泛函分析中的概念和命题

泛函分析中的概念和命题

赋空间，算子，泛函

定理：赋线性空间是有限维的当且仅当它的单位球是列紧的；有限维赋线性空间上的任两个数是等价的；有限维赋线性空间是Banach 空间.

定理：M 是赋线性空间()||||,?X 的一个真闭线性子空间，则,1||||,,0=∈?>?y X y ε使得： M x x y ∈?->-,1||||ε

定理：设X 是赋线性空间，f 是X 上的线性泛函，则

1.*

X f ∈()()的闭线性子空间是X x f X x f N }0|{=∈=? 2.()()中稠密在是不连续的非零线性泛函X f N x f ?

定理：()空间是空间是则是赋范空间，Banach ,Banach },{,Y X B Y X Y X ?≠θ ()()()||||||||||||,,,,,,,,B A AB Z X B AB Z Y B Y X B A Z Y X ≤∈∈∈且则是赋范空间，

可分B 空间：()()[]可分b a C c c p l L p P ,,,,1,1,00∞<≤ ()∞∞l L ,10，

不可分 Hahn-Banach 泛函延拓定理

设X 为线性空间，上的实值函数是定义在X p ，若：

(1)()()()()为次可加泛函则称p X y x y p x p y x p ,,,∈?+≤+

(2)()()()

为正齐性泛函，则称p X x x p x p ∈?≥?=,0,ααα (3) ()()()

为对称泛函，则称p X x x p x p ∈?∈?=,K ,||ααα 实Hahn-Banach 泛函定理: 设X 是实线性空间，()x p 是定义在X 上的次可加正齐性泛函，0X 是X 的线性子空间，0f 是定义在0X 上的实线性泛函且满足()()()00X x x p x f ∈?≤，则必存在一个定义在X 上的实线性泛函f ，且满足：

1．()()()X x x p x f ∈?≤0

2. ()()()00X x x f x f ∈?=

复Hahn-Banach 泛函定理: 设X 是复线性空间，()x p 是定义在X 上的次可加对称泛函，0X 是X 的线性子空间，0f 是定义在0X 上的线性泛函且满足()()()00||X x x p x f ∈?≤，则必存在一个定义在X 上的线性泛函f ，且满足：

1．()()()X x x p x f ∈?≤||0

2. ()()()00X x x f x f ∈?=

定理: 设X 是线性空间， 若}{θ≠X ， 则在X 上必存在非零线性泛函。

Hahn-Banach 延拓定理: 设X 是赋线性空间， 0X 是X 的线性子空间，0f 是定义在0X 上的有界线性泛函，则必存在一个定义在X 上的有界线性泛函f ，满足：

1．0||||||||0X f f =

2. ()()()00X x x f x f ∈?=

定理：设X 是赋线性空间，M 是X 的线性子空间，(),0,,00>=∈d M x X x ρ则必有 *X f ∈，满足：

(1)()()1||||)3()2(,00==∈?=f d x f M x x f ；；

定理：设X 是赋空间，()1||||||,||,},{00*0==∈?-∈?f x x f X f X x 使必θ

定理：设X 是赋空间，1}||||,|)(sup{|||||,*000=∈=∈?f X f x f x X x ：必有

凸集分离定理

极大线性子空间：一个线性空间的子空间，真包含它的线性空间是全空间

超平面：它是线性空间中某个极大线性子空间对某个向量的平移，也称极大线性流形

承托超平面：的在点凸集0x E 承托超平面0x L L E L 有公共点的一侧，且与在是指 Minkowski 泛函：上作一个点的凸子集，在的含有是是线性空间，设X X M X θ 取值于],0[+∞的函数： ()()X x M x x p ∈?∈>=},|

0inf{λλ

与M 对应，称函数p 为M 的Minkowski 泛函

定理：L 是赋空间X 的(闭)超平面?存在X 上的非零(连续)线性泛函f 及

()}|{,,r x f X x H H L R r r f r

f =∈==∈其中使

Hahn-Banach 定理的几何形式: 设X 是赋空间，E 是X 的具有点的真凸子集，又设00,x E E X x 与离则必存在一个超平面分-∈

定理：设X 是赋空间，；具有内点，且的两个非空凸集，是和φ=?F E E X F E 0

则 F E H X f s s

f 和分离使得超平面及},{R *θ-∈∈?

