中考点直线与圆的位置关系试题汇编

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中考数学考点30点、直线与圆的有关位置关系总复习(解析版)

点、直线与圆的有关位置关系【命题趋势】在中考中.与圆有关的位置关系.主要考查点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系。

该内容主要是以选择题、填空题、综合解答题的形式来考查.分值为3～10分．主要考点为点与圆、直线与圆的位置关系.圆切线的性质和判定等。

【中考考查重点】一、点、直线与圆的有关位置关系二、切线性质的有关证明与计算三、切线判定的有关证明与计算考点：点与圆的有关位置关系（设⊙O 的半径为r.点P 到圆心O 的距离为d ）位置关系图形定义性质及判定点在圆外点在圆的外部d >r ⇔点P 在圆外点在圆上点在圆周上 d =r ⇔点P 在圆上点在圆内点在圆的内部 d <r ⇔点P 在圆内三点定圆的画法： 1）连接线段AB,BC 。

2）分别作线段AB,BC 的垂直平分线。

两条垂直平分线交点为O.此时OA=OB=OC 。

于是以点O 为圆心.以OA 为半径.便可作出经过A 、B 、C 的圆.这样的圆只能是一个。

定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。

1.（2021春•九龙坡区校级期末）在平面直角坐标系中.以点（3.﹣4）为圆心.2为半径的圆.与直线x ＝1的位置关系为（）Pr OPr OPr OA ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定【答案】B【解答】解：∵点（3.﹣4）到直线x ＝1的距离为2.半径为2. 则有2＝2.∴这个圆与直线x ＝1相切．故选：B ．2.（2020秋•钦州期末）在平面直角坐标系中.以点（﹣2.3）为圆心.半径为3的圆一定（） A ．与x 轴相切.与y 轴相切 B ．与x 轴相切.与y 轴相交 C ．与x 轴相交.与y 轴相切 D ．与x 轴相交.与y 轴相交【答案】B【解答】解：∵点（﹣2.3）到x 轴的距离是3.等于半径. 到y 轴的距离是2.小于半径. ∴圆与y 轴相交.与x 轴相切．故选：B ．考点：直线与圆的位置关系设⊙O 的半径为r .圆心O 到直线l 的距离为d .则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点 d >r ⇔直线l 与⊙O 相离相切直线与圆有唯一公共点.直线叫做圆的切线.公共点叫做切点d =r ⇔直线l 与⊙O 相切相交直线与圆有两个公共点.直线叫做圆的割线d <r ⇔直线l 与⊙O 相交切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

专题2.3 直线与圆的位置关系(专项拔高卷)学生版-2024-2025学年九年级数学上册真题汇编章节

2024-2025学年苏科版数学九年级上册同步专题热点难点专项练习专题2.3 直线与圆的位置关系（专项拔高卷）考试时间：90分钟试卷满分：100分难度：0.52姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•金华期末）AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°2．（2分）（2022秋•阳谷县期末）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．平行3．（2分）（2022秋•河西区校级期末）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝35°，则∠OCB的度数为（）A．42.5°B．55.5°C．62.5°D．75°4．（2分）（2023春•青山区校级月考）如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是其内心，BI⊥OI，AC＝14，BC ＝13，△ABC内切圆半径为（）A．4 B．C．D．5．（2分）（2022秋•大荔县期末）如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心．若∠A＝84°，则∠D的度数为（）A．42°B．66°C．76°D．82°6．（2分）（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上一点，BD垂直平分OE交⊙O于点D，过点D的切线与BE的延长线交于点C．若，则AB的长为（）A．4 B．2 C．D．7．（2分）（2023•哈尔滨）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，点C在⊙O上，OC⊥OA，连接BC并延长，交⊙O于点D，连接OD，若∠B＝65°，则∠DOC的度数为（）A．45°B．50°C．65°D．75°8．（2分）（2023•遵义一模）如图，AB是半圆O的直径，点P为BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．若CD＝2，BD＝4，则⊙O的半径为（）A．3 B．2 C．2.5 D．29．（2分）（2023•江岸区模拟）如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，I为△ABC内心，AI交⊙O于D，OI ⊥AD于I，若CD＝4，则AC为（）A．B．C．D．510．（2分）（2022•成县校级模拟）如图，⊙O与∠A＝90的Rt△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若BE＝10，CF＝3，则⊙O的半径为（）A．5 B．4 C．3 D．2评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•柯桥区校级模拟）如图AB、AC、BD是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝5，BD ＝2，则AC的长是．12．（2分）（2022秋•启东市校级期末）如图，AB为⊙O的直径，CB为⊙O的切线，AC交⊙O于D，∠C＝38°．点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是．13．（2分）（2022秋•河西区校级期末）如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝8，AB＝10，⊙O的半径为4，点P是AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则PQ的最小值为．14．（2分）（2023•青海）如图，MN是⊙O的切线，M是切点，连接OM，ON．若∠N＝37°，则∠MON的度数是．15．（2分）（2022秋•建昌县期末）如图，点O是△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝3，OC＝6，，则⊙O的半径为．16．（2分）（2023•西陵区模拟）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图，用角尺的较短边紧靠⊙O于点A，并使较长边与⊙O相切于点C．记角尺的直角顶点为B，量得AB＝8cm，BC＝16cm，则⊙O的半径等于cm．17．（2分）（2023•安岳县二模）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，EA切⊙O于点A，交CD的延长线于点E．若∠ABC＝75°，则∠E的度数为．18．（2分）（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为．19．（2分）（2022秋•鼓楼区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，直线l经过△ABC的内心O，过点C作CD⊥l，垂足为D，连接AD，则AD的最小值是．20．（2分）（2022秋•滨湖区校级期中）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F、G分别在AD、BC上，连结OG、DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则BC﹣AB的值，CD+DF的值．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•鞍山二模）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O恰好经过点C，点D为半圆AB 中点，连接CD，过D作DE∥AB交AC延长线于点E．（1）求证：DE为⊙O切线：（2）若AC＝4，，求⊙O的半径长．22．（6分）（2023•槐荫区模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，⊙O的切线BD交OC的延长线于点D．（1）求证：∠DBC＝∠OCA；（2）若∠BAC＝30°，AC＝2．求CD的长．23．（8分）（2022秋•嘉祥县校级期末）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．24．（8分）（2022秋•平阴县期末）如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．（1）求证：AE平分∠BAC；（2）若，∠BAC＝60°，求⊙O的半径．25．（8分）（2023•宛城区二模）如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计（相对当时的生产力），包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图②是马车的侧面示意图，AB为车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD．（1）徽徽猜想∠C+2∠BDC＝90°，徽徽的猜想正确吗？请说明理由；（2）若，BC＝2米，求车轮的直径AB的长．26．（8分）（2023•晋安区校级模拟）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB 于点E，且∠ACP＝60°，PA＝PD．（1）证明：PD是⊙O的切线．（2）若点C是弧AB的中点，已知AB＝2，求CE•CP的值．27．（8分）（2022秋•惠阳区校级期末）（1）如图1，在菱形ABCD中，点E，F分别为边CD，AD的中点，连接AE，CF．求证：AE＝CF．（2）如图2，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，连接CO交⊙O于点D，CO的延长线交⊙O于点E，连接BE，BD，∠ABD＝25°，求∠C的度数．28．（8分）（2023•绥江县二模）如图1，在四边形ABCD中，AD＝CD＝6，∠B＝60°，以AB为直径所作的⊙O经过点C，且与AD相切于A点，连接AC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）⊙E是△ACD的外接圆，不与A、D重合的点F在⊙E的劣弧AD上运动（如图2所示）．若点P、Q 分别为线段AC、CD上的动点（不与端点重合），当点F运动到每一个确定的位置时，△FPQ的周长有最小值m，随着点F的运动，m的值也随之变化，求m的最大值．。

最新中考数学真题汇编32点直线与圆的位置关系(含答案解析)

