东北大学最优化第一章例题

最优化方法复习题66882.docx

《最优化方法》复习题第一章概述(包括凸规划)一、判断与填空题ar§ max /W =玄生min【―/(兀)】・71xeR n xeR n2max |/(x): x e D o }= - min [f(x): x e D Q R H\ x3设f : D u RJ R・若T wR”,对于一切xeR n恒有/(Z)</(x),则称T为最优化问题m in fM的全局最优解.xxeD4设f •・D U RJ R.若Z eD ,存在F的某邻域Ng,使得对一切恒有/U*)</(兀)，则称T为最优化问题min /(兀)的严格局部最xeD优解.X5给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值.V6非空集合D匸/?"为凸集当且仅当D屮任意两点连线段上任一点属于D. V 7非空集合D o 7?"为凸集当J1仅当D中任意有限个点的凸组合仍属于D. V 8任意两个凸集的并集为凸集.x9 函数f : D匸R” T R为凸集£>上的凸函数当且仅当—/为D上的凹函数.V1()设f : D u R” T R为凸集D上的可微凸函数，Z G Z).则对V XG D,有/(x)-/(x*)<V/(x*/(x-x*). x11若c(兀)是凹函数，则D = {xeR n\ c(x) > 0}是凸集。

V12设{*}为由求解min的算法A产生的迭代序列，假设算法A为下降算法，XG D则对\^^{0,1,2,・・・},恒有____ /(x A.+1)< f(x k) ____________ :13算法迭代时的终止准则（写出三种）： ____________________________ o 14凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。

V15函数f : D u R“ T R在点（'沿着迭代方向d* eR n \ ｛（）｝进行精确一维线搜索的步长匕.，则其搜索公式为_____________________________ .16函数f •. D匚R“ T R在点*•沿着迭代方向d k e/?z, \｛0｝进行梢确一•维线搜索的步长匕，则V/（x A+a k d k Yd k = ___________ 0 .17设d k eR n\｛0｝为点/ w D匸R“处关于区域D的一个下降方向，则对于Va >0, 3«G（0,a）使得x二、简述题1写出Wolfe-Powell非精确一维线性搜索的公式。

最优化方法教案东北大学

第一章最优化问题与数学预备知识最优化分支：线性规划，整数规划，几何规划，非线性规划，动态规划。

又称规划论。

应用最优化方法解决问题时一般有以下几个特点：1. 实用性强2. 采用定量分析的科学手段3. 计算量大，必须借助于计算机4. 理论涉及面广应用领域：工业，农业，交通运输，能源开发，经济计划，企业管理，军事作战……。

§1.1 最优化问题实例最优化问题：追求最优目标的数学问题。

经典最优化理论：（1）无约束极值问题：),,,(opt 21n x x x f（),,,(min 21n x x x f 或),,,(max 21n x x x f ）其中，),,,(21n x x x f 是定义在n 维空间上的可微函数。

解法（求极值点）：求驻点，即满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='='0),,(0),,(0),,(11121n x n x n x x x f x x f x x f n并验证这些驻点是否极值点。

（2）约束极值问题：),,,(opt 21n x x x fs.t. )(,,2,1,0),,,(21n l l j x x x h n j <==解法：采用Lagrange 乘子法，即将问题转化为求Lagrange 函数),,(),,,(),,;,,,(1121121n j j lj n l n x x h x x x f x x x L λλλ∑=+=的无约束极值问题。

近代最优化理论的实例：例1 (生产计划问题) 设某工厂有3种资源B 1，B 2，B 3，数量各为b 1，b 2，b 3，要生产10种产品A 1，…，A 10 。

每生产一个单位的A j 需要消耗B i 的量为a ij ，根据合同规定，产品A j 的量不少于d j ，再设A j 的单价为c j 。

问如何安排生产计划，才能既完成合同，又使总收入最多？（线性规划问题）数学模型：设A j 的计划产量为 j x ，z 为总收入。

最优化方法部分课后习题解答(1-7)

最优化方法部分课后习题解答习题一1.一直优化问题的数学模型为：22121122123142min ()(3)(4)5()02()50..()0()0f x x xg x x x g x x x s t g x x g x x =−+−⎧=−−≥⎪⎪⎪=−−+≥⎨⎪=≥⎪=≥⎪⎩试用图解法求出：（1）无约束最优点，并求出最优值。

（2）约束最优点，并求出其最优值。

（3）如果加一个等式约束，其约束最优解是什么？12()0h x x x =−=解：（1）在无约束条件下，的可行域在整个平面上，不难看出，当=（3，4）()f x 120x x *x 时，取最小值，即，最优点为=（3，4）：且最优值为：=0()f x *x *()f x （2）在约束条件下，的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是()f x 在约束集合即可行域中找一点，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可12(,)x x 以看出，当时，所在的圆的半径最小。

*155(,)44x =()f x 其中：点为和的交点，令求解得到：1()g x 2()g x 1122125()02()50g x x x g x x x ⎧=−−=⎪⎨⎪=−−+=⎩1215454x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即最优点为：最优值为：=*155(,)44x =*()f x 658（3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。

2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题.解：列出这个优化问题的数学模型为：该优化问题属于三维的优化问题。

123122313123max ()220..00f x x x x x x x x x x S x s t x x =++≤⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪>⎩32123sx y z v⎛⎞=====⎜⎟⎝⎠习题二3.计算一般二次函数的梯度。

