数列极限练习

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数列的极限经典习题

Chap1 数列的极限1. 设()01,2,n x n >=及lim n n x a →∞=,用N ε-语言, 证明: n =.证0n x >, 0a ∴≥.(1) 当0a =时, 那么lim 0n n x →∞=,下证0n =.0ε∀>, 则存在0N >, 当n N >时, 200n n x x ε<=-<.ε<,0ε<.0n ∴=.(2) 当0a >时, 0ε∀>, 存在0N >, 当n N >时, n x a -<.ε=<<.n ∴=综上两方面 ,即证.2. 已知lim n n x a →∞=, 用N ε-语言, 证明: n =证 (1) 当0a =时, 那么lim 0n n x →∞=, 0ε∀>, 存在0N >, 当n N >时, 2n x ε<;ε<,此即0n ==.(2) 当0a ≠时,因为2222233044+=+≥>.令234M =,lim n n x a →∞=, 则对0ε∀>,存在0N >, 当n N >时,有n x a M ε-<.22n x a-=+1n x a M M Mεε-≤<⋅=n ∴=3. (算术平均收敛公式)设lim n n x a →∞=.令12nn x x x nξ+++=, 求证:lim n n a ξ→∞=.证法1 由施笃兹公式12lim limnn n n x x x nξ→∞→∞+++=()()()12121l i m1n n n x x x x x x n n -→∞+++-+++=--l i m n n x a →∞==.证法 2 由lim n n x a →∞= , 则0ε∀>, 存在10N >, 使当1n N >时, 有2n x a ε-<. ①()1112111nN N n x x x a x a x a x a x a nn++++-≤-++-+-++-令111N c x a x a =-++-, 那么1212nx x x n N c a nn n ε+++--≤+⋅ . ②存在20N >, 使当2n N >时, 有2c n ε<. 再令{}12max ,N N N =, 故当n N >时, 由①,②有1212222nx x x n N a nn εεεεε+++--<+⋅<+=.12lim limnn n n x x x a nξ→∞→∞++∴==.4. (几何平均收敛公式)设()01,2,n x n >=. 且lim n n x a →∞=. 证明: n a =.证l i m n n x a →∞=, limln ln n n x a →∞∴=.再由算术平均收敛公式可知()121ln ln ln ln lim n x x x a nn n ee a ++→∞∴===.5. 证明: 1n =, 其中1a >.证令11n a α-= ,则0α>, 依伯努利不等式, 有()()11111n na n n a αα=+≥+=+-,即111n a a n--≤.111n a ε=-≤,只要1a n ε-<.所以,有1a n ε->.取1a N ε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时, 就有1a nε-<,1ε<. 6. 证明: 若lim n n a a →∞=, 则lim n n a a →∞=. 当且仅当a 为何值时逆命题也成立.证由题设 lim n n a a →∞=, 知0ε∀>,0N ∃>, 当n N >时, 皆有n a a ε-<.从而当n N >时总有n n a a a a ε-≤-<,所以lim n n a a →∞=.当且仅当0a =时,逆命题也成立.7. 设a R ∈, 且1a >,用N ε-语言, 证明: lim0nn na →∞=. 证当2n ≥时, 有()()()()()2221121111n n n n n a n n a n a a =<=----+-⎡⎤⎣⎦(由二项展开式得) 要使()()2211n a ε<-- ,只需()2211n a ε>+-.即若取 ()2221N a ε⎡⎤=+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦, 则当n N >时, 就有()()2211n n a n n a ε<<--, 所以lim0nn n a →∞=. 数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭,1a >,a R ∈是无穷小序列. 8. 利用单调有界性证明: 设10x a =≥, 10y b =≥,且1n x +=,()112n n n y x y +=+.1,2,n = . 则lim lim n n n n x y →∞→∞=.证 0n x ≥, 0n y ≥是显然的.由112n nn n x y y x +++=≥= , 得1n n nx x +== , 122n n n nn n x y y y y y +++=≤= . 知{}n x 单调增加 , {}n y 单调减少 , 又1n n x y y ≤≤, 1n n y x x ≥≥,所以{}n x ,{}n y 有界. 即lim n n x A →∞=,lim n n y B →∞=存在.对12n nn x y y ++=两边取极限,得 ()12B A B A B =+⇒=.9. 证明: 数列11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调增加 , 数列111n n +⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调减少 ,两者收敛于同一极限.证记11n n x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,111n n y n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由平均值不等式()121n a a a n≤+++ ,知()111111111n nn n n n x x n n ++++⎡⎤⎛⎫=+⋅≤=⎢⎥⎪+⎝⎭⎣⎦ ,()()21111111112n n n n n n n n y n n y ++++⋅++⎡⎤⎛⎫=⋅≤=⎢⎥⎪++⎝⎭⎣⎦, 即{}n x 单调增加 , {}n y 单调减少, 且1114n n x x y y =<<<= .所以{}n x ,{}n y 单调有界,必定收敛.由11n n y x n ⎛⎫=+⎪⎝⎭,知它们有相同的极限.即 111lim 1lim 1nn n n e n n +→∞→∞⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.10. 证明: 若111ln 2a n n=+++-. 则数列{}n a 收敛. 证由上例知 11111nn e n n +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 两边取对数得 ,()11ln 111ln 1n n n n ⎛⎫⎛⎫+<<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即有不等式111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭ . 则()11ln 1ln 1n n a a n n n +-=-+++11ln 101n n ⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭, 111ln 2n a n n =+++-231l n +l n l n l n12n n n +>++-()ln 1ln 0n n =+->即{}n a 单调减少有下界 , 所以{}n a 收敛.11. 设数列{}n x 满足: 01x =, 1n x +=1,2,3n = .证明: 数列{}n x 收敛, 并求lim n n x →∞.证 01x =,1212x ==,3422x ==.用数学归纳法可证()21112222,0,1,2n nnn x n --===①11212122n n n n ----<. 由①式知()10,1n n x x n -<=即{}n x 单调递增.再由①式知12n x ≤<, {}n x ∴收敛.设lim n n x a →∞=, 则1a ≥.12n x += , 两边取极限有: a =22a a ∴= , 又0a ≠.2a ∴=, 即lim 2n n x →∞=.12. 设0a >, 10x a <<, 12n n n x x x a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 1,2,3n = .证明: 数列{}n x 收敛, 并求其极限.证先用数学归纳法证明0n x a <<,n N ∈①当1n =时, 结论成立, 归纳假设结论对n 成立, 再证1n +时, 因为()2112n n n n x x x x a a a a +⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭,10n x a +∴<<. 即①式成立.1221n n n x x ax a a+=->-=. {}n x ∴单调递增, 且有上界. lim n n x →∞∴存在. 设为lim n n x b →∞=. 由12n n n x x x a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,两边取极限得 2b b b a ⎛⎫=-⎪⎝⎭②由①式及{}n x 单调递增, 显然0b ≠, 由②式解得b a =.lim n n x a →∞∴=.。

数列的极限例题及详解

数列的极限例题及详解
极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了某种函数在某点附近的行为趋势，同时提供了有效的技术来解决数列的极限问题。

