列,公差为n 2d性质2:(1)若项数为偶数2n,则 S 2n =n(a 1+a 2n )=n(a n +a n+1) (a n ,a n+1为中间两项),此时有:S 偶－S 奇= nd , 性质3:(2)若项数为奇数2n －1,则 S 2n-1=(2n － 1)a n (a n 为中间项), 此时有:S 奇－S 偶= a n ,1-n n s =偶奇s 性质4:数列{nn s }为等差数列 性质5:若数列{a n }与{b n }都是等差数列,且前n 项的和分别为S n 和T n ,则2121n n n n a S b T --= 典型例题：热点考向1：等差数列的基本量（a 1，a n ，d ，，n 中任意三个，可求其余两个）例1、在等差数列{n a }中，已知81248,168S S ==，求1,a 和d 已知6510,5a S ==，求8a 和8S训练： 1、在等差数列{}n a 中，已知102030,50a a ==.（1）求通项公式{}n a ；（2）若242n S =，求n .2.在等差数列{}n a 中,n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7157,75S S ==，n T 为数列{n S n }的前n 项和，求n T 3、已知等差数列的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。
4. 已知是等差数列，且满足，则等于________。
等差数列练习题(带解析)
等差数列练习题一、单选题（共10题；共0分）1.数列前项和为，，，，若，则＝（）A. B. C. D.2.在数列中，，则的值为（）A.−2B.C.D.3.数列，，，，的第14项是A. B. C. D.4.已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为A. B. C. D.5.已知数列{a n}满足a1=1，，则254是该数列的（）A.第14项B.第12项C.第10项D.第8项6.等比数列｛a n｝的前n项和为S n，己知S2＝3，S4＝15，则S3＝( )A.7B.－9C.7或－9D.7.等差数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.8.《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布585尺，问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为（）A.尺B.尺C.尺D.尺9.将正整数按如图所示的规律排列下去，且用表示位于从上到下第行，从左到右n列的数，比如，若，则有（）A. B.C. D.10.世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目：把磅面包分给个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的份为（）A.磅B.磅C.磅D.磅二、填空题（共10题；共0分）11.观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第个图案中正六边形的个数是.由，，，…，可推出________．12.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，……，若按此规律继续下去，若，则________．13.某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，……，依此规律得到n级分形图．则n级分形图中共有________条线段.14.已知圆的有条弦，且任意两条弦都彼此相交，任意三条弦不共点，这条弦将圆分成了个区域，（例如：如图所示，圆的一条弦将圆分成了2（即）个区域，圆的两条弦将圆分成了4（即）个区域，圆的3条弦将圆分成了7（即）个区域），以此类推，那么与之间的递推式关系为：________．15.如图，数表满足：第n行首尾两数均为n；（2）表中递推关系类似杨辉三角，记第n（n＞1）行第2个数为a（n）．根据表中上下两行数据关系，可以求得当n≥2时，a（n）=________．16.数列由，确定，则________.17.已知数列满足，，，则 ________．18.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是________．19.（2018•北京）设是等差数列，且a1=3, a2+a5= 36，则的通项公式为________20.数列满足, ，数列的前项和为=________．三、解答题（共4题；共0分）21.已知等差数列的首项，公差，前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列前项和为，求.22.在数列中，，．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前n项和．23.在数列中，，，设.（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）求的前项和.24.设正项数列的前项和为，且满足，，.（1）求数列的通项公式；（2）若正项等比数列满足，，且，数列的前项和为，求证.等差数列练习题答案部分第 1 题:【答案】C【解析】【解答】由题意有：当时，，两式作差可得：，由于，故，即数列的奇数项、偶数项分别构成一个公差为3的等差数列，，据此可得，则数列的通项公式为：，，，加2后能被3整除，则.故答案为：C.【分析】本题利用对n进行分类讨论，再利用S求a的方法求出第k项，从而求出k的值。
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课时作业7 等差数列的性质时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．若一个数列的通项公式是a n＝k·n＋b(其中b，k为常数)，则下列说法中正确的是( )A．数列{a n}一定不是等差数列B．数列{a n}是以k为公差的等差数列C．数列{a n}是以b为公差的等差数列D．数列{a n}不一定是等差数列【答案】 B【解析】 a n＋1－a n＝k(n＋1)＋b－kn－b＝k.2．等差数列中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝420，则a2＋a10等于( )A．100 B．120C．140 D．160【答案】 B【解析】 ∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝7a6＝420，则a6＝60，∴a2＋a10＝2a6＝2×60＝120.3．在等差数列{a n}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.【答案】 99【解析】 a15，a25，a35成等差数列，∴a35＝2a25－a15＝99.4．已知单调递增的等差数列{a n}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{a n}的通项公式．【分析】 关键是求出数列{a n }的首项和公差．【解析】 由于数列为等差数列，因此可设等差数列的前三项为a －d ，a ，a ＋d ，于是可得Error!即Error!即Error!由于数列为单调递增数列，因此d ＝4，a 1＝3，从而{a n }的通项公式为a n ＝4n －1.【规律方法】 此解法恰到好处地设定等差数列的项，为我们的解题带来了极大的方便，特别是大大降低了运算量．一般来说，已知三个数成等差数列时，可设成：a －d ，a ，a ＋d ，四个数成等差数列时，可设成：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，其余依此类推，如五个可设成：a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d .课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 9＝5，则a 7＝( )A ．4B ．－4C ．7D ．1【答案】 A【解析】 由题意知a 7为a 5，a 9的等差中项，故a 7＝(a 5＋a 9)12＝×(3＋5)＝4.122．