应用数学第1-11章作业

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22 7 最优控制法[习题1、 2] 7.1 习题1： . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 7.2 习题2： . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
−
反之，必要性：严格凸函数=》Hesse矩阵G正定.
类似，当对任意x ̸= y ,及任意实数λ ∈ (0, 1)都有f (λx + (1 − λ)y ) < λf (x) + (1 − λ)f (y ).
1 T T λf (x) + (1 − λ)f (y ) − f (λx + (1 − λ)y )=λ( 1 2 x Gx)+(1 − λ)( 2 y Gy ) 1 1 1 1 T T T [ 2 (λx) G(λx) + 2 (1 − λ)y G(1 − λ)y + 2 λx G(1 − λ)y + 2 (1 − λ)y T Gλx] 1 1 1 T T T T =1 2 λx G(1 − λ)x + 2 (1 − λ)y Gλy − 2 λx G(1 − λ)y − 2 (1 − λ)y Gλx 1 1 T T = 2 λx G(1 − λ)(x − y ) + 2 (1 − λ)y Gλ(y − x) 1 =2 λ(1 − λ)(x − y )T G(x − y ) > 0

最优化试题及答案

mi 1 m *m j * g j (x*) 0最优化理论、方法及应用试题一、(30 分)1、针对二次函数f(x) 1x T Qx b T x c，其中Q是正定矩阵，试写出最速下降算法的详细步骤，并简要说明其优缺点？答：求解目标函数的梯度为g(x) Qx b，g k g(x k) Qx k b，搜索方向：从X k出发，沿g k作直线搜索以确定x k 1。

Stepl:选定X。

,计算f o,g oStep2:做一维搜索，f k i min f X k tg k , x k 1 X k tg k.Step3 :判别，若满足精度要求，则停止；否则，置 k=k+1,转步2优缺点：最速下降法在初始点收敛快，收敛速度慢。

算法简单，在最优点附近有锯齿现象,2、有约束优化问题min f (x)g i(x) 0,i 1,2,L ,ms.th j (x) 0,j 1,2,L ,l最优解的必要条件是什么？答：假设x*是极小值点。

必要条件是f，g，h函数连续可微，而且极小值点的所有起作用约束的梯度h(x*)(i 1,2丄，1)和g j(x*)( j 1,2,L ,m)线性无关，则* * * *存在1 , 2丄，I, 1, 2丄，m,使得lf(x*) i* h i(x*)i 1j*g j(x*) 0,j 1,2,L* * * * *1 ,2 ,L , l , 1 , 2 ,L ,*0, j 03、什么是起作用约束？什么是可行方向？什么是下降方向？什么是可行下降方向？针对上述有约束优化问题，如果应用可行方向法，其可行的下降方向怎样确定？答：起作用约束：若g j(x0) 0，这时点x0处于该约束条件形成的可行域边界上,它对x0的摄动起到某种限制作用可行方向：x0是可行点，某方向 p，若存在实数0 0,使得它对任意2、应用共轭梯度方法求解无约束优化问题 min X 28X |，初始点为X 0 1 1 丁。

答：假设误差范围是0.001。

最优化方法习题答案

习题一1.1利用图解法求下列线性规划问题：（1）21x x z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 5x 2x 2x x 3.t .s 212121 解：根据条件，可行域为下面图形中的阴影部分，，有图形可知，原问题在A 点取得最优值，最优值z=5（2）21x 6x z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+0x ,x 7x x 1x x 2.t .s 212121 解：图中阴影部分表示可行域，由图可知原问题在点A 处取得最优值，最优值z=-6.（3）21x 2x 3z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-≤+-0x ,x 4x 2x 1x x .t .s 212121 解：如图所示，可行域为图中阴影部分，易得原线性规划问题为无界解。

（4）21x 5x 2z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 2x x 6x 2x .t .s 212121 解：由图可知该线性规划可行域为空，则原问题无可行解。

1.2 对下列线性规划问题，找出所有的基解，基可行解，并求出最优解和最优值。

（1）4321x 6x 3x 2x 5z min -+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++0x ,x ,x ,x 3x 2x x x 27x 4x 3x 2x .t .s 432143214321 解：易知1x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21p 1，2x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12p 2，3x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=13p 3，4x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=24p 4。

①因为21p ,p 线性无关，故有⎪⎩⎪⎨⎧--=+--=+43214321x 2x 3x x 2x 4x 37x 2x ，令非基变量为0x x 43==，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=311x 31x 21，所以得到一个基解)0,0,311,31(x )1(-=是非基可行解； ②因为31p ,p 线性无关，可得基解)0,511,0,52(x)2(=，543z 2=；③因为41p ,p 线性无关，可得基解611,0,0,31(x )3(-=，是非基可行解；④因为32p ,p 线性无关，可得基解)0,1,2,0(x )4(=，1z 4-=；⑤因为42p ,p 线性相关，42x ,x 不能构成基变量； ⑥因为43p ,p 线性无关，可得基解)1,1,0,0(x )6(=，3z 6-=；所以)6()4()2(x ,x ,x是原问题的基可行解，)6(x 是最优解，最优值是3z -=。

最优化考试例题.doc

优化方法与最优控制例题1 • Find the curve x (t) that minimizes the functionalAnd passes through the points ^(0) = 1 and x(l) = 3.4" g(x,x,t) = y x 2(0 + 5x(t)x(t) + x 1 ⑺ + 5x(0，可求得gv =5i⑺+ 2%⑺+ 5 ^ = x(r) + 5x(z) ^ = ^(z) + 5i(z) dt若J 在x(z)处取极值，则有= 即 atX ⑺一2x ⑺一5 = 0解微分方程沿7) - 2x(z) = 0 ,可得通解％(z) = c x e~<21 + c 2Z 2/。