我们本文将讨论数列的极限问题，包括定义和几个例子。

一.定义
极限是一个抽象的概念，它指的是一个数列中的每一项都趋近一定的值，这个值称为数列的极限。

另外，数列的极限也称为极限点或极限值。

当然，数学家们对极限的定义更加严格，但这些都不重要，我们只需要理解数列的极限概念即可。

二.例题
1.设a_n=(-1)^n/n，求a_n的极限。

解：
首先，由于(-1)^n为一个交替变化的算子，它的值在n变大时无论n的奇偶性如何，(-1)^n的值都保持不变，因此极限就是
(-1)^n/n的值。

考虑n变大时，(-1)^n/n的值接近于0，所以a_n
的极限就是0.
2.设a_n=(1+1/n)^n，求a_n的极限。

解：
这个例题比较特殊，因为算子(1+1/n)^n这里n和指数相关，考虑当n变大时，(1+1/n)^n的值就接近于e，所以a_n的极限就是e.
3.设a_n=1/n，求a_n的极限。

解：
由于1/n的值是从1开始逐渐减小，当n变大时，1/n的值就逐渐接近于0，所以a_n的极限就是0.
三.总结
本文讨论了数列的极限问题，先介绍了数列极限的定义，然后举例说明了3种数列的极限问题，这其中包含了数列算子计算中比较常见的概念，如交替系数，和指数极限等。

希望本文对读者有所帮助。

数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题及解析

数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题及解析一、单项选择题（每小题4分，共24分）3．若()0lim x x f x →=∞，()0lim x x g x →=∞，则下列正确的是（） A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞⎡⎤⎣⎦ B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞⎡⎤⎣⎦ C ． ()()01lim 0x x f x g x →=+ D ． ()()0lim 0x x kf x k →=∞≠ 解：()()000lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==⋅∞∞ ∴选D6．当n →∞时，1k n 与1k n 为等价无穷小，则k=（） A ．12B ．1C ．2D ．-2 解：2211sin lim lim 1,211n n k kn n k n n →∞→∞=== 选C 二、填空题（每小题4分，共24分）8．2112lim 11x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝⎭ 解：原式()()()112lim 11x x x x →∞-∞+--+ 10．n =解：原式n ≡有理化 11．1201arcsin lim sin x x x e x x -→⎛⎫+= ⎪⎝⎭解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0x x x x e e x x -→→≤=∴=又00arcsin lim lim 1x x x x xx →→== 故原式=112．若()220ln 1lim 0sin n x x x x →+= 且0sin lim 01cos n x x x→=-,则正整数n = 解：()222200ln 1lim lim sin n n x x x x x x x x→→+⋅= 20420,lim 02n x n x n x→<>2,4,n n ∴>< 故3n =三、计算题（每小题8分，共64分）14．求0x → 解：原式有理化16．求0ln cos 2lim ln cos3x x x→ 解：原式[][]0ln 1cos 21lim ln 1cos31x x x →--+-变形注:原式02sin 2cos3lim cos 23sin 3x x x x x→∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭-⨯- 17．求02lim sin x x x e e x x x-→--- 解：原式0020lim 1cos x x x e e x-→+-- 19．求lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭解： (1) 拆项，111...1223(1)n n +++⋅⋅+ 1111111...122311n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭++⎝⎭⎝⎭(2) 原式=lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭20．求21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解：原式()201ln 11lim t t t x t t →=+⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、证明题（共18分）21．当x →∞时且()()lim 0,lim x x u x v x →∞→∞==∞, 证明()()()()lim lim 1x u x v x v x x u x e →∞→∞+=⎡⎤⎣⎦ 证：()()lim 1v x x u x →∞+⎡⎤⎣⎦ ()()lim x u x v x e →∞⋅=证毕22．当0x →时，证明以下四个差函数的等价无穷小。

高考数学数列与极限专项训练

高考数学数列与极限专项训练（02）一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．在等比数列{}n a 中，122a a +=,3450a a +=，则公比q 的值为（）A ．25B ．5C ．－5D ．±52．已知等差数列{}n a 中，6385a a a =+=，则9a 的值是（）A ．5B ． 15C ．20D ．253．给定正数,,,,p q a b c ,其中p q ≠,若,,p a q 成等比数列,,,,p b c q 成等差数列,则一元二次方程220bx ax c -+= （） A ．无实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个同号的相异的实数根D ．有两个异号的相异的实数根4．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若2610a a a ++为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是（） A ．6SB ．11SC ．12SD ．13S5．设数列{}n a 为等差数列，且2447685622004,a a a a a a a ++=则等于（）A ．501B ．±501 CD6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1m >，且211210,38m m m m a a a S -+-+-==，则m 等于（）A ．38B ．20C ．10D ．97．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63:1:2S S =，则93:S S =（）A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:38．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为（） A ．7(1)a p + B ．8(1)a p +C ．7[(1)(1)]a p p p+-+D ．()()811ap p p +-+⎡⎤⎣⎦9．已知()1f x bx =+为x 的一次函数，b 为不等于1的常量，且()g n =1(0)[(1)],(1)n f g n n =-≥⎧⎨⎩, 设()()()1n a g n g n n N +=--∈，则数列{}n a 为（）A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列10．已知log 2log 20a b >>,则lim n nn nn a b a b →∞+-的值为（）A ．1B ．－1C ．0D ．不存在第1个第2个12345768a a a a a a a a11．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据1.14=1.46 1.15=1.61）（）A ．10%B ．16.4%C ．16.8%D ．20%12．已知323()(3)2,(3)2,lim 3x x f x f f x →-'==--则的值为（）A ．－4B ．8C ．0D ．不存在二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．已知等比数列{}n a 和等差数列{}n b ，其中10b =，公差0d ≠．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为 . 14．设数列{}n a 满足1236,4,3a a a ===,且数列1{}()n n a a n N *+-∈是等差数列，求数列{}n a 的通项公式 . 15．设()442xx f x =+，利用课本中推导等差数列前n 项和方法，求121111f f ++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…1011f +⎛⎫⎪⎝⎭的值为 .16．（文）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖块. （理）已知132n na ⎛⎫⎪⎝⎭=⋅，把数列{}n a 的各项排成三角形状；记(,)A m n 表示第m 行，第n 列的项，则(10,8)A = .三、解答题（本大题共6小题，共74分。

