高等代数II-试题01

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高代2期末考试试题及答案

高代2期末考试试题及答案# 高代2期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 线性空间中，向量组的线性相关性意味着：- A. 向量组中至少有一个向量可以由其他向量线性表示- B. 向量组中所有向量都是零向量- C. 向量组中任意向量都可以由其他向量线性表示- D. 向量组中存在非零向量可以由其他向量线性表示答案：A2. 设矩阵A是n阶方阵，如果存在一个非零向量x，使得Ax=0，则称x为矩阵A的：- A. 特征向量- B. 零空间向量- C. 特征值- D. 逆矩阵答案：B3. 矩阵的秩是指：- A. 矩阵中非零行的最大数目- B. 矩阵中非零列的最大数目- C. 矩阵的行向量组的秩- D. 矩阵的列向量组的秩答案：D4. 对于线性变换T: V → W，如果存在矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A和B是：- A. 相似矩阵- B. 等价矩阵- C. 合同矩阵- D. 正交矩阵答案：B5. 线性变换的核是指：- A. 线性变换的值域- B. 线性变换的零空间- C. 线性变换的逆映射- D. 线性变换的映射集合答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 线性空间V的基是一组向量，使得V中任意向量都可以唯一地表示为这组向量的________。

答案：线性组合2. 设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，则矩阵乘积AB的秩r(AB)满足：________。

答案：r(AB) ≤ min(r(A), r(B))3. 矩阵的特征值是指使得方程________的λ的值。

答案：det(A - λI) = 04. 线性变换的线性组合可以表示为________。

答案：T1 + λT25. 对于线性空间的子空间U和W，它们的和U+W是________。

答案：U和W中所有向量的集合三、简答题（每题5分，共15分）1. 解释什么是线性空间的基，并给出一个例子。

答案：线性空间的基是一组向量，它们线性无关且能生成整个线性空间。

高等代数2模拟卷

高等代数II 期末模拟试题
2014.6.1
一 1.证明：可逆矩阵特征值不为0；
2.证明：如果α、β分别是n 级矩阵A 的属于不同特征值的特征向量，那么βα+不是A 的特征向量.
二用矩阵的成对初等行、列变换法把数域K 上下述二次型化成标准形，并且写出所作的非退化线性替换：
3231213213),,(x x x x x x x x x g -+=.
三证明：n 级正定矩阵A 是正定的充分必要条件为：有可逆实对称矩阵C 使得2C A =.
四在实数域R 上的线性空间R R 中，用21,V V 分别表示偶函数和
奇函数组成的集合，证明：
（1）21,V V 都是R R 的子空间；
（2）21V V R R ⊕=.
五设W U V ,,都是域F 上的线性空间，并且m U n V ==dim ,dim ，设A 是V 到U 的一个线性映射，B 是U 到W 的一个线性映射.证明：m rankB rankA BA rank -+≥)(.
六求数域K 上的矩阵A 的Jordan 标准型J ，并求得可逆矩阵P ，使得J AP P =-1.
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=212044010A . 七在[]3x R 中给定一个内积为
⎰-=1
1)()(),(dx x g x f g f 求[]3x R 的度量矩阵和一个标准正交基.。

北京大学数学科学学院高等代数(II)期末考试题

试题1（北京大学高等代数(I)期末考试题）一、（本题共40分）给定有理数域Q 上的多项式42()3 3.f x x x =++1．（本题5分）证明()f x 为Q 中的不可约多项式.2．（本题5分）设α是()f x 在复数域C 内的一个根，定义[]{}2012.Q a a a a αα=++证明：对于任意的[]()g x Q x ∈，有[]()g Q αα∈；又对于任意的[],Q βγα∈，有[]Q βγα∈.3．（本题5分）接上题，证明：若[]Q βα∈，0β≠，则存在[]Q γα∈，使得1βγ=.4．（本题5分）找出()f x 的一个sturm 序列, 判断()f x 有几个实根.5．（本题5分）求下面三阶方阵在有理数域Q 上的最小多项式：0 031 000 13A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 二、（本题10分）在欧氏空间4R 内求下列齐次线性方程组123412412342303220390x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+-=⎨⎪++-=⎩的解空间的正交补空间的一组标准正交基.三、（本题15分）给定数域P 上的多项式3()f x x px q =++.设()f x 在复数域C 内的三个根是123,,ααα.求P 上的首1三项式()F x ，它以222123,,ααα为三个根. 四、（本题15分）设σ是n 维酉空间V 内的一个Hermite 变换.1．（本题5分）证明i σε-可逆，这里i 为虚单位.2．（本题10分）证明1()()i i τσεσε-=-+为酉变换.五、（本题10分）设σ是n 维酉空间V 内的一个线性变换.如果σ的特征向量都是*σ的特征向量，证明σ是正规变换.六、（本题5分）证明在n 维欧氏空间V 中两两夹钝角（即夹角大于2π）的向量不能多于1n +个.七、（本题5分）考察复数域上全体n 阶方阵所成的集合()n M C ，它关于矩阵的加法及实数与矩阵的数乘组成实数域R 上的线性空间.设M 为其子空间，且满足：（i ）若,A B M ∈，则,A B M ∈；（ii ）若,0A M A ∈≠ ，则A 可逆，且1A M -∈.1．证明：任给A M ∈，则()A aE a R =∈或A aE B =+，这里a R ∈，且2(,0)B b E b R b =∈<. 2．令{}2|,,0N A M A bE b R b =∈=∈<，证明N 是M 的子空间.。

《高等代数2》习题

《高等代数2》习题一、填空题1、设1(2,0,1,3)α=-，2(5,7,4,6)α=-，3(3,1,7,2)α=-，则12332ααα++=2、设,,,nF k l F αβ∈∈，则()k αβ+= ，()k l α+=3、向量组12(1,1,3,2),(1,1,3,2)αα=-=---是。