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13的值为( )A ．20B ．30C ．40D ．50【答案】 C【解析】 ∵a 3＋a 11＝a 5＋a 9＝2a 7，∴a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝5a 7＝100，∴a 7＝20.∴3a 9－a 13＝3(a 7＋2d )－(a 7＋6d )＝2a 7＝40.3．在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为( )A ．30B ．27C ．24D ．21【答案】 B【解析】 方法一：由等差数列的性质知，a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9成等差数列，所以(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)＝2(a 2＋a 5＋a 8)，则a 3＋a 6＋a 9＝2×33－39＝27.方法二：(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7)＝3d (d 为数列{a n }的公差)，则d ＝－2，a 3＋a 6＋a 9＝(a 2＋a 5＋a 8)＋3d ＝33－6＝27.4．把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，问最小的1份是( )17A. B.56103C.D.53116【答案】 C【解析】 设这5份为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，由已知得a ＝20，且(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d ，17∴d ＝，∴a －2d ＝.556535．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2a 4＝12，a 1＋a 5＝8，则其通项公式为( )A ．a n ＝2n －2B ．a n ＝2n ＋4C ．a n ＝－2n ＋12D ．a n ＝－2n ＋10【答案】 D【解析】 由等差数列的性质得a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝8.又a 2a 4＝12，所以a 2，a 4为方程x 2－8x ＋12＝0的两根，解得Error!或Error!当a 2＝2，a 4＝6时，d ＝＝2>0(舍去)，a 4－a 24－2当a 2＝6，a 4＝2时，d ＝＝－2.a 4－a 24－2所以数列的通项公式为a n ＝a 2＋(n －2)d ＝6＋(n －2)×(－2)＝－2n ＋10.即a n ＝－2n ＋10.6．设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )A ．0B ．37C ．100D ．－37【答案】 C【解析】 设{a n }，{b n }的公差分别是d 1，d 2，∴(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列．又∵a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴a 37＋b 37＝100.故正确答案为C.7．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．－5【答案】 C【解析】 设该数列的公差为d ，则由题设条件知：a 6＝a 1＋5d >0，a 7＝a 1＋6d <0.又∵a 1＝23，∴Error!即－<d <－.235236又∵d 是整数，∴d ＝－4，故选C.8．已知数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1、b 1，且a 1＋b 1＝5，a 1，b 1∈N ＋.设c n ＝ab n (n ∈N ＋)，则数列{c n }的前10项和等于( )A ．55B ．70C ．85D ．100【答案】 C【解析】 由题c n ＝ab n (n ∈N ＋)，则数列{c n }的前10项和等于ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝ab 1＋ab 1＋1＋…＋ab 1＋9.∵ab 1＝a 1＋(b 1－1)＝4，∴ab1＋ab1＋1＋…＋ab1＋9＝4＋5＋…＋13＝85.二、填空题(每小题10分，共20分)9．已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________.【答案】 1【解析】 ∵a1＋a3＋a5＝105，即3a3＝105，∴a3＝35，同理a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2，∴a20＝a4＋(20－4)d＝1.10．等差数列{a n}中，a1＋a4＋a10＋a16＋a19＝150，则a18－2a14＝________.【答案】 －30【解析】 由a1＋a4＋a10＋a16＋a19＝5a10＝150，得a10＝30，a18－2a14＝(a10＋8d)－2(a10＋4d)＝－a10＝－30.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(1)已知数列{a n}为等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，求a3＋a15.(2)在等差数列{a n}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{a n}的通项公式．【解析】 (1)方法一：∵数列{a n}是等差数列，∴设数列{a n}的首项为a1，公差为d，则由题意得a1－(a1＋4d)＋(a1＋8d)－(a1＋12d)＋(a1＋16d)＝117，∴a1＋8d＝117.从而a3＋a15＝(a1＋2d)＋(a1＋14d)＝2(a1＋8d)＝234.方法二：由等差数列的性质知，a1＋a17＝a5＋a13＝a3＋a15＝2a9.∵a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，∴a9＝117，∴a3＋a15＝2a9＝234.(2)∵a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，a2＋a8＝a3＋a7＝2a5，∴a5＝3，∴a3＋a7＝2a5＝6，a3a7＝－7，解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.又a7＝a3＋4d，∴当a3＝－1，a7＝7时，可得d＝2；当a3＝7，a7＝－1时，可得d＝－2.根据a n＝a3＋(n－3)d，可得当a3＝－1，d＝2时，a n＝2n－7；当a3＝7，d＝－2时，a n＝－2n＋13.12．已知无穷等差数列{a n}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{b n}．(1)求b1和b2；(2)求{b n}的通项公式；(3){b n}中的第503项是{a n}的第几项？【解析】 数列{b n}是数列{a n}的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{a n}是等差数列，则{b n}也是等差数列．(1)∵a1＝3，d＝－5，∴a n＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n.数列{a n}中序号能被4除余3的项是{a n}中的第3项，第7项，第11项，…，∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.(2)设{a n}中的第m项是{b n}的第n项，即b n＝a m，则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，∴b n＝a m＝a4n－1＝8－5(4n－1)＝13－20n.即{b n}的通项公式为b n＝13－20n.(3)b503＝13－20×503＝－10 047，设它是{a n}中的第m项，则－10 047＝8－5m，则m＝2 011，即{b n}中的第503项是{a n}中的第2 011项．。