数列极限练习

数列极限练习练习⼀1. 填空题：(1)⽆穷数列：，，…，，…的极限是________．(2)数列：的极限是________．(3)若，，则________，________；(4)若，，则________，(5)的极限是________．2. 选择题：(1)数列：1，－1，1，－1，…，(－1)·1，…的极限为( )；(A)1 (B)－1 (C)1和－1 (D)不存在(2)若，，则( )；(A)不存在(B)0 (C)3 (D)1(3)数列各项的和是( )．(A)1 (B) (C)0 (D)不存在．3. 求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)．4. 求⽆穷等⽐数列0.7，0.07，0.007，…各项的和．5. 已知，，求下列极限：(1)；(2)．6. 求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．7. 求下列⽆穷等⽐数列各项的和：(1) (2)(3)，1，，…；(4)1，－，，－，…(||<1)8. (1)如图，在圆内接正(≥3)边形中，是边⼼距，是周长，是⾯积.求证：．(第8题)(2)当圆的内接正多边形的边数⽆限增加时，的极限是圆的半径，的极限是圆周长2，的极限是圆⾯积，求证：圆⾯积等于．9. 如图，等边三⾓形的⾯积等于1，连结这个三⾓形各边的中点得到⼀个⼩三⾓形，⼜连结这个⼩三⾓形各边的中⼼得到⼀个更⼩的三⾓形，如些⽆限继续下去，求所有这些三⾓形⾯积的和．(第9题)答案：提⽰和解答：1. (1)；(2)0；(3)3，－2，－6；(4)；(5)1．2. (1)D；(2)B；(3)A．3. (1)10；(2)－2；(3)；(4)．4.．5. (1)－16；(2)；6. (1)5；(2)1；(3)1；(4)－1；(5)；(6)0．7. (1)；(2)；(3)；(4)．8. (1)分别连结图⼼和正多边形的顶点，将圆的内接正多边形划分成个三⾓形，每个三⾓形底边的长(正多边形的⼀个边长)是，它的⾼是，则圆的内接正多边形的⾯积是；(2)已知，，则圆的⾯积．9. 所有三⾓形⾯积的和是．练习⼆1. 填空题：(1)由观察知数列：的极限是________；(2)已知，，则为________；(3)考察，数列的极限是________；(4)数列：的极限是________．2. 选择题：(1)数列的极限是( )；(A)0 (B)1 (C)－1 (D)不存在(2)若{}和{}的极限都不存在，则{＋}的极限为( )；(A)⼀定不存在(B)⼀定存在(C)可能存在也可能不存在(D)为0(3)数列：的各项的和是( )；(A)1 (B) (C)0 (D)不存在(4)数列各项的和是( )．(A)1 (B) (C)0 (D)不存在3. 求下列极限：(1)设，求；(2)；(3)；(4)；(5)4. 求⽆穷等⽐数列各项的和．5. 将循环⼩数化为分数．6. 已知⽆穷数列(1)把这个数列的前5项在数轴上表⽰出来；(2)计算这个数列的第项与5的差的绝对值|＋5|；(3)对于任何预先指定的正数ε，找⼀个⾃然数，使得＞时，|＋5|＜ε；(4)确定这个数列的极限．7. ⼀个⽆穷数列的通项公式是．(1)把这个数列的前5项在数轴上表⽰出来；(2)求证这个通项公式也可以写成，并且计算|－１|；(3)对于下⾯表中的ε，各找出⼀个对应的⾃然数，使得＞时，|－１|＜ε；(4)确定这个数列的极限．8. ⼀个⽆穷数列的通项公式是．(1)把这个数列的前5项在数轴上表⽰出来；(2)计算|－4|；(3)确定这个⽆穷数列的极限．9. 举⼀个极限是5的⽆穷数列的例⼦．答案、提⽰和解答：1. (1)0；(2)4；(3)1；(4)1．2. (1)D；(2)C；(3)B；(4)A．3. (1) ；(2)；(3)；(4)；(5)．4.．5. 循环⼩数可化为⽆穷等⽐数列0.031，0.00031，0.0000031，…各项和与0.2之和，⽽数列的⾸项a1＝0.031，q＝0.01，所以数列各项和为．所以．6. (1)略； (2)；(3)是的整数部分，当＞时，|－5|＜ε；(4)由(3)可知，这个数列的极限是5．7. (1)略；(2)，；(4)这个数列的极限是1．8. (1)略；(2)；(3)这个数列的极限是4．9. 通项公式为的⽆穷数列的极限是5，通式公式为的⽆穷数列的极限也是5．。