Ascoli 定理：设X 是赋空间，E 是X 的真闭凸子集，则R ,,*0∈∈?-∈?αX f E X x 适合

()()()E x x f x f ∈?<<，

0α Mazur 定理：设X 是赋空间，E 是X 的一个有点的凸子集，F 是X 的一个线性流形，又设的一侧在，使的闭超平面则存在一个包含L E L F F E ,0φ=?

定理：设X 是赋空间，E 是X 的一个含有点的闭凸集，则通过E 的每个边界点都可以作出E 的一个承托超平面

基本定理

定理：()()()εθθε,1,,0,Banach ,O TB Y X B T Y X ?>?∈使得是满射，则空间，是设 开映射定理：()是开映射是满射，则空间，是设T Y X B T Y X ,Banach ,∈

Banach 逆算子定理：()()Y X B T Y X B T Y X ,,Banach ,1∈∈-是双射，则空间，是设

等价数定理：设X 是线性空间，1||||?和2||||?是X 上的两个数，若X 关于这两个数都成为Banach 空间，而且2||||?强于1||||?，则1||||?也强于2||||?，从而1||||?和2||||?等价

闭算子：是赋范空间，设Y X ,()的映射，到是Y X T D T ?若T 的图像()()}|,{T D x Tx x ∈是

赋线性空间Y X ?中的闭集，则称T 是闭映射或闭算子

闭算子判别定理：设Y X ,是赋空间，()??是闭映射的映射，则到是T Y X T D T

(),}{T D x n ??若()00000,,Tx y T D x Y y Tx X x x n n =∈∈→∈→，且则

闭图像定理：空间，

是设Banach ,Y X ()的线性映射到是Y X T D T ?，而且是闭算子，若 ()T D 是X 的闭线性子空间，则T 是连续的

定理：空间，

是设Banach ,Y X 的线性算子到是Y X T ，则T 连续?T 是闭算子 共鸣定理：空间，是设Banach X Y 是赋空间，().,,Λ∈∈λλY X B T 如果X x ∈?，都有

有界：则}||{||,||||sup Λ∈+∞<Λ

∈λλλλT x T

自反空间与共轭算子

除声明外下面的Y X ,都是一般的赋线性空间

共轭空间：[]()[]()

共轭，，q p p b a C l c c l l L L q p q P ,,1b ,a V ,,)(,)(,)(0*1*0***∞<≤===== 伴随算子:()

()()()||||||||,,*******T T X Y B T f f T Tx f x f Y X B T =∈==∈，，，， 1.()()||||||||,,,**********T T T T X X T T X B T ==∈的延拓且是则的子空间看成若将记 2.()()1*

*1*)(,--=?∈T T T T Y X B T 有有界逆，且此时有有界逆，则

3.()()的保范线性算子到是由映射***,,X Y B Y X B A A α

4.()()()***,,,,A B AB Z Y B B Y X B A =∈∈则若 定理：若)(11*不自反，可分。

可分，则l L X X ?；X 是Banach 空间，自反自反X X ?* 自反空间的闭线性子空间是自反空间

自然嵌入映射**x x →：τ是赋空间X 到**X 的保的有界线性算子，即：||||||||**x x =

Riesz 表示定理：设X 是局部紧空间，()()则：时，

},|sup{|||||X x x f f X C f c ∈=∈ (1) 若()X C c 是?上的正线性泛函，则存在X 上一个正则Borel 测度u ，使得对任()

X C f c ∈都有()?=u f f d ?

(2) 若()*X C c ∈?，则存在X 上一个广义正则Borel 测度u ，使()?=u f f d ?

(3) 若()X C c 是X 上具有紧支集的复连续函数空间，则对()X C c 上任一有界复线性泛函?，

存在复正则Borel 测度u ，使()?=u f f d ?

弱收敛和弱列紧

基本概念：弱收敛；算子列的一致收敛，强收敛，弱收敛；泛函列的*弱收敛；

弱列紧；局部弱列紧；*弱列紧；局部*弱列紧

定理：设()()当且仅当：强收敛于某个空间，是Y X T Y X B T Y X n ,B ,}{Banach ,∈?

1.()K ,3,2,1||||0||}{||=≤>n M T M T n n ，使有界，即有

2.收敛，

，使中的稠集存在}{x T D x D X n ∈?

定理：设当且仅当：弱收敛于某个则空间，是***}{,}{Banach X f f X f X n n ∈?

