数列极限练习

练习一

1. 填空题：

(1)无穷数列：，，…，，…的极限是________．

(2)数列：的极限是________．

(3)若，，则

________，________；

(4)若，，则

________，

(5)的极限是________．

2. 选择题：

(1)数列：1，－1，1，－1，…，(－1)·1，…的极限为( )；

(A)1 (B)－1 (C)1和－1 (D)不存在

(2)若，，则( )；

(A)不存在(B)0 (C)3 (D)1

(3)数列各项的和是( )．

(A)1 (B) (C)0 (D)不存在．

3. 求下列极限：

(1)；(2)；

(3)；(4)．

4. 求无穷等比数列0.7，0.07，0.007，…各项的和．

5. 已知，，求下列极限：

(1)；(2)．

6. 求下列极限：

(1)；(2)；

(3)；(4)；

(5)；(6)．

7. 求下列无穷等比数列各项的和：

(1) (2)

(3)，1，，…；(4)1，－，，－，…(||<1)

8. (1)如图，在圆内接正(≥3)边形中，是边心距，是周长，是面积.求证：．

(第8题)

(2)当圆的内接正多边形的边数无限增加时，的极限是圆的半径，的极限是圆周长2，的极限是圆面积，求证：圆面积等于．

9. 如图，等边三角形的面积等于1，连结这个三角形各边的中点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边的中心得到一个更小的三角形，如些无限继续下去，求所有这些三角形面积的和．

(第9题)

答案：提示和解答：

1. (1)；(2)0；(3)3，－2，－6；(4)；(5)1．

2. (1)D；(2)B；(3)A．

3. (1)10；(2)－2；

(3)

；

(4)

．

4.．

5. (1)－16；(2)；

6. (1)5；(2)1；(3)1；(4)－1；(5)；(6)0．

7. (1)；(2)；(3)；(4)．

8. (1)分别连结图心和正多边形的顶点，将圆的内接正多边形划分成个三角形，每个三角形底边的长(正多边形的一个边长)是，它的高是，则圆的内接正多边形的面积是

；

(2)已知，，则圆的面积

．

9. 所有三角形面积的和是

．

练习二

1. 填空题：

(1)由观察知数列：的极限是________；

(2)已知，，则为________；

(3)考察，数列的极限是________；

(4)数列：的极限是________．

2. 选择题：

(1)数列的极限是( )；

(A)0 (B)1 (C)－1 (D)不存在

(2)若{}和{}的极限都不存在，则{＋}的极限为( )；

(A)一定不存在(B)一定存在(C)可能存在也可能不存在(D)为0

(3)数列：的各项的和是( )；

(A)1 (B) (C)0 (D)不存在

(4)数列各项的和是( )．

(A)1 (B) (C)0 (D)不存在

3. 求下列极限：

(1)设，求；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)

4. 求无穷等比数列各项的和．

5. 将循环小数化为分数．

6. 已知无穷数列

(1)把这个数列的前5项在数轴上表示出来；

(2)计算这个数列的第项与5的差的绝对值|＋5|；

(3)对于任何预先指定的正数ε，找一个自然数，使得＞时，|＋5|＜ε；

(4)确定这个数列的极限．

7. 一个无穷数列的通项公式是．

(1)把这个数列的前5项在数轴上表示出来；

(2)求证这个通项公式也可以写成，并且计算|－１|；

(3)对于下面表中的ε，各找出一个对应的自然数，使得＞时，|－１|＜ε；

(4)确定这个数列的极限．

8. 一个无穷数列的通项公式是．

(1)把这个数列的前5项在数轴上表示出来；

(2)计算|－4|；

(3)确定这个无穷数列的极限．

9. 举一个极限是5的无穷数列的例子．

答案、提示和解答：

1. (1)0；(2)4；(3)1；(4)1．

2. (1)D；(2)C；(3)B；(4)A．

3. (1) ；

(2)；(3)；

(4)；

(5)

．

4.．

5. 循环小数可化为无穷等比数列0.031，0.00031，0.0000031，…各项和与0.2之和，而数列的首项a1＝0.031，q＝0.01，所以数列各项和为

．

所以

．

6. (1)略； (2)；(3)是的整数部分，当＞时，|－5|＜ε；(4)由(3)可知，这个数列的极限是5．

7. (1)略；(2)，；

(4)这个数列的极限是1．

8. (1)略；

(2)；

(3)这个数列的极限是4．

9. 通项公式为的无穷数列的极限是5，通式公式为的无穷数列的极限也是5．