东北大学最优化第一章例题

例1：已知
r Ñf (x),
f (x)
Ñ2 f
=1
r2
(
x2
( x ).
-
x12
)2
+
(1 -
x1 ) 2
求
解：
¶f (xr) ¶x1r
=
2x1 (x12
-
x2 )
+
2(x1
- 1),
¶
¶f (x
2
f
(
xr
¶x2
)
=
¶x12
)
6
= x2 -
x12 - 2
x1 2
x2
.
+
2,
¶2 f (xr) ¶x1¶x2
2 2
-
或
x2
=
9. 2
20x2
+9
=
0,
得切点
æ çè
9 4
,
1 2
ö ÷ø
,æçè
9 4
,
9 2
ö÷ø.
æ çè
9 4
,
1 2
ö ÷ø
不在容许集上，最优点为
æ çè
9 4
,
9 2
ö÷ø.
最优值点
f
æ çè
9 4
,
9 2
ö ÷ø
=
5.
ì í
x1
+
x
2 2
- 5x2
= 0,
î x1 + x2 - 5 ³ 0.
ì ï ïí ï
x1 x2
-
7
4 5
2
=
-
1 2x2 -
, 5
ï î
x1 + x22 - 5x2 = 0.
⑴
x2
=
5, 2
公切线平行 x2 轴，切点为
æ çè
25 4
,
5 2
ö÷ø .
⑵
x2
¹
5 2
,
x1
-
7 4
=
1, 2
9
x1
=
, 4
代入得
9 4
+
x22
解得 x2
- 5x2
= 1, 2
=
0,
4
x
不在容许集上.
xr* = [4,1]T .
.
4 2 4 16
例4：设目标函数为
f (x1 , x2 ) = x12 + x22 + x1 x2 + 4x1 - x2 + 1
从作点直线xr0搜Ñ=索f[2(，,zr-)试1T]PT求r出=搜发0索.，到沿的p极r =小[点-1,zr1]T并的验方证向
解：xr
=
r x0
r +tp
=
é 2-t ù
êë-1
+
t
ú û
,
j(t) = (2 - t)2 + (-1 + t)2 + (2 - t)(-1 + t) + 4(2 - t)
- (-1 + t) +1,
= t2 - 8t +13,
j¢(t) = 2t - 8 = 0, t = 4.
zr
=
é-2ù
②画出等式约束
x1
+
x
2 2
- 5x2
=
0
的图形，它是一条抛物线； ③画出不等式约束所代表的区域。
x2
o
x1
容许集为抛物线的一段，最优解为抛物线的端 点，即方程
x1
+
x
2 2
- 5x2
=
0,
x1 + x2 - 5 = 0.
的解 x1 = 4, x2 = 1.
最优值 f (4,1) = 101. 16
)
=
é0 êë0
0ù 2 úû
各阶主子式非负，
-s1(x1, x2 )
=
x1
+
x
2 2
- 5x2
为凸函数。
s1(x1, x2 ) = -x1 - x2 2 + 5x2 ³ 0 为凸集。
即容许集为凸集。
用一阶导数判别
-s1(x1, x2 )
=
x1
+
x
2 2
- 5x2
的凸性。
[ ] [ ] Ñ
-s1(x1, x2 ) = r
=
0,
8x23 - 60 x22 +126 x2 - 49 = 0,
1 9 7 21
(2x2 -
切点 f ( 21
7)2(2 x2 -1) = 0, x2
(9 , 1 ), (21, 7). 42 4 2
点
, 7 ) = 125 > 101.
= 2 , x1 = (9 ,1) 42
最优解
4 ;x2 = 2 , x1 = 4
s.t
x1
+
x
2 2
- 5x2
=
0,
x1 + x2 - 5 ³ 0,
x1 ³ 0,
x2 ³
解：①画出目标函数
0.
r f (x)
=
(x1
-
7 )2 4
+
(x2
-
5 )2 2
的等值线；
②画出等式约束 x1 + x22 - 5x2 = 0
的图形，它是一条抛物线；
③画出不等式约束所代表的区域。
x2
o
x1
容许集为抛物线的一段，最优解为目标函数的等 值线与容许集的切点，即最优点满足方程
)
-
[
-s1
r (x1
)]
=
x (2) 1
-
x (1) 1
+ [x2(2) ]2
- [x2(1) ]2
-
5 éë x 2( 2)
-
x (1) 2
ùû
{ [ ]} [ ] r
Ñ -s1(x1)
T
rr (x2 - x1) =
1,2x2
-5
é ê ë
x1( x2(
2) 2)
-
x (1) 1
x (1) 2
ù ú û
ê ë
3
ú û
.