点直线与圆地位置关系一、选择题1．(年天津市，第7题3分)如图，AB是⊙O地弦，AC是⊙O地切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C地大小等于（）A． 20°B．25°C．40°D．50°考点：切线地性质．分析：连接OA，根据切线地性质，即可求得∠C地度数．解答：解：如图，连接OA，∵AC是⊙O地切线，∴∠OAC=90°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=25°，∴∠AOC=50°，∴∠C=40°．点评：本题考查了圆地切线性质，以及等腰三角形地性质，已知切线时常用地辅助线是连接圆心与切点．2.（•邵阳，第8题3分）如图，△ABC地边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C地大小是（）A．30°B．45°C．60°D．40°考点：切线地性质专题：计算题．分析：根据切线地性质由AB与⊙O相切得到OB⊥AB，则∠ABO=90°，利用∠A=30°得到∠AOB=60°，再根据三角形外角性质得∠AOB=∠C+∠OBC，由于∠C=∠OBC，所以∠C=AOB=30°．解答：解：连结OB，如图，∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∵∠A=30°，∴∠AOB=60°，∵∠AOB=∠C+∠OBC，而∠C=∠OBC，∴∠C=AOB=30°．故选A．点评：本题考查了切线地性质：圆地切线垂直于经过切点地半径．3. （•益阳，第8题，4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2地⊙P地圆心P地坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移地距离为（）（第1题图）A．1 B．1或5 C．3 D．5考点：直线与圆地位置关系；坐标与图形性质．分析：平移分在y轴地左侧和y轴地右侧两种情况写出答案即可．解答：解：当⊙P位于y轴地左侧且与y轴相切时，平移地距离为1；当⊙P位于y轴地右侧且与y轴相切时，平移地距离为5．故选B．点评：本题考查了直线与圆地位置关系，解题地关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心地距离等于圆地半径．4．（年山东泰安，第18题3分）如图，P为⊙O地直径BA延长线上地一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙上一点，连接P D．已知PC=PD=B C．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．其中正确地个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个分析：（1）利用切线地性质得出∠PCO=90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO=∠PDO=90°，得出答案即可；（2）利用（1）所求得出：∠CPB=∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；（3）利用全等三角形地判定得出△PCO≌△BCA（ASA），进而得出CO=PO=AB；（4）利用四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，则DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，求出即可．解：（1）连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，∴PD与⊙O相切，故此选项正确；（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故此选项正确；（3）连接AC，∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，∴CO=PO=AB，∴PO=AB，故此选项正确；（4）∵四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，∴DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，∴∠PDB=120°，故此选项正确；故选：A．点评：此题主要考查了切线地判定与性质和全等三角形地判定与性质以及菱形地判定与性质等知识，熟练利用全等三角形地判定与性质是解题关键．二.填空题1. （•广西玉林市、防城港市，第16题3分）如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF且EF∥MN，则cos∠E= ．考点：切线地性质；等边三角形地判定与性质；特殊角地三角函数值．专题：计算题．分析：连结OM，OM地反向延长线交EF与C，由直线MN与⊙O相切于点M，根据切线地性质得OM⊥MF，而EF∥MN，根据平行线地性质得到MC⊥EF，于是根据垂径定理有CE=CF，再利用等腰三角形地判定得到ME=MF，易证得△MEF为等边三角形，所以∠E=60°，然后根据特殊角地三角函数值求解．解答：解：连结OM，OM地反向延长线交EF与C，如图，∵直线MN与⊙O相切于点M，∴OM⊥MF，∵EF∥MN，∴MC⊥EF，∴CE=CF，∴ME=MF，而ME=EF，∴ME=EF=MF，∴△MEF为等边三角形，∴∠E=60°，∴cos∠E=cos60°=．故答案为．点评：本题考查了切线地性质：圆地切线垂直于经过切点地半径．也考查了垂径定理、等边三角形地判定与性质和特殊角地三角函数值．2．（•温州，第16题5分）如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=A B．⊙O 经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=：2．当边AB或BC所在地直线与⊙O相切时，AB地长是．考点：切线地性质；矩形地性质．分析：[来源:Z，xx，]过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN=NF，由EG：EF =：2，得：EG：EN =：1，依据勾股定理即可求得AB地长度．解答：解：如图，过点G作GN⊥AB，垂足为N，∴EN=NF，又∵EG：EF =：2，∴EG：EN =：1，又∵GN=AD=8，∴设EN=x ，则，根据勾股定理得：，解得：x=4，GE =，设⊙O地半径为r，由OE2=EN2+ON2得：r2=16+（8﹣r）2，∴r=5．∴OK=NB=5，∴EB=9，又AE =AB，∴AB=12．故答案为12．点评：本题考查了切线地性质以及勾股定理和垂径定理地综合应用，解答本题地关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆地半径．3．（•四川自贡，第14题4分）一个边长为4cm地等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE地长为 3 cm．考点：切线地性质；垂径定理；圆周角定理；弦切角定理分析：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，根据等边三角形地性质，等边三角形地高等于底边高地倍．题目中一个边长为4cm地等边三角形ABC与⊙O等高，说明⊙O地半径为，即OC=，又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得出FC地长，利用垂径定理即可得出CE地长．解答：解：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，且△ABC为等边三角形，边长为4，故高为2，即OC=，又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得FC=，即CE=3．故答案为：3．点评：本题主要考查了切线地性质和等边三角形地性质和解直角三角形地有关知识．题目不是太难，属于基础性题目．4．（•浙江湖州，第9题3分）如图，已知正方形ABCD，点E是边AB地中点，点O是线段AE上地一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径地圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O地切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、BN．记△MNO、△AOM、△DMN地面积分别为S1、S2、S3，则下列结论不一定成立地是（）A．S1＞S2+S3B．△AOM∽△DMN C．∠MBN=45°D．MN=AM+CN 分析：（1）如图作MP∥AO交ON于点P，当AM=MD时，求得S1=S2+S3，（2）利用MN是⊙O地切线，四边形ABCD为正方形，求得△AMO∽△DMN．（3）作BP⊥MN于点P，利用RT△MAB≌RT△MPB和RT△BPN≌RT△BCN来证明C，D成立．解：（1）如图，作MP∥AO交ON于点P，∵点O是线段AE上地一个动点，当AM=MD时，S梯形ONDA=（OA+DN）•ADS=MP•AD，∵（OA+DN）=MP，∴S△MNO=S梯形ONDA，∴S1=S2+S3，△MNO∴不一定有S1＞S2+S3，（2）∵MN是⊙O地切线，∴OM⊥MN，又∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠D=90°，∠AMO+∠DMN=90°，∠AMO+∠AOM=90°，∴∠AOM=∠DMN，在△AMO和△DMN中，，∴△AMO∽△DMN．故B成立，（3）如图，作BP⊥MN于点P，∵MN，BC是⊙O地切线，∴∠PMB=∠MOB，∠CBM=∠MOB，∵AD∥BC，∴∠CBM=∠AMB，∴∠AMB=∠PMB，在Rt△MAB和Rt△MPB中，∴Rt△MAB≌Rt△MPB（AAS）∴AM=MP，∠ABM=∠MBP，BP=AB=BC，在Rt△BPN和Rt△BCN中，∴Rt△BPN≌Rt△BCN（HL）∴PN=CN，∠PBN=∠CBN，∴∠MBN=∠MBP+∠PBN，MN=MN+PN=AM+CN．故C，D成立，综上所述，A不一定成立，故选：A．点评：本题主要考查了圆地切线及全等三角形地判定和性质，关键是作出辅助线利用三角形全等证明．5．（·浙江金华，第16题4分）如图2是装有三个小轮地手拉车在“爬”楼梯时地侧面示意图，定长地轮架杆OA，OB，OC抽象为线段，有OA=OB=OC，且∠AOB=120°，折线NG—GH—HE—EF 表示楼梯，CH，EF是水平线，NG，HE是铅垂线，半径相等地小轮子⊙A，⊙B与楼梯两边相切，且AO∥GH.（1）如图2①，若点H在线段OB上，则BHOH地值是▲．（2）如果一级楼梯地高度()HE832cm=+，点H到线段OB地距离d满足条件d3cm≤，那么小轮子半径r地取值范围是▲．【答案】（1）3；（2）1133r8-≤≤.【解析】∴23r dd2323MI3 IJ d MI r d,HM3r2d cos33t3030an33=︒-==⇒=-==-︒.考点：1. 直角三角形地构造；2.锐角三角函数定义；3.特殊角地三角函数值；4. 矩形地判定和性质；5.切线地性质；6.二次根式化简.6. （•湘潭，第14题，3分）如图，⊙O地半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，则PA= 4 ．（第1题图）考点：切线地性质；勾股定理．分析：先根据切线地性质得到OA⊥PA，然后利用勾股定理计算PA地长．解答：解：∵PA切⊙O于A点，∴OA⊥PA，在Rt△OPA中，OP=5，OA=3，∴PA==4．故答案为4．点评：本题考查了切线地性质：圆地切线垂直于经过切点地半径．也考查了勾股定理．三.解答题1. （•广东，第24题9分）如图，⊙O是△ABC地外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB 于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC地延长线于F点，连接PF．（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC地长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF是⊙O地切线．考点：切线地判定；弧长地计算．分析：（1）根据弧长计算公式l=进行计算即可；（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；（3）连接AP，PC，证出PC为EF地中垂线，再利用△CEP∽△CAP找出角地关系求解．解答：（1）解：∵AC=12，∴CO=6，∴==2π；（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，∠PEA=90°，∠ADO=90°在△ADO和△PEO中，，∴△POE≌△AOD（AAS），∴OD=EO；（3）证明：如图，连接AP，PC，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA，由（1）得OD=EO，∴∠ODE=∠OED，又∵∠AOP=∠EOD，∴∠OPA=∠ODE，∴AP∥DF，∵AC是直径，∴∠APC=90°，∴∠PQE=90°∴PC⊥EF，又∵DP∥BF，∴∠ODE=∠EFC，∵∠OED=∠CEF，∴∠CEF=∠EFC，∴CE=CF，∴PC为EF地中垂线，∴∠EPQ=∠QPF，∵△CEP∽△CAP∴∠EPQ=∠EAP，∴∠QPF=∠EAP，∴∠QPF=∠OPA，∵∠OPA+∠OPC=90°，∴∠QPF+∠OPC=90°，∴OP⊥PF，∴PF是⊙O地切线．点评：本题主要考查了切线地判定，解题地关键是适当地作出辅助线，准确地找出角地关系．2. （•珠海，第18题7分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，线段AB为半圆O地直径，将Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，DF与BC交于点H．（1）求BE地长；（2）求Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分地面积．考点：切线地性质；扇形面积地计算；平移地性质专题：计算题．分析：（1）连结OG，先根据勾股定理计算出BC=5，再根据平移地性质得AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，∠EDF=∠BAC=90°，由于EF与半圆O相切于点G，根据切线地性质得OG⊥EF，然后证明Rt△EOG∽Rt△EFD，利用相似比可计算出OE=，所以BE=OE﹣OB=；（2）求出BD地长度，然后利用相似比例式求出DH地长度，从而求出△BDH，即阴影部分地面积．解答：解：（1）连结OG，如图，∵∠BAC=90°，AB=4，AC=3，∴BC==5，∵Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，∴AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，∠EDF=∠BAC=90°，∵EF与半圆O相切于点G，∴OG⊥EF，∵AB=4，线段AB为半圆O地直径，∴OB=OG=2，∵∠GEO=∠DEF，∴Rt△EOG∽Rt△EFD，∴=，即=，解得OE=，∴BE=OE﹣OB=﹣2=；（2）BD=DE﹣BE=4﹣=．∵DF∥AC，∴，即，解得：DH=2．∴S阴影=S△BDH=BD•DH=××2=，即Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分地面积为．点评：本题考查了切线地性质：圆地切线垂直于经过切点地半径．也考查了平移地性质、勾股定理和相似三角形地判定与性质．3. （•广西贺州，第25题10分）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G．且AB∥C D．BO=6cm，CO=8cm．（1）求证：BO⊥CO；（2）求BE和CG地长．考点：切线地性质；相似三角形地判定与性质．分析：（1）由AB ∥CD 得出∠ABC +∠BCD =180°，根据切线长定理得出OB 、OC 平分∠EBF和∠BCG ，也就得出了∠OBC +∠OCB =（∠ABC +∠DCB ）=×180°=90°．从而证得∠BOC 是个直角，从而得出BO ⊥CO ；（2）根据勾股定理求得AB =10cm ，根据RT △BOF ∽RT △BCO 得出BF =3.6cm ，根据切线长定理得出BE =BF =3.6cm ，CG =CF ，从而求得BE 和CG 地长．解答：[来源:学.科.网Z.X.X.K] （1）证明：∵AB ∥CD ∴∠ABC +∠BCD =180°∵AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于E 、F 、G ，∴BO 平分∠ABC ，CO 平分∠DCB ，∴∠OBC =，∠OCB =，∴∠OBC +∠OCB =（∠ABC +∠DCB ）=×180°=90°， ∴∠BOC =90°， ∴BO ⊥CO ．（2）解：连接OF ，则OF ⊥BC ， ∴RT △BOF ∽RT △BCO ， ∴=，∵在RT △BOF 中，BO =6cm ，CO =8cm ，∴BC==10cm，∴=，∴BF=3.6cm，∵AB、BC、CD分别与⊙O相切，∴BE=BF=3.6cm，CG=CF，∵CF=BC﹣BF=10﹣3.6=6.4cm．∴CG=CF=6.4cm．点评：本题主要考查了直角梯形地性质和切线长定理地综合运用．属于基础题．4. （•广西玉林市、防城港市，第23题9分）如图地⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD 与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O地切线交于点G，并与AB延长线交于点E．（1）求证：∠1=∠2．（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O地半径为3，求AG地长．考点：切线地性质；相似三角形地判定与性质．专题：证明题．分析：（1）连结OD，根据切线地性质得OD⊥DE，则∠2+∠ODC=90°，而∠C=∠ODC，则∠2+∠C=90°，由OC⊥OB得∠C+∠3=90°，所以∠2=∠3，而∠1=∠3，所以∠1=∠2；（2）由OF：OB=1：3，⊙O地半径为3得到OF=1，由（1）中∠1=∠2得EF=ED，在Rt△ODE中，DE=x，则EF=x，OE=1+x，根据勾股定理得32+t2=（t+1）2，解得t=4，则DE=4，OE=5，根据切线地性质由AG为⊙O地切线得∠GAE=90°，再证明Rt△EOD∽Rt△EGA，利用相似比可计算出AG．