（线性相关或线性无关）4、向量组232323231234(1,,,),(1,,,),(1,,,),(1,,,)a a a b b b c c c d d d αααα==== 是。

（,,,a b c d 两两互不相等）（线性相关或线性无关）5、向量组1234(1,0,0,0),(1,2,0,0),(1,2,3,0),(2,3,4,0)αααα====的极大无关组是，向量组的秩。

6、n 阶矩阵A 可逆的充要条件是，且它的逆矩阵（公式）=-1A 。

7、如果1W 和2W 都是向量空间V 的有限维子空间，那么12W W +也是有限维的，并且1212dim()dim()W W W W ++= 。

8、含有n 个未知量n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是。

9、设(6,2,0,4)α=-，(3,1,5,7)β=-。

则向量32βα-= 。

10、向量组(1,0,1,0)α=-是。

（线性相关或线性无关）11、向量组12(3,2,1),(6,4,2)αα=-=--的极大无关组是，向量组的秩。

12、已知向量组123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)ααα===构成3F 的一个基，向量(5,0,7)β=关于这个基的坐标是。

13、矩阵()='+B A ，()='AB 。

14、n 阶单位矩阵I 有=I ，=-1I 。

15、线性方程组11112211211222221122 n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 有解的充分必要条件是。

(完整word版)高等代数(二)期末考试样卷

《高等代数（二）》期末考试样卷一、选择题（本大题有一项是符合题目要求的）1. 若σ是F 上向量空间V 的一个线性变换,则下列说法∙∙误错的是（）A.)()()(,,βσασβασβα+=+∈∀VB.0)0(=σC.)()(,,ασασαk k F k V =∈∈∀D.0)0(≠σ2．若},,{21s ααα 和},,{21t βββ 是两个等价的线性无关的向量组,则（） A.t s > B. t s < C. t s = D.以上说法都不对 3．向量空间2F [x]的维数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3 4.一个线性变换关于两个基的矩阵是（）A.正定的B.相似的C.合同的D.对称的 5.如果两个向量βα与正交,则下列说法正确的是（） A. ><βα, > 0 B. ><βα, < 0 C. ><βα, = 0 D. ><βα, ≠ 06.设σ是欧氏空间V 的正交变换, 任意α,β∈V, 下列正确的是（） A.<α,β > = <σ(α),β> B.<α,β> = <α,σ(β)> C.<α,β> = <σ(α), σ(β)> D. <α,β> = －<σ(α),σ(β)>7．如果n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵的秩为r,那么它的解空间的维数为（）A 、n-rB 、nC 、rD 、n+r 8.设21,W W 是向量空间V 的两个子空间,则下列说法正确的是（） ①21W W +是向量空间V 的子空间 ②21W W +不是向量空间V 的子空间③21W W 是向量空间V 的子空间 ④21W W 不是向量空间V 的子空间 ⑤21W W 是向量空间V 的子空间 ⑥21W W 不一定是向量空间V 的子空间 A. ①③⑤ B. ②④⑥ C. ①③⑥ D. ②④⑤ 9．设σ是数域F 上向量空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，如果对于W 中的任意向量ξ，有W ∈)(ξσ，则称W 是σ的（）A.非平凡子空间B.核子空间C.不变子空间D.零子空间10．欧氏空间的度量矩阵一定是（）A.正交矩阵B.上三角矩阵C. 下三角矩阵D. 正定矩阵二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分。

高等代数复习题II

2 2 25. 要使二次型q (x1 , x2 , x3 ) = x2 1 + 4x2 + 4x3 + 2tx1 x2 − 2x1 x3 + 4x2 x3 正定, t的取值
范围是
2 2 ; 要使二次型f (x1 , x2 , x3 ) = 2x2 1 + x2 + x3 +2x1 x2 + tx2 x3 正
4. 以下定义的变换为线性变换的是 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( A). 在F2 中, σ (a, b) = (a2 , a − b);
)
B). 在F3 中,σ (a, b, c) = (a + 1, a + b, c);
19. 已知三阶A的特征值是−1, 1, 2, f (x) = x2 +2x+2.则A2 特征值是征值是 , trAk = ; 而f (A)的特征值是 ,|f (A)|=
20. 设A, B 是n阶非零矩阵, 且AB = B . 则A必有特征值 2E )B = O, E 为n阶单位矩阵, 则A必有特征值 21. 在欧氏空间C [−1, 1]中, | − 1| = 关的单位向量是 . .
)
B). σ (f (x)) = xf 2 (x), ∀f (x) ∈ F[x];
C). σ (f (x)) = f (x0 ), ∀f (x) ∈ F[x], x0 是F中固定的数; D). σ (f (x)) =
x 0
f (t) sin tdt, ∀f (x) ∈ F[x].
高等代数复习题II 第 3 页共 10 页

