信息安全数学基础(许春香)习题答案

第一章

（1）5,4,1,5.

（2）100=22*52, 3288=23*3*137.

（4）多种解法，其中一种：

a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––p r, b=q1q2––q s,又因为(a, b)=1，表明a, b没有公共(相同)素因子. 同样可以将a n, b n表示为多个素因子相乘a n=(p1p2––p r)n, b n=(q1q2––q s)n明显a n, b n也没有公共(相同)素因子.

（5）多种解法，其中一种：

由算术基本定理：a,b可分解为有限个素数的乘积，

得：a=p1^r1*p2^r2*……*pn^rn, b= p1^r1’*p2^r2’*……*pn^rn’,

若a|b不成立，则存在素数pi使得pi在a中的幂ri大于pi在b中的幂ri‘，即：ri>ri’a^n=p1^r1n*p2^r2n*…*pi^rin*…*pn^rnn, b^n= p1^r1’n*p2^r2’n*…* pi^ri’n *…*pn^rn’n,则ri*n>ri’*n，所以a^n|b^n不成立。

（6）多种解法，其中一种：

由于a,b,c互素且非零

所以(a,b)=1,(b,c)=1

所以存在u,v,r,s使ua+vc=1，rb+sc=1

两式相乘得：(ur)ab+(usa+vrb+vsc)c=1

所以(ab,c)=(a,b)(a,c)=1

（7）2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107, 109, 113, 127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199.

（11）对两式进行变形有21=0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的m即使求21和1001的公约数, 为7和1.

（12）多种解法，其中一种：

70！=(70*69*68*67*66*65*64*63*62)*61!

70*69*68*67*66*65*64*63*62≡(-1)(-2)…(-9) (mod71) ≡1mod71

所以70！≡61!

（13）多种解法，其中一种：

当n是奇数时，不妨设n=2k+1,k为整数

则2^n+1≡(-1)^(2k+1)+1≡0(mod3)

当n是偶数时，不妨设n=2k,k为整数

则2^n+1≡(-1)^(2k)+1≡2(mod3)

综上，n是奇数时，3整除2^n+1，n是偶数时，3不整除2^n+1

（14）第一个问题：因为(c,m)=d.假设ac=k1m+r, bc=k2m+r,有ac=k1d(m/d)+r, bc=k2d(m/d)+r 所以ac=bc(mod m/d),因为(c,m/d)=1,所以两边可以同除以一个c, 所以结论成立.

第二个问题：因为a=b(mod m), 所以a-b=k i*m i，a-b是任意m i的倍数，所以a-b是m i公倍数，所以[m i]|a-b.

（15）将整数每位数的值相加, 和能被3整除则整数能被3整除, 和能被9整除则整数能被9整除, (1)能被3整除, 不能被9整除，(2)都不能，(3)都不能，(4)都不能

常见问题：

1.写出构成群和不构成群的原因

13.证明ab-1∈A∩B即可

14.用群的定义证明(题意是证明映射后的集合为一个群)

第二章

1.判断方法：分别验证1.对运算是否封闭,

2.对任意的a, b, c是否满足结合律,

3.对任意a是否存在单位元,

4.对任意a是否存在逆元. 可以得出在(1)-(10)中

(2),(3),(6), (7) (10)构成群

(1)不满足结合律，不存在逆元, (4)不存在单位元(5)不满足结合律(8)不构成，不存在逆元(9)不构成，不存在逆元

2. a-b-c≠a-(b-c)，所以不构成，不满足结合律

5．证明：显然在群中单位元e满足方程x2=x, 假设存在一个元素a满足方程x2=x, 则有a2=a, 两边同乘以a-1有a=e. 所以在群中只有单位元满足方程x2=x.

6．证明：因为群G中每个元素都满足方程x2=e, 所以对群中任意元素a,b有aa=e, bb=e, (ab)2=abab=e. 对abab=e, 方程两边左乘以a, 右乘以b有aababb=(aa)ba(bb)=ba=aeb=ab, 有ab=ba, 所以G是交换群.

7．证明：充分性：因为在群中对任意元素a,b有(ab)2=a2b2即abab=aabb, 方程两边左乘以a 的逆元右乘以b的逆元, 有a-1ababb-1= a-1aabbb-1, 有ab=ba, 所以G是交换群.

必要性：因为群G是交换群, 所以对任意元素a,b有ab=ba, 方程两边左乘以a右乘以b 有abab=aabb, 有(ab)2=a2b2.

8．证明：方程xaxba=xbc两边同时左乘a-1x-1,右乘a-1b-1有a-1x-1xaxbaa-1b-1=a-1x-1xbc a-1b-1，化简得x=a-1bc a-1b-1，可知方程有解。

设方程存在两个不同的解x,y（x≠y）. 则a-1bc a-1b-1≠a-1bc a-1b-1，显然不成立。

综上，方程有且只有一个解。

9．证明：对群中任意元素a,b有ab(ab)-1=e, 方程两边先左乘以a的逆元有b(ab)-1=a-1, 在左乘以b的逆元有(ab)-1=b-1a-1, 所以结论成立.

13．证明：设群G的两个子群为G1, G2, 则对任意a,b∈G1∩G2有ab-1∈G1, ab-1∈G2, 所以ab-1∈G1∩G2, 所以G1∩G2也是G的子群.

14．证明：设G是一个群, 对任意a,b∈G, 存在一个G到H的映射f,并且f(ab)=f(a)f(b).对任意f(a),f(b)∈H有f(a)f(b)=f(ab)∈H, 所以H满足运算的封闭性. 对任意f(a),f(b),f(c)有(f(a)f(b))f(c)=f(ab)f(c)=f((ab)c), f(a)(f(b)f(c))=f(a)f(bc)=f(a(bc)), 又因为(ab)c=a(bc), 所以