解答：（1）证明：连结OD，如图，∵DE为⊙O地切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90°，即∠2+∠ODC=90°，∵OC=OD，∴∠C=∠ODC，∴∠2+∠C=90°，而OC⊥OB，∴∠C+∠3=90°，∴∠2=∠3，∵∠1=∠3，∴∠1=∠2；（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O地半径为3，∴OF=1，∵∠1=∠2，∴EF=ED，在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，∵OD2+DE2=OE2，∴32+t2=（t+1）2，解得t=4，∴DE=4，OE=5，∵AG为⊙O地切线，∴AG⊥AE，∴∠GAE=90°，而∠OED=∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA，∴=，即=，∴AG=6．点评：本题考查了切线地性质：圆地切线垂直于经过切点地半径．也考查了勾股定理和相似三角形地判定与性质．5．(年四川资阳，第21题9分)如图，AB是⊙O地直径，过点A作⊙O地切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD地延长线交AC于E，连接A D．（1）求证：△CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=2，求AE地长．[来源:学科网ZXXK]考点：切线地性质；相似三角形地判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据圆周角定理由AB是⊙O地直径得到∠ADB=90°，则∠B+∠BAD=90°，再根据切线地性质得AC为⊙O地切线得∠BAD+∠DAE=90°，则∠B=∠CAD，由于∠B=∠ODB，∠ODB=∠CDE，所以∠B=∠CDE，则∠CAD=∠CDE，加上∠ECD=∠DCA，根据三角形相似地判定方法即可得到△CDE∽△CAD；（2）在Rt△AOC中，OA=1AC=2，根据勾股定理可计算出OC=3，则CD=OC﹣OD=2，然后利用△CDE∽△CAD，根据相似比可计算出CE．解答：（1）证明：∵AB是⊙O地直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∵AC为⊙O地切线，∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAE=90°，∴∠B=∠CAD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，而∠ODB=∠CDE，∴∠B=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE，而∠ECD=∠DCA，∴△CDE∽△CAD；（2）解：∵AB=2，∴OA=1，在Rt△AOC中，AC=2，∴OC==3，∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，∵△CDE∽△CAD，∴=，即=，∴CE=．点评：本题考查了切线地性质：圆地切线垂直于经过切点地半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形地判定与性质．6．（•新疆，第21题10分）如图，AB是⊙O地直径，点F，C是⊙O上两点，且==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O地切线；（2）若CD=2，求⊙O地半径．考点：切线地判定．证明题．专题：[来源:]分析：（1）连结OC，由=，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线地判定定理得到CD是⊙O地切线；（2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由==得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度地直角三角形三边地关系得AC=2CD=4，在Rt△ACB中，利用含30度地直角三角形三边地关系得BC=AC=4，AB=2BC=4，所以⊙O地半径为4．解答：（1）证明：连结OC，如图，∵=，[来源:学_科_网Z_X_X_K]∴∠FAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AF，∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O地切线；（2）解：连结BC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵==，∴∠BOC=×180°=60°，∴∠BAC=30°，[来源:学|科|网]∴∠DAC=30°，在Rt△ADC中，CD=2，∴AC=2CD=4，在Rt△ACB中，BC=AC=×4=4，∴AB=2BC=4，∴⊙O地半径为4．点评：本题考查了切线地判定定理：经过半径地外端且垂直于这条半径地直线是圆地切线．也考查了圆周角定理和含30度地直角三角形三边地关系．7.（•毕节地区，第26题14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接C D．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．考点：切线地判定分析：（1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形地性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；（2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切．解答：（1）证明：∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∴∠DCB=∠A；（2）当MC=MD（或点M是BC地中点）时，直线DM与⊙O相切；解：连接DO，∵DO=CO，∴∠1=∠2，∵DM=CM，∴∠4=∠3，∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴直线DM与⊙O相切．点评：此题主要考查了切线地判定，以及圆周角定理，关键是掌握切线地判定定理：经过半径地外端且垂直于这条半径地直线是圆地切线．8．（·云南昆明，第22题8分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上地一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上地一点，以BE为直径地⊙O经过点D.（1）求证：AC是⊙O地切线；（2）若∠A=60°，⊙O地半径为2，求阴影部分地面积.（结果保留根号和π）考点：切线地判定；阴影部分面积.第22题图EOCBA1D分析：（1）连接OD，求出∠A=∠DOC，推出∠ODC=90°，根据切线地判定推出即可；（2）先求出ODCRt∆地面积，再求出扇形ODC地面积，即可求出阴影部分面积．解答：（1）证明：如图，连接OD∵ODOB=，∴21∠=∠，∴∠12∠=DOC，∵12∠=∠A，∴DOCA∠=∠，Θ∠ABC=90°，ο90=∠+∠∴CA∴ο90=∠+∠CODC，ο90=∠∴ODC∵OD为半径，∴AC是⊙O地切线；（2）解：οΘ60=∠=∠DOCA，2=OD∴在ODCRt∆中，ODDC=ο60tan323260tan=⨯==οODDC∴323222121=⨯⨯=⋅=∆DCODSODCRtπππ3236026036022=⨯⨯==rnSODE扇形π3232-=-=∴∆ODE ODC Rt S S S 扇形阴影点评：本题考查了等量代换、切线地判定、三角形面积、扇形面积等知识点地应用，主要考查学生地推理能力.．9. （•株洲，第23题，8分）如图，PQ 为圆O 地直径，点B 在线段PQ 地延长线上，OQ =QB =1，动点A 在圆O 地上半圆运动（含P 、Q 两点），以线段AB 为边向上作等边三角形AB C ．（1）当线段AB 所在地直线与圆O 相切时，求△ABC 地面积（图1）；（2）设∠AOB =α，当线段AB 、与圆O 只有一个公共点（即A 点）时，求α地范围（图2，直接写出答案）；（3）当线段AB 与圆O 有两个公共点A 、M 时，如果AO ⊥PM 于点N ，求CM 地长度（图3）．（第1题图）考点：圆地综合题；等边三角形地性质；勾股定理；切线地性质；相似三角形地判定与性质；特殊角地三角函数值．分析：（1）连接OA ，如下图1，根据条件可求出AB ，然后AC 地高BH ，求出BH 就可以求出△ABC 地面积．（2）如下图2，首先考虑临界位置：当点A 与点Q 重合时，线段AB 与圆O 只有一个公共点，此时α=0°；当线段AB 所在地直线与圆O 相切时，线段AB 与圆O 只有一个公共点，此时α=60°．从而定出α地范围．（3）设AO与PM地交点为D，连接MQ，如下图3，易证AO∥MQ，从而得到△PDO∽△PMQ，△BMQ∽△BAO，又PO=OQ=BQ，从而可以求出MQ、OD，进而求出PD、DM、AM、CM地值．解答：解：（1）连接OA，过点B作BH⊥AC，垂足为H，如图1所示．∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥A B．∴∠OAB=90°．∵OQ=QB=1，∴OA=1．∴AB===．∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=，∠CAB=60°．∵sin∠HAB=，∴HB=AB•sin∠HAB=×=．∴S△ABC=AC•BH=××=．∴△ABC地面积为．（2）①当点A与点Q重合时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；②当线段A1B所在地直线与圆O相切时，如图2所示，线段A1B与圆O只有一个公共点，此时OA1⊥BA1，OA1=1，OB=2，∴cos∠A1OB==．∴∠A1OB=60°．∴当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，α地范围为：0°≤α≤60°．（3）连接MQ，如图3所示．∵PQ是⊙O地直径，∴∠PMQ=90°．∵OA⊥PM，∴∠PDO=90°．∴∠PDO=∠PMQ．∴△PDO∽△PMQ．∴==∵PO=OQ=PQ．∴PD=PM，OD=MQ．同理：MQ=AO，BM=A B．∵AO=1，∴MQ=．∴OD=．∵∠PDO=90°，PO=1，OD=，∴PD=．∴PM=．∴DM=．∵∠ADM=90°，AD=A0﹣OD=，∴AM===．∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC，∠CAB=60°．∵BM=AB，∴AM=BM．∴CM⊥A B．∵AM=，∴BM=，AB=．∴AC=．∴CM===．∴CM地长度为．点评：本题考查了等边三角形地性质、相似三角形地性质与判定、直线与圆相切、勾股定理、特殊三角函数值等知识，考查了用临界值法求角地取值范围，综合性较强．10. （•泰州，第25题，12分）如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b为常数，b＞0）地图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4地⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．（第2题图）（1）若直线AB与有两个交点F、G．①求∠CFE地度数；②用含b地代数式表示FG2，并直接写出b地取值范围；（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．考点：圆地综合题分析：（1）连接CD，EA，利用同一条弦所对地圆周角相等求行∠CFE=45°，（2）作OM⊥AB点M，连接OF，利用两条直线垂直相交求出交点M地坐标，利用勾股定理求出FM2，再求出FG2，再根据式子写出b地范围，（3）当b=5时，直线与圆相切，存在点P，使∠CPE=45°，再利用两条直线垂直相交求出交点P地坐标，解答：解：（1）连接CD，EA，∵DE是直径，∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°，（2）①如图，作OM⊥AB点M，连接OF，∵OM⊥AB，直线地函数式为：y=﹣x+b，∴OM所在地直线函数式为：y=x，∴交点M（b，b）∴OM2=（b）2+（b）2，∵OF=4，∴FM2=OF2﹣OM2=42﹣（b）2﹣（b）2，∵FM=FG，∴FG2=4FM2=4×[42﹣（b）2﹣（b）2]=64﹣b2=64×（1﹣b2），∵直线AB与有两个交点F、G．∴4≤b＜5，（3）如图，当b=5时，直线与圆相切，∵DE是直径，∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°，∴存在点P，使∠CPE=45°，连接OP，∵P是切点，∴OP⊥AB，∴OP所在地直线为：y=x，又∵AB所在地直线为：y=﹣x+5，∴P（，）．点评：本题主要考查了圆与一次函数地知识，解题地关键是作出辅助线，明确两条直线垂直时K地关系．11 （•扬州，第25题，10分）如图，⊙O与Rt△ABC地斜边AB相切于点D，与直角边AC 相交于E、F两点，连结DE，已知∠B=30°，⊙O地半径为12，弧DE地长度为4π．（1）求证：DE ∥BC ；（2）若AF =CE ，求线段BC 地长度．（第3题图）考点：切线地性质；弧长地计算．分析：[来源:学.科.网Z.X.X.K] （1）要证明DE ∥BC ，可证明∠EDA =∠B ，由弧DE 地长度为4π，可以求得∠DOE 地度数，再根据切线地性质可求得∠EDA 地度数，即可证明结论．（2）根据90°地圆周角对地弦是直径，可以求得EF ，地长度，借用勾股定理求得AE 与CF 地长度，即可得到答案．解答：解：（1）证明：连接OD 、OE ，∵OD 是⊙O 地切线，∴OD ⊥AB ，∴∠ODA =90°，又∵弧DE 地长度为4π， ∴，∴n =60，∴△ODE 是等边三角形，∴∠ODE =60°，∴∠EDA =30°，∴∠B=∠EDA，∴DE∥B C．（2）连接FD，∵DE∥BC，∴∠DEF=90°，∴FD是⊙0地直径，由（1）得：∠EFD=30°，FD=24，[来源:学+科+网]∴EF=，又因为∠EDA=30°，DE=12，∴AE=，又∵AF=CE，∴AE=CF，∴CA=AE+EF+CF=20，又∵，∴BC=60．点评：本题考查了勾股定理以及圆地性质地综合应用，解答本题地关键在于900地圆周角对地弦是直径这一性质地灵活运用．12.（•滨州，第21题8分）如图，点D在⊙O地直径AB地延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．（1）求证：CD是⊙O地切线；（2）若⊙O地半径为2，求图中阴影部分地面积．考点：扇形面积地计算；等腰三角形地性质；切线地判定；特殊角地三角函数值．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）连接O C．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形地性质即可证明；（2）阴影部分地面积即为直角三角形OCD地面积减去扇形COB地面积．解答：（1）证明：连接O C．∵AC=CD，∠ACD=120°，∴∠A=∠D=30°．∵OA=OC，∴∠2=∠A=30°．∴∠OCD=90°．∴CD是⊙O地切线．（2）解：∵∠A=30°，∴∠1=2∠A=60°．∴S扇形BOC=．在Rt△OCD中，∵，∴．∴．∴图中阴影部分地面积为．点评：此题综合考查了等腰三角形地性质、切线地判定方法、扇形地面积计算方法．13．（•德州，第22题10分）如图，⊙O地直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB 地平分线与⊙O，AB地交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．（1）求AC、AD地长；（2）试判断直线PC与⊙O地位置关系，并说明理由．考点：切线地判定；勾股定理；圆周角定理．分析：（1）①连接BD，先求出AC，在RT△ABC中，运用勾股定理求AC，②由CD平分∠ACB，得出AD=BD，所以RT△ABD是直角等腰三角形，求出AD，②连接OC，（2）由角地关系求出∠PCB=∠ACO，可得到∠OCP=90°，所以直线PC与⊙O相切．解答：解：（1）①如图，连接BD，∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在RT△ABC中，AC===8，②∵CD平分∠ACB，∴AD=BD，∴Rt△ABD是直角等腰三角形，∴AD=AB=×10=5cm；（2）直线PC与⊙O相切，理由：连接OC，∵OC=OA，∴∠CAO=∠OCA，∵PC=PE，∴∠PCE=∠PEC，∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACE=∠ECB，∴∠PCB=∠ACO，∵∠ACB=90°，∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，OC⊥PC，∴直线PC与⊙O相切．点评：本题主要考查了切线地判定，勾股定理和圆周角，解题地关键是运圆周角和角平分线及等腰三角形正确找出相等地角．14.（•菏泽，第18题10分）如图，AB是⊙O地直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD∥BC 与过点A地切线交于点D，连接DC并延长交AB地延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O地切线；（2）若=，求cos∠ABC地值．考点：切线地判定；勾股定理．分析：（1）如图，连接O C．欲证DE是⊙O地切线，只需证得OC⊥DE；（2）由=，可设CE=2k（k＞0），则DE=3k，在Rt△DAE中，由勾股定理求得AE==2k．则tanE==．所以在Rt△OCE中，tanE==．在Rt△AOD中，由勾股定理得到OD==k，故cos∠ABC=cos∠AOD==．解答：（1）证明：如图，连接O C．∵AD是过点A地切线，AB是⊙O地直径，∴AD⊥AB，∴∠DAB=90°．∵OD∥BC，∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵OC=OB，∴∠2=∠4．∴∠1=∠3．在△COD和△AOD中，，∴△COD≌△AOD（SAS）∴∠OCD=∠DAB=90°，即OC⊥DE于点C．∵OC是⊙O地半径，∴DE是⊙O地切线；（2）解：由=，可设CE=2k（k＞0），则DE=3k，∴AD=DC=k．∴在Rt△DAE中，AE==2k．∴tanE==．∵在Rt△OCE中，tanE==．∴=，∴OC=OA=．∴在Rt△AOD中，OD==k，∴cos∠ABC=cos∠AOD==．点评：本题考查了切线地判定与性质．要证某线是圆地切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．。