数列极限的例题和习题

第1-7节数列极限的例题和习题下面的例题和习题都是数列极限理论中的著名习题，初学者能够完全读懂其中例题的证明是不容易的，能够独立完成后面那些习题就更不容易.因此，你可以先粗读一下(因为不管你读懂多少，都暂时不会影响到你学习微积分)，有兴趣的读者等有空时或假期中再去细读它.读一读它，你会在做题方法上受到严格的训练.称一个数列),2,1( =n x n 为无穷小量，即lim 0n n x →∞=，用“N ε-”说法，就是它满足条件：称一个数列),2,1( =n x n 为无穷大量，即lim n n x →∞=∞，用“M N -”说法，就是它满足条件：特别，lim nx =+∞，就是它满足条件：而lim nn x →∞=-∞，就是它满足条件：无穷大量与无穷小量是两个对偶的概念，即当0(1,2,)n x n ≠= 时，若n x 是无穷大量，则1n x 是无穷小量；若n x 是无穷小量，则1nx 是无穷大量. 在第0章(看我做题)中，那些有关数列极限的习题，如果说可以凭借直觉和四则运算规则能够做出来的话，那么下面这些结论，就必须用“N -ε”说法才能够证明.你看一看其中的证明，可以学习到如何用“N -ε”说法做数列极限证明题的方法.例1 设有数列),2,1( =n x n .证明：若有极限n n x ∞→lim ，则算术平均值的数列12(1,2,)nn x x x y n n+++==也有极限且12limlim nn n n x x x x n→∞→∞+++= .证设lim n n x a →∞=. 考虑1212()()()n n n x x x x a x a x a y a a n n+++-+-++--=-=任意给定正数ε. 因为lim n n x a →∞=，所以有正整数1N 使1||()2n x a n N ε-≤≥. 于是，第1章函数的极限和连续函数25251212()()()n n n x x x x a x a x a y a a n n+++-+-++--=-= 11121()()()()()N N n x a x a x a x a x a n--+-++-+-++-=11211()()()(1)2N x a x a x a n N n n ε--+-++--+≤+⋅1121()()()2N x a x a x a n ε--+-++-≤+再取正整数1N N ≥足够大，使当N n ≥时，右边第一项也小于2ε. 这样，当N n ≥时，就会有||22n y a εεε-≤+=，即证明了有极限12limlim nn n n x x x a x n →∞→∞+++==请注意．．．：有极限12lim n n x x x n→∞+++ ，不一定有极限lim n n x →∞！考虑数列 1(1):1,0,1,0,1,0,,,2nn x --【应用】作为例1的应用，例如⑴ 1111123lim lim 0n n n n n →∞→∞++++== ； ⑵limlim 1n n →∞=. 例2 若),2,1(0 =>n x n 且有极限lim n n x →∞，则几何平均值的数列),2,1(21 ==n x x x z n n n也有极限且lim n n n x →∞=.证根据极限单调性，必有lim 0n n x →∞≥. 首先设lim 0n n x →∞=，ε为任意给定的正数.先取正整数1N 使12()n x n N ηε≤=>，则1()2n N nn εηη-=→=→∞(你知道为什么吗？见第0章题33)因此，必有正整数1N N ≥，使当N n ≥ε≤，即0lim n n n x →∞==【注】假若你知道“几何平均值不超过算术平均值”的话, 根据例1的结论, 则有1200()nx x x n n+++→→∞26所以lim 0lim n n n x →∞==.其次，设lim 0n n x a →∞=>，ε为任意给定的正数(不妨认为1<ε).因为lim1nn x a→∞=，所以有正整数N 使11()nx n N aεε-≤≤+> 从而有(1)(1)n N n Nn n n z a εε---≤=≤+ 让∞→n ，则得1lim1nn z aεε→∞-≤≤+ (你知道为什么吗？见第0章题33)由于正数ε可以任意地小，故有lim 1n n za→∞=，即lim lim n n n a x →∞==【应用】作为上述结论的应用，若0(1,2,)n x n >= 且有极限1lim n n nxx +→∞，则也有极限nlim n 1limn n nx x +→∞=这是因为1(2)1lim lim n n n n n n n nx x x x +→∞→∞-==例请你根据lim n 1limn n nx x +→∞=，求极限：⑴n (答案：e )； ⑵n (答案：e 4).例3 设有数列),2,1( =n x n .⑴ 若lim 0n n x →∞=，则必有单调增大数列n y ，使lim n n y →∞=+∞且lim()0n n n y x →∞=；⑵ 若lim n n x →∞=+∞，则必有单调减小数列n y ，使lim 0n n y →∞=且lim()n n n y x →∞=+∞.证下面证明⑴.你可用类似的方法证明⑵.设lim 0n n x →∞=. 根据数列极限的定义，必有正整数1N 使11||()2n x n N ≤≥；同理，必有正整数12N N >使221||()2n x n N ≤≥. 一般地，必有正整数1k k N N +>使第1章函数的极限和连续函数2727111(;1,2,)2n k k x n N k ++≤≥= 现在，当1n N <时，取0n y =；当12N n N ≤<时，取1=n y ；一般地，当1k k N n N +≤<时，取),2,1( ==k k y n .显然，数列n y 是单调增大的且lim n n y →∞=+∞；另一方面，由于1||||||(;1,2,)2n n n n k k kky x y x N n N k +=≤≤<= 所以有0lim ||lim02n n kn k ky x →∞→∞≤≤=(见第0章题32)即lim()0n n n y x →∞=.【注】这里是根据数列极限的定义, 构造出了一个满足题中要求的数列n y .在数学中, 称这种证明方法为“构造性证明”.例4 海因定理(函数极限与数列极限的关系)(1)有极限lim ()x af x A →=的充分必要条件是：对于以a 为极限的任何数列()n x a ≠，都有极限lim ()n n f x A →∞=;(2)有极限lim ()x f x A →∞=的充分必要条件是：对于任何数列()n x n →∞→∞，都有极限lim ()n n f x A →∞=.证为简单起见，下面证明结论(1).你可用类似的方法证明结论(2).设ε为给定的任意正数.若lim ()x af x A →=，则有正数δ，(※) 当0||x a δ<-≤时，有|()|f x A ε-≤又因为n x a ≠且lim n n x a →∞=，所以有正整数N ，当N n ≥时，0||n x a δ<-≤；根据结论(※)，|()|n f x A ε-≤即lim ()n n f x A →∞=.反之，设上面(1)中的条件满足.(反证法)假若A 不是函数()f x 在点a 的极限，用“δε-”的话说，就是：至少有一个正数0ε，不论取正数δ多么小，总有对应的点δx ，使 0||x a δδ<-≤，但0|()|f x A δε->.于是，当取正数1(1,2,)n n n δ== 时，就会有相对应的点),2,1( =n x n ，使10||n x a n<-≤，但0()0n f x A ε->>. 这说明，虽然有lim n n x a →∞=，但A 不是数列)(n x f 的极限，这与假设lim ()n n f x A →∞=矛盾.【注】海因定理就像是架在函数极限与数列极限之间的一座“桥梁”，沟通了两者之间的关系.因此，不仅可以把数列极限看作函数极限的特例，而且函数极限的某些结论，根据海因定理，28可以用数列极限的相应结论来证明.在有的微积分教科书中，先讲数列极限的理论，然后根据海因定理，把有关数列极限的结论转移到函数极限上.回答问题⑴ 一个数列),2,1( =n x n 的前面有限个项(如),,,21m x x x ，对该数列是否有极限或有极限时的极限值有影响吗？⑵ 正数数列的极限一定是正数吗？⑶若),2,1( =>n y x n n 且有极限n n x ∞→lim 与n n y ∞→lim ，则有>∞→n n x lim n n y ∞→lim 还是有n n n n y x ∞→∞→≥lim lim ？⑷ 有界数列一定有极限吗？无界数列一定没有极限吗？⑸ 若数列n x 和n y 都没有极限，那么数列)(n n y x +与n n y x 一定也没有极限吗？ ⑹ 若数列n x 有极限，而数列n y 没有极限，那么你对数列)(n n y x +是否有极限，可以做出什么结论？⑺ 若lim n n x c →∞=，则必有lim n n x c →∞=吗？反之如何？答案：⑴没有；⑵不一定，例如正数数列1n的极限是0；⑶n n n n y x ∞→∞→≥lim lim ；⑷有界数列不一定有极限，例如n n x )1(-=就没有极限；无界数列一定没有极限，因为有极限的数列是有界数列；⑸不一定，例如1)1(,)1(--=-=n n n n y x ，则)(n n y x +与n n y x 都有极限；⑹一定没有极限.(反证法)若)(n n y x +有极限，则n n n n x x y y -+=)(也有极限，与数列n y 没有极限矛盾.⑺是，因为||||n n x c x c -≤-；反之不成立.习题·提示和选解1.下面的习题都出现在第0章(看我做题)中，你不会做时，可去再看一下那里的做法.证明：⑴lim 1n →∞⎛⎫++= ； ⑵ {}b a b a nnnn ,max lim =+∞→(其中0,0>>b a )； ⑶ 1lim =∞→nn n ； ⑷lim 0!nn a n →∞=；⑸135(21)lim 0246(2)n n n →∞⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅ ；⑹ lim 1n .2.证明：⑴ 211lim 36k nn k k n k =→∞==+∑； ⑵ 2311lim 39k n n k k n k=→∞==+∑；⑶lim 1k n n k =→∞==；⑷ lim 1k n n k =→∞==. 提示:用夹挤规则证.第1章函数的极限和连续函数29293.证明：若lim n n x →∞=+∞，则也有12limnn x x x n→∞+++=+∞ .提示：参考例1的证明.4.设有lim ,lim n n n n x a y b →∞→∞==. 证明：1211limn n n n x y x y x y ab n -→∞+++=提示：设(lim 0),(lim 0)n n n n n n n n x a y b ααββ→∞→∞=+==+=，则1111()()k n k k n k n k k k n k x y a b ab a b αββααβ-+-+-+-+=++=+++于是，121111k nn n n k n k k x y x y x y x y =--+=+++=∑ 11111k nk nk nn k k k n k k k k nab a b βααβ===-+-+====+++∑∑∑5.设0(1,2,)n y n >= 且12()n n y y y s n +++=→+∞→∞ .