1.有界；||}{||n f

2.()收敛，

，使中的稠集存在}{x f D x D X n ∈? 定理：设当且仅当：弱收敛于某个是赋范空间，则X x X x X n ∈?}{

1.有界；||}{||n x

2.()()x f x f D f D X n 收敛于，有，使中的稠集存在}{*∈?

定理：设,}{X x X x X n ∈?弱收敛于某个是赋范空间，

则存在由}{n x 的凸组合构成的点列使其强收敛到x ，且||||lim ||||n n x x ∞

→≤ 定理：可分赋空间的共轭空间是局部*弱列紧的；自反空间是局部弱列紧的

Hilbert Space

基本概念：除声明外下面所涉及的空间都是Real or Complex Hilbert Space X

积：一个(数域K 上)线性空间X 上的积指的是共轭双线性泛函：K →?X X ，它满足正定性和共轭对称性。积空间：定义了积的线性空间。定义了积的复(实)线性空间称为复(实)积空间。积导出的数满足平行四边形公式。积(按积导出的数)是X X ?上的连续函数.若由积导出的数是完备的，这样的积空间称为Hilbert 空间

定理：设()()??,,X 是积空间，||||?是由积()??,导出的数，则||||?与()??,满足如下关系：当X 是

实线性空间时，()()X y x y x y x y x ∈?--+=,,||||||||4

1,22 当X 是复线性空间时，()()

X y x iy x i iy x i y x y x y x ∈?--++--+=,,||||||||||||||||4

1,2222 极化恒等式：()()()()()[]iy x iA iy x iA y x A y x A y Ax --++--+=41,，()()x Ax x A ,= 定理：为了在赋线性空间()||||,?X 中引入积()??,，使得由()??,导出的数就是||||?，当且仅当||||?满足平行四边形公式：()2222||||||||2||||||||y x y x y x +=-++

定理：设()()??,,X 是积空间，M 是X 的非空子集，()X n y y x n ∈=K ,2,1,,，则

1.2

22||||||||||||y x y x y x +=+?⊥ 2.()y x y y n y x n n ⊥?→=⊥,,2,1K 3.M x M x span ⊥?⊥ 4.()⊥⊥⊥⊥

=?M M M M , 5.}{θ=?⊥M X M 中稠在 6.()⊥

⊥⊥=spanM M X M 的闭线性子空间，且是

定理：设X 是希尔伯特空间，M 是X 的非空闭凸子集，则M y X x o ∈?∈?唯一的,，使得()}||inf{||,||||0M y y x M x y x ∈-==-：ρ

正交分解定理：设M 是希尔伯特空间X 的一个闭线性子空间，X x ∈?，存在唯一的正交

分解：⊥⊥⊕=∈∈+=M M X M x M x x x x 即：),,(,1010

定理：设()()??,,X 是希尔伯特空间，M 是X 的线性子空间，则：

1.()M M =⊥⊥

2. }{θ=?⊥M X M 中稠在

定理：系中必存在完备标准正交空间}){(θ≠H H H ilb ert

定理：假定}|{Λ∈=ααe S 是中的标准正交系空间H H ilb ert ，那么.H x ∈?有Parseval 不等式：∑Λ

∈≥αα2||||2||||c x

定理：}|{Λ∈=ααe S 是中的完备标准正交系空间H Hilbert ，?.H x ∈?有Fourier 展开式和Parseval 等式：∑Λ

∈=∑Λ∈=ααααα2||||2||||,c x e c x ，

其中：()()系数的称为Fourier ,x e x c Λ∈=ααα。完备S S 则称若},{θ=⊥

定理：}|{Λ∈=ααe S 是中的完备标准正交系空间H Hilbert ，?.,H y x ∈?有： ()()()αααe y e x y x ,,,∑Λ

∈=

定理：标准正交系}|{Λ∈=ααe S 完备()成立等式H x ∈??Parseval

定理：定是可数的中的完备标准正交系一空间可分H Hilbert 。

定理：同构空间空间与无穷维可分2Hilbert Hilbert l ；实(复)有穷维可分Hilbert 空间都与Hilbert 空间()n

n C R 同构 Riesz 表示定理：设()()??,,X 是希尔伯特空间，f 是X 上的连续线性泛函，则必有唯一的 X y ∈，使得：()()||||||||.,,y f X x y x x f =∈?=而且

有界双线性泛函：()()()y A x y Ax y x *,,,==?，A 被?唯一确定