2020中考数学直线和圆的位置关系专项练习(含答案)

2020中考数学直线和圆的位置关系专项练习（含答案）1. P A ，PB 切⊙O 于A ，B ，∠APB ＝78°，点C 是⊙O 上异于A ，B 的任意一点，则∠ACB ＝__________.2. 如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E .要使DE⊥AC ，则△ABC 的边必须满足的条件是__________.第2题图第3题图3. 如图，P A 切⊙O 于点A ，C 是»AB 上任意一点，∠P AB ＝62°，则∠C 的度数是__________. 4. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，过点C 的切线与AD 的延长线交于点E ．若∠DAB ＝56°，∠ABC ＝64°，则∠CED ＝__________.5. 如图，⊙O 与矩形ABCD 的边AD ，AB ，BC 分别相切于点E ，F ，G ，P 是»EG上的一点，则∠EPF ＝__________.第4题图第5题图第6题图6. 如图，直线AB ，AC 与⊙O 分别相切于点B ，C 两点，P 为圆上一点，P 到AB ，AC 的距离分别为4cm ，6cm ，那么P 到BC 的距离为__________cm.7. 直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＋BC ＜DC .若腰DC 上有一点P ，使AP ⊥BP ，则这样的点（）A ．不存在B ．只有一个C ．只有两个D ．有无数个8. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD ，CB 是⊙O 的切线，D ，B 为切点，OC 交⊙O 于点E ，AE 的延长线交BC 于点F ，连接AD ，BD ，给出以下四个结论：①AD ∥OC ；②E 为△CDB 的内心；③FC ＝FE .其中正确的结论是 ( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③9. 如图，ABCD 为⊙O 的内接四边形，AC 平分∠BAD 并与BD 相交于E 点，CF 切⊙O 于点C 并与AD的延长线相交于点F .图中的四个三角形①△CAF ,②△ABC ,③△ABD ,④△BEC ，其中一定相似的是PA ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④第8题图第9题图10. 如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，圆心O 在BC 上，若AB ＝a ，AC ＝b ，则⊙O 的半径等于（）A ．abB ．a ＋b 2C ．aba ＋bD ．a ＋b ab11. 如图，在⊙O 的内接△ABC 中，∠ABC ＝30°，AC 的延长线与过点B 的⊙O 的切线相交于点D ．若⊙O 的半径OC ＝1，BD ∥OC ，则CD 的长为( )A ．BCD ． 2第10题图第11题图第12题图12. 如图，⊙O 的内接△ABC 的外角∠ACE 的平分线交⊙O 于点D ．DF ⊥AC ，垂足为F ，DE ⊥BC ，垂足为E ．给出以下四个结论：①CE ＝CF ；②∠ACB ＝∠EDF ；③DE 是⊙O 的切线；④»AD ＝»BD ．其中正确的结论是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④13. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AE 切⊙O 于点A ，BC ∥AE ．(1) 求证：△ABC 是等腰三角形；(2) 设AB =10cm ，BC =8cm ，点P 是射线AE 上的点，若以A ，P ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，问这样的点有几个?AC14. 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以AC 为直径的⊙O 交斜边AB 于点E ，OD ∥AB ．求证：(1) ED 是⊙O 的切线；(2) 2DE 2＝BE •OD .15. 如图，在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的边，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2＋4(c＋2)＝(c+4)x 的两个根. 点D 在AB 上，以BD 为直径的⊙O 切AC 于点E ． (1) 求证：△ABC 是直角三角形；(2) 若tan A ＝34时，求AE 的长.16. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 边于点D ，E 是边BC 中点，连接DE .(1) 求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2) 连接OC 交DE 于点F ，若OF ＝CF ，求tan ∠ACO 的值．17. 如图，⊙O 的半径r ＝25，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC ⊥BD 于点H ，P 为CA 延长线上一点，且∠PDA ＝∠ABD ．(1) 试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2) 若tan ∠ADB ＝34，P A ＝AH ，求BD 的长；(3) 在(2)的条件下，求四边形ABCD 的面积.BA CBC BE18. 如图，已知AC 切⊙O 于点C ，CP 为⊙O 的直径，AB 切⊙O 于点D ，与CP 的延长线交于点B .若AC＝PC .求证：(1) BD ＝2BP ；(2) PC ＝3BP .19. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝12cm ，AD ＝8cm ，BC ＝22cm ，AB 为⊙O 的直径.动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度运动. P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止.设运动时间为t (s).(1) 当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形?(2) 当t 为何值时，PQ 与⊙O 相切?20. 如图，已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°,O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的半圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，AD ＝2，AE ＝1.求证：S △AOD ，S △BCD 是方程10x 2－51x ＋54＝0的两个根.CCCAB21. 如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与P A 相切于点C .(1) 求证：直线PB 与⊙O 相切;(2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ，若⊙O 的半径为3，PC ＝4，求弦CE 的长.22. 如图，直线y ＝43x ＋4交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，⊙O ′过A ，O 两点.(1) 如图1，若⊙O ′交AB 于点C ，当O ′在OA 上时，求弦AC 的长; (2) 如图2，当⊙O ′与直线l 相切于点A 时，求圆心O ′的坐标;(3) 当O ′A 平分△AOB 的外角时，请画出图形，并求⊙O ′的半径的长.23. 如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝d ，过点A 作⊙O 的切线并在其上取一点C ，使AC ＝AB ，连接OC 交⊙O 于点D ，BD 的延长线交AC 于点E . 求AE 的长.DEC参考答案1、51︒或129︒2、AB AC =3、62︒或118︒ 4．86° 5．45°6．连接BP ，MQ ，PC ，QN ，由PM ⊥AB ，PN ⊥AC ，PQ ⊥BC 可得P ，Q ，C ，N 四点共圆，P ，Q ，B ，M 四点共圆．由△MPQ ∽△QPN 得PQ 26=．7、D 提示：以AB 为直径的圆与DC 相交 8.A 9.D 10C11. B 【提示】连接OB ，过C 作CH ⊥BD 交BD 于点H ． ∴OBHC 是正方形，CH =1．∵∠ABC =30°，∴∠OAC =60°=∠D ．在Rt △CDH 中，=sin =CH D CD ∠，∴CD． 12. D13. （1）略（2）满足条件的点有两个：①过点C 作1CP ∥AB 交AE 于点P ，则1APC ∆~ 1BCA ∆，这时18AP BC cm ==； ②过点C 作⊙O 的切线交AE 于点2P ，则2AP C ∆~ CAB ∆，这时1252AP cm =14. （1）提示：连接OE ，证明90OED ∠=︒，12OD AB =，2BC DE = （2）在Rt ACB ∆中，2BC BE AB =，又2BC DE =，2(2)DE BE AB =，又AB =2OD ，2(2)2DE BE OD ∴=，22DE BE OD ∴=15. （1）由已知，得2(4)4(2)0x c x c -+++=，由两根关系得4a b c +=+，2ab c =+， 22222()2(4)8(2)a b a b ab c c c ∴+=+-=+-+=，ABC ∴∆是直角三角形（2）提示：连接OE ，则OE ∥BC ，6a =，8b =，10c =，5AE =16. （1）连接OD ，OE ，BD ，AB 是⊙O 的直径，90CDB ADB ∴∠=∠=︒，E 是BC 的中点，DE CE BE ∴==，OD OB =，OE OF =，ODE ∴∆≌OBE ∆， 90ODE OBE ∴∠=∠=︒，∴直线DE 是⊙O 的切线（2）作OH ⊥AC 于点H ，由（1）知BD ⊥AC ，EC =EB ．∵OA =OB ，∴OE ∥AC 且OE =12AC ，∴∠CDF =∵CF =OF ，∴△DCF ≌△EOF ，∴DC =OE =AD ，∴BA =BC ，∴∠A =45°． ∵OH ⊥AD ，∴OH =AH =DH ，∴CH =3OH ，故tan ∠ACO =13OH CH =． 17. （1）略（2）连接DO 并延长与⊙O 相交于点E ，连接BE ．设AH =3k ．∵tan ∠ADB =34，P A AH ，AC ⊥BD 于点H ．∴DH =4k ，AD =5k ，P A =3)k -，PH =P A +AH =．∴tan ∠P =DH PH =．∴∠P =30°，PD =8k ． ∵BD ⊥AC ，∴∠P +∠PDB =90°．∵PD ⊥DE ，∴∠PDB +∠BDE =90°．∴∠BDE =∠P =30°． ∵DE 是直径，∴∠DBE =90°，DE =2r =50．∴BD =DE ·cos ∠BDE =50·cos30°= （3）连接CE ．∵DE 是直径，∴∠DCE =90°．∴CD =DE ·sin ∠CED =DE ·sin ∠CAD =450=405⨯．∵∠PDA =∠ABD =∠ACD ，∠P =∠P ，∴△PDA ∽△PCD ．∴PD DA PAPC CD PD==．∴8540k k PC ==．解得PC =64，k =3．∴AC =PC －P A =64－23)3)7k ==+∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △CBD =1111253(79002222BD AH BD CH BD AC +==⨯+=+18. 提示：（1）连接OD ，由△BDO ∽△BCA ，得BD =12BC ，又BD 2=BP ·BC ．（2）由（1）可知BC =2BD ，BD =2BP ，得BC =4BP ， ∴PC +BP =4BP ，∴PC =3BP ．19. （1）∵直角梯形ABCD ，AD ∥BC ， ∴PD ∥QC ．∴当PD =QC 时，四边形PQCD 是平行四边形．由题意可知AP =t ，CQ =2t ，∴8－t =2t ，3t =8，t =83时，四边形PQCD 为平行四边形．（2）设PQ 与⊙O 相切于点H ，过P 作PE ⊥BC 于E ．有题意可知AP=BE=t，CQ=2t，∴BQ=BC－CQ=22－2t，EQ=BQ－BE=22－2t－t=22－3t．∵AB为⊙O的直径，∠ABC=∠DAB=90°，∴AD、BC为⊙O的切线．∴AP=PH，HQ=BQ．∴PQ=PH+HQ=AP+BQ=22－t．在Rt△PEQ中，PE2+EQ2=PQ2，∴122+(22－3t)2=(22－2t)2，即8t2－88t+144=0，t2－11t+18=0，∴t1=2，t2=9．∵P在AD边运动时间为8811ADs==，而t=9＞8，∴t=9舍去．∴当t=2时，PQ与⊙O相切．20. 提示：AB=4，BC=CD=3，S△AOD=32．作BH⊥AC于H，则Rt△AOD∽Rt△ABH，得OD AO BH AB=．∴12,5BH=S△BCD=185．21. （1）过点O作OD⊥PB于点D，连接OC．∵P A切⊙O于点C，∴OC⊥P A．又∵点O在∠APB的平分线上，∴OC=OD，∴PB与⊙O相切．（2）过点C作CF⊥OP于点F．在Rt△PCO中，PC=4，OC=3，OP5=，∵OC·PC=OP·CF=2S△POD，∴CF=125．在Rt△COF中，95 OF=．∴EF=EO+OF=245，∴CE22. （1）AC=165．（2）连接AC，则A，O’，C共线．设OC=a，则AC2=a2+42，又AC2=（a+3）2－52，即a2+42=（a+3）2－52，解得a=163，∴O’8 (2)3，．（3）如图，设⊙O’交x轴于点C，交BA的延长线于D．∵O ’A 平分∠OAD ，∴∠OAC =∠DAC ， ∴CO CD =，∴OC =CD ．∵∠AOC =90°，∴AC 是⊙O ’的直径．∴∠D =90°，∴△AOC ≌△ADC ，∴AD =AO =4．设OC =DC =a ，在Rt △BCD 中，BC =a +3，BD =9，CD =a ， ∴（a +3）2=a 2+92，解得a =12，∴AC 2=OA 2+OC 2=42+122=160，AC =∴⊙O ’的半径长为23. 连接AD ，由△CDE ∽△CAD ，有CD CADE AD=①．又由△ADE ∽△BDA ，有AE ABDE DA=②．由①②及AB =AC ，得AE =CD ．由∠DAE =∠EDC ，知CD 是△ADE 外接圆的切线．故CD 2=CE ·CA ，即AE 2=CE ·CA ．设AE =x ，则CE =d －x ，∴2()x d d x =-，即x 2+dx －d 2=0，解方程并取正根得AE =x ．。