北京大学高等代数高代II_2014期末2（1）

北京大学高等代数高代II_2014期末2（1）北京大学数学学院期末试题2013－2014学年第二学期考试科目高等代数II 考试时间 2014年6月12日姓名学号一.（20分）设α 1 , α 2 , α 3是矩阵A =100210101的列向量, 设P 是沿< α 1 > 向< α 2 , α 3 > 所作的投影变换, Q 是欧氏空间R 3向< α 2 , α 3 > 所作的正交投影变换. 求 P , Q 在R 3标准基下的矩阵. 二（18分）已知R 3上的双线性函数f ( α , β ) 在基底α 1 , α 2 , α 3 下的度量矩阵为310121011.1) 证明: f ( α , β ) 是R 3上的一个内积;2) 求内积 f 下的一组标准正交基β1 , β2 , β3 , 使得β1 = α 1 ;3) 求内积 f 下的正交变换A , 使得W = < α 1 > 是A 不变子空间,且A 在商空间 R 3 / W 上的诱导变换α + W A α + W 将α 2 + W 变到k α 3 + W , k > 0 . (写出A 在β1 , β2 , β3下的矩阵).三（12分）设A 是酉空间V 上的线性变换, 满足条件( A α , β ) = ( α , A β ), ? α , β ∈ V (A 称为Hermite 变换).1) 证明: A 在复数域上的特征值都是实数;2) 证明: 若W 是A-子空间, 则W ⊥也是A-子空间.四（20分）设 A 是Q-线性空间V 上的线性变换, 且A 在基底α 1 , α 2 , α 3 , α 4 下的矩阵为 A = .1) 求A 的特征多项式与最小多项式 ;2) 求V 的根子空间分解, 写出各个根子空间W i 的基底以及限制变换 A | W i 在此基底下的矩阵;3) 证明: 若线性变换B 与A 可交换, 则每个W i 也都是B -子空间.五（20分）设 A 是实线性空间V 上的线性变换, 且A 在基底α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 下的矩阵为 A = .1) 求A 的最小多项式;2) 求A 的特征子空间(写出基底);3) 求V 的一组基, 使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准型.六 ( 10分) 判断对错. 正确的命题请给出证明, 错误的请举出反例.1) 设 A 是n 阶正交矩阵, α , β ∈ R n . 若α + i β是A 的复特征向量, 且α + i β的特征值不等于± 1, 则一定有( α , β ) = 0 ;2) 如果A , B 是正定矩阵, 则A B + BA 一定也是正定矩阵. -100031122020103110000010001010001010101 01。

高代2历年试卷

试卷1一、填空题（每小题2分，共10分）1、若二次型2221231213522x x x tx x x x +++-正定，则t 的取值范围是。

2、在P[x]3中，由基1 + x ，x + x 2，x 2到基1，x ，x 2的过渡矩阵是。

3、设3级矩阵A 有不变因子：1，λ，λ(λ-2)，则A 的若当标准形是。

4、已知R 3中向量a =（1，－1，2）与向量β＝（2，－2，x ）正交，则x ＝______ 。

5、设A 是n 维欧氏空间V 的正交变换在某组基下的矩阵，则|A| = 。

二、判断题（每小题2分，共10分）1、每一个实对称矩阵都合同于对角矩阵………………………………………………（）2、设V 1，V 2都是线性空间V 的子空间，V 1∩V 2 ={0}，则V = V 1 ⊕ V 2………………（）3、若A 可逆，则AB 与BA 相似…………………………………………………………（）4、设A(λ)是n ⨯n 的λ-矩阵，|A(λ)|≠0，则A(λ)可逆………………………………（）5、欧氏空间基的度量矩阵是正定矩阵…………………………………………………（）三、选择题（每小题3分，共15分）1、设A ，B 是同阶正定矩阵，则（）也一定是正定矩阵。

（1）A + B ，（2）A - B ，（3）AB ，（4）kA （k ∈R ）2、线性变换A 有n 个不同特征值是A 可对角化的（）（1）充要条件，（2）充分条件，（3）必要条件，（4）既非充分也非必要条件3、在R 3⨯3中，矩阵（）合同于2001002001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

（1）100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，（2）100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，（3）100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，（4）100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭4、设A 是欧氏空间V 的线性变换，则满足条件（）时，A 是对称变换。