证明：若有极限lim n n x →∞，则也有极限112212limlim n nn n n n x y x y x y x y y y →∞→∞+++=+++提示：设lim n n x c →∞=，则(lim 0)n n n n x c αα→∞=+=. 于是，11221112()k nk n k kk kn nk k nnnx y c y x y x y x y y y y s s α====++++==+++∑∑ 1k nk kk ny c s α===+∑6.设0(1,2,)n y n >= 且12()n n y y y s n +++=→+∞→∞证明：若有极限limnn nx y →∞，则也有极限 1212limlim n n n n n nx x x xy y y y →∞→∞+++=+++提示：用n n x y 替换上一题中的n x .7.施笃兹(Stolz)定理若数列n x 与n y 满足条件： (i)-<<<<< 121n n y y y y , 且lim n n y →∞=+∞;(ii)有极限11lim n n n n n x x y y -→∞---;则也有极限limn n nx y →∞，且11lim lim n n n n n n n n x x x y y y -→∞→∞--=-.证令111,(2,)n n n z y z y y n -==-= ，则0(2)n z n >≥且3012()n n n s z z z y n =+++=→+∞→∞再令111,(2,3,)n n n w x w x x n -==-= ，则1212n nn n w w w x z z z y +++=+++ （※）根据假设条件(ii)，有极限lim n n nw z →∞11lim n n n n n x x y y -→∞--=-，而根据上式(※)和题6，则有极限121121lim lim lim lim n n n nn n n n n n n n n n x w w w w x x y z z z z y y -→∞→∞→∞→∞-+++-===+++- 【注】作为施笃兹定理的应用，则有112limp p pp n n n +→∞+++ (p 为正整数)11lim (1)p p p n n n n ++→∞=-- 1111lim(1)(1)(1)2!pn p p p p p n p p n n p n n →∞++-+=+⎡⎤--++-+-⎢⎥⎣⎦11p =+ 8.设有数列(1,2,)n x n = .证明：若2lim()0n n n x x -→∞-=，则1lim0n n n x x n-→∞-=证设ε为任意给定的正数.因为2lim()0n n n x x -→∞-=，所以有正整数K ，使22n n x x ε--≤（n K ≥）于是，当n K ≥时，1212()()n n n n n n x x x x x x -----=---[]21323()(1)()()n n n n n n x x x x x x -----=-+----221323()(1)()(1)()n n n n n n x x x x x x -----=-+--+--213()(1)()n n n n x x x x ---=-+--[]22434(1)()()n n n n x x x x ----+---- 221324()(1)()(1)()n n n n n n x x x x x x -----=-+--+--+1111(1)()(1)()n K n K K K K K x x x x ---+--+--+--因此，当n K ≥时，11()2n n K K x x n K x x ε---≤-+-，从而有11122n n K K K K x x x x x x n K n n n nεε-------≤+≤+()n K ≥ 再取正整数N ()K ≥足够大，使当n N ≥时，12KK x x n ε--≤. 于是，当n N ≥()K ≥时， 11222n n K K x x x x n n εεεε----≤+≤+= 即1lim 0n n n x x n-→∞-=.第1章函数的极限和连续函数 31319.若正项级数1(0)n n n n x x =∞=≥∑收敛，且通项n x 单调减小，证明lim 0n n n x →∞=.证因为1(0)n n n n x x =∞=≥∑收敛，所以余和120()m m m r x x m ++=++→→∞ (见下注)对于m n >，由于通项n x 单调减小，所以有12()n m m n m n m x x x x r ++-≤+++≤ ，即 ()mn r x n m n m≤>- 于是，当m n 2≥时，02()222n m m m m n n nn x r r r r n n n n m m ≤≤=≤=-+-任意给定正数ε，先取m 足够大，使2m r ε≤，再取正整数m N 2≥，则当N n ≥时，02n m n x r ε≤≤≤即lim 0n n n x →∞=【注】设级数1n n n x s =∞==∑，余和12,m m m m r x x s s ++=++=- 则lim lim 0m m m m r s s s s →∞→∞=-=-=在求方程的近似解时，常常会得到叠代数列（逐次逼近数列）.当它收敛时，它能够逐步接近精确解.因此，就需要研究叠代数列的收敛性（不必求出数列的极限值），有时还可以进一步求出叠代数列的极限值.例如，10.研究数列n x 的收敛性.若收敛，试求极限lim n n x →∞.⑴ 设0x a =和1x b =为已知实数.令11(1,2,)2n nn x x x n -++== 解 0101211(1)222x x x x b ax x x +---=-==-， 121232222x x x x x x x +--=-=22(1)2b a-=-，323234333(1)222x x x x b ax x x +---=-==-，一般地， 111(1)2n n n n b a x x -----=-. 将以上这些等式依次相加，则得3223112311(1)(1)(1)()2222n n n x x b a --⎡⎤-----=++++-⎢⎥⎣⎦111(1)11(1)11222222()()()()33131222n n n nb a b a b a a b -------⋅+=-=--→--=--⎛⎫- ⎪⎝⎭即1lim()3n n a bx x →∞--=. 因此， 12lim 333n n a b a b a bx x b →∞--+=+=+=⑵ 设10x c =>. 13(1)(1,2,)3n n nx x n x ++==+提示:一方面，103(1,2,)n x n +<<= ；另一方面，对于任何2n ≥，111113(1)3(1)6()33(3)(3)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x --+--++--=-=++++ 即1()n n x x +-与1()n n x x --具有相同的符号.因此，数列(2)n x n ≥是单调增大或单调减小的有界数列.答案：lim n n x →∞=⑶ 设实数0c ≥.211,(1,2,)222nn x c c x x n +==+= 提示:首先指出，假如有极限lim n n x a →∞=，在2122nn x c x +=+两端取极限，则得二次方程220a a c -+=解得1a =因此，当1c >时，数列n x 没有极限.剩下来就是讨论01c ≤≤的情形.在这种情形下，01(1,2,)n x n ≤≤= 且1(1,2,)n n x x n +≥=.答案：lim 1n n x →∞=-11.设0b a >>. 数列n x 和(1,2,)n yn = 由下式所确定：1111,,2n nn n x y x a y b x y +++====证明它们有公共极限lim lim (,)n n n n x y a b μ→∞→∞== [称它为数a 和b 的算术-几何平均数]证因为0ba >>，所以21x a x ====， 1121222x y a b b by b y +++==<==第1章函数的极限和连续函数 33332a b+<，因此得1221x x y y <<<. 我们用相同的方法，可以证明一般的不等式 11(1,2,)n n n n x x y y n ++<<<=根据单调有界原理，有极限lim n n x α→∞= 和 lim n n y β→∞=在12n n n x y y ++=两端让n →∞，则得2αββ+=. 因此，αβ=，即 lim lim n n n n x y αβ→∞→∞===我们就把这个公共极限值记成(,)a b μ.【注】德国数学家高斯(Gauss)求出了这个极限值(,)a b μ，即(,)a b μ2Gπ=，其中2G x π=⎰（椭圆积分,见第6章）12.证明数列1n x =+- 有极限.证根据单调有界原理，只要证明它是单调减小有下界就行了.事实上，11n n x x +⎛-=+++- ⎝1⎛-++- ⎝2=--0=<即1(1,2,)n n x x n +<= .其次，因为)2(1,2,)k k =<= ，所以22,2<<把这些同向不等式依次相加，则得不等式12++> 因此，()12n x =++-222>->-13.证明：数列1111ln (1,2,3,)23n x n n n=++++-=有极限.此时，设lim n n x C →∞=，则34 1111ln (lim 0)23n n n n x n C n εε→∞=++++-=+= 因此， 1111ln (lim 0)23n n n n C n εε→∞++++=++= 其中常数C 称为“欧拉常数”.证我们要证明数列n x 单调减小且0(1,2,)n x n >= .事实上，11111ln 23n n x x n n +⎛⎫-=++++- ⎪⎝⎭ 1111ln(1)231n n ⎛⎫-++++-+ ⎪+⎝⎭111ln(1)ln ln 1011n n n n n ⎛⎫=+--=+-> ⎪++⎝⎭（见第1-6节）即1(1,2,)n n x x n +>= . 另一方面，根据[]111111111ln(1)ln(1)ln 23k n k n k n k k k k k n k k ======++++=>+=+-∑∑∑ ln(1)ln n n =+> [11ln 1k k ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭,见第1-6节] 则有0(1,2,)n x n >= . 根据单调有界原理，必有极限lim n n x C →∞=. 14.证明：[]lim sin (2e !)2n n n →∞π=π. 证因为1111e 11!2!3!!!n n n nθ=++++++ (01)n θ<<，所以 111111e 11!2!3!!(1)!(1)!(1)n n n n n θ+=++++++++++ 1(01)n θ+<< 因此，121111!e !11!2!!1(1)n n n n n n θ+⎡⎤⎛⎫=++++++⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦ 上式右端第一项是正整数，而第二项1211(1)n n R n n θ+=+++满足lim 0,n n R →∞=lim()1n n nR →∞=.注意到sin x 是以2π为周期的周期函数，所以[][]lim sin(2e !)lim sin(2)n n n n n n R →∞→∞π=πsin 22lim 2n n n n R nR R →∞⎡⎤π=π⎢⎥π⎣⎦2=π [注意，lim()1n n nR →∞=，0sin lim 1x x x→=]。