九年级数学直线与圆的位置关系练习题及答案

九年级数学直线与圆的位置关系练习题及答案一、单选题1. 给定直线l ：3x-4y=12，圆C：(x-1)^2+(y+3)^2=25，则l与C的位置关系是:A. 相切B. 相离C. 相交于两点D. 相交于一个点2. 若直线l的方程为x-2y+1=0，圆C的方程为(x-3)^2+(y+4)^2=16，则l与C的位置关系是:A. 相切B. 相离C. 相交于两点D. 相交于一个点3. 在直角坐标系中，直线l：y=2x+1与圆C：(x-4)^2+(y+2)^2=36的位置关系是:A. 相切B. 相离C. 相交于两点D. 相交于一个点二、填空题1. 直线y=3x+2与圆(x-1)^2+(y-3)^2=16的位置关系可以用___________表示。

2. 若直线l ：2x+3y=6与圆C：(x-2)^2+(y-3)^2=9相交于点A(1,2)，则点A到直线l的距离为_________。

三、解答题1. 已知直线l的方程为y=2x-1，圆C的方程为(x-2)^2+(y-1)^2=r^2，求当r=3时，l与C的位置关系。

2. 某圆C的圆心坐标为(3,-2)，半径为4，直线l的方程为2x-y=5，则求l与C的位置关系并证明。

答案：一、单选题1. C2. A3. D二、填空题1. 相交于两点2. 3三、解答题1. 当r=3时，圆C的方程为(x-2)^2+(y-1)^2=9。

将直线l的方程代入圆C的方程，得到4x^2-4x+1+4x-4+y^2-2y+1=9，简化后为4x^2+y^2-2y-3=0。

该方程与圆C相交于两个点，故位置关系为相交于两点。

2. 圆C的圆心坐标为(3,-2)，半径为4。

直线l的斜率为2，l的方程可以改写为y=2x-5，将直线l的方程代入圆C的方程，得到(x-3)^2+(2x-5+2)^2=16。

化简后得到5x^2-35x+60=0，解得x=2和x=6。

将x的值代入直线l的方程，得到相应的y值，分别为y=-1和y=7。

2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编-直线与圆的位置关系

2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编第33章直线与圆的位置关系一、选择题1. （2011宁波市，11，3分）如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB与P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现A．3次B．5次C．6次D．7次【答案】B2. （2011浙江台州，10,4分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是（）A.13B.5C. 3D.2【答案】B3. （2011浙江温州，10，4分）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O边AB，BC都相切，点E，F分别在边AD，DC上．现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE＝2，则正方形ABCD的边长是( )D．22A．3 B．4 C．22【答案】C4. （2011浙江丽水，10，3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）x y110B CAA ．点(0，3)B ．点(2，3)C ．点(5，1)D ．点(6，1) 【答案】C5. （2011浙江金华，10，3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）xy110B CAA ．点（0，3）B ．点（2，3）C ．点（5，1）D ．点(6，1) 【答案】C6. （2011山东日照，11，4分）已知AC ⊥BC 于C ，BC =a ，CA =b ，AB =c ，下列选项中⊙O 的半径为ba ab的是（）【答案】C7. （2011湖北鄂州，13，3分）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．67.5°【答案】D8. (2011 浙江湖州，9，3)如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，BC ＝OB ，CDAO PB第13题图CE 是⊙O 的切线，切点为D ，过点A 作AE ⊥CE ，垂足为E ，则CD ：DE 的值是 A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】C9. （2011台湾全区，33）如图(十五)，AB 为圆O 的直径，在圆O 上取异于A 、B 的一点C ，并连接BC 、AC ．若想在AB 上取一点P ，使得P 与直线BC 的距离等于AP 长，判断下列四个作法何者正确？A ．作AC 的中垂线，交AB 于P 点 B ．作∠ACB 的角平分线，交AB 于P 点C ．作∠ABC 的角平分线，交AC 于D 点，过D 作直线BC 的并行线，交AB 于P 点 D ．过A 作圆O 的切线，交直线BC 于D 点，作∠ADC 的角平分线，交AB 于P 点【答案】Ｄ10．（2011甘肃兰州，3，4分）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A=25°，则∠D 等于A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】C11. （2011四川成都，10,3分）已知⊙O 的面积为29cm π，若点0到直线l 的距离为cm π，则直线l 与⊙O 的位置关系是C(A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)无法确定【答案】CABDOC12. (2011重庆綦江，7，4分) 如图,PA 、PB 是⊙O 的切线，切点是A 、B ，已知∠P ＝60°，OA ＝3，那么∠AOB 所对弧的长度为（）A ．6лB ．5лC ．3лD ．2л【答案】：D13. （2011湖北黄冈，13，3分）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（）[来源:学,科,网Z,X,X,K] A ．30° B ．45° C ．60° D ．67.5°【答案】D14. （2011山东东营，12，3分）如图，直线333y x =+与x 轴、y 分别相交与A 、B 两点，圆心P 的坐标为（1，0），圆P 与y 轴相切与点O 。

全国181套中考数学试题分类汇编49直线与圆的位置关系

49：直线与圆的位置关系一、选择题1.（浙江杭州3分）在平面直角坐标系x O y 中，以点（-3，4）为圆心，4为半径的圆A. 与x 轴相交，与y 轴相切B. 与x 轴相离，与y 轴相交C. 与x 轴相切，与y 轴相交D. 与x 轴相切，与y 轴相离【答案】 C 。

【考点】直线与圆的位置关系，坐标与图形性质。

【分析】首先画出图形，根据点的坐标得到圆心O 到x 轴的距离是4，到y轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案：∵4=4，3＜4，∴圆O 与x 轴相切，与y 轴相交。

故选C 。

2.（浙江湖州3分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，且BC ＝OB ， CE 是⊙O 的切线，D 为切点，过点A 作AE⊥CE，垂足为E ．则CD∶DE 的值是A ． 1 2B ．1C ．2D ．3 【答案】C 。

【考点】切线的性质，相似三角形的判定和性质，等量代换。

【分析】连接OD ，由CE 是⊙O 的切线，得OD⊥CE，又∵AE⊥CE，∴OD∥AE。

∴△COD∽△CAE。

∴OC OD CD AC AE CE==。

又∵BC＝OB ，OB=OA=OD ，∴OC OD CD 2 AC AE CE 3===。

∴CD 22DE 1==。

故选C 。

3.（山东日照4分）已知AC⊥BC 于C ，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，下列选项中⊙O 的半径为ab a b+的是【答案】D 。

【考点】三角形的内切圆与内心，切线的性质，正方形的判定和性质，解一元一次方程，相似三角形的判定和性质。

【分析】设圆的半径是r 。

A 、设圆切BC 于D ，切AC 于E ，切AB 于F ，连接OD ，OE ，OF ，如图，根据切线的性质可得到正方形OECD ，AE ＝AF ，BD ＝BF ，则a －r ＋b －r ＝c ，∴r＝2a b c +-，故本选项错误；B 、设圆切AB 于F ，连接OF ，如图，则OF ＝r ，AO ＝b －r ，△BCA∽△OFA，∴OF AO CB AB =，即r r ba c-=，∴r＝ab a c +，故本选项错误；C 、连接OE 、OD ，根据AC 、BC 分别切圆O 于E 、D ，如图，根据切线的性质可得到正方形OECD ，则OE ＝r ，AE ＝b －r ，△BCA∽△OEA，∴OE AEBC AC =，即r r b a b-=，∴r＝ab a b +，故本选项正确；D 、设圆切BC 于D ，连接OD ，OA ，则BD ＝a ＋r ，由BA ＝BD 得c ＝a ＋r ，即r ＝c －a ，故本选项错误。

直线与圆的位置关系题型(中考真题细分)

直线与圆的位置关系真题题型一、求取值范围1、（2012，兰州）如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是．2、（2012，兰州）如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P(x，0)，则x的取值范围是．3、（2012武汉）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3.0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是．版块二、切线判定与计算切线的判定（切点明确用定理，切点不明确用距离法）根据切线性质计算，角度、长度、面积（中位线定理，射影定理，垂径定理，勾股定理）解法：切线判定要点：1、直角模板2、观察模板角与要求角的位置关系3、转角（证明互余角或者平行）；三角函数要点：找等角的直角三角形A 、切线与特殊角（直角三角形）1、如图，已知AB 是⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的直线EF 与AB 的延长线交与点F ，AC ⊥EF ，垂足为C ，AE 平分∠FAC ．（1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）∠F=30°时，求O FE AO ECS S ∆四边形的值？2、（2012•烟台）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，CF ⊥AF ，且CF=CE ．（1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）若sin ∠BAC=，求的值．3、（2012，天门）如图，D 为O ⊙上一点，点C 在直径B A 的延长线上，C D A C B D ∠=∠．（1）求证：C D 是O ⊙的切线；（2）过点B 作O ⊙的切线交C D 的延长线于点E ，若26tan 3BC CDA =∠=，，求B E 的长．4、（贵州安顺12分）已知：如图，在△ABC 中，BC=AC ，以BC 为直径的⊙O 与边AB相交于BE点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：点D是AB的中点；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；，求DE的长．（3）若⊙O的直径为18，cosB=135、（2012临沂）如图，点A．B．C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求PD的长．6、（2012义乌市）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．7、(2012•兰州)如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE 、OE ．(1)判断DE 与⊙O 的位置关系并说明理由； (2)若ta n C ＝，DE ＝2，求AD 的长．8、（2011浙江省舟山，22，10分）如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD=∠A BC ．（1）求证：CA 是圆的切线；（2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC =32，tan ∠AEC =35，求圆的直径．9、（2012广安）如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，以AC 为直径的⊙O 分别交AB 、BC 于点M 、N ，点P 在AB 的延长线上，且∠CAB=2∠BCP ．（1）求证：直线CP 是⊙O 的切线．（2）若BC=2，sin ∠BCP=，求点B 到AC 的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP 的周长．（第22题）BCB、相似1、（2012•宜昌）如图，△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为的中点．（1）求证：OF∥BD；（2）若，且⊙O的半径R=6cm．①求证：点F为线段OC的中点；②求图中阴影部分（弓形）的面积．2、（2012•梅州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．（1）求证：△ADE∽△BCE；（2）如果AD2=AE•AC，求证：CD=CB．3、(2012•扬州)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．(1)求证：AC平分BAD；(2)若AC＝2，CD＝2，求⊙O的直径．4、（2011山东滨州，22，8分）如图，直线PM切⊙O于点M,直线PO交⊙O于A、B两点，弦AC∥PM, 连接OM、BC.求证：（1）△ABC ∽△POM ;(2)2OA 2=OP ·BC .5、（2012，黔东南）如图，⊙O 几△ABC 的外接圆，圆心O 在AB 上，过点B 作⊙O 的切线交AC 的延长线于点D 。