《高等代数》第二章习题及答案

习题2.11. 设m,n 是不同的正整数，A 是m ×n 矩阵，B 是n ×m 矩阵，下列运算式中有定义的有哪几个？A+B ，AB ，BA ，AB T ，A-B T 答只有AB 和A-B T 有定义． 2. 计算①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134 ③()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛213321 ④()321213⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⑤()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0713******** ⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321012100010501 ⑦()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x解①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-922147117②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22717 ③()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛213321=()11④()321213⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛642321963 ⑤()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0713********=()111813⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321012100010501=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-c b a c b a 32155125 ⑦()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x=233323321331322322221221311321122111x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a ++++++++3. 设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3121，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3101，计算： ① (A+B)(A-B) ② A 2-B 2③ (AB)T ④ A T B T解 ① (A+B)(A-B)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4040002062223101312131013121 ② A 2-B 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛20829401114833101310131213121③ (AB)T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛9643946331013121TT④ A T B T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛112413011321131013121TT 4. 求所有的与A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1011可交换的矩阵．解设矩阵B 与A 可交换，则B 必是2×2矩阵，设B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ，令AB=BA ，即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10111011d c b a d c b a 从而有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++d c c b a a d cd b c a 由此得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+=+=+dc d c c b a d b ac a解得，c=0，a=d ，b 为任意数．即与A 可交换的矩阵B 可写成B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b a 0． 5. 设A ，B 是n ×n 矩阵，并且A 是对称矩阵，证明：B T AB 也是对称矩阵．证已知A 是对称矩阵，即A T =A ，从而 (B T AB)T =B T A T (B T ) T =B T AB ，所以B T AB 也是对称矩阵．6. 设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b 0，求A 2，A 3，…，A k．解A 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222000b ab b b a b b a bA 3=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3232230020b ab b b a b b ab b …A k =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----k k k k k k b kabb b a b b ab k b 112100)1(0 7.设B 是2×2矩阵．由B 2=02×2能推出B=0吗？试举反例．（提示：参见上题．）解不能．例如令B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000a ，当a ≠0时，B ≠0，但B 2=02×2． 8. 设A ，B 是n ×n 矩阵，证明：(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2的充分必要条件是A 与B 可交换．证充分性：若A 与B 可交换，即AB=BA ，则(A+2B)(A-5B)=A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-5AB+2AB-10B 2= A 2-3AB-10B 2 必要性：若(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2 即 A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-3AB-10B 2 比较两边相同的项得 -2AB+2BA=0 故 AB=BA9. 设A ，B 是n ×n 对称矩阵，证明：AB 是对称矩阵的充分必要条件是A 与B 可交换．证因A ，B 是n ×n 对称矩阵，即A T =A ，B T =B ．必要性：若AB 是对称矩阵，则(AB)T =AB ，有因 (AB)T =B T A T =BA ，从而AB= BA ，即A 与B 可交换．充分性：若A 与B 可交换，由必要性证明过程反图推，知AB 是对称矩阵．习题2.21.设A ，B ，C 是矩阵，且满足AB=AC ，证明：如果A 是可逆的，则B=C ．证已知AB=AC ，两边左乘矩阵A -1，有A -1(AB)= A -1(AC)，根据结合律得(A -1A)B=( A -1A)C ，从而有EB=EC ，故B=C ．2.设P 是可逆矩阵，证明：线性方程组AX=β与线性方程组PAX=P β同解．证设X (1)是AX=β的任一解解，即有AX (1)=β成立，两边左乘矩阵P ，得PAX (1)=P β，说明X (1)也是PAX=P β的解．反之，设X (2)是PAX=P β的任一解，即有PAX (2)=P β成立，两边左乘矩阵P -1，得P -1 (PAX (2))= P -1 (P β)，根据结合律得(P -1 P)AX (2)=(P -1 P)β，从而有AX (2)=β，这说明X (2)也是AX=β的解．综合以上可知，线性方程组AX=β与线性方程组PAX=P β同解．3.设P 是n ×n 可逆矩阵，C 是n ×m 矩阵．证明：矩阵方程PX=C 有唯一解．证令X *=P -1C ，代入PX=C 中验证知X *是矩阵方程的一个解．反之，设X (1)是矩阵方程PX=C的任一解，即有PX (1)=C 成立，两边左乘P -1得，X (1)=P -1C=X *，所以矩阵方程PX=C 有唯一解．4. 设A 是n ×n 可逆矩阵，且存在一个整数m 使得A m=0．证明：(E-A)是可逆的，并且(E-A)-1=E+A+…+A m-1．证由于(E-A)(E+A+…+A m-1)=E+A+…+A m-1-A-A 2-…-A m =E-A m=E-0=E显然交换(E-A)和(E+A+…+A m-1)的次序后相乘结果仍成立，根据逆阵的定义知(E-A)-1=E+A+…+A m-1．5.设P ，A 都是n ×n 矩阵，其中P 是可逆的，m 是正整数．证明：(P -1AP)m =P -1A mP ．证 (P -1AP)m =(P -1AP)(P -1AP)(P -1AP)…(P -1AP)=P -1A(PP -1)A(PP -1)…AP=P -1AEAE …AP=P -1A m P6. 设A ，B 都是n ×n 可逆矩阵，(A+B)一定是可逆的吗?如果(A+B)是可逆的，是否有(A+B)-1=A -1+B -1？若不是，试举出反例．解如果A ，B 都是n ×n 可逆矩阵，(A+B)不一定是可逆的．例如A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1001都是可逆的，但A+B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000是不可逆的．如果(A+B)是可逆的，也不能说(A+B)-1=A -1+B -1．例如A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001，则A ，B 可逆，A+B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2002可逆，且(A+B)-1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2/1002/1，但A -1+B -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2002．显然(A+B)-1≠A -1+B -1．7*.设A ，B 都是n ×n 矩阵，满足ABA=A ，β是n ×1矩阵．证明：当且仅当AB β=β时，线性方程组AX=β有解．证当AB β=β时，记X *=B β，即X *是AX=β的一个解．反之，若线性方程组AX=β有解，设X (1)是它的一个解，即有AX (1)=β，两边左乘(AB)得(ABA)X (1)=AB β用已知条件ABA=A 代到上式左边得AX (1)=AB β 由于X (1)是AX=β的一个解，即AX (1)=β，所以AB β=β．习题2.31.用行和列的初等变换将矩阵A 化成⎪⎪⎭⎫⎝⎛000E 的形式： A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10030140300400001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---04000100301403001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000040001403001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000040000003000001→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000010000010000012.用初等变换判定下列矩阵是否可逆，如可逆，求出它们的逆矩阵：①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----134112112 ②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----153132543 解 ①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----100134010112001112→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---102110011200001112→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011200102110001112→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--02/12/110012/12/301002/12/1012→ →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/110012/12/3010112002→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/110012/12/30102/12/11001 所给矩阵可逆，其逆阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/112/12/32/12/11②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----100153010132001543→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------101610013/23/73/10001543→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---131100032710001543→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------13110071850105154043 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1311007185010338724003→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----131100718501011298001 所给矩阵可逆，其逆阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1317185112982.