数学分析2数列极限总练习题

第二章数列极限总练习题1、求下列数列的极限： (1)limn →∞n 3+3n n；(2)limn →∞n 5e n；(3)lim n →∞( n +2−2 n +1+ n ).解：(1)当n>3时，n 3<3n ，∴3= 3n n< n 3+3n n< 2·3n n=3 2n→3(n →∞). 由迫敛性定理可知：lim n →∞ n 3+3n n=3.(2)设a n =n 5e n ，则limn →∞a na n +1=lim n →∞e nn+1 5=e>1，∴limn →∞n 5e n=0.(3)lim n →∞n +2−2 n +1+ n =lim n →∞n +2− n +1 − n +1− n =lim n →∞ n +2+n +1−n +1+ n=0.2、证明：(1)lim n →∞n 2q n =0(|q|<1)；(2)limn →∞lgn n a=0(a ≥1)；(3)lim n →∞ n !n=0.证明：(1)当q=0 时，n 2q n =0，lim n →∞n 2q n =0；当0<|q|<1时，令|q|=1p ，则p>1. 设p=1+h ，h>0. 由(1+h)n >13!n(n-1)(n-2)h 3,(n>2) 得0<|n 2q n|<n 2(1+h)n <6h 3·n 2n(n −1)(n −2)=6h 3·1n(1−1n )(1−12)→0(n →∞).由迫敛性定理可知：lim n →∞n 2q n =0 (|q|<1).(2)任给ε>0，则10ε>1， n n→1(n →∞)，故存在N ，当n>N 时，有1< n n<10ε，取对数后得：0<lgn n<ε，∴limn →∞lgnn=0. 从而当a ≥1时，0<lgn n a ≤lgn n→0(n →∞).由迫敛性定理可知：limn →∞lgn n a=0(a ≥1).(3)任给ε>0，令M=1ε，则limn →∞M nn!=0.又对ε0=1，存在自然数N ，使得当n>N 时，M nn!<1，即1n!<εn ， ∴当n>N 时，有0< n !n <ε，∴limn →∞ n !n=0.3、设lim n →∞a n =a ，证明：(1)limn →∞a 1+a 2+⋯+a nn=a(又问由此等式能否反过来推出lim n →∞a n =a )；(2)若a n >0，(n=1,2,…)，则lim n →∞a 1a 2…a n n =a.证：(1)∵lim n →∞a n =a ，∴对任意的ε>0，必存在N 1，使当n>N 1时，|a n -a|<ε，令m=max{|a 1-a|,|a 2-a|,…,|a n -a|}，于是n>N 1时，a 1+a 2+⋯+a nn −a =a 1−a +a 2−a +⋯+a n −an≤1n (|a 1-a|+|a 2-a|+…+|a N 1+1-a|+|a N 1+2-a|+…+|a n -a|)<N 1m n+(n −N 1)nε<N 1m n+ε.又limn →∞N 1m n=0. ∴对已给的ε>0，存在N 2，当n>N 2时，N 1mn<ε.取N=max{N 1,N 2}，则当n>N 时， a 1+a 2+⋯+a nn−a <2ε，∴limn →∞a 1+a 2+⋯+a nn=a. 此等式反过来不能推出lim n →∞a n =a .例如a n =(-1)n 不收敛，但limn →∞a 1+a 2+⋯+a nn=0.(2)对任意自然数n ，a n >0，∴当a ≠0，lim n →∞1a n=1a .又11a 1+1a 2+⋯+1a nn=n1a 1+1a 2+⋯+1a n≤ a 1a 2…a n ≤a 1+a 2+⋯+a nn→a (n →∞).由迫敛性定理可知：lim n →∞a 1a 2…a n n =a.当a=0时，对任给的ε>0，存在N 1，使当n>N 1时，0<a n <ε，于是当n>N 1时，0< a 1a 2…a n n = a 1a 2…a N 1n · a N 1+1a N 1+2…a n n< a 1a 2…a N 1n·εn −N 1n< a 1a 2…a N 1·ε−N 1n·ε,∵lim n →∞a 1a 2…a N 1·ε−N 1n=1，从而存在N 2，使当n>N 2时，a 1a 2…a N 1·ε−N 1n<2，故当n>N=max{N 1,N 2}时，必有0< a 1a 2…a n n <2ε，∴lim n →∞a 1a 2…a n n=a.4、应用上题的结论证明下列各题： (1)limn →∞1+12+⋯+1nn=0；(2)lim n →∞a n =1(a>0)；(3)lim n →∞n n=1；(4)limn →∞n !n=0；(5)limn →∞ n !n=e ；(6)lim n →∞1+ 2+⋯+ n nn =1；(7)若limn →∞b n +1b n=a (b n >0)，则lim n →∞b n n =a ；(8)若lim n →∞a n −a n−1 =d ，则limn →∞a nn=d .证：(1)∵lim n →∞1n =0；∴limn →∞1+12+⋯+1nn =0；(2)设a 1=a, a n =1 (n=2,3…)，则lim n →∞a n =1；∴lim n →∞a n=lim n →∞a 1a 2…a n n =1.(3)设a 1=1, a n =nn −1 (n=2,3…)，则lim n →∞a n =1；∴lim n →∞n n=lim n →∞a 1a 2…a n n =1.(4)limn →∞n !n=lim n →∞11·12···1n n=limn →∞1n=0.(5)设a n =n nn ! (n=1,2…)，则a 1=1;limn →∞ n !n=lim n →∞a n n=lim n →∞a 2a 1·a 3a 2···a nan −1n=limn →∞a na n −1=lim n →∞1+1n−1n−1=e.(6)lim n →∞1+ 2+⋯+ n nn =lim n →∞n n=1. (7)令b 0=1，则lim n →∞b n n =lim n →∞b 1b 0·b 2b 1·b3b 2···b nb n −1n=limn →∞b n +1b n=a (b n >0).(8) lim n →∞a nn=lim n →∞(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+⋯+(a n −a n −1)n+a1n =lim n →∞a n −a n−1 =d .5、证明：若{a n }为递增数列，{b n }为递减数列，且lim n →∞(a n −b n )=0，则lim n →∞a n 与lim n →∞b n 都存在且相等.证：∵lim n →∞(a n −b n )=0，∴{a n -b n }有界，不妨设A ≤a n -b n ≤B ，A,B 为常数. ∵{a n }递增，{b n }递减，∴a n ≤B+b n ≤B+b 1，b n ≥a n -B ≥a 1-B. ∴{a n }{b n }单调有界 ∴{a n }{b n }都有极限. 而lim n →∞(a n −b n )= lim n →∞a n −lim n →∞b n =0，∴lim n →∞a n =lim n →∞b n .6、设数列{a n }满足：存在正数M ，对一切n 有： A n =|a 2-a 1|+|a 3-a 2|+…+|a n -a n-1|≤M 证明：{a n }与{A n }都收敛。