设对)-2冰)-5 = 0的通解为％(0 = <^，得力)=」。

故原微分方程的解为 2x(r) = c 1e'^ + c 2e^+|又已知x(0) = l, x ⑴=3,带入上式可得所以x ⑺=c,e'r2t + c 2^+-o 2Such that: f 7 e[x,x,t]dt = CWhere we will assume that t f is free but x(t f ) is fixed.2 One important calculus of variations problem that we did not discuss in class has the same basic form, but with constraints that are given by an integral - called isoperimetric constraints:min J = [ g[x, x,t\lt山0e^+32(^2-1)e^+3C ，2 =2(e 3 45-l)e[x,x,t]dt = CWhere g a = g v T e •(b) Use the results of part (a) to clearly state the differential equations and corresponding boundary conditions that must be solved to find the curve y(x) of a specified length L with endpoints on the x-axis (i.e.，at x = 0 and x = x f ) that encloses the maximum area, so that7 = £7ydx and £+ y 2dx = LWhere t, free.(a)引入拉格朗口矢量因子V ，另'g[x,x 9t]dt + v T ^f e(x ，i ，t)dt-C求变分有SJ a = 7 (§'—& + g^Sx)dt + g{t f )dt f + v T ^J^ {e x Sx + e {Sc)dt + e(t f )dt f + 1edt (g x - ::^-)Sxdt + + +〔{ edt-C Sv +v*l | 7 {e x -+ e..(t f) 4- e(t f )dt f有&, =&(◊) + 々(，,)々,，并令么=g + v T 《，带入上式，整理可得因为z f 自由，对rp 固定，所以要使＜5/=0，则需满足条件:dSa _ d (d Sa dxdt \ dx=0Tclds, \T a = £[U.r + )—(音 + ^)]&cdt + 7 edt - Cj <5v +[A(,，)+ vTG(〜)]&，+(U(z ，) +’冲，)]-[心(z ，) + vT ¥(r)]地，))々，k dx dtSxdt +〔edt-C I 4--(r z )&c f +g a (t f )-^-dxdxdSa _d ( ^S a dx dt\ dxe[x,x,t]dt = C(b)令 = >’ ++ y 2，则有自由。

最优化方法及其matlab程序设计习题答案

证明：根据严格凸函数定义证明。
定义：对任意x ̸= y,及任意实数λ ∈ (0, 1)都有f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).
充分条件：∀x, y ∈ ℜn, 有f (x + y) ≤ f (x) + f (y)
对任意x ̸= y,及任意实数λ ∈ (0, 1)都有f (λx+(1−λ)y) ≤ f (λx)+f ((1−λ)y)
8
k= 2 （2）阻尼牛顿法 function He=Hesstwo(x) n=length(x); He=zeros(n,n); He=[8, 0; 0, 2]; ≫ x0=[0,1]’;[x val k]=dampnm(’funtwo1’,’gfuntwo1’,’Hesstwo’,x0) x= 1 2 val = -8 k= 1 第3题. function f=fun(x) f = (x(1) − 2)4 + (x(1) − 2 ∗ x(2))2; function gf=gfun(x) gf = [4 ∗ (x(1) − 2)3 + 2 ∗ (x(1) − 2 ∗ x(2)), −4 ∗ (x(1) − 2 ∗ x(2))]′; ≫clear all; ≫x0=[0 3]’;[v,val,k]=grad(’fun’,’gfun’,x0)
(1
−
λ)y)=
1 2
(λx
+
(1
−
λ)y)T
G(λx
+
(1
−
λ)y)
+
bT
(λx
+
(1
−
λ)y)
λf
(x)

最优化方法习题答案

习题一1.1利用图解法求下列线性规划问题：（1）21x x z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 5x 2x 2x x 3.t .s 212121 解：根据条件，可行域为下面图形中的阴影部分，，有图形可知，原问题在A 点取得最优值，最优值z=5（2）21x 6x z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+0x ,x 7x x 1x x 2.t .s 212121 解：图中阴影部分表示可行域，由图可知原问题在点A 处取得最优值，最优值z=-6.（3）21x 2x 3z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-≤+-0x ,x 4x 2x 1x x .t .s 212121 解：如图所示，可行域为图中阴影部分，易得原线性规划问题为无界解。

（4）21x 5x 2z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 2x x 6x 2x .t .s 212121 解：由图可知该线性规划可行域为空，则原问题无可行解。

1.2 对下列线性规划问题，找出所有的基解，基可行解，并求出最优解和最优值。

（1）4321x 6x 3x 2x 5z min -+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++0x ,x ,x ,x 3x 2x x x 27x 4x 3x 2x .t .s 432143214321 解：易知1x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21p 1，2x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12p 2，3x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=13p 3，4x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=24p 4。

①因为21p ,p 线性无关，故有⎪⎩⎪⎨⎧--=+--=+43214321x 2x 3x x 2x 4x 37x 2x ，令非基变量为0x x 43==，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=311x 31x 21，所以得到一个基解)0,0,311,31(x )1(-=是非基可行解； ②因为31p ,p 线性无关，可得基解)0,511,0,52(x)2(=，543z 2=；③因为41p ,p 线性无关，可得基解611,0,0,31(x )3(-=，是非基可行解；④因为32p ,p 线性无关，可得基解)0,1,2,0(x )4(=，1z 4-=；⑤因为42p ,p 线性相关，42x ,x 不能构成基变量； ⑥因为43p ,p 线性无关，可得基解)1,1,0,0(x )6(=，3z 6-=；所以)6()4()2(x ,x ,x是原问题的基可行解，)6(x 是最优解，最优值是3z -=。