解下列矩阵方程：①⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111152X ②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101111201021121101X ③⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X解 ①⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11111152→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11521111→⎪⎪⎭⎫⎝⎛---33701111 →⎪⎪⎭⎫⎝⎛--7/37/3107/47/401 由此得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=7/37/37/47/4X ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101021111121201101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---302120112220201101 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----414300112220201101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3/43/13/41006/56/13/10103/23/13/1001 由此得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3/43/13/46/56/13/13/23/13/1X ③对等式两端分别转置得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--233141*********T X 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---231013111141122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---231014112231111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---520102330031111 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---233005201031111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3/21100520103/70011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3/21100520103/82001 所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=3/21523/82TX⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3/253/8122X4.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011110001A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110020102B ，又X 是可逆矩阵，并且满足矩阵方程AX 2B=XB ，求矩阵X ．解 (B,E)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100110010020001102→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10011002/10010001102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12/1010002/10010001102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12/1010002/1001012/11002 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12/1010002/100102/14/12/1001 从以上看出B 可逆，对AX 2B=XB 两边右乘B -1得AX 2=X ．已知X 可逆，对AX 2=X 两边右乘B -1得AX=E ．又(A,E)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100011010110001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010010110001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101010111100001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111100101010001001 所以 X=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111010015.①证明：B 与A 行等价⇔存在可逆矩阵P ，使B=PA ．②证明：B 与A 等价⇔存在可逆矩阵P 与Q ，使B=PAQ ．证若B 与A 行等价，即A 可经有限次初等行变换得到B ，而对矩阵A 每做一次初等行变换，相当于对它左乘一个初等方阵，假设对A 依次左乘初等方阵P 1，P 2，…，P K ，使P k …P 2P 1A=B令P=P k …P 2P 1，则P 是可逆矩阵，且B=PA ．反之，若存在可逆矩阵P ，使B=PA ，因为可逆矩阵P 可以写成一系列初等方阵P 1,P 2, …,P k的乘积，即P=P 1P 2…P k ，从而有B=P 1P 2…P k A ，说明A 可经有限次初等行变换得到B ，即B 与A 行等价．② 若B 与A 等价，即对A 经过有限次初等变换得到B ．而对矩阵A 每做一次初等行变换，相当于对它左乘一个初等方阵；对矩阵A 每做一次初等列变换，相当于对它右乘一个初等方阵．假设对A 左乘的初等方阵依次为P 1，P 2，…，P s ，对A 右乘的初等方阵依次为Q 1，Q 2，…，Q t ，使P s …P 2P 1AQ 1Q 2…Q t =B令P=P s …P 2P 1，Q=Q 1Q 2…Q t ，则P ，Q 都是可逆矩阵，且B=PAQ ．反之，若存在可逆矩阵P 和Q ，使B=PAQ ，因为可逆矩阵P 和Q 均可以写成一系列初等方阵的乘积，设P=P 1P 2 …P s ，Q=Q 1Q 2…Q t ，这里P i ,Q i 都是初等方阵，从而有B=P 1P 2…P k A Q 1Q 2…Q t ，说明A 可经有限次初等行变换和初等列变换得到B ，即B 与A 等价． 6*.设A 是s ×n 矩阵，B 是s ×m 矩阵，B 的第i 列构成的s ×1矩阵是βj （j=1,2,…,m ）．证明：矩阵方程AX=B 有解的充分必要条件是：AX=βj （j=1,2,…,m ）都有解．证先证必要性．如果矩阵方程AX=B 有解，设X *是它的解，则X *是n ×m 矩阵，记X *的第j 列为X *j ，根据矩阵先相乘的规则知，A 与X *j 相乘的结果是βj ，即X *j 是AX=βj 的解（j=1,2,…,m ）．再证充分性．若AX=βj （j=1,2,…,m ）都有解，设X *j 是AX=βj 的解，这里X *j 是n ×1矩阵，令X *=(X *1, X *2,…,X *m )，则X *是n ×m 矩阵，且X *是矩阵方程AX=B 的解． 7*.设A=(a ij )是n ×n 矩阵．①证明：如果P n (h(2))A=AP n (h(2)),则a hj =0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ；并且a ih =0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ．②设B=diag(b 1, b 2,…, b n )是一个对角矩阵，设l ≠k ．证明：如果P n (l,k)B=BP n (l,k)，b l =b k ．③证明：如果矩阵A 与所有的n ×n 矩阵都可交换，则A 是一个数量矩阵．证 ①如果P n (h(2))A=AP n (h(2)),则A 是n ×n 矩阵，等式左边的P n (h(2))A 表示将矩阵A 的第h 行每个元素乘以2得到的矩阵；等式右端的AP n (h(2))表示将A 的第h 列每个元素乘以2得到的矩阵．从等式可知2a hj = a hj （j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ），a ih =2a ih （i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ），从而得a hj =0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ；并且a ih =0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ．②如果P n (l,k)B=BP n (l,k),则B 是n ×n 矩阵，等式左边的P n (l,k)B 表示将矩阵B 的第l 行和第k 行交换位置；等式右端的BP n (l,k) 表示将矩阵B 的第l 列和第k 列交换位置．由于B=diag(b 1, b 2,…, b n )是一个对角矩阵，且l ≠k ，不妨设l<k ，则有P n (l,k)B=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n l k b b b b 001=BP n (l,k)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n k lb b b b001比较对应元素，可知b l =b k ．③如果矩阵A 与所有的n ×n 矩阵都可交换，在①中分别令h=1,2,…,n ，可知A 除对角线上元素以外其它元素都是零，即A 可写成diag(b 1, b 2,…, b n )；在②可令l=1，分别令k=2,…,n ，可知A 的对角线上元素都相等．习题2.41.设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ，其中A 1是s ×s 矩阵，A 2是s ×t 矩阵，A 4是t ×t 矩阵．求A 3．解 A 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4210A A A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+244221210A A A A A A A 3=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4210A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+244221210A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++34242421221310A A A A A A A A A2.①设G=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000rE 是m ×n 矩阵，证明：存在矩阵B ，使得GBG=G ． ②设A 是m ×n 矩阵，证明：存在矩阵B ，使得ABA=A ．证 ①构造n ×m 矩阵B 为B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n rr n r m r rE ，则GBG=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n r r n r m r rE ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE =G②设矩阵A 的秩为r ，则可经过有限次初等变换使A 变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE 的形式，即存在可逆的n ×n 矩阵P 和可逆的m ×m 矩阵Q 使PAQ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m r r m r n r r E =D ，即A=P -1DQ -1．定义n ×m 矩阵B 如下：B=QCP ，其中C=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n rr n r m r rE ．则有ABA=(P -1DQ -1)(QCP)(P -1DQ -1)= P -1DCDQ -1=P -1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m r r m r n r r E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n r r n r m r rE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE Q -1= P -1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE Q -1=A3*.设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛4210A A A ，其中A 1是s ×s 矩阵，A 2是s ×t 矩阵，A 4是t ×t 矩阵．证明：如果A 1，A 4都是可逆的，则A 也是可逆的，进一步，求A 的逆矩阵．证如果A 1，A 4都是可逆的，令B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142110A B A ，其中A 1-1，A 4-1分别是A 1，A 4的逆阵，B 2是s ×t 矩阵．令AB=E ，即有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142110A B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t s E A A B A E 014221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛t s E E 00，从而 A 1B 2+ A 2A 4-1=0，由此得B 2=-A 1-1A 2A 4-1．说明A 也是可逆的，且A -1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1414211110A A A A A。

