§5 简单的幂函数

（2）因为. f ( x) x 4 2 x 2 , x R 定义域对称； f ( x) ( x) 2( x) x 2 x f ( x)
4 2 4 2
f ( x) x 4 2 x 2为偶函数。
1.判断题 （1）函数f(x)=x2,x[-1,1)为偶函数.( × ) （2）函数y=f(x)在定义域R上是奇函数,且在(-,0] 上是增加的,则f(x)在[0,+ )上也是增加的.( √ ) （3）函数y=f(x)在定义域R上是偶函数,且在 (-,0]上是减少的,则f(x)在[0,+ )上也是减少的.( × )
(3)函数y=2x2+4x+1是 非奇非偶函数.
1.几种简单幂函数的图像及性质. 2.判断函数奇偶性的方法:
(1)图像法 图像关于原点对称 f(x)是奇函数.
图像关于y轴对称 (2)解析法
f(-x)=-f(x)
f(x)是偶函数.
y=f(x)为奇函数 y=f(x)为偶函数
f(-x)=f(x)
忘掉失败，不过要牢记失败中的教训。
探究点2.函数奇偶性 一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数，图像关于
y轴对称的函数叫作偶函数..
具有的特点: 1，定义域对称（图像范围对称）； 2，对于定义域中任意的x,都有 f ( x) f ( x), 为偶函数； 对于定义域中任意的x,都有 f ( x) f ( x),为奇函数；
单调性
定点
R R R
R
(, 0) , (0, )
(1,1) (1,1) (1,1)
yx . 3 yx .
2
y
x.
1 y . x
0, 无 0, ) x x 0 原点对称 (, 0) , (0, )
R
Hale Waihona Puke Baidu(1,1)
(1,1)
题型一：比大小 例2：试比较下列各组数的大小，并解释
y
0
y
0
y
x
-1
x
1
O
-3
x
(1)奇函数
(2)偶函数
(3)非奇非偶函数
例4
判断f(x)=-2x5和g(x)=x4+2x的奇偶性.
5
解：（ 1 ）因为. f ( x) 2 x , x R 定义域对称； f ( x) 2( x)5 2 x 5 f ( x) f ( x) 2 x 5为奇函数。
B ）
B.减少的 D.先减后增
4.二次函数 f
x m 1 x
2
2mx 3
是偶函数,则f(x)解析式为？
m 0 ,易知 m 0 解：已知函数对称轴为 x m 1 f ( x) x 2 3
5.填空(填奇或偶或非奇非偶)
(1)函数y=2x是 (2)函数y=2x2+1是 奇 偶 函数. 函数.
a 4 b 4
主要掌握的几种幂函数：
（） 1 y x.
（4）y x 1
（ 3 ）y x . （ 2）y x . 1 1 . 2 （ 5 ） y x x . x
2 3
你能画出它们的图像吗？
幂函数有哪些特征：
幂函数
y x.
定义域
对称性 原点对称 Y轴对称 原点对称
2.函数y= x 的图像是( B )
1 3
解析：函数y= x 是幂函数,幂函数在第一象限 故幂函数y= x 的图像在直线y=x的下方,排除C.
1 3
1 3
内的图像恒过定点(1,1),排除A,D. 当x>1时,x> x ，
1 3
3.已知函数 y=f(x)是奇函数，在[a,b]上是减少的， 则它在[-b,-a]上是（ A.增加的 C.先增后减
（） 1 3 与4 . （2）3.2 与1. 4. 1 1 （3） 与 . 3.7 2.7
(4) 1.6与 1.9.
1 (5)1.1 与 . 1.3
3
3
3
y x3在R
2
33 43 3.22 >1. 42
1 1 > 3.7 2.7
2
y x2在(0, )
1 y 在( , 0) x
1 v km / s 平均速度_____________. t
(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的
v是t的函数
思考：以上问题中的函数有什么异同？ 将上述对应关系改为 x与y 的形式，可得.
yx
y x2
yx
3
yx
1 2
y x 1
底数是自变量,只是指数不同.
1.了解简单幂函数的概念,掌握几类简单幂函数的图像和性质 （重点） 2.会利用定义证明简单函数的奇偶性.并利用奇偶性画函数图像和 研究函数的方法. （重点）(难点）
偶函数
非奇非偶函数 偶函数
（3）奇函数在对称区间上单调性相同； 偶函数在对称区间上单调性相反；
题型二：幂函数图像性质 例3：补全下面四个函数的图像
y=-x3 y=x-1 y=x2+1
y
y
y
1
y
o
x
o
x
o
x
y=-x4
o
x
练一练画出下列函数的图像,判断其奇偶性. 3 (1)y . (2)y x 2 3. (3)y 2(x 1) 2 1. x
x A, 有f ( x) f ( x). x A, 有f ( x) f ( x).
y x中，
为偶数时，函数为偶函数； 为奇数时，函数为奇函数。
函数奇偶性补充： （1）y a称为常函数，是偶函数.
（2） 奇偶性加减
奇函数 偶函数
奇函数
奇函数 非奇非偶函数
1 x x . (6)中 y 2 x 2 . x
练：下列函数为幂函数求相应常数的值.
（） 1 y ax .
2
a 1 b0 a2
(2) y x b.
（ 3 ）y (a2 3) x3 a 2.
(4) y ( x 2) ax b.
2
x 2 4 x 4 ax b x 2 (a 4) x 4 b.
§5
简单的幂函数
问题引入：我们先看下面几个具体问题：
(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付
p w 元. ___________
p是w的函数
2 S a (2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积______. S 是a的函数 3 V a (3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积_______. V是a的函数 1 a S2 (4)如果正方形的面积为S，那么正方形的边长______. a是S的函数
y
x在(0, )
3
1.6< 1.9
1 1 3 1.1 1, 1 1.1 > 1.3 1.3
幂函数还有哪些特征？
当 1时，y x 在(0, )为向上弯曲的增函数；

当0 1时，y x 在(0, )为向下弯曲的增函数； 当 0时，y x 在(0, )为减函数；
27 64
3
4
xB
y B
例1，判断一下：下列函数是否为幂函数.
（） 1 y 3x .
2
(2) y x x2 .
(4) y ( x 2)5 . 1 (6) y 2 . x
1 2
（ 3 ）y x2014 .
(4) y x.
答：(3)、 (4)、(6)是幂函数
(4)中 y
3.培养学生从特殊归纳出一般的意识. (难点）
什么是幂？
指数幂 幂值
N a
例如：
幂值 指数幂 指数
n
底
指数
82
3
底
探究点1.幂函数的定义： 形如y x 的函数称为幂函数。
其中x为自变量，y为函数值， 为常量。
3 y f ( x ) x 例如： f : y x3
1 2
1
8