最优化方法_chapter1 绪论

三最终结果
差
差
中
中
差
好
好
好
好
中
中
好
用这种方法娶到最差老婆的概率是1/6,娶到最好老婆的概率是1/2!由此我们可以得到一个经典的结论:
初恋是靠不住的!
1.2 最优化问题的数学模型及其分类
最优化问题的数学模型包含三要素：
✓目标函数/评价函数 ✓决策变量 ✓约束条件
1.2 最优化问题的数学模型及其分类
第一种最优化问题表示形式为
min
[ x1，x2，L ，xn ]T
f
(x1，x2，...，xn )
s.
t.
gi hj
( (
x1，x2，...，xn x1，x2，...，xn
) )

0 0
i 1，2，...，l j 1，2，...，m (m n)
第二种最优化问题表示形式为
问题的严格全局最优解，称 f (x*)为严格全局最优值.
y
D
x
x*
x
定义2 如果有x* D 及 0 ，使得当 x D N (x*) 时恒有 f (x) f (x*)，则称 x*为最优化问题的局部最优解，称 f (x*)为局部最优值.其中：
N (x*) {x | x x * }
题目的规则是这样的:从现在开始甲可以选择和其中任意一位女士交往一个月,一个月之后如果甲觉得满意就与之结婚并且之后不能再离婚去选择剩下两位女士了;如果甲觉得不满意可以从剩下的两个女士中再选择一位女士交往一个月.第二个月之后如果甲满意那么就与这个女士结婚,如果不满意就必须娶剩下的一位女士结婚(需要注意的是与其中任何一个女士交往的过程中都不能和其他女士同时交往,只能串行不能并行!).

最优化方法习题答案

习题一1.1利用图解法求下列线性规划问题：（1）21x x z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 5x 2x 2x x 3.t .s 212121 解：根据条件，可行域为下面图形中的阴影部分，，有图形可知，原问题在A 点取得最优值，最优值z=5（2）21x 6x z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+0x ,x 7x x 1x x 2.t .s 212121 解：图中阴影部分表示可行域，由图可知原问题在点A 处取得最优值，最优值z=-6.（3）21x 2x 3z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-≤+-0x ,x 4x 2x 1x x .t .s 212121 解：如图所示，可行域为图中阴影部分，易得原线性规划问题为无界解。

（4）21x 5x 2z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 2x x 6x 2x .t .s 212121 解：由图可知该线性规划可行域为空，则原问题无可行解。

1.2 对下列线性规划问题，找出所有的基解，基可行解，并求出最优解和最优值。

（1）4321x 6x 3x 2x 5z min -+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++0x ,x ,x ,x 3x 2x x x 27x 4x 3x 2x .t .s 432143214321 解：易知1x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21p 1，2x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12p 2，3x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=13p 3，4x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=24p 4。

①因为21p ,p 线性无关，故有⎪⎩⎪⎨⎧--=+--=+43214321x 2x 3x x 2x 4x 37x 2x ，令非基变量为0x x 43==，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=311x 31x 21，所以得到一个基解)0,0,311,31(x )1(-=是非基可行解； ②因为31p ,p 线性无关，可得基解)0,511,0,52(x)2(=，543z 2=；③因为41p ,p 线性无关，可得基解611,0,0,31(x )3(-=，是非基可行解；④因为32p ,p 线性无关，可得基解)0,1,2,0(x )4(=，1z 4-=；⑤因为42p ,p 线性相关，42x ,x 不能构成基变量； ⑥因为43p ,p 线性无关，可得基解)1,1,0,0(x )6(=，3z 6-=；所以)6()4()2(x ,x ,x是原问题的基可行解，)6(x 是最优解，最优值是3z -=。