(完整word版)高等代数试卷及答案(二),推荐文档

一、填空题（共10题，每题2分，共20 分）1．只于自身合同的矩阵是矩阵。

2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵为__________________。

3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。

4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。

5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。

6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。

7．在22P ⨯中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。

8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ⊆，若12dim dim V V =，则_____________________。

9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。

10．向量α在基12,,,n ααα⋅⋅⋅（1）与基12,,,n βββ⋅⋅⋅（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。

二、判断题（共10 题，每题1分，共10分）1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。

（） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()10V V σσ-+=。

（） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。

（） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++⋅⋅⋅+=与12n x x x ==⋅⋅⋅=的解空间，则12n V V P ⊕= （）5．2211nn i i i i n x x ==⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑为正定二次型。

(13)--02-03学年高等代数(II)试卷

；
3. 设 u1, u2 , u3 是向量空间 V 的一个基底，线性变换σ在此基底下对应的矩阵为
⎛1 1 0 ⎞
⎜ ⎜
1
0
−1⎟⎟ ，则σ在基底 u1, u1 + u2 , u1 + u3 下对应的矩阵为
；
⎜⎝ 0 1 1 ⎟⎠
4. 二次型 f (x, y, z) = x2 + y2 + 5z2 + 2xy + 2xz + 6 yz 在合同变换下的标准型
四、（15 分）设 V 为 n 维欧氏向量空间，σ是 V 上的线性变换，且对任意 u, v ∈V ，有
uσ (v) = −σ (u)v, 证明：σ在 V 的任意标准正交基 e1,…, en 下对应的矩阵必为反对称矩阵, 即若σ (e1,…, en ) = (e1,…, en ) A ，则 A ' = − A .
不
λn
⎟ ⎠
妨设 λ1 ≤ ≤ λn . 取 a = −λ1 , 则 A+aI 的全部特征根为 0, λ2 − λ1,…, λn − λ1 , 它们全
非负, 又显然 A+aI 为对称矩阵，故它必为半正定矩阵, 而非正定矩阵.
2
吉林大学数学学院试卷 2002－2003 第二学期
02 级“高等代数 II”试题
一、填空（40 分）：
1. 设 A 为三阶矩阵， | A |≠ 0 ，但 A 的第二行，第三列元素的代数余子式 A23 ≠ 0 ，
则为 AX = 0 的一个基础解系；
2. 数域Ω上的所有 n 阶对称矩阵构成的向量空间的维数为
⎜ ⎜
2
⎜4
1 3
1 −1

高等代数2期末考卷

高等代数II 》课程期末考试试卷一、选择题（每小题3分，共12分）1．设(){},,|,W a a b a b a b =+-∈R ，这里R 为实数集，则（）(A) W 与2R 同构。

(B) W 与3R 同构。

(D) 2R 与W 的一个真子空间同构。

2. 设1V ，2V 是偶氏空间V 的两个子空间，则2V 是1V 的正交补的充要条件是 ( ) (A) 0 ,2121=+=V V V V V (B) 1V ⊥2V(C) 2121dim dim dimV ,V V V V V +=+= (D) 0),(,2121=∈∈∀+=βαβα有，且 V V V V V3. 设A 是欧氏空间V 的线性变换，则A 是正交变换的必要而非充分条件是( ) (A) βαβαβα , , ,=∈∀A A V ， (B) ααα=∈∀A V ,(C) ),(),( ,βαβαβα=∈∀A A V ，(D) A 在V 的任何一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵（注：其中,表示两个向量的夹角，（,）表示该空间的内积。

）4. 设A 是线性空间V 的线性变换，n W W ,,1 都是V 的一组A -不变子空间，且n W W V ⊕⊕= 1，则V 中一定存在一组基，使A 在该基下的矩阵是( ) (A) 对角矩阵 (B) 反对称矩阵 (C) 可逆矩阵 (D) 准对角矩阵二、判断题（对的打√，错的打×）（每小题3分，共12分）1. 若两个n m ⨯的-λ矩阵)(λA 与)(λB 有相同的秩,则)(λA 与)(λB 等价 ( ).2. 在3R 空间中，A 是V 中任一向量在xoy 平面上的垂直投影的线性变换，则 (i) Im ker {0}.A A = ( )； (ii) .ker Im V A A =+ ( )3. 欧氏空间中保持长度不变的变换是正交变换. ( )4. 多项式1416623-+-x x x 在有理数域上不可约. ( )三、填空题（每小题4分，共16分）1. 若矩阵A 的全部初等因子为22)2(,)1(,1+--λλλ，则A 的不变因子为 .2. 设τσ,是2R 空间的线性变换，定义为,,),,(),(),,0(),(R y x x y y x x y x ∈∀== τσ则2(23)(,)x y στ-= .3. 已知133092)(23-+-=x x x x f 有一个根为,32i -则)(x f 在实数域上典型分解式为=)(x f .4．设s 为有限维复线性空间上的一个线性变换，l 为s 的一个特征值，若12,r r 分别表示s 的属于特征值l 的特征子空间和根子空间的维数，3r 表示l 的重数，则123,,r r r 的大小关系满足。