33.中考数学专题24.2 点和圆、直线和圆的位置关系测试卷(原卷版)

专题24.2 点和圆、直线和圆的位置关系一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（2020·江苏江都·月考）已知⊙O的直径为10，点P到点O的距离大于8，那么点P的位置（）A．一定在⊙O的内部B．一定在⊙O的外部C．一定在⊙O的上D．不能确定2．（2020·江苏宿豫·期中）已知⊙O的直径为8，点P在直线l上，且OP＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相切或相交3．（2020·上海大学附属学校初三三模）下列说法中，正确的是（）A．垂直于半径的直线是圆的切线；B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线；C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线；D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线．4．（2020·福建福州十八中初三月考）已知⊙O的直径为8cm，P为直线l上一点，OP＝4cm，那么直线l与⊙O的公共点有（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个5．（2020·内蒙古林西·初三期末）如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=28º，则∠P的度数是（）A．50ºB．58ºC．56ºD．55º6．（2018·山东全国·初三单元测试）下列各图形中，各个顶点一定在同一个圆上的是（）A．正方形B．菱形C．平行四边形D．梯形7．（2019·厦门市华侨中学初三期中）已知Rt△ABC中，∠C=90°,AC＝6cm，BC＝8cm，则Rt△ABC的外接圆的直径是（）A．6B．8C．10D．128．（2020·江苏灌云·月考）如图，ABC 外接圆的圆心坐标是（）A ．(5，2)B ．(2，3)C ．(1，4)D ．(0，0)9．（2019·湖南长沙·长郡中学初三月考）ABC ∆中，10AB AC cm ==，12BC cm =，若要剪一张圆形纸片盖住这个三角形，则圆形纸片的最小半径为（）cm ．A ．5B ．6C ．152D ．25410．（2020·安徽相山·初三月考）点O 是△ABC 的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC 的度数为（） A ．40° B ．100° C ．40°或140° D ．40°或100°11．（2020·贵州遵义·）如图，在直线l 上有相距7cm 的两点A 和O （点A 在点O 的右侧），以O 为圆心作半径为1cm 的圆，过点A 作直线AB l ⊥.将O 以2cm /s 的速度向右移动（点O 始终在直线l 上），则O与直线AB 在______秒时相切.A ．3B ．3.5C ．3或4D ．3或3.512．（2020·河北定兴·初三一模）如图，在平整的桌面上面一条直线l ，将三边都不相等的三角形纸片ABC 平放在桌面上，使AC 与边l 对齐，此时△ABC 的内心是点P ；将纸片绕点C 顺时针旋转，使点B 落在l 上的点B '处，点A 落在A '处，得到△A 'B 'C '的内心点P '．下列结论正确的是( )A ．PP '与l 平行，PC 与P 'B '平行B ．PP '与l 平行，PC 与P 'B '不平行C ．PP '与l 不平行，PC 与P 'B '平行D ．PP '与l 不平行，PC 与P 'B '不平行13．（2020·辽宁大洼·初三二模）如图，半径r =M 在x 轴上平移，且圆心M 在x 轴上，当⊙M 与直线2y x =+相切时，圆心M 的坐标为（）A ．(0，0)B ．(2，0)C ．（-6，0）D ．(2，0) 或（-6，0）14．（2020·东港市黑沟学校其他）在平面直角坐标系中，点A （﹣4，0），点B （2，0），若点C 在一次函数y=﹣122x +的图象上，且△ABC 为直角三角形，则满足条件的点C 有（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上） 15．（2020·高邮市外国语学校初中部月考）在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4．当r =2cm 时，直线AB 与⊙C 位置关系是_____．16．（2020·高邮市外国语学校初中部月考）如图，正方形ABCO 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上，以AB 为弦的⊙M 与x 轴相切.若点A 的坐标为（0，8），则圆心M 的坐标为__________.17．（2020·丹阳市横塘初级中学月考）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BOC=105°，AD ∥OC ，则∠AOD=_____________．18．（2020·江苏兴化·月考）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，以AB 为直径作⊙O ，在直线BC 上取点P ，使得⊙O 上的动点E 到点P 的最小距离为2，则DP 的长为_________．三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．（2020·福建鲤城·泉州五中初三其他）如图，已知矩形ABCD．(1)在线段AD上求作一点E，使得∠BEC＝90°；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，若AB＝2，AD＝5，求AE的长．20．（2019·东莞市宏远外国语学校初三期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F．（1）连接OA、OB，则∠AOB＝．（2）若BD＝6，AD＝4，求⊙O的半径r．21．（2020·山东博兴·月考）如图，平行四边形ABCD的边AD与经过A，B，C三点的O相切.（1）求证：点A平分BC；（2）延长DC交O于点E，连接BE，若BE O半径为13，求BC的长. 22．（2020·无锡市大桥实验学校月考）如图，AB是O的直径，点D在O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C ，E 为线段AD 上的点，过点E 的弦FG AB ⊥于点H ．（1）求证：C AGD ∠=∠；（2）已知6BC =，4CD =，且2CE AE =，求EF 的长．23．（2020·石家庄外国语教育集团开学考试）如图，点O 在直线l 上，过点O 作AO l ⊥，3AO =．P 为直线l 上一点，连结AP ，在直线l 右侧取点B ，90APB ∠=︒，且PA PB =，过点B 作BC l ⊥交l 于点C ．（1）求证：AOP PCB △≌△；（2）若2CO =，求BC 的长；（3）连结AB ，若点C 为ABP △的外心，则OP =______．24．（2020·广东南海·石门中学一模）如图，AC 是四边形ABCD 外接圆O 的直径，AB ＝BC ，∠DAC ＝30°，延长AC 到E 使得CE ＝CD ，作射线ED 交BO 的延长线与F ，BF 交AD 与G ．（1）求证：△ADE 是等腰三角形；（2）求证：EF 与⊙O 相切；（3）若AO ＝2，求△FGD 的周长．25．（2020·广东斗门·初三期末）如图，已知点D 在O 的直径AB 延长线上，点C 为O 上，过D 作AE=．ED ADAB=，3⊥，与AC的延长线相交于E，CD为O的切线，2=；（1）求证：CD DE（2）求BD的长；∠的平分线与O交于点F，P为ABC的内心，求PF的长．（3）若ACB26．（2020·河北初三其他）等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．（1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？（2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？（3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC 的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？。

专题05 直线与圆的位置关系(原卷版)21-22年九年级数学上学期专题(苏科版)

（1）如图1，点P是AC延长线上一点，∠APB＝∠ADC，求证：BP与⊙O相切；
（2）如图2，点G在CD上，OF⊥AC于点F，连接AG并延长交⊙O于点H，若CD为⊙O的直径，当∠CGB＝∠HGB，BG＝2OF＝6时，求⊙O半径的长．
30．（2020•乌兰浩特市一模）如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE＝AB，∠BAC＝2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．
（1）求证：EF＝BF；
（2）求证：BC是⊙O的切线．
（3）若AB＝4，BC＝3，求DE的长．
2021-2022学年苏科版数学九年级全册压轴题专题精选汇编
专题05直线与圆的位置关系
一．选择题
1．（2020•江岸区模拟）如图，正方形ABCD的每一条边都与⊙O相切，E、F为切点，BD与⊙O交于H，求＝（）
A． B． C． D．
2．（2020•肥城市三模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在上（不与点B，C重合），连接BE，CE．若∠D＝40°，则∠BEC的度数为（）
25．（2020•浙江自主招生）如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．在动点O逐渐向点D运动（OA逐渐增大）的过程中，△CMN的周长如何变化？说明理由．
26．（2020•浙江自主招生）如图所示，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，以CD为弦作一与AB相切的圆，分别交CA，CB于点M，N．
A．3B． C． D．
二．填空题
9．（2020秋•香坊区期末）如图，菱形OABC的顶点A、B、C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D，若⊙O的半径为5，则线段BD的长为．

直线与圆的位置关系练习(含参考答案)

直线与圆的位置关系习题课班级学号姓名-----------------------------------------------------【基础训练】-------------------------------------------------------1．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．取决于k 的值解析由y ＝kx ＋1知直线过定点(0,1)，由x 2＋y 2－2y ＝0得x 2＋(y －1)2＝1.∴直线经过圆的圆心，∴直线与圆相交．答案 A2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1. 答案 C3．若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为（）A ．k ＝12，b ＝－4B ．k ＝－12，b ＝4C ．k ＝12，b ＝4D ．k ＝－12，b ＝－4 解析因为直线y ＝k x 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则y ＝k x与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以解得k ＝12，b ＝－4. 答案 A4．过点A (2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引切线的方程为．解析显然x ＝2为所求切线之一；另设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝34，即3x －4y ＋10＝0. 答案 x ＝2或3x －4y ＋10＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0(m ＜3)的一条弦AB 的中点为P (0,1)，则垂直于AB 的直径所在直线的方程为 .解析由圆的方程得该圆圆心为C (－1,2)，则CP ⊥AB ，直线CP 的斜率为－1，故垂直于AB 的直径所在直线的方程为y －1＝－x ，即x ＋y －1＝0.6．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为．解析由题意得，当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，从而直线方程y －1＝－1－120－1⎝⎛⎭⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0.答案 2x －4y ＋3＝07．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，求实数a 的值.解析：圆C ∶x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆心为C (－1,2)，半径为3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，即|－1－2＋a |2＝322，所以a ＝0或6.8．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解析将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎨⎧ |CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.-------------------------------------------------------【能力提升】-----------------------------------------------------9．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（）A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析选A 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.10．已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①若点P 在圆O 上，则直线l 与圆O 相切；②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离；③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交；④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4解析根据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20＞r 2，d ＜r ，相交；若点P 在圆O 内，则x 20＋y 20＜r 2，d ＞r ，相离，故只有①正确．答案 A11．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1（0<θ<π2）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝ .解析圆O 的圆心(0,0)到直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1的距离d ＝1.而圆的半径r ＝5，且r －d ＝5－1>1，∴圆O 上在直线l 的两侧各有两点到直线l 的距离等于1.答案：412．已知直线l ：y ＝－3(x －1)与圆O ：x 2＋y 2＝1在第一象限内交于点M ，且l 与y 轴交于点A ，则△MOA 的面积等于．解析依题意，直线l ：y ＝－3(x －1)与y轴的交点A 的坐标为(0，3)．由2211x y y +==-⎧⎪⎨⎪⎩，得点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34. 答案 3413．过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是．解析法一如图所示，|OP |＝|OA |sin ∠OP A＝2，易得P 为CD 中点，故P (2，2)．法二设P (x ，y )，由法一可得⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝2，x ＋y －22＝0⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，故P (2，2)．答案 (2，2)14．半径为5的圆C 过点A )4,2(-，且以)3,1(-M 为中点的弦长为34，求圆C 的方程.解析设圆方程为22()()25x a y b -+-=，依题意，2222(2)(4)2525a b ⎧--+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩或21a b =⎧⎨=⎩. 所以圆C 方程为：22(1)25x y -+=或22(2)(1)25x y -+-=. 15. 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求下列各式的最大值与最小值：（1）y x；（2）y －x ；（3）(x +1)2＋y 2．解析 (1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. (2)y +x 可看作是直线y ＝-x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝-x＋b 与圆相切时，纵截距b取得=，解得b ＝2±6.所以y +x 的最大值为2＋6，最小值为2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与点(-1,0)距离的平方，由平面几何知识知，在点(-1,0)与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．3=，所以x 2＋y 2的最大值是(3＋3)2＝12＋63，x 2＋y 2的最小值是(3－3)2＝12－6 3.16．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．（1）若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程；（2）求四边形QAMB 面积的最小值；（3）若|AB |＝423，求直线MQ 的方程．解析 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0，∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.(2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，∴|MP |＝ 1－⎝⎛⎭⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9.设Q (x,0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)，∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。