高等数学(东北大学出版社)第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案

第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案第1章函数、极限与连续习题1.1⒈下列各组函数，哪些是同一函数，哪些不是？（1）y x =与是同一函数（2）yx =与是同一函数（3）2111x y x x -=-+与y=不是同一函数（4）22ln ln y x x =与y=不是同一函数⒉指出下列函数的定义域.（1）43)(+=x x f 的定义域是),34[+∞- （2）xx f -=11ln )(的定义域是)1,(-∞ （3）)1ln()(2-=x x f 的定义域是),2[]2,(+∞⋃-∞（4）)arcsin(ln )(x x f =的定义域是],1[e e-（5）若)(x f 的定义域是]4,4[-，则)(2x f 的定义域是]2,2[-（6）若)(x f 的定义域是]3,0[a ，则)()(a x f a x f -++的定义域是]2,[a a 3.判别下列函数的奇偶性.（1）()sin f x x x =+是奇函数（2）()cos f x x x =⋅是奇函数（3）()2f x x x =-是非奇非偶函数（4）()1lg 1x f x x-=+是奇函数（5）()cos(sin )f x x =是偶函数（6）()sin x f x x=是偶函数（7）())f x x =是奇函数（8）()f x =⒋下列函数哪些在其定义域内是单调的. （1）sin y x =在其定义域内不是单调的（2）arcsin y x =在其定义域内是单调递增的（3）2y x x =-在其定义域内不是单调的（4）0≠a 时，ax y e =在其定义域内是单调的，其中 0<a 时，ax y e =在其定义域内是单调递减的， 0>a 时，ax ye =在其定义域内是单调递增的5.下列函数在给定区间中哪个区间上有界. （1）),1(1+∞=在区间xy 上有界（2）)10,1()12ln(在区间-=x y 上有界（3）)4,3(3-=在区间x y 上有界（4）)1,1(),,(),0,(sin -+∞-∞-∞=在区间x y 上分别有界 6.下列函数哪些是周期函数，如果是求其最小正周期. （1）sin3y x =是周期函数，最小正周期是32π（2）cos y x =是周期函数，最小正周期是π （3）tan 2y x =是周期函数，最小正周期是2π （4）ln(cos 2)y x =+是周期函数，最小正周期是π 7.下列各对函数中，哪些可以构成复合函数.（1）2),2arcsin()(x u u u f =+=不可以构成复合函数（2）x u u u f 2sin ),1ln()(=-=不可以构成复合函数（3）221ln,)(x u u u f +==不可以构成复合函数（4）212,arccos )(x xu u u f +==可以构成复合函数8.将下列复合函数进行分解. （1）对复合函数43)(2--=x x x f 的分解结果是：43,)(2--==x x u u x f（2）对复合函数32)(-=x ex f 的分解结果是：32,)(-==x u e x f u（3）对复合函数()ln(23)f x x =-的分解结果是：32,ln )(-==x u u x f （4）对复合函数()arcsin(1)f x x =+的分解结果是：1,sin )(+==x u u acc x f9.求函数值或表达式. （1）已知函数12)(,2)0(,4-)2(,0)2(,12)(222+-===-=+-=x x x f f f f x x x f 则.（2）已知函数0)(,22)4(,0)1(,1,01,sin )(===⎩⎨⎧≥<=ππf f f x x x x f 则.（3）已知函数21-)21arcsin(,sin )(=-=f x x f 则. （4）已知函数x x f 2cos )(sin =，则[]1,1,21)(2-∈-=x x x f习题1.21.用观察法判断下列数列是否有极限，若有，求其极限. （1） ,67,51,45,31,23,1:n x 没有极限（2）n x n 1=有极限，01lim =∞→nn （3）2sinπn x n =没有极限（4）1)1(3+-=n n x nn 有极限，0]1)1[(lim 3=+-∞→n n n n 2.分析下列函数的变化趋势，求极限（1）01lim2=∞→xx （2）011lim =++∞→x x（3）+∞=++∞→)2ln(lim x x （4）2232lim=++-∞→x x x3.图略，)(lim 0x f x →不存在4.下列变量中，哪些是无穷小量，哪些是无穷大量？（1）0→x 时，2100x 是无穷小量（2）+→0x 时，x2是无穷大量（3）∞→x 时，112--x x 是无穷小量（4）+∞→x 时，xe 是无穷大量（5）∞→n 时，3)1(2+-n n n是无穷大量（6）∞→x 时，x x sin 是无穷小量（7）∞→x 时，x1sin 是无穷小量（8）0→x 时，12-x是无穷小量 5.已知函数2)3(1)(--=x x x f ，则)(x f 在-∞→x 或+∞→x 或∞→x 的过程中是无穷小量，在-→3x 或+→3x 或3→x 的过程中是无穷大量？6. 当1x →-时，无穷小1x +与下列无穷小是否同阶？是否等价？（１）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小31x +同阶，但不等价（２）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小21(1)2x -同阶，而且等价习题1.31.设函数x x f =)(，则xt x f t x f t 21)()(lim=-+→ 2.设函数⎩⎨⎧<+≥+=2,122,1)(2x x x x x f ，则5)(lim ,5)(lim ,5)(lim 222===→→→+-x f x f x f x x x . 3.求下列各式的极限：（1）15)52(lim 22=+--→x x x （2）3213lim 2421-=++-→x x x x（3）35)321(lim 0=--→x x （4）242lim 22=+-∞→x xx x （5）2111lim 220-=+-→xx x （6）21)21(lim 222=+++∞→n n n n n （7）1122lim2=-+++∞→xx x x （8）311lim31=--→x x x （9）61)319(lim 2=-++∞→x x x x （10）112lim 1=---→xxx x（11）201020101032)53()32()1(lim =---+∞→x x x x4.已知516lim21-=-+-→x ax x x ，则7=a . 5.2)(lim 2=-++∞→x kx x x ，则4=k . 6.求下列极限：（1）252sin 5sin lim0=→x x x （2）1sin 2tan lim 0=-→xxx x（3）43cos cos lim 20=-→x x x x （4）2)sin()2tan(lim 230=-+→x x x x x （5）11sin lim =⋅∞→x x x （6）0sin sin lim 0=+-→xx x x x（7）323arcsin 2lim0=→x x x （8）21sin tan lim 30=-→x x x x 7.求下列极限：（1）82)41(lim e x x x =+∞→ （2）21)21(lim --∞→=-e xx x（3）3220)33(lim -→=-e x xx （4）21)11(lim --∞→=+-e x x x x （5）5ln 51)ln 1(lim e x xx =++→ （6）e x x x =+→sec 2)cos 1(lim π8.用等价无穷小替换计算下列各极限：（1）236arctan lim0=→x x x （2）214lim 20=-→x x e x（3）22cos 1lim 20=-→x x x （4）21)21ln(lim 0=-+→x x e x 习题1.41.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,31,11)(2x x x x x f ，则()f x 在1=x 处不连续．2.指出下列函数的间断点，并指明是哪一类间断点？（1）函数11)(2-=x x f 的间断点有点1-=x 和点1=x ，它们都是第二类间断点中的无穷间断点（2）函数xe xf 1)(=的间断点有点0=x ，它是第二类间断点（3）函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点有点0=x 和点1=x ，其中点0=x 是第二类间断点中的无穷间断点，点1=x 是第一类间断点（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠+-=1,01,11)(2x x x x x f 的间断点有点1-=x ，它是第一类间断点中的可去间断点（5）函数⎩⎨⎧>≤+=0,2,2)(2x x x x f x 的间断点有点0=x ，它是第一类间断点中的跳跃间断点（6）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=2,32,24)(2x x x x x f 的间断点有点2=x ，它是第一类间断点中的可去间断点3.设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=<=0,11sin 0,0,sin )(x x x x k x xxx f ，当1=k 时，函数)(x f 在其定义域内是连续的.4.求下列极限：（1）42arccos lim 21π=+→x x x （2）0sin lg lim 2=→x x π （3）021lim cos sin 0=+-→xx x e e （4）2ln ln )1ln(lim 1=-+→x x x x （5）2121lim 224=+++∞→x x x x （6）11lim 1=--→x xx x（7）e x x e x 1ln lim=→ （8）4arctan lim 1π=→x x5.（略）6.（略）复习题1一、单项选择题1.下列函数中（C ）是初等函数.（A ）)2arcsin(2+=x y （B ）⎩⎨⎧∈∉=Qx Qx x f 10)(（C ）12+-=x y （D ）⎩⎨⎧>+<≤=1110)(2x x x x x f2.下列极限存在的是（B ）.（A ）xx 4lim ∞→ （B ）131lim 33-+∞→x x x （C ）x x ln lim 0+→ （D ）11sin lim 1-→x x3.当0x →时，2tan x 与下列（D ）不是等价无穷小.（A ）2tan x （B ）2x （C ）2sin x （D ）2cos x 4.函数在某点连续是该函数在此点有定义的（B ）.（A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充分必要条件（D ）无关条件 5.已知0sin lim2x axx→=,则常数=a （C ）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 6.闭区间[,]a b 上的连续函数()y f x =在[,]a b 上一定是（C ）.（A ）单调函数（B ）奇函数或偶函数（C ）有界函数（D ）周期函数二、填空题 1.设10()20xx x f x x +-∞<≤⎧=⎨<<+∞⎩，则(2)f = 4 . 2.函数5cos 3y x =是由简单函数 x v v u u y 3,cos ,3=== 复合而成的. 3.点1x =是函数1,1()3,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩ 的第一类间断点中的跳跃间断点.4.当x → ∞- 时，函数3xy =是无穷小.5.极限 2lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭= 2e .6.函数ln(4)y x =-的连续区间为 [)4,1 . 三、计算下列极限1.24231x x x x -++=0 2.223lim 2x x x →--不存在 3.2211lim 21x x x x →---21= 4.22356lim 815x x x x x →-+-+5.1)2(1lim 22=---∞→x x x x6.4281lim5x x x x →∞-++ 不存在 7.63132lim 1=--+→x x x 8.231lim (3cos )1x x x x →∞+++=09.21sin cos 1lim0=-→θθθθ 10.1cos lim =-∞→x x x x 11.212sin )1ln(lim0=+→x x x 12.21)81221(lim 32=---→x x x13.320lim(12)xx x →-3-=e 14.122lim(1)x x x-→∞- 1-=e15.11lim x x x x +→+⎛⎫⎪⎝⎭e = 16.1lim()1xx x x →∞-+ 2-=e 四、综合题1.函数2101()11x x f x x x ⎧-≤≤=⎨+>⎩在点1=x 处不连续，在点2=x 处连续，函数的图像略。