Ñf
(
xr
)
=
é ê ë
2x1 + x2 x1 + 2x2
+ -
4ù 1úû
,
r é3ù Ñf (z) = êë3úû.
Ñf
( zr)T
r p
=
[3
3]
é-1ù
ê ë
1
ú û
=
0.
例5：判别最优化问题是否为凸规划
min
(x1 -
7 )2 4
+
( x2
-
5 )2 2
s.t -x1 - x22 + 5x2 ³ 0,
x1 + x2 - 5 ³ 0,
x1 ³ 0,
x2 ³ 0.
并用图解法求出最优点。
解：f
(
r x1
r ,x2
)
=
( x1
-
7 )2 4
+
( x2
-
5)2 ,Ñ2 2
f
rr (x1,x2 )
=
é2 êë0
0ù
2
ú. û
Ñ2
f
(
rr x1,x2
)
=
é2 êë0
0ù 2 úû
正定
x2
o
x1
从图上可判别出容许集为淡绿色区域，此 区域为凸集，故此最优化问题为凸规划。
解得
x1
=
17 8 , x2
=
23 .
8
xr*
=
é17 êë 8
,
23
T
ù
8 úû
.
为全局最优点。
-
x (1) 2
ùû
{ } -
x (2) 1
-
x (1) 1
+
(2x2(1)
-
5)( x 2( 2)
-
x (1) 2
)
=
[ x2(2 ) ]2
+
[
x (1) 2
]2
-
2
x (1) 2
x2(
2)
{ } =
[
x2(
2)
]
-
[
x (1) 2
]
2
³
0.
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r -s1(x)
为凸函数。
s1(x1, x2 ) = -x1 - x2 2 + 5x2 ³ 0 为凸集.
-s1(x1) =
1, 2x2
-
5
T
,
r x1
=
é ê ë
x (1) 1
x (1) 2
ù ú, û
r x2
x (1) 1
+
[
x (1) 2
]2
-
5 x2(1)
,
=
é ê ë
x (2) 1
x (2) 2
ù ú, û
r -s2 (x2 )
=
x (2 ) 1
+
[ x2( 2)
]2
-
5 x2( 2)
,
r -s1(x2
即容许集为凸集。
由图解法可求得局部极小点，它一定是此 最优化问题的全局最优点。
最优点满足条件
ì ï ïí ï
x1 x2
-
7
4 5
2
=
-1,
ï î
x1 + x2 = 5.
ì ï í ïî
x1
x1
7 4 +
= x2 x2 =
-5 2
5.
,
Þ
ì4 í î
x1 - 4 x2 x1 + x2
= -3, = 5.
=
x (2) 1
-
x (1) 1
+
(2x
(1) 2
-
5)(x
(2 2
)
-
x (1) 2
)
[ ] r
-s1(x2 ) -
r -s1 (x1 )
{ } -
Ñ[
-
s1
(
r x1
)]
Tr r (x2 - x1 )
=
x (2) 1
-
x (1) 1
+ [x2(2) ]2
- [x2(1) ]2
-
5 éë x 2( 2)
f (4,1) = 117 > 5.
16
交点 (4,1),
例3：用图解法求解
min
s.t
(
x1x1-+141x)222+-(
x2 +
5x2
3 )2 2
= 0,
x1 + 2x2 -10 ³ 0,
x1 ³ 0,
x2 ³ 0.
解：①画出目标函数
min
(
x1
-
11)2 4
+ ( x2
+
3 )2 2
的等值线；
=
-2 x1,
¶2 f (xr) ¶x22
= 1.
Ñf
r (x)
=
éê2 x1 (x12 ë
- x2) + 2(x1 x2 - x12
- 1)ù ú û
，Ñ2
f
r (x)
=
é6 ê
x12
ë
- 2x2 -2x1
+2
-2x1 1
ù ú û
.
例2：用图解法求解
min
(x1 -
7 )2 4
+
( x2
-
5 )2 2
用解析方法也可证明容许集为凸集。
s2 (x1, x2 ) = x1 + x2 - 5 ³ 0, s3( x1, x2) = x1 ³ 0, s4 (x1, x2) = x2 ³ 0.
都为半平面，它们的交集为凸集，以下判别
-s1(x1, x2 )
=
x1
+
x
2 2
- 5x2
为凸函数。
Ñ2s1(x1,
x2
目标函数的等值线与容许集的切点，即最优
点满足方程ì
ï ï í
ï
x1
-
11 4
x2
+
3 2
=
1 2x2 -
, 5
ï î
x1
+
x22
- 5x2
=
0,
ì
ïï í
x1
ï
-
11 4
=
x2
+
3 2
2x2 - 5
,
ïîx1 + x22 - 5x2 = 0,
11 + 4
x2
+
3 2
2x2 - 5
+
x22
- 5x2