2019年全国各地中考数学试题分类汇编之专题31 点直线与圆的位置关系(含解析)

点直线与圆的位置关系一.选择题1. （2019•江苏苏州•3分）如图，AB 为O ⊙的切线，切点为A ，连接AO BO 、，BO 与O ⊙交于点C ，延长BO 与O ⊙交于点D ，连接AD ，若36ABO ∠=o ，则ADC ∠的度数为（）A ．54oB ．36oC ．32oD ．27oD【分析】主要考察圆的切线性质、三角形的内角和等，中等偏易题型【解答】切线性质得到90BAO ∠=o903654AOB ∴∠=-=o o oOD OA =QOAD ODA ∴∠=∠AOB OAD ODA ∠=∠+∠Q27ADC ADO ∴∠=∠=o故选D2. （2019•湖北天门•3分）如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交BA 的延长线于点E ，连接B D ．下列结论：①CD 是⊙O 的切线；②CO ⊥DB ；③△EDA ∽△EBD ；④ED •BC ＝BO•BE ．其中正确结论的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【分析】由切线的性质得∠CBO ＝90°，首先连接OD ，易证得△COD ≌△COB （SAS ），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO ＝90°，即可证得直线CD 是⊙O 的切线，根据全等三角形的性质得到CD ＝CB ，根据线段垂直平分线的判定定理得到即CO ⊥DB ，故②正确；根据余角的性质得到∠ADE ＝∠BDO ，等量代换得到∠EDA ＝∠DBE ，根据相似三角形的判定定理得到△EDA∽△EBD，故③正确；根据相似三角形的性质得到，于是得到ED•BC＝BO•BE，故④正确．【解答】解：连结DO．∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠CO D．又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠CO B．在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°．又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；故①正确，∵△COD≌△COB，∴CD＝CB，∵OD＝OB，∴CO垂直平分DB，即CO⊥DB，故②正确；∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，∴∠EDO＝∠ADB＝90°，∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠ADE＝∠BDO，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠EDA＝∠DBE，∵∠E＝∠E，∴△EDA∽△EBD，故③正确；∵∠EDO＝∠EBC＝90°，∠E＝∠E，∴△EOD∽△ECB，∴，∵OD＝OB，∴ED•BC＝BO•BE，故④正确；故选：A．【点评】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．3.（2019▪黑龙江哈尔滨▪3分）如图，P A.PB分别与⊙O相切于A.B两点，点C为⊙O上一点，连接A C.BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（）A．60°B．75°C．70°D．65°【分析】先利用切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．【解答】解：连接O A.OB，∵P A.PB分别与⊙O相切于A.B两点，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣50°＝130°，∴∠ACB＝∠AOB＝×130°＝65°．故选：D．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．二.填空题1 （2019•江苏连云港•3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是3．【分析】先判断出最大时，BE最大，再用相似三角形的性质求出BG，HG，CH，进而判断出HM最大时，BE最大，而点M在⊙C上时，HM最大，即可HP'，即可得出结论．【解答】解：如图，过点P作PE∥BD交AB的延长线于E，∴∠AEP＝∠ABD，△APE∽△ATB，∴，∵AB＝4，∴AE＝AB+BE＝4+BE，∴，∴BE最大时，最大，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，过点C作CH⊥BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，∵BD是⊙C的切线，∴∠GME＝90°，在Rt△BCD中，BD＝＝5，∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠CBH＝∠DBC，∴△BHC∽△BCD，∴，∴，∴BH＝，CH＝，∵∠BHG＝∠BAD＝90°，∠GBH＝∠DBA，∴△BHG∽△BAD，∴＝，∴，∴HG＝，BG＝，在Rt△GME中，GM＝EG•sin∠AEP＝EG×＝EG，而BE＝GE﹣BG＝GE﹣，∴GE最大时，BE最大，∴GM最大时，BE最大，∵GM＝HG+HM＝+HM，即：HM最大时，BE最大，延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝，∴GP'＝HP'+HG＝，过点P'作P'F∥BD交AB的延长线于F，∴BE最大时，点E落在点F处，即：BE最大＝BF，在Rt△GP'F中，FG＝＝＝＝，∴BF＝FG﹣BG＝8，∴最大值为1+＝3，故答案为：3．【点评】此题主要考查了矩形的性质，圆的切线的性质，相似三角形的性质，构造出相似三角形是解本题的关键．2（2019•山东省济宁市•3分）如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O 与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC＝，AC＝3．则图中阴影部分的面积是．【考点】圆的切线【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，再证明BD＝BC，进而由AD＝AB﹣BD可求出AD的长度；利用特殊角的锐角三角函数可求出∠A的度数，则圆心角∠DOA的度数可求出，在直角三角形ODA中求出OD的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC＝，AC＝3．∴AB＝＝2，∵BC⊥OC，∴BC是圆的切线，∵⊙O与斜边AB相切于点D，∴BD＝BC，∴AD＝AB﹣BD＝2﹣＝；在Rt△ABC中，∵sinA＝＝＝，∴∠A＝30°，∵⊙O与斜边AB相切于点D，∴OD⊥AB，∴∠AOD＝90°﹣∠A＝60°，∵＝tanA＝tan30°，∴＝，∴OD＝1，∴S阴影＝＝．故答案是：．【点评】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．3.（2019▪广西池河▪3分）如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝76°．【分析】由切线的性质得出P A＝PB，P A⊥OA，得出∠P AB＝∠PBA，∠OAP＝90°，由已知得出∠PBA＝∠P AB＝90°﹣∠OAB＝52°，再由三角形内角和定理即可得出结果．【解答】解：∵P A，PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，P A⊥OA，∴∠P AB＝∠PBA，∠OAP＝90°，∴∠PBA＝∠P AB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；故答案为：76．【点评】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；利用切线的性质来解答问题时，解此类问题的一般思路是利用直角来解决问题．4. （2019•湖南岳阳•4分）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A.B两点分别作PE的垂线A C.BD，垂足分别为C.D，连接AM，则下列结论正确的是①②④．（写出所有正确结论的序号）①AM平分∠CAB；②AM2＝AC•AB；③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝．【分析】连接OM，可证OM∥AC，得出∠CAM＝∠AMO，由OA＝OM可得∠OAM＝∠AMO，故①正确；证明△ACM∽△AMB，则可得出②正确；求出∠MOP＝60°，OB＝2，则用弧长公式可求出的长为，故③错误；由BD∥AC可得PB＝，则PB＝OB＝OA，得出∠OPM＝30°，则PM＝2，可得出CM＝DM＝DP＝，故④正确．【解答】解：连接OM，∵PE为⊙O的切线，∴OM⊥PC，∵AC⊥PC，∴OM∥AC，∴∠CAM＝∠AMO，∵OA＝OM，∠OAM＝∠AMO，∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，∴△ACM∽△AMB，∴，∴AM2＝AC•AB，故②正确；∵∠APE＝30°，∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴的长为，故③错误；∵BD⊥PC，AC⊥PC，∴BD∥AC，∴，∴PB＝，∴，BD＝，∴PB＝OB＝OA，∴在Rt△OMP中，OM＝＝2，∴∠OPM＝30°，∴PM＝2，∴CM＝DM＝DP＝，故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查圆知识的综合应用，涉及切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质、弧长公式、含30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题．三.解答题1. （2019•湖南长沙•10分）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．【分析】（1）令y＝0，可得ax（x+6）＝0，则A点坐标可求出；（2）①连接PC，连接PB延长交x轴于点M，由切线的性质可证得∠ECD＝∠COE，则CE＝DE；②设OE＝m，由CE2＝OE•AE，可得，由∠CAE＝∠OBE可得，则，综合整理代入可求出的值．【解答】解：（1）令ax2+6ax＝0，ax（x+6）＝0，∴A（﹣6，0）；（2）①证明：如图，连接PC，连接PB延长交x轴于点M，∵⊙P过O、A.B三点，B为顶点，∴PM⊥OA，∠PBC+∠BOM＝90°，又∵PC＝PB，∴∠PCB＝∠PBC，∵CE为切线，∴∠PCB+∠ECD＝90°，又∵∠BDP＝∠CDE，∴∠ECD＝∠COE，∴CE＝DE．②解：设OE＝m，即E（m，0），由切割线定理得：CE2＝OE•AE，∴（m﹣t）2＝m•（m+6），∴①，∵∠CAE＝∠CBD，∠CAE＝∠OBE，∠CBO＝∠EBO，由角平分线定理：，即：，∴②，由①②得，整理得：t2+18t+36＝0，∴t2＝﹣18t﹣36，∴．【点评】本题是二次函数与圆的综合问题，涉及二次函数图象与x轴的交点坐标、切线的性质、等腰三角形的判定、切割线定理等知识．把圆的知识镶嵌其中，会灵活运用圆的性质进行计算是解题的关键．2. （2019•湖南邵阳•8分）如图1，已知⊙O外一点P向⊙O作切线P A，点A为切点，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，过点C作CD⊥PB，分别交PB 于点E，交⊙O于点D，连接A D．（1）求证：△APO～△DCA；（2）如图2，当AD＝AO时①求∠P的度数；②连接AB，在⊙O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由切线性质和直径AC可得∠P AO＝∠CDA＝90°，由PB∥AD可得∠POD ＝∠CAD，即可得：△APO～△DCA；（2）①连接OD，由AD＝OA＝OD可得△OAD是等边三角形，由此可得∠POA＝60°，∠P＝30°；②作BQ⊥AC交⊙O于Q，可证ABQP为菱形，求可转化为求．【解答】解：（1）证明：如图1，∵P A切⊙O于点A，AC是⊙O的直径，∴∠P AO＝∠CDA＝90°∵CD⊥PB∴∠CEP＝90°∴∠CEP＝∠CDA∴PB∥AD∴∠POA＝∠CAO∴△APO～△DCA（2）如图2，连接OD，①∵AD＝AO，OD＝AO∴△OAD是等边三角形∴∠OAD＝60°∵PB∥AD∴∠POA＝∠OAD＝60°∵∠P AO＝90°∴∠P＝90°﹣∠POA＝90°﹣60°＝30°②存在．如图2，过点B作BQ⊥AC交⊙O于Q，连接PQ，BC，CQ，由①得：∠POA＝60°，∠P AO＝90°∴∠BOC＝∠POA＝60°∵OB＝OC∴∠ACB＝60°∴∠BQC＝∠BAC＝30°∵BQ⊥AC，∴CQ＝BC∵BC＝OB＝OA∴△CBQ≌△OBA（AAS）∴BQ＝AB∵∠OBA＝∠OP A＝30°∴AB＝AP∴BQ＝AP∵P A⊥AC∴BQ∥AP∴四边形ABQP是平行四边形∵AB＝AP∴四边形ABQP是菱形∴PQ＝AB∴＝＝tan∠ACB＝tan60°＝【点评】本题是有关圆的综合题，难度不大；主要考查了切线性质，圆周角与圆心角，等边三角形性质，特殊角三角函数值，菱形性质等．3. （2019•湖南湘西州•12分）如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的直径，与AB相交于点C，过点D作EF∥AB，分别交C A.CB的延长线于点E.F，连接B D．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求证：BD2＝AC•BF．【分析】（1）根据圆的对称性即可求出答案．（2）先证明△BCD∽△BDF，利用相似三角形的性质可知：，利用BC＝AC即可求证BD2＝AC•BF．【解答】解：（1）∵AC＝BC，CD是圆的直径，∴由圆的对称性可知：∠ACD＝∠BCD，∴CD⊥AB，∵AB∥EF，∴∠CDF＝∠CGB＝90°，∵OD是圆的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）∵∠BDF+∠CDB＝∠CDB+∠C＝90°，∴∠BDF＝∠CDB，∴△BCD∽△BDF，∴，∴BD2＝BC•BD，∵BC＝AC，∴BD2＝AC•BF．【点评】本题考查相似三角形，涉及圆的对称性，垂径定理，相似三角形的判定与性质，需要学生灵活运用所学知识．