最优化方法-习题

1 2
( x2 x1) f ( x 2) f ( x2) f ( x1)
三、设 f(x)=
2 1
“充分性” 由则
x ，x
1
2
的任意性取

x = x 时，f( x )>f( x )
1

T 1 T T Qx b x c, Q Q 0 试证：共轭梯度法的线性搜索中 2x
3
*
T
f ( x)
x
2
1
2 x 2 2 x1 x2 4 x1 , x R
T
1、给定问题
x
(1)
(1,1)
解：1）DFC 法取初始对称矩阵
1 0 H1 0 1
第一次迭代：
x x x 2 x 6 x 14 x x x x 2 s.t. x 2 x 3 x 0, x 0, x 0 取初始点 x (1 ,1,0) ，用简约梯度法求其最优解
T
2) 因为 Q=
2 2 2 2 ,所以 |Q|= 2 6 =8>0 即可知 Q 是非奇异的 2 6 2 2 2 6
=8>0 ,所以 Q 是正定的,故 f(x)是正定的
f ( x1) (2,4,5)
3) 因为|2|>0,
2 d f ( x1) =(1,0,-1) 4 = -3<0 5
2 2
2
一、设 f(x)为定义在区间[a,b]上的实值函数，
2) f(x)=ln(
x1 + x x x 2 )
x1 x2 9 x3 , x1 6 x2 x3 2 , 9 x1 x2 )