(完整word版)免费-高等代数试卷二及答案

高等代数试卷二一、单项选择题（每小题2分，共10分）【】1、设)(x f 为3次实系数多项式，则A.)(x f 至少有一个有理根B. )(x f 至少有一个实根C.)(x f 存在一对非实共轭复根D. )(x f 有三个实根.【】2、设,A B 为任意两个n 级方阵，则如下等式成立的是 A. 222()2A B A AB B +=++ B. A B A B +=+ C. AB B A = D. A B A B -=-【】3、设向量组12,αα线性无关，则向量组1212,a b c d αααα++线性无关的充分必要条件为A. ad bc ≠B. ad bc =C. ab cd ≠D. ab cd = 【】4.一个(2)n ≥级方阵A 经过若干次初等变换之后变为B , 则一定有A. A B =B. 0Ax =与0Bx =同解C. 秩()A =秩()BD. **A B =【】5、设矩阵A 和B 分别是23⨯和33⨯的矩阵，秩()2A =，秩()3B =，则秩()AB 是A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每小题2分，共20分）1．多项式)(x f 没有重因式的充要条件是 . 2 .若()()1f x g x +=,则((),())f x g x = .3. 设1230231002A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则*1()A -= .4. 行列式1230000a a a 的代数余子式之和:313233A A A ++为______________. 5.设3级方阵1211222,2A B ααββββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中,i i αβ均为3维行向量。

若16,2A B ==，则A B -= .6. 若矩阵A 中有一个r 级子式不为0, 则 r(A)= .7.线性方程组 121232343414x x a x x a x x a x x a -=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩, 有解的充要条件是 .8. 若向量组12,,r ααα可由12,,s βββ线性表示，且12,,r ααα线性无关，则r s.9.设A 为3级矩阵, 且12A =, 则 1*A A --= 10. 设001200373*******A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭, 则1A -= .三、判断题（每小题2分，共10分）【】1、若不可约多项式p(x)是()f x '的2重因式,则p(x)是)(x f 的3重因式.【】2、设n 级方阵A 为可逆矩阵，则对任意的n 维向量β，线性方程组Ax β=都有解。

高等代数试题2(附答案)

科目名称：《高等代数》姓名：班级：考试时间：120分钟考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌一、填空题（每小题5分，共25分）1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为。

2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩为，一个最大无关组为 .。

3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么。

4、假设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=175131023A 的特征根是，特征向量分别为。

5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为二、是非题（每小题2分，共20分）1、如果r a a a ,,,21Λ线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。

（）2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。

（）3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并Y 21W W 也是V 的一个子空间。

（）4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。

（）5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。

其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。

（）6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。

（）7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。

（）8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。

（）9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是)(2R M 的子空间。

（）10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。

高等代数II-试题01

高等代数II-试题01高等代数(Ⅱ)试题一1. 单项选择题 (2分5=10分)1．设V是实数域上n阶矩阵构成的向量空间, 则V的维数是 ( )A. nB. n２C.D.2．下列变换中, 哪一个是向量空间R3(R是实数域)的线性变换（）A. (x1 , x2 , x3 ) (x, x2 , x3 )B. (x1 , x2 , x3 ) (x, x , x3 )C. (x1 , x2 , x3 ) (x, x , x )D. (x1 , x2 , x3 ) (x1+x2 , x2+x3 , x3+x1)3. 四个三维向量构成的向量组（）A. 秩为3B. 秩为4C. 线性无关D. 线性相关.4. 若n阶矩阵A的行列式不为零, 下列数中哪一个一定不是A的特征值( ）A. 0B. 1C. 2D. 35. 向量组（）线性相关的充分必要条件是（）A. 至少有一个零向量B. 中至少有两个向量成比例C. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示D. 中任一个部分组都线性相关.二.多项选择题 (3分4=12分)1．设A是n（n>1）阶可逆矩阵, 下列结论中正确的是 ( )A. |A|≠0B. 秩A = nC. 秩A < nD. A的行向量线性无关 E . A的列向量线性无关2．下列变换哪些是向量空间R3的线性变换. ( )A. (x1 , x2 , x3 ) (0, 0, 0)B. (x1 , x2 , x3 ) (x1 , x2 , 0)C. (x1 , x2 , x3 ) (x1 , x2 , x)D. (x1 , x2 , x3 ) (x3 , x2 , x1)E. (x1 , x2 , x3 ) (x , x, x)3．设A是n阶正交矩阵, 下列结论中正确的是 ( )A. | A | 0B. | A | >0C. | A | = 1D. | A | = 一1E. | A | = 1或一14．设是向量空间V的可逆线性变换, {1 , 2 ,…，n }是V的基，A 是关于这个基的矩阵, 下列结论中正确的是 ( )A. {(1) , (2) ,…，(n) }也是V的基B. {(1) , (2) ,…，(n) }不一定是V的基C. A是可逆矩阵D. A-1是-1关于基{1 , 2 ,…，n }的矩阵E. A T是-1关于基{1 , 2 ,…，n }的矩阵三、判断题（你认为命题正确时,在题干后的括号内画“√”，否则画“×”, 2分5=10分）1. 设V是有限维向量空间, 则V的基不唯一. ( )2. 设是向量空间V的线性变换, 则(V)一定是V的平凡子空间. ()3. 设R3[x] (R是实数域)是次数不超过三的多项式连同零多项式构成的向量空间, 则{x, x2, x3}是R3[x]的一个基. ( )4. 若两个n阶矩阵A与B有完全相同的特征根, 则A与B相似. ()5. 任一n (n>1) 维欧氏空间一定有标准正交基. ( )四、计算题（7分4=28分）1. 求向量组1 = (1, 2, 1), 2 = (2, 1, 3)，3 = (3, 0, 4), 4= (5, 1, 6) 的一个极大线性无关组. 并把其余向量用该极大线性无关组线性表示.2.求矩阵的特征值及相应地特征向量..3. 3.求M2(F)中元素A=在基1=, 2=, 3=, 4=下的坐标.4.设｛1,2, 3, 4｝是向量空间V的一个基, 且V的线性变换在这个基下的矩阵是.求(V)与Ker.五、证明题（10分4=40分）1．设是向量空间V的线性变换, 1 , 2 ,…，m是V中一组线性相关的向量, 证明:(1) , (2) ,…，(m) 也线性相关.2. 设是矩阵A的特征值，且, 与是相应地特征向量, 证明： ,线性无关.3. 设是n维向量空间V的线性变换, 且是单射, 证明, 是V的可逆线性变换.4. 设A是n阶正交矩阵, 且| A | = —1, 证明：—1一定是A的一个特征值.。