4. （2019•广东•7分）如题24-1图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD=∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF=AC，连接AF．（1）求证：ED=EC；（2）求证：AF是⊙O的切线；（3）如题24-2图，若点G是△ACD的内心，BC·BE=25，求BG的长．【答案】（1）证明：∵AB=AC ∴∠B==∠ACB∵∠BCD=∠ACB∴∠B=∠BCD∵⌒AC=⌒AC∴∠B=∠D∴∠BCD=∠D∴ED=EC（2）证明：连接AO并延长交⊙O于点G，连接CG 由（1）得∠B=∠BCD∴AB∥DF∵AB=AC，CF=AC∴AB=CF∴四边形ABCF是平行四边形∴∠CAF=∠ACB∵AG为直径∴∠ACG=90°，即∠G+∠GAC=90°∵∠G=∠B，∠B=∠ACB∴∠ACB+∠GAC=90°∴∠CAF +∠GAC =90°即∠OAF =90°∵点A 在⊙O 上∴AF 是⊙O 的切线（3）解：连接AG∵∠BCD =∠ACB ，∠BCD =∠1∴∠1=∠ACB∵∠B =∠B∴△ABE ∽△CBA ∴BCAB AB BE ∵BC ·BE =25∴AB 2=25∴AB =5∵点G 是△ACD 的内心∴∠2=∠3∵∠BGA =∠3+∠BCA =∠3+∠BCD =∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAG∴BG =AB =5【考点】圆的综合应用，等弧等弦等角的转换，切线的证明，垂径定理的逆应用，内心的概念，相似三角形的应用，外角的应用，等量代换的意识5 （2019•甘肃•8分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：∠A ＝∠ADE ；（2）若AD ＝8，DE ＝5，求BC 的长．【分析】（1）只要证明∠A+∠B＝90°，∠ADE+∠B＝90°即可解决问题；（2）首先证明AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，可得x2+62＝（x+8）2﹣102，解方程即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE+∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A．（2）解：连接C D．∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED＝EC，∴AE＝EC，∵DE＝5，∴AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，∴x2+62＝（x+8）2﹣102，解得x＝，∴BC＝＝．【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6. （2019•广东深圳•9分）已知在平面直角坐标系中，点A （3，0），B （-3，0），C （-3，8），以线段BC 为直径作圆，圆心为E ，直线AC 交⊙E 于点D ，连接O D.（1）求证：直线OD 是⊙E 的切线；（2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交⊙E 于点G ，连接BG ：①当tan ∠ACF =71时，求所有F 点的坐标（直接写出）； ②求CFBG 的最大值. 【考点】圆、切线证明、三角形相似，三角函数，二次函数最值问题等【答案】7. （2019•广西贵港•8分）如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE．（1）求证：AE是半圆O的切线；（2）若P A＝2，PC＝4，求AE的长．【分析】（1）根据已知条件推出△ABO∽△OCE，根据相似三角形的性质得到∠BAO＝∠OAE，过O作OF⊥AE于F，根据全等三角形的性质得到OF＝OB，于是得到AE是半圆O的切线；（2）根据切割线定理得到AF＝＝2，求得AB＝AF＝2，根据勾股定理得到BC＝＝2，AO＝＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD中，∠ABO＝∠OCE＝90°，∵OE⊥OA，∴∠AOE＝90°，∴∠BAO+∠AOB＝∠AOB+∠COE＝90°，∴∠BAO＝∠COE，∴△ABO∽△OCE，∴＝，∵OB＝OC，∴，∵∠ABO＝∠AOE＝90°，∴△ABO∽△AOE，∴∠BAO＝∠OAE，过O作OF⊥AE于F，∴∠ABO＝∠AFO＝90°，在△ABO与△AFO中，，∴△ABO≌△AFO（AAS），∴OF＝OB，∴AE是半圆O的切线；（2）解：∵AF是⊙O的切线，AC是⊙O的割线，∴AF2＝AP•AC，∴AF＝＝2，∴AB＝AF＝2，∵AC＝6，∴BC＝＝2，∴AO＝＝3，∵△ABO∽△AOE，∴，∴＝，∴AE＝．【点评】本题考查了切线的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．8. （2019•山东省滨州市•13分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）求证：BC2＝4CF•AC；（3）若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．【考点】圆的切线【分析】（1）如图所示，连接OD，证明∠CDF+∠ODB＝90°，即可求解；（2）证明△CFD∽△CDA，则CD2＝CF•AC，即BC2＝4CF•AC；（3）S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE即可求解．【解答】解：（1）如图所示，连接OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，而OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C＝90°，∴∠CDF+∠ODB＝90°，∴∠ODF＝90°，∴直线DF是⊙O的切线；（2）连接AD，则AD⊥BC，则AB＝AC，则DB＝DC＝，∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CDF＝∠DCA，而∠DFC＝∠ADC＝90°，∴△CFD∽△CDA，∴CD2＝CF•AC，即BC2＝4CF•AC；（3）连接OE，∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA，∴∠AOE＝120°，S△OAE＝AE×OEsin∠OEA＝×2×OE×cos∠OEA×OEsin∠OEA＝4，S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE＝×π×42﹣4＝﹣4．【点评】本题为圆的综合题，涉及到解直角三角形、三角形相似、等腰三角形的性质等，难度不大．9. （2019•山东省德州市•12分）如图，∠BPD＝120°，点A.C分别在射线P B.PD上，∠P AC＝30°，AC＝2．（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A.C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；（3）求所得的劣弧与线段P A.PC围成的封闭图形的面积．【考点】圆的切线【分析】（1）过A.C分别作P B.PD的垂线，它们相交于O，然后以OA为半径作⊙O即可；（2）写出已知、求证，然后进行证明；连接OP，先证明Rt△P AO≌Rt△PCO，然后根据切线的判定方法判断P B.PC为⊙O的切线；（3）先证明△OAC为等边三角形得到OA＝AC＝2，∠AOC＝60°，再计算出AP＝2，然后根据扇形的面积公式，利用劣弧AC与线段P A.PC围成的封闭图形的面积进行计算．【解答】解：（1）如图，（2）已知：如图，∠BPD＝120°，点A.C分别在射线P B.PD上，∠P AC＝30°，AC＝2，过A.C分别作P B.PD的垂线，它们相交于O，以OA为半径作⊙O，OA⊥PB，求证：P B.PC为⊙O的切线；证明：∵∠BPD＝120°，P AC＝30°，∴∠PCA＝30°，∴P A＝PC，连接OP，∵OA⊥P A，PC⊥OC，∴∠P AO＝∠PCO＝90°，∵OP＝OP，∴Rt△P AO≌Rt△PCO（HL）∴OA＝OC，∴P B.PC为⊙O的切线；（3）∵∠OAP＝∠OCP＝90°﹣30°＝60°，∴△OAC为等边三角形，∴OA＝AC＝2，∠AOC＝60°，∵OP平分∠APC，∴∠APO＝60°，∴AP＝×2＝2，∴劣弧AC与线段P A.PC围成的封闭图形的面积＝S四边形APCO﹣S扇＝2××2×2﹣＝4﹣2π．形AOC【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和扇形面积公式．10. （2019•湖北武汉•8分）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D.C两点．（1）如图1，求证：AB2＝4AD•BC；（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接O C.OD，证明△AOD∽△BCO，得出＝，即可得出结论；（2）连接OD，OC，证明△COD≌△CFD得出∠CDO＝∠CDF，求出∠BOE＝120°，由直角三角形的性质得出BC＝3，OB＝，图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE，即可得出结果．【解答】（1）证明：连接O C.OD，如图1所示：∵AM和BN是它的两条切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∴∠ADE+∠BCE＝180°∵DC切⊙O于E，∴∠ODE＝∠ADE，∠OCE＝∠BCE，∴∠ODE+∠OCE＝90°，∴∠DOC＝90°，∴∠AOD+∠COB＝90°，∵∠AOD+∠ADO＝90°，∴∠AOD＝∠OCB，∵∠OAD＝∠OBC＝90°，∴△AOD∽△BCO，∴＝，∴OA2＝AD•BC，∴（AB）2＝AD•BC，∴AB2＝4AD•BC；（2）解：连接OD，OC，如图2所示：∵∠ADE＝2∠OFC，∴∠ADO＝∠OFC，∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，∴∠OFC＝∠FOC，∴CF＝OC，∴CD垂直平分OF，∴OD＝DF，在△COD和△CFD中，，∴△COD≌△CFD（SSS），∴∠CDO＝∠CDF，∵∠ODA+∠CDO+∠CDF＝180°，∴∠ODA＝60°＝∠BOC，∴∠BOE＝120°，在Rt△DAO，AD＝OA，Rt△BOC中，BC＝OB，∴AD：BC＝1：3，∵AD＝1，∴BC＝3，OB＝，∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE＝2×××3﹣＝3﹣π．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、全等三角形的判定与性质、扇形面积公式、直角三角形的性质等知识；证明三角形相似和三角形全等是解题的关键．1 1主要学习( 2019甘肃省兰州市)通过对下面数学模型的研究学习，解决第27题、第28题【模型呈现】如右图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，将斜边AB绕点A顺时针旋转900得到AD，过点D 作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE.我们把这个数学模型称为“K型”推理过程如下：【模型应用】27.（本题10分）如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝900，BC＝2.将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连接DO交⊙O于点F.（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB，求证：FG2＝GO•G B.【答案】答案见解析．【考点】三角形相似，圆切线证明.【考察能力】推理论证能力，运算求解能力【难度】较难【解析】（1）证明：∵∠DAE＝∠ABC且∠ABC+∠CAB＝900，∴∠EAD+∠CAB＝900，∴∠DAB＝900，∵AO为⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线.（2）证明：由（1）知∠DAB＝900，∵AC＝1，BC＝2∴AB＝5，由模型可知，△AED≌△BCA，∴AD＝5，∴AO ＝25， ∴DO ＝25， ∵AD AE ＝DO AD ＝AODE ＝552， ∴△AED ∽△DAO∴∠EAD ＝∠ADO∴AE ∥DO∴∠ACF ＝∠CFO ＝∠ABF∵∠FGO ＝∠BGF ，∴△FGO ∽△BGF ∴BG FG ＝FGGO ∴FG 2＝GO •G B.12．(2019甘肃省陇南市)（10分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点D 在BC 边上，⊙D 经过点A 和点B 且与BC 边相交于点E ．（1）求证：AC 是⊙D 的切线；（2）若CE ＝2，求⊙D 的半径．【分析】（1）连接AD ，根据等腰三角形的性质得到∠B ＝∠C ＝30°，∠BAD ＝∠B ＝30°，求得∠ADC ＝60°，根据三角形的内角和得到∠DAC ＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC 是⊙D 的切线；（2）连接AE ，推出△ADE 是等边三角形，得到AE ＝DE ，∠AED ＝60°，求得∠EAC ＝∠AED ﹣∠C ＝30°，得到AE ＝CE ＝2，于是得到结论．【解答】（1）证明：连接AD ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°，∵AD ＝BD ，∴∠BAD ＝∠B ＝30°，∴∠ADC＝60°，∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C，∴AE＝CE＝2，∴⊙D的半径AD＝2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13. (2019甘肃省天水市)如图，A B.AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，P C.AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．【答案】解：（1）连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，∵错误！未找到引用源。