最优化方法习题一

习题一一、考虑二次函数f(x)=x x x x x x 2122212132+-++1) 写出它的矩阵—向量形式: f(x)=x Qx b x TT +21 2) 矩阵Q 是不是奇异的3) 证明: f(x)是正定的 4) f(x)是凸的吗 5) 写出f(x)在点x =)1,2(T处的支撑超平面(即切平面)方程解:1) f(x)=x x x x x x 2122212132+-++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11T⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x 21 其中x=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 21 ,Q=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6222 , b=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11 …2) 因为Q=⎪⎪⎭⎫⎝⎛6222 ,所以 |Q|=6222=8>0 即可知Q 是非奇异的 3) 因为|2|>0,6222=8>0 ,所以Q 是正定的,故f(x)是正定的4) 因为)(2x f ∇=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6222,所以|)(2x f ∇|=8>0,故推出)(2x f ∇是正定的,即 )(2x f ∇是凸的5) 因为)(x f ∇ =1)x 6x 1,2-x 2x (22121+++T,所以)(x f ∇=(5,11)所以 f(x)在点x 处的切线方程为5(21-x )+11(12-x)=0二、求下列函数的梯度问题和Hesse 矩阵1) f(x)=2x 12+x x x x x 23923121+++x x x 2322+2) f(x)=ln(x 12+x x x 2221+)解: 1) )(x f ∇= (,94321x xx ++ 26321+++x x x , x x 219+))(2x f ∇=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛019161914）2) )(x f ∇=(x x x x x x 112221221+++ ,x x x x xx 112221221+++))(2x f ∇=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------++++++++)()()()(2221212222212142221214222121222222121222212122221212212122x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 三、设f(x)=x x x x x x x 323223322122--+++,取点)1,1,1()1(Tx =.验证d )1(=(1,0,-1)是f(x)在点x)1(处的一个下降方向,并计算min >t f(x )1(+t d )1() 证明: )(x f ∇=)124,123,x 2(233221-+-+x x x x T)5,4,2()(1Tx f =∇d )(1x f ∇=(1,0,-1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛542= -3<0所以d)1(是f(x)在x)1(处的一个下降方向f(x)1(+td)1()=f((1+t,1,1-t)) =433)1(1)1(221(222)1()1+-=----+++-+t t t t t t∇f(x )1(+t d )1()=6t-3=0 所以t=>0（所以min >t f(x )1(+t d )1()=3**+4=四、设aj，b ，cj（j=1,2,….,n ）考虑问题Min f(x)=∑=n j jj xc 1.b nj jjxa =∑=10≥xj(j=1,2,….,n)1) 写出其Kuhn Tuker 条件2) 证明问题最优值是])([12112∑=nj j j b c a 解：1）因),....,1(n j x j = 为目标函数的分母故0>xj所以λ*j（j=1,…,n ）都为0所以Kuhn Tuker 条件为 0)()(=∇+∇x h x f μ·即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---x c x c x c n n 2222211 +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a n 21μ=02）将ac x jj j μ=代入 h(x)=0 只有一点得∑=∑==⇒=nj jjn j j j b n c a bca 122)(1μ故有acc a x jj nj jjjb ∑==1所以最优解是])([12112∑=n j j j b c a 五、使用Kuhn Tuker 条件，求问题min f(x)=)2()1(2122--+x x.,021212112≥≥=+=-x x x x x x 的Kuhn Tuker 点，并验证此点为问题的最优解解：x=(1/2,3/2) 0≠ 故λ*1，λ*2=0】则 0)()()(2211=+∇+∇x x x f h h μμ即0111142222121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--μμx x ⇒1,021-==μμ而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∇2002)(2x f 故08)(2>=∇x x f x T 即其为最优解六、在习题五的条件下证明 L(μλ,,x*)),,(),,(μλμλ*****≤≤x L L x其中 L （x,μλ,）=f(x)+)2()1(2112-++--xx x x μλ证明：L(μλ,,x*)=f(x *)+)2()1(2112-++--****x x x x μλ= f(x*)^= f(x *)+λ*)1(12--**x x +μ*-+**x x 21(2)= ),,(μλ***x L= f(x*))2()1()()(2112-++--+=≤**xx x x x f x f μλ= μλ**,,(x L )、习题二一、设f(x)为定义在区间[a,b]上的实值函数，x *是问题min{f(x)|a b x ≤≤}的最优解。

东北大学最优化方法

的圆周上，哪一个点具有最大的或最小的目标函数值。
为了一般地描述函数 f x 在点 x0 处沿 p 方向的变化
情况及变化速度，须引入上升方向和下降方向及方向导数的概念。
函数 f x 在点 x0 处沿 p 方向的变化反映的是函数 f x在一条直线上的变化，空间中由一点 x0 和一方向 p
所确定的直线方程为
其实，a,b aTb a1, a2,
b1
,
an
b2
。
bn
向量也常用希腊字母 , , , ,, 等表示。
向量内积的性质：
ⅰ) , ,（对称性）；
ⅱ) , , , k, k , （线性性）；
ⅲ) , 0 ,当且仅当 0 时，, 0（正定性）；
向量的长 ,
今考虑一点 B ，不妨取坐标为 x0 0,3T。设想有
一动点从 B 出发沿某个方向移动到了点 M ，其坐标
设为 x0 p ，那么目标函数值将产生如下变化量
f x0 p f x0
假定 p 1 。试问：动点沿哪个方向移动会使
目标函数值有最多的下降或上升？
从图上看，这相当于问：在以点 B 为圆心、以1为半径
定理1.2又表明：只要 f x0 T p 0 ，则 p 方向是 f x
在点 x0 处的上升方向；只要 f x0 T p 0，则 p 方向是
f x 在点 x0 处的下降方向。
函数值升降的快慢则是由方向导数绝对值的大小决定的。绝对值越大，升或降的速度就越快；绝对值越小，升或降的速度就越慢。这是因为
2 f x 也称为多元实值函数 f x 的Hesse矩阵。
例1.9 P21
几个特殊的向量值函数的导数公式：
（1）c O ；（2）x I ；
（3） Ax AT ；（4）设 t f x0 tp，其中 f : Rn R1, : R1 R1 。则

