高中数学立体几何经典题型的解法

解题技巧：立体几何中几类典型问题的向量解法

一、

利用向量知识求点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离

（1）求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得，方法

是：求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点P 与平面内任一点M 构成的向量MP u u u r

的

坐标，那么P 到平面的距离cos ,n MP d MP n MP n

•=•<>=r u u u r u u u r r u u u r

r

（2）求两点,P Q 之间距离，可转化求向量PQ uuu r

的模。

（3）求点P 到直线AB 的距离，可在AB 上取一点Q ，令,AQ QB PQ AB λ=⊥u u u r u u u r u u u r u u u r

或PQ u u u r 的最小值求得参数λ，以确定Q 的位置，则PQ u u u r 为点P 到直线AB 的距离。还可以在AB 上任取一点Q 先求>

>

点P 到直线AB 的距离。

(4)求两条异面直线12,l l 之间距离，可设与公垂线段AB 平行的向量n r

，,C D 分别是12

,l l 上的任意两点，则12,l l 之间距离CD n

AB n

•=u u u r r r

【例题】

例1：设(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7),(5,4,8)A B C D --，求点D 到平面ABC 的距离

例2：如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若

a BN CM ==)20(<

（1）求MN 的长；（Ⅱ）当a 为何值时，

MN

的长最小；

（2）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小

例3：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，求异面直线11A C 与1AB 间的距离.

例4：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14,3,2,AB BC CC ===求平面11A BC 与平面1ACD 的距离。

点评：若n r

是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线段，且B α∈，则点A 到平

面α的距离AB n

d n

•=u u u r r r

，平行平面之间的距离转化为点到平面的距离，变为斜线在法向量上的射影。

y

y

二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。

（1）设12,l l 是两条异面直线，,A B 是1l 上的任意两点，,C D 是直线2l 上的任意两点，

则12,l l 所成的角为arccos AB CD

AB CD

••u u u r u u u r u u u r u u u r

（2）设AB 是平面α的斜线，且,B BC α∈是斜线AB 在平面α内的射影，则斜线AB

与平面α所成的角为arccos AB BC AB BC

••u u u r u u u r

u u u r u u u r 。设n r

是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜

线，则AB 与平面α所成的角为arccos 2AB n AB n AB n AB n

π

••-••u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r ，或者arcsin 。

（3）设12,n n u r u u r 是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则12

1212

,cos n n n n arc n n •<>=•u r u u r

u r u u r u r u u r 就

是二面角的平面角或补角的大小。 【例题】

例5：在棱长为a 的正方体''''ABCD A B C D -中，EF 分别是''

,BC A D 的中点，

（1）求直线'

AC DE 与所成角；

（2）求直线AD 与平面'

B EDF 所成的角， （3）求平面'

B EDF 与平面ABCD 所成的角

例6：如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD=PD ，E ，F 分别CD 、PB 的中点.

（1）求证：EF ⊥平面PAB ；

（2）设

BC ，求AC 与平面AEF 所成角的大小.

x

例7：如图，PA ABC ⊥平面

，,1,AC BC PA AC BC ⊥===求二面角A PB C

--的大小。

点评：如果,AB CD 分别是二面角l αβ--两个面内的两条直线，且

,,A l C l ∈∈,AB l CD l ⊥⊥，则二面角的大小为,AB CD <>u u u r u u u r

例8：如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，21=AD ．求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．

点评：用向量知识求二面角的大小时，是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹角

问题，（1）当法向量12n n u r u u r 与的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量12n n u r u u r

与的夹角的大小。

（2）当法向量12n n u r u u r

与的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向

z