数列极限证明练习题

数列极限证明练习题在数学中，数列极限是一种重要的概念，它描述了数列随着项数的增加逐渐趋向于一个确定的值。

在这篇文章中，我们将讨论一些数列极限的证明练习题，帮助读者更好地理解这个概念。

一、数列极限的定义在开始解答练习题之前，我们先回顾一下数列极限的定义。

给定一个数列 {a_n}，如果存在一个实数 L，对于任意给定的正数ε，总能找到一个正整数 N，使得当 n > N 时，有 |a_n - L| < ε 成立，则称数列{a_n} 的极限为 L，记作lim (n→∞) a_n = L。

二、练习题1. 证明数列 {a_n} = (n + 1)/(n + 2) 收敛，并求出其极限。

解法：对于任意给定的正数ε，我们需要找到一个正整数 N，使得当 n > N 时，有 |(n + 1)/(n + 2) - L| < ε 成立。

根据等式的性质，我们可以对不等式进行等价变形，得到 |1/(n + 2) - L/(n + 2)| < ε。

由于 L 是一个确定的值，我们可以将等式转化为 |1/(n + 2) - L/(n + 2)| = |(1 - L)/(n + 2)|。

根据绝对值的性质，我们可以进一步得到 1/(n + 2) - L/(n + 2) = |(1 - L)/(n + 2)| < ε。

通过化简不等式，可得 |1 - L|/(n + 2) < ε。

由于在不等式中 n 是一个自变量，我们可以选择一个足够大的正整数 N，使得当 n > N 时，有1/(n + 2) < ε。

这样，我们就找到了满足题目要求的正整数 N。

因此，根据极限的定义，数列 {a_n} = (n + 1)/(n + 2) 的极限为 1。

2. 证明数列 {a_n} = sqrt(n)/(n + 1) 收敛，并求出其极限。

解法：我们同样需要找到一个正整数 N，使得当 n > N 时，有 |sqrt(n)/(n + 1) - L| < ε 成立。

高中数列极限练习题

数列极限1.极限概念：一般地，当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数A （即n a A -无限地接近于0），那么就说数列{}n a 以A 为极限，或者说A 是数列{}n a 的极限。

（由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）。

记法：lim n n a A →+∞=；读作：“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”；注意：（1）}{n a 是无穷数列；（2）数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的；（3）不是所有数列都存在极限；如：21,n a n n N *=-∈；2.极限第二定义：对于无穷数列{}n a ，若存在一个常数A ，对于任意小的正数ε，总存在自然数m N *∈，使得当n m >时，n a A ε-<恒成立，则称A 是数列{}n a 的极限。

!说明：lim n n a A →+∞=的几何意义：从几何上看，数列{}n a 的极限为A ，是指以A 为中心的区间(,)A A εε-+，必然从某项1m a +起，后面的所有项都落在区间(,)A A εε-+之中。

换句话说，数列{}n a 至多有m 项123,,,...,m a a a a 落在区间(,)A A εε-+之外。

例1.求下列无穷数列极限：（1）数列,21,,161,81,41,21n ；（2）数列 ,1,,43,32,21+n n；（3）数列 ,)1(,,31,21,1nn---；例2.判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1111,,,...,,...23n；*（2）2,2,2,...,2,...----；（3）0.1,0.1,0.1,...,(0.1),...n---；（4）11,2,4,8,16,...,2,...n -；（5）1,1,1,...,(1),...n---；（6）3,........20102,. (20102010)n n a n N n n n *≤⎧⎪=∈⎨>⎪-⎩解：（1）10lim n n→∞=；（2）(2)2lim n →∞-=-；（3）(0.1)0lim nn →∞-=n )1.0(-＝0；（4）不存在；（5）数列{(1)}n-无极限；（6）lim 2n n a →+∞=；）归纳：（1）0,lim n aa n→∞=为常数；（2）(1,1)0,lim nn q q→∞∈-=；1,lim n n q q →∞=-不存在；,1lim n n q q →∞==（3）,0lim n an b a c cn d c →∞+=≠+；2,0,lim n an b a c cn d →∞+≠+不存在；2,0,0lim n an ba c cn d →∞+≠=+；3.极限的运算法则：(i)设lim ,lim ,,,,n n n n a A b B m n N k C *→+∞→+∞==∈为常数。

数列极限计算练习题

数列极限计算练习题数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列有序的数字组成。

而数列极限是指数列随着项数增加，逐渐趋向于某个确定的值。

在数学中，我们经常需要计算数列的极限，这是一个能够帮助我们深入理解数列性质的重要工具。

本文将为您提供一些数列极限计算的练习题，希望可以帮助您提升数列极限计算的能力。

练习一：求极限1. 设数列 $a_n = \frac{n+3}{n+1}$，求 $\lim_{n \to \infty} a_n$。

解析：为了求得该数列的极限，我们可以对数列进行简化，将其化简为一个更容易计算的形式。

通过观察数列，我们可以发现分子和分母的最高次数都为$n$，因此我们可以用$n$去除分子和分母，得到：$a_n = \frac{n+3}{n+1} = \frac{1+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}$当$n$趋近于无穷大时，分数$\frac{3}{n}$和$\frac{1}{n}$的值都趋近于0，因此我们可以将它们忽略不计。

最后，我们得到：$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1+0}{1+0} = 1$因此，数列 $a_n$ 的极限为1。

2. 设数列 $b_n = \frac{n^2 - 2n + 1}{n^2 + 1}$，求 $\lim_{n \to \infty} b_n$。

解析：我们可以将分子和分母进行因式分解，得到：$b_n = \frac{(n-1)^2}{n^2+1}$当$n$趋近于无穷大时，$(n-1)^2$和$n^2$的值都趋近于无穷大，因此我们可以将它们忽略不计。

最后，我们得到：$\lim_{n \to \infty} b_n = \frac{\infty}{\infty}$对于这种形式的极限计算，我们可以利用洛必达法则。

洛必达法则可以用于解决形式为$\frac{\infty}{\infty}$的不定型，即分子和分母都趋近于无穷大的情况。

证明数列极限的题目及答案

证明数列极限的题目及答案关键信息项：1、数列的表达式：＿___________________2、所给定的极限值：＿___________________3、证明所使用的方法：＿___________________4、证明过程中的关键步骤和推理：＿___________________5、最终得出结论的依据：＿___________________11 题目设数列｛an} 满足 an ＝（n ＋ 1) ／ n ，证明当 n 趋向于无穷大时，数列｛an} 的极限为 1 。

111 证明对于任意给定的正数ε ，要找到一个正整数 N ，使得当 n ＞ N 时，｜an 1| ＜ε 成立。

＼＼begin{align}｜an 1| ＆＝＼left|＼frac{n ＋ 1}｛n} 1\right|＼＼＆＝＼left|＼frac{n ＋ 1 n}｛n}＼right|＼＼＆＝＼frac{1}｛n}＼end{align}＼为了使＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），即＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼）。