最优化方法练习题(答案)

练习题一1、建立优化模型应考虑哪些要素? 答：决策变量、目标函数和约束条件。

2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。

答：针对一般优化模型()()min ()..0,1,2, 0,1,,i j f x s t g x i m h x j p≥===，讨论解的可行域D ，若存在一点*X D ∈，对于X D ∀∈ 均有*()()f X f X ≤则称*X 为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列(1)(2)(),,,K X X X ，满足(1)()()()K K f X f X +≤，则迭代法收敛；收敛的停止准则有(1)()k k x x ε+-<，(1)()()k k k x x x ε+-<，()()(1)()k k f x f x ε+-<，()()()(1)()()k k k f x f x f x ε+-<，()()k f x ε∇<等等。

练习题二1、某公司看中了例2.1中厂家所拥有的3种资源R 1、R2、和R 3，欲出价收购（可能用于生产附加值更高的产品）。

如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？（该问题称为例2.1的对偶问题）。

解：确定决策变量对3种资源报价123,,y y y 作为本问题的决策变量。

确定目标函数问题的目标很清楚——“收购价最小”。

确定约束条件资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。

因此有如下线性规划问题：123min 170100150w y y y =++1231231235210..23518,,0y y y s t y y y y y y ++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩ *2、研究线性规划的对偶理论和方法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。

答：略。

3、用单纯形法求解下列线性规划问题：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤++≤-++-=0,,43222..min32131321321321x x x x x x x x x x x t s x x x z ；（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=+-=+-+-=)5,,2,1(052222..4min53243232132 i x x x x x x x x x x t s x x z i解：（1）引入松弛变量x 4，x 5，x 6123456min 0*0*0*z x x x x x x =-++++12341232 =22 5 =3..13 6=41,2,3,4,5,60x x x x x x x x s t x x x x x x x x x +-+⎧⎪+++⎪⎨-++⎪⎪≥⎩因检验数σ2<0，故确定x 2为换入非基变量，以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。

最优化第一部分

最优化方法的研究内容是，在需要对有限的资源进行分配的情
况下，作出人机系统最优设计的操作的科学决策。
非线性优化与动态规划
第一部分绪论
以上几种定义中虽然每个定义所强调的侧重点略有不同，但总的含义是一致的。一般说来，最优化方法的研究对象是各种有组织的系统（主要是经济组织系统）的经营管理问题，最优化方法所研究的系统是在一定时空条件下存在，为人所能控制和操纵，有两个以上行动方案可供选择而需要人们作决策的系统。最优化方法研究的问题是能用数量表示与系统各项活动有关而带有运用、策划、使用、安排、控制和规划等方面的问题。最优化方法的任务就是在现有条件下，根据问题的要求，
非线性优化与动态规划
第一部分绪论
2.向量的范数约定：取向量为列向量，即 n 维Euclid 空间Rn中的一个向量 x 可表示为：
x1 x 2 x xn
或
x ( x1 , x2 , , xn )T
矩阵相等：设 x ( x1 , x2 , , xn )T , y ( y1 , y2 , , yn )T , 如果对一切 1 i n , 都有 x y , 则称向量x与y相等，记作 i i
非线性优化与动态规划
第一部分绪论
一、最优化方法的定义、研究对象及研究方法英国运筹学会给最优化方法下的定义是，最优化方法是一系列科学方法的应用。在工业、商业、政府及国防部门中，用这些方法处理大量的人员、机器、材料和资金等复杂问题。这种方法的特点是科学地建立系统模型，包括度量各种因素，例如分析机会和风险，以此预测和比较各种决策、策略或控制的结果，使管理机构科学地确定它的政策及行动。美国运筹学会下了一个比较简短的、与上述相类似的定义：

最优化方法习题一

二、求下列函数的梯度问题和Hesse 矩阵 1) f(x)=2x 12+x x x x x 23923121+++x x x 2322+2) f(x)=ln(x 12+x x x 2221+)解: 1) )(x f ∇= (,94321x x x ++ 26321+++x x x , x x 219+))(2x f ∇=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0191619142) )(x f ∇=(x x x x x x 112221221+++ ,x x x x xx 112221221+++))(2x f ∇=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------++++++++)()()()(2221212222212142221214222121222222121222212122221212212122x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 三、设f(x)=x x x x x x x 323223322122--+++,取点)1,1,1()1(Tx =.验证d)1(=(1,0,-1)是f(x)在点x)1(处的一个下降方向,并计算min >t f(x)1(+td)1()证明: )(x f ∇=)124,123,x 2(233221-+-+x x x x T)5,4,2()(1Tx f =∇d )(1x f ∇=(1,0,-1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛542= -3<0所以d)1(是f(x)在x)1(处的一个下降方向f(x)1(+td)1()=f((1+t,1,1-t)) =433)1(1)1(221(222)1()1+-=----+++-+t t t t t t∇f(x )1(+t d )1()=6t-3=0 所以t=0.5>0所以min >t f(x)1(+td)1()=3*0.25-3*0.5+4=3.25三、设f(x)=0,21>=++Q c x Qx Q b x T TT 试证：共轭梯度法的线性搜索中)()()()()()(0m in d t x d x k k k k k t f t f +=+≥，有dd dg t k Tk T kk Q k )()()()(-=，其中)()(x gk kf ∇=证明：由已知，得b Qx x f +=∇)( 令=)(t ϕ)()()(d xk k t f +为t 的凸二次函数。

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