同济大学第六版高等代数II考题答案

一：判断填空题（只有一个正确答案）（每题2分，共14分） 1. ||lg 1)(a x x f -=的定义域是( D ).(A) (-∞, a)⋃(a, +∞); (B) (-∞, a+1)⋃(a+1, +∞);(C) (-∞, a-1)⋃(a-1, +∞); (D) (-∞, a-1)⋃(a-1, a)⋃(a, a+1)⋃(a+1, +∞).2.设f(x)=tan20x. 则当x →0时, 有( ).(A)f(x)与x 同阶但非等价无穷小; (B) f(x)与x 是等价无穷小; (C)f(x)是比x 高阶的无穷小; (D)f(x)是比x 低阶的无穷小.)(66lim .3D xx o x 的极限是→ (A)6； (B)-6； (C)等价无穷小； (D)不存在 4．已知一个函数的导数为1ln +='x y ，,这个函数是（B ）（A ）y=lnx+2 （B ）y=xlnx+C （C ）y=xlnx; （D ）y=xlnx+25. 函数y =4x 3+12x-6在定义域内( A ).(A)单调增加; (B)单调减少; (C)图形凹的; (D)图形凸的.)(.635B dx e x y x ==⎰不定积分 Cx e D x e C Cx e B Cx e A x x x x ++-+-+-)1()()1()()1(31)()1(31)(3333337.下列积分值为零的是( D ). ⎰⎰⎰⎰----111111112s i n )(s i n )(2)(2s i n )(x d xD x d xx C x d xc o n B dxx A ;二：填空题（每题2分，共10分）1、函数)(x f 在x 点可导，则其导数的定义式为:hx f h x f x )()(lim 0-+→∆2、0155222=+-+u tu t 设确定了y 是t 的函数，则)1,1(dt du=59-，3、。

处的麦克劳林展式在函数12)!1(!!210+++++++==n xn xx n e n x x x x e y θ 4、=)(cos 2x d x x x sin cos 4-x d ；5、积分中值公式是 ⎰=badx x f )(b a f a b <<-ξξ)()(；三：判断题（每题1分，共6分）1、函数在一点处连续需要在该点有定义和有极限即可（×）2、在闭区间上函数可导的必要条件是连续（√）3、拉格朗日中值定理给我们求中值的计算步骤（×）4、泰勒中值定理不仅给出了函数的近似计算公式，还给出了计算误差的计算方法。

高代2考试试卷

高代2考试试卷试卷1一、填空题 (每小题3分,共15分) 1、若二次型2221231213235224xx x tx x x x x x +++-+是正定二次型，则t 的取值范围是。

2、线性空间P[x]n 中的向量f(x)，在基1121,()n n x a x a εεε-==-=-，，下的坐标是。

3、n 维线性空间V 的数乘变换A ：()k V ααα→∀∈在基e 1，…，e n 下的矩阵是。

4、已知方阵A 的不变因子是1、1、2(1)(1)λλ+-，则A 的若当标准形是。

5、设λ是正交变换A 的特征值，则λ = 。

二、选择题 (每小题3分,共15分)1、若二次型X AX '经非退化线性替换X CY =变为二次型Y BY '，则下列（）不成立。

（A ）A 与B 秩相等（B ）A 与B 相似（C ）A 与B 合同（D ）A 与B 等价2、设V 1和V 2是n 维线性空间V 的两个子空间，若和V 1 + V 2是直和，则（）。

（A ）维(V 1 ) + 维(V 2 )= n （B ）维(V 1 ) +维(V 2 ) < 维( V 1 + V 2)（C ）维(V 1 ) + 维(V 2 )= 维( V 1 + V 2) （D ）维(V 1 )+ 维(V 2 ) > 维( V 1 + V 2)3、在P[x]的下列变换中，（）不是线性变换。

（A ）A (f(x)) =0()xf t dt⎰（B ）A (f(x)) = f /(x) （C ）A(f(x)) = [f(x)]2（D ）A (f(x)) = f(x + x 0) （x 0是P 中固定的数） 4、在下列条件中，（）不是两个同级复矩阵A 与B 相似的充分必要条件。

（A ）λE - A 与λE - B 等价（B ）A 与B 有相同的特征多项式（C ）A 与B 有相同的不变因子（D ）A 与B 有相同的初等因子5、设α = (x 1，…，x n )，β = (y 1，…，y n )是R n 中的向量，R n 关于内积（）不构成欧氏空间。