所以取＼（N ＝＼left\frac{1}｛ε}＼right ＋ 1\）（其中＼（＼cdot\）表示取整函数），当＼（n ＞ N\）时，有＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼），即＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），所以＼（｜an 1| ＜ε\）。

综上，根据数列极限的定义，当 n 趋向于无穷大时，数列｛an} 的极限为 1 。

12 题目设数列｛bn} 满足＼（bn ＝＼frac{1}｛n}＼），证明当 n 趋向于无穷大时，数列｛bn} 的极限为 0 。

121 证明对于任意给定的正数ε ，要找到一个正整数 N ，使得当 n ＞ N 时，＼（｜bn 0| ＜ε\）成立。

＼｜bn 0| ＝＼left|＼frac{1}｛n} 0\right| ＝＼frac{1}｛n}＼为了使＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），即＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼）。

高数极限基础练习题

高数极限基础练习题一、数列极限1. 计算下列数列的极限：(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n+3}$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 1}{n^2 + 1}$(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + n}}{n + 1}$ 2. 判断下列数列极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{n \to \infty} (1)^n$(2) $\lim_{n \to \infty} \sin(n\pi)$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}$二、函数极限1. 计算下列函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 1}{x 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x 1}{x}$2. 判断下列函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$(3) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$三、无穷小与无穷大1. 判断下列表达式是否为无穷小：(1) $\frac{1}{x^2}$ 当 $x \to \infty$(2) $\sin \frac{1}{x}$ 当 $x \to \infty$(3) $e^{x}$ 当 $x \to \infty$2. 判断下列表达式是否为无穷大：(1) $x^3$ 当 $x \to \infty$(2) $\ln x$ 当 $x \to \infty$(3) $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 当 $x \to 0^+$四、极限运算法则1. 利用极限运算法则计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} (3x^2 + 2x 1)$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 3x^2 + 2x}{x^2 2x + 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} (x^3 2x^2 + 3)$2. 利用极限的性质，计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{1}{\cos x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x e^{x}}{2x}$五、复合函数极限1. 计算下列复合函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sqrt{x^2 + 1})}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} 1}{x^2}$2. 判断下列复合函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\tan x)}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(e^x + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 \cos(\sqrt{x})}{x}$六、极限的应用1. 计算下列极限问题：(1) 设 $f(x)2. 已知函数 $f(x) = \frac{x^2 1}{x 1}$，求 $\lim_{x \to 1} f(x)$。

高中数列极限练习题

高中数列极限练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN数列极限1.极限概念：一般地，当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数A （即n a A -无限地接近于0），那么就说数列{}n a 以A 为极限，或者说A 是数列{}n a 的极限。

（由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）。

说明：lim n n a A →+∞=的几何意义：从几何上看，数列{}n a 的极限为A ，是指以A 为中心的区间(,)A A εε-+，必然从某项1m a +起，后面的所有项都落在区间(,)A A εε-+之中。

换句话说，数列{}n a 至多有m 项123,,,...,m a a a a 落在区间(,)A A εε-+之外。

例1.求下列无穷数列极限：（1）数列 ,21,,161,81,41,21n ；（2）数列 ,1,,43,32,21+n n；（3）数列 ,)1(,,31,21,1nn---；例2.判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1111,,,...,,...23n；（2）2,2,2,...,2,...----；（3）0.1,0.1,0.1,...,(0.1),...n ---；（4）11,2,4,8,16,...,2,...n -；（5）1,1,1,...,(1),...n ---；（6）3,........20102,.......20102010n n a n N n n n *≤⎧⎪=∈⎨>⎪-⎩解：（1）10limn n →∞=；（2）(2)2lim n →∞-=-；（3）(0.1)0lim n n →∞-=n )1.0(-＝0；（4）不存在；（5）数列{(1)}n -无极限；（6）lim 2n n a →+∞=；归纳：（1）0,lim n aa n→∞=为常数；（2）(1,1)0,lim n n q q →∞∈-=；1,lim n n q q →∞=-不存在；,1lim n n q q →∞==（3）,0lim n an b ac cn dc →∞+=≠+；2,0,lim n an b a c cnd →∞+≠+不存在；2,0,0limn an ba c cn d→∞+≠=+； 3.极限的运算法则：(i)设lim ,lim ,,,,n n n n a A b B m n N k C *→+∞→+∞==∈为常数。

数列极限中的典型例题

于是
0<
+1
=1

− < 1, = 1,2, ⋯
所以数列单调减且有下界，因此 lim = 存在。在递推公式 + = ( − )
→∞
两边令 → ∞取极限得， = (1 − ),所以
lim = =0
→∞
取 =
1
,

= 1,2, ⋯ , 则
1,2, ⋯ , ln( − )均有意义，由于对 > 0, 不等式ln ≤ − 1恒成立，因此有
+1 − = ln − ≤ − − 1, = 2,3, ⋯ .
由此得，
S+1 ≤ − 1, = 2,3, ⋯
.
从而得，
ln( − S+1 ) ≥ ln − + 1 = 0, = 2,3, ⋯

→∞
=0
证明令 = + + ⋯ + ， = 1,2, ⋯ ，及 lim = .则
→∞
1 = 1， = − −1, = 1,2, ⋯ ，
于是
11 + 22 + ⋯ + 11 + 2(2−1) + ⋯ + ( −−1)

也存在或为+∞，且
→∞
+∞时, lim

− +1
lim
= lim
→∞
→∞ − +1
∞
+1 −
存在或为+∞时，
→∞ +1 −
斯铎兹定理2(∞型）设数列{ }单调增加且 lim = +∞.如果 lim

数列的极限;数列极限的运算法则·双基能力训练

数列的极限；数列极限的运算法则·双基能力训练(一)选择题：1．对于无穷数列｛a n｝，有下列四个命题：①｛a n｝一定有极限；②若｛a n｝是等差数列，那么｛a n｝有极限的充要条件是它的公差为0；③若｛a n｝为等比数列，那么当公比q＜1时，｛a n｝有极限；④若｛a n｝为递增数列，那么｛a n｝一定没有极限．以上命题中，正确命题的个数是[ ]A．0个B．1个C．2个D．3个2．下列命题中，一定正确的是[ ]3．下列无穷数列中，极限为零的是[ ]都小于ε，则N可以取[ ]A．30B．31C．33D．34[ ]A．0＜x＜1 B．0≤x≤1 C．0≤x＜1 D．x≥1或x＜0A．-1B．1C．1或-1D．a8．已知｛a n｝是等比数列，如果a1＋a2=12，a2＋a3＝-6，且A．8B．16C．32D．48(二)填空题：14．已知｛a n｝是公差不为零的等差数列，如果S n是｛a n｝的前n(三)解答题：16．已知等比数列｛a n｝，其中a n＞0，公比为q(0＜q≤1)，记17．一个球自6m高的地方自由下落，触地后回弹高度为原高度的数列的极限；数列极限的运算法则·双基能力训练·答案提示(一)1．B 2．D3．A 4．C5．C 6．B 7．C8．B提示：(三)(2)a＝0，b＝10．＜5．17．设第一次落地时运动的路程为a1，第二次为a2，第三次为a3，…＝12(m)∴球运动的总路程为12m（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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